Teorema de Chebyshev

 

“

TEOREMA DE CHEBYSHEV

UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA Y TECNOLÓGICA DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERÍA PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA  JULY KATERINE KATERINE ROJAS MESA

 

TEOREMA DE CHEBYSHEV ¿Para qué sirve?

(int nter erva valo lo de co conf nfia ianz nza) a)  de la probabilidad de que una variable Para proporcionar una estimación conservadora (i aleatoria con varianza finita, se sitúe a una cierta distancia de su esperanza matemática o de su media. TEOREMA TEOR EMA DE CHE CHEBYS BYSHEV HEV

 −  −  <  <    ≥  −  ,

  ==    á     = ú ó á    á 

 Aplicaciones 1. Cálcul Cálculo o de cotas cotas de las probabil probabilida idades des,, lo cual cual es import important ante e cua cuando ndo es dif difíci ícill dar un val valor or exa exacto cto de la probabilidad. 2. Demostración de teoremas límite de probabilidad. 3. Cálculo de tamaño de muestra en la aproximaci aproximación ón de la media de una población

2

2

 

TEOREMA DE CHEBYSHEV Definición: El teoremade delaChebyshev establece  establece un valor de mínimo para lade probabilidad de El unavalor variable en es un solo intervalo Chebyshev alrededor media, independientemente su función probabilidad. que aleatoria se obtiene una referencia. Sea una a va vari riab ablle al alea eato tori ria a di disc scre reta ta co con n me medi dia a µ y va vari rianz anza a   σ² , en ento tonc nces es,, la pr prob obab abil ilid idad ad qu que e X to tome me un va valo lorr de dent ntro ro Sea X un de K de desv svia iaci cion ones es es está tánd ndar  ar  σ   σ  de su med edia ia µ, es al menos

  − 

 −  −  <  <    ≥  −  ,   k ∈ ℜ+,  ≥ 1 ( = ú ú         á á) ) Demostración: en Demostración:  en esta demostración se incluye una variable aleatoria discreta, pero también se puede demostrar para una variable aleatoria continua. Separamos el dominio de la variable aleatoria X en tres regiones R1, regiones  R1, R2, R3. R3.

3

  −  <  <    ≥  − 

 

TEOREMA DE CHEBYSHEV Separamos el dominio de la variable aleatoria X en tres regiones R1, regiones  R1, R2, R3: R3:

X

 −      

Con la definición de varianza:

 =   − 

 =   −    = ෍  −     = ෍   −       ෍   −       ෍   −      



 

 

   1: >1: ෍  ≤−−  ⇒ −෍≥ −−   ⇒ −(x , − μ) ≥  −(x−  ⇒⇒ ( (xx− é μ)≥    3:  3:    ≥    ⇒  −  ≥  ⇒ ( (xx − μ)≥ 

4

 

TEOREMA DE CHEBYSHEV

 > ෍  −       ෍  −      ,   1:    ≤  −  ⇒ − ≥ −   ⇒ −(x −(x−− μ) ≥  ⇒⇒ ( (xx − μ)≥     1:    3:  3:    ≥    ⇒  −− ≥  ⇒ ( ⇒ (xx − μ)≥ 

Finalmente con el complemento de probabilidad:

Se sustituye en las sumatorias:

 > ෍      ෍     , 



Se simplifica:

1  > ෍    ෍   , 1 > (  ( ≤  −  ∨  ≥   

Las sumas son valores de probabilidad:

 −−  <  <    ≥  − 

5

 

TEOREMA DE CHEBYSHEV

PRUEBA EMPÍRICA DEL TEOREMA DE C H E B YS H E V  

Una variable aleatoria X que se encuentre dentro de una desviación 68%.. estándar los datos están en un 68% Una variable aleatoria X que se encuentre dentro de dos desviaciones 95%.. estándar los datos están en un 95% Una variable aleatoria X que se encuentre dentro de tres desviaciones 99%.. estándar los datos están en un 99%

 −−  <  <    ≥  − 

6

 

TEOREMA DE CHEBYSHEV EJEMPLO 1. Una variable aleatoria X tiene una media µ=8. una varianza  σ² =9 y una distribución de probabilidad simétrica. Calcular:

)(−4 ) (−4 <  < 20) ))((  − 8 ≥ 6) DATOS

= =89 =3 Hay que igualar las ecuaciones para encontrar K, es decir:

  −  <  <    ≥  − 

−4 <  < 20 ≥ 11−− 1

7

 

TEOREMA DE CHEBYSHEV

)(− ) (− <  < ) = =89 =3

DATOS

Se reemplaza en la expresión

  −  <  <    ≥  −  )(−4 ) (−4 <  < 2020))

−4 =  − −  −4 −4−= 88−−= (3 (3) 3 )  = −4

−   

20 =     2020−−= 88= (3 (3) 3 ) =4

valo lorr de K de debe be se serr ig igua uall en va valorabso lorabsolut luto o en ca cada da un uno o de lo los s ex extr trem emos os.. El va

  ))  −4