TEMA 08
Sucesione s. T´ Sucesiones. ermino ermino general y forma recurrente. Progresi Prog resiones ones aritm´ arit m´ eticas eti cas y geom´ etricas etr icas.. Aplicaci Apli caciones ones
´ INDICE 1. Introducci´ Introducci´ oon n 2. Sucesiones Sucesiones T´ermino ermino general genera l y forma recurrente recurr ente Operaciones Operacion es con sucesiones sucesiones Tipos de sucesiones 3. Progresione Progr esioness aritm´eticas eticas Definici´on. on. T´ermino erm ino genera gen erall Propiedades Interpolaci´oon n arit ar itm´ m´eetic t icaa 4. Progresione Progr esioness geom´etricas etrica s Definici´on. on. T´ermino erm ino genera gen erall Propiedades Interpolaci´oon n ge geom´ om´eetri t rica ca 5. Otras progresion progresiones es 6. Aplicacione Aplicacioness 7. Conclusione Conclusioness 8. Bibliog Bibl iograf´ raf´ııaa
1.
Intr Introdu oducc cci´ i´ on on
El ob jeto fundame f undamenta nta de este est e tema es el estudio est udio de d e las progresi pr ogresiones ones aritm´ ar itm´eticas eticas y geom´etricas. etrica s. Para definirlas es necesario introducir primero el concepto general de sucesi´on on y las diferentes formas de identificarlas. 1
Pondr´e de manifiesto Pondr´ manifiesto el paralelismo paralelismo existente existente entre ambas ambas progresiones progresiones.. Las sumas en las primeras corresponden con productos en las segundas, las diferencias con cocientes, los productos con potencias y los cocientes cocientes con ra´ ra´ıces. Este paralelismo paralelismo ayudar´ ayudar´ a a comprender mejor las propiedades de ambas. Por otro lado, destaca su importancia hist´orica, orica, ya que esta correspondencia existente entre ellas sirvi´o a Neper para definir los logaritmos y elaborar las primeras tablas. Finalmente, expondr´ exp ondr´e algunas de las aplicaciones m´as as usuales y terminar´e introduciendo alguna s progresio algunas pro gresiones nes alterna a lternativas tivas basadas bas adas en las la s aritm´ ar itm´eticas eticas y geom´ geo m´etricas. etrica s. En el temario de 3o de ESO ya aparecen aparecen las sucesiones sucesiones y las progresiones progresiones aritm´eticas eticas y o geom´ geo m´etrica etr icas. s. En 1 de Bachillera Ba chillerato to se vuelven a tratar trata r las la s progresio pro gresiones nes aritm´ a ritm´eticas eticas y geom´ geo m´etricas etrica s para tratar ciertos problemas como las matem´aticas aticas financieras.
2.
Su Suce cesi sion one es
2.1.
T´ ermino ermino general y forma recurrente recurrente
Llamaremos sucesi´on o n de n´ umeros umeros reales a cualquier aplicaci´on on del conjunto de los n´umeros umeros naturales N en cualquier otro conjunto conj unto no vac´ vac´ıo que, por simplicidad y sin perder p erder generalidad, supondr´e que es el conjunto de los n´umeros umeros reales R: f : N → R
A cada n´ umero umero natural n le corresponde una unica u ´ nica imagen f (n). Como el conjunto inicial de todas las sucesiones es el mismo, N, se suele identificar a la sucesi´ on on con la imagen de la aplicaci´on: on: Im(f ) = { f (1), f (2), . . . , f ( n), . . .} = { a1 , a2 , . . . , an , . . .} on de le denomina t´ermino ermino i-´eesim s imoo y al t´ermi er mino no an se le A cada uno de los ai de la sucesi´on e ermi r mino no genera gen erall de la sucesi´ denomina t´ on. on. A veces la sucesi´on on se escribe:
{an }n∈N Al conjunto de todas las sucesiones de n´umeros umeros reales se le representa por R∞ o RN . Una sucesi´on on queda definida cuando cuando es posible escribir sus t´ eerminos rminos hasta el ultimo u ´ ltimo que se desee, desee, es decir, no basta con dar algunos de sus primeros t´erminos. erminos. Por ejemplo, dados los t´ermino erm inoss de la suces s ucesi´ i´oon n { 2, 4, 6, . . . }, parece que corresponde a la sucesi´on on de n´ umeros umeros pares con t´ermino erm ino genera gen erall an = 2n, pero tambi´een n podr po dr´´ıa ser la sucesi´on on {2, 4, 6, 7, 8, 9, . . . }. Existen varias formas de definir de forma inequ´ Existen inequ´ıvoca una sucesi´ sucesi´ on. on. La primera ser´ ser´ıa describiendo de forma verbal c´omo omo son sus t´erminos, erminos, por ejemplo, “el primer t´ermino ermino es 2 y los siguientes se obtienen sumando 3 al anterior”. La sucesi´on on es sin lugar a dudas: { 2, 5, 8, 1, . . . }. c Rodrigo de Domingo www.oposicionesmatematicas.com
[email protected]
P´aag. g. 2
Pero las dos formas m´as as habituales son: 1. Median Mediante te su t´ ermin erm ino o gener gen eral al : consiste en dar una f´ ormula ormula mediante la que se calcula cada t´ermino ermino de la sucesi´on on en funci´on on del lugar que ocupa. Por ejemplo: an = 1 + 2n =⇒ a1 = 3; a2 = 5; . . . ley ley de recurr recurrenc 2. Median Med iante te unariores. : cada cadario a t´ ermino erm ino se algunos obti obtiene ene de a partir par de uno oerminos vario ariosss t´ erminos ermino s anteriores ante . Por tanto, tantoencia , esianecesario neces conocer lostir primeros primer os t´ ermino adem´ as as de la ley de recurrencia. Por ejemplo:
a1 = 1; a2 = 1; an = a n−1 + an−2
Esta sucesi´ sucesi´ on on se denomi denomina na sucesi sucesi´´oon n de Fibonacci y est´a rel relaci aciona onada da con mu multi ltitud tud de fen´omenos omenos como el n´ umero umero de parejas generadas a partir de una unica u ´ nica pareja inicial, dado un periodo de reproducci´on, on, y el tiempo que tardan los nuevos miembros en alcanzar la on edad reproductora. A la raz´oon n anan−1 , cuando n tiende a infinito, se le conoce como raz´on aurea.
2.2.. 2.2
Operaci Operacione oness con con sucesi sucesione oness
En el conjunto de todas las sucesiones se puede definir una operaci´on on interna suma y una externa sobre el conjunto de los n´umeros umeros reales, para dotarla de estructura de espacio espacio vectorial. vectorial. on o n su suma ma como una nueva Dadas dos sucesiones {an }n∈N y {bn }n∈N , se define la sucesi´ sucesi´ on on cuyos t´erminos erminos son el resultado de sumar, uno a uno, los t´erminos erminos correspondientes de cada sucesi´on: on:
{an } + {bn } = { an + bn } , ∀n ∈
N
Se puede demostrar f´acilmente acilmente que esta operaci´oon n cumple las propiedades asociativa, conmutativa, mutativ a, existencia de elemento neutro y existencia de elemento sim´etrico, etrico, luego el conjunto de las sucesiones con la operaci´oon n suma forman un grupo abeliano. Dada una sucesi´on on {an }n∈N y un n´ umero umero real α ∈ R, se define el producto de α por la sucesi´ on on como una nueva sucesi´on on cuyos t´erminos ermino s son los t´erminos ermino s de {an }n∈N multiplicados por α: α · {an } = { α · an } , ∀α ∈
R, n ∈ N
Se puede demostrar que esta operaci´on on cumple las propiedades distributiva respecto de la suma de n´ umeros umeros reales (escalares), distributiva respecto de la suma de sucesiones (vectores), pseudoasociativa y de neutralidad del 1. Con todo ello se puede asegurar que el conjunto de las sucesiones con las operaciones anteriores tiene estructura de espacio vectorial sobre R. c Rodrigo de Domingo www.oposicionesmatematicas.com
[email protected]
P´aag. g. 3
2.3. 2.3.
Tipos Tipos de suce sucesi sion ones es
Seg´ u un n el criterio elegido, se pueden realizar multitud de clasificaciones con las sucesiones. Algunas de las m´as as conocidas son: Mon´otonas: otonas:
• Una sucesi´on on es mon´otona otona creciente creciente si ∀n ∈ N, an > an−1 on es mon´otona otona no decreciente si ∀ n ∈ N, an ≥ a n−1 • Una sucesi´on on es mon´otona otona decreciente si ∀ n ∈ N, an < an−1 • Una sucesi´on • Una sucesi´on on es mon´otona otona no creciente si ∀ n ∈ N, an ≤ a n−1 Convergentes: son aquellas que tienen l´ımite Convergentes: ımite finito. Uno de los problemas m´as as comuntes es discutir la convergencia de una sucesi´on. on. Para ello, se analizar´a su l´ımite ımit e cuando cua ndo n −→ −→ ∞ Acotad as: sus Acotadas: s us t´erminos ermino s alcanzan alc anzan un valor m´aximo aximo (acotad ( acotadas as superior sup eriormente), mente), m´ınimo ınimo (aco( acotadas inferiormente) o ambos (acotadas), distinto de ±∞ ± ∞. Es decir, si m y M son n´ u umemeros reales, entonces la sucesi´on on estar´a acotada inferiormente si an ≥ m, superiormente si An ≤ M o simplemente acotada si se cumplen ambas condiciones. Cabe aclarar que convergente implica acotada, a cotada, pero p ero no el rec´ıproco ıproco necesariamente. Recurrentes de orden k : son las definidas por una ley de recurrencia en la que intervienen los k t´ erminos ermino s anteriores. anter iores. Por ejemplo, ej emplo, la sucesi´ su cesi´on on de Fibonacci es recurrente de orden 2. Alternadas: Altern adas: aquellas que alternan alternan los signos de sus elementos elementos,, sucesiv sucesivamen amente. te.
3. 3.1. 3.1.
Progresiones aritm´ e eticas ticas Defin Definic ici´ i´ on. on. T´ ermino ermin o general gene ral
umeros umeros reales es una progresi´on on aritm´etica etica si cada Se dice que una sucesi´oon n {an }n∈N de n´ t´ermino ermino se puede pue de obtener obt ener del d el anterior anter ior sum´ s um´andole andole un valor constante d que llamaremos diferencia: an = a n−1 + d
Si la diferencia es positiva ( d > 0), la progresi´on on ser´a creciente, y si es negativa ser´a de creciente. Se puede deducir f´acilmente acilmente que la diferencia diferencia entre entre cada dos t´ erminos erminos de una progresi´ progresi´ on on aritm´etica etica es constante: consta nte: an − an−1 = d
Si expresamos an = a n−1 + d y an−1 = a n−2 + d, restando miembro a miembro se obtiene la expresi´ on on de una progresi´on on aritm´etica etica como una sucesi´on on recurrente de orden 2: an − an−1 = a n−1 + d − (an−2 + d) = a n−1 − an−2 =⇒ an = 2an−1 − an−2
c Rodrigo de Domingo www.oposicionesmatematicas.com
[email protected]
P´aag. g. 4
3.2. 3.2.
Prop Propie ieda dade dess
Algunas propiedades interesantes de las progresiones aritm´eticas eticas son: 1. Una progresi´ progresi´ on on aritm´ a ritm´etica etica queda determinada determi nada si se conoce cono ce un t´ermino ermino cualquiera cualqui era ak y la diferencia d. En concreto, an = a k + ( n − k )d, para cualquier natural n. progresi´ on on aritm´ etica etica olo si el t´ermino ermino 2. n Una sucesi suc ´ola n de umeros umeros reales (an ) es -´esimo esim o esi´ deon sucesi´ sucen´ si´ on on es de la forma anuna = x + yn, para ciertos x, ysi ∈ yRs´ . olo 3. Si vario varioss n´umeros umeros est´an an en progresi´on on aritm´etica, etica, la suma de dos t´erminos ermino s equidistantes equidist antes de los extremos es igual a la suma de ´estos. estos. 4. La suma suma S n = a 1 + a2 + . . . + an de n t´erminos ermino s consecuti co nsecutivos vos de una progresi´ progr esi´on on arit ar itm´ m´etic et icaa se obtiene abreviadamente mediante: S n =
n(a1 +an )
2
Demostraci´ on:
1. Para Para cada n ≥ 2 es an = an−1 + d = an−2 + 2d = . . . = a1 + (n − 1)d, y, en particular, ak = a 1 + ( k − 1)d. Basta entonces restar ambas igualdades.
2. Si (an ) es progresi´on on aritm´etica, etica, ocurre ocur re que an = a1 + (n − 1)d = (a1 − d) + dn , que es un polinomio de primer grado en n. Si, rec´ıproc ıpr ocame amente, nte, es an = x + yn, para cada n > 1 ser´ a an − an−1 = x + yn − x − y(n − 1) = y y (an ) es progresi´on on arit ar itm´ m´etic et ica. a. an en progresi´on on aritm´etica etica con difere diferencia ncia d, para cada k ≥ 0 ocurre 3. Si a1 , a2 , . . . , an est´an que a1+k + an−k = a 1 + kd + a1 + ( n − k − 1)d = a 1 + a1 + ( n − 1)d = a 1 + an 4. Si se suma t´ermino ermino a t´ermino ermino la sucesi´ oon n a otra equivalente a si misma pero en sentido inverso, es decir, se suman S n = a 1 + a2 + a3 + · · · + an−1 + an−1 + an y S n = a n + an−1 + an−2 + · · · + a3 + a2 + a1 , entonces el resultado es 2S n = (a1 + an ) + ( a2 + an−1 ) + · · · + (an−1 + a2 ) + ( an + a1 ). Se observa que en cada par´entesis entesis aparece la suma de dos t´erminos erminos equidistantes de a1 y a respectivamente, por lo que el resultado de cada sumando es a + a . Como hay n n n 1 sumandos: 2S n = n (a1 + an )
=⇒ S n = (a1 +2an)n
Adem´as, as, se observa que dados dos t´erminos erminos cualesquiera a p y aq siempre se cumple que: aq = a p + ( q − p)d
Por lo que una progresi´on on aritm´etica etica queda determinada conociendo dos cualesquiera de sus t´erminos erminos y los lugares que ocupan: d =
ap −aq p−q
c Rodrigo de Domingo www.oposicionesmatematicas.com
[email protected]
P´aag. g. 5
Una progresi´ progresi´ on on aritm´etica etica es convergente co nvergente solamente so lamente si d = 0, de hecho: l´ım an = l´ım a1 + ( n − 1)d
n−→∞
n−→∞
, y este t´ermino ermino resulta ± ±∞ ∞ excepto para d = 0 que resulta a1 . Por lo tanto, ser´a acotada si d = 0, ya que convergente implica acotada. Una sucesi´oon n es an = 0. Por lo tanto, si fuera d acotada cuando n− l´ım = 0: →∞ an−1
an a1 + ( n − 1)d d = l´ım =0 = = 1 n−→∞ an−1 n−→∞ a1 + ( n − 2)d d
l´ım
, luego no es acotada para valores d = 0.
3.3.. 3.3
In Inter terpola polaci´ ci´ o on n ar arit itm´ m´ e etic t ica a
A veces es necesario intercalar n t´erminos ermino s entre dos n´u umeros meros fijos a y b, tales que los n + 2 n´umeros umeros resultantes sean t´eerminos rminos de una progresi´on on aritm´etica. etica. Lo que necesitamos es conocer la diferencia d entre ellos. Se comprueba f´acilmente acilmente que esta diferencia debe ser: a d = nb− +1
4. 4.1. 4.1.
Progresiones geom´ e etricas tricas Defin Definic ici´ i´ on. on. T´ ermino ermin o general gene ral
Se dice que una sucesi´oon n {an }n∈N de n´ umeros umeros reales es una progresi´on on geom´etrica etrica si cada t´ermino ermino se puede obtener del anterior multiplic´ andolo andolo por un valor constante r que llamaremos raz´on: on: an = a n−1 · r
Se puede deducir f´acilmente acilmente que el cociente cociente entre entre cada dos t´ erminos erminos de una progresi´ progresi´ on on geom´etrica etrica es constante: consta nte: an an−1
= r
Al igual que las progresiones aritm´eticas, eticas, las progresiones geom´eetricas tricas tambi´ en en se pueden expresar mediante una ley de recurrencia de orden 2: an =
a2 n−1 an−2
c Rodrigo de Domingo www.oposicionesmatematicas.com
[email protected]
P´aag. g. 6
4.2. 4.2.
Prop Propie ieda dade dess
Las progresiones geom´etricas etricas sumplen las siguientes propiedades: 1. Una progresi´ progresi´ on on geom´ geom´etrica etrica queda completamen completamente te determinada determinada en cuan cuanto to se conoce un n−k t´ermino erm ino cualqu cua lquier ieraa ak y la raz´oon n r. Concretamente, an = a k · r , para todo n. on geom´eetrica trica si y s´olo olo si el t´ermino erm ino 2. Una sucesi sucesi´on ´o n de n´ umeros umeros reales (an )n es una progresi´on n−´esimo esimo de la sucesi´on on es an = a · b , para ciertos a, b ∈ R con b =0. 3. Si varios varios n´ umeros umeros est´an an en progresi´on on geom´etrica, etrica , el producto pro ducto de dos t´ermino ermino equidistantes equidist antes de los extremos es igual al producto de ´estos. estos. 4. El producto producto P n = a1 a2 . . . an de n t´erminos erminos consecutivos de una progresi´on on geom´ ge om´etri et rica ca cumple que: P n2 = (a1 an )n
5. La suma suma S n = a 1 + a2 + . . . + an = a 1 + a1 r + . . . + a1 rn−1 de n t´eermino rm inoss co consec nsecuti utivos vos de de una progresi´ progresi´ on on geom´etrica etrica de raz´oon n r = 1 es: S n =
a
r n −1
1 r −1
6. Una progresi´ progresi´ on on geom´ g eom´etrica etrica es convergente co nvergente solamente so lamente cuando |r | < 1. aalogas logas Demostraci´ on: Omitir´e las demostraciones de las 4 primeras propiedades, pues son an´ a las de las progresiones aritm´eticas. eticas. 5. Restando Restando la progresi´ progresi´ on on multiplicada por r a si misma, mism a, t´ermino erm ino a t´ermino erm ino:: (r − 1)S n = r rS S n − S n = (ra1 + ra 2 + . . . + ra n ) − (a1 + a2 + . . . + an ) = (a2 + a3 + . . . + an + ra n ) − (a1 + a2 + . . . + an ) = ra r an − a1 = a 1 rn − a1 = a 1 (r n − 1) Si r = 1, evidentemente la suma es S n = n · a1 Si | r | < 1, la suma converge converge ya que tiene l´ımite: l´ım S n =
n→∞
a1
1−r
6. Diferenciar´ Difere nciar´e varios casos: Si la raz´oon n r > 1, cada t´ermino ermino ser´a mayor que el anterior, en valor absoluto, y si, adem´aass a1 > 0, entonces la progresi´on on ser´a creciente y divergente. Si la raz´on o n es 0 < r < 1, cada t´ermino ermino ser´a menor que el anterior, en valor absoluto, y si, adem´aass a1 > 0, entonces la progresi´on on ser´a decreciente, acotada superiormente por a1 y convergente. Para demostrar esta convergencia se pueden tomar logaritmos en base r a la expresi´on on de dell l´ım ımit ite: e:
c Rodrigo de Domingo www.oposicionesmatematicas.com
[email protected]
P´aag. g. 7
logr L = logr ( l´ım an ) = l´ım (logr an ) = l´ım (logr a1 · r n−1 ) = n−→∞
n−→∞
n−→∞
logr a1 + l´ıım m (n − 1) = ∞ =⇒ L = r ∞ = 0, ya que | r| < 1. n−→∞
Si la raz´on on r
