Tensiones principales

problema 1 el tensor de esfuerzos T en un punto P esta dado respecto a los ejes O x1 x 2 x 3 , por los valores

3 1 1 T= 1 0 2 1 2 0

[ ]

calcular los valores de las tensiones principales y las direcciones de las tensiones principales ¿ ¿ ¿ representadas por los ejes O x1 x 2 x 3. utilizar Matlab solución insertemos el tensor T en Matlab T= [ 3 1 1; 1 0 2; 1 2 0] calculamos el polinomio característico de T utilizando el comando llamado poly p=poly(T) este comando nos entrega los coeficientes del polinomio característico asi: 1.0000 -3.0000 -6.0000 8.0000 escrito algebraicamente seria:

σ 3 −3 σ 2−6 σ +8 como el exponente del polinomio característico es impar n=3 (porque σ 3 ), Matlab nos entregara los coeficientes del polinomio característico, pero con los signos contrarios. cuando calculamos a mano el polinomio característico la respuesta fue −σ 3+3 σ 2+ 6 σ−8 es similar ala respuesta de Matlab, pero de signo contrario. las tensiones principales se hallan determinando las raíces del polinomio característico, para ello utilizamos el comando roots roots(p) las raices que nos entrega matlab son: 4.0000 -2.0000 1.0000 por convención, σ 1 > σ 2> σ 3 , por tanto, σ 1 =4 ,σ 2=1 , y σ 3 =−2 ahora calcularemos las direcciones de las tensiones principales sea el eje x 1 la dirección de σ 1 y n1 ,n 2 y n 3 los cosenos directores de este eje, luego: ¿

(1)

(1)

(1)

(1) (1 ) (1) (1) (t ¿ ¿ 11−σ 1)n(11 )+ ¿ t 12 n(1) 2 +¿ t 13 n3 =0 ¿ t 21 n1 + ¿ ( t 22−σ 1 ) n2 +¿ t 23 n3 =0 (1 ) t 31 n(1) 1 +¿ t 32 n2 + ¿ ( t 33 −σ 1 )=0

remplazando los elementos del tensor T tenemos: (1) (3−4)n(11) +¿(1)n(1) 2 +¿(1) n3 =0 (1)n1(1) +¿(0−4)n (21) +¿( 2)n(1) 3 =0 (1) (1 ) (1) n1 +¿(2) n2 + ¿ ( 0−4 )=0

insertamos el sistema de ecuaciones en matlab uno = [-1 1 1 0; 1 -4 2 0; 1 2 -4 0] resolvemos el sistema de ecuaciones por gauss- jordan en matlab utilizando el comando rref rref(uno) matlab nos entrega la matriz reducida asi: 1

0 -2

0

0

1 -1

0

0

0

0

0

escrito algebraicamente seria:

n(11)−¿ 2 n(13 )=0 (1) n(1) 2 −¿ n3 =0 es decir

n(11)=2 n(13 ) (1) n(1) 2 =n3 2

(1 ) 2

como ( n(11 )) + ( n2

2

) + (n(1) 3 ) =1

por tanto,

n(1) 1 =

2 (1) 1 (1) 1 ; n2 = ; n3 = √6 √6 √6

asociando x 2 con σ 2 ¿

(2) (3−1) n(12)+ ¿(1)n(2) 2 +¿(1)n3 =0 (1)n1(2) +¿(0−1)n (22) +¿(2)n(2) 3 =0 (2 ) (2) ( 1)n1 + ¿(2)n2 +¿ ( 0−1 ) n(2) 3 =0

insertamos el sistema de ecuaciones en matlab dos = [2 1 1 0; 1 -1 2 0; 1 2 -1 0] rref(dos) matlab nos entrega la matriz reducida asi: 1

0

1

0

0

1 -1

0

0

0

0

0

es decir

n(12)=−n(2) 3 (2) (2) n 2 =n3 2

(2) 2

como ( n(12 )) + ( n2

2

) + (n(2) 3 ) =1

por tanto,

n(2) 1 =

−1 (2) 1 (2) 1 ; n2 = ; n3 = √3 √3 √3

asociando x 3 con σ 3 ¿

(3) (3+2) n(13 )+¿ (1) n(3) 2 +¿(1)n3 =0 (1)n1(3) +¿(0+2)n(23) +¿(2) n(3) 3 =0 (3 ) (3) ( 1)n1 + ¿(2)n 2 +¿ ( 0+2 ) n(33 )=0

insertamos el sistema de ecuaciones en matlab tres = [5 1 1 0; 1 2 2 0; 1 2 2 0] rref(tres) matlab nos entrega la matriz reducida asi: 1

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

es decir

n(13)=0 (3) n(3) 2 =−n3 2

2

2

(3) como ( n(13 )) + ( n(3) 2 ) + ( n3 ) =1

por tanto, (3) n(3) 1 =0 ; n 2 =

1 (3) −1 ; n3 = √2 √2

en conclusión ¿

¿

¿

las tensiones principales representadas por los ejes O x1 x 2 x 3 son:

σ 1 =4 ,σ 2=1 , y σ 3 =−2 donde, σ 1 > σ 2> σ 3 por convención ¿

¿

¿

las direcciones de las tensiones principales representadas por los ejes O x1 x 2 x 3 son:

n(1) 1 =

2 (1) 1 (1) 1 ; n2 = ; n3 = √6 √6 √6

n(2) 1 =

−1 (2) 1 (2) 1 ; n2 = ; n3 = √3 √3 √3

(3) n(3) 1 =0 ; n 2 =

1 (3) −1 ; n3 = √2 √2

problema 2 probar que el tensor de transformación [ A ] de los cosenos directores del problema 1 transforma el tensor de esfuerzos original en el tensor de esfuerzos diagonal referido a los ejes principales. solución el tensor de esfuerzos T en un punto P esta dado respecto a los ejes O x1 x 2 x 3

3 1 1 T= 1 0 2 1 2 0

[ ]

el tensor de transformación A esta dado respecto a los ejes O x1 x 2 x 3

2 √6 −1 A= √3

1 √6 1 √3 1 √2

1 √6 1 √3 −1 √2

[ ] [ ] 0

la traspuesta del tensor de transformación A es

2 √6 1 AT = √6 1 √6

−1 0 √3 1 1 √3 √2 1 −1 √3 √2

¿

¿

¿

el tensor de esfuerzos diagonal referido a los ejes principales O x1 x 2 x 3 es:

[ T ] x x x =[ A] x x x [T ]x x x [ AT ] ¿ 1

¿ 2

¿ 3

1

2

3

1

2

3

insertando en tensor T en matlab T= [ 3 1 1; 1 0 2; 1 2 0] insertando el tensor de transformación A en matlab A= [ 2/6^0.5 1/6^0.5 1/6^0.5; -1/3^0.5 1/3^0.5 1/3^0.5; 0 1/2^0.5 -1/2^0.5] calculamos la transpuesta del tensor de transformación A en matlab insertando tra=A' matlab nos entrega la transpuesta asi: 0.8165 -0.5774

0

0.4082 0.5774 0.7071 0.4082 0.5774 -0.7071 si queremos que matlab nos entregue los números en formato racional, ingresamos format rat, si queremos regresar el formato decimal que teníamos anteriormente, ingresamos format short. calculamos el tensor de esfuerzos diagonal referido a los ejes principales [ T ] x matlab:

¿ 1

Tp=A*T*tra matlab nos entrega el tensor de esfuerzos diagonal asi: 4.0000

0

0

-0.0000

1.0000

0

0

0

-2.0000

escribir en un block de notas en matlab los programas.

¿

¿

x2 x3

ingresando en