Teorema de Fermat

 

Sea f(x) una función y xo un punto del dominio.

DEFINICIÓN  relativo en  en xo , cuando existe un entorno E(xo) tal La función f(x) presenta un máximo relativo que:

La función f(x) presenta un mínimo relativo relativo en  en xo , cuando existe un entorno E(xo) tal que:

Son puntos que se distinguen por ser aquellos cuya imagen es la mayor o la menor s e excluye que haya (máximo - mínimo) de todas las imágenes “de los alrededores”. No se otros puntos "alejados" de x o cuya imagen sea mayor o menor que f(xo). A los máximos y mínimos relativos se los llama extremos relativos o relativos o simplemente extremos. extremos.  (CONDICI NDICI ÓN N NE E CESARI A P PARA ARA LA EXI ST STENCI ENCI A DE TEOREMA (CO EXTREMOS)   Sea

una función cuyo dominio es D=Dom(f) y xo un punto del dominio.

Demostración Este teorema se demuestra utilizando el recíproco.

 Nota  La recta tangente en un extremo es paralela al eje OX, luego la derivada (la pendiente de la recta tangente) es cero.

 

 Ejemplo: 

Los puntos que anulan la derivada son los candidatos a ser extremos, pero no puede  puntos críticos. asegurarse que lo sean. A estos puntos se les llama llama puntos críticos. TABLA DE VALORES VALORES   X Y 1/2 -1/4 P. Crítico

RESUMEN 

 

Máximos y mínimos relativos Máximos y mínimos de una función  Máximo relativo de una función  

Una función alcanza xun relativo relativo    reducido de x0 , en un punto def abscisa si existe un entorno 0  máximo es decir E*(x0 , h) = (x0 - h, x0 + h) - { x0 } , tal que f(x) < f(x0) para todos los puntos de dicho entorno reducido.

Mínimo relativo de una función 

Una función f alcanza un mínimo relativo en relativo en un punto de abscisa x0 si existe un entorno reducido de x0 , es decir E*(x0 , h) = (x0 - h, x0 + h) - { x0 } , tal que f(x) > f(x0) para todos los puntos de dicho entorno reducido.

 

Entorno reducido: x0 + h )

E*(x0 , h) = E(x0 , h) - { x0 } = ( x 0 - h, x0 )

 ( x0 ,

∪

Ejemplo de mínimos y máximos relativos relati vos de una función 

Determinar los mínimos y máximos relativos en la gráfica de la siguiente función: f(x) = x3 - 3x + 2

•  El punto (-1 , 4) es un máximo relativo. •  El punto (1 , 0) es un mínimo relativo.

Máximos y mínimos relativos

 

relativo en x = c si f(a) ≥ Una función f(x) tiene un máximo relativo  f(x) para todo x en algún entorno del punto a . Una función f(x) tiene un mínimo relativo  relativo en x = a si f(a) ≤ f(x) para todo x en algún entorno del punto a . Criterio de la primera derivada  derivada  En un punto crítico x = a , una función derivable f(x) tiene: •  un máximo relativo si f ' (x) cambia de positiva a negativa (↑↓) •  un mínimo relativo si f ' (x) cambia de positiva a negativa (↓↑) •  no tiene máximo ni mínimo relativo si f ' (x) no cambia de signo (↑↑  o ↓↓)

 

Criterio de la segunda derivada  derivada   En un punto crítico x = a , una función derivable f(x) tiene: •  un máximo relativo si f '' (a) < 0 •  un mínimo relativo si f '' (a) > 0 La condición necesaria para que una función tenga un máximo relativo es que su primera derivada en ese punto sea igual a 0 y la condición suficiente es que su segunda derivada en ese punto sea menor que 0.

La condición necesaria para que una función tenga un mínimo relativo es que su primera derivada en ese punto sea igual a 0 y la condición suficiente es que su segunda derivada en ese punto sea mayor que 0.

Procedimiento para hallar los máximos y mínimos relativos 

Estudia máximos y mínimos relativos de la siguiente función:losf(x) = x3 - 3x + 2  2  1)  Se calcula la primera derivada: f ' (x) 1)  Calculamos la primera derivada de la función. f ' (x) = 3x 2 - 3 2)  Se resuelve la ecuación: f ' (x) = 0 2)  A continuación calculamos calculamos las raíces de la primera derivada. 2 3x  - 3 = 0 ⇔  3x2 = 3 ⇔  x2 = 1 ⇔  x = ±1 Por lo tanto la primera derivada se anula en x = -1 y x = 1 . 3)  Se sustitu 3)  sustituyen yen las raíces de f ' (x) = 0 en la función inicial y se obtienen los posibles máximos y mínimos relativos. •  f (-1) = 4 ⇒  El punto (-1, 4) es un posible máximo o mínimo relativo •  f (+1) = 0 ⇒  El punto (+1, 0) es un posible máximo o mínimo relativo 4)  Se calcula la segunda derivada: 4)  Calculamos la segunda derivada. f '' (x) = 6x

f '' (x)

5)  Se sustituyen 5)  sustituyen la abscisa abscisa de los posibles posibles máximos máximos y mínimos relativos relativ os en la segunda derivada f '' (x) •  Si f '' (x) < 0 es un máximo relativo •  Si f '' (x) > 0 es un mínimo relativo En nuestro caso tenemos que: •  f '' (-1) = - 6 < 0 ⇒  (-1, 4) es un máximo relativo

 

 

•  f '' (+1) = 6 > 0

⇒

  (+1, 0)

es un mínimo relativo

1.  1. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Teoremas y su aplicación 2.  2. Valor máximo y mínimo • Una de las las aplicaciones mas importantes de las derivadas son los problemas de optimización. • ¿Cuál es la forma de determinado elemento para que el coste sea mínimo? • ¿Cuál es la inversión mínima que maximiza el beneficio? • Los anteriores enunciados pueden reducirse a encontrar el máximo o mínimo de una función. 3.  3. Máximo y mínimo absoluto Máximo absoluto de la función en a Mínimo absoluto de la función en b a b 4.  4. Máximos y mínimos locales La función alcanza un máximo local La función alcanza un mínimo local 5.  5. Ejemplos: 6.  6. Teorema del valor extremo Si f es continua en un intervalo cerrado [a,b], entonces f alcanza un máximo absoluto en f(c) y un mínimo absoluto en f(d), donde c y d son valores del intervalo cerrado [a,b]. Este teorema proporciona condiciones en las que una función dispone de valores extremos. a dc b a c d=b a c bd 7.  7. Teorema de Fermat (análisis) Si f tiene una mínimo o máximo local en c, y si f’(c) existe, entonces f’(c)=0. Este teorema ayuda a localizar los posibles posi bles máximos y mínimos locales de una función utilizando su derivada. c d e f’(c)=0 f’(d)=0 f’(e)=0  f’(e)=0  8.  8. Algunos comentarios Es posible que una función verifique el teorema de Fermat y no tenga ningún extremo local. Es posible que una función no sea derivable y presente un valor extremo. 9.  9. Puntos críticos Un punto crítico de una función f es un número c en el dominio de f tal que o bien f’(c)=0, o bien, f’(c) no existe. Para Para encontrar los máximos y mínimos absolutos de una función continua en un intervalo cerrado [a,b]: 1. Encontrar los puntos críticos de la función en el intervalo abierto (a,b) 2. Encontrar los valores de la función en los extremos del intervalo 3. Los valores mayores y menores de los pasos 1 y 2 son el máximo y mínimo absoluto, respectivamente 10. 10. Ejemplo I Se trata de una función continua y derivable en todo su dominio, por tanto, buscamos los valores que anulan su derivada: En este caso los puntos críticos proporcionan un máximo y un mínimo relativo

 

11. 11. El teorema de Rolle Si f una función que satisface las siguientes tres hipótesis: • f es continua en el intervalo cerrado [a,b]. • f es derivable en el intervalo abierto (a,b). • f(a)=f(b) Entonces existe al menos un valor c, perteneciente al intervalo abierto, tal que f’(c)=0. f’(c)=0. 12. 12. Interpretación gráfica del teorema de Rolle. a bc1 c2 a bc f(a)=f(b) a bc f(a)=f(b) 13. 13. Teorema del valor medio Si f una función que satisface las siguientes hipótesis: • f es continua en el intervalo cerrado [a,b]. • f es derivable en el intervalo abierto (a,b). Entonces existe al menos un valor c perteneciente a (a,b),tal que: 14. 14. Interpretación gráfica del teorema del valor medio. (a, f(a)) (b, f(b)) (c, f(c)) a c b 15. 15. Ejemplo (Teorema del valor medio) Resolviendo la anterior ecuación de segundo grado, podemos obtener el valor buscado (en este caso dos): c = 1 y c = 1/3 16. 16. Crecimiento de funciones La derivada, en cada punto de una función, representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función. Por tanto: • Si f’(x) > 0 en un intervalo, entonces, f es creciente en el intervalo • Si f’(x) < 0 en un intervalo, entonces, f es decreciente en el intervalo  intervalo  S igno de f’ ¿Crece 17. 17. Ejemplo (intervalos de crecimiento) Intervalo x-1 x+1 Signo f? x < -1 - - + f crece en el intervalo -1 < x < 1 - + - f decrece en el intervalo x > 1 + + + f crece en el intervalo 18. 18. Ejemplo (intervalos de crecimiento) Intervalos de crecimiento Intervalos de decrecimiento Como habíamos calculado anteriormente, la gráfica confirma el estudio de la derivada. 19. 19. Primera derivada y extremos locales Si c es un punto crítico de una función continua f : • Si f’ cambia de positivo a negativo en c, entonces f tiene un máximo local en c. • Si f’ cambia de negativo a positivo en c, entonces f tiene un mínimo local en c. • Si f’ no cambia de signo en c, entonces f no tiene un máximo local ni un mínimo local en c. c c c f’(x)>0 f’(x)>0 f’(x)>0 f’(x)0  20. 20. Ejemplo (extremos locales) Intervalos de crecimiento Intervalos de decrecimiento 21. 21. Concavidad y convexidad • Una función se dice cóncava si el segmento formado por dos de sus puntos queda por debajo de la gráfica de la función. • Una función se dice convexa, si el segmento formado por dos de sus puntos queda por encima de la gráfica de la función. Función cóncava Función convexa 22. 22. Curvatura y segunda derivada Si observamos una función cóncava, su derivada decrece, por tanto, la segunda derivada deberá ser menor que 0. En una función convexa, la derivada crece, por tanto, la segunda derivada será positiva. Por tanto: 1. Si f’’(x) >0 en todos los valores de un intervalo I, entonces f es convexa. 2. Si f’’(x) f’’(x) < 0 en todos los valores de un intervalo I, entonces f es cóncava. Función cóncava Función convexa 23. 23. Puntos de inflexión Un punto de inflexión es un punto de la gráfica de una función, donde la función es continua pero pasa de ser cóncava a convexa o viceversa. En matemáticas, los puntos de inflexión se caracterizan por Recommended  

ser cero o no existir la segunda derivada de la función.