Temi d'esame Fondamenti di meccanica teorica e applicata

Fondamenti di Meccanica Seconda prova in itinere - 06 febbraio 2004 Es. 1) Il sistema articolato riportato in figura 1, disposto nel piano verticale, è risolto, dal punto di vista cinematico, con l’equazione di chiusura riportata in figura 2.

B

A

B

A

F

b O

Cm

M

C

a O

e

D

c d D

Fig. 1

Fig. 2

Ipotizzando che il baricentro del corsoio coincida con il punto C, determinare: 1. La coppia Cm applicata alla manovella per garantire la condizione assegnata di moto, in assenza di attrito radente tra corsoio e telaio; 2. La coppia Cm applicata alla manovella per garantire la condizione assegnata di moto, in presenza di attrito radente tra corsoio e telaio; 3. Le reazioni vincolari nella cerniera A nella condizione dinamica del punto 2.

2 m 3 b = 2.0 m

a=

c = 0.5 m d = 0.5 m e = 2.4 m M = 10 kg F = 100 N fd = 0.3

3 =0 7 = 4 =

4

0.5 rad/s2

1 rad/s

=

0.44 rad/s2

0.56 rad/s d

1.0 m/s

d

1.96 m/s2

C

Es. 2) v

Mv

Mc

Rv, Jrv

A G Rc, Jrc

Hc

G Hv

h

a Lc

L

d

Un'autovettura procede con velocità ed accelerazione note trainando un carrello. Si chiede di determinare, in presenza di attrito volvente e di resistenza aerodinamica agente sulla vettura e sul carrello: 1. il momento motore Mm a regime; 2. l'accelerazione della vettura nel caso in cui la coppia erogata dal motore sia tre volte quella calcolata al punto precedente; 3. le reazioni vincolari in A nella condizione di moto del punto 2. 4. eseguire la verifica di aderenza nella condizione di moto del punto 2, sapendo che la trazione è posteriore. Dati inerziali: Mv = 1040 kg Mc = 250 kg Jm = 0.28 kg m2

Jrc = 0.05 kg m2 (per ruota) Jrv = 0.08 kg m2 (per ruota)

Dati geometrici:

Hc = 0.3 m a = 1.15 m Hv = 0.55 m L = 2.35 m h = 0.35 m Lc = 1.5 m Rc = 0.25 m d = 0.5 m Rv = 0.25 m considerare la distanza orizzontale del baricentro del carrello dal punto di traino A uguale ad Lc = 1.5 m

Dati aerodinamici:

Crv = 0.38 Crc = 0.2 = 1.25 kg/m3 Sc = 0.6 m2 Sv = 1.65 m2 considerare il centro delle pressioni del veicolo e del carrello alla stessa quota dei rispettivi baricentri

Dati generali:

fv = 0.013 fa = 1.3 v = 25 m/s

= 0.2193 p = 0.9

p

= 1.27 c = 0.97

c

Cambio Motore

Differenziale

P,

P

C,

C

Ruote motrici

Jm

Corso di Fondamenti di Meccanica - Allievi MECC. II Anno N.O. II prova in itinere del 02/02/2005. ESERCIZIO Del sistema rappresentato in figura sono note geometria, masse e curva caratteristica del motore.

Jm

r

M

, d,

J1, R1

T

E

F

A

Cm

Cr

45 v,a

Cm0

J3, R3, m 3

D

B H J2, R2, m 2

C

10

m ms

Dati: m3=30 kg

R3=0.5 m

J3=4.125 kgm2

J1=J2=1 kgm2

R1=R2=0.3 m

m2=10 kg

Cr=50 Nm

Jm=2 kgm2

=10° = r =0.9 fv=0.02 d

Cm0=34 Nm

=1/3 fa=0.5 ms =200

rad/s

Determinare: 1. coppia motrice a regime con il disco 3 in discesa (verso di a, v assegnati) 2. velocità angolare del motore a regime 3. accelerazione allo spunto del disco 3 in discesa 4. tiri nelle funi nei rami AB e CD nelle condizioni di moto del punto 3 5. reazioni vincolari delle cerniere in E e F nelle condizioni di moto del punto 3 6. verifica di aderenza in H nelle condizioni di moto del punto 3

fv, fa

Cognome, nome, matricola e firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Corso di Fondamenti di Meccanica - Allievi MECC. II Anno N.O. II prova in itinere del 2 febbraio 2005. Meccanica Razionale: domanda di teoria Si enunci l’equazione simbolica della statica e si ricavi a partire da essa l’espressione delle Qk (componenti della sollecitazione attiva secondo le coordinate libere qk ) per un sistema olonomo.

Cognome, nome, matricola e firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Corso di Fondamenti di Meccanica - Allievi MECC. II Anno N.O. II prova in itinere del 2 febbraio 2005. Meccanica Razionale: esercizio Il sistema di figura `e posto in un piano O verticale. L’asta OA `e incernierata a terra α nell’estremo O. L’asta AB `e collegata alla m, l prima asta con una cerniera mobile nell’estremo A. Entrambe le aste hanno massa A C1 m e lunghezza l. Sull’asta OA agisce una m, l coppia di momento C1 . β 1. Si scrivano le equazioni di Lagrange m, l B per il sistema. 2. Si determini la coppia C1 (funzione del tempo) in modo che le velocit`a angolari delle aste α˙ e β˙ siano costanti nel tempo e con α = 2β. 3. In tale situazione determinare la velocit`a angolare α˙ dell’asta OA. PSfrag replacements

Fondamenti di meccanica teorica ed applicata Prova in itinere 16/02/2005 Dell’autoveicolo di figura sono note dimensioni geometriche e caratteristiche inerziali: p1

1m

p2

1.5 m

distanza del baricentro dall’asse anteriore del veicolo; distanza del baricentro dall’asse posteriore del veicolo; altezza del baricentro rispetto al suolo; altezza rispetto al suolo del centro delle pressioni; raggio di rotolamento delle ruote; massa veicolo; momento d’inerzia di una singola ruota; sezione maestra del veicolo; coefficiente di resistenza aerodinamica;

h 0.6 m H 0.8 m R 0.25 m M = 800 kg JR= 0.5 kgm2 S = 2 m2 C X 0.40

H

v

h

h

J R JR = 10°

M M, G R

G

R

p2

H

P1

p1 P2

=10°

Sono inoltre noti i dati relativi alla linea di trasmissione: Jm=0.2 kgm2 momento d’inerzia masse rotanti lato motore; = 0.5 rapporto al ponte; p rendimento del differenziale; p = 0.85 ( marcia ) = 0.8 rapporto di trasmissione degli ingranaggi del cambio; C C C

C

(marcia ) = 0.95 rendimento della trasmissione;

Sez. A-A Differenziale

P,

Ruote motrici

C,

P

C

Jm Motore

Cambio

Si chiede di determinare: 1) coppia motrice Cm a regime per garantire una velocità v = 30 [m/s]; 2) accelerazione a con Cm’= 2*Cm di regime (punto 1) alla stessa velocità v di avanzamento; 3) verificare l’aderenza del punto 2; 4) coppia all’albero in corrispondenza della sezione A-A; 5) accelerazione a con Cm’’= - C * (sempre alla medesima v);

Corso di Fondamenti di Meccanica - Allievi MECC. II Anno Recupero I del 16 febbraio 2005 ESERCIZIO Del sistema articolato, posto nel piano verticale, rappresentato in figura sono completamente note le caratteristiche geometriche ed inerziali

Cm

JA, L, m

A

Cr

3L

P

/6 O

/4

R B JD, R, M

H Dati: L=0.2 m fv=0.01 2

JD=0.05 kgm

R=0.1 m

P=400 N

fa=0.5

M=10 kg

m=2 kg

JA=0.1 kgm2

Cr=10 Nm Considerando la velocità angolare della asta OA costante e = determinare: 1. 2. 3. 4.

La velocità e l’accelerazione del punto B Velocità ed accelerazione angolare del disco di centro B La coppia motrice in assenza di attrito Reazioni vincolari in O

fv, fa

Cognome, nome, matricola e firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Corso di Fondamenti di Meccanica - Allievi MECC. II Anno N.O. Recupero della I prova in itinere del 16 febbraio 2005. Meccanica Razionale: domanda di teoria Definire il momento d’inerzia e il momento delle quantit`a di moto per un sistema meccanico. Ricavare l’espressione del momento delle quantit`a di moto per un atto di moto rigido piano.

Cognome, nome, matricola e firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Corso di Fondamenti di Meccanica - Allievi MECC. II Anno N.O. Recupero della I prova in itinere del 16 febbraio 2005. Meccanica Razionale: esercizio Il sistema di figura giace in un piano verM, 2R ticale ed `e costituito da due punti materiali di masse rispettive m1 e m2 = 49 m1 vincolati R a scorrere senza attrito in direzione verticam2 le, da un disco di massa M = 2m1 e raggio m1 H 2R che rotola senza strisciare su di un asse orizzontale, e da un disco di raggio R privo di massa concentrico al primo disco e saldato su di esso. Un filo si avvolge senza strisciare intorno al primo disco, scorre senza attrito su di un piolo fisso e reca all’estremo libero il punto materiale di massa m2 . Un altro filo si avvolge senza strisciare intorno al secondo disco, scorre senza attrito su di un piolo fisso e reca all’estremo libero il punto materiale di massa m1 . I tratti liberi dei fili sono tutti orizzontali o verticali. 1. Determinare l’accelerazione angolare dei dischi. 2. Determinare le tensioni nei fili e le reazioni vincolari nel punto H di contatto del primo disco con l’asse di appoggio. PSfrag replacements

Allievi MECC. II Anno N.O. Corso di Fondamenti di Meccanica Meccanica Razionale Appello del 5 luglio 2005

Domanda di teoria: Definire l’equazione simbolica della dinamica, spiegandone il significato. Ricavare, illustrando i passaggi, l’espressione della componente generalizzata dell’oppposto delle forze d’inerzia (τn ) in funzione dell’energia cinetica per un sistema olonomo. Esercizio. In un piano verticale un disco di massa M e raggio R ha il proprio centro A vincolato a scorrere senza attrito M, R m, l B D lungo una guida orizzontale. Un’asta di massa m e lunghezza l `e vincolata α A a cerniera sulla circonferenza nel suo C estremo B. L’altro estremo D dell’asta `e vincolato mediante un pattino a scorrere senza attrito lungo una guida verticale. L’asta si mantiene sempre orizzontale in virt` u del pattino D. PSfrag replacements

Usando come coordinata libera l’angolo α di rotazione del disco: 1. Determinare la velocit`a dell’asta e del centro A. 2. Scrivere l’energia cinetica del sistema. 3. Scrivere la quantit`a di moto del sistema. . 4. Determinare la coppia C in modo da mantenere α= costante. . 5. Nella situazione del punto 4 (α costante), determinare la reazione vincolare esterna in A.

Esercizio n° 2 L’impianto di sollevamento rappresentato in figura è costituito da un motore con volano (momento di inerzia Jm), da due trasmissioni in serie, di cui la seconda del tipo vite senza fine – ruota elicoidale, da una puleggia di raggio R su cui si avvolge una fune, supposte inestensibile, priva di massa e perfettamente aderente alla puleggia, da un contrappeso di massa m e da una pressa di massa M.

J, R Jm A

τ1, η1d, η1r

τ2, η2d, η2r B

A

m

C

M Si chiede di determinare: 1. la coppia che il motore deve applicare per sollevare la pressa a regime; 2. l’accelerazione della pressa nel caso in cui il motore applichi una coppia doppia rispetto a quella calcolata al punto precedente; 3. il tiro della fune nel ramo BC, nelle condizioni di moto del punto 2); 4. la coppia che il motore deve applicare affinchè la pressa scenda con velocità costante; 5. l’accelerazione della pressa nel caso in cui la coppia del motore sia nulla; 6. facoltativamente, la massima accelerazione con cui può scendere la pressa nella condizione limite in cui la fune nel ramo BC va in bando (ossia quando il tiro nel ramo BC si annulla). Determinare inoltre la coppia che deve fornire il motore per garantire questa condizione di moto e il momento torcente agente nella sezione A-A. Dati numerici: R=1m J = 200 kgm2 Jm = 0.1 kgm2 M = 1000 kg m = 200 kg

τ1 = 0.1 η1d = 0.9 η1r = 0.8 τ2 = 0.2 η2d = 0.8 η2r = 0.7

Allievi MECC. II Anno N.O. Corso di Fondamenti di Meccanica Meccanica Razionale Appello del 19 luglio 2005

Domanda di teoria. A partire dalla definizione di quantit`a di moto e di momento delle quantit`a di moto per un sistema di punti materiali, ricavare le formule di queste quantit`a per l’atto di moto piano di un corpo rigido. Esercizio. Il sistema di figura `e posto in un piano verticale. L’asta AC `e C priva di massa mentre l’asta BC `e omogenea di massa m e lunm, l C A 2 C1 ghezza l. Gli estremi A e B delB le due aste scorrono senza attrito lungo due guide rispettivamente verticale ed orizzontale. Determinare le coppie esterne C1 (t) e C2 (t) da applicare sulle due aste in modo che esse abbiano velocit`a angolari ω1 e ω2 costanti nel tempo. PSfrag replacements

Fondamenti di meccanica teorica ed applicata Prova in itinere 19/07/2005 Della trattrice di figura sono note dimensioni geometriche e caratteristiche inerziali: p=2m

M = 7000 kg

distanza del baricentro dall’asse posteriore del veicolo; distanza del baricentro dall’asse anteriore del veicolo; altezza del baricentro rispetto al suolo; altezza del gancio di traino rispetto all’asse posteriore; raggio di rotolamento delle ruote posteriori; raggio di rotolamento delle ruote anteriori; massa veicolo;

F = 5000 N fv = 0.02 fa = 0.9

forza trainata coeff. di attrito volvente; coeff. di aderenza;

a = 1.5 m H=1m h = 0.5 m Rp = 1 m Ra = 0.5 m

Jm= 0.1 kgm2 Jp= 2.5 kgm2 Ja=0.5 kgm2
c,d =
p,d = 0.95
c,r =
p,r = 0.9 c = 0.3 p = 0.1 -min = 500 giri/min -max = 2000 giri/min  = 10°

momento d’inerzia del motore (asse longitudinale); momento d’inerzia singola ruota posteriore; momento d’inerzia singola ruota anteriore; rendimento diretto del cambio e del ponte; rendimento retrogrado del cambio e del ponte; rapporto di trasmissione del cambio; rapporto di trasmissione del ponte; regime minimo del motore; regime massimo del motore; inclinazione della strada

Si chiede di determinare: 1) coppia motrice Cm a regime in salita; 2) accelerazione del trattore con coppia motrice pari a 1,5 volte quella del punto 1; 3) verifica di aderenza della condizione di moto del punto 2; 4) verifica di ribaltamento della condizione di moto del punto 2; 5) coppia frenante da applicare a tutte e 4 le ruote per avere una decelerazione del trattore pari a -3 m/s2, imponendo Cm = -200 Nm e F = 0 N; 6) velocità di avanzamento del trattore minima e massima, conoscendo il campo di funzionamento del motore.

Allievi MECC. II Anno N.O. Corso di Fondamenti di Meccanica Meccanica Razionale Appello del 21 settembre 2005

Domanda di teoria. Ricavare per il moto piano del corpo rigido l’espressione dell’energia cinetica in funzione della velocit`a angolare e della velocit`a del baricentro, e l’espressione della potenza delle forze in funzione della risultante e del momento risultante. Enunciare quindi il teorema dell’energia cinetica per un corpo rigido. Esercizio. Il sistema di figura `e poA sto in un piano verticale. Il disco di centro G, massa m C O e raggio r rotola senza striM, R r sciare sul profilo inclinato G H m, r di un angolo α. Un filo inestendibile di massa trascurabile `e attaccato in G, si appoggia senza attrito sulα la carrucola A e si avvolge senza strisciare sul disco O di massa M e raggio R. Un profilo circolare di raggio r privo di massa `e saldato sul disco O e concentrico con esso. Detto profilo circolare rotola senza strisciare su una guida orizzontale. Il centro G del disco di massa m ha inizialmente una velocit`a V0 . Calcolare il valore della coppia C da applicare sul disco O affinch´e il centro G si muova con velocit`a costante V0 . In tali circostanze calcolare le reazioni vincolari in H e la tensione nel filo. PSfrag replacements

Esercizio n° 2 L’impianto di sollevamento rappresentato in figura è costituito da un motore con volano (momento di inerzia Jm), da una trasmissione del tipo vite senza fine – ruota elicoidale, da una puleggia di raggio RP su cui si avvolge una fune, supposta inestensibile, priva di massa e perfettamente aderente alla puleggia, da un contrappeso di massa m che striscia lungo un piano inclinato, e da un carrello di massa M che porta un carico di massa Mc. JP, RP Jm

A
, d, r

C

fs

B

M

J R, r D m

MC

fv fd



 Si chiede di determinare: 1. la coppia che il motore deve applicare per sollevare il carrello a regime; 2. l’accelerazione del carrello nel caso in cui il motore applichi una coppia il 50% superiore a quella calcolata al punto precedente; 3. il tiro della fune nei due rami AB e CD, nelle condizioni di moto del punto 2; 4. la coppia che il motore deve applicare per sollevare il carrello a regime, nel caso in cui il carrello sia privo di carico Mc; 5. la massima coppia che il motore deve applicare affinché la fune nel tratto CD rimanga sempre in tensione, una volta che il sistema è stato avviato. In questa condizione di moto, verificare che il carico Mc non cada dal carrello. Dati numerici: RP = 0.5 m JP = 10 kgm2 Jm = 0.02 kgm2 JR = 0.05 kgm2 M = 200 kg Mc = 100 kg r = 0.1 m m = 120 kg


= 0.1 d = 0.8 r = 0.6 fs = 0.6 fd = 0.5; fv = 0.01;  = 20 deg  = 60 deg

Corso di Fondamenti di Meccanica – Allievi MECC. II Anno N.O. I Prova in itinere del 21/11/2005 ESERCIZIO 1 Il sistema rappresentato in figura, disposto nel piano verticale, è costituito da due dischi omogenei, incernierati a terra rispettivamente in O1 e O2, di raggio R e 2R e massa m1 e m2. Sui due dischi rotola senza strisciare un’asta omogenea AB di massa M e lunghezza L. Conoscendo la velocità angolare 1= t del disco 1 in funzione del tempo: 1) determinare la velocità angolare 2 del disco 2 in funzione del tempo; 2) calcolare il vettore accelerazione del baricentro dell’asta AB; 3) sapendo che la configurazione in figura rappresenta la condizione iniziale di moto (contatto tra disco 2 e asta in corrispondenza dell’estremo B dell’asta) calcolare il tempo dopo il quale il punto A dell’asta coincide con il punto di contatto con il disco 1; 4) calcolare la coppia Cm in grado di garantire il moto; 5) nella configurazione di moto iniziale, calcolare le reazioni vincolari nei punti di contatto tra asta e dischi.

B

M, L

m2, 2R A

2

m1, R 1

O1

O2 Cm

d

ESERCIZIO 2 Il sistema articolato rappresentato in figura si muove nel piano verticale. Il solo disco (saldato all’asta OD) è dotato di massa. Note la geometria del sistema (a=L, b=3L, x=2L e

, R) e la massa del disco M si chiede di:

1. Scrivere le relazioni tra le velocità angolari delle aste (determinare ed ).

in funzione di

,

2. Scrivere la potenza delle forze e coppie applicate al sistema. 3. Calcolare la coppia C (funzione di dell’asta AB sia costante.

,

,

,

e

) in modo che la velocità angolare

4. Determinare in funzione della posizione le reazioni vincolari agenti sull’asta AB (in A ed in B).

D

B a A

b

C , ,

x c

O

M,R

Cognome, nome, matricola e firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Corso di Fondamenti di Meccanica - Allievi MECC. II Anno N.O. II prova in itinere del 31 gennaio 2006 Esercizio di Meccanica Razionale Un parallelogramma articolato ABCD posto in un piano verticale `e incernierato a terra in A e D (con A e D alla stessa quoA D ta). Tutte le aste hanno pari lunghezza l, ma solo l’asta BC `e pesante con massa m. θ La cerniera B `e collegata ad una molla di costante elastica k, il cui estremo E scorre l M, R l su una guida verticale fissa e liscia passante C2 C1 per A (la molla si mantiene sempre orizzontale). Sull’asta BC rotola senza strisciare E k B C un disco omogeneo di massa M e raggio R. l, m Sul disco e sull’asta CD agiscono due s coppie di momento rispettivamente C1 e C2 . 1) Scrivere le equazioni di Lagrange per il sistema. 2) Nelle condizioni iniziali l’angolo θ di figura `e nullo. Determinare C1 (t) e C2 (t) in modo che durante il moto la velocit`a angolare dell’asta AB sia costante e che s(t) = 2l (1 − sin ωt). PSfrag replacements

Esame di fondamenti di meccanica 31 gennaio 2006 AA 2005-06

2,

2

1,

1

Jm

Jm

F

ho

V,a

M1 J1

O

G1

Rp

J2 L1

fv, fa L

M2 G2 Ra

h

fv, fa L2

fd L3

A

Il veicolo in figura è mosso da un motore (momento di inerzia Jm) con asse longitudinale, che eroga una coppia Cm=Co(1- m/ o), ed aziona le ruote posteriore mediante due trasmissioni in serie (vedi riquadro) aventi rapporto di trasmissione e rendimento rispettivamente 1, 1, e 2, 2. M1 ed M2 sono le masse del veicolo (baricentro G1) e della pala (baricentro G2), incernierata al corpo centrale in O, posto a sua volta sulla verticale rispetto all’asse delle ruote anteriori, e alla stessa altezza del baricentro G1. J1 e J2 sono i momenti di inerzia di ciascuna ruota anteriore e posteriore rispetto al proprio asse di rotazione. F è una forza resistente nota applicata alla pala. Siano fv il coefficiente di attrito volvente delle ruote sul terreno, fa il coefficiente di attrito di aderenza ruota-terreno e fd il coefficiente di attrito radente tra pala e terreno. Si consideri dapprima la cerniera in O bloccata (ossia agente come un incastro), e la pala non a contatto con il terreno, ma con la forza F applicata. In tale configurazione ricavare: 1) l’espressione dell’accelerazione a del veicolo allo spunto; 2) la coppia motrice necessaria a regime; 3) la corrispondente velocità V del veicolo a regime 4) nella condizione del punto 1 ), effettuare la verifica di aderenza alle ruote posteriori; Si consideri ora la condizione in cui la cerniera in O è sbloccata (agisce quindi come cerniera effettiva) con la pala a contatto con il terreno (coefficiente fd agente) nel punto A. In tale configurazione calcolare: 5) la coppia richiesta a regime 6) le reazioni vincolari nella cerniera O RP = 0.6 m M1 = 2500 kg JP = 9 kgm2 1/6 1 = 0.9 1 fd = 0.3 L = 3.5 m L3 = 0.4 m F = 1000 N

Ra = 0.3 m M2 = 500 kg Ja = 1 kgm2 1/2 2 = 0.9 2 fv = 0.01 L1 = 1.5 m h0 = 1 m C0 = 100 Nm

Jm = 0.05 kgm2 fs = 0.6 L2 = 2 m h1 = 0.3 m 0 = 476 rad/s

Fondamenti di Meccanica Prova Scritta 14/2/2006 ESERCIZIO 1

C

Il sistema meccanico in figura, posto nel piano verticale, è formato dalle aste AC e AB, prive di massa, dal corsoio di massa M vincolato a muoversi sulla guida orizzontale e dal disco di centro B che rotola senza strisciare sulla guida verticale. Il sistema è movimentato dalla coppia C che agisce sull’asta AC. Nota la geometria del sistema e l’angolo si chiede di: 1. determinare la relazione analitica tra la velocità del punto A ed 2. determinare la relazione analitica tra la velocità angolare del disco ed 3. scrivere potenza delle forze e coppie applicate al sistema 4. calcolare la coppia C in modo tale che =cost. 5. calcolare le reazioni vincolari in K

ESERCIZIO 2

In un piano verticale un filo è avvolto su una carrucola di massa m e raggio R incernierata a terra. Un estremo del filo è attaccato ad una lamina quadrata di massa M e lato L che scorre su una guida verticale fissa e liscia. L'altro estremo del filo si avvolge su una scanalatura circolare di raggio R/2 concentrica e saldata ad un disco di massa 2m e raggio 2R incernierato a terra nel suo centro. Un secondo filo si avvolge sulla periferia di questo secondo disco ed al suo estremo libero è applicata una forza verticale F costante. 1. Determinare il rapporto tra le velocità angolari dei dischi. 2. Determinare la velocità della lamina in funzione del tempo. 3. Calcolare durante il moto le reazioni vincolari agenti sulla lamina nei punti A e B

Corso di Fondamenti di Meccanica – Allievi MECC. II Anno N.O. 14/02/2006

ESERCIZIO 4

C

M,R

2R

F

s

m

In un piano verticale, un disco di massa M e raggio R rotola senza strisciare su una guida orizzontale. Un’asta di lunghezza 2R e massa trascurabile è vincolata a cerniera in un suo estremo al centro del disco e nell’altro estremo a un carrello che scorre senza attrito sulla guida. Un anellino di massa m scorre senza attrito sull’asta. Sul disco viene applicata una coppia di momento C(t) e sull’anellino una forza F(t) parallela all’asta. Si chiede di: 1. Scrivere le equazioni di Lagrange per il sistema. 2. Il sistema viene fatto partire dando al disco una velocità angolare

0

e

all’anellino una velocità di scorrimento rispetto al centro del disco pari a s 0 =v 0 . Determinare C(t) e F(t) in modo che il modo si mantenga con 0

e s(t)=v0·t.

3. Determinare le reazioni vincolari esterne.

(t)=

Esercizio 1 O

x, x

cost

F A

R

M

, ,

B

C 30°

D

AB = a BD = b

m, r H Il sistema rappresentato in figura giace nel piano verticale. Il disco di massa m e raggio r rotola senza strisciare su una guida ad arco di circonferenza avente raggio R. Determinare, in assenza di perdite per rotolamento tra disco e guida, 1. 2. 3. 4. 5.

la velocità angolare del disco in funzione di x l’accelerazione angolare del disco in funzione di x la potenza della forze/coppie attive la forza F che garantisce il moto le reazioni vincolari in H

Determinare quindi, in presenza di perdite per rotolamento, 6. 7.

la forza F che garantisce il moto e verificare l’aderenza tra disco e guida

Esercizio 2

Corso di Fondamenti di Meccanica Allievi MECC. II Anno N.O. Appello del 4 luglio 2006

Nel sistema di figura il carrello ha massa m P M, R e scorre senza attrito sulla guida orizzontale. Su di esso rotola senza strisciare un disco di massa M e raggio R. Un filo inestendibile si m avvolge senza strisciare sul disco e scorre senza attrito su un piolo fisso P . All’estremo A del A filo viene applicata una forza verticale F(t). 1) Scegliere le coordinate libere ed esprimeF(t) re l’energia cinetica del sistema in funzione di esse. 2) Calcolare le componenti della sollecitazione attiva F(t) secondo le coordinate libere. 3) Determinare la forza F(t) affinch´e l’accelerazione del carrello abbia un valore costante prefissato a.

Fondamenti di Meccanica Appello del 4 luglio 2006

O
&

60° Cr

Cm

O1 s

B

30°

G Jc

A M, Jg

Il sistema articolato rappresentato in figura, disposto nel piano verticale, è costituito da una manovella OA priva di massa che ruota con velocità angolare costante, da un glifo AB (massa M e momento d’inerzia baricentrico Jg) e da un corsoio incernierato a terra in O1 (momento d’inerzia baricentrico Jc). Nell’istante considerato il glifo è orizzontale. Sapendo che il baricentro del corsoio coincide con la cerniera O1, determinare, nell’istante considerato: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

la velocità angolare del glifo; la velocità del baricentro del glifo; l’accelerazione angolare del glifo; l’accelerazione del baricentro del glifo; la potenza delle forze e coppie esterne applicate al sistema; la coppia motrice applicata alla manovella, in assenza di attrito radente tra glifo e corsoio, che garantisce il moto; le reazioni vincolari nella cerniera O. la coppia motrice applicata alla manovella, in presenza di attrito radente tra glifo e corsoio, che garantisce il moto;

Dati geometrici: OA = r AG = 1.5 r OO1 = 3 r

Allievi MECC. II Anno N.O. Corso di Fondamenti di Meccanica Meccanica Razionale Appello dell’8 settembre 2006 Il sistema di figura `e posto in un piano verticale. La lamina a forma di triangolo equilatero ha massa m e scorre senza attrito su di una guida orizzontale. Il disco di massa M e raggio R rotola senza strisciare lungo un lato della lamina. Un filo inestendibile e di massa trascurabile si avvolge senza strisciare sul disco. I due tratti liberi del filo HQ e QA sono paralleli ai lati della lamina; il piolo liscio Q `e solidale con la lamina. Sull’estremo A del filo viene esercitata la forza F come in figura.

Q

H m M, R

A F

x

1. Scegliere le coordinate libere del sistema e scrivere l’espressione dell’energia cinetica in funzione di esse. 2. Scrivere le componenti delle sollecitazioni attive secondo le coordinate libere. 3. Scrivere le equazioni di Lagrange del sistema. ..

4. Determinare F affinch´e il disco salga con un’accelerazione angolare ϑ0 costante assegnata. In tale situazione determinare il moto della lamina.

Esame di fondamenti di meccanica 8 settembre 2006. AA 2005-06 b1 Jm

m

b2

,

b3 A

V ,a =30°

h/2 G

Motore Riduttore ad assi ortogonali leva

D

h h/2

M

B Il sistema in figura, posto nel piano verticale, è costituito da un motore che, mediante un riduttore ad assi ortogonali, aziona un disco ed una leva considerati privi di massa e rigidamente connessi all’albero di uscita del riduttore. La leva muove a sua volta un corsoio di massa M e baricentro G, attraverso il punto D che si impegna in una guida rettilinea solidale con la leva. L’elemento di massa M è vincolato ad una guida rettilinea verticale mediante due carrelli nei punti A e B. Determinare, per un angolo generico : 1) il legame, in termini di funzione, tra la velocità angolare m del motore e la velocità V del corsoio di baricentro G. 2) Il legame, in termini di funzione, l’accelerazione angolare del motore e l’accelerazione e la velocità del corsoio di baricentro G. Si consideri ora il sistema nella posizione in figura ( = 30°) e nella condizione allo spunto; determinare, nota l’accelerazione a della massa M: 3) la coppia motrice Cm necessaria; 4) le corrispondenti reazioni vincolari in A e B. Si consideri ora il sistema nella stessa posizione, ma con velocità V non nulla diretta verso l’alto e in presenza di attrito radente fd nei contatti con la guida in A e B: 5) calcolare le reazioni vincolari in A e B; 6) calcolare la coppia motrice Cm necessaria in questa nuova condizione.

Esame di fondamenti di meccanica 20 novembre 2006 AA 2006-07 Es1

s1 O

C

M1 ,J1 , ,

H

F

M2 A

s2

Il sistema meccanico rappresentato in figura giace nel piano verticale ed è costituito da due corsoi e da un glifo privo di massa. Il primo corsoio è incernierato a terra, il secondo trasla lungo una guida orizzontale, il glifo è incernierato ad una sua estremità al centro del secondo corsoio e può scorrere lungo il primo. Determinare: 1. la velocità del secondo corsoio in funzione della velocità angolare del glifo; 2. l'energia cinetica e la potenza delle forze e delle coppie applicate; 3. la coppia applicata al primo corsoio che permette il moto nella configurazione assegnata; 4. la reazione vincolare nella cerniera A nella configurazione data. M1 = 1 kg J1 = 0.2 kgm2

M2 = 2 kg H = 0.4 m

s1 = 0.01 m

s2 = 0.05 m

/6 3 rad / s F = 10 N

3 rad / s 2

Es2 Cm

s

A

B

F

H

r R

Un disco omogeneo di massa m e raggio R, posto nel piano verticale, rotola senza strisciare su una guida orizzontale e fissa. Un secondo disco di massa m e raggio r (con r