Teorema de Cauchy - Variable Compleja

Variable Compleja Teorema de Cauchy 2.1 INTEGRALES DE CONTORNO Definiciones y propiedades b´ asicas Definici´ on. Sea [a, b] ⊂ R y sea h : [a, b] → C una funci´on. Sean u y v funciones reales tales que h(t) = u(t) + iv(t). Supongamos que u y v son continuas. Definamos la integral de h sobre [a, b] como 



b



b

b

v(t)dt.

u(t)dt + i

h(t)dt =

a

a

a

2.1.1 Definici´ on. Sea A ⊂ C un conjunto abierto. Sea f una funci´on continua definida en A. Sea γ : [a, b] → C una curva suave por tramos que satisface γ([a, b]) ⊂ A. Definamos la integral de f a lo largo de γ como 

f (z)dz = γ

n−1 X  ai+1 i=0

f (γ(t))γ 0 (t)dt.

ai

2.1.2 Proposici´ on. Si f (z) = u(x, y) + iv(x, y), entonces 





[u(x, y)dx − v(x, y)dy] + i

f= γ

[u(x, y)dy + v(x, y)dx].

γ

γ

Nota. La proposici´ on anterior se puede recordar escribiendo f (z)dz = (u + iv)(dx + idy). Definici´ on. Sean γ1 : [a, b] → C y γ2 : [a, b] → C trayectorias tales que γ1 (b) = γ2 (b). Definamos γ1 + γ2 : [a, c] → C como  γ1 (t) si t ∈ [a, b] (γ1 + γ2 )(t) = γ2 (t) si t ∈ [b, c]. 2.1.3 Proposici´ on. Sean f y g funciones continuas, sean c1 y c2 constantes complejas, y sean γ, γ1 , γ2 ∈ C 1 por tramos. Entonces (i)    (c1 f + c2 g) = c1

f + c2

γ

γ

(ii)





f =− −γ

(iii)

g γ



f γ





f= γ1 +γ2

f+ γ1

f γ2

2.1.4 Definici´ on. Una curva (suave por tramos) γˆ : [ˆ a, ˆb] → C se llama reparametrizaci´on de γ si 1 ˆ existe una funci´ on α ∈ C con α : [a, b] → [ˆ a, b] tal que α0 (t) > 0, α(a) = a ˆ, α(b) = ˆb, y que adem´ as γ(t) = γ(α(t)).

1

2.1.5 Proposici´ on. Si γˆ es una reparametrizaci´on de γ, entonces 



f=

f

γ

γ ˆ

para cualquier funci´ on f continua definida en un conjunto abierto que contiene a la imagen de γ. Nota. Una curva cerrada se recorre en sentido antihorario, a no ser que se indique lo contrario. Definici´ on. La longitud de arco de una curva γ : [a, b] → C se define como 



b

b

p

|γ 0 (t)|dt =

l(γ) = a

x0 (t)2 + y 0 (t)2 dt.

a

2.1.6 Proposici´ on. Sea f una funci´ on continua en un conjunto abierto A y sea γ una curva C 1 por tramos en A. Si existe una constante M ≥ 0 tal que |f (z)| ≤ M para todo z ∈ γ, es decir, para todo z de la forma γ(t), entonces  |

f | ≤ M l(γ) γ

M´ as generalmente, tenemos





|

f| ≤

|f ||dz|,

γ

donde

γ





b

|f (γ(t))||γ 0 (t)|dt

|f ||dz| := γ

a

Teorema fundamental del c´ alculo para integrales de contorno 2.1.7 Teorema Fundamental del C´ alculo para Integrales de Contorno. Suponga que γ : [a, b] → C es una curva suave por tramos y que F es una funci´on definida y anal´ıtica en un conjunto abierto G que contiene a γ. Entonces 

F 0 (z)dz = F (γ(b)) − F (γ(a)). γ

En particular, si γ(a) = γ(b), entonces 

F 0 (z)dz = 0. γ

2.1.8 Corolario. Sea f una funci´ on anal´ıtica en un conjunto abierto conexo G tal que f 0 (z) = 0 para cada punto z en G. Entonces f es constante en G. 2.1.9 Teorema de la independencia con respecto de la trayectoria. Suponga que f es una funci´ on continua en un conjunto abierto conexo G. Entonces las siguientes proposiciones son equivalentes: (i) Las integrales son independientes de la trayectoria: Si z0 y z1 son puntos distintos en G y γ0 y γ1 son trayectorias en G de z0 a z1 , entonces 



f (z)dz = γ0

f (z)dz. γ1

(ii) Toda integral a lo largo de una curva cerrada es igual a cero. Si γ es una curva cerrada contenida en G, entonces  f (z)dz = 0. γ

(iii) Existe una antiderivada de f en G, es decir, existe una funci´on F anal´ıtica en todo G tal que F 0 (z) = f (z) para todo z en G.

2

´ INTUITIVA 2.2 EL TEOREMA DE CAUCHY: VESRION Definici´ on. Una curva cerrada es simple si intersecta con ella misma s´olo en sus extremos. Definici´ on. Sea γ : [a, b] → C, con γ(t) = (x(t), y(t)), entonces 



b

P (γ(t))x0 (t)dx

P (x, y)dx = a

γ

y





b

Q(γ(t))y 0 (t)dy.

Q(x, y)dy = γ

a

Teorema de Green. Sea γ una curva cerrada y sea A el interior de γ. Sean P (x, y) y Q(x, y) funciones definidas en A. Entonces 



P (x, y)dx + Q(x, y)dy = γ

[ A

∂P ∂Q (x, y) − (x, y)]dxdy ∂x ∂y

Versi´ on preliminar del teorema de Cauchy 2.2.1 Teorema. Sea f una funci´ on anal´ıtica, y supongamos que f 0 es continua sobre, y en el interior de una curva simple γ. Entonces  f = 0. γ

Teorema de deformaci´ on Definici´ on. Sea γ una curva cerrada simple en A. Decimos que γ es homot´opica a γ en A si γ puede deformarse continuamente en la curva cerrada simple γ sin salirse de la regi´on A. 2.2.2 Versi´ on preliminar del teorema de Cauchy. Sea f anal´ıtica en una regi´on A, y sea γ una curva cerrada simple en A. Supongamos que γ es homot´ opica a γ en A. Entonces 



f= γ

f. γ

Regiones simplemente conexas Definici´ on. Una regi´ on A se llama simplemente conexa si A es conexo y cualquier curva cerrada γ en A puede ser deformada en A en alguna curva constante γ. Tambi´en se dice que γ es homot´opica a un punto. Nota. Un conjunto simplemente conexo se puede ver intuitivamente como un conjunto sin hoyos. Proposici´ on. Si para cada curva cerrada γ en A, el interior de γ tambi´en est´a en A, entonces A es simplemente conexo. Proposici´ on. El interior de una curva cerrada simple es simplemente conexo. 2.2.3 Corolario. Sea f anal´ıtica en una regi´on simplemente conexa A y sea γ una curva cerrada simple, γ ∈ C 1 . Entonces  f = 0. γ

Independencia con respecto de la trayectoria y antiderivadas 2.2.4 Proposici´ on. Suponga que f es anal´ıtica en una regi´on simplemente conexa A. Entonces, para cualesquiera dos curvas γ1 y γ2 que unen dos puntos z0 y z1 en A tenemos 



f= γ1

f. γ2

3

2.2.5 Teorema de la antiderivada. Sea f anal´ıtica en una regi´on simplemente conexa A. Entonces existe una funci´ on anal´ıtica F definida en A tal que F 0 (z) = f (z) para todo z en A. Decimos que F es la antiderivada de f en A. Proposici´ on. Sea A una regi´ on simplemente conexa tal que 0 ∈ / A. Entonces existe una funci´ on anal´ıtica F (z). u ´nica bajo la adici´ on de m´ ultiplos de 2πi, tal que eF (z) = z. ´ PRECISA 2.3 EL TEOREMA DE CAUCHY: VERSION Versi´ on local del Teorema de Cauchy 2.3.1 Teorema para un disco de Cauchy-Goursat. Suponga que f : D → C es anal´ıtica en un disco D = D(z0 ; ρ). Entonces, (i) f tiene una antiderivada en D, esto es, existe una funci´on F : D → C que es anal´ıtica en D y que satisface que F 0 (z) = f (z) para toda z en D. (ii) Si γ es cualquier curva cerrada en D, entonces 

f = 0. γ

2.3.2 Teorema de Cauchy-Goursat para un rect´ angulo. Suponga que R es una trayectoria rectangular con lados paralelos a los ejes y que f es anal´ıtica en un conjunto abierto G que contiene a R y a su interior. Entonces,  f = 0. R

Vecindades agujeradas 2.3.3 Lema. Suponga que R es una trayectoria rectangular con lados paralelos a los ejes y que f es anal´ıtica en un conjunto abierto G que contiene a R y a su interior, y que f es anal´ıtica en G excepto en alg´ un punto fijo z1 en G que no est´ a sobre la trayectoria R. Suponga que en z1 , la funci´on f satisface que limz→z1 (z − z1 )f (z) = 0. Entonces  f = 0. R

2.3.4 Lema. Suponga que R es una trayectoria rectangular con lados paralelos a los ejes y que f es una funci´ on continua en un conjunto abierto G que contiene a R y a su interior, y que f es anal´ıtica en G excepto en alg´ un punto fijo z1 en G. Entonces 

f = 0. R

2.3.5 Teorema fortalecido de Cauchy-Goursat para un disco. Suponga que f : D → C es continua en un disco D = D(z0 ; ρ), y anal´ıtica en D\{z1 } para alg´ un punto fijo z1 en D. Entonces, (i) f tiene una antiderivada en D, esto es, existe una funci´on F : D → C que es anal´ıtica en D y que satisface que F 0 (z) = f (z) para toda z en D. (ii) Si γ es cualquier curva cerrada en D, entonces 

f = 0. γ

4

´ 2.4 FORMULA INTEGRAL DE CAUCHY ´ Indice de una trayectoria 2.4.1 Definici´ on. Sea γ una curva cerrada en C y sea z0 ∈ C un punto que no est´a en γ. Entonces, el ´ındice de γ con respecto de z0 (tambi´en llamado el n´ umero de giros de γ con respecto de z0 ) se define como  1 dz I(γ, z0 ) = . 2πi γ z − z0 Decimos que γ gira I(γ, z0 ) veces alrededor de z0 . 2.4.2 Proposici´ on. (i) El c´ırculo γ(t) = z0 + reit , 0 ≤ t ≤ 2πn, r > 0, tiene ´ındice n con respecto de z0 . (ii) El c´ırculo −γ(t) = z0 + re−it , 0 ≤ t ≤ 2πn, tiene ´ındice −n. (iii) Si z0 no est´ a sobre γˆ ni sobre γ, y si γˆ y γ son homot´opicas en C\{z0 }, entonces I(ˆ γ , z0 ) = I(γ, z0 ). 2.4.3 Teorema del ´ındice. Sea γ : [a, b] → C una curva cerrada, γ ∈ C 1 por tramos, y sea z0 un punto que no est´ a en γ. Entonces I(γ, z0 ) es un entero. F´ ormula integral de Cauchy 2.4.4 F´ ormula integral de Cauchy. Sea f una funci´on anal´ıtica en una regi´on A, sea γ una curva cerrada en A que es homot´ opica a un punto, y sea z0 ∈ A un punto que no est´a en γ. Entonces 1 2πi

f (z0 ) · I(γ, z0 ) =

 γ

f (z) dz. z − z0

Nota. La f´ ormula anterior se aplica a menudo cuando γ es una curva cerrada simple, y z0 est´a dentro de γ. Entonces I(γ, z0 ) = 1, y la f´ ormula se convierte en f (z0 ) =



1 2πi

γ

f (z) dz. z − z0

Integrales del tipo de Cauchy 2.4.5 Diferenciabilidad de integrales del tipo de Cauchy. Sea γ una curva en C y sea g una funci´ on continua, definida a lo largo de la curva γ, es decir continua en su imagen γ[a, b]. Definamos G(z) =

1 2πi

 γ

g(ζ) dζ. ζ −z

Entonces, G es anal´ıtica en C\γ[a, b], y m´as a´ un, G es infinitamente diferenciable, donde su k-´esima derivada est´ a dada por  k! g(ζ) G(k) (z) = dζ. 2πi γ (ζ − z)k+1 Nota. La f´ ormula de las derivada puede recordarse si se mira como diferenciar z respecto a la variable de integraci´ on: d d 1 G(z) = ( dz dz 2πi

 γ

g(ζ) 1 dζ) = ζ −z 2πi

 γ

∂ g(ζ) 1 ( )dζ = ∂z ζ − z 2πi

 γ

g(ζ) dζ. (ζ − z)2

Existencia de las derivadas de orden superior 2.4.6 F´ ormula integral de Cauchy para las derivadas. Sea f una funci´on anal´ıtica en una regi´ on A. Entonces, todas las derivadas de f existen en A. M´as a´ un, para z0 en A y γ cualquier curva cerrada homot´ opica a un punto en A, tenemos que si z0 no est´a en γ, entonces f

(k)

k! (z0 ) · I(γ, z0 ) = 2πi 5

 γ

f (ζ) dζ. (ζ − z)k+1

Desigualdades de Cauchy y el teorema de Liouville 2.4.7 Desigualdades de Cauchy. Sea f anal´ıtica en una regi´on A, sea γ un c´ırculo en A con radio R y centro z0 . Supongamos que el disco B(z0 , R) tambi´en est´a en A. Supongamos adem´as que f es acotada en γ, es decir que |f (z)| ≤ M para toda z en γ. Entonces, para k ∈ N tenemos que |f (k) (z0 )| ≤

k! M. Rk

2.4.8 Teorema de Liouville. Si f es entera y existe una constante M tal que |f (z)| ≤ M para todo z ∈ C, entonces f es constante. Teorema fundamental del ´ algebra 2.4.9 Teorema fundamental del ´ algebra. Sean a0 , a1 , . . . , an n´ umeros complejos. Sopungamos que n ≥ 1 y que an 6= 0. Sea p(z) = a0 + a1 z + · · · + an z n . Entonces, existe un punto z0 ∈ C tal que p(z0 ) = 0. Teorema de Morera (Rec´ıproco parcial del teorema de Cauchy) 2.4.10 Teorema de Morera. Sea f una funcipon continua en una regi´on A. Supongamos que f = 0 para cualquier curva cerrada en A. Entonces f es anal´ıtica en A, y f = F 0 para alguna γ funci´ onanal´ıtica F en A.


2.4.11 Corolario. Sea f continua en una regi´on A y anal´ıtica en A\{z0 } para alg´ un punto z0 ∈ A. Entonces f es anal´ıtica en A. 2.4.15 Ejemplo resuelto. Sea f (z, w) una funci´on continua de z y w, para z en una regi´on A y w sobre una curva γ. Para cada w sobre γ supongamos que f es anal´ıtica en z. Sea 

F (z) =

f (z, w)dw. γ

Entonces F es anal´ıtica y



F 0 (z) = γ

∂ f (z, w)dw. ∂z

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