Tensor de tensiones- Resistencia de materiales.

Resistencia de Materiales

Capítulo 2: EL TENSOR DE TENSIONES

Germán Castillo López curso 2014/2015

UNIVERSIDAD DE MÁLAGA

Resistencia de materiales. 2014/2015

Capítulo 2: El tensor de tensiones

PROBLEMA: GG1

Germán Castillo

UNIVERSIDAD DE MÁLAGA

2

Resistencia de materiales. 2014/2015

Capítulo 2: El tensor de tensiones

PROBLEMA: GG1 1. Escribir el tensor de tensiones del dominio. En estos momentos no sabemos lo que implica DEFORMACIÓN PLANA. Como veremos más adelante, eso implica que el valor de 𝜎𝑧 únicamente puede tomar un valor que en este caso se lo doy yo.

Germán Castillo

UNIVERSIDAD DE MÁLAGA

3

Resistencia de materiales. 2014/2015

Capítulo 2: El tensor de tensiones

PROBLEMA: GG1 2.- ¿Hay aplicadas fuerzas de volumen en el dominio?

Germán Castillo

UNIVERSIDAD DE MÁLAGA

4

Resistencia de materiales. 2014/2015

Capítulo 2: El tensor de tensiones

PROBLEMA: GG1 3.- Obtener y representar las fuerzas superficiales actuantes en las caras ACz, ABz, BCz.

Es necesario dejar indicado 𝟓 que 𝒚 = 𝟒 𝒙 𝒚 𝟎 < 𝒙 < 𝟐𝟎𝒎

Germán Castillo

UNIVERSIDAD DE MÁLAGA

5

Resistencia de materiales. 2014/2015

Capítulo 2: El tensor de tensiones

PROBLEMA: GG1

Germán Castillo

UNIVERSIDAD DE MÁLAGA

6

Resistencia de materiales. 2014/2015

Capítulo 2: El tensor de tensiones

PROBLEMA: GG1 4.- Obtengan las resultantes de las fuerzas superficiales.

Y su posición coincide con el CDG de este triángulo Germán Castillo

UNIVERSIDAD DE MÁLAGA

7

Resistencia de materiales. 2014/2015

Capítulo 2: El tensor de tensiones

PROBLEMA: GG1

Germán Castillo

UNIVERSIDAD DE MÁLAGA

8

Resistencia de materiales. 2014/2015

Capítulo 2: El tensor de tensiones

PROBLEMA: GG1 5.- Determine el momento que hacen las fuerzas superficiales actuantes sobre la cara Acz, con respecto al eje z.

Germán Castillo

UNIVERSIDAD DE MÁLAGA

9

Resistencia de materiales. 2014/2015

Capítulo 2: El tensor de tensiones

PROBLEMA: GG1 6.-¿Está el sólido en equilibrio en el plano XY?

Germán Castillo

UNIVERSIDAD DE MÁLAGA

10

Resistencia de materiales. 2014/2015

Capítulo 2: El tensor de tensiones

PROBLEMA: GG1 7.- Determine el estado tensional que actúa en el centro de gravedad del dominio, y un plano cuya normal saliente forma 45º con el eje x, y está contenido en el plano xy. Represente el estado tensional.

Germán Castillo

UNIVERSIDAD DE MÁLAGA

11

Resistencia de materiales. 2014/2015

Capítulo 2: El tensor de tensiones

PROBLEMA: GG1 8.- Escribir el tensor de tensiones para el punto B. Dibujar el paralelepípedo elemental con las tensiones actuantes.

Germán Castillo

UNIVERSIDAD DE MÁLAGA

12

Resistencia de materiales. 2014/2015

Capítulo 2: El tensor de tensiones

PROBLEMA: GG1 9.- Determine y represente las tensiones y direcciones principales del punto B.

Germán Castillo

UNIVERSIDAD DE MÁLAGA

13

Resistencia de materiales. 2014/2015

Capítulo 2: El tensor de tensiones

PROBLEMA: GG1

Germán Castillo

UNIVERSIDAD DE MÁLAGA

14

Resistencia de materiales. 2014/2015

Capítulo 2: El tensor de tensiones

PROBLEMA: GG1

Germán Castillo

UNIVERSIDAD DE MÁLAGA

15

Resistencia de materiales. 2014/2015

Capítulo 2: El tensor de tensiones

PROBLEMA: GG1 10.- Determine y represente las tensiones y direcciones principales del punto B, utilizando el Círculo de Mohr 𝝈 𝒙 + 𝝈𝒚 𝑦 Convenio de Elasticidad 𝑪𝑰𝑰 = 𝟐

𝜏

𝜏𝑥𝑦

(𝜎𝑦 , 𝜏𝑦𝑥 ) 𝑅𝐼𝐼

2𝜃

𝑅𝐼𝐼

𝜎𝐼𝐼𝐼 𝐼𝐼𝐼

2𝜃

𝜎𝐼𝐼 𝐶𝐼𝐼

𝐶𝐼

𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 2 𝜎𝐼 𝐶𝐼𝐼𝐼

𝐼

𝝈𝒙 − 𝝈𝒚 ( )𝟐 +(𝝉𝒙𝒚 )𝟐 𝟐 𝟐. 𝝉𝒙𝒚 tan(𝟐𝜽) = (𝝈𝒙 − 𝝈𝒚 ) 𝑹𝑰𝑰 =

𝟐

𝝈𝑰 = 𝑪𝑰𝑰 + 𝑹𝑰𝑰 𝝈𝑰𝑰𝑰 = 𝑪𝑰𝑰 − 𝑹𝑰𝑰

𝑦

𝜎

50

𝑡 ( 2) 𝑚

100

𝑥 Germán Castillo

(𝜎𝑥 , 𝜏𝑥𝑦 )

𝑥

𝜎𝑧 = 12,5 50 UNIVERSIDAD DE MÁLAGA

16

Resistencia de materiales. 2014/2015

Capítulo 2: El tensor de tensiones

PROBLEMA: GG1 𝝈𝒙 + 𝝈𝒚 𝟎 + 𝟓𝟎 𝑪𝑰𝑰 = = = 𝟐𝟓 𝒕/𝒎𝟐 𝟐 𝟐

𝑹𝑰𝑰 =

𝟐

𝝈𝒙 − 𝝈𝒚 ( )𝟐 +(𝝉𝒙𝒚 )𝟐 = 𝟐

𝝈𝑰 = 𝑪𝑰𝑰 + 𝑹𝑰𝑰 = 𝟏𝟐𝟖 𝒕/𝒎𝟐 tan(𝟐𝜽) =

𝟐. 𝝉𝒙𝒚 (𝝈𝒙 − 𝝈𝒚 )

=

𝟎 − 𝟓𝟎 𝟐 ( ) +(𝟏𝟎𝟎)𝟐 = 𝟏𝟎𝟑 𝒕/𝒎𝟐 𝟐

𝟐

𝟐. 𝟏𝟎𝟎 (𝟎 − 𝟓𝟎)

𝑦

𝜽 = 𝟑𝟖º

𝐼 𝜃

50 100

𝝈𝒛 = 𝟏𝟐, 𝟓 Germán Castillo

50

𝝈𝑰𝑰𝑰 = 𝑪𝑰𝑰 − 𝑹𝑰𝑰 = −𝟕𝟖 𝒕/𝒎𝟐

𝝈𝑰𝑰 = 𝟏𝟐, 𝟓 𝒕/𝒎𝟐

𝑥

𝑡 ( 2) 𝑚

𝑦

𝜎𝐼 = 128

Observe que el giro es en sentido contrario al del círculo de Mohr

𝐼𝐼𝐼 𝑥

𝜎𝐼𝐼 = 12,5 𝜎𝐼𝐼𝐼 = 78 UNIVERSIDAD DE MÁLAGA

17

Resistencia de materiales. 2014/2015

𝐼

PROBLEMA: GG1 Convenio de RdM

𝜏 (𝜎𝑥 , 𝜏𝑥𝑦 )

Capítulo 2: El tensor de tensiones

𝑥

Observe que el giro es en el mismo sentido que en el círculo de Mohr Y por supuesto que la solución es idéntica

𝑦

𝜃 𝜎𝐼 = 128

𝑥

𝜎𝐼𝐼 = 12,5

𝑅𝐼𝐼

𝜎𝐼𝐼𝐼 = 78 (

𝜎𝐼𝐼𝐼 𝐼𝐼𝐼

𝜎𝐼𝐼 𝐶𝐼

𝐼𝐼𝐼

𝜎𝐼

𝐶𝐼𝐼 2𝜃

𝐶𝐼𝐼𝐼

(𝜎𝑦 , 𝜏𝑦𝑥 )

𝑡 ) 𝑚2

𝑦

𝐼

𝜎

50 100

𝜎𝑧 = 12,5

(

50

𝑥

𝑡 ) 𝑚2

𝑦 Germán Castillo

UNIVERSIDAD DE MÁLAGA

18

Resistencia de materiales. 2014/2015

Capítulo 2: El tensor de tensiones

PROBLEMA: GG1 11. Determine y represente las tensiones en el plano de cizalladura máxima que pase por el punto B.

𝜂 2𝛽

Convenio Elasticidad

𝜏

𝜎𝐼𝐼𝐼 𝐼𝐼𝐼

2𝜃 𝐶𝐼𝐼

𝑥 Germán Castillo

(𝜎𝑦 , 𝜏𝑦𝑥 )

𝜎𝐼𝐼 𝐶𝐼

𝑦

𝐼 90 − 2. θ β= = 7º 2

𝑦 25

𝛽 45º 103

𝑥

𝜎𝐼 𝐶𝐼𝐼𝐼

𝐼𝐼𝐼

𝐼

25

𝜎

𝑡 ( 2) 𝑚

(𝜎𝑥 , 𝜏𝑥𝑦 ) UNIVERSIDAD DE MÁLAGA

19

Resistencia de materiales. 2014/2015

Capítulo 2: El tensor de tensiones

PROBLEMA: GG1 11. Determine y represente las tensiones en el plano de cizalladura máxima que pase por el punto B.

𝜂 2𝛽

Convenio Elasticidad

𝜏

𝜎𝐼𝐼𝐼 𝐼𝐼𝐼

2𝜃 𝐶𝐼𝐼

𝑥 Germán Castillo

(𝜎𝑦 , 𝜏𝑦𝑥 )

𝜎𝐼𝐼 𝐶𝐼

𝑦

𝐼 90 − 2. θ β= = 7º 2

𝑦 25

𝛽 45º 103

𝑥

𝜎𝐼 𝐶𝐼𝐼𝐼

𝐼𝐼𝐼

𝐼

25

𝜎

𝑡 ( 2) 𝑚

(𝜎𝑥 , 𝜏𝑥𝑦 ) UNIVERSIDAD DE MÁLAGA

20

Resistencia de materiales. 2014/2015

Capítulo 2: El tensor de tensiones

PROBLEMA: GG1 11. ¿Es posible encontrar un plano que pase por el punto B, tal que 𝝉 = 𝝈 = 𝟓𝟎 𝒕/𝒎𝟐 ?

𝑦

Convenio de Elasticidad

𝜏 (𝜎𝑦 , 𝜏𝑦𝑥 )

𝜏=𝜎

Equivalente a buscar un plano que pase por B y que el ángulo que forman las tensiones intrínsecas es de 45º y que el valor de 𝝈 = 𝟓𝟎 𝒕/𝒎𝟐

𝑅𝐼𝐼 (50,50) 𝜎𝐼𝐼𝐼 𝐼𝐼𝐼

𝜎𝐼

𝜎𝐼𝐼 𝐶𝐼𝐼

𝐶𝐼

𝐶𝐼𝐼𝐼

𝐼

𝜎 NO hay solución ya que el punto en el diagrama de MOHR se encuentra en una zona donde no puede haber solución

𝑥 Germán Castillo

(𝜎𝑥 , 𝜏𝑥𝑦 ) UNIVERSIDAD DE MÁLAGA

21

Resistencia de materiales. 2014/2015

Capítulo 2: El tensor de tensiones

PROBLEMA: GG1 11. Determine y represente el plano (y sus tensiones intrínsecas) que pase por el punto B, tal que 𝝉 = 𝝈 y la tensión de cizalladura sea mínima. 𝑅𝐼 Convenio de Elasticidad 2 𝑦

𝜏 (𝜎𝑦 , 𝜏𝑦𝑥 )

𝑅𝐼 =45,25 t/m 𝜏 𝐶𝐼 =-37,25 t/m2 𝜎 𝜏 = 𝜎 𝐶𝐼 (0,0) 𝑹𝑰𝟐 = (𝝈 + 𝟑𝟐, 𝟕𝟓)𝟐 +𝝉𝟐 2 37,25 t/m 2𝛼

𝝉=𝝈

Objetivo

𝜎𝐼𝐼𝐼 𝐼𝐼𝐼

𝝈 = 𝝉 = 𝟏𝟏, 𝟏𝟏 𝒕/𝒎𝟐

2𝛼

𝜎𝐼 𝜎𝐼𝐼 𝐶𝐼𝐼

𝐶𝐼

𝐶𝐼𝐼𝐼

𝜎 𝐼

𝝈 = 𝝉 = 𝟒𝟑, 𝟖𝟔 𝒕/𝒎𝟐 𝜶 = 𝟔, 𝟗º

𝛼

𝐼𝐼

11,11 𝑡/𝑚2 𝐼𝐼𝐼 𝑥 Germán Castillo

𝐼

(𝜎𝑥 , 𝜏𝑥𝑦 ) UNIVERSIDAD DE MÁLAGA

22