TENSIONES COMBINADAS+COLUMNAS

TENSIONES COMBINADAS 8.- CARGAS COMBINADAS 8.2 ESTADO DE ESFUERZO POR CARGAS COMBINADAS El principio de superposición puede usarse siempre que exista una relación lineal entre el esfuerzo y las cargas, además el miembro no debe experimentar cambios significativos en su geometría cuando se aplican las cargas. Esto es necesario para garantizar que el esfuerzo generado por una carga no esté relacionado por el esfuerzo generado por cualquier otra carga, El análisis se confinará a los casos en que se cumplan esas dos hipótesis. PROCEDIMIENTO DE ANALISIS El siguiente procedimiento proporciona un medio general para determinar las componentes normal y cortante del esfuerzo en un punto de un miembro cuando este está sometido a varios tipos diferentes de cargas simultáneas. Se supondrá que el material es homogéneo y que se comporta de manera elástica lineal. CARGAS INTERNAS.- Seccione el miembro perpendicularmente a su eje en el punto en el que va determinarse el esfuerzo, debe usarse el diagrama de cuerpo libre necesario y ecuaciones de equilibrio para obtener las componentes resultantes internas de esfuerzo normal y cortante así como las componentes de momento flexionante y torsionante, las componentes de fuerza deben pasar deben pasar por el centroide de la sección transversal y las componentes de momento deben calcularse respecto a ejes centroidales. COMPONENTE DE ESFUERZO.- Calcule la componente de esfuerzo asociada a cada carga interna. En cada caso, represente el efecto, ya sea como una distribución del esfuerzo actuando sobre el área de la sección transversal. FUERZA NORMAL.- La fuerza normal interna es generada por una distribución uniforme del esfuerzo normal determinado por la ecuación FUERZA CORTANTE.- Es generada por una distribución del esfuerzo cortante determinado por la formula

MOMENTO FLEXIONANTE.- Es generado por una distribución del esfuerzo normal que varía linealmente de cero en el eje neutro a un máximo en el límite exterior del miembro. Determinado por la formula , si el miembro es curvo, la distribución del esfuerzo no es lineal y es determinado por MOMENTO TORSIONANTE.- En flechas y tubos circulares el momento es generado por una distribución del esfuerzo cortante que varia linealmente de cero en el eje central de la flecha a un máximo en el límite exterior de la flecha y es determinado por . Si el miembro es un tubo de pared delgada cerrada, use RECIPIENTES A PRESION DE PARED DELGADA.- Si el recipiente es un cilindro de pared delgada, la presión interna ocasionará un estado biaxial de esfuerzo en el material donde la componente

circunferencial del esfuerzo es

, y la componente longitudinal del esfuerzo es

, si el

recipiente es una esfera de pared delgada, entonces el estado biaxial de esfuerzo está representada por dos componentes equivalentes, cada una de magnitud .

EJEMPLO8-2

Se aplica una fuerza de 150 lb a] borde del miembro mostrado en la figura 8-3a. Desprecie el peso del miembro y determine el estado de esfuerzo en los puntos B y C. SOLUCIÓN Cargas internas. El miembro se secciona por B y C. Por equilibrio en la sección se debe tener una fuerza axial de 150 lb actuando a través del centroide y un momento flexionante de 750 lb . pulg respecto al eje centroidal principal, figura 8-3b. Componentes de esfuerzo FUERZANORMAL- La distribución del esfuerzo normal uniforme debido a la fuerza normal se muestra en la figura 8-3c. Por tanto.

MOMENTO FLEXIONANTE. La distribución del esfuerzo normal debido al momento flexionante se muestra en la figura 8-3d. El esfuerzo máximo es:

Superposición. Si las distribuciones de esfuerzo normal anteriores se suman algebraicamente, la distribución resultante del esfuerzo escomo se muestra en la figura 8-3e. Aunque no se requiere aquí, la posición de la línea de esfuerzo cero puede determinarse por triángulos semejantes, esto es.

Los elementos del material en B y C están sometidos sólo a esfuerzo normal o uniaxial, como se muestra en las figuras 8-3fy 8-3g.Por tanto.

EJEMPLO8-3 El tanque en la figura 8-4a tiene un radio interior de 24 pulg y un espesor de 0.5 pulg. Está lleno Y está hecho de acero con hasta el borde superior con agua de peso específico peso específico . Determine el estado de esfuerzo en el punto A. El tanque está abierto en su parte superior.

SOLUCIÓN Cargas internas. El diagrama de cuerpo libre de la sección del tanque y el agua arriba del punto A se muestra en la figura 8-4b. Observe que el peso del agua es soportado por la superficie del agua justo abajo de la sección, no por las paredes del tanque. En la dirección vertical las paredes simplemente sostienen el peso del tanque. Este peso es:

El esfuerzo en la dirección circunferencial es desarrollado por la presión del agua en el nivel A. Para obtener esta presión debemos usar la ley de Pascal que establece que la presión en un punto situado a una profundidad z en el agua es . En consecuencia, la presión sobre el tanque en el nivel A es:

Componentes de esfuerzo ESFUERZO CIRCUNFERENCIAL. Aplicando a la ecuación 8-1 con el radio interior , tenemos:

ESFUERZO LONGITUDINAL. Como el peso del tanque es soportado uniformemente por las paredes, tenemos:

Note que la ecuación 8-2, no es aplicable aquí, ya que el tanque está abierto en su parte superior y por tanto, como se dijo antes, el agua no puede desarrollar una carga sobre las paredes en la dirección longitudinal. El punto A está sometido entonces al esfuerzo biaxial mostrado en la figura 8-4c.

EJEMPLO 8-4 El miembro mostrado en la figura 8-5a tiene una sección transversal rectangular. Determine el estado de esfuerzo que la carga produce en el punto C.

SOLUCIÓN Cargas internas. . Las reacciones en los soportes sobre el miembro ya se calcularon y se muestran en la figura 8-5b. Si se considera el segmento AC izquierdo del miembro, figura 8-5c, las cargas resultantes internas en el miembro consisten en una fuerza normal, una fuerza cortante y un momento flexionante. Resolviendo se obtiene N =16.45kN V =21.93kN M =32.89kN.m

Componentes de esfuerzo FUERZA NORMAL. La fuerza es producida por una distribución uniforme del esfuerzo normal actuando sobre la sección transversal. En el punto C, figura 8-5d, tiene una magnitud de:

FUERZA CORTANTE.- En este caso, A' = O, ya que e1 punto C está situado en la parte superior del miembro, figura 8-Se, el esfuerzo cortante:

MOMENTO FLEXIONANTE. El punto C está localizado en y = C =125 mm desde el eje neutro, por lo que el esfuerzo normal en C, figura 8-5f es:

Superposición. El esfuerzo cortante es cero. Sumando los esfuerzos normales determinados antes, se obtiene un esfuerzo de compresión en C que tiene un valor de:

EJEMPLO8-6 El bloque rectangular de peso despreciable mostrado en la figura 8-7 a, está sometido a una fuerza vertical de 40 KN, aplicada en una de sus esquinas. Determine la distribución del esfuerzo normal que actúa sobre una sección a través de ABCD.

SOLUCIÓN Cargas internas. Si consideramos el equilibrio del segmento inferior del bloque, figura 8-7b, se ve que la fuerza de 40 KN debe pasar por el centroide de la sección transversal y deben actuar también dos componentes de momento flexionante respecto a los ejes centroidales principales de inercia de la sección. Componente de esfuerzo FUERZANORMAL. La distribución uniforme del esfuerzo normal se muestra en la figura 8-7c. Tenemos:

MOMENTOS FLEXIONANTES. La distribución del esfuerzo normal por el momento de 8KN.m se muestra en la figura 8-7d. El esfuerzo máximo es.

De la misma manera, para el momento de 16kN.m, fig 8-7e, el esfuerzo normal máximo es:

Superposición. El esfuerzo normal en cada esquina puede determinarse por adición algebraica. Suponiendo que el esfuerzo de tensión es positivo, tenemos

Como las distribuciones de esfuerzo debido al momento flexionante son lineales, la distribución resultante del esfuerzo es también lineal y por lo tanto se ve como se muestra en la figura 8-7f. La línea de esfuerzo cero puede localizarse a lo largo de cada lado por triángulos semejantes. De acuerdo con la figura, se requiere:

EJEMPLO 8-7 Un bloque rectangular tiene un peso despreciable y está sometido a una fuerza P vertical, figura 88a. (a) Determine el intervalo de valores para la excentricidad e, de la carga a lo largo del eje y de manera que no se presente ningún esfuerzo de tensión en el bloque.

SOLUCIÓN Parte (a). Cuando P se mueve al centroide de la sección transversal, figura 8-8b, es necesario agregar un momento concentrado para mantener una carga estáticamente equivalente. El esfuerzo normal combinado en cualquier posición +/- y sobre la sección transversal, causado por esas dos cargas, es:

El signo negativo indica aquí un esfuerzo de compresión. Para una positiva, figura 8-8a, el esfuerzo de compresión más pequeño se presenta a lo largo del borde AB, donde y = -hI2, figura 88b. (Por inspección, P genera compresión en tal lugar, pero Mx genera tensión.) Por tanto,

Este esfuerzo será negativo, es decir, de compresión, si el término en paréntesis es positivo; esto es,

Como

, entonces

9.- TRANSFORMACIÓN DEL ESFUERZO 9.1 TRANSFORMACIÓN DEL ESFUERZO PLANO

El estado de esfuerzo en un punto está caracterizado por seis componentes independientes de esfuerzo normal y cortante, las cuales actúan sobre las caras de un elemento de material localizado en el punto, figura9-1a. En consecuencia, las componentes de esfuerzo correspondientes en la cara opuesta también serán cero, y de este modo el material en dicho punto se encontrará sometido a esfuerzo plano. El estado general de esfuerzo plano en un punto está por tanto representado por una combinación de dos componentes de esfuerzo normal, y una componente de esfuerzo cortante, que actúan en cuatro caras del elemento como se muestra en la figura 9-1b. En otras palabras, el estado de esfuerzo plano en un punto está representado en forma única por tres componentes que actúan sobre un elemento que tiene una orientación específica en el punto.

EJEMPLO9-1 Una fuerza axial de 600 N actúa sobre la barra de acero mostrada en la figura 9-3a. Determine las componentes del esfuerzo que actúan sobre un plano definido por la sección a-a.

SOLUCIÓN Dado que la fuerza se aplica a través del centroide de la sección transversal, la barra está sometida sólo a un esfuerzo norma] a lo largo de la sección b-b. Este esfuerzo es:

Para determinar las componentes del esfuerzo a lo largo de a-a, el elemento se secciona como se muestra en la figura 9-3b. Si suponemos que la cara inclinada del segmento tiene un área AA,

entonces, como se muestra en la figura 9-3c, las caras horizontal y vertical tendrán áreas y , respectivamente. Usando estas áreas, el diagrama de cuerpo libre del de segmento se muestra en la figura 9-3d. Note que la fuerza sobre la cara +x es:

Podemos obtener una solución directa para las dos fuerzas desconocidas ecuaciones de equilibrio a lo largo de los ejes x’ e y’

aplicando las

El esfuerzo normal sobre la sección a-a, es entonces:

Y el esfuerzo cortante en la sección es:

EJEMPLO 9-2 El estado de esfuerzo plano en un punto sobre el fuselaje de un avión está representado sobre el elemento orientado como se muestra en la figura 9-4a. Represente el estado de esfuerzo en el punto sobre otro elemento que esté orientado a 30° en sentido horario respecto a la posición mostrada.

SOLUCIÓN El elemento es seccionado por la línea a-a en la figura 9-4a, el segmento inferior se aísla y suponiendo que en el plano seccionado (inclinado) tiene un área , los planos horizontal y vertical tienen las áreas mostradas en la figura 9-4b. El diagrama de cuerpo libre del Segmento se muestra en la figura 9-4c. Aplicando las ecuaciones de equilibrio de fuerzas en las direcciones x' y y' con el fin de evitar una solución simultánea de las dos incógnitas , tenemos:

Las componentes normal y cortante del esfuerzo que actúan sobre la cara inclinada a lo largo de la sección a-a son entonces:

Ahora debemos repetir el procedimiento para obtener el esfuerzo sobre el plano perpendicular b-b. Seccionando el elemento en la figura 9-4a en la dirección de b-b, obtenemos un segmento que tiene lados cuyas áreas se muestran en la figura 9-4e. El diagrama de cuerpo libre asociado se muestra en la figura 9-4f Así,

De estos resultados, note que actúa en sentido opuesto al mostrado en la figura 9-4f. Las componentes del esfuerzo son entonces:

9.2 ECUACIONES GENERALES DE LA TRANSFORMACIÓN DEL ESFUERZO PLANO 9.4 CÍRCULO DE MOHR PARA ESFUERZO PLANO Este procedimiento nos permitirá "visualizar" cómo varían las componentes de esfuerzo normal y cortante conforme el plano en que actúan se orienta en diferentes direcciones. Las ecuaciones pueden escribirse en la forma: 9.9

9.10 El parámetro resultado es:

puede eliminarse elevando al cuadrado cada ecuación y sumando las ecuaciones. El

son constantes conocidas. La ecuación anterior puede Para un problema específico, entonces escribirse en forma más compacta como: 9.11 Donde

9.12

Si establecemos ejes coordenados con positivo hacia la derecha y positivo hacia abajo y luego trazamos la ecuación 9-11, veremos que esta ecuación representa un círculo de radio R y centro sobre el eje el punto C( ,O), como se muestra en la figura. Este círculo se llama círculo de Mohr.

Componentes de esfuerzo sobre un plano arbitrario. Como un enunciado general, las componentes normal y cortante del esfuerzo, que actúan sobre cualquier plano especificado definido por el eje x' y orientado según un ángulo respecto al eje x

PROCEDIMIENTO DE ANALISIS Construcción del Círculo.- establezca un sistema de coordenadas de modo que la abscisa represente al esfuerzo normal , positivo hacia la derecha y la ordenada represente al esfuerzo cortante positivo hacia abajo. Marque el centro del circulo C, el cual se localiza sobre el eje a una distancia de origen, marque también el punto A de referencia de coordenadas son A( , , este punto representa las componentes normal y cortante del esfuerzo en la cara vertical derecha del elemento.

EJEMPLO 9-7 El estado de esfuerzo plano en un punto se muestra sobre el elemento en la figura 9-19a. Determine también los esfuerzos principales y la orientación del elemento en el punto. Determine también los esfuerzos cortantes máximos en el plano y la orientación del elemento sobre el que actúan.

SOLUCIÓN Construcción del círculo. De los datos del problema.

Los ejes y se muestran en la figura 9-19b. Advierta que el eje positivo debe estar dirigido hacia abajo, de manera que rotaciones alrededor del círculo correspondan a rotaciones del elemento en la misma dirección. El centro C del círculo está sobre el eje , en el punto: = Las componentes del esfuerzo sobre la cara derecha del elemento son las coordenadas del punto A de referencia (-20,60), 0= 0°, figura 9-19b. Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo sombreado para determinar el radio CA del círculo, tenemos:

Esfuerzos principales Los esfuerzos principales están representa representados por los puntos B y D en la figura9-19b. Note que , como se requiere. Las coordenadas de esos puntos son:

EJEMPLO 9-8 Debido a la carga aplicada, el elemento en el punto A sobre el cilindro sólido en la figura 9-20a está sometido al estado de esfuerzo mostrado. Determine los esfuerzos principales que actúan en este punto.

SOLUCIÓN Construcción del círculo. De la cara derecha del elemento,

El centro del círculo está en: = El punto inicial A(-12, -6) Y el centro C(-6, O) están marcados en la figura 9-20b. El círculo se construye con un radio de:

Esfuerzos principales. Los esfuerzos principales están indicados por las coordenadas de los puntos B y D.

La orientación del elemento se determina calculando el ángulo anti horario 2 en la figura 9-20b, que define la dirección de y su plano principal asociado. Tenemos:

EJEMPLO 9-9

El estado de esfuerzo plano en un punto se muestra sobre el elemento en la figura 9-21a. Represente este estado de esfuerzo sobre un elemento orientado a 30' en: sentido anti horario respecto a la posición mostrada. SOLUCIÓN Construcción del círculo. De los datos del problema,

Los ejes

y se muestran en la figura 9-21b. El centro C del círculo está sobre el eje

El punto inicial para radio CA es:

en:

tiene coordenadas A(-8,-6). Por tanto, del triangulo sombreado, el

* 9-72 ejercicio Determine (a) los esfuerzos principales y (b) el esfuerzo cortante máximo en el plano y el esfuerzo normal promedio. Especifique la orientación del elemento en cada caso.

EJERCICIO 9.67 Determine el estado de esfuerzo equivalente en un elemento orientado 60' en sentido antihorario respecto al elemento mostrado.

SOLUCION

EJERCICIO 9.69 Determine el estado de esfuerzo equivalente en un elemento orientado 25° en sentido antihorario respecto al elemento mostrado.

10 TRANSFORMACIÓN DE LA DEFORMACION UNITARIA 10.1 DEFORMACIÓN UNITARIA PLANA El estado general de deformación unitaria en un punto de un cuerpo está representado por una combinación de tres componentes de deformación normal x, y, z, Y componentes de deformación cortante xy, xz, yz.Estas seis componentes tienden a deformar cada una de las caras de un elemento del material, y al igual que el esfuerzo, las componentes de las deformaciones normal y cortante en el punto variarán de acuerdo con la orientación del elemento.

10.2 ECUACIONES GENERALES DE LA TRANSFORMACIÓN DE LADEFORMACIÓN UNITARIA PLANA En el análisis de la deformación unitaria plana es importante que se establezcan las ecuaciones de transformación que puedan utilizarse para determinar las componentes x’, y' de la deformación normal y cortante en un punto, siempre que se conozcan las componentes x, y de la deformación. En esencia, este problema es de geometría y requiere que se relacionen las deformaciones y las rotaciones de segmentos de líneas diferenciales, los cuales representan los lados de elementos diferenciales paralelos a cada uno de los conjuntos de ejes.

Deformaciones normales y de cortante. Con objeto de desarrollo la ecuación de transformación de la deformación para determinar x, primero hay que determinar el alargamiento de un segmento de línea d situado a lo largo del eje x' sometido a las componentes de deformación x, y, xy.Tal como se muestra en la figura

Deformaciones principales. Al igual que el esfuerzo, la orientación de un elemento en un punto se puede determinar de tal modo que la deformación del elemento quede representada por deformaciones normales, sin ninguna deformación cortante. Cuando esto ocurre las de formaciones normales se denominan deformaciones principales, y si el material es isótropo, los ejes a lo largo de los cuales se presentan estas deformaciones coinciden con los ejes que definen los planos de esfuerzo principal. Y la correspondencia entre el esfuerzo y la deformación antes mencionada, la dirección de los ejes y los dos valores de las deformaciones principales 1, 2, se determinan como sigue:

Y

Deformación unitaria cortante máxima en el plano. Si se lleva la analogía esfuerzo-deformación más lejos, los ejes a lo largo de los cuáles se presenta la deformación unitaria cortante máxima en el plano se encuentran a 45° de los que definen las deformaciones principales. Usando la ecuación, pueden encontrarse la expresión:

Por analogía con las ecuaciones, la deformación cortante unitaria máxima en el plano y la deformación normal promedio asociada se determinan con las siguientes ecuaciones:

EJEMPLO 10-1 Un elemento diferencial de material en un punto está sometido a un estado plano de deformación = 200(E-6), que tiende a deformar el elemento como se unitaria, = 500(E-6), = -300(E-6), muestra en la figura 10-6a. Determine las Deformaciones unitarias equivalentes que actúan sobre un elemento orientado en el punto, 30° en sentido horario respecto a la posición original. Usaremos las ecuaciones de transformación de deformaciones unitarias para resolver el problema. Como es positivo en sentido anti horario, entonces para este problema = -30, Tenemos:

La deformación unitaria en la dirección y' se obtiene con la ecuación con = -30°. Sin embargo, podemos también obtener usando la ecuación con = 60° ( = -30° + 90°), figura Tenemos para al reemplazar

Estos resultados tienden a deformar el elemento como se muestra en la figura

EJEMPLO10-2 Un elemento diferencial de material en un punto está sometido a Un estado de deformación plana definida por = -350 = 200 )Y = 80 ), que tiende a distorsionar al elemento como se muestra en la figura. Determine en el punto la orientación de un elemento y las deformaciones unitarias principales asociadas, así como la orientación de un elemento y la deformación unitaria cortante máxima en el plano.

SOLUCIÓN Deformaciones unitarias principales. La orientación de los planos principales de deformación unitaria se determina con la ecuación, Tenemos:

Entonces Por lo que

Cada uno de esos ángulos se miden como positivos en sentido antihorario desde el eje x hacia las normales hacia afuera de cada cara, del elemento, figura Las deformaciones unitarias principales se determinan con la ecuación. Tenemos:

Podemos determinar cuál de esas dos deformaciones deforma al elemento en la dirección x', aplicando la ecuación con = -4.14 . Entonces,

EJERCICIO 10.2 El estado de deformación en el punto sobre la ménsula tiene las siguientes componentes: por 200 = 650 )Y = -175 ). Use las ecuaciones de transformación de deformaciones para determinar las deformadores en el plano equivalentes sobre un elemento orientado según un ángulo = 20°en sentido antihorario desde la posición original. Esboce el elemento alterado debido a esas deformaciones dentro del plano x-y.

=-

EJERCICIO 10-5 = El estado de deformación en el punto sobre la ménsula tiene las siguientes componentes: 400 = -250 )Y = 310 ).Use las ecuaciones de transformación de deformaciones para determinar las deformaciones en el plano equivalentes sobre un elemento orientado según un ángulo = 30° en sentido horario desde la posición original. Esboce el elemento alterado debido a esas deformaciones dentro del plano x-y.

EJERCICIO *10-12 Un medidor de deformaciones se monta sobre la flecha de acero A-36 del pulg de diámetro, tal como se muestra. Cuando la flecha está girando con velocidad angular 'o = 1760 rev/min, usando un anillo deslizante la lectura en el medidor es E = 800(10-6). Determine la potencia de salida del motor. Suponga que la flecha está sometida sólo a un par de torsión.

T = 332.5 lb.ft P = 61.3Lb.ft/s = 111 hp

EJERCICIO 10-53 Los esfuerzos principales en un punto se muestran en la figura. Si el material es aluminio para el cual Eal = 10( ) ksi y val = 0.33, determine las deformaciones unitarias principales.

PANDEO DE COLUMNAS 13.1 CARGA CRÍTICA Siempre que se diseña un miembro, es necesario que se satisfagan requisitos específicos de resistencia, deflexión y estabilidad. Algunos miembros, sin embargo, pueden someterse a cargas de compresión, y si estos miembros son largos y esbeltos la carga puede ser suficientemente grande como para ocasionar que se deflexionen lateralmente. Para ser específicos, los miembros largos sometidos a una fuerza de compresión axial se llaman columnas, y la deflexión lateral que sufren se llama pandeo. Cualquier carga adicional ocasionará que la columna se pandee y, por consiguiente, se reflexione lateralmente como se muestra en la figura Para entender mejor la naturaleza de esta inestabilidad, considérese un mecanismo de dos barras sin peso, rígidas y conectadas en sus extremos, por medio de pasadores. Cuando las barras están en posición vertical, el resorte, de rigidez k, no está estirado, y se aplica una pequeña fuerza vertical P en la parte superior de una de las barras. Esta posición de equilibrio puede ser perturbada desplazando el pasador en A una pequeña distancia, Tal como se muestra en el diagrama de cuerpo libre del pasador, el resorte generará una fuerza restauradora F = kx

Si la fuerza restauradora es mayor que la perturbadora, es decir, en cuenta que se elimina, puede resolverse para P, y obtenemos:

entonces, teniendo

Ésta es una condición de equilibrio estable, puesto que la fuerza desarrollada por el resorte sería o adecuada para llevar a las barras de nuevo a su posición vertical. Por otra parte, si

Entonces el mecanismo estaría en equilibrio inestable. En otras palabras, si se aplica esta carga P y se presenta un ligero desplazamiento en A. El valor intermedio de P, definido por

, es la carga crítica. En este caso:

Esta carga representa un caso del mecanismo en equilibrio neutro. Como Pcr es independiente del desplazamiento (pequeño) de las barras, cualquier perturbación ligera del mecanismo no lo hará perder el equilibrio, ni lo llevará a su posición original, sino que las barras permanecerán en su posición deflexionada.

13.2 COLUMNAIDEALCONSOPORTE DE PASADOR O ARTICULADOS

Se determinará la carga de pandeo crítica en una columna articulada en sus extremos, tal como se muestra en la figura, La columna a considerarse es una columna ideal, es decir una columna perfectamente recta antes de cargarla, de material homogéneo y en la cual la carga se aplica a través del centroide de la sección transversal de la columna. Además, se supone que el material se comporta de manera elástico-lineal y que la columna se pandea o flexiona en un solo plano. En realidad, las condiciones de columna recta y aplicación de carga nunca se cumplen; no obstante, el análisis que se realizará en una "columna ideal" es similar al usado para analizar columnas inicialmente combadas o aquellas en las que la carga se aplican excéntricamente. Estos casos más realistas se describirán más adelante en este mismo capítulo. Como una columna ideal es recta, teóricamente la fuerza axial P podría ser incrementada hasta que ocurra la falla, sea por fractura o por fluencia del material. Sin embargo, cuando se alcanza la carga crítica Pcr, la columna está a punto de volverse inestable, de manera que una pequeña fuerza lateral F.

El que la columna permanezca o no estable o que se vuelva inestable cuando se somete a una carga axial dependerá de su capacidad de recuperarse, la cual se basa en su resistencia a la flexión. Por consiguiente, para determinar la carga crítica y la forma pandeada de la columna, se aplicará la ecuación

Esta ecuación supone que la pendiente de la curva elástica es pequeña y que las deflexiones ocurren sólo por flexión. Cuando la columna está en su posición deflexionada, el momento flexionante interno puede determinarse por medio del método de las secciones. En éste, tanto la deflexión v como .el momento interno M se muestran en la dirección positiva de acuerdo con la convención de signos usada para establecer la ecuación. Si se suman los momentos, el momento interno es M = Pv. Por tanto, la ecuación se transforma en:

Ésta es una ecuación diferencial de segundo grado homogénea con coeficientes constantes. Mediante los métodos de las ecuaciones diferenciales o por sustitución directa

Las dos constantes de integración se determinan a partir de las condiciones de frontera en los extremos de la columna. Como v = O en x = O, entonces C2 = O. Como v = O en x = L, entonces:

La cual se satisface cuando

El valor mínimo de P se obtiene cuando n = 1, de modo que la carga crítica para la columna es, por consiguiente,

También es importante tener en cuenta que una columna se pandeará respecto al eje principal de la sección transversal de menor momento de inercia (el eje más débil). Resumiendo el análisis anterior, la ecuación de pandeo para una columna soportada por pasadores (articulada en sus extremos) puede re escribirse y los términos definirse como sigue:

Donde Pcr = carga axial máxima o crítica sobre la columna justamente antes de que empiece a pandearse. Esta carga no debe ocasionar que los esfuerzos en la columna excedan el límite proporcional E = módulo de elasticidad del material I = menor momento de inercia de la sección transversal de la columna L =longitud no soportada de la columna, cuyos extremos están articulados Para fines de diseño, la ecuación puede también escribirse en una forma más útil sustituyendo I = Ar2, donde A es el área de la sección transversal y r es el radio de giro de la sección transversal. Por tanto,

EJEMPLO 13-1 Un tubo de acero A-36 de 24 pies de longitud con la sección transversal mostrada en la figura , va a usarse como columna articulada en sus extremos, Determine la carga máxima axial que la columna puede soportar sin pandearse,

SOLUCIÓN Usando la ecuación para obtener la carga crítica con Eac, = 29(

) ksi, obtenemos:

Esta fuerza genera un esfuerzo de compresión promedio en la columna de:

Como

<

= 36ksi, la aplicación de la ecuación de Euler es apropiada.

EJEMPLO 13-2 El perfil W 8 X 31 de acero A-36 mostrado en la figura se va a usar como columna articulada en sus extremos, Determine la carga axial máxima que podrá soportar antes de pandearse o de que el, acero fluya.

SOLUCIÓN De la tabla en el apéndice B, el área transversal y los momentos de inercia para la columna son: A = 9.13 pulg2, Ix = 110 pulg4 e Iy = 37.1 pulg4 Por inspección, el pandeo ocurrirá respecto al eje y-y¿Por qué? Aplicando la ecuación 13-5, tenemos:

Cuando está totalmente cargada, el esfuerzo de compresión promedio en la columna es:

Como este esfuerzo es mayor que el esfuerzo de fluencia (36 ksi), la carga P se determina por compresión simple, esto es:

13.3 COLUMNAS CON VARIOS TIPOS DE SOPORTE La carga de Euler para una columna articulada en sus extremos. Sin embargo, a menudo las columnas pueden estar soportadas de otra manera. De acuerdo con el diagrama de cuerpo libre en la figura 13-11b, el momento interno en una sección arbitraria es M = P(o - v). En consecuencia, la ecuación diferencial para la curva de deflexión es:

Esta ecuación no es homogénea debido al término no nulo en el lado derecho. La solución consiste en una solución complementaria y en una particular, es decir:

Las constantes se determinan a partir de las condiciones de frontera. En x = O, v = O, por lo que C2 = . Además.

En x = 0,

= 0, por lo que C1 = 0. La curva de deflexión es entonces:

Como la deflexión en la parte superior de la columna es , esto es, en x = L, v = , se requiere

La solución trivial = 0, indica que no ocurre el pandeo, independientemente de la magnitud de la carga P. En cambio,

Por comparación, se ve que una columna empotrada en su base soportará sólo una cuarta parte deja carga crítica que se puede aplicar a una columna con extremos articulados. Longitud efectiva. La fórmula de Euler, se desarrolló para el caso de una columna con extremos articulados, es decir, con libertad para girar. En otras palabras, L en la ecuación representa la distancia no soportada entre los puntos de momento cero. Si la columna está soportada de otra manera, la fórmula de Euler puede usarse para determinar la carga crítica siempre que "L" represente la distancia entre los puntos de momento cero. Esta distancia se llama longitud efectiva Le.

En vez de especificar la longitud efectiva de la columna, muchos códigos de diseño proporcionan fórmulas que emplean un coeficiente a dimensional K llamado factor de longitud efectiva. K se define como: Le = KL Con base en esta generalización, podemos escribir la fórmula de Euler como:

Aquí,

es la relación de esbeltez efectiva de la columna.

EJEMPLO13-3 Una columna W 6 x 15 de acero tiene 24 pies de longitud y está empotrada en sus extremos como se muestra en la figura 13-13a. Su capacidad de carga se incrementa arriostrándola respecto al eje (débil) y-y por medio de puntales que pueden considerarse conectados por pasadores a la mitad de la altura de la columna. Determine la carga que puede soportar la columna sin pandearse y sin que y el material exceda el esfuerzo de fluencia, Considere

SOLUCIÓN El comportamiento por pandeo de la columna será diferente con respecto al eje x que respecto al eje y debido al arriostra miento, La forma pandeada en cada caso se muestra en las figuras, Según la figura, la longitud efectiva respecto al eje x-x es (KL)x = 0.5(24 pies) = 12 pies =144 pulg y según la figura, la longitud efectiva respecto al eje y-y es (KL)y = 0.7(24 pies/2) = 8.40 pies = 100.8 pulg. Los momentos de inercia de la W 6 X15, Ix = 29.1 pulg4 e Iy = 9.32 pulg4, Aplicando la ecuación, tenemos:

Por comparación, el pandeo ocurrirá respecto al eje y-y. El área de la sección transversal es de 4.43 pulg2, por lo que el esfuerzo promedio de compresión en la columna es:

Como este esfuerzo es menor que el esfuerzo de fluencia, el pandeo se presentará antes de que el =263 kip. material fluya. Así, EJEMPLO 13-4

La columna de aluminio está empotrada en su base y está arriostrada en su parte superior por medio de cables que impiden el movimiento del extremo a lo largo del eje x, figura Determine la carga P permisible más grande que puede aplicársele. Use un factor de seguridad FS, por pandeo de 3.0. Considere y , A = 7.5(10-3) m2, Ix= 61.3(1O-6)m4 e Iy = 3.2(10-6) m4. SOLUCIÓN El pandeo respecto a los ejes x y y se muestra en las figura, respectivamente. Para el pandeo respecto al eje x-x, K = 2, por lo que (KL)x = 2(5 m) = 10 m. Para el pandeo respecto al eje y-y, K = 0.7, por lo que (KL)y = 0.7(5m) = 3.5 m.

Por comparación, el pandeo respecto al eje x-x ocurrirá primero. La carga permisible es entonces:

Como

La ecuación de Euler es aplicable.

*13.4 LA FÓRMULA DE LA SECANTE La fórmula de Euler se obtuvo con base en las hipótesis de que la carga p siempre se aplica a través del centroide de la sección transversal de la columna y de que ésta es perfectamente recta. Esto, de hecho, es bastante irreal, puesto que las columnas fabricadas nunca son perfectamente rectas, ni se conoce con exactitud la posición de la carga aplicada. Por tanto, en realidad las columnas nunca se pandean repentinamente, sino que comienzan a flexionarse, si bien de modo ligero, inmediatamente después de la aplicación de la carga. En consecuencia, el criterio con respecto a la aplicación de la carga se limitará a una deflexión especificada de la columna o a no permitir que el esfuerzo máximo en la columna exceda un esfuerzo permisible. Del diagrama de cuerpo libre de la sección arbitraria, el momento interno en la columna es:

La ecuación diferencial para la curva de deflexión es, por tanto,

PROBLEMA 13-1

Determine la carga crítica de pandeo para la columna. Puede suponerse que el material es rígido

EJERCICIO 13-2 La columna consiste en un miembro rígido articulado en su base y que está unido a un resorte en su parte superior. Si el resorte no está estirado cuando la columna está en posición vertical, Determine la carga crítica que puede soportar la columna.

P=kL cos cos =1 Entonces: P=kL PROBLEMA 13-5

Una barra de sección transversal cuadrada hecha de plástico PVC tiene un módulo de elasticidad E =1.25 (106) psi y una deformación unitaria dc fluencia Ey= 0.001 pulg/pulg. Determine la dimensión a de su sección transversal de manera que la barra no falle por pandeo elástico. Considere que sus extremos están articulados y que su longitud es de 50 pulg.

a = 1.74 pulg

PROBLEMA *13-8 Una columna de acero A-36 tiene una longitud de 5m y está empotrada en ambos extremos. Si la sección transversal tiene las dimensiones mostradas, determine la carga crítica.

PROBLEMA*13-16 La columna hecha con un perfil W 12 X 87 de acero A-36 tiene una longitud de 12 pies; su base está empotrada y su parte superior libre. Determine el factor de seguridad con respecto al pandeo de la columna cuando ésta está sometida a una carga axial P = 380 KIP

Comprobando si cumple: