teorema de bayes y probabilidad total

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA ESTADÍSTICA 1 SECCIÓN P

 _Investigación Teorema Teorema de Bayes Y Probabilidad Total

Nombre:

Lesly Mayrena Boche Hernández

Carné:

2002 - 12656

Profesor(a):

Ing. Hector Galeros

Fecha:

23 de diciembre de 2015

TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL l Teorema de la probabilidad total nos permite calcular la probabilidad de un suceso a partir de probabilidades condicionadas: Ejemplo: supongamos que si llueve la probabilidad de que ocurra un accidentes es x% y si hace buen tiempo dicha probabilidad es y%. Este teorema nos permite deducir cuál es la probabilidad de que ocurra un accidente si conocemos la probabilidad de que llueva y la probabilidad de que haga buen tiempo. La fórmula para calcular esta probabilidad es:

Es decir, la probabilidad de que ocurra el suceso B (en nuestro ejemplo, que ocurra un accidente) es igual a la suma de multiplicar cada una de las probabilidades condicionadas de este suceso con los diferentes sucesos A (probabilidad de un accidente cuando llueve y cuando hace buen tiempo) por la probabilidad de cada suceso A. Para que este teorema se pueda aplicar hace falta cumplir un requisito: Los sucesos A tienen que formar un sistema completo, es decir, que contemplen todas las posibilidades (la suma de sus probabilidades debe ser el 100%). A partir de las probabilidades del suceso A (probabilidad de que llueva o de que haga buen tiempo) deducimos la probabilidad del suceso B (que ocurra un accidente). Ejemplo: Se dispone de tres cajas con bombillas. La primera contiene 10 bombillas, de las cuales hay cuatro fundidas; en la segunda hay seis bombillas, estando una de ell as fundida, y la tercera caja hay tres bombillas fundidas de un total de ocho. ¿Cuál es la probabilidad de que al tomar una bombilla al azar de una cualquiera de las cajas, esté fundida?

TEOREMA DE BAYES

La interpretación más aceptada del teorema de Bayes, es que su estructura permite el cálculo de probabilidades después de haber sido realizado un experimento (probabilidades a posteriori), basándose en el conocimiento de la ocurrencia de ciertos eventos que dependan del evento estudiado, o sea, se parte de probabilidades conocidas antes de efectuar el experimento (probabilidades a priori), las cuales son afectadas por las probabilidades propias del experimento (las que aparecen durante la ocurrencia del evento). Continuando nuestro análisis sobre el teorema de Bayes, la probabilidad condicional de A i dado B, para cualquier i , es:

Aplicando en el numerador la Regla de Multiplicación P(A iB) = P(Ai) P(B|Ai) y en el denominador el Teorema de Probabilidad Total P(B) = P(A 1) P(B | A1) + P(A2) P(B | A 2) + . . . + P(An) P(B | A n), obtenemos la ecuación que representa al: El Teorema de Bayes viene a seguir el proceso inverso al que hemos visto en el Teorema de la probabilidad total, a partir de que ha ocurrido el suceso B (ha ocurrido un accidente) deducimos las probabilidades del suceso A (¿estaba lloviendo o hacía buen tiempo?). La fórmula del Teorema de Bayes es:

Recordar que este teorema también exige que el suceso A forme un sistema completo. Ejemplo: La probabilidad de que haya un accidente en una fábrica que dispone de alarma es 0.1. La probabilidad de que suene esta sí se ha producido algún incidente es de 0.97 y la probabilidad de que suene si no ha sucedido ningún incidente es 0.02. En el supuesto de que haya funcionado la alarma, ¿cuál es la probabilidad de que no haya habido ningún incidente? Sean los sucesos: I = Producirse incidente. A = Sonar la alarma.