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601 EJERCICIOS Temas de examen CN-FIUNA Teórico y Práctico Años 1979/2014
Matemática I
TAA-MATEMÁTICA I
Año 1979 1) Encontrar cinco números en progresión geométrica, sabiendo que la suma de los dos primeros
es 8/9 y la de los dos últimos es 24.
( ) (
2) Hallando previamente la fracción generatriz de los decimales efectuar:
3) Repartir
1.900 1.900 entre tres personas de tal modo que la parte que recibe la segunda sea el triple de la parte que recibe, la primera el cuádruplo de la parte de la tercera.
4) Hallar un número de dos cifras sabiendo que excede en una unidad al triple de la suma de sus
cifras y que invirtiendo el orden de las cifras se obtiene el número anterior aumentado en 18.
Año 1980
5) Resolver:
6) Un canasto contiene 17 manzanas menos que otro. Si en el primer canasto ponemos cinco
manzanas tomadas del segundo, aquel contendrá un número de manzanas igual a 3/4 de las que quedaron en el 2º. ¿Cuántas manzanas contiene cada canasta?
7) Se vende cierto nº de libros en
se hubiera obtenido
9.. Si por el mismo dinero se hubiera vendido 4 litros menos 9 más por cada uno. ¿Cuántos libros se vendieron y a qué precio?.
8) Si una rueda da 2.496 vueltas en 3 min. y 15seg. ¿Cuántas vueltas dará en 1 hora 36min
25seg? 9) Una botella vacía pesa 425 gr., llena de agua 1.175 gr. Se desea saber cuántas botellas iguales
a aquellas podrán llenarse con el contenido de un barril de 2 hectolitros y 25 litros. 10) Efectuar:
Cursillo π
√ √ √ √ √ √ 2
Ing. Raúl Martínez
TAA-MATEMÁTICA I
Año 1979 1) Encontrar cinco números en progresión geométrica, sabiendo que la suma de los dos primeros
es 8/9 y la de los dos últimos es 24.
( ) (
2) Hallando previamente la fracción generatriz de los decimales efectuar:
3) Repartir
1.900 1.900 entre tres personas de tal modo que la parte que recibe la segunda sea el triple de la parte que recibe, la primera el cuádruplo de la parte de la tercera.
4) Hallar un número de dos cifras sabiendo que excede en una unidad al triple de la suma de sus
cifras y que invirtiendo el orden de las cifras se obtiene el número anterior aumentado en 18.
Año 1980
5) Resolver:
6) Un canasto contiene 17 manzanas menos que otro. Si en el primer canasto ponemos cinco
manzanas tomadas del segundo, aquel contendrá un número de manzanas igual a 3/4 de las que quedaron en el 2º. ¿Cuántas manzanas contiene cada canasta?
7) Se vende cierto nº de libros en
se hubiera obtenido
9.. Si por el mismo dinero se hubiera vendido 4 litros menos 9 más por cada uno. ¿Cuántos libros se vendieron y a qué precio?.
8) Si una rueda da 2.496 vueltas en 3 min. y 15seg. ¿Cuántas vueltas dará en 1 hora 36min
25seg? 9) Una botella vacía pesa 425 gr., llena de agua 1.175 gr. Se desea saber cuántas botellas iguales
a aquellas podrán llenarse con el contenido de un barril de 2 hectolitros y 25 litros. 10) Efectuar:
Cursillo π
√ √ √ √ √ √ 2
Ing. Raúl Martínez
TAA-MATEMÁTICA I
{ Año 1981
11) Hallar la expresión en
e
12) Escribir la expresión logarítmica de la siguiente igualdad, y calcular el valor de N, utilizando
logaritmos:
13) Una rueda de un automóvil recorre una distancia de 2,9 Km., 80m, 15 dm, al dar 920 vueltas.
Calcular la longitud en metros de la Circunferencia de la rueda.
14) Tres obreros se reparten un premio proporcionalmente a su sueldo. Si han recibido
4.000,
y respectivamente. si el sueldo del obrero mejor pagado es de ¿Cuáles son los sueldos de los otros dos? ¿Cuáles
15) Un jardín de forma rectangular está rodeado por un camino de anchura constante. El área
del jardín es igual al área del camino. ¿Cuál es la anchura del camino si el jardín tiene ancho y de largo?
de
16) Dos números están en la relación de 5 a 8. Si a cada uno se le suma 6, los nuevos números
entero, entonces en la relación de 2 a 3. Hallar los números primitivos.
Cursillo π
3
Ing. Raúl Martínez
TAA-MATEMÁTICA I
Año 1982
17) Encontrar el valor de
e
del sistema de ecuaciones:
18) Un empleado tiene un contrato de trabajo por 11 años. ¿Cuántos años ya trabajó si los 2/3
del tiempo que ha trabajado es igual a los 4/5 del tiempo que falta para cumplir su contrato?
19) Cierto número de personas ha hecho un gasto de
12.000 en un bar. En el momento de pagar faltan 4 personas. La cuota de cada una de las personas restantes se aumenta en 500. ¿Cuántas personas estuvieron presentes inicialmente?
20) El 5to. término de una progresión geométrica es 9. El 11 término es 6.561. Hallar el primer término. 21) Demostrar que: En toda proporción geométrica, la suma o resta de los antecedentes es a la
suma resta de los consecuentes como un antecedente es a su consecuente.
22) Hallando previamente la generatriz de fracciones decimales, efectuar:
23) Hallar el mínimo común múltiplo de los siguientes números:
299; 403; 713
24) Tres personas forman una empresa. El señor A pone 20 millones de guaraníes. Los señores B
y C ponen el local, que pertenece 30% al señor B y 70% al señor C. El señor B, además de su parte del local, pone 10 millones de guaraníes. Sabiendo que al señor A y al señor C les corresponde la misma ganancia. ¿Cuánto le corresponde al señor B, si tienen que repartirse proporcionalmente a lo que invirtieron, una ganancia de 6,97 millones de guaraníes?
25) Un campo de 15
bolsas por
25 200 sembrado con papas produce una cosecha de 50 . Si la bolsa de papas cuesta 810 ¿Cuánto se recaudara por toda la cosecha?
-
26) Simplificar:
27) Efectuar:
Cursillo π
4
Ing. Raúl Martínez
TAA-MATEMÁTICA I
Año 1983 28) El cuarto término de una progresión geométrica es 1/4 y el séptimo término es 1/32. Hallar
el sexto término de la progresión. 29) Utilizando los datos siguientes:
y
, calcular:
Expresar el resultado con característica negativa y mantisa positiva.
√ √ √
30) Racionalizar:
31) Los términos séptimo, décimo y último de una progresión aritmética son: 16; 22 y 32
respectivamente. Hallar el número de términos de la progresión. 32) Un pueblo tiene 2.930 habitantes, y se abastece de agua de una fuente que se alimenta de
tres manantiales: uno de ellos da 1,2 litros por segundo, otro da 40 litros por minutos, y el tercero de 5 metros cúbicos por hora. ¿Cuántos litros de agua corresponde a cada habitante por ese día? 33) Descomponer el número 476en partes inversamente proporcionales a los cuadrados de 5;
0,5 y 3. 34) Una pieza de género ha sido vendida en
. El comprador, al verificar la compra, se da cuenta que le han entregado una pieza de género que cuesta menos por metros pero que en compensación contiene 20 metros más que la primera. Hallar el número de metros que tiene la pieza original de género.
35) Un recipiente está lleno de agua hasta los 2/5 de su capacidad. Si se agrega 360 litros de
agua que lleno hasta los 2/3 de su capacidad. ¿Cuál es la capacidad del recipiente? 36) Descomponer el número 11.563 en tres sumandos sean directamente proporcionales a los
cuadrados de 2/3; 5/6; 1/9.
√
37) Racionalizar el denominador de la fracción:
38) Hallar k del polinomio
dividirlo por
Cursillo π
, de tal forma que resulte un resto igual a 1, al
.
5
Ing. Raúl Martínez
TAA-MATEMÁTICA I
Año 1984 39) Hallar el máximo común divisor de los cocientes que resultan de dividir 23.100 y 134.750
por el mayor divisor primo común. 40) Si el producto de dos factores es 47
84 123 ¿Cuál es el otro factor expresado en número complejos?
y uno de ellos es 2m 3dm 8mm,
41) Tres grifos funcionando conjuntamente llenan un depósito en 2 horas, mientras que si
funcionan solo dos de ellos, lo llenan en 5 horas. ¿En cuánto tiempo lo llenaría el tercero solo? 42) De qué número es 16 de ¼%. 43) Qué % de 360 es 129? 44) Efectuar:
45) Efectuar:
46) Una persona tenía una cierta cantidad de dinero y realizó los siguientes gastos: 1º) 2/5 de lo que tenía al principio y 2º) los 5/6 de lo que le quedó. Si aún tiene , ¿Cuánto tenia al principio?
47) Resolver:
48) La suma del cuarto y décimo término de una progresión aritmética es 60 y la relación del
segundo al décimo término es igual a 1/3. Hallar el primer término de la progresión. 49) Hallar el mínimo común múltiplo de los cocientes que resultan de dividir 3.300 y 18.250 por
el mayor divisor primo común.
50) Hallar en metros cuadrados, la diferencia entre los 5/9 de 3
19
70
.
771
y los 4/7 de 5,2
51) Un grifo llena un depósito en 4 horas y un desagüe lo vacía en 5 horas. ¿Qué parte del
depósito se llenaría en 4 horas funcionando conjuntamente el grifo y el desagüe?
Cursillo π
6
Ing. Raúl Martínez
TAA-MATEMÁTICA I
52) Efectuar:
53) Una persona tenía un cierto capital del cual gastó los 3/4 , si después recibió
ahora tiene
más que al principio. ¿Cuál era su capital inicial?
y
54) Resolver:
55) La suma de los primeros términos de una progresión aritmética es 4 y el sexto término es
38. Hallar el noveno término de la progresión.
56) Una empresa ganó
el primer día ganó
Año 1985
en 6 días. Si sus ganancias están en progresión aritmética y . ¿Cuánto ganó cada día?
57) Hallar el número que resulte de restar la mayor y la menor de las fracciones siguientes: 7/48;
13/56; 19/168.
58) Multiplicar los números complejos: 4
de
3
8
y 5
.7
; expresando el resultado
59) Hallando previamente la generatriz de las fracciones decimales, dividir el número 4.730 en
partes directamente proporcionales a 0,7272… y 0,25. 60) La diferencia de dos números es igual a 2. Los 3/5 del mayor sumandos a los 2/3 del menor
es igual a los 5/2 de dicha diferencia. Hallar los 2 números.
Cursillo π
7
Ing. Raúl Martínez
TAA-MATEMÁTICA I
Año 1986 61) Al dividir 10.475
y 4.312 por un cierto número entero, se tiene por restos 10 y 11 respectivamente. ¿Cuál es el mayor divisor que cumple con esa condición?
62) Hallar la raíz cúbica del número complejo 8
en número complejo.
120
601
, expresando el resultado
63) Hallando previamente la generatriz de los decimales, repartir
en partes
inversamente proporcionales a 0,6666… y 1,0333… 64) Efectuar:
65) ¿Qué número debe sumarse a los números 11; 6; 8 y 4 de tal modo que se obtenga una
proporción geométrica? 66) Resolver:
67) Determinar la suma de los 20 primeros términos de la progresión cuyos primeros tres
términos son: 9; 6 y 3.
Cursillo π
8
Ing. Raúl Martínez
TAA-MATEMÁTICA I
Año 1988
√ √
68) Utilizando la definición de logaritmo de un número, verificar que:
69) Hallar, en centímetros, el 10% de la diferencia entre los 5/8 de 0,7412 km y los 4/5 de
28.310mm.
70) Indicando todo el proceso de cálculo, hallar el resto y el cociente (número entero) que se
obtiene al dividir 0,45 por 0,00911. 71) Hallando previamente la generatriz de los decimales, efectuar:
( )
72) Un grupo de 1.600 hombres debe realizar una determinada obra y tiene víveres para 10 días
a razón de 3 raciones diarias para cada hombre. Si se aumenta el grupo con 400 hombres, calcular la ración diaria para cada uno teniendo en cuenta que se necesitan 12 días para realizar la obra.
. √ √ /.√ √ /
73) Empleando el método de las divisiones sucesivas, hallar el máximo común divisor de los
siguientes polinomios: 74) Efectuar:
Año 1989 75) La razón de una progresión aritmética es 2 y el séptimo término es el triple del segundo.
Formar la progresión. 76) Entre tres obreros se han repartido
en partes proporcionales a sus jornales. ¿Cuáles eran estos jornales, sabiendo que al primero la ha correspondido en el reparto al tercero y que la suma de los jornales de los tres obreros es igual a
√ √
77) Efectuar:
Cursillo π
9
Ing. Raúl Martínez
TAA-MATEMÁTICA I
Año 1990 78) Dividir el número 467 en parte inversamente proporcionales a los cuadrados de 5, 1/2 y 3.
* √ √ √ √
79) Simplificar previamente la primera fracción y efectuar luego las operaciones indicadas:
80) Racionalizar previamente el denominador de la fracción y efectuar luego la operaciones
indicadas:
81) Un obrero tarda 6 horas más que otro obrero en efectuar un trabajo. Hallar el tiempo que
emplearía cada uno de ellos en realizarlo sólo, sabiendo que juntos utilizan 4 horas en efectuar el mencionado trabajo.
Año 1991
82) Formar la ecuación de segundo grado cuyas raíces son las reciprocas de las de la ecuación
.
83) Los tres primeros términos de una progresión son: 2/5; 23/20 y 19/10. Hallar el vigésimo
término. 84) Hallando previamente la generatriz de los decimales , calcular el 47/45 % del resultado de
efectuar:
85) Al dividir 1.237 por un número da 37 de resto, y al dividir 2.587 por el mismo número el
resto es 43. Hallar ese número. (fundamentar la respuesta)
√ √ * √ *
86) Se ha repartido cierta suma de dinero proporcionalmente a los números 5, 7 y 11. La
primera parte es de 87) Efectuar:
88) Efectuar:
Cursillo π
.
10
Ing. Raúl Martínez
TAA-MATEMÁTICA I
89) A un alambre de 91m de longitud se la dan tres cortes, de manera que la longitud de cada
trozo resultante es 50% mayor que el inmediato anterior. Hallar la longitud de cada trozo.
Año1992 90) Un padre va con sus hijos al teatro y al querer sacar entradas de
observa que le falta dinero para pagar las entradas de 3 de ellos. Entonces compra entradas de para todos (padre e hijo) , restándole . establecer el número de hijos y el capital inicial del padre.
91) Si el producto de dos factores es 94
2.212 4.400 y uno de ellos es 2m 3dm 8mm. ¿Cuál es el otro factor, expresados en números complejos?
* * √ √ * √ *
92) Repartir
entre tres personas de modo que a la segunda le corresponda 5% menos que a la primera, y que a la tercera le corresponda 10% más que a la primera.
93) Efectuar:
94) Efectuar:
95) Resolver:
96) Utilizando exclusivamente las propiedades de los logaritmos de los números y los siguientes
valores,
y
97) Resolver:
Calcular:
98) Utilizando exclusivamente las propiedades de los logaritmos de los números y los siguientes
valores,
y
.
Calcular:
Cursillo π
11
Ing. Raúl Martínez
TAA-MATEMÁTICA I
Año1995 99) En una progresión aritmética la razón es 3 , el término enésimo es 23 y la suma de los
términos es 98. Determinar el número de términos de la progresión. 100) Efectuar:
√ √ √ √ √ (√ )
101) Racionalizando previamente el denominador de la fracción, efectuar:
Año 1996
102) Efectuar:
103) Hallar los cocientes que resultan de dividir los números 117.975 y 2.574 por su mayor
divisor primo común. 104) Compré un artículo con un descuento del 10% sobre el costo, y lo vendí con un beneficio
del 10% sobre dicho costo. ¿Qué porcentaje sobre el precio que he pagado gané?
105) Efectuar:
√ √ *
106) Los tres primeros términos de una progresión son 637,5; 657 y 676,5. La suma de todos
los términos de la progresión es igual a 8.937. Calcular el número de términos. CALCULAR, utilizando las propiedades de los logaritmos:
Cursillo π
12
Ing. Raúl Martínez
TAA-MATEMÁTICA I
Año 1997 107) Hallar el menor múltiplo de 168 y 1.116 que sea divisible por 210.
108) Un tanque tiene una capacidad de
. Una canilla que suministra de agua en y otra que suministra de agua en se abren al mismo tiempo para llenarlo. ¿Cuántos litros de agua suministrará cada canilla para llenar el tanque?
109) Vendí dos terrenos en
cada uno. En uno gané el 20% del precio de venta y en el otro perdí el 4% del costo. ¿Cuánto gané o perdí en total?
110) Un albañil se compromete hacer una obra en 12 días pero tardó 3 días más por trabajar 2
horas menos cada día. ¿Cuántas horas trabajo diariamente? 111) El máximo común divisor de dos números es 17. Los cocientes que para hallarlo se han ido
obteniendo sucesivamente son 1; 20; 1 y 5. ¿Cuáles son los números? 112) DEDUCIR las propiedades de las raíces de la ecuación
113) EFECTUAR:
114) Un obrero gasta diariamente los 2/3 de su jornal en su alimentación y 1/5 del mismo en
otras atenciones. En 30 días laborales, de los cuales dejó de trabajar 2 días, ha ahorrado . ¿Cuál es su jornal? 115) EFECTUAR:
√ √ √ √ √ √
116) Los dos primeros términos de una progresión aritmética de
280 términos son 3/2 y 2.
Calcular la suma de los 80 últimos términos. Utilizando las propiedades de los logaritmos de los números y efectuando las transformaciones exclusivamente en el primer miembro, verificar la siguiente identidad:
Cursillo π
13
Ing. Raúl Martínez
TAA-MATEMÁTICA I
Año 1998
√ √ √
117) Hallar el vigésimo término de una progresión sabiendo que sus tres primeros términos son:
;
y
.
118) Un comerciante pagó 14,40
dólares por un cierto número de ventiladores. Si cada ventilador hubiese costado 0,02 dólares más, con la misma suma de dinero hubiese comprado 24 ventiladores menos. ¿Cuántos ventiladores compró el comerciante?.
119) Demostrar:
√ √ √ √ √ √
120) 7kilos de café y 6 de té cuestan 4,8 $; 9 kilos de té y 8 de café cuestan 6,45 $. ¿Cuánto
cuesta 1 kilo de café? Racionalizar el denominador de la expresión:
121) Hallando previamente la generatriz de las fracciones decimales. Calcular el 40/90/ % del resultado de efectuar:
122) Hallar el número que resulta de sumar la mayor y la menor de las fracciones; ordenando
previamente en forma creciente y sin efectuar la división.
123) Tres personas forman una empresa. El señor A pone 45 millones de guaraníes. Los señores
B y C ponen el local, que pertenece 30% al señor B y 70% al señor C. El señor B, además de su parte del local, pone 15 millones de guaraníes. Sabiendo que al señor A y al señor C les corresponde la misma ganancia. ¿Cuánto le corresponde al señor B, si tienen que repartirse proporcionalmente a lo que invirtieron, una ganancia de 36 millones de guaraníes?
124) Un jardín de forma rectangular está rodeado por un camino de anchura constante. El área
del jardín es igual al área del camino. ¿Cuál es la anchura del camino si el jardín tiene ancho y de largo?
Cursillo π
14
Ing. Raúl Martínez
de
TAA-MATEMÁTICA I
125) Hallar el valor de “m” para que el valor numérico de:
Sea
126) Hallando previamente la fracción generatriz de los decimales, efectuar:
( )
127) Treinta y tres obreros se comprometieron realizar una obra en 12 días. Después de 9 días
de trabajo realizaron los 3/11 de la obra. Se incorporaron al grupo 39 obreros. ¿Cuántos días más de los que aún disponen serán necesarios para terminar el trabajo?
128) Hallar el menor número primo, distinto de la unidad, que sea primo con 2.730
21.420.Calcular el capital mayor que resulto de repartir un capital de personas, sabiendo que una de ellas recibió 29% más que la otra.
129) Factorear:
y 1.628.419 entre dos
Año 1999
130) El primer término de una progresión aritmética
es 3 y la suma de los 12 primeros términos es 168. ¿Cuántos términos, a partir del cuarto, sumaran igual que los undécimo y duodécimo términos de la progresión?
Utilizando las propiedades de los logaritmos, calcular:
131) Hallar el mínimo común múltiplo de los cocientes que resultan al dividir 79.781 y 5.681
por su menor divisor común distinto de la unidad. 132) En una división entera el resto es 21 y el dividiendo 580. Determinar el divisor y el cociente
de dicha división. 133) Trabajando
11 horas diarias durante 20 días, 7 obreros han hecho un trabajo cuya dificultad está representada por 7 y la actividad de los trabajadores por 9. ¿Cuántos días necesitaran para hacer los 5/4 del trabajo 12 obreros, si su actividad se representa por 11, la dificultad por 8 y trabajando 10 horas diarias?
134) Un obrero gana en dos días lo que otro gana en tres días. Terminado el trabajo se les pagó
en total , habiendo el primero trabajado 52 días y el segundo 45 días. ¿Cuánto fue la remuneración diaria de cada uno de ellos?
Cursillo π
15
Ing. Raúl Martínez
TAA-MATEMÁTICA I
135) Efectuar:
√
√
136) El agua contenida en un tanque de agua que tiene la forma de un cilindro de revolución se
vacía en 3 horas. Si en cada hora, el nivel de agua baja la mitad de la altura más 1 m , determinar la altura inicial del agua en el tanque.
Año2001 137) DEDUCIR la fórmula para calcular la suma de los
n primeros términos de una progresión
geométrica.
√
138) La suma de tres números en progresión aritmética es igual a 3. El cociente de dividir el
primer término por el tercer término es 139) Efectuar:
. Hallar los tres términos de la progresión.
140) Los tres primeros términos de una progresión de doce términos son 2/3, 2/9 y 2/27.
Determinar la suma de los cinco últimos términos. 141) Resolver la ecuación
un número.
, utilizando previamente la definición de logaritmo de
142) Hallar el mayor divisor común de 7.644 y 38.808, que sea divisor de 1.302. 143) Un depósito, cuya forma es la de un cilindro de revolución, puede ser llenado por una
canilla en 8 horas y vaciado por otra, en 12 horas. Cuando el nivel del agua está a 1/3 de la altura del depósito, se abren las dos canillas al mismo tiempo. ¿Cuántas horas deberán transcurrir para que el nivel del agua alcance los 3/4 de la altura del depósito? 144) Un libro tiene 210 páginas de 35 líneas cada página y 60 letras cada línea. Se lo quiere
reimprimir con menor formato en 300 páginas con 30 líneas en cada página. ¿Cuántas letras tendrá cada línea? 145) Vendí dos terrenos a
7.200.000 cada uno. En uno perdí el 25% del precio de venta y en el otro gané el 25% del costo. ¿Cuánto gané o perdí en total?
146) Un granjero tiene 275 aves entre gallos, gallinas y pollitos. El número de gallinas es al de
gallos como 7 es a 3 y el número de pollitos es al de gallinas como 5 es a 2. ¿Cuántos gallos, gallinas y pollitos tiene el granjero?
Cursillo π
16
Ing. Raúl Martínez
TAA-MATEMÁTICA I
147) El resto de dividir el polinomio
es igual a 10. Utilizando la Regla de Ruffini, determinar el valor de “
división. 148) Simplificar:
149) Efectuar:
por el binomio
” y el cociente de la
√ √
150) Resolver la ecuación
, sabiendo que sus raíces son
reciprocas y de signos contrarios.
151) Un hombre compró cierto número de caballos, pagando en total US$ 2.000. sabiendo que
murieron 2 caballos, que vendió cada uno de los restantes en US$ 60 por encima del costo y que ganó, en total, US$ 80, ¿Cuántos caballos compró y cuánto le costó cada uno? 152) Hallar tres términos consecutivos de una progresión aritmética, sabiendo que si al primer
término se le suma 2, al segundo 5 y al tercero 13, se obtienen números proporcionales a 15; 30 y 60, respectivamente. Calcular
sabiendo que
.
153) Hallar el menor número por el cual hay que multiplicar 4.662, para que el producto sea
divisible por 3.234. 154) A puede terminar una obra en la tercera parte del tiempo que le llevaría a B. Comienzan la
obra trabajando juntos durante 4 horas y la termina A, trabajando solo, durante 2 horas más. Determinar cuántas horas emplearía B, trabajando solo, para realizar toda la obra.
155) Determinar cuál es el 20 %
del capital mayor que resulta de repartir una suma de
34.920 en partes inversamente proporcionales a los números 0,4545… y 0,133… , hallando
previamente la fracción generatriz de los decimales. 156) Racionalizar el denominador de la fracción:
157) Un comerciante pagó
√ √
144.000 por un cierto número de cuadernos. Si cada cuaderno hubiese costado 200 más, con la misma suma de dinero hubiera comprado 24 cuadernos menos. ¿Cuántos cuadernos compró el comerciante?
158) La diferencia de las raíces de la ecuación
es igual a 1. Hallar
.
159) Demostrar: en toda serie de razones iguales, la suma de los antecedentes es a la suma de
los consecuentes como un antecedente es a su consecuente. Cursillo π
17
Ing. Raúl Martínez
TAA-MATEMÁTICA I
160) hallar todos los divisores cuadrados perfectos del número 5.292
161) Un depósito contiene 185 litros de agua. Se abren, simultáneamente, dos grifos que
suministran
y
litros por minuto y un desagüe que vacía
litros por minuto. ¿Cuántos
litros de agua habrá en el depósito luego de 1 hora y 24 minutos?
162) Un obrero puede hacer un trabajo en 12 días. Después de 5 días de iniciado el trabajo
contrata un ayudante, concluyéndose la obra en 3 días más. ¿Cuántos días demoraría el ayudante si tuviera que hacer el solo él mismo trabajo?
√ √ √ √
163) Un capital de
se repartió entre dos personas. Una de ellas recibió
que la otra. ¿Cuánto recibió la persona a la que correspondió la suma mayor?
más
164) DEDUCIR las propiedades de las raíces de una ecuación de segundo grado.
165) Efectuar:
Efectuar:
Año 2002
166) Hallar cuatro números en progresión geométrica, sabiendo que la suma de los dos primeros
es 28 y la suma de dos últimos es 175. 167) Siendo
, hallar
168) Cuando vendo un auto por
18.000.000 gano los del costo. ¿En cuánto tendría que venderlo
para ganar los del costo?
169) Un obrero cavó un pozo en 21 días. Si hubiera trabajado 2 horas menos por día, hubiera
empleado 6 días más para realizar el mismo trabajo. ¿Cuántas horas por día trabajo el obrero? 170) Determinar el valor de
imaginario puro. 171) Si
, de modo que el cociente de los complejos
sea un
√ √ √ √ √ √ √ √
es un divisor de determinar y .
y de
172) Resolver la ecuación:
Cursillo π
18
Ing. Raúl Martínez
,
TAA-MATEMÁTICA I
Año 2003 173) En una progresión aritmética de 11 términos, la suma de todos los términos es igual a 176
y la diferencia de los extremos es igual a 30. Hallar el quinto término de la progresión.
174) Resolver las siguientes ecuaciones:
a) b)
175) Un albañil contrata a un aprendiz ofreciéndole
√
20.000 por cada día que trabaje y 10.000 por cada día que no pueda trabajar por causa de la lluvia. Si al cabo de 23 días el aprendiz recibió 380.000, ¿Cuántos días trabajo?
√
176) La suma de los cinco primeros términos de una progresión geométrica es igual a
. Sabiendo que la razón es
, calcular el segundo término de la progresión.
177) Dos obreros Ay B recibieron
800.000 y 450.000, respectivamente. A trabajó cinco días más que B. Si cada uno hubiera trabajado el número de días que trabajó el otro, hubieran recibido la misma suma de dinero. Calcular el número de días de trabajo de cada obrero y el jornal respectivo.
178) Verificar la siguiente identidad
, efectuando
trasformaciones exclusivamente en el primer miembro.
179) ¿Cuántos y cuáles son los divisores simples y compuestos del número 14.161? 180) Un operario puede hacer un trabajo en 12 días, trabajando 5 horas diarias; otro operario
puede hacerlo en 15 días, trabajando 6 horas diarias. ¿En qué tiempo, expresado en días y horas, lo harían los dos juntos si trabajaran 8 horas diarias?
181) Una cuadrilla de 30 hombres se compromete a hacer una obra en 15 días. Al cabo de 9 días
solo han hecho los
de la obra. Si el capataz refuerza la cuadrilla con 42 hombres, ¿podrá
terminar la obra en el tiempo fijado? Si no es posible terminarla, ¿Cuántos días más necesitara?
182) Dos hombres alquilan una cochera por
3.200.000, monto a ser pagado al término del contrato. El primero guardo en ella 4 automóviles durante 6 meses y el segundo 5 automóviles durante 8 meses. ¿Cuánto debe pagar cada uno, teniendo en cuenta la utilización que le ha dado?
183) El producto de las complejas
dos complejas. Cursillo π
y
19
es igual a
Ing. Raúl Martínez
. Hallar las
TAA-MATEMÁTICA I
184) Descomponer en fracciones simples:
185) Determinar el valor natural de k, de manera que la diferencia de las raíces de la ecuación
sea igual a
186) Hallar un número natural comprendido entre 80.000 y 100.000, que sea divisible por 182 y 2.156. 187) Hallar dos números cuyo cociente es igual a 6,6 y su máximo común divisor es 1.782.
188) Aplicando la regla de tres simple , calcular en cuanto se debe vender un artículo que costo
9.000 para ganar el 40% del precio de venta.
189) Un obrero emplea 54 días en hacer 270
de pared en el tercer piso de un edificio. ¿Cuántos días deberá trabajar para hacer 300 de pared en el cuarto piso del mimo edificio, sabiendo que la relación de dificultad de la construcción en el tercer piso respecto a la construcción en el cuarto piso es de 3 a 4?
190) Se vendieron dos automóviles usados por
10.200.000. Los precios de venta estaban en relación directa a la velocidad que pueden desarrollar, que es proporcional a los números 60 y 70, y en razón inversa al tiempo de uso de cada uno de ellos, que es de 3 años y 5 años, respectivamente. ¿Cuáles fueron los precios de venta?
191) DEDUCIR la fórmula para resolver la ecuación de la forma
192) La suma de dos números complejos
y
.
es igual a
, y el cociente
es un imaginario puro. Hallar los dos números complejos.
193) Un hombre compró cierto número de libros por 180 dólares. Si hubiera comprado 6 libros
menos con el mismo dinero, cada libro le habría costado 1 dólar más. ¿Cuánto libros compró y cuánto le costó cada uno? 194) Descomponer en fracciones simples:
Cursillo π
20
Ing. Raúl Martínez
TAA-MATEMÁTICA I
Año 2004 195) Resolver la ecuación: 196) Definir:
a. Matriz inversa.
197) Un obrero emplea 9 días, trabajando 6 horas diarias, en hacer 270
¿Cuántas horas deberá trabajar para hacer otra obra de 300 obra y la de la segunda están en relación de 3 a 4?
198) Hallar el valor de
;
que satisface la ecuación
y
199) Resolver la ecuación:
200) La suma de los tres primeros términos
de una obra. , si la dificultad de la primera
, siendo:
de una progresión geométrica creciente es 28. Si a los mismos se les resta respectivamente 1, 3 y 9, la progresión se transforma en aritmética. Hallar dichos términos.
201) Hallar el menor número no divisible por 4; 6; 9; 11 y 12, con la condición que al dividirlo por
estos números, se obtengan restos iguales. 202) Un capital de
1.842.000 se reparte entre dos personas con la condición de que una de ellas reciba 30,25% más que la otra. ¿Cuánto recibió la persona a la que correspondió la suma mayor?
203) Efectuar:
204) Racionalizando previamente el denominador de la fracción, efectuar:
205) Simplificar:
Cursillo π
√ √ √ √ 21
Ing. Raúl Martínez
TAA-MATEMÁTICA I
206) La renta producida por el alquiler de dos departamentos en un año fue de US$ 15.700.
Hallar la renta mensual de cada departamento, sabiendo que difieren entre si US$ 250 y que el de mayor valor estuvo desocupado dos meses. 207) Definir:
a. Proporción geométrica. b. Regla de tres simple. c. Cantidad compleja. 208) Vendí un computador por
3.750.000. Si lo hubiera vendido por 3.840.000, habría ganado el 28% de su costo. ¿Qué porcentaje de su costo gané al realizar la venta?
209) Se compraron dos automóviles usados por
37.400.000. Los precios de venta estaban en razón directa a la velocidad que pueden desarrollar que son 120 km/h y 140 km/h y en razón inversa a su tiempo de uso que son 3 años y 5 años, respectivamente. ¿Cuáles fueron los precios de venta?
210) Sin desarrollar el binomio
, hallar el término que contiene
211) Determinar la cantidad compleja
.
cuyo cuadrado es los 3/4 de su conjugada.
212) Cierto número de personas alquilo un ómnibus para una excursión. Si hubiera ido 10
personas más cada una habría pagado 5 dólares menos y, si hubieran ido 6 personas menos, cada una habría pagado 5 dólares más. ¿Cuántas personas iban en la excursión y cuánto pagó cada una? 213) Determinar el valor de
y el de en la ecuación sabiendo que la suma de las raíces es 4 y el producto de las mismas es (-32).
,
214) Definir:
a) Matriz simétrica. b) Progresión geométrica. 215) Una pequeña compañía mueblera fabrica sofás y sillones. Cada sofá requiere 8 horas de
mano de obra y $ 60 en materiales, en tanto que un sillón se puede construir por $ 35 en 6 horas. Por semana, la compañía dispone de 340 horas de mano de obra y puede comprar $ 2.250 en materiales. ¿Cuántos sillones y sofás puede producir, por semana, usando todos los recursos materiales y humanos?
Cursillo π
22
Ing. Raúl Martínez
TAA-MATEMÁTICA I
||
216) Dada la matriz A, hallar
217) Dada la matriz
y , determinar
218) Resolver la ecuación:
219) Resolver la desigualdad:
220) Resolver la ecuación:
221) Hallar el valor de “ ”, sabiendo que los números
,
y
están, en
ese orden, en progresión aritmética.
222) Aplicando exclusivamente las propiedades de los logaritmos, calcular:
223) La suma de tres términos consecutivos de una progresión geométrica creciente es 26. Si se
resta 8 del tercer término, la misma se transforma en una progresión aritmética. Formar las dos progresiones.
224) Aplicando el esquema de Ruffini-Briot (o Hörner), calcu lar el valor de “ ” positivo que hace
exacta la división del trinomio cociente que resulta de la división. 225) Descomponer la fracción
Cursillo π
por el binomio
. Hallar, además, el
en fracciones parciales.
23
Ing. Raúl Martínez
TAA-MATEMÁTICA I
Año 2005 226) Dos grifos suministran agua a un depósito. Funcionando solos, uno lo llenaría en 4 horas y
el otro, en 6 horas. Estando vacío el depósito, se deja abierto solamente el primer grifo durante 1 h 20 min, después solamente el segundo durante 45 min; luego, se dejan ambos abiertos. ¿en cuánto tiempo se llenará completamente el depósito? 227) Una cuadrilla de 12 obreros se comprometió a realizar una obra en 15 días, trabajando 10
horas diarias. Después de 7 días de haberse iniciado el trabajo, se retiran 5 obreros y estos no son reemplazados sino después de 3 días. ¿Cuántos obreros se necesitaran incorporar a la cuadrilla para terminar el trabajo en el tiempo establecido? 228) Una librería vende libros al contado por
cada uno. Si la venta se hace a crédito, el precio tiene un incremento del 20%. Un comprador adquirió varios libros a crédito y la librería la hizo un descuento del 10% sobre el precio de plazo. En este caso, ¿Cuál fue el precio de cada libro y cuál el porcentaje de aumento del precio al contado de cada libro?
229) Descomponer el número 35,1 en tres sumandos que sean directamente proporcionales a
los cuadrados de 2; 3 y 4 e inversamente proporcionales a los cubos de 2; 3 y 4.
230) Siendo
cuales
, hallar los valores de la variable
231) Descomponer la fracción
para los
en fracciones parciales.
232) Definir matriz de orden m x n. 233) Deducir la fórmula para calcular la suma de los n primeros términos de una progresión
geométrica. 234) En una carpintería fabrican sillas, mesas y armarios a razón de 350 piezas por mes. Las
horas de mano de obra y las planchas de madera que exige cada mueble se muestra en la siguiente tabla:
Horas por Unidad Planchas por Unidad
SILLAS
MESAS
ARMARIOS
2
3
5
1
2
3
Si se ha trabajado 1.050 horas y utilizando 625 planchas, calcular cuántas unidades de cada mueble se han fabricado. Cursillo π
24
Ing. Raúl Martínez
TAA-MATEMÁTICA I
2
235) Resolver el sistema:
236) Dada la matriz
y siendo
, hallar: a) B ; b) B x B
237) Resolver la ecuación:
238) Definir:
a) Matriz transpuesta de una matriz A de orden b) Progresión aritmética.
.
239) Enunciar cinco propiedades de los determinantes. 240) Sean las matrices
241) Sean las matrices
y y
. Calcular la matriz
y y
. . Calcular la matriz transpuesta de
242) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones, por el método matricial:
.
.
243) Resolver la ecuación:
244) Aplicando exclusivamente las propiedades de los logaritmos, calcular el valor de
.
245) Sean las progresiones crecientes:
Hallar el valor de
y el de .
{
246) Dos recipientes contienen 11.385 y 10.115 litros de vino de diferente calidad.se desea
envasarlos, sin mezclarlos, en botellas de igual capacidad. ¿Cuál es la máxima capacidad que deberían tener las botellas y cuantas botellas se necesitarían? 247) Hallar dos números de cinco cifras, el menor y el mayor posibles, que sean divisibles por los
números 2; 3; 4; 6; 7; 11; 14 y 21.
Cursillo π
25
Ing. Raúl Martínez
TAA-MATEMÁTICA I
248) Hallando previamente la fracción generatriz de los decimales e indicando todos los pasos,
efectuar:
x
249) Un empresario contrata 25 obreros por 40 días hábiles para hacer una obra, trabajando
ocho horas diarias. Después de 30 días se retiran cinco obreros. ¿Cuántas horas por día deben trabajar los obreros restantes para concluir el trabajo en el tiempo previsto en el contrato? 250) Una persona compra un artículo que cuesta
. 38.000. El vendedor le hace un primer descuento de 20% del costo y después, un segundo descuento de 25% del primer descuento. ¿Cuánto pago el comprador?
251) Repartir
2.600 entre dos niños de 3 años y 4 años de edad en partes directamente proporcionales a sus edades e inversamente proporcionales a sus travesuras. El de 3 años tiene 6 travesuras y el de 4 años, 5 travesuras. ¿Cuánto le corresponde a cada niño?
252) Determinar el lugar que ocupa el termino independiente de
desarrollo de:
253) Hallar el máximo común divisor de los polinomios:
” y su respectivo valor en el
;
, por el método de las divisiones sucesivas.
√ √ √ √
254) Efectuar:
255) Efectuar:
256) Determinar el complejo
de modo que al dividirlo por
resulte
257) Un comerciante compró bolígrafos por US$ 360. Los vende todos menos
2 con una ganancia de US$ 3 por bolígrafo. Sabiendo que con el dinero recaudado en la venta podrá comprar 40 bolígrafos más que antes, calcular el costo de cada bolígrafo.
258) Aplicando el esquema de Ruffini-Briot (o Hörner), determinar:
de manera que el polinomio a) El termino independiente k de el binomio
;
resulte divisible por
b) El cociente que resulta de la división. 259) Descomponer la fracción Cursillo π
26
en fracciones parciales. Ing. Raúl Martínez
TAA-MATEMÁTICA I
260) Definir:
a) b) c) d) e)
Fracción irreducible. Proporción aritmética. Tanto porciento de un número. Expresiones irracionales conjugadas. Unidad imaginaria (definición y notación).
Año 2006
261) Resolver:
0 1
262) Resolver la ecuación
ecuación dada.
Verificar los valores de en la
263) Definir: -Matriz diagonal. 264) Sean las personas A, B, y C. Si A le diera $1 a C, ambos tendrían lo mismo; si B tuviera $1
menos, tendría lo mismo que C, y si A tuviera $5 más, tendría el doble de lo que tiene C. ¿Cuánto tiene cada persona? 265) Resolver la ecuación
reales.
{
, sabiendo que sus raíces son
266) Resolver el sistema de ecuaciones:
267) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método matricial:
268) Sabiendo que una de las raíces de la ecuación
es de la forma
hallar los valores posibles de b y escribir las ecuaciones respectivas Cursillo π
27
Ing. Raúl Martínez
,
TAA-MATEMÁTICA I
269) Resolver la ecuación: 270) Calcular
, sabiendo que
271) La suma de los dos primeros términos de una progresión geométrica de seis términos es
igual a 9 y la de los dos últimos es 144. Formar todas las progresiones posibles.
272) Un comerciante compró 90 calculadoras. Vendió un lote de 35 calculadoras por
280.000, perdiendo 3.000 en cada una. Después vendió 30 calculadoras, ganando 30.000 en total. Calcular el precio de venta de cada una de las restantes calculadoras para que gane 250.000 en la operación.
273) Hallar los números naturales comprendidos entre 1.000 y 2.000, que divididos por 12;
15 y 18 dan 13 de residuo. 274) Una cuadrilla de 24 obreros pueden terminar una obra en 18 días, trabajando 8 horas
diarias. Después de trabajar 12 días, se retiran 3 obreros y no son reemplazados sino al cabo de 3 días. ¿Cuántas horas diarias deberán trabajar en los días que faltan para terminar la obra en el tiempo establecido? 275) El gerente de una empresa desea repartir la suma de
25.008.000 entre tres de sus empleados Ángel, Beatriz y Cirilo, proporcionalmente a la antigüedad de cada uno de ellos: la
de Ángel es igual a los de la de Beatriz, y la de Cirilo igual a los de la de Beatriz, e inversamente proporcional a sus salarios: el de Ángel es 20% menos que el de Cirilo y el de Beatriz es 20% más que el de Cirilo. ¿Cuánto corresponde a cada empleado?
276) Efectuar :
277) Tres jugadores se proponen jugar tres partidos con la condición de que quien pierda un
juego deberá duplicar el capital que tenga cada uno de los otros dos, en ese momento. Juegan y cada uno pierde un partido. Calcular el capital inicial de cada jugador, sabiendo que al cabo de los tres partidos, cada uno tiene US$ 16. 278) Un polinomio entero en
dividido separadamente por y por y 8, respectivamente. Hallar el resto de dividir el polinomio por el producto
279) Resolver la ecuación:
Cursillo π
28
Ing. Raúl Martínez
da resto 6
TAA-MATEMÁTICA I
280) Determinar polinomio
y
de modo que el polinomio
sea divisible por el
281) Descomponer en fracciones simples:
Año 2007 282) Descomponer en fracciones simples:
283) ¿Cuántos y cuáles son los divisores comunes, simples y compuestos, de los números 1.560 y
2.400?
284) Un obrero emplea 9 días en hacer 240
de una obra, trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántas horas trabajará para hacer una obra de 280 , si la dificultad de la primera obra y la de la segunda están en relación de 3 a 4?
285) Repartir un capital de
20.300.000 entre tres personas de modo que a la segunda le corresponda 15% menos que a la primera y a la tercera 20% más que a la segunda.
286) Dos secretarias, Ana y Beatriz, escriben 85 palabras por minuto y 102 palabras por minuto.
Respectivamente. Si Ana comienza un trabajo a las 8 horas y Beatriz otro 40 minutos después y ambas trabajan sin pausa, ¿a qué hora habrán escrito el mismo número de palabras?
287) Siendo n un número natural, calcular el valor de 288) Resolver la ecuación:
289) Hallar el valor de n de manera que la ecuación
una raíz igual al doble de la otra.
admita
290) Un depósito puede ser llenado con agua por medio de dos grifos. Cada grifo, funcionando
solo, llena el depósito en 21 horas 15 minutos y 11 horas 15 minutos, respectivamente. El segundo grifo suministra, por minuto, 24 litros de agua más que el primer grifo. ¿Cuál es la capacidad del depósito?
( √ √ )( √ )√
291) Descomponer en factores el polinomio
sabiendo que es divisible por el binomio Cursillo π
29
Ing. Raúl Martínez
,
TAA-MATEMÁTICA I
√ √ √ √ √
292) Racionalizar el denominador de la fracción
293) Un establecimiento de comidas elabora Tres tipos de productos A, B y C, con tres
ingredientes x, y , z en las cantidades que refleja la tabla siguiente: x
y
z
A
15
5
2
B
20
10
0
C
20
8
5
Si el costo de cada producto es , y respectivamente, hallar el costo unitario de cada ingrediente. Resolver el sistema de ecuaciones utilizando, exclusivamente, determinantes.
* *
294) Calcular el valor de
e que resultan de multiplicar la matriz A por su transpuesta, siendo
el producto la matriz B.
295) Resolver la ecuación, sin calcular logaritmo de números e indicando todos los pasos:
296) Resolver la ecuación:
Verificar en la ecuación dada, el o los valores de
obtenidos.
297) El primer término de una progresión aritmética de 15 términos es
. La suma de los cinco
últimos es igual a 155. Formar la progresión.
298) En una progresión geométrica de seis términos, la suma de los términos que ocupan el
lugar impar es 1.365 y la suma de los que ocupan el lugar par es 5.460. Hallar el primer término y la razón de la progresión.
Cursillo π
30
Ing. Raúl Martínez
TAA-MATEMÁTICA I
299) Un país importa 210 vehículos mensualmente de las marcas X, Y, Z al precio de US$
12.000, US$15.000 y US$ 20.000, respectivamente. El total de la importación asciende a US$ 3.320.000 y de la X se importa el 40% de la suma de las otras dos marcas. ¿Cuántos vehículos de cada marca entra en ese país?
300) Resolver las ecuaciones:
a) b)
301) Formar la equidiferencia continua determinada por los términos de la progresión aritmética
creciente que ocupan el lugar 29, 28 y 27, siendo su primer término igual a 7 y la suma de sus primeros 40 términos igual a 4.960.
Año 2008 302) Hallando previamente la fracción generatriz de los decimales, efectuar:
303) Dos obreros pueden terminar una obra en 12 días. Después de trabajar juntos cuatro días,
el más hábil cae enfermo y el otro acaba el trabajo en 18 días. ¿Cuántos días haría empleado cada obrero para hacer solo el trabajo? 304) Un número N es múltiplo de 3, más 1; de 5, más 3; de 7, más 5 y de 11, más 9. Hallar N.
305) Vendí dos inmuebles a
9.000.000 cada uno. En uno gané el 20% del precio de venta, y en el otro perdí el 4% del costo. ¿Gané o perdí en total, y cuánto?.
306) Hallar, por divisiones sucesivas , el máximo común divisor de los polinomios:
y
307) Dos obrero hicieron una obra trabajando juntos. El primero ganó, por día, un tercio más de
lo que ganó el segundo. El primero cobró 900.000, habiendo trabajado cinco días más que el segundo. El segundo cobró 540.000. ¿Cuánto días trabajo cada obrero? 308) Hallar el termino de octavo grado en
correspondiente al desarrollo de
309) Un comerciante compró cuadernos por US$ 540. Los vendió todos menos 18, ganando US$
2 en cada cuaderno. Sabiendo que con el dinero recaudado en la venta podría haber comprado 90 cuadernos más que antes, calcular el costo de cada cuaderno.
Cursillo π
31
Ing. Raúl Martínez
TAA-MATEMÁTICA I
310) Dadas las matrices A y B, determinar la matriz X para que se verifique
311) Sin usar los logaritmos de los números, resolver la siguiente ecuación:
312) Resolver la siguiente ecuación, verificando las raíces en la ecuación:
313) Un comerciante compró cierto número de unidades de un artículo por un total de US$ 720.
Hallar el número de unidades que compró, sabiendo que obtuvo una ganancia igual al importe del costo de ocho de ellas al venderlas a US$ 40 cada una. 314) Hallar la función cuadrática sabiendo que
; ; . Resolver el sistema de ecuaciones lineales formado, calculando la matriz inversa de la matriz de los coeficientes de las incógnitas. Se recomienda operar con números fraccionarios en todo el cálculo.
315) Un grupo de amigos organizo una excursión pero, finalmente no pudieron ir 10 de ellos
porque no disponían más que de un cierto número de vehículos: cinco de seis asientos y el resto de cuatro asientos. Si los cinco vehículos hubieran sido de cuatro asientos y el resto de seis, hubieran podido ir todos. ¿Cuántos fueron los excursionistas y cuántos vehículos fueron realmente utilizados?
√
316) Dadas las matrices A,B,C, hallar el valor de
y el de para que se verifique
317) Resolver las ecuaciones
a)
b) 3
318) Dos términos consecutivos de una progresión aritmética creciente son 56 y 106. Dos
términos consecutivos de una progresión geométrica creciente son 16 y 32. Los términos que ocupan el sexto lugar en ambas progresiones son iguales. La diferencia entre el cuarto término de la progresión aritmética y el cuarto término de la progresión geométrica es 92. Hallar el primer término de cada una de las progresiones.
Cursillo π
32
Ing. Raúl Martínez
TAA-MATEMÁTICA I
319) Hallando previamente la fracción generatriz de los decimales e indicando todos los pasos,
calcular:
320) Diez obreros se comprometieron a realizar una obra en 24 días. Trabajaron seis días a razón
de ocho horas diarias. En ese momento se les pidió que acabaran la obra ocho días antes del plazo que les dieron al principio. ¿Cuántos obreros adicionales fueron contratados? 321) Efectuar:
√
322) Hallar el término independiente de
en el desarrollo de
323) El resto de dividir el polinomio
, siendo un número a determinar; por el binomio , es igual a 10. Hallar el o los cocientes de la división, utilizando el esquema de Ruffini-Briot.
324) Descomponer en fracciones parciales
Cursillo π
33
Ing. Raúl Martínez
TAA-MATEMÁTICA I
Año 2009 325) ¿Cuántos y cuáles son los divisores comunes, simples y compuestos, de los números 25.740
y 21.420? 326) Un comerciante compró 90 litros. Vendió 35 de ellos por US$ 280, perdiendo US$ 3 en cada
uno, y 30, ganando US$ 1 en cada uno. ¿A qué precio vendió los que le restaban, si en definitiva no ganó ni perdió en la operación? Resolver el problema aritméticamente. 327) Calcular el término de mayor coeficiente numérico del desarrollo de:
( ) [ ]
328) Descomponer en fracciones parciales:
329) ¿Cuántos son los divisores simples y compuestos de los números 83.853 y 1.760.913? 330) Hallando previamente la fracción generatriz de los decimales, efectuar:
331) Para formar una empresa se reúnen tres personas: los señores A, B y C. Los señores A y B
ponen el local, que pertenece 60% a A y 40% a B. El señor B, además de su parte del local pone US$ 20.000. El señor C aporta US$ 50.000. Sabiendo que al señor A le corresponde el 75% de la ganancia del señor B, cuanto le corresponde a cada uno si tienen que repartirse una ganancia de US$36.000, proporcionalmente a lo que invirtieron para la formación de la empresa. 332) Hallar el producto de los términos cuarto y octavo del desarrollo de
333) Descomponer en fracciones parciales
( √ )
334) Un contratista disponía de una cierta suma de dinero para una determinada obra. Gastó la
cuarta parte de dicha suma y le abonaron US$ 36.000. Inmediatamente después gastó la tercera parte de la suma que entonces tenía y le quedaron US$ 55.900. ¿De qué suma disponía el contratista cuando empezaron las obras?
Cursillo π
34
Ing. Raúl Martínez
TAA-MATEMÁTICA I
335) Un comerciante compro cierta cantidad de artículos a un costo total de US$ 2.000. Al
manipularlos para su puesta a la venta, se dañaron 8 artículos. Los artículos restantes se vendieron con una ganancia de US$ 25 en cada uno y la ganancia total fue de US$ 400. ¿Cuántos artículos compro el comerciante originalmente?
0⁄ 1
336) Dadas las matrices A,B y C, hallar el valor de
relación
.
y el de
para que se cumpla la
Realizar, paso a paso, el cálculo de la matriz inversa de A.
337) En una fábrica se producen tres productos A,B y C a razón de 350 productos, en total, por
mes. Las horas de mano de obra y los kilogramos de materia prima que demanda cada producto se detallan en la siguiente planilla: A
B
C
Horas por unidad
2
3
5
Materia prima por unidad
1
2
3
Hallar la cantidad de cada producto A, B, C que se produce por mes, sabiendo que se gastaron en el mes 1050 horas de trabajo y 625 kg de materia prima. Resolver el sistema de ecuaciones lineales por determinantes.
338) Sean cuatro fracciones ordenadas de tal forma que sus numeradores están en progresión
aritmética de razón 3 y sus denominadores en progresión geométrica de razón 2. El producto de las dos fracciones extremas es 1/44 y la suma de las otras dos es 9/22. Todos los términos de las cuatro fracciones son números naturales. ¿Cuáles son las fracciones?
339) Un comerciante quiso liquidar su existencia de bolígrafos y gomas de borrar por la suma de
El conjunto de tres bolígrafos ofreció por mientras que las gomas de borrar por cada una. Al cabo de cierto tiempo, consiguió vender sólo la mitad de los bolígrafos y las dos terceras partes de las gomas de borrar, recaudando . Hallar las unidades que vendió de cada uno de los artículos. Resolver exclusivamente por determinantes el sistema de ecuaciones formado.
Cursillo π
35
Ing. Raúl Martínez
TAA-MATEMÁTICA I
340) Un médico dietista necesita preparar una comida que consta de tres ingredientes. La
comida debe contener las cantidades diarias necesarias de cada una de las tres vitaminas A, B, C. Se da la tabla del contenido vitamínico por gramo de cada ingrediente, expresado en miligramo. Las cantidades necesarias por día de cada vitamina son 52 mg de A, 56 mg de B y 34 mg de C. Determinar la cantidad de cada ingrediente, en gramos, para que cada comida contenga las cantidades diarias necesarias de cada una de las tres vitaminas. Ingrediente
Vitamina A (mg/g)
Vitamina B (mg/g)
Vitamina C (mg/g)
1
4
2
1
2
6
8
6
3
3
4
2
Resolver por el método matricial el sistema de ecuaciones lineales formado, realizando, paso a paso, el cálculo de la matriz inversa de la matriz de los coeficientes de las incógnitas.
{
341) Resolver el sistema de ecuaciones siguiente:
0 1
342) Resolver la siguiente ecuación:
343) Sabiendo que el producto de la matriz A por sí misma es igual a A, hallar el valor de relación se cumpla.
para que tal
344) En una progresión aritmética de 12 términos, la suma es 168, y el primer término 3.
¿Cuántos términos, a partir del cuarto, suman lo mismo que los dos últimos términos de la progresión? 345) Hallar la razón de la progresión geométrica de tres términos sabiendo que el último
término es 0,01 y la suma de los tres términos es 0,31.
Cursillo π
36
Ing. Raúl Martínez
TAA-MATEMÁTICA I
346) Una de las raíces de una ecuación de segundo grado es igual a la suma de los ocho primeros
términos de la progresión cuyos tres primeros términos son 6; 4 y 2. La otra raíz es el quinto de la progresión cuyos tres primeros términos son 234,375 ; 93,75 y 37,50. ¿Cuál es la ecuación? 347) Verificar la identidad
348) Propiedades de las raíces. Ecuación de segundo grado. 349) Dividiendo
a
una igualdad por una desigualdad, se obtiene una desigualdad…
350) En toda proporción geométrica sumando un antecedente a su consecuente e a un
antecedente cualquiera… 351) Si los dos términos de una fracción irreducible se eleva a una misma potencia, la fracción
que se obtiene es reducible. 352) Para que un polinomio
sea divisible por un binomio termino independiente del polinomio sea múltiplo de .
353)
es necesario que el
354) Un número compuesto es divisible por sí mismo y por la unidad.
El
del dividendo y del divisor es igual al
del cociente y el resto.
355) Sin utilizar la máquina de calcular y aplicando las propiedades de los logaritmos, verificar
que:
Cursillo π
37
Ing. Raúl Martínez
TAA-MATEMÁTICA I
Año 2010 356) Una obra fue construida por tres cuadrillas de obreros. La primera, que estaba compuesta
por 10 hombres, trabajó 6 días, a razón de 8 horas diarias; la segunda, de 9 hombres, trabajo 5 días a razón de 6 horas diarias, y la tercera, de 7 hombres, trabajo 3 días a razón de 5 horas diarias. Si la obra costo, en total 68.400.000. ¿Cuántos guaraníes corresponden a cada cuadrilla? 357) Un padre repartió
deudas e inversamente proporcional a sus salarios. La deuda de A es igual a de C es igual a
37.512.000 entre sus tres hijos A, B y C , proporcionalmente a sus de la de B, y la
de la de B. El salario de A es 20% menos que el de C y el de B es 20% más que
el de C. ¿Cuánto correspondió a cada hijo?
. /
358) Determinar m, n y p de modo que el polinomio
sea divisible por
359) Hallar el termino de mayor coeficiente numérico del desarrollo de:
360) Descomponer en fracciones parciales:
361) Efectuar:
de
362) Hallar el valor de “ ” en el polinomio
manera que resulte divisible por 363) Efectuar:
364) Determinar m, n y p de modo que el polinomio
sea divisible por
. Resolver exclusivamente por determinantes el
sistema de ecuaciones formado.
Cursillo π
38
Ing. Raúl Martínez
TAA-MATEMÁTICA I
365) Un empresario obtiene de un Banco de plaza dos créditos que suman US$ 50.000. Con las
dos quintas partes del primer crédito compró materiales para su empresa y con el segundo crédito realizo una inversión en la que perdió las tres octavas partes de ese segundo crédito. Como consecuencia de las dos operaciones, la suma de los créditos disminuyo en un 38,25%. Calcular el valor de cada uno de los créditos. Resolver el sistema de ecuaciones, paso a paso, calculando la matriz inversa de los coeficientes de las incógnitas.
366) Resolver:
367) Se da la progresión aritmética: 3…..23…..59
El número de términos comprendidos entre 23 y 59 es el doble de los comprendidos entre 3 y 23. Hallar la razón, el número de términos y la suma de todos los términos de la progresión dada.
368) Aplicando exclusivamente las propiedades de los logaritmos, calcular el valor de N:
369) La carga de un camión pesa el doble que la de otro, más 2 toneladas. Las dos terceras
partes de la carga del segundo camión se pasan al primero para completar la carga de este, y entonces resulta que la carga del primer camión tiene un peso diez veces mayor que la del segundo. ¿Cuáles eran las cargas iniciales de los dos camiones?
370) Resolver el sistema de ecuaciones:
371) Resolver por el método matricial el sistema de ecuaciones lineales, realizando paso a paso,
el cálculo de la matriz inversa de la matriz de los coeficientes de las incógnitas:
Cursillo π
39
Ing. Raúl Martínez
TAA-MATEMÁTICA I
372) Tres casas comerciales vendieron en una semana tres tipos de calculadoras: del tipo A
a cada una; del tipo B a cada una y del tipo C a cada una, recaudando la primera , la segunda y la tercera . Calcular el precio de venta de cada calculadora. En el cuadro se indican las cantidades de calculadoras de cada tipo vendidas en la semana por cada casa comercial. X
y
Z
Primera casa comercial
2
3
5
Segunda casa comercial
1
2
6
Tercera casa comercial
4
3
7
01
Resolver exclusivamente por determinantes el sistema de ecuaciones formado.
373) Dadas las matrices A y B, hallar el quíntuplo de la matriz C, sabiendo que
01
374) Hallar el valor de
para que se cumpla la siguiente relación:
375) En una primera progresión aritmética, el primer término es 12, el número de términos es 9
y su suma 252. En una segunda progresión aritmética, el primer término es 2 y la razón 6. Dos términos, uno en cada progresión, que ocupan el mismo lugar en ambas progresiones, son iguales. ¿Cuál es el valor de ellos?
√
376) La razón de una progresión geométrica es
igual a
√
. La suma de los cinco primeros términos es
. Calcular el segundo término.
377) Un comerciante compró cierto número de discos por
Vendió una parte por en total
a cada uno. , ¿A cuánto vendió cada uno de los discos restantes, sí ganó
378) Ocho hombres se comprometieron a realizar una obra en 18 días. Trabajando 6 días a razón
de 6 horas diarias. Entonces se les pidió que acabaran la obra 4 días antes del plazo fijado inicialmente. Se contrataron más obreros, trabajando todos, 8 horas diarias y terminaron la obra en el plazo pedido. ¿Cuántos obreros se contrataron?
Cursillo π
40
Ing. Raúl Martínez
TAA-MATEMÁTICA I
379) Un muchacho da 100 pasos en un minuto y un hombre 3 pasos en 2 segundos. El primero
avanza en cada paso 70 cm, y el segundo 90 cm. ¿Cuánto tardara cada uno en hacer un recorrido de 5.670 m?
380) Un terreno de 5 Hectáreas y 175 centiáreas que ha costado
vendido a razón de 381) Efectuar:
382) Efectuar:
la hectárea, ha sido el decámetro cuadrado. ¿Cuánto se ha ganado en la venta?
√ √ √ √
383) Si se suma 4 al denominador y numerador de un quebrado, la fracción resultante es
reducible a 1/2 . Si se resta 2 al numerador y al denominador, la fracción resultante es equivalente a 3/8 . ¿Cuál es la fracción original? 384) Un corredor da la vuelta en un circuito circular en 7min 30 seg. El segundo corredor en 2
min 15 seg y un tercer corredor en 5 1/3 minutos. Si salen todos juntos. ¿Cuánto tiempo tardara para volver a entrarse en la meta? 385) Dos ruedas dentadas se engranan una en la otra, la primera tiene 48 dientes y tarda 4 seg
en dar una vuelta, la segunda tiene 104 dientes. Se los pone en movimiento. ¿Al cabo de cuánto tiempo se encontraran en la misma posición que al comenzar? 386) Una persona tenía una cierta suma de dinero. Empieza a jugar y pierde US$ 20; en la
siguiente jugada duplica lo que queda, y luego pierde US$ 15; seguidamente triplica el saldo y termina ganando US$ 80. ¿con cuánto dinero se retira del juego?
387) Hallar el valor de
para que la ecuación raíz igual al doble de la otra. Verificar los valores de 388) Resolver:
389) Hallar
Cursillo π
admita una
en la ecuación dada.
para que el determinante de la matriz A sea igual a
41
, siendo
Ing. Raúl Martínez
TAA-MATEMÁTICA I
390) Probar que si
están en progresión aritmética, entonces
están en progresión aritmética.
también
{
391) Hallar la expresión de
e
de:
392) Resolver:
393) Un comerciante compró una damajuana de aceite a
el litro y otra de vino a el litro, y pagó en total . Involuntariamente la damajuana de vino se le proveyó llena de aceite y viceversa por lo cual el comerciante recibió en devolución . ¿Cuál es la capacidad de cada damajuana?
394) Un comerciante compro varias cajas de cierta mercadería por
. Se le echaron a perder 6 cajas y vendió las restantes cargando más por cada caja sobre el precio de costo. En la operación ganó . ¿Cuántas cajas compro?
395) Empleando logaritmos, calcular el valor de N
396) Si
y
son las raíces de la ecuación
, Se cumple que
397) La suma de dos expresiones racionales conjugadas es un número. 398) El desarrollo de
, para “ ” entero y positivo tiene un término central.
399) Cantidades complejas conjugadas son dos cantidades complejas que difieren solamente en
el signo de la parte real o imaginaria.
400) El teorema del resto se aplica también a todo dividendo que sea un polígono entero y
racional en
Cursillo π
, cuando el divisor no es un polinomio de primer grado.
42
Ing. Raúl Martínez
TAA-MATEMÁTICA I
401) Dos monomios que tienen un coeficiente numérico y una parte literal, son semejantes si
sus coeficientes son iguales. 402) Simplificar un radical es reducirlo a su más simple expresión es decir cantidad subradical
entera de grado positivo.
403) Si las ecuaciones
404) Si la ecuación
y
se verifican que
se cumple que
la ecuación tiene raíces
complejas conjugadas.
405) Si un polígono entero e irracional en
406) La ecuación
; siendo
se anula para
y
y
; es divisible por
números naturales es una ecuación
logarítmica.
407) Toda potencia de exponente par de la unidad imaginaria es número real.
Cursillo π
43
Ing. Raúl Martínez
TAA-MATEMÁTICA I
Año 2011
408) Siendo las matrices
y
se cumple
409) El producto de dos expresiones irracionales conjugadas de 2º grado es racional.
410) Todo número que divide al dividendo y al resto de una división inexacta divide al dividendo
y al cociente. 411) Si un número es múltiplo de 20 números, el mismo es su 412) Siendo
y
.
números enteros y positivos y mayores que uno.
413) Si es un número entero positivo y par
es divisible por
414) Si dos proposiciones geométricas tienen los antecedentes iguales los consecuentes forman
proporción geométrica.
415) El resto de dividir un polígono entero y racional por un binomio de la forma
obtiene hallando el valor del polinomio para
.
, se
416) El producto de dos imaginarios es un imaginario puro. 417) Dos números consecutivos son primos entre sí. 418) Raíces de un polinomio
el polinomio.
son los valores de la variable independiente de que anulan
419) La propiedad conmutativa del producto de matrices se cumple entre una matriz y su
inversa.
420) La suma de los términos extremos de una progresión aritmética de cuatro términos es igual
a 11 y el producto de los medios es igual a 24. Escribir las progresiones posibles.
421) Dado el sistema de ecuaciones
y
Cursillo π
y siendo
. El mismo tiene una sola solución.
44
Ing. Raúl Martínez
TAA-MATEMÁTICA I
422) Los elementos de una fila de un determinante son linealmente dependientes de los
elementos de las demás cuando son una combinación son una combinación lineal de los elementos correspondientes de las otras filas.
423) Dada una progresión geométrica de
último y
la razón, se verifica que
términos en la que
es el primer término,
el
1er Parcial
424) Completar el enunciado del siguiente teorema y luego demostrarlo: “En toda división
entera, la suma de los restos por defecto y por exceso, es…” 425) Hallar todos los divisores simples y compuestos de los números 6.727 y 73.997. 426) Un empresario tenía un cierto capital que aplicó a un negocio que le redituó 10% de
ganancia. El total de su nuevo capital dedicó a otro negocio que le dio una pérdida del 5% del mismo. Inmediatamente después invirtió lo que le quedaba en un tercer negocio y ganó el 5% de lo que tenía entonces. Al final de estos tres negocios, su capital fue de US$ 131.670. ¿Qué porcentaje de su capital inicial fue la ganancia total que tuvo? 427) Si 20 obreros hicieron una excavación en 10 días, trabajando 8 horas diarias, y 40 obreros
hicieron otra excavación igual en 8 días, trabajando 5 horas diarias, ¿era la dificultad de la segunda obra mayor o menor que la primera? 428) Efectuar:
√ . √ √ /
429) Hallar un número tal que el doble de su logaritmo exceda en una unidad al logaritmo del
número que resulta aumentando
al valor del número pedido. Verificar la o las soluciones.
430) Descomponer el número 64 en cuatro sumandos que formen una proporción geométrica
continua, tal que los términos medios excedan al primer término de la proporción en 8 unidades. Hallar la o las soluciones posibles. 431) Una empresa de alquiler de automóviles cobra
3.000.000 fijos más kilómetro recorrido. Otra competidora no tiene canon fijo pero cobra kilómetro. ¿A partir de qué distancia resulta más económica la primera?.
Cursillo π
45
25.000 por 45.000 por
Ing. Raúl Martínez
TAA-MATEMÁTICA I
2do Parcial
{ 432) Resolver el sistema de ecuaciones:
433) Resolver el sistema de ecuaciones:
434) Hallar el valor entero de
para que el determinante de la matriz A sea igual a 1.110,
siendo:
435) Hallar el o los valores de
para que la matriz A no admita matriz inversa:
436) Resolver por el método matricial el sistema de ecuaciones lineales, realizando paso a paso,
el cálculo de la matriz inversa de los coeficientes de las incógnitas:
437) Resolver el sistema de ecuaciones:
438) La suma de los cinco términos enteros de una progresión aritmética creciente es 35, y el
producto de ellos 3.640. Formar la progresión.
√ √
439) Hallar el número de términos de una progresión geométrica cuyo primer término es 3, el último
192
Cursillo π
y la razón
.
46
Ing. Raúl Martínez
TAA-MATEMÁTICA I
440) Dos personas,
Examen Final
y , compraron una propiedad y luego la vendieron, ganando un 25% del precio de la compra. Para la compra puso un 36% más que . Si el precio de venta fue ¿Cuánto aporto cada uno para la compra? Resolver aritméticamente.
⁄
441) Treinta hombres se comprometen a hacer una obra en 15 días. Al cabo de 9 días sólo han
hecho de la obra. Si el encargado refuerza la cuadrilla con 42 hombres, ¿podrán terminar la obra en el tiempo fijado, y si no es posible, cuantos días más necesitaran? 442) Hallar, por divisiones sucesivas, el máximo común divisor de
y
443) Descomponer en fracciones parciales:
444) Hallar el termino independiente de
445) Resolver el sistema de ecuaciones:
√ √ * del desarrollo de:
446) Calcular, paso a paso, el valor numérico de
propiedades de los logaritmos.
, aplicando exclusivamente las
447) Los tres primeros términos de una progresión son 0 ; 3 y 6, respectivamente. Hallar el
número de términos que se deben tomar de esa progresión, a partir del undécimo termino, para que su suma sea igual a 495.
Cursillo π
47
Ing. Raúl Martínez
TAA-MATEMÁTICA I
Año 2012 448) Demostrar: “Si se multiplican dos números por un mismo número su Máximo Común
Divisor queda multiplicado por el mismo número.” 449) Obtener el menor número por el cual hay que multiplicar a 2.025 para que el número
obtenido sea divisible por 92 y 95 450) El precio de las expensas representa el 14 % del precio del alquiler de un departamento
actualmente. El año pasado se pagó en concepto de alquiler y expensas Gs 19.575.000, donde las expensas representaban un octavo del precio del alquiler. Si el alquiler no sufrió variación, ¿en qué porcentaje varió el precio de las expensas este año en relación con el año pasado? 451) La confección de 40 muebles requiere 1.120 clavos, 20 terciadas, además de 5 horas de
trabajo con 4 operarios. Si se tiene que entregar un pedido de 252 muebles del mismo tipo en 21 horas ¿Cuántos operarios más se requerirán? 452) Dos hermanos, de 8 y 12 años, cuentan sus monedas ahorradas de Gs 500, que son más de
50 y no superan las 70 monedas. El menor cuenta las monedas de 6 en 6 y le sobran 2 monedas, el mayor cuenta de 9 en 9 y también la sobran 2. Desean repartirse en forma directamente proporcional a sus edades e inversamente proporcional a los errores que tuvieron al contar los ahorros que fueron 4 y 2 monedas respectivamente. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?.
*
453) Demostrar que la expresión
divisible por
, sin efectuar la división.
454) Hallar el coeficiente del término cuya parte literal es
en el desarrollo de
455) Dividir:
456) Deducir la fórmula para resolver la ecuación 457) Obtener los valores de
Cursillo π
es
e
de sistema
48
Ing. Raúl Martínez
TAA-MATEMÁTICA I
458) Plantear y resolver:
El presupuesto de una fábrica para la compra de una cierta cantidad de ladrillos a utilizarse en una obra, es de 1.480.000 Gs por cada mil ladrillos. Se observó que se requeriría 100.000 ladrillos más y se compró el total de ladrillos de otra fábrica, donde se obtenía una rebaja 158.000 Gs por cada mil ladrillos en comparación con el presupuesto de la primera fábrica. De esto resultó, que a pesar del aumento de la cantidad de ladrillos, el costo del total de los mismos sólo se incrementó en 69.000.000 Gs con respecto a lo calculado con el primer presupuesto. ¿Cuántos ladrillos hicieron falta para la obra?
| | + + +
459) Resolver la desigualdad
460) Siendo
y
obtener el valor de
461) Hallar la inversa de la matriz
462) Determinar el valor de para que
463) Resolver:
464) De la expresión
se puede afirmar que es una:
1. Identidad 2. Ecuación lineal 3. Ecuación exponencial 4. Ecuación cuadrática Es/son correcta/s: A) Sólo 1 y 3
B) Sólo 1
C) 2
465) Dado el sistema de ecuaciones
1. No tiene solución. 2. Tiene solución si 3. Tiene solución si 4. Tiene ecuaciones simétricas Es/son correcta/s: A) 1 B) 3 C) Sólo 2 Cursillo π
D) Sólo 4
se afirma que, el sistema:
D) Sólo 4 49
E) 1 , 3 y 4
E) 2 y 4 Ing. Raúl Martínez
TAA-MATEMÁTICA I
466) De acuerdo a la ecuación
si
ecuación admite: 1. Dos raíces reales desiguales. 2. Una raíz real doble. 3. Dos raíces complejas conjugadas. 4. Dos raíces complejas de signos contrarios. Es/son correcta/s: A) 1 B) 2 C) 3 y 4
D) Sólo 4
se puede afirmar que la
E) Sólo 3
467) Dada la ecuación
indicar en qué caso la solución será un número natural: 1. es múltiplo de siendo y del mismo signo. 2. es múltiplo de siendo y de signos contrarios. 3. es múltiplo de siendo y del mismo signo. 4. siendo y del mismo signo. Es/son correcta/s: A) 1 B) 2 C) Sólo 3 D) 3 y 4 E) Sólo 4 468) Si una ecuación de segundo grado admite una raíz compleja, la otra raíz será un número:
1. Real. 2. Imaginario, de signo contrario. 3. Complejo, conjugado de la dada. Es/son correcta/s: A) 1 B) 2 C) Sólo 3
D) Sólo 4
E) 3 y 4
469) Con relación a un sistema de ecuaciones lineales con el mismo número de incógnitas y
ecuaciones, cuyo determinante principal es distinto de cero, se afirma que: 1. El sistema admite solución única. 2. El sistema no admite solución. 3. El sistema admite infinitas soluciones. 4. Si los términos independientes son nulos, la solución del sistema es nula. Es/son correcta/s: A) Sólo 1 B) Sólo 3 C) 1 y 4 D) Sólo 4 E) 2 y 3
470) Con relación a las matrices, se afirma que:
1. Matriz de dimensión es un conjunto doblemente ordenado de símbolos dispuestos en filas y columnas. 2. Dos matrices son iguales si tienen el mismo orden y sus elementos correspondientes iguales. 3. Matriz diagonal es la matriz cuyos elementos situados en la diagonal principal son nulos. 4. Matriz unidad o identidad es una matriz en la que sus elementos son todos iguales a la unidad. Es/son correcta/s: A) 1 y 2 B) Sólo 2 C) Sólo 3 D) 1 y 3 E) 2 y 4
Cursillo π
50
Ing. Raúl Martínez
TAA-MATEMÁTICA I
471) Son propiedades de las matrices cuadradas, siendo
1. 2. 3. 4.
Es/son correcta/s: A) 1 B) Sólo 2
C) 2 y 3
D) Sólo 3
un escalar no nulo:
E) 2 y 4
472) Sean las siguientes afirmaciones:
1. 2. 3. 4.
Toda matriz simétrica es igual a su transpuesta. Siempre es posible sumar dos matrices. La matriz identidad de orden tiene rango . Matriz inversa de una matriz cuadrada, de un cierto orden, es otra matriz cuadrada del mismo orden tal que su producto por A dé como resultado la matriz identidad. Es/son correcta/s: A) 1 , 3 y 4 B) Sólo 1 y 3 C) Sólo 1 D) Sólo 3 E) 1 y 2
473) Con relación a los determinantes, se afirma que:
1. Si en un determinante se permutan dos de sus filas, el determinante no se altera. 2. Si algunos de los elementos de una columna de un determinante se dividen por un mismo número, el determinante queda dividido por dicho número. 3. Si un determinante tiene todos los elementos de una fila nulos, el determinante es igual a cero. 4. El determinante es cero si dos de sus filas o columnas son proporcionales. Es/son correcta/s: A) 1 y 4 B) 2 y 3 C) 3 y 4 D) Sólo 1 E) Sólo 3.
Cursillo π
51
Ing. Raúl Martínez
TAA-MATEMÁTICA I
1er Parcial 474) Hallar el menor número que dividido por 9, 36 y 104 dé resto 7. 475) Indicando todo el proceso de cálculo y sin efectuar la división, convertir a fracciones de
√ √ √ √ √
denominador común y ordenar en forma creciente:
476) Racionalizando previamente el denominador de la primera fracción, calcular N:
477) Hallar, por divisiones sucesivas, el máximo común divisor de los polinomios:
478) Se ha completado un lote de libros por ₲ 1.785.000. Si se hubiera agregado 7 libros más al
lote, cada libro hubiera costado ₲ 10.000 menos y se habría pagado por el lote ₲ 2.450.000.
¿Cuántos libros componen el lote comprado? 479) Un Ingeniero entrega cierta cantidad de dinero por la dirección y realización de una obra a
un contratista, quien paga a tres obreros de acuerdo a la participación de cada uno de ellos en la realización de la obra. El primero realizó el 40 % de la obra; el segundo el 35 % de la obra y el tercero recibió ₲ 315.000. Sabiendo que el contratista quedó con el 30 % del monto entregado por la dirección de la obra, ¿Qué cantidad de dinero entregó el Ingeniero y cuánto dinero recibieron cada uno de los obreros por realizar la obra? 480) Si 20 hombres cavaron un pozo en 10 días, trabajando 8 horas diarias y 40 hombres cavaron
otro pozo igual en 8 días, trabajando 5 horas diarias, ¿era la dificultad de la segunda obra mayor, menor o igual que la dificultad de la primera? 481) Un granjero tiene 275 animales en una granja entre caballos, vacas y cerdos. El número de
vacas es al número de caballos como 7 es a 3 y el número de cerdos es al número de vacas como 5 es a 2. ¿Cuántos animales de cada especie tiene el granjero?.
Cursillo π
52
Ing. Raúl Martínez
TAA-MATEMÁTICA I
2do Parcial
482) Resolver el sistema de ecuaciones:
2 0 1 2 2
483) Resolver el sistema de ecuaciones:
484) Hallar el valor de
que
para que el determinante de la matriz
sea igual a 232, sabiendo
.
485) Hallar
para que la matriz sea una matriz unidad, resolviendo por determinantes el sistema de ecuaciones que se obtenga.
486) Resolver el sistema de ecuaciones:
487) Resolver el sistema de ecuaciones, sin hacer uso de los logaritmos de los números :
488) Se dan los tres primeros términos de dos progresiones: la primera 15; 17 y 19; la
segunda, y . Sabiendo que dos términos del mismo lugar de esas progresiones son iguales, hallar ese valor. Aplicar, exclusivamente, las formulas de las progresiones. 489) Descomponer el número 726 en cinco sumandos que estén en progresión geométrica
creciente, de manera que 492 sea la suma de los términos y la diferencia de los mismos sea igual a 483 menos la razón.
Cursillo π
53
Ing. Raúl Martínez
TAA-MATEMÁTICA I
Examen Final 490) En una obra se emplearon tres cuadrillas de obreros. La primera, de diez hombres, trabajó
24 días a razón de ocho horas diarias. La segunda, de nueve hombres, trabajó durante 20 días a razón de seis horas diarias. La tercera, compuesta de siete hombres, trabajó 12 días a razón de 5 horas diarias. ¿Cuánto recibió cada cuadrilla si la obra costo en total Gs. 46.170.000? 491) Un grupo de 14 obreros construyó una obra, cuya dificultad está representada por el
⁄
número 7, en 20 días, trabajando ocho horas diarias con una actividad representada por el número 12. ¿En cuántos días otro grupo de 12 obreros hará una obra de magnitud igual a de la anterior, cuya dificultad está representada por el número 9, trabando seis horas con una actividad representada por el número 8?
√ √ √ √ √
492) Efectuar, racionalizar previamente el denominador de la fracción:
493) Descomponer en fracciones parciales
494) Resolver por el método matricial, el sistema de ecuaciones lineales, realizando el cálculo de
2
la matriz inversa de los coeficientes de las incógnitas, paso a paso.
495) Hallar el término que tenga
en el desarrollo de
496) Resolver el sistema de ecuaciones:
497) Formar la equidiferencia continua determinada por los términos de la progresión aritmética
creciente que ocupan los lugares 37 ; 36 y 35, siendo su primer término igual a 14 y la suma de sus primeros 50 términos igual a 5600.
Cursillo π
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Año 2013 498) Definir:
a) Expresión algebraica racional b) Tanto por cieno 499) Enunciar y aplicar con ejemplo la regla para hallar la generatriz de una fracción decimal
periódica mixta. 500) Demostrar: “Si un número es divisible por dos o más factores primos entre sí dos a dos, es
también divisible por su producto”
501) Hallar el valor de
para que el término central en el desarrollo de
502) Determinar los valores de
divisible por
y para que el polinomio , sin efectuar la división.
sea
sea
503) Resolver por métodos exclusivamente aritméticos:
Juan puede hacer un trabajo en 3 días trabajando 10 horas diarias; Pedro puede hacer el mismo trabajo en 4 días trabajando 6 horas diarias. Se los contrata a ambos para hacer el mismo trabajo, trabajando 9 horas diarias. El primer día trabaja sólo Juan, el segundo día trabaja sólo Pedro y a partir del tercer día trabajan juntos hasta terminar la obra. ¿Cuánto tiempo, expresado en días y horas, duró el trabajo completo? 504) ¿Cuál deberá ser la ración por día, para cada uno de los 500 soldados de un cuartel, si
recién después de 240 días volverán a recibir víveres y sabiendo que la cantidad de la que se dispone se calculó para 180 días dando una ración de 900 por soldado a 400 soldados?
505) Se utiliza
para confeccionar una prenda de tamaño ; para una de tamaño ; para una de tamaño y de tela para una de tamaño . ¿Cuál será la menor longitud de un fardo de tela con la cual se podrá confeccionar cualquier tamaño sin que sobre tela?
506) Descomponer en factores:
507) ¿De cuál expresión hay que restar
entre
Cursillo π
para que la diferencia dividida
dé como cociente
?
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,
508) El resultado de la expresión que sigue es el
¿de qué número? Hallar previamente la fracción generatriz de los decimales e indicar todo el proceso.
509) Definir:
a) Fracción irreducible b) Inecuación c) Matriz diagonal
510) Deducir la formula para calcular la suma de los
geométrica en función del primer término
511) Dos personas, y
primeros términos de una progresión , del último término y de la razón .
, comienzan a jugar, teniendo cada una . ¿Cuánto perdió , al final del juego, si tiene ahora el cuádruple de lo que tiene ? 512) Una mueblería fabrica mesas y sillas. Para fabricar una mesa se requieren ocho horas de mano de obra y de materiales. Para fabricar una silla se requieren seis horas de mano de obra y de materiales. Por semana, la empresa dispone de 340 horas de mano de obra y puede comprar materiales por . ¿Cuántas mesas y cuántas sillas puede fabricar la mueblería por semana, usando todos los recursos humanos y económicos? 513) El producto de dos números es
resto 10. Hallar los números.
. Si el mayor se divide por el menor, el cociente es 2 y el
514) Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:
a)
b)
515) Resolver, por el método de los determinantes, el siguiente sistema de ecuaciones:
Cursillo π
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516) Dada la matriz
, hallar
, indicando todos los pasos de la resolución.
517) Dada la matriz
, hallar su inversa
, indicando todos los pasos de la resolución.
518) La suma de tres números consecutivos de una progresión geométrica creciente es 26. Si se
resta 8 del tercer término de la progresión, la misma se transforma en una progresión aritmética. Formar las dos progresiones.
1er Parcial 519) Definir:
a) Media geométrica b) Reparto compuesto c) Racionalización del denominador de una fracción d) Cantidades complejas conjugadas e) Logaritmo de un número en base 520) Demostrar: “Todo número que divide al dividendo y al divisor de una división inexacta,
divide al residuo”
521) Hallando previamente la fracción generatriz de los decimales, indicando todos los pasos,
( )
efectuar:
522) Una cuadrilla de obreros emplea 210 días, trabajando ocho horas diarias, para hacer una
obra de obra de
. ¿En cuántos días hará la misma cuadrilla, trabajando 10 horas diarias, otra , si la dificultad de la primera obra y la de la segunda están en relación 3 a 4?
523) Vendí dos automóviles a
en el otro gané el
cada uno. En uno perdí el del costo. ¿Cuánto gané o perdí en total?
del precio de venta y
524) Hallar dos números de cuatro cifras, el menor y el mayor posibles, que sean divisibles por 3;
4; 6; 7; 11 y 14. 525) Simplificar:
Cursillo π
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√ √ √
526) Efectuar:
527) Efectuar:
528) Determinar el término de quinto grado y la posición que ocupa en el desarrollo de la
siguiente expresión
.
Examen Final
529) Definir:
a) b) c) d) e)
Números reales Fracción decimal inexacta no periódica Proporción aritmética Cantidad compleja Rango de una matriz cualquiera
530) Deducir la fórmula para resolver la ecuación de segundo grado.
531) Vendí un automóvil en
. Si lo hubiera vendido por de su costo. ¿Qué porcentaje de su costo gané al realizar la venta?
habría ganado el
532) Una cuadrilla de 20 obreros se comprometió a realizar una obra en 25 días, trabajando
. Después de 10 días de haberse iniciado la obra, se retiraron 8 obreros y los que quedaron pasaron a trabajar . Pasados 5 días, se incorporó cierto número de obreros y la totalidad de los obreros, trabajando , pudo cumplir el compromiso de terminar la obra en el plazo estipulado. ¿Cuántos obreros fueron incorporados para terminar la obra? 533) Descomponer el número
en tres sumandos que sean directamente proporcionales a los cuadrados e inversamente proporcionales a los cubos de y .
534) Descomponer en fracciones parciales, la fracción:
Cursillo π
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* *
535) La suma de dos números complejos es
; la parte real del primer número es 7 y el cociente entre los números es un número real. Hallar dichos números.
536) Hallar el valor de
para que el determinante de la matriz valga 232, sabiendo que
537) Resolver la ecuación:
538) Calcular la suma de los números inferiores a 1000 que no son divisibles por 7. 539) Definir y dar un ejemplo:
a) b) c) d)
Ecuación de primer grado con una incógnita Identidad Ecuación logarítmica. Inecuación.
540) Deducir la fórmula para resolver la ecuación de la forma
.
541) Obtener el valor de los determinantes, aplicando las propiedades:
a)
, si
b)
, si
542) Resolver el sistema:
543) Determinar el valor de
para que
, con
matriz de los coeficientes de las
variables en el sistema:
544) Se ha comprado refrescos, cerveza y vino por importe de
millones , sin impuestos. El valor del vino es menos que el de los refrescos y cervezas conjuntamente. Teniendo en cuenta que los refrescos deben pagar un impuesto de , por la cerveza y por el vino
Cursillo π
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, lo que hace que la factura total con impuestos sea de cantidad invertida en cada tipo de bebida.
. Calcular la
545) Determinar el/los valor/es de que verifican la igualdad:
546) Hallar dos números enteros consecutivos, cuyos cubos se diferencien en 547) Calcular las cantidades de dos sustancias
y cuyos precios son y , sabiendo que se mezclan con éstas 5 kilos de una tercera sustancia de el kilo, obteniéndose un precio medio de . La cantidad de la tercera es la cuarta parte de la cantidad total.
548) Hallar todos los valores enteros de que satisfacen el sistema:
549) Demostrar que:
Cursillo π
, siendo la matriz identidad y
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Pruebas Evaluativas 550) Demostrar, y aplicar, que si un número no divide a otros dos, divide a la suma de dichos
números si la suma de los restos de las divisiones respectivas es igual al número dado. 551) Dada la expresión matemática
√
1.1. La expresión ¿es algebraica o trascendente?. 1.2. ¿De que grado absoluto es?. 1.3. ¿Qué clase de expresión es?. 1.4. ¿Es una expresión completa?. 1.5. ¿Está ordenada la expresión? ¿De qué manera?. 2. Simplifica la expresión:
̅ }
√
552) Efectuar hallando las fracciones generatrices:
553) Se confeccionan pantalones de tamaños M, P y G con cortes de tela de 90,0 ; 120,0 y 150,5
cm de largo y cierto ancho estándar. A pedido de los clientes se confeccionan además pantalones tamaño XG; XXG y XXXG que utilizan y más de tela que los M, P y G respectivamente. Se solicitan fardos iguales de tela del mismo ancho estándar y tal que la longitud sea la menor posible, con los cuales confeccionar prendas de un mismo tamaño cualquiera sin desperdicio de tela. ¿Qué longitud tendrán los fardos?. 554) Vendí una casa por 100.000 U
Si la hubiera vendido por 85.000 U 5 % del costo. ¿Qué porcentaje del precio de venta gané al venderla?.
555) A los obreros de una fábrica se les premia con
hubiera perdido el
1.000.000 en función a los trabajos terminados, su asistencia y las piezas talladas para recambio. Todos podían hacer 50 trabajos en 25 días laborales y tallar hasta 10 piezas para recambio. a) ¿A cuánto asciende la parte del premio correspondiente a los trabajos, a los días laborales y a las piezas de recambio?. b) ¿Cuánto recibirá un obrero que haya hecho 45 trabajos, asistiendo durante 20 días y tallando 9 piezas de recambio?.
Cursillo π
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556)
1.1 Analizar la divisibilidad de
.
1.2 Sin hacer la multiplicación, calcular el producto:
√ √ √ √ √ √ ̅
557)
1.1 Verificar que:
1.2 Simplificar y racionalizar:
558) Un polinomio entero y racional en dividido entre
da resto , dividido entre da resto . Hallar el resto de dividir dicho polinomio entre el producto
559) Factorizar en polinomio: 560) Simplificar:
561) Siendo
Calcular:
calcular el resultado con 6 cifras
decimales.
562) Descomponer en fracciones parciales y verificar el resultado: 563) Simplificar:
564) Factorizar:
1.1 1.2
565) Calcular el termino independiente en el desarrollo de
siendo la unidad imaginaria.
Cursillo π
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, sin desarrollar el binomio,
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Año 2014
566)
1.1 Calcular el logaritmo de en base . 1.2 Siendo y matrices invertibles del mismo orden y una matriz tal que ; Hallar . 1.3 Hallar el determinante de utilizando únicamente las propiedades y sin resolver el determinante siendo
1.4 Hallar el polinomio entero racional de las raíces.
grado
sabiendo que
es una de
567) El presupuesto de una fábrica para la compra de una cierta cantidad de ladrillos a utilizarse
en una obra es de 1.480.000 Gs por cada 1000 ladrillos. Se observo que se requerirá 100.000 ladrillos más y se compro el total de ladrillos de otra fábrica, donde se obtenía una rebaja de 158.000 Gs por cada 1.000 ladrillos en comparación con el presupuesto de la primera fabrica. De esto resultó, que a pesar del aumento de la cantidad de ladrillos, el costo del total de los mismos sólo se incrementó en 69.000.000 Gs con respecto a lo calculado con el primer presupuesto ¿Cuántos ladrillos hicieron falta para la obra?.
568) Resolver la siguiente inecuación y verificarla:
Siendo
,
Hallar
si
569) Resolver el sistema:
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1er Parcial 570) Demostrar: “En toda proporción geométrica la suma o resta de los dos términos de la
primera razón es a su consecuente como la suma o resta de los dos términos de la segunda razón es a su consecuente”. 571) Demostrar: “En toda proporción geométrica la suma o resta de los dos términos de la
primera razón es a su antecedente como la suma o resta de los dos términos de la segunda razón es a su antecedente”. 572) Jorge bebe de un vaso lleno de leche las tres quintas partes del mismo. Vuelve al llenar el
vaso, pero esta vez con agua y bebe la mitad de la mezcla homogénea. Finalmente, llena otra vez el vaso con agua y bebe los tres séptimos del contenido del vaso. Si la capacidad del vaso de , ¿Qué cantidad de leche queda finalmente en el vaso?.
573) La suma de las edades, en años, que tienen cinco hermanos es múltiplo de 4, más 3;
múltiplo de 5, menos 1 y múltiplo de 11, más 10. Hallar la suma de las edades de los cinco hermanos.
574) Tres personas ,
persona los
y forman una sociedad. La persona A aporta los del capital total, la
de dicho capital y aporta el resto del capital. Si transfiere a los de su
parte, ¿con que porcentaje de lo que ahora tiene A se queda ?.
575) Una cuadrilla de 20 obreros puede terminar una obra en 25 días, trabajando 8 horas diarias.
Después de 20 días de trabajo se retiran 5 obreros y no son remplazados sino al cabo de tres días. ¿Cuántas horas diarias trabajaran en los días que faltan para terminar la obra en el tiempo establecido? 576) Un joven vive en el último piso de un edificio. En una de sus salidas baja los escalones de
tres en tres y los sube de dos en dos, dando un total de 150 pasos. ¿Cuántos peldaños tiene la escalera?. 577) Descomponer en factores:
.
578) Determinar el valor de de modo que en el desarrollo del binomio
que:
579) Simplificar:
√ √ √ √ √
√
580) Calcular, aplicando propiedades de los logaritmos:
Cursillo π
Siendo
y
.
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se verifica
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2do Parcial 581) Definir:
a) Inecuación. b) Inversa de una matriz. 582) Deducir la formula para calcular la suma de los n primeros términos de una progresión
geométrica. 583) El agua contenida en un tanque cilíndrico de revolución se agota en tres horas. En cada hora baja el nivel del agua la mitad de la altura, mas un metro. Calcular la altura del nivel inicial del agua. 584) Resolver la siguiente inecuación:
| |
585) Cuando dos bombas actúan a la vez, tardan 15 horas en agotar un pozo. Si funcionara sólo
la menor, emplearía en agotarlo 16 horas más que si funcionara solo la mayor. ¿Cuánto tiempo emplearía trabajando sólo la bomba mayor para agotar el pozo?. 586) Resolver la siguiente ecuación:
{
587) Calcular de modo que el siguiente sistema de ecuaciones no tenga solución:
588) Dadas las matrices
la relación:
y
, determinar , sabiendo que se cumple
.
589) La suma del cuarto y decimo términos de una progresión aritmética es 60, y la relación del
segundo al decimo términos es . Hallar el primer término. 590) Un alga crece de modo que cada día ella va cubriendo una superficie de área igual al doble
de la cubierta en el día anterior. Si el alga cubre la superficie de un lago en 100 días. ¿Cuántos días necesitaran dos plantas de algas de la misma especie que la anterior para cubrir la superficie del mismo lago?.
Cursillo π
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