Temas Selectos. Análisis Dimensional y Vectores

ANÁLISIS DIMENSIONAL Y VECTORES Autor: An tonio de Jes ús M ontalvo Corre a ©

Titular de la obra: Asociación Fon do de Investigadores y Editor Editor: Asociación Diseño de portada:

Fondo de Investigadores y Editor

es

es

Edgar Refulio Ali aga, Gastón Ruiz Qu iroz

Digitación y diagramación:

Julián Pacheco Quincho

Graficación: Hugo Papa Trejo Corrección de estilo: Alex Ortiz Alcántara © Asociación Fondo de Investigadores y Editor

es

Av. Alf onso Ligart e N.° 1426 - Breña. Lima-Perú. Telef

ax: 332 -378 6

Para s u sello e ditor ial Lumbreras Editor es Página web: www.elumbreras.com.pe Primer a ed ici ón: septiem bre de 2012 Tiraje: 10 000 ejemplares ISBN: 978-61 2-307-22 0-9 Regi stro del proyecto editorial

"Hecho el depósito legal en ta Bi

N.° 3150105 1100862

blioteca N acional del Per ú"

N.° 2012-08 910 Prohibid a su reproducción to

tal o parc ial

Derecho s reservad os D. LEG. N.° 822 Esta obra se t erm inó de im pri m ir en los tallere s gráficos de la Asociaci ón Fondo de Investigadores y Editores en el mes de sep tiem br e de 2012 Calle Las Herramientas N.° 1873 - Lima-Perú. Telé fono : 336-5 889

Índice *M PRESENTACIÓN......................................................................................................... 7

"Él INTRODUCCIÓN

.......................................................................................................

9

*M ANÁLISIS DIMENSIONAL

Magnitudes

................................................................................................................

Clasificación de magnitudes Por su srcen

......................................................................................

........................................................................................................

Magnitudes fundam entales Magnitudes derivadas Por su naturaleza

..........................................................................

11 11 11

...................................................................................

11 12

.................................................................................................

12

Magnitudes escalares Magnitudes vectoriales

...................................................................................

12

................................................................................

12

Análisis dimensional

...................................................................................................

13

Problemas resueltos

..................................................................................................

17

Problemas propuestos Claves

..............................................................................................

45 54

............................................

” ■ ANÁLISIS VECTORIAL Nociones previas Vector

........................................................................................................

........................................................................................................................

Representación gráfica de un vector Elementos de un vector Módulo d el ve cto r

.......................................................................................

56 57 57

.............................................

Dirección del vector Línea de acción

..................................................................

55 56

......................................................................................

57

.............................................................................................

58

Representación cartesiana de un vector en el plano

........................................

59 5

jos de

ve cto res

.......................................................................................................

Vectores co linea les

61

..............................................................................................

61

Vectores p ara lelos

................................................................................................

61

Vectores opuestos

................................................................................................

62

.....................................................................................................

62

Vectores iguales

Vectores coplanares

.............................................................................................

Vectores concurrentes Vector uni tario ( t i )

..........................................................................................

63

...............................................................................................

63

Vectores unitarios en el plano cartesiano

....................................................

Componentes cartesianos de un vector en el plano Multiplicación de un vector por un escalar jeraciones con vectores Métodos gráficos

!

.............. ..........................

........................................................

..........................................................................................

.......................................

Método del trián gu lo Método del paralelogramo

.......................................................................................

Método del polígono Métodos analíticos

62

................................................

................ ............... ............................ .........................

..............................................................................................

Método del triángulo

....................................................................................

Método del paralelogramo

...........................................................................

64 65 67 - 68 69 69 70 71 72 73 74

ctores en el espacio

...................................................................................................

75

Producto esc ala r

...................................................................................................

78

Propiedades

...................................................................................................

Producto vectorial jblemas resueltos

.....................................................................................................

jblemas propuestos aves

................................................................................................

..................................................................................................

........................................................................................................................

BLIOGRAFÍA

...........................................................................................................

78 79 85 145 158 159

i‘

P resentación

La Asociación Fondo de Investigadores y Editores - Afined, promotora de Lumbreras Editores, presenta a la comunidad educativa el texto Análisis dime nsional y vectores, perteneciente a una nueva serie de temas escogidos donde se realza el valor analítico y crítico en la enseñanza de las ciencias. La nueva Colección Temas Selectos se caracteriza por brindar a los alumnos preuniversitarios contenidos dinámicos y precisos que afianzan sus conocimientos en temas específicos en los cursos de matemáticas, ciencias naturales y razonamiento matemático. De esta forma, Lumbreras Editores abre una nueva líne a de publicaciones pon iendo énfasis en el en foque d idác tico y cuidadoso en la r elación teoría-práctica. Hay temas principales en cada materia que necesitan de mayor profundización y análi sis para la com pren sión y reso lución de los ejercicios, por eso nuestra editorial seguirá publicando nuevos títulos hasta completar una nu trida colección que perm ita ma ntene r el reco nocim iento y l a confianza d e los estudiantes, al manejar una teoría sucinta, directa, con ejercicios aplicativos y problemas resueltos y propuestos por niveles. Lumbreras Editores quiere reconocer el esfuerzo conjunto que ha sig nificado esta publicación, en la cual ha participado un grupo de profesio nales de primer nivel, cuyo esfuerzo es un apoyo fundamental a nuestro anhelo de una educación científica y humanística integral. En este proceso, deseamos reconocer la labor del profesor Antonio Montalvo Correa, de la plana de Física de las academias Aduni y César Vallejo, por su labor en la elaboración del presente material, gracias a su valiosa trayectoria en la enseñanza preuniversitaria.

ANALISIS DIMENSIONAL

Desde inicios de su historia, el hombre percibió la necesidad de desarrollar convenciones o signos para comunicarse con sus semejantes. Poco a poco al hombre primitivo le pareció insuficiente los sonidos onomatopéyicos o los signos, apareciendo así, progresivamente, el lenguaje. Sin embargo, le pare ció tan necesario el lenguaje de l as palabras como el lenguaje de me dir o de la nume ración . Pero las necesidades colectivas de trabajo, relación e intercambio creaban entre las personas lazos que obligaban a establecer equivalencias en las mediciones, es decir, hacer ciertas comparaciones de un objeto respecto a otro. En la actualidad, uno de los aspectos más importantes de la vida cotidiana del hombre es calcular, medir y comparar; entonces llamaremos magnitud a todo aquello que puede ser expresado cuantitativamente o, simplemente, a todo aquello que pueda ser medido.

Las magnitudes fu ndam entale s son: • Magnitudes fundame ntales • Ma gnitud es derivadas

Se denominan magnitudes fundamentales a aquellas magnitudes que sirven como base para fijar las unidades de un sistema de unidades, en la que se expresan las demás magnitudes.

Debemos tener en cuenta que cada una de las magnitudes fundame ntales tienen una defin i ción exacta.

M agnitud

U nidad

SÍMBOLO DE

FÍSICA BÁSICA

básica

LA UNIDAD

longitud

metro

m

tiempo

segundo

s

masa

kilogramo

kg

temperatura

Kelvin

k

intensidad de corriente

ampere

A

cantidad de sustancia

mol

mol

intensidad luminosa

candela

cd

II

I UMBRERAS EDITORES

l.is magnitudes derivadas son aquellas magni tudes que se expresan en función de magnitu des fundam entales. I ntre las magnitudes derivadas tenemos: • velocida d

• aceleración

• fuerza • mo me nto lineal

• presión • energía

Es aquella magnitud que queda definida por un número real y una unidad de medida. Ejemplo

masa = 4 kg *

unidad de medida

número real

• trabajo tíempo = 5

Ejemplo

Respecto al Sistema Internacional de Unidades, indique las proposiciones verdaderas o falsas según corresponda. I.

El grado Celsius es unidad de una cantidad física fund am ental.

II.

La cantidad de sustancia y la masa son la misma cantidad fí sica funda me ntal.

III. El ne wton es unidad de una can tidad física fundamental. Resolución

El newton es una unidad que pertenece a una magnitud derivada denominada fuerza.

unidad de medida

Es aquella*magnitud que queda definida por un número real, una unidad de medida y una di rección. Ejemplo

velocidad = — 4 m/s *

unidad de medida

direc ción— I I— número real

fuerza = + 2 0 N dirección

III.

«

número real

Cuando se trata de la temperatura, la uni dad básica es el grado Kelvin. Si bien es cierto que la cantidad de sustancia y la masa son magnitudes fundamentales, sin embargo, conceptualmente ambas son diferentes.

S

t

unidad de medida

J L número real

Otra forma de representar una magnitud vecto rial puede ser, por ejemplo: • velocida d = 15 m/s hacia el norte . • fu e rz a= 200 N hacia arriba.

la

• Mag nitudes escalares • Magnitudes vectori ales

12

Un estud io más detallado de la

s mag

nitudes vectoriales lo veremos más adelante en el análisis vectorial.

( Í b |análisis

________________

dimensional

El análisis dime nsio nal es una herr am ien ta muy importante que nos permite hacer mediciones o comparaciones ya sea de manera directa o indirecta. Gracias al análisis dimensional pode mos relacionar las magnitudes fundamentales

2.

[áre a] = [b ase] [altura] = í.x¿ =¿ 2 [ v e l o c M a d l . í f í ^. - U r 1 [tiempo] T Veamos las ecuaciones dimensionales x=l

ML~1r 2= M r3 [N] 1/2

->

L2T~2= [N ]1/2

y=2

x+y=3

[N]=L 4r A C lave ( D

_ C la v e

(C )

Calcule el valor xy*y en la siguiente expresión dimensionalmente correcta

De las siguientes proposiciones, determine cuál(es) de ellas son correctas.

d = ^¡20 axt y.

I.

v=at

Donde

^

d = -a t2 2

d: distancia

II a = —1/ 2 II.

a: aceleración t: tiempo

Donde

2d

a: aceleración d: distancia

A) 1

v. rapidez

B) 2

t: tiempo

C) 3 A) VFV „

D) 4

D) VFF

E) 5

De la expresión dada [d]

B) VVF

C) VVV E) FVV

[v] = [o] [t]

'

= [V 2Ó ][o]*[t]y -H> LT~1 = LT~1

L= l-(L T ~ 2Y (r)y i= ¿ xr Y- 2x

ld] =

[o][í]2

se observa que

l= i

-{ lt ~2) t 2

•

L= L

L=LX

> x=l .

7°=7^_2

x

[o] =

0=y-2x

[2][of]

'(/T-1)2

LT~2 =

> y=2

1 -L

LT~2= L r 2

x / y=22 =A C lave ( D ih

[v]2

Clave

(C

Hf

.............................

Sabiendo que la siguiente expresión es dimen sionalmente corre cta

En la siguiente ecuación física E=A v2 + BP,

donde E: energía, v\ velocidad y P: presión, cal cule [a / b \.

H=aF-bp,

A) M r 3

C) MLT4

A) energía

E) M r 4

D) fuerza

B) ML2

D) ML~3T

donde: F: fuerza y p: impulso, indique qué mui; nitud representa a/b. C) tie mpo E) aceleración

Del problema

Se tiene que

[H]

E =A v2+BP

Entonces [e]

B) velo cida d

= [a ) M 2+ [ b ] [ p ]

Podemos observar que tanto E como cada su mando debe tener las mismas dimensiones, por lo que

= [a][F ]-[b][p ]

No deberíamos preocuparnos por las dlmen siones de H ya que esta relación cumple con el principio de homogeneidad, entonces [H]

= [a][F] = [b][p ]

-> [o][F] = [b]fp]

[E] = [A ][ v] 2= [B ][ p ]

[a]M L r2 = [b]M L r2 MLT'1

De esta manera [b]

[E] = [A ][v ]2

MLT~2

m l 2t ~2

ML2T~2=[Á\L2 r 2

C lave ( c )

[A]= M

[e] = [ b ] [ p ] m l 2t ~2= [ b ] m l ~1 t ~2

Dada la siguiente ecuación dimensionalmente correcta

ÍB] =L 3

n_ n ¡ l A = P + -x v 2,

[fi]

donde P: presión y v: velocidad, determine l,e. unidades de x en el S. I.

i}

[A/B]=ML

A) kg/m 3 C lave ( A )

d)

kg-s

B) kg/m 2

C) kg e)

kg-s/m

W = [ p] +

Dada la ecuación

MM

[c][t]2

[x| = lo| + M lt] + Del principio de homogeneidad ÍA] = [P] =

[x][v]2

Del principio de homogeneidad

Entonces [P] =

•

[x] = [o]

->

[a]=L

•

[x] = [b ][t]

[x]M2

ML h 2=1 -[x]{ l T x)

L=[b]T

[x]=ML~3

-» [b ]= tr1 [x ]=

Como iM [masa] W = t = ------------^ L [longitud]

[c ][t ]2

L=l-[c]T2

[ c ] = t r2 sus unidades serán kg

Piden calcular

m3

Clave

ab

[a][b]

L-LT

.c

[c ]

LT

ab c .

= LT

Clave Si la ecuación x = a + bt + - c t2 2 es dimensionalmente correcta, calcule x: distancia y t: tiempo

ab c .

Si A representa el área, ¿cuáles serán las dimen siones de x e y, respectivamente? 7/4log20°= 2x1/2+ 5y2sen30°

A) T

c)

L r1

d)

r 1!

B) LT ' E) LT

A) L; L

C) L, L~

D) L4; L

E) r 4;¿-

Entonces Dada la ecuación [7]

(I)

a=b*cy

[A] [Iog20°] = [2] [x ]1/2+ [5] [y ]2[sen30°]

[a] = [b]*[cY L r 2={L2 T(T)y

Del princ ipio de h omogeneidad .

LT~2= L2xl y

[7][A][l og 20 “ ] = [2 ][x ]1/2

Por lo que

1 - L2 ■1 = 1 • [x ]1/2

•

X=l/2

-> [x]=¿4 •

l=2x

L=Llx

[7] [A] [Iog20°] = [ 5 ] [y ]2[se n30°]

•

T~2=Ty -> y=-2

Reemplazando en la ecuación (I)

1 ■L2 -1 = 1 ■[y ]2- 1

o=ó1/2c-2 ->

[y]=L

_ C lave ( § ) Clave

N ivel intermedio Se tiene que b = 20 m2 y c=2s. ¿Cuál sería la rela ción correcta para repres entar a la aceleración o? A) a=b/c

B) a = 4 b /c

D) a = yfb/c 2

C) a = 4b -c

Señale si las siguientes proposiciones son verd.i deras (V) o falsas (F):

E) a=b/c2

I.

Una expresión dimen siona l es una cantidad física cuya representación se encuentra es tablecida mediante símbolos en el S. I.

II.

Se denomina ecuación dimensional a aque lia ecuación que resulta al representar las ecuaciones involucradas, en una ley física med iante sus expresiones dimensionales.

Dato •

b= 20 m2 -> [ b]=L

•

2

c=2s > [c] = T

l’iden determinar la relación correcta para re presentar la aceleraci ón a en términos de b y c.

III. Una ecuación dimensional es homogénea cuando las unidades a ambos lados del signo igual son las mismas. A) VVF D) VVV

B) VFV

C) FVV E) FFV

21

I UM8RERAS EDITORES

m

Veamos la siguiente tabla: Sea A una cantidad física, entonces

Prefijos para las unidades del S. I.

[A]=LxMyTz...,

donde x; y; z son números y L; M; T;...; son símbolos que representan las cantidades

P refijo

io -

15

femto-

10~12

pico-

10”®

na no-

n

10“ 6

micro-:

p

10~3

mili-

m

10“ 2

centi-

c

10"1

deci-

d

donde observamos que [A]; [s] y [c] son las dimensiones de las cantidades involu cradas en una ecuación dada.

fl.01

deca-

da

103

kilo-

k

1o6

mega-

M

10® 10a

gtgatera-

G

Sea la ecuación

1015

peta-

P

físicas fundamentales en el Sistema Inter nacional.

Sean las ecuaciones A —B • C o A —B+C,

entonces las ecuaciones dimensionales serán [A]

= [B][C]

o [A] = [B] + [C],

III. A=B+C,

entonces esta ecuación será dimensionalmen te correcta si se cumple que U ] = [fi] = [c]. Algunas conversiones C lave ( p )

1 cm = 10~2m -

1 cm2 = 10 “ 4m2 1 cm3= 1 0 “ 6 m3

Señale si las siguientes proposiciones son verda deras (V) o falsas (F).

1 lit ro = 1 dm 3

I.

1 litro = 1 0 "3m3

II.

Una lon gitu d de 10 pm es Igual a 0.01 t]m . Cuando se tie ne una ecuación física, todas las constantes son adimensionales.

III. La can tidad de carga eléctric a tiene como expresión dimensional IT.

1 dm3= 1 0 "3m3 1 kg=103g 1 g=10~3kg 1 min = 60 s 1 h=3600 s

A) W V O) VFV 22

A breviatura

P otencia

B) FVF

C) W F

1 km = 103m

E) FVV

10 m/s=3 6 km/h

f :

P

T

Donde F es la fuerza electrostática, d es la di-, tancia y q1 y q2 son cantidades de carga.

De la tabla dada 1 nm = lC T9 m

A) ML3r 4/ ' 2 B) MLT~2I

1 nm = 10~3-1 0 '6 m

D)

Pero

C) ML2r 2l 1 E) MLTI

ML 3T r 2

1 p,m = 10-6 m —> 1 nm = 10-3 (1 p,m) Del problema

lp.m = 103nm

rf1

Entonces

Id ?

10 |i m = 1 0 x l0 3 nm

MLT- 2 j m

n t

En una ecuación física, todas las constantes (números reales) son adimensionales.

MLT~2 = [k ]l2T2L~2 [k ] = M t? r2T~*

III. La intensidad de co rrie nte viene dada por la siguiente expresión

_ C la v e

t

Donde Q: cantidad de carga Dada la siguiente ecuación

t: tiempo

Entonces =

->

[q] = IT

2 determine las dimensiones de k si S es adimon Clave sional; m: masa; v: rapidez; T: tiempo A) MLT2Q

Determine la ecuación dimensional de la cons tante de coulomb k si se sabe que esta ley se encuentra expresada como i ~ d2

B) ML2T~2Q~1 C) ML2T2Q D) ML2T2Q~2 E) /WL_1r 26 2<

La teoría nos indica que cuando un cuerpo se mueve con una velocidad cercana a la luz, su energía está dada por la siguiente ecuación

De la ecuación dada 2 3

[5] =

_2

lm ][ vl2

E = ^ p 2c2+ m xcy .

[klT]

Si p es la cantidad de movimiento lineal y m es 1=

la masa del la cuerpo, ¿cuál ser el valor de x+y para que ecuación seadebe dimensionalmente correcta?

i-We

[k] =M L2 r 2Q~1

A) 0,5 C lave ( B

B) 1

D) 6

C) 2 E) 4

Del problema Determine cuál será la expresión dimensional de una cantidad física cuyas unidades se expre san en joule por kilogramo Kelvin. A) /.2r 20_1 d)

2-,—2q C) Ma2¡ 2-t—2a-1 ¿L¿T~¿Q ¿L¿T~ B) M 2/

i 2r 2e

E)

l ~2t \

•

El módu lo de la cantidad de movim iento p=mv

donde m = masa y v= rapidez ->

[p] = [m ] [v] [ p\=MLT ~1

•

c es la rapidez de la luz

[c]=¿r1 Sea la cantidad física A cuyas unidades es

Entonces [E] 2= [p ]2 [c]2 + [m ]x[ c]y

J

(/wL2r “ 2)2= ( /w /. r 1)2(LT“ 1)2+/ wx( / . r '1)y

l- k

* A=

>

|A =

|/4|:

M 2LAr ‘l = M 2L4T~A+M xLvr y

[energía] [masa][temperatura]

Del principio de homogeneidad M 2L4T~a= M xLyT~ y

[energía] [masa] [tem pera tura ]

Entonces

ML2T~2 M-Q

M2=M x

•

L4=Ly -

x= 2 y -4

x+y=6

I A] = L2r “ 20~1 C lave ( A 24

•

C lave ( D

Determine las dimensiones de a y b si la ecuac ión

Si la expresión

oF , l2 P = — + bd¿, R

es dimensionalmente correcta (m : masa, t: tiempo, i/: velocidad y W: trabajo), calcule a+b+c.

es dimension almen te correcta.

A) 1

C) 3

F=fuerza P=presión

E) 5

R=radio

B) 2

D) 4

Considere

d=densidad De la expresión dada se tiene

A) L " 1 / w r 2r 2

[ M/ ] =^ f [ t ] í’ [v ]c

B) r 1 M~^L~21 2

c) r 1 2-2 I M M L T 2=(j2

J V -U r1)'

M ^1L5r 2

d) r 1 M ~ 1r 5r 2 E) r 1 M ~ 1r 1r 2

M?T ~2 = M aT la -Tb- LcT c ML1r 1= M aLcTb~c~ 2o

[ P] = Í £ M + [ f c][ d ] 2 Ir ]

Lntonces •

M=Ma

/w r1! -2 =

> 0=1

-

[a]MLT~

\-[b]ÍML 3

ML ~1r 1= [a ]MT~2 + [ b]M 2L~6

L2=L c

> c=2 .

Del principio de homogeneidad

j-2 _ jb -c -2 a

•

■ -2=b-c-2a

/V Í/.'1r _2=[o]/W r“ 2 [o]=L - i

-2=b-2~2(l) b=2

ML

2,-6

T = [b]M L

Cor lo tan to a+b+c = 5 Clave

CE

C lave ( C J

Si la ecuación QnP2+ SP + =R ^ +

v

dimensionalmente correcta, en donde rapidez, determine [p].

A) LT

B) L~1/2Tx/2

■1/ 2

D) LT

A)

kg -C -s

D)

kg — s

v es la

C) kg- E) kg--^ C

C) L~1/2T E) L2

[Q ]" [P]2 + [S][P ] + [Rl = [Q] + [5 ][|0gP] M

[ q ] " [ p ]2 + [s ] [ p ]+[/?] =

B) kg-A

es

[q ] + i

ÍP] = ([m ] +

[a ]

sen(w/|3)

Para que la expresión sea dimensionalmente correcta r n [a ] [m] = —

i

[d ]

LT- 1 M =

Se observa que [Q] = l

[a]

IT

[a]=MIT

Entonces i

->

-{ p }2+ [ s ] [ p ]+ [ r ] = l ~1t

Además, sen(w(3) debe ser un número por lo que [wp]=l

Usando el princ ipio de ho mogeneidad se obtiene

[w][|3] = l

[P ]2=L ~ XT > [P ]= r 1/2r 1/2

CLAVE ( B )

-> [p]=r . ••

[a] MIT T -r = = MI ------

[P] Si la siguiente expresión es dimensionalmente correcta ssen(w|3)

P

m-

T

M I - [masa] [amp erio]

Por lo tanto — tien e como unidad kg-A

donde m\ masa; q: cantidad de carga; w. rapidez ungular; determine la unidad de a/(3. /ó

P C lave ( B

Indique el tipo de movimiento que realiza cuerpo y cuál de las expresiones, F, G o H, dlmenslonalmente correcta.

Dada la siguiente ecuación correcta m -n-a = AV. eos

/3c''

A

determine la ecuación dimensional de

ac.

C2

B2

F = — + B;G = — + A; H = hC C B A

Donde F: fuerza; V: volumen; m y n son masas. B) /W_1í.4r~ 2 C) ML2T~ s

A) MLT

A) MRUV; H

B) MRUV; F

D) MRU; F

C) MRU; H E) MRUV; G

E) ML¿

D) LT3

lx]=-[A ) + [ B ][t ]-ÍC ][t ]2

[m ][n][o] = [ 4][ v.

3c L= -[A] + [ B]T-[C]T2

M-M■ [o ] = 1 •í 3 • 1

Del principio de homogeneidad l= [a ]

[o] =Z.3/W~2 A. , 3c . . [3 ][c] 1 Ademas, — es un numero, por lo que — - = 1. d

[d]

+ [ b ] t = [ c] t 2

Entonces [A]=L

[c] = [d]=MLT ~2

[B]=LT ~1

[ac] = [a] [c] =L3 M~2-M L r2

[ C]=LT~2

> [ a c ]= M ~ 1L4T~2

Ahora CLAVE ( B F=

A -----

C

FB

[F]J - fL + [B]

[C]

( onsidere la siguiente ecuación del movimiento di‘ un cuerpo i

-A+Bt-Ct2

(x: distancia, t: tiempo; además, A; B; Cson cons tantes no nulas).

[F] = - ^ + ¿ r “1 LT

[F]=L72+ / . r 1 2/

Se observa que la ecuación dimensional de F no es correcta ya que

Si las expresiones dadas oz = xy; x =

my yjy2 - v 2

•

son dimensionalmente correctas, determine la dimensión de z. Donde m, v y a son masa, velo

CL G= — + A B

cidad y aceleración.

[C l 2

[S] A) LT~l B) M r 1

LT

C) LT [G ]= L r3 +L

D) M r 1 E) MT

*

De igual manera, 6 es dimensionalmente Inco rrecta.

1_ [m][y]

M = LT~3*L

•

Vm 2- m 2

Para que la parte del den om ina do r sea correcta, las dimensiones de y y v deben ser iguales, por

H= — + C A

->[H] J f j +[cl

lo tanto [y] = [v]

[A ]

[x ]

ÍH lj F

lT

M[y]

l^ ->

[,H} = L r 2+ LT 2 [h ] es correct a.

[x]=M

Piden calcular z a partir de la ecuación [o] [z] = [x] [y]

Además, como 1/-/] =L7 2, estas son las dimensiones de la aceleración, por lo que el movimiento será un MRUV. Clave 28

(A)

( lt ~2)[ z ] =

m

■L r1

[z]=MT C lave ( E

r L=L

1.1 fuerza de rozamiento que experimenta una pequeña esfera dentro de un líquido está dada por la siguiente expresión I k n W c,

donde k: constanté, F: fuerza de rozamiento; r: ra(lio, v. velocidad; n: viscosidad

2b + 2c- a

l=2b+2c-a

l = 2b + 2\ - |- 1

v2/

b= a+b+c=2

C lave ( B )

masa viscosidad = longitudxtiempo ( .ilcule a+b+c.

A) 1

B) 2

li) 4

C) 3

Dada la siguiente ecuación dimensionalmenle correcta

E) 5

A = Ve - Bt\

donde v: velocidad y t: tiempo, determine la di mensión de A/B. I LltO

A) LT~1

[masaj ln] = [longitud][tiempo] I n] = —

LT

B) LT

D) L^r1

-» [n]=ML~1T~1 Como e es la base del logaritmo neperiano, entonces [e] = 1

l n el problema \F] = [k ][ n f[ r ]2 blv]2 c 2c MLT~2 = 1 •(mí.-1! -1 )° ( L)2b(¿T -1 )

MLr2=MaL2b+2c~ °ra~lc

Donde flt2=número

[fl] [t ]2=1

[s]r2 = i [e]=r2 Del problema

I nlo nc es

•

M=Ma

[A] = [v ][ e ]- et2 -> o=l

• r 2= r a~2c ->

[A]=(ir -2 = —o-2c

[A/B]:

M =i r [A] LT-1 ' [B]

T-2

= LT

-2=-l-2c c= 1/2

C lave ( B

?][(7i-(l og £> )3)]

= 1

[/CT|][t] [s ] =

-4

m l 2t

2 -l

t

1- i - i

[A ] MT

[s ] = m l 3t

= 1

-T - =

[A]

1

Clave [a]

=M

[kr \A] =M2 T 1

Clave ( D Cuando un cuerpo se mueve dentro de un fluido, su rapidez varía de acuerdo a la siguiente expre sión F_ k)]

(kn)t

1 -e

Si la siguiente ecuación es dimensionalmente correcta

A

donde v: rapidez, F: fuerza, t: tiempo. Determine la ecuación dimensional de [/cr|A]. A) ML D) M 2T 1

to

B) M 1r 2

x=asen(bcx),

donde [o ]= L y [c] = 7, determ ine la dimensión de b.

C) M

A) TL

E) M T

D) L-2

B) r

c) r M 1 E) 71 1

Dada la ecuación

[o] = [R] sen 0 +

vt

[x ] = [o][ sen(bcx)] Como

> [x] = L - l = L

sen 0 +

vt

= 1

I as dimensiones de una razón trigonométrica es l,i unidad, por lo que

= [número] = 1

[sen(ócx)] = 1 [v][t]

> bcx= nú mer o

[A,]

[bcx] = l

=

1

(l t - ^ í t ) [A]

= 1

[b][c][x ] = 1

[A]=L [b]T-L=l

Como podemos observar, A representa una Ion gitud.

[ó ]= r1 r Clave

i u.il debería ser la unidad de A para que la exluf.lón dada sea dimensionalmente correcta? a /fsen 0 +

C lave ( Á )

Un cuerpo a una cierta temperatura irradia enei gía, la cual viene expresada mediante la expresión

vt

H=EcATy

A

A:área

l 'linde

T: temperatura

,i ai eleración i nipidez

H: energía por unidad de tiempo Q W

a = 5,67x10

i in'inpo

m V

Calcule y. 'v| km

B) kg A) 1

1 I m /s2

l'l ki:/m3

E) m/s

D) 4

B)2

C)3 E) 5 iI

determ ine la ecuaci ón dimensional de C. Debemos tener en cuenta energía H=

Donde M : momento de una fuerza

tiempo

m: masa

_ [energía] _ MI?T~2 ÍH) [tiempo] T

P: peso

B) MLT -

A) ML

i

C) ML2 - i

H> [H]=ML2T~3 D) M _1L

[£] = [núm ero] =1

•

•

ÍA]=L 2

•

[r]=e

•

[a] = [5,6 7 xl0 “8]

E) ML

Debemos tener en cuenta que el momento de una fuerza lo podemos escribir como

lw ]

M =fu erz ax distancia —» [ m ] = [fuerza] x [distancia]

= [5,67 xl0-8]

->

|P°tGnCÍal ---------- j [distancia] [temperatura]

------------

[cr] = l -

[ M ] = M Lr2 -L [ m ] = m l 2t 2

Además peso= masaxgravedad

3q -4 [o]=/wr3e

[peso] = [masa] x [gravedad] [P ] = M L r 2

Entonces

De la ecuación dada [M][cos0] [C] =

ML 2r 3= l- M T 3e~ 4- L2-Q'í ML2T~3=MT~3L2Qy~4

[M ]{[ kf+[P ])

> o°=eY-4 Para poder sumar [/r]2+[P], ambos sumandos deben ser de la misma magnitud.

0= y-4 - > y= 4 Clave

Entonces [C] =

'.i l.i siguiente ecuación es dimensionalmente (orrccta /Wcos0

[C] =

[= —

d: densidad

B) solo es posible si b adopta las unidades de

e: base del logaritmo neperiano

la aceleración y b = — 2

C)

solo es posible si b es una cantidad adimensional y lc ]= M ~ 1L~1^2T2

a) m

1r 2r 3B)

/w_2¿_1r 2 C) M^TT2

D) ML~3r l

E) M~2L~2T

D) solo es posible si b y c son cantidades adimensionales I)

solo es posi ble si la ma gnitud de b es igual a la de c

|sen(wt)J Dado que la ecuación mostrada es dimensional mente correcta, esta debe cumplir con el princi pío de homogeneidad por lo que

Del principio de homogeneidad |F ][ 0 + ¿>]

[2][ /?] [se n0 ]

[RÍ|l/2

íb][c\

ík ]M íe íavt)

M = _ r— T7yT = [D] [sen(wt)j lk][v][e]{avt)

[sen(wt)]

i'.n.i que esta igualdad sea dimensionalmente coi recta, b debe ser una cantidad adimensional y.i que solo así podrá sumarse con 0. \F] _

1-[R]-1

1/2

1-lc]

\R ]

lk][v] 1

= [D] -3

■1 = MC

kv]=ML

Además

MLT ,1/2

•

_L_

[sen(M/t)] = l

[wt] = [número] = 1

[w ][t] = l [w ]T = l —> [w ] = 7 1

=/vr1r 1/2r 2

[vkw]=ML~3T~1 Clave

(C

C lave ( D ) 33

Entonces Sobre un cuerpo actúa una fuerza que depende del tiempo según la expresión „t

F = Ae

bc + t

sen| — :— I. Determ ine

abe

[b\[c] + [t]

T

Id]

[d]

[d] = T

Ad

Donde Además de la ecuación (I) se tiene

t: tiempo e: base del logaritmo natural

M LT 2=[A ]-1-1

-> [a] =MLT~2

F: fuerza Piden A) M ~ hxL~ -1l !T

B) M 1LT 1

D) M Í L i r

C) ML 1F“ 1

abe

[o][bc]

T~x-T

E) MLT~

Ad

[A][d]

MLT~2-T

abe Ad

( bc + t

[F] = [A ][e]o t

X~~d~

= M 1L 1T

C lave ( A )

(O

Esta ecuación es dimensionalmente correcta si •

[ e ] ot = l

[of] = [núm ero] = 1 [o ][t] = l [o]=r_1

A B C -~ D + BF = DC[1 + AB)ZX, x

determine la ecuación dimensional de

De igual manera sen

Si la siguiente expresión es dimensionalmente correcta

B y D.

Donde

^bc + t

C: trabajo

F: fuerza bc + t d

= [número] = 1

lfa][ c] + [t] Id ]

A) L T 2;1 =

1

,i suma será correcta si b][c ] = [t ] \b][c] = T

D) MLT; 1

B) r 1! " 3; 1

C) LF2; 1 E)

1

Para que la ecuación dada sea dimensionalmente correcta, A y B deben ser adimensionales, es decir [AB] = 1

Del principio de homogeneidad [ABC] = -D = [ b f ] = \_d c ( i + a b ) zx~\ .x .

De la expresión dada, se tiene (metros)2

AX+ By-= ( ^ f

x+y

[ a b c ] = [ d c ( i + a b )zx] [AB ][C] = [D ][C ][{1 + AB)ZX]

Para que ello sea correcto

i • [c]= [d] [c] ■ 1

[A][y}2+[B][y]

entonces

2

[y]2

> [D]=1

De esta manera l.imbién observamos

[A\[y}2=L2[y]2

[ABC] = [ BF]

A\ = L2

\AB][C} = [B}[F] ML2T~2= [ b ] ■MLT~2

[B]=L2-

■ I B]=L

[B]= L2 -ÍM L r2)

Clave

B]=ML3r

Clave ( B

I ' ik I.i la expresión d i I By /— - y = V20 metros y

Si la siguiente expresión es dimensionalmente correcta Pc os4 5°= 4c/V 'tz, calcule (x+ y)2.

ilimi'iisionalmente correcta, determine las di mensiones de B y A si y = V20 n ewton .

Donde P: potencia d: densidad

MI Jr 1 y ML 2

(II MI ! f -2 y í.2

v: velocidad t: tiempo

M ' r 2yL2 M il 2 y L2

I I M '/ '2r 3 y ¿“ 2

A) 1 D) 25

B) 9

C) 16 E) 36 35

[P] [cos45° ] = [4] [c /]x[v ]y[ í ] z

W =

/W/.27 '3-l=(ML_3)X(/.r-1)y(T)z

If J [A ]

[¿ 0 ] [ L ] -[ V -2

ML2r 3=M xLy~3xTz~y

W =

MLT~Z ( L L

[k]=ML~1T~2

Entonces •

M=MX

-> x=l

.

L 2 = L y- 3x

C lave ( B

2=y-3x

2 = y —3(1) y=5 .

r

3 = T z-y

Se sabe que la unidad de la viscosidad es el poise. Si esta viscosidad viene dada por -> -3=z-y

P77T 8 LV

-3 = z —5 z=2

donde T es el tiempo necesario para que un vo lumen 1/ de líquido recorra una longitud L de un tubo de radio R sometido a una presión P.

(x+ y)z= ( l + 5)2 (x+y)z=36 Clave

Determine las dimensiones de la viscosidad. A) ML 1T~2

B) ML

-i T -i

D) M r 1/2T1/2 Si sobre una barra de longitud L0 y de sección transversal A se le aplica una fuerza F, esta se alarga una longitud L. Determine las dimensiones de k si se cumple la siguiente relación

C) ML~ 2r 2 E) ML~1/2T2

[p][r][fi]4 [ 8 ] [L][ V ]

(/w r1r -2)( r) ¿4 A\L-L

M =

i-¿-r

[ja] = /w r 1!"1

A) M L^ r 1 ») ML -1r -2 0

m l ~2t ~2

l>) ML^T2 1) 16

m l ~1/2t ~

Entonces, sus unidades serán |A = -

kg m-s Clave

(B

V

Luego en (II) Si la siguiente expresión es dimensionalmente correcta •fh = ír(sen40)F

W

1

a=— 2

t calcule b —a.

Donde

■

h = n b-a

/: fuerza W\ trabajo

3 1 = 1 1 -------

2

2

_CLAVE

k: constante adimensional

B) 2

A) 1

C) 1,5

N

ivel avanzado

E) 2,5

D) 0,5

'.i la ecuación dada la elevamos al cuadrado y lomamos sus ecuaciones dimensionales, obte

La presión (P) que ejerce u n fluido en movimiento puede hallarse en cierto caso particular por

nemos

Ih] = [k ]2[sen 40]2 [ f 0-1]2 [vv^1?

P = mv

donde m : masa; t: tiem po; s: área; a: aceleración. l

= i - i -( m l t ~2)2a 2( m i } t ~2)2b 2

Determine las unidades de k.

L = ^2o-2-f2¿)-2^2a~2+4b~4y-~4o+4-4í)+4

,

B) — s

A)

lnionces i _^2a+4fc-6

D)

■ l=2o +4b - 6

m

C) m3-s E) m-s

7=2o+4b M °= M 2a+2b~i

0 -2o+2b- 4

[Pl = [m l[v]>

4 =2a+2b ? a+b

(II)

Esta ecuación será dimensionalmente correcta si x| at — | es un numero

itr l.r, ecuaciones (II) en (I) obtenemos /,

*2

[x ]| [o ][t ]-j í0 = l

37

Donde

Entonces •

[a] [t ] = ¥ \

LsJ

-4 x=l

(£r!)r-ÍLÍ í2

.

/. “ 1=¿ z_ 3x

—> - l = z - 3 x

[ k ]= /. 3r _ 1

-»

M=MX

Por lo tanto, las unidades de k serán m3/s. C lave ( D )

. -»

-l=z-3(l) z=2

r 2= ry y =2

2x+y +z= 2(l ) + 2+2 = 6

Clave ( B )

La energía por unidad de volume n que trans porta una onda que se propaga en una varilla está de1 terminada por la ecuac ión p = - p xw yAz, donde p es la densidad, w es la frecuencia angular de oscilación y A es la amplitud. Determine el valor de 2x+y+z. A) 2

B) 6

C) 10

D) - 4

E) - 8

La rapidez de la propagación (v) de las vibraciones acústicas en un medio determinado depende del módulo de Young (£) y de la densidad del medio (p) como se indica v=£V-

Si £ se expresa en /V/m2, ¿a que es igual x -y ? Dato _ energía volumen [energía] _ Ml?T~z [volu m en ] ¿3

> [y,]=ML~1r 2

A)

0

D)

0,5

B) 1

C) 2 E) 1,5

Dato newton (metro)2

Ahora del problema [p] = 1 • [p ]x[w ]y[/ \]z M ch' 2 = (m c 3T

(r_1)y(l )z

ML~1T~2=M xLz~3xT~'/ ¡8

[fuerza] [lo ngitu d] 2 [E] =M L~ 1r 2

_M L T ~ 2

L2

Del pro blem a Dato

M = [f] x[pF

2n

N=

tiempo

L7” 1= ( w f 1! -2 )* {m C 3Y N-

LT_1 = M x+yL~x~3yr 2x

_ [2

tc]

_

[tiempo]

[N] = - = T~1 T

1ntonces

T~2= r 2x

.

•

x=fuerzaxdistancia [t ] = [fuerza] x [distancia]

> - l =-2x

[ t ] = {m

lt

2)( l )

[x] =ML2T~2

.

M °=M x+y

Del problema

>

%=kNxpyDz

0=- +y 2

Como el torque depende de N, p y D, entonces para que esta ecuación sea dimensionalmenle correcta debemos encontrar los valores de los exponentes x; y; z.

y= ~ :

De esta manera h} = [ k][N ]x [p]y[DY

Clave

ML2r 2= i- [ r v)x{ML~ 3)y(L)z ML2T 2=T~xMyLz~3y

11 torque (x ) en un acoplam iento hidráulico v.nía con las revoluciones por minuto ( N ) del ■ de entra da, la densidad (p) d el aceite y del ili.imetro (D) del acoplamiento. Determine una • ■■(presión para el torque. Considerek como una ■(instante adimen sional.

Entonces •

M=My

-> y=l

T~2=T~

x= 2

L2=Lz~3y

2=z-3y

2=z—3(1) z= 5

A) kNDp

B)

k{DNp)3/2

E)

kN2DAp2

x=kN2pDs

i ) kN2D5p o) kND5p

__ C LA V E ( Ó )

3‘)

I UMBRERAS EDITORES

La presión P de un fluido sobre una pared de pende de la rapidez v, de su densidad D. Si su lórmula empírica es p = -s[x v xDy, determine la fórmula física correcta.

Dada la ecuación dimensionalmente correcta vx=acos60°+EP2, calcule la dim ensión de - ^

, 1/2 ■

Donde V: velocidad E: energía

A)

V3i/2D

B)

vD2

C) V dv

D) 4 l v 2D

E)

A) M ~ 1/2r 1/2T1/2

vD

B) M ~ 1/2L~1/3T1/2 C) M ~ 1/2r 1/2T1/3 D) M _3/2L“ 1/2r 1/2

[P] = [x ]1/2[v]x [DV

Podemos observar que como x es un compo nente, entonces debe ser un número.

e)

/vr3/2r 1/2r3/2

Por lo tanto [v][x] = [a]1 /2+ [f ][ P ]2

[P] = l- [v ]x[ D]y

/w r1r-2=(/.r1)x(M/r3)y

Del principio de homogeneidad [v] [x] = [o] 1 /2= [ f ] [ p ] 2

ML~1 r 2= M yT~xLx~3y

Entonces

Lntonces •

M=My > y =1

.

L r 1[x]=M L2T~2[P]2 ->

[Pf_ =LT~

_____

[x]

ML27“2

r 1=Lx~3y

LxJ

> - l =x- 3y -l=x-3(l)

Sacando la raíz cuadrada [P]

x= 2

[x ] I n la ecuación dada en el problema obtenemos P = sÍ2 v2D Clave 40

(D)

;l/2 = 4 m

~

W _= M -1/2L-1I2T1 I2 1/2 [x ] Clave

(A)

R= -

mol.fc

La ecuación de estado para un gas real viene dada por R=

P+ - j | {v -b ) = R T,

donde

(energía) (mol)-(temperatura)

[energía]

ÍR] =

presión absoluta del gas

[mol]-[temperatura]

v — = volum en mo lar n Y mol

[R] =

r^

NQ

ll = ML2T -2N -1Q-1

a y b son constantes que dependen del tipo del

K.is /( constante universal de los gases

Del problema [o]

/ Temperatura absoluta del gas

[P] + ^ -y |([v ]-[b ]) = [R][r] [v ]

Indique las proposi ciones verdaderas (V) o falsas ( I ) según corresp onda

[R][T]

II

[ ab] = [RTv2]

III

[b]=L3 A/-1

A)

FFV

Entonces

B) FFF

l>) VFF

E) FVV

(metro) mol

[v]

l?N 1

[a] = M tT ~ 2N "1[ b ]

También

[metro]3 [mol] \V \ = — = L3N N

[o ]

—1t— Ibj MC1 ^ 2

->

I i.ilo V=

[Plíb]:

C) FVF

[o]

-»

[alb]

[ ó] = M =¿ 3 n - 1 Al

Ahora

Además, la constante de Planck viene dada por h=E/f, donde E es energía y /e s frec uencia. lE ]

[a]*[b]

[/]

[ab] = [RTv2]

[h] =

/wl2t ~2

Del principio de homogeneidad [b]=ML2T2-r-l

(I)

M 2

[ab ] = [RTv2]

También [c]=Lr_1

III. [b]=L3N~1

Entonces, al multiplicar (I) y (II) se obtiene C lave

(E

[/?] [c] = ( /W¿2r " 1)( L r " 1) [h ][c ] = MI ?T~2 y= hc

La magnitud y tiene por unidades kg m3s~2. Si h es la constante de Planck y c es la rapidez de la luz, ¿cuál de las siguientes alternativas es una ecuación dimensionalmente correcta?

y= hc y= h c

y=/?c_1 y = h 2c y = h ~ 1c2

Clave

Haciendo uso del análisis dimensional deduzca una ecuación empírica para hallar la fuerza centrí peta que actúa sobre un cuerpo co n m ovim iento circular sabiendo que depende de la masa del cuerpo, de su rapidez lineal y del radio de cur vatura.

A) kmvr B) kmv/r

Dato

C) kmr/v

y=kg m3s~2 y ]= M L 3T~2 42

D) kmv2/r E) kmr/v2

Reemplazando en la ecuación (I) Dudo el movimiento

Fcp= mR ^ Fcp = k —— H r

Donde k es una constante ad imensional. _CLAVE ( b )

1n este caso se presenta la fuerza centrípe ta que depende de R, m, v. Fcp=(m ; R; v)

Una cuerda se mantiene de forma horizontal debido a la acción de una fuerza F. Si se le hace osc¡|ar vert icalm ent e, se encuen tra que el pe riodo de oscilación T depende de su longitud (/.), de su masa por unidad de longitud (Á) y de la fuerza F aplicada. Entonces, T es directamente proporcional a

l’or lo tanto Fcp= m xRy1 [Fcp] = [m]x [R]y [v f

(l)

A) r\ X /F )1 /2. B) L(F/X)1/2. C) (\L/F)1/2.

M L T 2= MxLy{L T 1)z MLT~2= M xLy+zT1

D) L(F/X)~1/2. E) XLF~1/2.

Intonces M=MX > ♦

r

2=

r z

y=-i

AI

Dato

Entonces

X=-

masa

longitud [masa]

T = rl z ->

l = —2z

z = - 1/2

-> 0 =y+z

M°=My+z

[longitud]

[X] = — = M ¿"1 L

—[X-y+z

0=x-y+z

[periodo] = T del problema T=(L-, X; F) ->

T= LxXyFz

0 = x ----2 2

x=l En la ecugción (I) t = l x 1/2f -

1/2

\l/2

Luego lT] = l L) x[X n F lz

-

T=Lx(ML~1)y(MLT~2)z T=Lx~y+zM y+zT~2z

44

r =L

1/2

C lave

(6 )

PROBLEMAS PROPUESTOS

N ivel básico

A Iog 20 = a/bC + v2.

Donde 1.

Determ ine las unidades de x si la siguien te expresión es dimensionalmente correcta W

Á xk

B: área v: rapidez

A) LT B)

Donde

d)

C)

L2

e) r 2

t2

1/1/: trabajo F: fuerza

Dada la siguiente ecuación dimensional

v: rapidez

mente homogénea A=-BCsen(w/t+(|)),

k: constante numérica

determine [A], A) m D) m -s “ 2

B) m -s

C) m -s 2 E) m -s -1

2 . Calcule las dime nsion es de A y B para que la ecuación sea dimensionalmente correcta:

Considere que [f i] = [w ]2 y que C es una longitud. A) LT 2

B) L T 1

D) i -1 ! 2

C) L2T E) /.-1 r _2

x=At3+Bt.

Donde

Determine las dimensiones de x en la ecu.i ción

x: longitud f: tiempo

14 1/2

A) ÍJ3;/ . ! -1 D) ZX-1 ; LT I.

B) ÍT- 2 ; ÍX-4 C)

2 = nx eos 60°,

LT^LT1

E) ZX; ZX-3

Determ ine las dimens iones de c en la si guiente ecuación homogénea

donde V1 y l/2 son velocidades.

A) M 1/2T112 . B) L1,2T2 C) M 1/2í.1/2 D) l ~1,2T1/2

E) f 1/2 4'.

n

I IJMBRERAS EDITORES

Dada la ecuación dim ensiona lmen te correcta

Calcule las unidades dexen el S. I.

\2

2nzl}(L-R)ser\d

P = \^ - + ah

t 1A

donde P se mide en kg/m3 y h se mide en metros, calcule [o/b]-

Donde L y R\ longitudes t: tiempo

A) L

A: área

d) r 1

A) m/s

Cuando un cuerpo se encuentra en un líqui do ya sea sumergido total o parcialmente, experimenta una fuerza denominada em puje (f), lo cual se puede representar como

B) L2

C) L -2

B) s-2 C) m/s2 D) m2

F=pW, siendo p densidad, g la aceleración de la gravedad y v volum en.

E) es adimensional 7.

E) L

Calcule (x+y+z).

Si la siguie nte ecuación es dim ensio nal mente correcta, calcu le el valor de x+ y.

A) 1 (^ s e n B )" + (/?2sen(3)v (/?! eos 0)2 - (R2 eos |3)2

D) 3

L; /?1;R2 son distancias

A) 2

B) 4

C) 6

Si en una ecua ción que es dim ensio nal mente correcta a uno de sus términos se le multiplica por log(o(3), esta deja de ser dimensionalm ente correcta.

II.

La expre sión sen(oP), do nde o es la acele ra ción, es adimensional.

III

se podría decir que A y B tienen la misma dimensión.

d: longitud

D) kgs3

Dada la ecuación y=A sen(w t) + B sen(wt)

m: masa

A) kg/s

intermedio

I. Determine las unidades dexen la ecuación

g-. aceleración de la gravedad

ivel

Determine las proposiciones verdaderas (V) o falsas (F).

E) 10

d

C) 2 E) 3/2

N

D) 8

V m sen9 Donde

B) 1/2

B) kg-s

C) kg-s'

A)

FVF

E) kg-s2

D)

FVV

B) FFV

C) FFF E) VVV

17. Dada la ecuación

A) 0 D)

R= k^ A -t-A ^j + k1k2,

B) 1

3

C) 2 E) 4

se puede afirmar que A) A-l y A2 son adimen sional es sie mpre y cuando k2 sea la aceleración.

15. Determine las dimensi ones d e x si la e c u a ción dada es dimensionalmente correcta. Rx + Z + 2s[s cm = 4 ti 2A cos(2t i RZ)

B) R es un número. C) Si R es un número, es porque k± tam bién es un número. D) Sik2 es un número, entonces las unida des de R serán las mismas que k x.

A)

L

B) L2

d) r 1

C) L3

e) r 2

16. En la siguie nte ecuaci ón dim ensio nalme nte correcta

E) R es la aceleración.

i:i. Una de las leyes establecidas por Newton es la ley de gravitación universal, la cual viene dada por la siguiente ecuación r _ Gm1m2

donde: m: masa y C la rapidez de la luz. Determine las dimensiones de E.

d2^ '

donde

A) MLT~1

F: fuerza

B) ML2T~1

D) MLT

C) M 2LT~1 E) MC^T

m 1 y m 2: masas d: distancia

Calcule las dimensiones de G. A) LMT~1

B) L3M T "2

D) ¿3M _1r 2

C) L2MT~2

E)

F-d=Anmx 2,

donde F es la fuerza, d la longitud y m la masa. Respecto al análisis dimensional, de termine la cantidad física que podría repre senta r x.

11 Calculex+y+z , si (logl2)2ergios = x a/a-v/b^

17. Cuando se hizo una investigación en un la boratorio, un profesor encontró la siguiente relación

Cz

A) tiempo

Donde

B) aceleración

A: aceleración

C) rapidez

II: masa

D) distancia

C: velocidad

E) trabajo 47

...............................

18. Dada la expresión dimensionalmente correcta costc/6 + y M 5 + P(3 de y y (3.

|asdimensiones

i

21. La rapidez de una onda en la superficie de un líquido en un canal cuya profundidad es H viene dada por

Donde

V2 = í — + — |(oX )tana . Deter mine las d¡\ d aj

M: mom ento de una fuerza

mensiones de o. Donde

P: peso de un cuerpo

k: fuerza /lon gitu d

A) /W~1¿~2r 2; M _1L_1r 2

g: aceleración de la gravedad

B) MLT~2;M L T 2

d: densidad

C) m^1 l~ 2t2- M ^ L T 2

X: longitud de onda

D) MLT~2; /VfL-1 ! -2 A) ML2

E) /W_1i “ 2r 2; MLT~2

B) i r 2

D) MLT_1 19. El ángulo de torsión (0) de un eje de sec ción circular de diámetro D, sometido a un torque t, viene dado por

Determine las dimensiones de J si G tiene las mismas dimensiones que la presión. b) ¿2r ~2

c) /.3r _1

D) L3M

E) L4

t 1 y f2: tiem po d: distancia

A) LT

B) L T 1

D) LT~2

T=2nmxky

calcule x+y, si se sabe que Vy l/0 son la rapidez, hes la altura, R es elradio y gla

m: masa

aceleración de la gravedad.

Calcule (x+y ).

D) 4

B) 2

E) L2T

dado por

V2 =Vq +2gx Ry( — ----- — ) 0 U R+h)

A) 1

C) LT2

23. El periodo de oscilación de un M.A. S. viene

20. De la siguiente relación

48

22. En la ecuación

Donde

GJ

l at

E) r 1

o t1= (o t2+¿)c ítan 0)(l+¿ i):L^2, calcule las di mensiones de a.

0= ^ .

a)

C) L

C) 3 E) 5

k: constante elástica (N/m)

A)

0

D) 3

B) 1

C) 2 E) 4

24.

Si la ec ua ció n de est ad o para algu nos gases reales es

A) M " 1/."2 ! 4/2 B) M -1 /.2! " 4/

P +-^r \ v-b)=

/ 2)

— ,

i

C) /w_1¿ '2r 4/2

calcule [a/b\-

273

d) M~1L~2r 4r 2

Donde

e)

/w_1¿2r 4/“ 2

P: presión

27. El calor abso rbido o disipado po r un cuer po cuando este varía su temperatura viene dado por

V: volumen k: temperatura

A) ML5r 2

Q=mCeAT

B)

donde

M 2L5T~2

C) ML2T3

Q: calor, cuya unidad es la caloría (1 Joule=0,24 calorías)

D) MLT

T: temperatura

E) ML2r 2

M: masa ¡\t La rapidez de un líqui do en un tu bo cilindrico

Calcule [Ce] •

a una distancia r del eje central es v = —— ( r 2 - r 2). Calcule la dimensión de AnL

n.

a)

¿2r 2e

b)

D) L2T~2Q2

l 2t~ 2q~2 c ) l 2t 2q E) L2r 2B2

Donde

P: presión

28. ¿Cuál será la ecuación dim ensional de H m(a2Acos(üt

R y r: radios

longitud A)

B) M L^r 2 C) M L^r 1

ML2r x

D) M n

F2/ 2sen|3 Donde

W

1

E)

m l 2t ~2

I n un condensador, la capacitan cia eléctrica (C) se define como Vi-V2

F: fuerza

(o: frecuencia angular (rad/s) A: amplitud /: frecuencia A) T B) T2

donde (): cantidad de carga

V, y l/2: potencia eléctrica (Joule/Coulomb). Determine

m: masa

[c] -

c) r 1 d) r 2 E) es adimensio nal 49

I IJMBRERAS EDITORES

29. Cuando un cuerp o es abandon ado desde una cierta altura h, luego de un intervalo de tiempo adquiere una rapidez v. Si la acele ración de la gravedad viene dada por

32. Determine las dimensiones de y en la ecuación J ¡= Á

sen45°

(A + a) , donde f

o: acel eración y /: frecuen cia.

g = h *v y, 2

calcule y*.

A) 1/2

B) 1

D) 1/4

C) 2 E) 3

30. Si la siguiente ecuación es dimensional mente correcta F=o/rcx+£>sen(x2d+7i)/ determine Donde

33.

ac

a)

¿7/2r 5

b)

r 5r7/2

c)

lst 7/1

d)

l 3,2t

E)

l 7/2t 3/2

5

Si la ecuación es dim ensionalmente correcta, determine a. ¿ 1 7 + b 3 = ta n a- ab cosx

d

F: fuerza

A) 30° D) 180°

k: constant e adimensional

x: longitud

A) MLT

B)

/W 1/.2r -2 C) ML~3T 2

D) ML2r 2

E)

ML2T2

34.

B) 60°

Si la sigu iente expresión es dim ensional mente correcta P= aF+ bp+ ct2, determine [abe].

Donde 31. Dada la siguiente expresión y

m

m2 (3

P: presión t: tiempo

, determine [y]. p2 + aL

p: densidad

Donde

F: fuerza

o: aceleración m: masa

A) MLT6

L: longitud

B) ML~1T~6 C) ML^T6

a)

M3/._1r

D) M 3L~2T2 ■>()

b) m3l t 1

c) /w3/._1r 1 E)

M3L2r 2

C) 120° E) 90°

D) M ~1L~1T 6 E) M~1 L T e

115. En la siguiente expresión dimensionalmente correcta m/

x

sen30°=-

a-y

+ — ->

38. Determ ine la dim ens ión de k para que l.i siguiente expresión dimensionalmente co rrecta

nz

t = —í 2g + — tan3 0° ] 2 L

Donde

k\ 3t L: longitud

w. rapidez angular a: aceleración

g: aceleración de la gravedad

t: tiempo Calcule [xyz]A) LT3

)

t: tiempo

B) L T

D) L~2T~3

c) r 2r3

A) L1/2

E) L2T- 3

D) r 3/2

lli. Si la siguiente ecuación es dimensional mente correcta P = c(B + nH) m + \ f j

determine

las dimensiones de c, H y D.

B) L

C) L-

1/2

3/2

E) L

39. Dada la ecuación de onda y=Ae~ktse n[b t+ a),

donde y es la posición de las partículas que oscilan ye es la base del logaritmo neperiano, encuentre la ecuación dimensional de

Donde

A2ks

P: presión B: diámetro

a) L2r 2

A: área

d) ¿ r2

m y n : adi mens ionales 2 A) M i- 4! " 2 L; ,Lc

C) ML~4T~2, L2;L

E) LT2

Donde

/w¿“4r_2, L~2; L m l ~at

C) L2T 1

40. Si la ecuación es dimenslonalmente correcta, determine [y] en ysen0=Axe-Adlog(oxv).

B) /W/.-5 ! -2 , L;L2 d)

B) L T 1

a: aceleración

2; L '2; L~2

v: volumen e: base del logaritmo neperiano

M En la ecuación homogénea \sen37° Rk-rk*

w=

d: densidad

, determine [F].

KD(Ek-F)

B: altura

C: masa

A) L2T 1

B)

A) ML~ST~2

E: fuerza

T 1L~2! C) m ~1l 5t 2

D) ¿“ 2F_1

l 2t

2

C) L ¿T

D) ML3T2

E) L~2T 2

E)

m

~2t 2l 3 51

%

A) L~SMT~2

N ivel avanzado

B) L~8M ~ 1T5 41. A la resistencia que los líquidos ofrecen a los cuerpos se les denomina viscosidad. La fuerza debido a la viscosidad es proporcional a la rapidez del cuerpo (Fv¡sc=/cv). Si considera mos a un cuerpo de forma esférica, enton ces k=6nRn. Siendo R radio, calcule [n].

a)

M r1 r 1 b)

iw r2¿_1c)

D) M r 2L~2

M 'h r 1

E) MT~2L

C) L" sM~ 1r 2

D) L~8MT5 e)

r 8M~1r 5

44. Dete rmin e la dim ens ión de z si la ecuación dada es dimensionalmente correcta P=EVxcosQ+agv0-Vbc.

Donde P: presión

42. Si la siguiente ecuación es dimensional mente correcta W=Pfx+mvyR~1, determine los valores de x e y.

E: energía g\ aceleración de la gravedad

v0: Rapidez inicial

Donde

V\ volumen

R: radio

b\ área

W\ peso /: frecuencia de osci lación

Además, S=z-axV2x.

m: masa

A) M ~ 1L~8T~'í

P: cantidad de movimiento

B) M ^L 3T C) /W_1í.“ 3r

A) 1; 2

B) 0; 1

D) 1; 2

C) 2 ;- 1

D) M~2L~3T~1

E) 2; 2

E)

43. Si la ecuación es dim ensionalme nte correcta ^_

P/log-y/ít . determine [ f ] • (M-Ja-kv)

Donde p: densidad a: aceleración

v: rapidez

m

~2l ~3t ~2

45. La fuerza resistiva sobre un glób ulo rojo (esférico) en la sangre depende del radio R, de la viscosidad q y de la rapidez v. Además, expe rime ntalm ente se obtuv o que /?= 2pm , v = 7 x l0 _7m/s, r| = 3 x ic r 3kg/ms y la fuerza resistiva es 2527txlO_16A/. Luego, la expresión para de no tar la fuerza resistiva es

|i: coeficiente de fricción

'..2

M: momento de una fuerza

A) 6tc vr\R

/: frecuencia de oscilación

D) 6nv2r\R 1/2

B) nv2r\R

C) nvr¡zR E) 4nvr\R2

1(1. En un cuerpo rígido, la energía cinética de rotación (kg m2/s2) de un cuerpo depende de su momento de inercia / (kg m2) y de la rapidez angu lar w. Determine una expresión para la energía cinética de rotación en función de las va riables dadas. Considere k una constante adimensional. A) klw

B) kl w

D) klw2

C) k2l2w2

A) A.

B) A Q2P

C) A

E) A

Qp

Q2p2

49. La fuerza de sustentación del ala de un avión depende del área A del ala, de la den sidad p del aire y de la rapidez v del avión. Calcule la suma de los exponentes de A y p.

E) k — w

m. En el estudio de la acústica, los decibelios

vienen dados por una constante adimencional multiplicada por el logaritmo entre la presión P y una presión referencial P0. Determine la ecuación dimensional de los decibelios. A) MLT1 B) M l } r x C) MLT

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 50. El periodo de un planeta que gira en una órbita circular depende del radio de la órbita (R), de la masa (M) y de la constante (G). Si G se expresa en (m3/kg s2), determine la fórmula empírica para el periodo.

D) ML2r 2 E) adimensional Si sobre una placa se hace incidir una cier ta presión de agua, la presión que la placa experimenta es P=XQxpyAz. Determine la composición fi

nal de la ecuación dada Donde A: constante adimensional

D) T = k

l>: densidad del agua A: área de la placa Q\ caudal

E) T = k.

M 2G 53

Nivel básico 1-1°

Nivel intermedio | 11 - 40

Nlvd avanzado4 4 1 -5 0 _ j f

54

1

D

11

D

21

E

31

A

41

A

2

C

12

D

22

B

32

A

42

D

3

E

13

D

23

A

33

C

43

B

4

A

14

E

24

E

34

B

44

A

5

D

15

B

25

C

35

E

45

A

6

C

16

A

26

A

36

B

46

D

7

C

17

C

27

B

37

B

47

E

18

A

28

A

38

A

48

B

8 9

E

19

E

29

A

39

A

49

C

10

D

20

C

30

D

40

C

50

B

ANALISIS VECTORIAL

l n nuestro quehacer cotidiano existen una serie de situaciones matemáticas que por su frecuencia i', incluso, simplicidad pasan desapercibidas para la mayor parte de la gente. Por ejemplo, consido icmos tres objetos A; B y C, ubicados en diferentes lugares, tal que conocemos que la medida do l.i longitud entre A y 6 es 30 cm, y entre B y C es 50 cm. Si preguntamos qué longitud hay entre A y (, ¿esta sería 80 cm? Naturalmente, y haciendo uso del sentido común, la mayoría de las personas •ilirmarían tal respuesta, pero esto no es del todo correcto. Veamos I

Los objeto s no solo pueden estar en línea recta y en orden A

B

C

30 cm

ÍH# Lac= 8 0 cm

50 cm

podrían estar en cualquier otro orden, por ejem plo 50 cm Lac= 20 cm B i

A

--------------

30 cm

1

C

1

--------------------

Aún más sutil sería pensar que los objetos podrían estar dispuestos tal que los segmentos que los unen form en ciertos ángulos tal es a sí que

I n estos casos, si queremos determinar la longitud que existe entre A y B debemos hacer uso no de l.is reglas de la aritmética común, sino de una herramienta conocida como análisis vectorial (ele mentos de geometría), es decir, aplicar las reglas conocidas para las operaciones con vectores, por ejemplo, en el caso en el cual forman 60°, podríamos demostrar que l-AC = 10^19 cm; en el caso en que forman 90°, se tendrá

l'AC = 10>/34 cm, y así sucesivamente.

I n el presente capítulo examinaremos los métodos y reglas básicas de las operaciones vectoriales.

Observación

,

................. ............. .................. .................. ................ .............. .................. .................

La importancia que tiene el uso de los vectores en física radica en que con ellos podemos representar las magnitudes vectoriales, lo cual nos permite una mejor descripción, comprensión y explicación de una gran variedad de fenómenos físicos.

•

Es una herra mie nta mate má tica que sirve para repr ese ntar las mag nitudes vectoriales.

•

Se representan geom étricam ente mediante un segmento de recta orien tado (f lecha) , que pre senta un srcen y un extremo

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN VECTOR Notación Un vector se puede representar con cualquier letra del alfabeto, con una pequeña flecha en la parte superior A; se lee vec tor A. También se denota indicando el srcen y el ex tremo. srcen del vector (

P)

\ —línea de acció n

PQ; se lee PQ.

Gráfico 1

Ambas notacionesson válidas y pueden usarse indistintamente, es decir: A =PQ.

%

■

11

i In med ida o el tam año del ve cto r y gen eral mente está asociado a la inte nsidad de la magnit ud a l.i ■u,il representa. Por ejemplo: las fuerzas son magnitudes vectoriales y son representadas medíanle In', vectores, además su unidad de medida es el newton; así, podemos representar dos fuerzas de lo N y 50 N dirigidas hacia la derecha.

Molamos que estas guardan ciert a pro por cion aHilad en sus tam años o mód ulos.

En el gráfico 1, el módulo del ve cto r A se repre senta como el ve cto r entre barras o,

nuplemente, con la letra (sin flecha). Módulo del A: |A|

o

A

i a dirección del vect or está defin ida po r la medida del á ngulo obte nido a pa rtir del semieje X positivo i la línea de acción del vector, medido en sentido antihorario,

i > B : no está definido

II.

Lo que s í pod em os com pa rar en los vec tores e s su m ódu lo.

—> A < B; esto es va lido , sí está pe rm iti d o

III.

El m ód ulo de cu alqu ier ve cto r siem pre es po sitivo, es decir, ve rifi ca la siguie nte relación MÓDULO >0

•

Es la línea Imaginaria en la cual se considera co ntenido el vector.

•

Un vecto r puede ubicarse en cualq uie r pu nto de la línea de acción e incluso puede traslada rse a líneas de acción paralelas sin que se altere ni su módulo ni su dirección.

Usualmente, a estos vectores se les denomina vectores libres. ■>K

i

I',ira esta representación, debemos ubicar un ve cto r en un sist ema de ejes coordenados cartesiano Mol gráfico

\

El vector PQ lo obtenemos como la diferencia de coordenadas del extremo y el srcen. PQ = Q - P

= (Qx;Qy)~{Px; Py)

PQ = (Qx -P x;Q y-P y)

donde Qx-P x: compo nente del vector

PQ conte nido en el ejeX .

Qy-Py. componente del vector PQ contenido en el eje Y.

Su módulo se obtiene aplicando el teorema de Pltágoras a partir del triángulo sombreado.

\PQ\ = J( Q X-P xf + (Q y-P yf

•

Su dirección es

I templo

A partir del gráfico mostrado, determine cada vector con sus respectivos elementos (módulo y di i = ( - 3; 4)

Su módulo: \o d \ = V (-3 )2 + 4 2 = ^|25 |od| = 5u Su dirección: 0D= 127°

'.un aquellos que se encuentran contenidos en una misma línea de acción.

8^*'

A, II y C son vectores colineales porque están en una misma línea de acción.

VI

•im aquellos que tienen sus líneas de acción respectivamente paralelas.

Podemos expresar la condición de paralel ismo en forma m atem áti ca, indicando que

si

a = (3 —> A//~B

A y II son vectores paralelos porque sus líneas de acción son paralelas.

Son aquellos que presentan igual módulo, pero sus direcciones se diferencian en 180°.

+X

Sea JB

UA

=180° y

A = 8

entonces B = -A A qa

+x

.

B es el opuesto de A

* Son aquellos que presentan igual módulo e igual dirección.

Matemáticamente S il ^l = l ®1

v q ^ = q e

A=B; los vectores son

Son aquellos que se encuentran contenidos

igual es.

un mismo plano.

Como D no está contenido en el plano será coplanar con los demás vectores.

A,B y C son vectores coplanares por estar

el mismo plano.

P, no

Ejemplo

'.on aquellos cuyas líneas de acción se cortan en mi mismo punto.

Dado el vector A cuyo módulo es de 50 u, detei mine el vector u nitari o del vector A .

Resolución

Determinemos el vector A como una combina clón de sus componentes A, II y C son vectores concurrentes porque imlos van a un solo punto.

VI CTOR UNITARIO (p) ¡(.■presenta la unidad vectorial de un vector ' tialqulera y se caracteriza porque su módulo es iK■*■11a la unidad. Del gráfico A = (50cos37°;50sen37°) 40z+30z

A = (40; 30) y A

Nos piden: p¿ Se sabe que -vector

(40; 30) Va = T =

-módulo VA

£* =lu

40 +30

(40; 30) 50

4 3 5' 5

Resolución

Sea el plano XY

Del gráfico

>4

A = (4; 0) = 4(1; 0) = 4/

S= (-2;0) = 2(— 1;0) = 2(-/) C = (0;3) = 3(0; 1) = 3j

D= (0;-2) = 2(0;-l) = 2(-y) 2.

Exprese los vecto res mostrados en término s de los vectores unitarios.

Se verifica

/ = (1; 0),-/=(-l; 0) / —(0; 1), -/ = (0 ; -1) Tal que: |/ | = |/ | = l donde I : vector unitario en el eje

Resolución

X (+)

-/': vector unitario en el eje

Primero debemos ubicar el srcen de cada vector de tal manera que coincida con el srcen de un sistema de ejes cartesianos.

X (-)

1 : vec tor u nita rio en el eje / (+) - j : vector unitario en el eje

Y (-)

• Para el ve cto r/! tjemplos

1.

Exprese cada vec tor del con junt o mos trado en términos de los vectores unitarios. A

‘c D ■

1u

B 1u

■ Del grá fico A = (100cos37°; 100sen37°) A = (80; 60) A = (80; 0) + (0; 60) A = 80(1; 0) +6 0(0; 1) A = 80/ + 60j • Para el ve cto r 6

Del gráfico A = AX+A y También A = A x i + A yj

A demás 0 = tan i

y

Representación polar de un vector Del gráfico 8 = (40c os30°; -40 se n3 0° B = ( 20 V 3;-20 ) B = (20>/3;0) + (0 ;-2 0 ) B = 20>/3(1; 0) + 20(0; —1) B = 20>/3/-20 /'

•i IMPONENTES CARTESIANOS DE UN VECTOR *N I L PLANO .'■■i el plano XV; dado el vector A expresarlo en i• i minos de sus componentes cartesianos.

Se ve rifi ca A = (A; 0 ); si end o Ax=Acosq Aj,=Asenq

Ejemplo

• Para el ve cto r B

Exprese los vectores mostrados en su forma polar. Á

Su módulo B = V 22 +2 2 Resolución

B = 2 iÍ2u

Nos piden expresar los vectores en la forma polar T = (r; 6 ) módulo 1 (n = 2 ; 3; 4;.. .)

nos da un vector más pequeño, pero en s u mism a dirección.

nos da un vector más grande, en su misma dir ección.

nA

Si - 1 < n < 0

nos da un vector

(n= -

más pequeñ o y en dir ección opuesta.

l/ ,2 ; - 1/ 5; - 2/ 5; .

Si n < - 1

(,n = -5 /4 ;-2 ;-3 ; ...)

nos d a un ve cto r de m ayor tamaño,

per o

en dirección opuesta.

67

Graficando los vectores

Ejemplo

Sea el vector 4 cuyo módulo es de 4 u. Grafique los vectores

24 Í4 i

2A, 1 / 2 ( 4 ), -3/2(1) 1 4 2

Resolución

; :

i......

...... .....

Consideremos una cuadrícula donde cada celda tenga una longitud de una unidad. Notemos •

El vec tor 24 tiene el doble del mód ulo de 4 y m antien e su dirección.

•

El vec tor 1 /2 4 tiene la mitad del mód ulo de 4 y mantiene su dirección.

•

El vector - 3 /2 4 tiene 1 ,5 veces el mó du lo de 4, pero su dirección está invertida (opuesta).

Sea n lo s vectore s A y B . Si 4 y 8 son para lelos, se debe ve rif icar

|4| = /f|s ’| i —*•I 4

tal que/L =

|e|

(~Ü| OPERACIONES CON VECTORES

Están referidas usualmente a la adición de vectores (donde la diferencia es también una adición), don de la suma significa hallar la resultante, la cual puede ser determinada mediante dos métodos gene rales, los que a su vez cuentan con otros métodos auxiliares. 111 general Métodos gráficos

- Método del triángulo - Mé todo del paralel ogramo - Mé todo del políg ono

Métodos analíticos

- Método del triángulo (ley de senos) - Méto do del paralel ogramo (ley del paralelogramo y ley de cosenos)

Para la suma de vectores

Hay otras operaciones, como el producto escalar y el producto vectorial, que serán estudiadas más adelante.

j —

_

(.8

..................................................................... .......................................................... .

_J

'■"ti .iquellos en los cuales para determinar la resultante se usan instrumentos de dibujo tales como "T.l.is, escuadras, compás, escalímetros, etcétera. i mi este método usualmente solo se puede representar gráficamente la resultante.

ii"'. permite hallar la resultante de dos vectores, consiste en graficar los vectores uno a continuación ili’l otro, tal que el extremo del primero coincida con el srcen del segundo vector. Su resultante se "biiene uniendo el srcen del primero con el extremo del segundo vector.

'•' .ni A y 6 los vectores

i irmplos l

A pa rtir del gráfico que se muestra dete rm ine el vec tor resultante; ABCD es un rectángulo y M: punto medio.

69

Resolución

Resolución

Nos piden el vector resultante

Nos piden el vector resultante de los vecto res mostrados, es decir, R = A + B,

’R—’p + Q + T

(I)

para lo cual sumaremos los vectores agru pándolos de a dos, usando el método del triángulo.

para lo cual trasladaremos los vectores usando el méto do del triángulo.

Trasladamos paralelamente el vector hasta el lado AB, haciendo coincidir su ori T gen con el extremo de P.

Mantenemos fijo A y trasladamos paralela mente al vector B. fí = A + S Nótese que la suma de P y T es un vector idéntico a Q. Luego en (I)

De la figura, se obtiene un vector paralelo al eje Y. fi = Sj

R = PH-Q + T R=Q+Q 7? = 2Q 2.

A pa rtir del gráfico que se muest ra, halle el vector resultante.

Es una variante del método del triángulo, solo que en este caso debemos hacer coincidir el srcen de ambos vectores y a partir de los ex tremos trazamos rectas paralelas a los otros vectores forma ndo así un paralelogramo.

i

Finalmente, (a) y (|3) en (I)

templo

ILulo un sistema de vectore s, d ete rm ine el vec tor M-.ultante.

R —Si + S2 + E

=£+?+? '

R = 3E

n Nos permite determinar la resultante de vectores. Consiste en colocar los vectores uno a continuación del otro, donde el vector resul tante se obtiene uniendo el srcen del primei Resolución

vector con el extremo del último.

Podemos agruparlos de a dos y usar el mé todo del paralelogramo, es decir si

Sean los vectores libres

(I)

'r = ’a + b + c + d + e

s2

Sumamos A y B

JZ D

No interesa el orden al dibujar a los vectores pues la resultante siempre será la misma. Si —A + Br y es un vector idéntico al vector

E

(a)

Sumemos C y D

Es un caso particular. Cuando los vectores graficados cierran la figura, deben orien tarse en forma horaria o antihoraria; por lo tanto, su

S2 =C + D,

es otro vector idéntico a

E

(P)

R= 0

_^

0 I 2 o

/I

2.

Ejemplos

1.

Para el sistema de vec tore s mostr ados, de  termine el vector resultante.

Para el sistema de vec tores que se muestra, determine el módulo del vector resultante.

P

Resolución

Nos piden determinar el vector resultante, para lo cual usaremos el método del paralelogramo para poder reducirlo. Sabemos que R = A + B+ C+ D + E + F + G

Resolución

Nos piden determinar el módulo del vector resultante, para lo cual trasladaremos ade cuadamente los vectores.

(cc)

Del gráfico notamos que los vectores A, B, F y G forman un polígono cerrado y en con secuencia se verifica que su resultante es nula, es decir /?! = A + B + F+ G —0

En (a), tendremos R=C+D+E Del gráfico Representando nuevamente el sistema

~R= N + Q + P

Su módulo \~r \ = 4 u

R=C+D+E

R= £ R = 2E 72

+£

Son aquellos por los cuales mediante el uso de ecuaciones matemáticas podemos determinai el m ódu lo y la dirección del vector resultant e.

Resolución

Podemos resolver un triángulo vectorial si mnocernos algunos de sus lados y ángulos, ir.ando la ley de senos.

Nos piden el módulo del vector A. Del triángulo vectorial, aplicaremos la ley de senos.

Van A, B y C vector es que form an un triángulo i uyos módulos son A; B y C y cuyos ángulos sor/ a, |Sy 5.

B

_

A

sen45°

sen53°

15^2

A

(V2/2)

(4/5)

'a' verifica I

Ley de senos A

sena II

B

senp

_

C

sen8

A=24u

Ley de cosenos A2=B 2+ C2-2B C co sa

B2=A2+C2-2BCcos(3

Se tienen dos vectores de módulo igual a 10 u, tal que forman determinados ángulos

C2=A2+B2-IABcos8

con la horizontal. Determine el módulo de la diferencia de dichos vectores.

I irmplos

i

A pa rtir del sistema de vectores qu e se muestra, determine el módulo de A. S¡) b | = 15a/ 2 u .

Q ,17o 71

Del gráfico

Resolución

Nos piden el módulo de la diferencia de los vectores. Debemo s tene r en cuenta que dicho m ódulo será el mismo si formamos P —Q o Q-P. Para esto uniremos los orígenes de ambos vectores.

S=A+B En módulo =4a2 + B +2ABcos0

Además, la dirección de la resultante con res pecto a B es 0 = arctan

Asena _B + Acosa

Ejemplos

1.

Se tie ne n dos vecto res A y B de módulos 3 u y 5 u. SI forman 60° entre sí, determine el mó dulo de su resultante.

Usando la ley de cosenos Resolución I D I = V p2 + Q 2 -2P Q cos 60 °

Nos piden el módulo de la resultante entre los vectores A y B . 102+ 102- / ( 10)(10)-

- r

í

D = 10 u

Consideremos que el módulo de A sea 3 u y el de B sea 5 u, hagamos una representa ción gráfica de los vectores.

Conociendo los vectores y el ángulo que forman entre sí podemos determinar el módulo de su resultante, usando la ley del paralelogramo. -5 uSean A y B los vectores:

A

Usaremos la ley del paralelogramo R = V a 2+B2+2AB

cos 6

« = V32+ 5 2+2(3 )(5) cos 60 °

B = V 49 R= 7 u

Se tienen dos vectores de igual módulo, si su resultante tiene un módulo igual a uno de ellos, determine el ángulo que forman entre sí. Se sabe que Resolución

+ B +2ABcos0

Sean A y B los vectores, y 0 el ángulo que forman entre sí. Nos piden determinar el valor del ángulo.

O)

Además R=A=B Reemplazando en (I)

Hagamos una gráfica de los vectores y use mos el mé todo del paralelogramo.

A = V a2 + A 2 +2A2 cos0

cosG = -1 /2 6 = 120°

.......

De l a ley del paralelogram I.

La suma de dos

R = *J a 2 +B2+2ABcos0

vec tores ser á m áxim a si q = 0°.

•^máxima “ ^ IJ.

o:

®

La sum a de dos ve cto res ser á mín im a si q = 180°.

=A-B^

S ,. ■^mínima

/ r.

3.

Si la suma máxima y mínim a para dos vec tores es 15 u y 5 u, respectivamente, deter mine el mó dulo de cad a vector.

Pa ra el ca so partic ula r en el cual f orm en ángulos de 90° (vectores

ortogo nales o perpe

ndiculares),

se verifica

Resolución

Nos piden determinar el módulo de cada vector, sean A y B los vectores, tal que A > B.

De los datos ^6=15 A±p= 5

¿ = 10 y S = 5

Consideremos el sistema de ejes cartesianos X, V'yZ.

En forma cartesiana: A = Axi + Ayj + Azk

En módulo: A = ^( Axf+ ^ A yf +( Az f ZA También ¿x = ¿cos|3

Ay = A eos a A=Acos8

siendo a, |3 y 8 los ángulos que forman el vector con los respectivos ejes coordenados.

Se verifica además cos2|3 + c os2a

Donde A = (Ax;A y;A zJ /(>

+ cos 28 = 1,

denom inados cos eno s directores.

m

Notamos a partir de los resultados que lie. vectores PQ y QP son opuestos, es dei it,

l irmp los

i

Sean los puntos

PQ = -QP.

P = (15; -7 ; 12) y Q = (-12; 4; 9),

halle los vectores PQ y QP; además deter mine el módulo de cada uno de ellos.

2. \

En el sistema que se muestra , de ter mine el módulo del vector resultante.

Resolución

Z

Usando la representación cartesiana del vector y extendiéndola para el caso de tres coordenadas, tendremos que determinar cada uno de ellos de manera ind epend iente. Hallando el vector PQ PQ = Q -P PQ = { - 12; 4; 9) -( 1 5 ;- 7 ; 12) PQ = ( -27; 11;-21 )

X'X Cálculo de su módulo PQl==JV27 ” 2 +1 1 +2 1 PG = a/1291 PQ = 35,9 u

Resolución

Nos piden hallar el módulo del vector te sultante, para lo cual trasladaremos a los vectores de manera adecuada. ZA

Hallando el vector QP QP=P-Q A QP = (15 ;-7; 12 )-(-12 ; 4; 9 )

b/

QP = (27; -1 1 ; 21)

4u

/

Cálculo de su módulo PQ = V27 2 + l l 2 +212 PG = >/l291 PQ = 35,9 u

/

\ \

-- -z /

/ / C^ y / 4U

XX Del gráfico: R = A + B + C Su rínódulo será: R = 4s/2 u

is Nota Si Respecto de

A = (A x ;Ay ;A z ) y B = (Bx ;B,,;B2),

entonces el producto escalar entre A y 6 es el númer o escalar dado por A ' B —AXBX + AyBy + AZBZ

un it arios se verifi ca

i-j= j-k = i-k = 0

Ejemplos

1. Si se conoce el m ód ulo de cada ve cto r y el ángu lo que forman entre sí, se puede calcular como

los vectores

/■/ = j-j =k-k = 1

Se sabe que los vectores A = (l,-2 m )y B = (4 ,-l), son perpendiculares. Halle m.

A ■B = ABcosQ

Geométricamente, se puede entender como el producto de un vector por el módulo de la pro yección del o tro ve ctor sobre él .

Resolución

Nos piden el valor de m, sabiendo que los vectores forman 90° entre sí. De acuerdo al producto escalar, si dos vec tores son perpendiculares, dicho producto es cero (condición de perpendicularidad). Veamos Se sabe que A- B = (l,-2 m )-( 4 ,-l) = 4 + 2m = 0 resolv iendo tenemos que m = -1/2. 2. El pro du cto escalar del ve cto r P de módulo 5 u y el vector Q de módulo 8 u es 32. De termin e la compone nte del vector P en Q.

Siendo A, B y C vectores y o un escalar, se veulica

Resolución

.

Á-A = A2

Nos piden la com pone nte del vector P en Q o, en otras palabras, la proyección de P en

•

Á B = B-A

•

á

•

(oa)-B = o(a -b) = A - Í ob )

•

Ó ■A =0

-( b + c ) = a - s + a - c

Q. Recuerde queunelnúmero. resultadoGraficando del producto escalar es solo los vectores

■

.............................

Siendo P-Q = PQcos0 = (Pcos0)Q De los datos se tiene

Pr

Si se conoce el m ódulo de cada ve cto r y el ángu lo que forman entre sí, se puede calcular como AxB = ABsen0

32 = 8 PR

Geométricamente, el nuevo vector es perpen dicular al plano que forman los vectores que lo srcinan, siendo su módulo el área del paralelo gramo formado por los primeros y su orienta

Pr = 4 u

i

Los vec tore s P y Q for man 60° ent re sí y |P| = 2 u. D ete rmine el módulo de Q para que el vec tor P -Q sea perpendic ular a P.

ción se determina a partir de la regla de la mano derecha.

Resolución

Nos piden|Q|, para que P

( p - q ).

i

Usaremos el producto escalar sabiendo que si dos vectores forman 90° su producto escalar es cero. Luego Es decir p

-( p - q ) = p - p - p - q = 0 P2-P -Q - cos60° = 0

| C s| Área paralelogramo Los vectores A, B y A x B forman un trío a de rechas (un sistema dextrogiro), lo que quiere decir que la dirección AxB es la que indica el dedo pulgar de la mano derecha cuando esta se cierra desde el vector A hacia el vector B, en el plano AB.

4 -2 Q — = 0 1 12

|Q| = 4u

M A = (Ax; Ay) Az) y B = (Bx; By; Bz), entonces el producto vectorial entre A y B es un nuevo vector A x B que se define por

Las propiedades del producto vectorial son 1.

AxB = -Bx A anticonmutatividad

2.

A x ( b + c ) = A x B + A x C (distrib utivo re 1, pecto de la suma)

i

C=AxB=

¡

k

AX Ay A z

Bx

By Bz

3.

m(A>i B) = (m A)xB = Ax(m B)

I

siendo m un escalar

jx i= - k kx j = -f

El gráfico siguiente resume lo encontrado, pro

i xk = - j

porcionando además una buena forma de re corda rl o en el f utu ro.

Ejemplos

1.

Halle un vector ortogonal a U = (l; - l ; 0 ) y a V = (2; 0; 1), cuyo módulo sea ~J¡2Au. Resolución

Nos piden un vector que sea perpendicular a los vectores U y V (aunque podemos con siderar que d icho vecto r sea perp endicular al plano formado por U y V), para lo cual usaremos el pr odu cto vectorial entre U y V . Producto ve

ctori al entre vectores.

Consideremos que sea x el vector pedido, es decir

X = k{uxv ) 1.

Si los vectores A y B son paralelos, enton

y |x j = >/24u

Hallando U x V

ces, por definición A x B = (AB ser\Q)ü = 0

Esta es la condición de paralelismo.

2.

ix i = 0; j Xj = 0;l

/

/

k

Ax

Ay

A2

Bx

By

Bz

Operamos

—> A x B =(resul tado 1) - (r esultado

2)

Ahora, para formar un paralelogramo con es decir

12m1 -m] +A mk

W, debemos obtener el producto vectorial de estos,

2 m f- 6m j+4m k\ = (2mi- Gm j+4mk)- (12mi- m j+4mk) = (-10 mi - 5m j) = (-10m; -

5m; 0)

81

Luego su módulo será el área del paralelogramo \ u x w \ = sj l00m2 +25m2 =25

125 m2 = 625 m = ±V 5 Finalmente, serán dos los vectores que cumplan la condición

Ui=(J 5;3.

2a / 5;3V 5) o

U2= (-^Í5;2S;-3^5)

Por me dio de la com binac ión de produc tos se pueden con stru ir expresiones más complejas . Por ejemplo, con tres vectores podemos construir las siguientes combinaciones. Identificar su validez. a. A-( b - c )

b. (Á-~b )-C

c.AxCbxc)

X(sxc)

f. (a -b )x C

g.

e.

A x(b-c)

d. (ax~b)xC -

Ii.Caxb)-C

Resolución

No todas estas combinaciones tienen sentido, analicémoslas de una en una. a. A ■ • c) es un vector colineal con A, y tiene la misma dirección, o con dirección contraria, si el escalar (fl• c) es positivo o negativo. b. (/A • fl)- C es un vector colineal con C, y tiene la misma dirección, o con dirección contraria, si el escalar (/A • fi) es positivo o negativo. c. Ax{bxc) es un vector (resultado del producto vectorial entre dos vectores) que es perpen dicular al vector BxC; por lo tanto, se encuentra en el plano que contiene a los vectores B, y C y dentro de dicho plano en una dir ección perpe ndicular al vec tor A. d. ( Axb)xC es un vector (resultado del producto vectorial entre dos vectores) que es perpen dicular al vector A x B , por lo tanto, se encuentra en el plano que contiene a los vectores A, y B, y dentro de dicho plano en una dirección perpendicular al vector C. e. >A■ ( b x c ) es un escalar, resultado del producto escalar entre los vectores /A y f.

( b x c ).

(/A b )x C El producto vectorial es una operación entre dos vectores, no entre un escalar y un vector, es decir (/A - fl) es un escalar.

g. A x (b ■c) El producto vectorial es una operación entre dos vectores, no entre un vectory un escalar, es decir (s-c) es un escalar. h. ( a x b )-C es un escalar (resultado del prod uct o escalar entr e dos vectores).

Del análi sis an terio r podem os de duc ir las siguient es propiedades: •

A -[ b -

•

A x (b x c ) ^ ( a x b ) x C no verifica la asociativa (ver combinaciones c y d).

•

En un entre tres vectores (combinación de producto escalar y vectorial, vei combinaciones e, f, g y h) la expresión solo tiene sentido si se realiza primero el producto vectorial y luego el escalar; es por ello que no es necesario escribir los pa réntesis:

b )-C

no verifica la asociativa (ver combinaciones a y b).

a-bxc=a-(bxc)

1a expresión de un producto mixto en función de las componentes de los vectores viene dada como el desarrollo de un determ inante

A ■BxC=

Ax

Ay

*z

Bx

By

Bz

cx

Cy

Cz

y utilizando las propiedades de los determinantes se puede demostrar que A-BxC = B-CxA = C-AxB

negativo) en la siguiente figura

(toma mos el valo r absolu to ya que el resu ltado podría mm como se muo sii.i

volum en = áre a de la base-altura = = |f ixc|| Aco s0| = |X (e xc )|

\

Relación entre el volumen de paralelepípedo formado por tres vectores y su producto mixto.

IUMBRERAS EDITORES

Un doble pro duc to vector ial p uede desarrollarse en produ ctos escal ares de la siguient e forma

A x(sxc) =

(a - e je

{A'C) b

Sale del paréntesis el vector B, que es el vector más cercano al vector externo A, el cual entra en el parént esis mu ltipli cándose escalarmente por eí otro vector .

Sale del paréntesis el vector C, que es el vector más alejado al vector externo A, el cual entra en el paréntesis multiplicándose escalarmente por el otro vect or.

Utilizando el mismo razonamiento podemos desarrollar el siguiente doble producto vectorial viendo que nos da lo mismo que el anterior (/T x b) x c = (a •c)e - (e ■ c )a

En l os apartados

an teri ores hem os visto diferentes ope

sión m atem áti ca en la que aparezcan ambos tipos

raciones e

ntre vec tores y esca

la res. E n una expre

de m agn it ud es fí si cas, l a form a de m anejarlas es

a cóm o se operab a en el ál gebra de escal ares. Com o ejem plo, supong escalares a y b y los vectores A, B, C, Dy E :

am os la siguiente relación e



similar ntre los

a(A-~B¡C-bD = E Y nos piden que d

espejem os el ve ctor C en función

de l as dem ás m agn it ude s. E l proceso ser

-»

a{~A-7)7-bD=7

^ 7+bD ->■ t-r (a-b)c =

o( a

-7 ]c =7 +b D -r

--------

a

Nótese que

el de no m inad or de la f racción

-

- > o (a-7)c

7+ bD

aC- - p

^

[A ■B)

a y (a-BJ.

= 7 + bD

7+bO

a- p

-- ^—

(a • eje

fi)c,es un vector,

Este detalle junto con el hecho de

que el pro du cto vectorial entre dos vectores e

HA

:

r! En este c aso el den om ina do r de la fracción , (a •

y

en cuenta cuando

-7)

a, es tar íamos ten tado s de reali zar lo si guiente

a (^A •7 )7 -b D =7

|Y estarí am os com etiend o un grave erro

q{a

form a sim il ar a op era r con escal ares , pued e c ond ucir a

error. Si nos hubiesen pedido despejar el escalar

->

c7+b7 =-

es un escal ar, solo t en em os escalares

Esta fam il iari da d en el ma nejo de lo s vectores, de

ía com o sig ue:

s an ticon m uta ti vo son dos de l as cos as que hay que ten

se ma nejan expresiones con vectores.

er

PROBLEMAS RESUELTOS JS

N

ivel

Ahora, para hallar R sumaremos 2A y Si, tenii-n do en cuenta que tienen direcciones opuestas, por lo tanto su mó dulo será el valor absoluto ( li la diferencia de sus módulos, es decir

B ásico

l’ara los vectores mostrados

En (I)

|a | = 8u, |B| = 1 0u y |C| = 6 u,

R = 2A + Sí

halle el módulo de R, si R = 2 A -3B + 4C Luego, su módulo será A

B

C

| b ’|=|2/ v- s 1| A)

26 u

D)

38 u

B) 28 u

C) 32 u E) 42 u

De (a) |ff| = |2(8)-54| |/?| = 38 u

Nos piden \ r \. C lave ( D )

Nótese que los vectores son colineales, su suma dependerá de la dirección que tengan. Siendo | r |= |2 Á-3 S + 4 c |

(I)

Nótese que -3 B y 4C tiene n la misma dirección,

Dos vectores son proporcionales a 8 y 6. Si la resultante mínima es 20 u, halle el módulo de la

podemos sumarlos directamente.

resultante máxima.

5 i = -3B + 4C A) 14 u

I uego, su módulo será

B) 28 u |s¡| = 3|-fi| + 4|c |

C) 35 u

|? i| = 3(10)+ 4(6) I Sil = 54 u

D) 70 u (a)

E) 140 u 8 '.

I UMBRERAS EDITORES

Veamos Nos piden: 6 máx Sean A y 8 los vectores, tal que A = SAr y 8 = 6k. Sabemos que

2-» 2 (2 2 ^ —4 = -( 1 2 ;- 1 5 ) = - x l 2 ; — x l5 3 3 V3 3 ) - A = ( 8; -1 0 )

^máx. = 4 + 6

3

= Zk+6k (I)

RmSx= l A k

Finalmente ^ 4 = (8; -10 )

Por dato

Clave ( C j

^mín.= 4 —6 20 = 8k-6k 10

(a)

k=

Sabiendo que A = (5;6) y S = (4;6) halle el mó dulo de 4 + 6.

Luego (a) en (I) «máx.=

•••

«máx.

14(10 )

A) 9 u D) 20 u

= 140u

B) 12 u

C) 15 u E) 25 u

Clave ( É )

Nos piden |a + b |. Ordenamos los vectores, y sumamos las respec tivas componentes. Si 4 = (12;-15), determine las coordenadas del 2vec tor -4 . 3 A)

(6 ;-5 )

D) (4 ;-5 )

y (5;6) y > 6 = (4; 6) / B) (24 ;-30 )

C) (8 ;-10 )

4 + 6 = (9; 12)

E) (1 6;-2 0) Luego, hallando su módulo 14 + £51= a/92 + 122

Nos piden las coordenadas de un nuevo vector, — 2 obtenido al multiplicar 4 por el escalar -

14 + £?| = 15u Clave

(C )

A ná li si s dim en siona

l

vr cm i u

'..ibiendo que A = (13; 11) y S = (7; 3), halle el módulo de A-B.

Nos piden

A) 5u

Lo primero que haremos será hallar el nuevo vector

II) 10 u

1-*

-

-A + 3B

t ) 15 u II) 20 u

Í A = Í(4;6) = ( 2;3)N 2 2 N

I) 25 u

(+> 3B = 3(2; 1) = (6; 3)

-A + 3B = (8; 6) Nos piden U - b | Ordenamos los vectores y en este caso resta mos las respectivas comp onen tes. A = (13; 11),

B = (7; 3)

H

Ahora, hallando su módulo -A + 3B 2

2 + 62

= y ¡8 -

A - 6 = (6; 8) - A + 3~B = 10u 2

I uego, hallando su módulo

C lave

| a - b |= V62 + 82 A - B = 10u

CLAVE

Si A = 10 u; B = 10 u y C= 10 u, tal que A l B C, halle el ángu lo entre A y B. 6

Sabiendo que A = (4; 6) y B = (2; 1), halle el mó A) 37°

dulo del vector —A + 3B. 2

B) 45° C) 60°

A) 4u l>) 12 u

B)

6u

C) 10 u

D) 90°

E) 15 u

E) 120° 8/

L umbreras

E ditores

Nos piden la medida del ángulo que forman los vectores A y B .

Nos piden el módulo de la resultante entre los vectores A y B . Para hallarlo uniremos los orígenes de los vec tores (libres), obteniendo el ángulo que forman entre sí y, finalmente, usaremos la ley del para lelogramo.

Usando la ley del paralelogramo I A + ' b \ = J a 2 + B 2 +2A6cos0 |c | = V l0 2 +1 02 + 2(10)(10)cos9

De la ley del paralelogramo

102 = 102+ 102+ 2(lO)2 cos0 1 cos0 = —

R = ^A 2 +B 2 +2ABcos60

2

0

=

120

/? = V5 2 + 32+ /(5 )( 3 )( l/¿ )

°

R = a/49

Clave ( E ) .'.

R= 7 u

_CLAVE Dados los vectores A y B, tal que |a| = 5 u y »l 3 u, determine el módulo de su resultante. Si el módulo de la resultante máxima de dos vectores es 28 u y la mínima es 4 u, determine el módu lo de la resultante cuando est os form en 90° entre sí.

M 8u >) 9 u

B) 7 u

C) 6 u E) 2 u

A) 12 u D) 20 u

B) 16 u

C) 18 u E) 25 u

ANALISIS D IMENS IONAL Y VECT OIt l '

! i

................................

Nos piden el módulo de la resultante cuando los vectores sean perpendiculares; para esto debe mos co noce r los vectores.

Nos piden el módulo del vector diferencia, p. lo cual unimos los orígenes de cada vector.

11.1

Sean A y B los vectores, tal que A > B. Por dato 5máx.

-A +6-28

U

(+)

2A = 32 u /4 = 1 6 u y fí = 12u Ahora, hagamos que los vectores formen 90° entre sí, tendremos

De la ley de cosenos

to-í|

Vo2 + b 2 -2obco s0

la - b| = f é + 6 2 - 2(5)(6)cos53°

R = V a 2 + 82 R = V l6 2 + 122

=

.-.

= 5u

R = 20 u

C lave ( B )

C lave ( D A partir del sistema de vectores que se muesii.i, determine el vector resultante. (ABCD: paralelogramo)

Sabiendo que |a| = 5 u y |b | = 6u, deter mine el módulo de la diferencia entre los vectores.

A) 3 u 0) 11 u

B) 5u

C) 7 u

A) P

E) l u

D) - P

B) 2P

C) Q E) - Q K'l

A) F Se pide el vector resultante R. De la figura: R = M + N + P + Q + S

(I)

se puede notar que los vectores M ,N y P for man un polígono cerrado, por lo tanto

~R= 0 + Q+~S

C) 3? D) -F E) -2 F

M + N + P= 0

En (I)

B) 2F

(II) Se pide el vector resultante, para lo cual agru paremos los vectores de manera conveniente,

Haciendo un nue vo gráfico, se tiene

usando el método del polígono. Sea R ~ A^+B + C + D H-E + F

(I)

B

La resultante es un vector de igual tamaño que P, pero su dirección es opuesta, es decir, R = - P C lave ( D )

I n el gráfico adjunto, halle la resultante de los vectores mostrados.

de la figura notamos I.

A + B+ C = ?

II.

D+?=F

(a)

((3)

Luego (a ) y ((3) en (I)

R=F+?+F ~R= 3F __CLAvE ( C ) '1 0

■ Haciendo un nuevo gráfico l.n el sistema de vect ores m ostrados de termine el vector resultante (M\ punto medio).

Se tiene que a + d = 2c En (II) A) C

B) 2

D) - C

C

R = 2c

C) -2 C

C lave ( B )

E) - 3 C

Se pide el vector resultante. Agruparemos los En el gráfico se muestra un hexágono regular de lado a. Halle el módulo de la resultante de los vectores mostrad os.

vectores convenientemente. Sea R= a + b + c + d + e + f + g

En el gráfico notamos que b,e,f,g

(I)

y c forman

un polígono cerrado, es decir =0

b+e+f+g+c

Hn (I) R=a+b+c+e+f+g+d

o R= o+ d

A) a

(II)

D) o V 3

B)

2a

C) oy/2 E) o V I 'I I

1UMBRERAS EDITORES

Piden el módulo del vector resultante, para lo cual trasladaremos el vector A en forma parale la hasta que su extremo coincida con el srcen del vector 8; lo mismo hacemos con Cy

Sea

R —A+8+C+D

A partir del gráfico mostrado, halle nos de A y B (G: baricentro).

D.

x en térmi

Q

A)

(2o + f> )/3

D)

(o + f>)/3

B) (o + 2f>)/ 6

C) (~a + b )/6 E) (2o + 3Íb)/2

Nos piden x en términos de A y 8, para lo cual usaremos la propiedad del baricentro:

(I)

QG = 2GM-

Del gráfico Si = 4 + 8

(a)

S2 =C + D

(P)

Además, usaremos también un vector auxiliar que al final debe ser eliminado.

Luego (a) y (P) en (I) R = S1 + S 2

Además, Si es paralelo a S2 I n módulo fi = 5 1+ S2= o + a

De la figura

8 = 2o

En el A(l) C lave

«)2

(JÉ)

A + n = 3x

(a )

■ I nel A(ll) 8 = 3x + n

(P )

Sumando (a) y ((3) A + B = 6x

-

(a + b) En el triángulo sombreado Clave

A B A —+ - + x = — 4 4 2 A -B

Determine el vector x en función de los vedoíes A y B, si rpqs es un paralelogramo.

C lave

(A )

Se tiene dos vectores A y 8, de modo que l.i suma máxima es 15 u y la mínima 5 u. Determine el módulo de cada vector.

A) 10 u; 5 u A)

)

E)

2A-6

Nos piden el módulo de cada vector, sabiendo que ■^máx. —15 u y 5m¡n —5 u

Nos piden hallar x en función de A y 8. Nótese que el módulo de x es una base media.

Recuerde que para la Smáx , los vectores deben formar 0o y para la suma mínima 180°. 01

T l

I ntonces, sean A y B los vectores, tenemo s

smáx. = ¿+ e = 15u ^mín.

—A —B

=

5

Note que los vectores A y B ahora caen sobre los ejes de coordenadas.

U

Yi A = 10

A+B

U

S=5u Clave ( A ;

11grá fico mues tra tres vectores de igual mód ulo. Halle la medida del ángulo 0 para que la resullante sea mínima.

Se puede notar que la suma de A y 6 forma 45° con los ejes. Para que la resultante sea mínima, el vector (A + B ) y C deben formar 180°.

Del gráfico 20 = 45° .-.

0 = 45°/2 Clave

\) 15° )) 53°/2

B) 37°/2

C) 45°/2 E) 30°

A pa rtir del gráfico mostrado, exprese x en fun ción de los vectores A y B (O: centro de la cir cunferencia).

A) ( a -£0/2 Mus piden 0 para que la resultante sea mínima, n este caso, vamos a girar el sistema de vectoi". un ángulo 0 , en sentido an tihorario. ••t.i acción no altera el módulo del vector re mítante.

B) (2A-B)/2 C) 3(a - 2 s )/6 D) 4( a —fi )/3 E) ( b —a )/2

A nálisis

A) 2 u Nos piden x en función de A y B.

dimensional

B) 4 u

D) 8 u

y ve cio i i i

C) 6 u E) 10 u

Nos piden el módulo de la resultante. Traslucí.i reríios de manera adecuada los vectores, p.it.i usar el método del polígono.

Nótese que el módulo de cada vector es un diá metro, por lo que O representa el punto medio de ambos. 1 ---------------4 u --------------*

Del triángulo vectorial sombreado x + A /2 = S/2

Sea la resultante

H = ( b - a )/2

R=P+Q+m+n

C lave ( ¥ )

En módulo |/?| = |'p + Q + m+ "n|

(I)

Además En el gráfico se muestra un polígono regular de 2 u de lado. Determine el módulo del vector re

|p + m| = |n + Cj|

sultante del sistema mostrado. En (I) \ r | = 2| P + m |

= 2(4) .-. |/? | = 8 u C lave (jí)

UMBRERAS EDITORES

n el sistema de vectores mostrado, determine ■I mó du lo del v ec tor resu ltante.

En el sistema de vectores mostrado determine la dirección la dirección del vecto r resultante.

1u

\)

VI

B) 2V I

)) 2>/3

C) V I E) V I

A)

15°

D)

60°

B)

30°

C) 45° E) 75°

slos piden el módulo del vector resultante Nos piden: 0fí

R=a+b+c

Se sabe que 0fi =tan R*

(I)

n módulo Para esto debemos reducir el sistema. |h | = | o +

ó

+

c

|

/A )el gráfico

/? = (4; 2)

En el eje X

aliando su módulo

Rx = 10cos37°-5 | r |= V42+

22 = 2 V I u

Rx = 8-5 C lave ( B

fí = 3 u

(a )

A nálisis

dimensional

y vectoui

Descom poniendo los v ectores

I n el eje Y R = 10sen37°-3 Ry = 6 - 3 Ry = 3 u

((3)

l inalmente, (a) y (¡3) en (I)

0R = 45°

Del gráfico Cl AVE

Pcos37°=20

PU J =2° P = 25 u

Un el sistema de vectores que se muestra, de termine el módulo del vector P para que la re

Clave U

sultante sea vertical. K-f 20 V T

Sabiendo que A = 6/ +2 j y 6 = 2/ + 4y, de termino el unitario del vector resultante. \45° X

A) 18 U C) 25 u

B) 20 u

D) 30 u

E) 35 u

A)

¿ (7 / + 24y)

B) |( 4 ? + 3y)

C) |( /+ J )

D) Nos piden P para que la resultante sea vertical; esto se cumplirá si y solo si en la horizontal se verifica Rx = 0.

El /5

Hallando en primer lugar el vector resultante A = 6i + 2j \ . . ) (+) 8 = 2/ + 4; <

E) 5V7

-

R = 8i + 6j

Nos piden el módulo de la resultante. jp j

Examinemos el gráfico:

Calculamos su módulo |f í| = V82+6 2 |ff | = 10u

(y)

Finalmente, (P) y (y) en (a) 8/ + 6/ 4 í 3 10 5 5

JJLp —-------------— — / H— J

R

Podemos deducir que _ C la v e

|s j

= 4u

Ahora, usaremos la ley del paralelogramo Determine el módulo de la resultante de los

| A + B | = v/a 2 +B2+ 2ABcos0

vectores m ostrad os ( A = 2 u ). Reemplazando los valores |A + b| = ijl2 + 4 2 +2(2)(4) cos60° = ^28 |a + s | = 2a/7u

C lave | B )

A nálisis

N ivel intermedio

dimensional

•,

y veciohi

Halle la resultante del conjunto de vectore mostrados en la figura.

II,ille |/?|; sabiendo que H - A — B + 3C 2

donde 2B H

4 u-

h

-8u-

I -2 U-H A) 2A B) 4u

A) 2u

C) 6u

B)

D) B

3E

C) D + E E) O

E) 10 u

D) 8 u

Nos piden la resultante del sistema de vectores mostrados.

Nos piden el módulo de R, siendo R= A - - f i + 3 C 2

(I)

Como los vectores son paralelos, hallaremos la representación cartesiana para cada uno A = 4l; 8 = 4/; C = —2/

Representaremos los vectores como pares or denados. De la figura

A = [3; 2)

B=(l;3) l n (I)

C=(2;-3)

8 = 4 /— (4/) + 3 ( —2/) 2

(+)

D = ( - 2;-2)

fí = 4/ - 2 ¡ - 6 /

£=(-4;0) /

8 = -4 /

S=(0; 0)

I n módulo

5=0 u

C lave ( B

C lave

(j¡)

L umbreras

E ditores

Sabiendo que la cuadrícula mostrada es de 1 cm de lado, determine el vector resultante.

A partir del siguiente sistema de vectores, de termine el vector resultante.

A) i - j

C) 2 i - j

B) i + j

D) 2j

E) - j

X(cm)

A) 2/

B)

-2 i

D) - 4 /

C) 4/

Nos piden el módulo de la resultante del sistema de vectores mostrado.

E) 2/+4 j

Hallemos la representación cartesiana de cada vec tor y sumamos .

Nos piden el módulo de la resultante. Exprese mos los vectores en función de pares ordena dos. Del gráfico

Del gráfico

A + B + C = S =(0; 4)

\

B=(0;-3)

(+)

C = (-l;2 )

¡

A + B + C = S =(1; 1)

i inalmente

S = i+ j

5=4 / C lave ( C LOO

A = (2; 2)

C lave ( B )

A náli si s d i m en si on al

Calcule el módulo de F para que la resultante del sistema se oriente según la perpendicular al iodo AC.

ve ci ou i •

A p ar tir de los vectores que se muestran dotoi mine el módulo de su resultante.

A) 16 u li) 18 u C) 20 u n) 22 u I ) 24 u

20 u á 53° ,cv

60° C

Nos piden el módulo de F. Como la resultante tiene dirección perpendicu lar al lado AC; la resultante horizontal será nula. Descomponiendo los vectores.

A) 5V2

B) V5

D) 5

C) 10 E) 15

Nos piden el módulo del vector resultante. Si notamos los ángulos, deducimos que los vec tores mostrados son

es decir

l'or condición 1 n el eje X Fcos6 0°= 20cos53° y como tienen direcciones opuestas la suma será mínima.

"iMi

-h riín .- 1®

F=24 u C lave ( E

5

5 U

C lave (D >

101

L umbreras

E ditores

Determine el módulo del vector resultante.

Note que forman 90° entre sí . De la figura A) 30 u

B) 40 u

D) 60 u

R = a/402 + (/?')2

C) 50 u E) 100 u

Pero: R' = 30 u Luego

Nos piden R. Agrupemos conven ientem ente los vectores je n este caso hallaremos la resultante de los vecto res de igual módulo y forman 60° entre sí.

r

.-.

= 4 402 + 30 2

R=5 0 u C lave ( c )

Si la resultan te del sistema de vectores mostrado es vertical, determine la medida del ángulo 0.

I ,i resultante será R' = 10V 3-(VÍ ) R‘= 30 u A) 16°

I ¡nalmente, sumaremos vectorialmente R' y 40 u, 102

D) 53 °

B) 37 °

C) 45 ° E) 74 °

A nálisis

■ Nos piden el módulo de la resultante sabiendo que es vertical. Vamos a descomponer los vec tores dados en los respectivos ejes

dimensional

•,

y vectoui

Nos piden el módulo de la resultante, para lo cual descomponemos los vectores adecuada mente.

5+5sen37°

2Ocos0

u X Donde

Por dato

Ir

Como la resultante del sistema es vertical, en la horizontal la resultante debe ser nula.

2+92 = V64 + 8 1

Del grá fico IRI = a/ 145 u 2Ocos0= 10cos37° + 8 2Ocos0=8+8

Clave ( D )

4 cos0=— 5 .'.

0=37° C lave ( B

Determine el módulo de la resultante del sistr ma de vectores mostrado (¿>=1 u).

Dado el sistema de vectores, determine el mó dulo de su resultante. '79 u í95 u Ou B) . 3a/ I

A) D)

a/Í9

u

u

C)

a/

ÍI

u

E) 2 a/ I

10 3

L umbreras

E ditores

Nos piden el módulo del vector resultante. Sea R=A+B+C,

en el módulo sería

En el trapecio se indican los vectores AyB. Determ ine el m ódu lo de la suma vectorial. (M: punto medio)

|fí| = |!+ S + c|

4u Examinemos la gráfica

A) 4 u Notemos que

B) 10 u

D) 16 u

C) 12 u E) 20 u

OP=A+C

Además

Nos piden el módulo del vector resultante. Para lo cual trasladaremos adecuadamente al vector

U + c | = 3u

(I)

A.

Reordenando la figura

4u

Aplicaremos la ley de paralelogramo a los vec De la figura, los trián gu los s ombreado s son con

tores B y (a + c). r \= \B

2+ \ a + c\2 + 2b \a + c\cos60°

gruentes. Luego PQ=~R = A + B

R| = ^ l 2+32 + 2 (l)(3)-^

j De donde, en módulo será

■

A nálisis

dimensional

y vi c

m u i •.

................................

Su módulo Dado el paralelogramo ABCD, determine el mó

7? = |x +"y +T |

(I)

dulo del vector resultante. De la figura notamos qu e(z + y) y x son collnenlc , B

C

Luego En (I)

|/?| = | x| + |y + z| = 5 + 10 |/?| = 15 u A

A) 10 u D) 20 u

D

B) 5 u

C lave (» )

C) 15 u E) 25 u Determine el módulo de la resultante de los vectores mostrados, si se cumple

Nos piden el mó dulo del vecto r resultante, para lo cual trasladaremos a los vectores de manera

|a| = |c] = | >/3 b| = W 3 M: punto medio

adecuada.

A) 6 u Sea R = x + y + z

D) 16 u

B) 8 u

C) 12 u

E) 20 u 105

M imbreras

E ditores

Nos piden el módulo de la resultante. Sea R = A + B + C Entonces: | r | = | a + B + c |

(5)

De la figura

A) 4 C

B) 3C

C) 2C

D) O

3— E) - C 2

Nos piden determinar el vector Se puede notar que el vector B es paralelo con Á i C, en (§) I r I=U+

E en términos

de C, para lo cual vamos a trasladar algunos vectores de manera conveniente. Redibujando el sistema

(i)

c I+ I b I

D

Nótese Ia|=|c| l’or propie dad U +

c | = |a

|>/3

I liego en (I) I r MW3)V3+4 I r 1= 16 u C lave

(6)

De la figura sombreada ~B= C + A + D

Donde II hexágono regular que se muestra tiene lado L.

C=-A+B-D

Determine el vector E en función del vector C,

Multi plicamos x 2

M/’

2A + 2B -2D + C .

2C = -2 A + 2B -2D

(I)

#

A nálisis

dimensional

y ve c i o i i i

\

...............................

En el triáng ulo sombreado

Del dato E = -2 A + 2S -2D + C

2x + —= A

2C

2

De (I) ?=

2x = A - -

2C+C

E = 3C

2

x = -(2A -e) 4 C lave ( § )

En el sistema vectorial mostrado halle función de A y B, si ISI = 2¡ A I.

C lavi ( E )

x en

Dos vectores de módulos iguales a 4 u forman 74° entre sí. Determine el módulo del vector di ferencia de dichos vectores. A) 1,2 u D) 4,8 u

B) 2,4 u

C) 3,6 u E) 5,6 u

Nos piden el módulo de la diferencia de los vm tores. Sean los vectores A y 6, los graficaremos segun los datos Nos piden x , en términos de A y B. Traslada mos de manera conveniente los vectores y com pletamos el triángulo vectorial.

I umbreras

E ditores

Como | A | = | S |, el triá ng ulo ve cto ria l OPQ es isósi ('les. Del vértice O bajamos la ± al lado desigual y esta resulta ser la mediana, mediatriz, bisec

A) 3y~2x

B) y -3 x

C) (y -2 x )/3

D) ( y - 6x ) /2

E) {2y-3x)/A

triz, altura.

I n el A AM P

Se pide a en términos de x e y. 2 P

|a - s | = 2/WP

(I)

Además MP = 4sen37° = 4(3/5 )

.-. M P = 2,4 Introducimos el vector auxiliar P. I inalmente, en (I) •

Ia - b 1= 2(2,4) .-.

a|

En el AMCD tenemos o + 2x = P /2

- s 1= 4 ,8 u

o= C lave

(D )

•

P 2

2x

(|)

En el A ACD P + 2x = y P = y -2 x

n el paralelogramo mostrado, M y A/son puntos

(II)

nedios. Calcule a en función de x e y. •

Luego (II) en (I)

M 2

y -6 x C lave 08

A nálisis

l letermine el módulo de la resultante del sistema de vectores mostrados.

A) 2 u D)

B) 4 u

8u

dimensional

*,

y vectohi

Dete rmine el m ód ulo de la suma de los vectores mostrados si el radio de la circunferencia de centro O es 2 u.

C) 6 u E) 10 u

A) V Iu u D)

2 -S

B) S u

C) W 2 u

E)

iS u

Nos piden el módulo de la resultante Nos piden el módulo de la suma para el sistema mostrado. Se pue de n ot ar :|o | = |b| = |e| = 2u Usando el método del polígono.

Sea la resultante S= o ^ + c + c¡ -n

2n

S= n

S En módulo |s|=|n|=2u C lave Í A 10')

i i m bu i r a s

E ditores

En el triáng ulo sombreado

Irni'inos S=a+b+c+d+e b

S=a+b

)r l.i figura S = a + 2b Su módulo

n módulo

|s | = 2V3-cos3 00

\l\ = Ja2+(2bf = V 22 + 4 2 .

|'s| = 2a/5 u

C lave ( í )

.-.

|s| = 3u

CLAVE (C) •etermine el módulo del vector resultante.

Si ABCD es un rectángulo, determine el vector resultante del sist ema de vectores mostrados. 4 ) lu ) 4u

B) 2 u

C) 3u E) 5 u

esolución os piden el módulo del vector resultante,

1--------6 u -------* --------6 u

s.iremos e l mé todo del polígono para dos vecH OS

A) (-3 / + 4 /)u B) (-6/-4/)u C) (6/-4/)u D) (4/-8/)u E) (3/ + io y)u

B

A nálisis

■

dimensional

y vectoui

Ñus piden determinar al vector resultante,

Nos piden determinar la medida del ángulo

■..iliemos que ABCD es un rectángulo

A pa rtir de la figura construyamos un triángulo.

a.

Usaremos la ley de senos vi i

x : i >—► b

Usaremos el método del polígono, para lo cual nasladamos paralelamente al vector b y traza mos la resultante. I'.ira determinar la resultante en función de los i (imponentes de la figura

\A \ _

sena 6

/?= (- 6 /-4 y ')u

_

sena Clave

\B\

sen30° 5 (1/2)

sena = 3/5 a = 37 ° _ C lave ( C )

I n el sistema mostrado, halle el ángulo a, sa biendo que I A I = 6 u; IB | = 5 u.

Si se verifi ca 2A + B = 0,

dond e

S = (3;x), halle los valores dexey.

A) 16 ° D) 45 °

B) 30 °

C) 37° E) 60 °

A = (x; y);

UMBRER AS EDI TORE S

le pide determinar x e y. Para que se verifique ,3 relación

Se pide el módulo de la resultante entre hallaremos cad a vecto r •

24 + 6 = 0

« 1 = ( 2/ -3/)+

R iy 62;

( 4 /+ 11/ )

Ri =6 /+ 8 /

)el d ato 2(x; y) + (3; x) = 0 (2x;2y ) + (3;x) = 0 = (0; 0)

•

R2= (-7/-7./

)-( 4 /+11/)

Rz = (-11 /- 18 /)

(2x + 3; 2y + x) = (0;0 ) ~ i

j

2x+3=0 x=—

3 2

a

a

Graficando los vectores Ri y R2, y usando el mé todo del paralelogramo

t

2y+x=0 3 2y — = 0 2

y = 3/4 C lave ( § )

Además l R1 = A + B, R j = C —B y i 2 /-3 / ; 6 = 4/+ 11/ yC = -7 /- 7 /, .illn la resultante entre Ri y 62 sabiendo que irrnan un ángulo de 37°.

j« i| = 10u |« 2| = 21 ,1 u

Tendr emos como m ódulo |R |= V ^ i +

+

2RiR2eos 37 o

) 27,9 u ) 29,7 u

|ff | = V l0 2+ (21 ,l)2+2(10) (21, l)(4/ 5)

) ¡0,2 u ) ¡2,4 u ) 40,6 u 17

| r | = 2 9 ,7 u

_C LAVE ( § )

A nálisis

dimensional

y vectoui

l l gráfico muestra un cilindro recto de radio R y altura h. Desde el centro de la base inferior se (onstruyen 12 vectores que terminan en los 12 puntos equ idistantes A, B, C, ..., entr e sí. Halle el módulo del vector resultante.

Halle a y | A | para que la resultante de los 3 vec tores mostrados sea nula.

A) 10h

A) 12 u

D) 13/7

B) U h

C) 12/? E) 14/7

Nos piden el mód ulo del vec tor resultante. Al descomponer los vectores, notamos que 2 a 2 sus componentes de la base se anulan.

s

Si ISI = 7 u y ICI = 25 u

D) 30 u

B) 18 u

C) 24 u E) 36 u

Nos piden a y el módulo del vector A, para lo cual construiremos un polígono. Como la resul tante es nula el polígono debe ser cerrado.

Es decir A + G = 2~h ~B+~H = 2h

C+7=2/7 ~F+ M = 2h ~R= 6 Í2h) ~R= 12h

En módulo | r | = 12/7 C lave

113

L umbreras

E ditores

De la ley de senos A

Nos piden d ete rm ina r el vec tor resultante, para lo cual expresaremos los vectores como pares ordenados.

B

sen(82°-a)

sen(8°+a)

sen90°

Entre B y C

Del gráfico

7

__________

sen(8°+a) sen(8°+a) =

25 1 7 25

a = 8° Entre/íyC

A + B + C + D = R = ( - l; 2)

A

B

sen74°

sen90°

R = - i + 2j

A = 24 u

Clave

Clave

En el sistema de vectores mostrados, determine el vector re sultante.

Dado los vec tores [ A (= 10 u; 18 1= 25 u; |C | = 40 u, dete rmin e el vecto r D para que la resultante de l sistema de vectores sea nula.

Yl

/ 6 V

/

53° \ /(,74o /3 7 0 c.

A)

/ —4/

D)

/ - 3/

I 14

B) - /

3/

C) - i + 2j E) -2 / + 4J

A) 18/ D) -2 5/

B) -1 2 /

X

\. D

C) 23/ E) 40/

A nálisis

Nos piden determinar el vector

D.

dimensionaly

vecioui

Halle el vector x + y en función de los vectorc

Vamos a descomponer los vectores en los res pectivos ejes sabiendo que la resultante en cada uno de ellos debe ser nula.

o y b.

A)

-b

3

+ Gr

B) 6 + 2cT

D ) |í E)

b + —a 2

Nos piden la suma de x e y en términos de lo vectores a y b. Para esto descomponemos lo vectores de manera conveniente En el ejeX 7 + Dx =3 0 Dx = 23

(I)

En el eje Y 8+24 = 32 +DV Dy = 0

(II)

Finalmente Del gráfico

D = DX¡ + Dyj D = 23/

x = 2 n+m y=2m +n Clave

(C

x + y = 3(m + n)

L umbreras

E ditores

Además

En el triáng ulo so mbread o (II)

b = 2Ím + n)

Luego (II) en (I) 3x + y = —b

B -» — —+ 3x = A 2 _ - - B 3x = A — 2

C lave @

x=

-( 2 A - b ) 6 _CLAVE

Determine el vector x en función de los vecto res A y B si se sabe que M y N son puntos me dios de los respectivos lados.

en el gráfico.

A) 1/6(2 A - b ) m -( 2 a ' 3

b)

C) -Í A -2 ' 3

b)

Halle x en términos de a y c, si P es punto me dio del lado del paralelogramo que se muestra

D) -(2A-3B) 5 I.) 1/3(

a

-

b)

A) - ( o + c) D) - 1 +/ 2(0 2c)

B) —(0 + 0 / 2 ) C) - l/ 2 ( o + c) E) l/2 ( o -7 )

Nos piden x en términos de A y B. Usaremos la propiedad del baricentro. GR =2 NG R

Nos piden determinar x en términos de o y c, para lo cual completaremos el gráfico y trasla daremos los vectores de manera conveniente.

I 16

A nálisis

H

2

y vectoiu

Se verifica que

1n el trián gu lo so mbreado X

dimensional

A=a+b+c

1-C= 0

(I)

Para ^

x = - - ( a + 2c) 2 C lave ( D )

-b

l.n el sistema mostrado, determine la suma de A y 8 en función de los vectores a ,b y c .

Se verifica que ~B= c - b + a

(II)

Luego hacemos (l)+ (ll) A = o + ib+ c 8=c-ü+a A) a + b + c 0)

(o + fa)

B) 2(o + c)

(+)

A + 8 = 2(o + c)

C) 2(b + c) E) o - c

CLAVF i b )

Nos piden A + B en térm inos de a, b y c. Hallaremos cada vector de manera indepen diente, para luego sumarlos

Sean los vectores

De la figura

x = 3 ti + 4 j-5 k

; y = 2i + ( t - l ) j + k y

Para A z = 3/ + 7y +0 ,5 tk. Determine el tiempo para el cual la result.inli de los vectores sea paralela al plano xy.

A) 2 s D) 8 s

B) 4 s

C) 6 s E) 10 s

lUMBRERAS EDITORES

Nos piden el tie m po para el cual la resu ltan te sea paralela al plano xy, para esto la componente en el eje Z debe ser cero.

A) V 5 u

B) 4 ^ 6 u

D) 8sÍ6u

C) 4-^5 u

E) 4-v/3 u

Es decir Nos piden el módulo del vector resultante. Representaremos como par ordenado cada vector y luego hallaremos el módulo pedido.

"x = 347 + 4/ - 5k ~y= 2l + ( t - l ) j + k

](+)

z = 3/ + 7/ + 0,5 tk > R = { 5 + 3t)i + (10 + t) j + (-4 + 0,5 t)k

De la condición (- 4 + 0,5 t)í< = 0 - 4 + 0, 5t = 0 t = 8s Clave

Dado el gráfico mostrado, determine | a + B + C +d |, si se trata de un cubo de lado igual a 4 u.

Del grá fico A = ( 0; 4; 4) - (4 ; 0; 4) = (-4 ; 4; 0) \ B = (4; 4; 4) - (4; 0; 4) = (0; 4; 0 )

(-0

C = (0 ; 4; 0) - (4 ; 0; 4) = (-4 ; 4; - 4) D = (4 ; 4; 0 ) - (4 ; 0; 4) = (0 ; 4; - 4)

I

A + B + C + D = S = (- 8; 16 ;-8) |s" | = V s 2 + 16 2 +-82 Is"I = S-n/6 u

C lave ( D I 18

A nálisis

Determine el módulo de

R = A + 6 + p, siendo p

un vector unitario.

A) 4u

B) l u

D) 2u

L)

áU

dimensional

y vecioio

Determ ine el m ódulo del vec tor res ultan los vectores A y B ubica dos en el cubo m os tu du

..........

A) 2y¡5 u

E) 0

B) 4 u C) 6 u

Nos piden el módulo de R. Para hallar dicha re sultante, trasladaremos de manera conveniente los vectores .

4

J5 u

E) 6a/ 5 u

Nos piden el módulo del vector resultante de los vectores A y B.

Se sabe que R —A H-B + JU.

D)

(I)

Hagamos coincidir el srcen del vector A con el srcen del sistema de ejes coordenados.

Del gráfico kz

A + B = ¡x

k—

-2 u-

En (I) R = J I + Jl í R= 2|I

En módulo R=2 u

Clave

ÍD I I'

L umbreras

E ditores

Ahora, hallamos los vectores en función de sus compone ntes y sumamos . A = ( 2/ + 2j +p £)u

Por dato, tenemos la suma. Para relacionarla usaremos la ley del paralelogramo |o + b| =a2+b2+2abcosQ

S= (2 /-^)u 242= 132+1 92+ 2a b cos0

A + S = (4/ + 2 /)u \ a + b \= ^4 2+ 22

(II)

Sumamos (I) y (II) |a - b f +242 = 2 (l3 2+192 )

|a + b |= 2 V 5 u _ C la v e

(A )

Operamos |o -b f = 484 |o-bf=22

Halle el módulo de a —b si se sabe que a=13 u, b 19 u y que el mód ulo de su suma es 24 u.

CLAVE ( B )

A) 21 li) 22

C) 23 D) 32

Si a + b + c = 0 y I o I= 2, |b | = 5 y |c | = 8, calcule o-fa.

I) 33 A) 15

B) 25

D) 40

C) 35 E) 45

Nos piden el módulo de la diferencia entre los vectores o y ó .

De l.i ley de cosenos

Nos piden el producto escalar entre decir ab = ab- cos0

\a -b \ = ^ a 2+b2 -2ob-cos0

De la condición Mendo 0 el ángulo formado por los vectores

o+b+c=0

a y b, es

(I)

A nálisis

dimensional

y vecidiii

Resolviendo tenemo s

Tomando módulos y elevando al cuadrado

2x = (- 6; 18)

|a + fa| = | —c |

x = (-3;9) De la ley del paralelogramo Clave

(A )

! a | + 2 afocos8 +|fc| = |c | |o [ +

2a-b +|fa| =|c| El vector c se puede expresar de la siguiente manera: c = ra + sb. Si c = (9;4), o = (2; 3) y

Reemplazando los datos

i> = (l;2), de term ine sr.

22 + 2o-b + 52 = 82 Operando tenemos

A) 1

o-fa = 35

D) 16

C lave

©

B) 49

C) 81 •

E) 25

Debemos tener en cuenta querysson númenc. reales. Dado los vectores a = (5; 2); b = (~ 3; 4) y c = (7;4), resolver la siguiente ecuación vec to rial 2x + 5o -3 b = 4c.

A) (-3 ; 9) D) (6 ;- 3 )

B) (-3 ; 6)

C) (3; 6)

Reemplazando los vectores en la expresión c = ra + sb

(9; 4) = r(2; -3 )+ s (l; 2) (9; 4)=(2r+ s;-3r+2s )

E) (9 ;- 3 ) Identificando componentes 2r + s = 9

Al resolver la ecuac ión vecto rial debe mos encon  tra r el valo r de x que satisfaga dicha ec uación. Es decir 2x + 5(5; 2) - 3(—3; 4) = 4(7; 4)

2s-3r=4 Operando r= 2 a s=5 Finalmente, nos piden sr=52=25

2x + (25; 10) + (9; -1 2 ) = (28; 16)

Clave (jF

)

IUMBR ERA S EDIT ORE S

66

Halle un ve cto r un itario para lelo a la resu ltante de los vectores A = (2; 2; 2) y B = (1; -1 ; -1 ).

A)

B) v h (2;0;3)

Un ve cto r P, cuyo mód ulo es 6 u, tien e las tr c . compone ntes de igual v alor. Determ ine P.

B) -^=(1; 1; 1)

A) W i (1;1;1) C) -2 a/3(—1; —1; 1) D) 2a/3(1; 1; 1)

Nos piden un vector un itario ü, tal que sea para lelo al vector A + B ; es decir, podemos determi nar el unitario de la suma y este será el vector pedido. u -

U a +B

(a + b )

(I)

= ■

\a + b ¡

Nos piden hallar P.

Sea P = {Px.Py.Pz)

(I)

Y su módulo \p \ = y[px +Py + Pz ' Per0

Hallamos la suma A = (2; 2; 2) 's = (1; —1; —1)

Se sabe que Px=Py=Pz-

(+)

Entonces

A + B = (3; 1; 1)

| p =|^

+T + T

Luego en (I)

| a + b |= V í T

P = ( 2^ 3; 2 ^3 ; 2^/1) = 2 ^3 (1; 1; 1)

l inalmente, en (I) „

„

u = ua+b

1

.-. C lave ( E

122

x V3=6

Px = 2 a/3

Cálculo del módulo de la suma \a + b \ = s

=P

P = 2a/3 (/+ j i+k) Clave

A nálisis

dimensional

y vecioui

En el dato

68

Halle U x b | , si feI = 2u y A + B + C = 6/

A + B —2/ = 6i A +~B = 8/

El vector suma entre A y B está sobre el eje 1 X Redibujando los vectores

A) 2^3 u D)

B) 20V3 u

16->/3 u

C) 36 u E)

loVIu

Nos piden el mód ulo del pro duc to vectorial entre Ay B.

Podemos o btene r

Es decir |Ax B | = |A|s |se n0

|a

] = 4u

y | B| =

4 t/3

u

(I) Finalmente en (a)

Donde 0 es el ángulo entre A y B; de la figura 0=90°.

| A x B | = 16^3 u = 16V3u

En (I) | a x b | = | a || b | 1 1 1 11 1

C lave

, . (a)

(D

Del dato A + B+C = 6/; ad em ás|c| = 2u

Dados los vectores P = (n; 1) y Q = (2n;n), halle n para que sean paralelos.

De la figura C está sobre el eje X

A) - 1

C :—2/

D) - 1 /2

B) 1/3

C) 2 E) 3

12 I

UMBRERAS EDITORES

Identificando se tiene Py+Pz = - 2

los piden n para que P 1t Q. abemos que para tal condición basta con que n vec tor sea mú ltiplo del otro, es decir P = KQ /KeR

P*~Pz= 1

Py+Px=-1 Resolviendo

(n; l)=K(2n ; n)

Px= l/3;P )/= -4 /3 y P z=-2/3

(n; 1)=(2 Kn; Kn) ’ualamos lo s respecti vos co mpon entes

Finalmente

n = 2Kn -> K= 1/2

.

P=-( l; -4 ;-2 )

n= 2

l=Kn

CLAVE _C L A V E

Determine qué vector debemos sumar al vectoi (3; - 2 ; 4) para que se obten ga el vec tor (8; 0; 0). ea A = ( l ; - l ; l ) y B= (2 ;l;-1 ), halle el vector , de tal manera que se verifique

A xP = B.

A)

(5; 2 ;- 4 )

B) (4; 2 ,- 1 )

D) (2; 0; -1 ) ) (2; 0; -1 )

B) (2 ;-1 ; 1)

E) ( - 4 ;- 2 ;0 )

C) - ( l; - 2 ;4 ) E) —(1; —4; —2)

4

C) (5; 0 ;- 1 )

Sea el vec tor pe dido A = (Ax;Ay;Az ) Luego, por condición del problema tenemos que

os piden P, tal que se verifiq ue AxP = B sien-

A + (3; - 2; 4) = (8; 0; 0)

o~P = (Px -,Py -,Pz)

(Ax;A y;A z)+(3 ;- 2 ; 4)=( 8; 0; 0)

, decir

(Ax+ 3; Ay- 2; Az+4)=(8; 0; 0) AxP=

l\k + P i +P2j)

s

Identificando las componentes -(-Pzí +Pyi< + Px})

Ax+3 = 8 -> A x= 5; Ay-2 = 0 y Az+4=0

A=2

Az= - 4

Finalmente, el vector A será tdenando, tenemos P-{~P y-Pzy + {px -Pz)i+{P y-P x)í

y vectoiii

C) V 2 (l;0 ;l)

Encuentre el producto vectorial de los vectores e)

D)

y B = i + 3j - S k

A = 3i + Aj + 2k

A) -2 6 / + 17y + 5k B) -13 / + aí

Nos piden un vector unitario, perpendicular al

C) 7/—l l / + Sk plano formado por otros vectores. Por de finición , el ve cto r _L al p lano for ma do por A y B es su producto vectorial.

D) 12/—7/ + lOk E) 1 1 /- 2 2 / + 5/C

Por lo tanto Nos piden el producto vectorial entre A y 6.

(a x b )

Por definic ión

Ia x b I

/ AxB =

7

í:

Hallamos A x B

¿z

*x

(a)

«x

Reemplazando los valores correspondientes

AxB=x

(—3 /+ 4/c -2 y)

{ük —4/ — 2/) A - (-20/ + 9k+ 2j) AxB = /

-(4Í + 6/-1 5/)

,

Ordenamos -> ~AxB = l + k

Ordenamos

Su módulo

A x B = (-26 / +17/ + 5k) IA x fil = V 2 C lave ( A En (a)

Halle un vector unitario perpendicular al plano formado por los vectores A = (2;3 ;-2)

y B = (l;2 ;-1 )

C lave ( E

12'.

I UMBRERAS EDITORES

líos vectores A y B d e 3 u y 5 u , re spectivamente, lorman un ángulo de 37°. Determine el módulo de la suma y de la diferencia e indicar el menor

Encue ntre el valor de o, de manera que los vecto res A = (- o; z) y B = (- 1; 3) sean pe rpendiculares

módulo.

A) - 3 C) 4

B) - 4

D) - 6

E) 6

A) 1,18

B) 2 ,2 6

C) 3,16 D) 4,32

E) 5,81

Mos piden tanto el módulo de la suma como el ■nodulo de la diferencia, drafican do los vector es y usando la ley del paraelogramo para la suma y la ley de cosenos para ,i diferencia.

Nos piden a, tal que A _L B . Por condición de peí pendicularidad , se debe ve rificar que A-B = 0. Es decir ~A-~B = (-a ; 2) •(—1; 3) = 0

o+6=0 o=-6 _C LA V E ©

.ilculo de |A + S| del gráfico | A + B | = -y/ 32 + 52 + 2(3)(5) eos 37° Determine el vector | a + b | = a/58

R = A + f3 + C + D + £ + F + 6, si la figura es un hexágono regular de lado a.

| a + b | = 7 ,6 2 u .ilculo de | a -

b | del

gráfico

| Á - B | = -y/32 + 52 - 2(3)(5)cos37° |a

b |=

V io

|a -

b | = 3 ,16 u

C lave ©

A

A)

— (—2/

3

B) o(-2/-2/)

+ a/3/)

nálisis

dimensional

y ve c

m ui

En (I) R = 2ai + ay¡3j

C) | {S i -j )

R = a(2i + ^¡ 3j)

D) 0 ( 2/ + ^Í3j)

E) a-(i+ S j)

Nos piden hallar el vecto r resulta nte del sistema de vectores mostrados.

CLAVI ( ¡ i )

En el gráfico que se muestra, determine

x + y.

Del gráfico R = A + 5 + C+ P + E + F + G

-1

~F

X

R = 2F + G Reconstruyendo la gráfica, nótese que

A) -Jla(i+j)

IGI = oV 3 u y IFI = 2o u B) | 0(i-^ )( -/-y )

C) £ ( 3

D) £ (2-V 3 )(-/+ /)

E) £ ( 2 - >/2)(/+ /)

12/

I UMBRERAS EDITORES

Nos piden dete rm ina r la resultante entre x e y. Consideremos los datos geométricos del pro blema.

En el gráfico se muestra un cuadrado cuyo lado mide dos unidades y un arco de circunferencia. Determine el vector a.

A)

B) (V 2-f) (- /- ;) C) £ { i+ j ) D) (2-V2)(-?+7) E) V 2 (/- /) De donde I.

En el A somb read o I

y = a —:— \¡~n

Nos pid e de term inar a . En términos de los vet tores unitarios.

(a)

Examinando el gráfico

En el A som brea do II x = q— \-

l/' + n

((3)

>umando (a) y ((3) x+y=a

C lave ( E

178

2-V2

A nálisis

■

dimensional

y vectohi

Sea el vector Nos piden x en términos de a y b.

^

a = mi + nj

Graficando a los vectores Debemos determin ar los valores d e m y n . Se tiene o = (2 -^ )( -/ ) + (2- V2 ); a = (2 -J Í){-l+

j)

Clave

En el gráfico, halle x en función de a y b.

Por definición ~ _ x

x

X

= |x |j ix

(I)

Se tiene x lf n

£ x = j l n = •—|

[1 * = ^ |n|

De la figura sombreada

(M)

•.

I UMBRERAS EDITORES

¡nalmente, ((3) y (y) en (I)

Luego los vectores serán F2 = (3;-4)

b-a/2

x = b - b—

a

g = (-6;- 4)

\b-^n\/

Hallamos la suma x=

IV

[b-a/ll

(a)

F2 + F 3 =(-3;-8)

2

C lave ( E Cálculo de su módulo | f 2 + F 3| = V3 2 +=V 8 273 Sabiendo que la resultante de las fuerzas / 1 =(3;8)/V, F 2 = (x;- 4 )N y F 3 = ( - 6 ;y) es igual .1 cero, halle el vector unitario de la resultante de F2 y F3.

Finalmente, (a) y ((3) en (I) ~ _(-3;- 8)_ U~

B)

5'

V73

3 -

8 -

" Clave

3 _4

[-8;-7)

A)

(P)

5

1

q ^ d ; i) 15)

8

V 73

E)

a/65

Determine p - q si ABCD es un paralelogramo en donde se cumple que AC = SAE,BC = 3BF y además EF = p U o ) + q (/4s).

Nos piden el unitario del vector que resulta de sumar F 2 y F3. Por definic ión F2 + F 3 M-= ,f — = rr | f 2 + f3 |

(■)

Por dato tenemos Fi +F 2 + F 3 = 0 (3; 8)+ (x ;-4 ) + (- 6; y) = 0

A) -4/3

(x -3 ; 4+y ) = (0; 0)

B) -1 /3

Identif icamos los componentes x-3=0 x=3 I 30

a a

4+y=0

y=-4

C) -2 /3 D) +2/3 E) 4/3

A nálisis

É

dimensional

y vectohi

Reemplazando (I) y (II) Nos piden p-q. trafiquemos los vectores representando los datos.

— AD AD + AB —; AB + ----= -------------+ EF 3

5

De donde EF

Identificando los coeficien tes 2

p=— 15

12

q=—

a

15

Finalmente _2__12

De la figura

15

(a)

AC=AB+AD

p-q =

Por dato

15

2

C lave (C

AC= 5AE

lin (a) En el gráfico mostrado, M es punto medio de JH. Si ¡2/A —S| = 2>/3 u yr = 2 u, calcule | á - b |.

5AE=AB+AD

■■■ AE--

AB + AD

(0

Del dato BC = 3BF

Además BC = AD

AD

—> BF = -

A) -Jíu Del políg ono sombreado AB + BF = AE + EF

B) -J7u

C) V5u D) >/Í3u

E) Vil u 1 II

I IJMBRERAS EDITORES

En (II) Nos piden el módulo de la diferencia entre los vectores Ay B.

2| >41= 4sen30° 1u

\a \=

Veamos el gráfico

De la figura sombreada

Utilizando la ley de cosenos

PH = 2A-~B

A -B l = VA2 +B 2 -2/4Scosl20°

En módulo |w |= |2 ^ -

b|

= 2V3

¡A-B I = ^ /l2 +2 2 —2(1)(2) -(—1/2)

(I)

|a -

b |= V

En el ^JHN

Clave

= 2|/4| = 2r.sen0 = 4sen0 I n el

(M)

HNP, aplicando la ley de senos \p h \

(a)

\ñ h \ _ |fi[

_

sen(9O°+0)

sen(9O°-20)

sen0

Reemplazando (I) y (II) en (a) 2^3 _ 4sen0

cos0

cos20

Halle el módulo de la res ulta nte del sistema de vectores mostra do, si 0= 12 0 y A = f =1 0u .

A) 2 2sen0cos0 cos20

tan 20 = ^3 20=60°

|s|

_ 2V3

sen30°

cos30°

B =2u

a/37

5 B) 5VÍ7 C) 4^37

0=30° D)

n (oc) y reemplazando

132

7u

25

u

37

A nálisis

dimensional

y veciuhi

Se tiene Nos piden el módulo de la resultante.

A =-5 ^/17 -5/ y U = | V3 ?

De la gráfica Reemplazando en (I) R = 5(-5>/3 / — 5 /) + 14 Q V3 / R = 10 ^3 /-25 / En módulo | r | = -\/(io V 3)2+(25)2 •••

I/?I = 5V37 u

se deduce tam bién que el A NMO es isósceles.

Clave

MP1NO

Pero R=A+B+C+D+F+4U

(Y)

Del sistema de vectores tenemos 'b = A + U-,C = A + 2U: D = A + 3U y F = A + 4Í/

En el gráfico mostrado PQ es tangente a la sumí circunferencia mostrada. Halle x en función de A y B. MNOP es un cu.i drado

En (y) R= X + X + Ü + X + 2L/ + X + 3L/ + X + 4L/ + 4D 7? = 5A +1AU

(I)

hallamos lo s vectores A y U a partir del gráfico. 5V3

A)

5

5

D) - —A / - —/ 5 5

B) - l ~ B j 3 3

C) - - A i I SBj 3 3 E) - -3A„ ■ ,V B ■ 13 1

I UMBRERAS EDITORES

A) 2u Nos piden determinar x en términos de

A y B.

D)

B) 3 u

C) 5 u

6u

E) 7u

Examinemos la gráfica Nos piden el m ód ulo de 4o + 3b.

2a

Sea m = 2a + 6b y n = 2a-3b , se sabe que fot man 60° entre sí. Si sumamos m y n obtenemo' el vector perdido

6(l-sen20)

Tenemos que

Aplicando la ley del paralelogramo

x = /4cos20( -/) + fi(l-se n 2 0 )y

Del

(a)

Por dato

sombreado 0 = 53 °/2 -> 20 = 53°

|m | = 2|o + 3b| = 2(l,5) = 3u |n| = |2o-3 b| = 5u

Reemplazamos en (a) x = /Aco s53°( -/) + S(l-sen 53 °)y =A

3'

4o + 3b = ^m 2+n2 + 2mncos6 0°

Reemplazando en 4o + 3b>1=./ I = a/ 32 + 52 + 2(3)(5)cos 60°

(-í)+b( i - í )

4o + 3b = 7 u

- 3-8? x = — Ai + —J 5 5

C lave

tí

Clave

86

'> ABseny=CAsenP=BCsena

BxA+BxB+BxC=BxO BxA+BxC=0

Divi diendo en tre A B C tendremo s

(II)

sen y _ senp _ sena Multiplicando vectorialmente por CxA+CxB+CxC=Cx0 CxA+CxB=0

(III)

C

C

~

B

~

A

Con lo cual estamos demostrando la ley de senos.

si PR OB LE MA S PR OP UE ST OS

3.

N ivel básico

Sean los vectores A y B no nulos, enlom < el vector C = A -B está representado poi

1.

Dada la dire cción de los vec tore s que se in dican en la figura ¿cuál podría ser la direc

B

ción del vector A —2B-C?

A)

B)

A)

C) E)

D)

Para los vectores u, v y w de la figura, ¿cuál de los siguientes vectores representa —■ - * w me jor al vector u - 2v + —? 4

B)

C)

D) 4.

E) —

En los casos (I) y (II), el mó dulo de la tc a il tante es de 17 u y 7 u, respectivamente Determine el módulo de la resultante en el caso (III).

(I)

(II)

(III)

-----A)

B)

C) A) 6 u

D)

E)

D) 15 u

B) 7 u

C) 13 u E) 24 u 14'

i.

Calcule el mód ulo de A-B-C

6u

A) 2u

A

B) 3 u

E) 6u

Dados los vec tore s A = (3; 5) y B = (6; 4), de termi ne el módulo d e 2 A -3 B . A) J29u

B) 8 u

E) VÍ48u

Dado los vec tore s A = (3; 4), B = (6;4) y C = (9;8) , d eter min e: | a +2B-3 c |. '

A)

12 u

D)

14^2 u

A)

C)

B)

C) 12 u

D) a/ÍÍ9u

I.

Para los vectores mostrados en la figura, l.i opción que mejor representa la dirección del ve ctor x - 7 + Z es

C) 4 u

D) 5u I.

si

B) 12 a/ 2

u

D)

E)

Del diagrama de vectores mostrados, Indi que cuál de las ecuaciones vectoriales es falsa.

C) 14 u E) 24 u

Para el co nju nto de vectore s mostrad os de termine 2A + 3 B -C si

2u 1u A) a - g -f = 0

5u

B) ~b + h + g = 0 C) i = e + d A) lu D) 9u

B) 3u

C) 6 u

D) i + c = h

E) 12 u

E) f + e+d -a -b -c =

0

A nálisis

¿Cuál de las siguientes opciones es correcta para el diagrama vectorial mostrado?

dimensional

y vi

C)

C) 6i-9j+4k D) 4Í+&J+12k E) 8Í+5/+10/C

D) 73/+62.9/-100.6¿ E) 83Í+62.9/+100.6Í

mbreras

E ditores

Dados los vectores L = 2 i-3j+ 2 k y M =i+ 2 j - k , el vector de módulo 3 u que se en cuentra en la dirección del vector ~[+M es A) (3/Vñ)(3

55. Seanlosvec toresP=(2; 3;4)y Q = 4 /- 2 y + 3 k. Determine el área del paralelogramo que tiene a estos vectores por lados. A) 17, 62 m

i+j+k)

B) 3i + j -\-k

B) 21, 57 m2

C) (3 /V ÍÍ)( 3 i -j + k ) D) 3f -j + k

C) 9, 72 m2 D) 31, 72 m2

E) i+j+k

E) 25, 39 m2

N

56. Sean los vectores A = ( l; - l; l) y B= (2;l;-1). ivel

avanzado

Halle el vector P tal que AxP=B y A P=1.

Halle un vecto r A que es para lelo a B = (l ;l ;- 1 ) A) —(l ;- 4 ;- 2 )

y A xC =(0;2 ;2), donde C = (2; 1; -1 ). A) (-1 ; 2; 2)

B) (2 ;- 1 ; 2)

C) —(2 ;- l; 4 )

C) V 3( 2;-2 ; 1) D) (-2 ; 2; 2)

E) 2(—1;—1; 1)

D) —(1;—2;4)

Halle un vector A que es paralelo al vec tor B=(—2; 1;3); A- 8=2 8 u. A) (- 4 ; 2; 6)

E) —(1;4;2)

57. Halle el ángulo que form an las diagonales de un cubo.

B) (-2; 2; —1)

C) (3; 1; 6) D) (- 9 ; 1; -2 )

B) -(2 ; 3; 4) 2

E) (-4 ; 6; 3)

Sea A=(3;l;2). Determine un vector en el plano xy de módulo 2 u y que sea perpen dicular al vector A. A) -v/s(2 /—3/) .

A) 12/+llír B) Í2i+12k C) 16/'-8/ D) &i-8k E) - (16Í+16k)

1±2¡3_

3±>/3

3±V5 A)

dimensional

C) E)

2

75. A par tir de la figur a de termine el .Higuln sombreado (en forma aproximada)

5±V3

73. Para la figur a que se mue stra, de termine el menor ángulo que forman el plano som breado y el plano x-y.

A) 45°

B) 53°

E) 90°

D) 74° A) 71,2° D) 34,7°

B) 58,6°

C) 61,9° E) 68,7°

74. En la figura se muestra, un cubo de lado 4 u, determine un vector perpendicular al plano sombreado.

C) 60°

76. Con los vectores A = (2/ + 6y +3fc)cm y ~B= (3 ¡+ 4j+ 8k )cm se forma el triángulo mostrado en la figura. ¿Cuál es el valor dr la altura b?

A) 5,4 cm D) 8,2 cm

B) 6,2 cm

C) 7,8 un E) 9,7 m i I'./

Claues 1

E

20

A

39

B

58

E

2

A

21

C

40

C

59

A

3

B

22

E

41

D

60

C

4

C

23

B

42

D

61

B

5

D

24

C

43

D

62

D

6

E

25

C

44

C

63

A

7

B

26

C

45

A

64

D

8

C

27

D

46

D

65

E

9

D

28

C

47

A

66

C

10

E

29

A

48

C

67

C

11

E

30

C

49

E

68

D

12

B

31

C

50

C

69

C

13

A

32

C

51

C

70

D

14

D

33

B

52

D

71

E

15

D

34

E

53

A

72

A

16

C

35

B

54

E

73

E

17

B

36

C

55

E

74

E

18

D

37

E

56

A

75

C

19

D

38

C

57

D

76

A

*

básico

■

20

termedi°j L 51

.Jf f

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