Teorema de Gauss Hilo Conductor Infinito

Teorema de Gauss

El teorema de Gauss dice: El flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual al cociente entre la carga encerrada en el interior de dicha di cha superficie dividida entre ε0. Campo eléctrico en hilo conductor infinito.

Caso → campo a una distancia r.

Dibujamos la superficie gaussiana, y las componentes del campo eléctrico (en azul) el diferencial de área ds es perpendicular a la superficie (hacia fuera) E en la superficie lateral también es hacia fuera (es radial) En las caras superior e inferior E continúa siendo radial, pero ds será perpendicular en ambas caras

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La suma de todas las líneas l íneas de campo eléctrico E será: ∫S E.dS(cara lateral) + ∫S E.dS (cara superior) + ∫S E.dS(cara inferior)

En la cara superior E es radial hacia fuera y dS es perpendicular perpendicular a la cara superior, superior, lo mismo ocurre en la cara inferior. El ángulo entre E y dS es 90º, y cos90 = 0, quedando por lo tanto el flujo de E en la cara lateral solamente. En la cara lateral, en cualquiera de los puntos que se considere E y dS son paralelos, entonces el ángulo entre ellos será 0, y cos0 = 1. Entonces queda: ∫S E.dS(cara lateral) E es uniforme y constante en todos los puntos, por lo tanto sale de la integral quedando: E.∫S dS La integral de dS es S, así como la integral de dx es x ∫S dS = S, entonces queda: E.S

¿Qué S es? Es la superficie lateral total. Es como si sumáramos todos los pequeños pequeños diferenciales de área dS que forman la cara lateral del cilindro gaussiano, lo cual nos da la superficie total de la cara lateral.  Ahora bien, la cara lateral de un cilindro es: es: 2.π.r.h

 Área del rectángulo: base por por altura.

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Entonces E.S queda: E. 2.π.r.h, como el hilo tiene una longitud que no conocemos, la

consideramos infinita y reemplazamos h por L, quedando por tanto: E. 2.π.r.h= E. 2.π.r.L

: permitividad dieléctrica del vacío

εo

Se sabe que la constante de la ley de Coulomb es K= 9.10 9 N.m2/C2, pero en realidad es: K=1/4πεo si se despeja εo de aquí, queda: εo = 1/4πK= 8,85.10-12 F/m  Ahora tenemos el problema de la la carga encerrada por la superficie superficie gaussiana. La carga carga encerrada por la superficie gaussiana, teniendo en cuenta que la región comprendida entre el hilo y el cilindro gaussiano es vacío, no hay carga, va a ser todo el hilo, por lo tanto la carga encerrada es la carga total del hilo. Por lo tanto queda: E. 2.π.r.L= Q/ εo , Q carga total del hilo ¿Qué es Q? La obtenemos a partir de la densidad lineal de carga λo. La densidad lineal de carga es la carga dividida por la longitud: λo = Q/L,

despejamos Q de la fórmula  Q = λo.L, donde L es la longitud del hilo, quedando, entonces: Q= λo.L

Con este dato vamos a la ecuación del campo eléctrico y reemplazamos Q por el valor  obtenido en este paso, quedando: E. 2.π.r.L = (λo.L) / εo De aquí despejamos E E= λ

/ 2. 2.π.ε .r 



E = (λo.L) / (εo.2.π.r.L), simplificando queda finalmente:

, , r: distancia al punto donde estamos estimando el campo campo eléctrico.