Temas - 8 - y - 30 Oposiciones Secundaria Matematicas

 

TEMA 08

Sucesione s. T´ Sucesiones. ermino ermino general y forma recurrente. Progresi Prog resiones ones aritm´ arit m´ eticas eti cas y geom´ etricas etr icas.. Aplicaci Apli caciones ones

´ INDICE 1. Introducci´ Introducci´ oon n 2. Sucesiones Sucesiones T´ermino ermino general genera l y forma recurrente recurr ente Operaciones Operacion es con sucesiones sucesiones Tipos de sucesiones 3. Progresione Progr esioness aritm´eticas eticas Definici´on. on. T´ermino erm ino genera gen erall Propiedades Interpolaci´oon n arit ar itm´ m´eetic t icaa 4. Progresione Progr esioness geom´etricas etrica s Definici´on. on. T´ermino erm ino genera gen erall Propiedades Interpolaci´oon n ge geom´ om´eetri t rica ca 5. Otras progresion progresiones es 6. Aplicacione Aplicacioness 7. Conclusione Conclusioness 8. Bibliog Bibl iograf´ raf´ııaa

1.

Intr Introdu oducc cci´ i´ on on

El ob jeto fundame f undamenta nta de este est e tema es el estudio est udio de d e las progresi pr ogresiones ones aritm´ ar itm´eticas eticas y geom´etricas. etrica s. Para definirlas es necesario introducir primero el concepto general de sucesi´on on y las diferentes formas de identificarlas. 1

 

Pondr´e de manifiesto Pondr´ manifiesto el paralelismo paralelismo existente existente entre ambas ambas progresiones progresiones.. Las sumas en las primeras corresponden con productos en las segundas, las diferencias con cocientes, los productos con potencias y los cocientes cocientes con ra´ ra´ıces. Este paralelismo paralelismo ayudar´ ayudar´ a a comprender mejor las propiedades de ambas. Por otro lado, destaca su importancia hist´orica, orica, ya que esta correspondencia existente entre ellas sirvi´o a Neper para definir los logaritmos y elaborar las primeras tablas. Finalmente, expondr´ exp ondr´e algunas de las aplicaciones m´as as usuales y terminar´e introduciendo alguna s progresio algunas pro gresiones nes alterna a lternativas tivas basadas bas adas en las la s aritm´ ar itm´eticas eticas y geom´ geo m´etricas. etrica s. En el temario de 3o de ESO ya aparecen aparecen las sucesiones sucesiones y las progresiones progresiones aritm´eticas eticas y o geom´ geo m´etrica etr icas. s. En 1 de Bachillera Ba chillerato to se vuelven a tratar trata r las la s progresio pro gresiones nes aritm´ a ritm´eticas eticas y geom´ geo m´etricas etrica s para tratar ciertos problemas como las matem´aticas aticas financieras.

2.

Su Suce cesi sion one es

2.1.

T´ ermino ermino general y forma recurrente recurrente

Llamaremos sucesi´on o n de n´ umeros umeros reales a cualquier aplicaci´on on del conjunto de los n´umeros umeros naturales   N  en cualquier otro conjunto conj unto no vac´ vac´ıo que, por simplicidad y sin perder p erder generalidad, supondr´e que es el conjunto de los n´umeros umeros reales   R: f   : N → R

A cada n´ umero umero natural   n  le corresponde una unica u ´ nica imagen   f (n). Como el conjunto inicial de todas las sucesiones es el mismo,   N, se suele identificar a la sucesi´ on on con la imagen de la aplicaci´on: on: Im(f ) =  { f (1), f (2), . . . , f (  n), . . .}  =  { a1 , a2 , . . . , an , . . .} on de le denomina t´ermino ermino   i-´eesim s imoo y al t´ermi er mino no   an   se le A cada uno de los   ai   de la sucesi´on e ermi r mino no genera gen erall  de la sucesi´ denomina   t´ on. on. A veces la sucesi´on on se escribe:

{an }n∈N Al conjunto de todas las sucesiones de n´umeros umeros reales se le representa por   R∞ o   RN . Una sucesi´on on queda definida cuando cuando es posible escribir sus t´ eerminos rminos hasta el ultimo u ´ ltimo que se desee, desee, es decir, no basta con dar algunos de sus primeros t´erminos. erminos. Por ejemplo, dados los t´ermino erm inoss de la suces s ucesi´ i´oon n  { 2, 4, 6, . . . }, parece que corresponde a la sucesi´on on de n´ umeros umeros pares con t´ermino erm ino genera gen erall   an  = 2n, pero tambi´een n podr po dr´´ıa ser la sucesi´on on   {2, 4, 6, 7, 8, 9, . . . }. Existen varias formas de definir de forma inequ´ Existen inequ´ıvoca una sucesi´ sucesi´ on. on. La primera ser´ ser´ıa describiendo de forma verbal c´omo omo son sus t´erminos, erminos, por ejemplo, “el primer t´ermino ermino es 2 y los siguientes se obtienen sumando 3 al anterior”. La sucesi´on on es sin lugar a dudas:  { 2, 5, 8, 1, . . . }. c Rodrigo de Domingo  www.oposicionesmatematicas.com [email protected]

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Pero las dos formas m´as as habituales son: 1. Median Mediante te su   t´ ermin erm ino o gener gen eral al : consiste en dar una f´ ormula ormula mediante la que se calcula cada t´ermino ermino de la sucesi´on on en funci´on on del lugar que ocupa. Por ejemplo: an  = 1 + 2n   =⇒   a1  = 3;   a2  = 5; . . .   ley ley de recurr recurrenc 2. Median Med iante te unariores. : cada cadario a t´ ermino erm ino se algunos obti obtiene ene de a partir par de uno oerminos vario ariosss t´ erminos ermino s anteriores ante . Por tanto, tantoencia , esianecesario neces conocer lostir primeros primer os t´ ermino adem´ as as de la ley de recurrencia. Por ejemplo:

a1  = 1;   a2  = 1;   an  =  a n−1  +  an−2

Esta sucesi´ sucesi´ on on se denomi denomina na sucesi sucesi´´oon n de Fibonacci y est´a rel relaci aciona onada da con mu multi ltitud tud de fen´omenos omenos como el n´ umero umero de parejas generadas a partir de una unica u ´ nica pareja inicial, dado un periodo de reproducci´on, on, y el tiempo que tardan los nuevos miembros en alcanzar la on edad reproductora. A la raz´oon n  anan−1 , cuando   n  tiende a infinito, se le conoce como raz´on aurea.

2.2.. 2.2

Operaci Operacione oness con con sucesi sucesione oness

En el conjunto de todas las sucesiones se puede definir una operaci´on on interna suma y una externa sobre el conjunto de los n´umeros umeros reales, para dotarla de estructura de espacio espacio vectorial. vectorial. on o n su suma ma   como una nueva Dadas dos sucesiones   {an }n∈N   y   {bn }n∈N , se define la   sucesi´ sucesi´ on on cuyos t´erminos erminos son el resultado de sumar, uno a uno, los t´erminos erminos correspondientes de cada sucesi´on: on:

{an } + {bn } =  { an  +  bn } ,   ∀n ∈

N

Se puede demostrar f´acilmente acilmente que esta operaci´oon n cumple las propiedades asociativa, conmutativa, mutativ a, existencia de elemento neutro y existencia de elemento sim´etrico, etrico, luego el conjunto de las sucesiones con la operaci´oon n suma forman un grupo abeliano. Dada una sucesi´on on   {an }n∈N   y un n´ umero umero real   α   ∈   R, se define el   producto   de   α   por la sucesi´ on on como una nueva sucesi´on on cuyos t´erminos ermino s son los t´erminos ermino s de   {an }n∈N  multiplicados por   α: α · {an }  =  { α · an } ,   ∀α  ∈

R, n  ∈ N

Se puede demostrar que esta operaci´on on cumple las propiedades distributiva respecto de la suma de n´ umeros umeros reales (escalares), distributiva respecto de la suma de sucesiones (vectores), pseudoasociativa y de neutralidad del 1. Con todo ello se puede asegurar que el conjunto de las sucesiones con las operaciones anteriores tiene estructura de espacio vectorial sobre   R. c Rodrigo de Domingo  www.oposicionesmatematicas.com [email protected]

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2.3. 2.3.

Tipos Tipos de suce sucesi sion ones es

Seg´ u un n el criterio elegido, se pueden realizar multitud de clasificaciones con las sucesiones. Algunas de las m´as as conocidas son: Mon´otonas: otonas:

•  Una sucesi´on on es mon´otona otona creciente creciente si   ∀n ∈ N, an   > an−1 on es mon´otona otona no decreciente si  ∀ n  ∈ N, an  ≥  a n−1 •  Una sucesi´on on es mon´otona otona decreciente si  ∀ n  ∈ N, an   < an−1 •  Una sucesi´on •  Una sucesi´on on es mon´otona otona no creciente si  ∀ n  ∈ N, an  ≤  a n−1 Convergentes: son aquellas que tienen l´ımite Convergentes: ımite finito. Uno de los problemas m´as as comuntes es discutir la convergencia de una sucesi´on. on. Para ello, se analizar´a su l´ımite ımit e cuando cua ndo  n  −→  −→ ∞ Acotad as: sus Acotadas: s us t´erminos ermino s alcanzan alc anzan un valor m´aximo aximo (acotad ( acotadas as superior sup eriormente), mente), m´ınimo ınimo (aco( acotadas inferiormente) o ambos (acotadas), distinto de  ±∞  ± ∞. Es decir, si   m   y   M  son n´ u umemeros reales, entonces la sucesi´on on estar´a acotada inferiormente si   an   ≥   m, superiormente si An  ≤  M  o simplemente acotada si se cumplen ambas condiciones. Cabe aclarar que convergente implica acotada, a cotada, pero p ero no el rec´ıproco ıproco necesariamente. Recurrentes de orden  k : son las definidas por una ley de recurrencia en la que intervienen los   k   t´ erminos ermino s anteriores. anter iores. Por ejemplo, ej emplo, la sucesi´ su cesi´on on de Fibonacci es recurrente de orden 2. Alternadas: Altern adas: aquellas que alternan alternan los signos de sus elementos elementos,, sucesiv sucesivamen amente. te.

3. 3.1. 3.1.

Progresiones aritm´ e eticas ticas Defin Definic ici´ i´ on. on. T´ ermino ermin o general gene ral

umeros umeros reales es una progresi´on on aritm´etica etica si cada Se dice que una sucesi´oon n   {an }n∈N   de n´ t´ermino ermino se puede pue de obtener obt ener del d el anterior anter ior sum´ s um´andole andole un valor constante  d  que llamaremos diferencia: an  =  a n−1  +  d

Si la diferencia es positiva ( d >  0), la progresi´on on ser´a creciente, y si es negativa ser´a de creciente. Se puede deducir f´acilmente acilmente que la diferencia diferencia entre entre cada dos t´ erminos erminos de una progresi´ progresi´ on on aritm´etica etica es constante: consta nte: an − an−1  =  d

Si expresamos   an  =  a n−1 + d  y   an−1  =  a n−2 + d, restando miembro a miembro se obtiene la expresi´ on on de una progresi´on on aritm´etica etica como una sucesi´on on recurrente de orden 2: an  − an−1  =  a n−1  +  d − (an−2 +  d) =  a n−1  − an−2   =⇒   an  = 2an−1  − an−2

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3.2. 3.2.

Prop Propie ieda dade dess

Algunas propiedades interesantes de las progresiones aritm´eticas eticas son: 1. Una progresi´ progresi´ on on aritm´ a ritm´etica etica queda determinada determi nada si se conoce cono ce un t´ermino ermino cualquiera cualqui era   ak   y la diferencia   d.  En concreto,   an  =  a k  + ( n − k )d,  para cualquier natural   n. progresi´ on on aritm´ etica etica olo si el t´ermino ermino 2. n Una sucesi suc ´ola n de umeros umeros reales (an )  es -´esimo esim o esi´ deon sucesi´ sucen´ si´ on on es de la forma anuna  =  x  +  yn,  para ciertos   x, ysi  ∈ yRs´ . olo 3. Si vario varioss n´umeros umeros est´an an en progresi´on on aritm´etica, etica, la suma de dos t´erminos ermino s equidistantes equidist antes de los extremos es igual a la suma de ´estos. estos. 4. La suma suma  S n  =  a 1 + a2 + . . . + an   de   n  t´erminos ermino s consecuti co nsecutivos vos de una progresi´ progr esi´on on arit ar itm´ m´etic et icaa se obtiene abreviadamente mediante: S n  =

  n(a1 +an )

2

Demostraci´  on:

1. Para Para cada   n   ≥   2 es   an   =   an−1  +  d   =   an−2  + 2d   =   . . .   =   a1  + (n − 1)d,  y, en particular, ak  =  a 1  + ( k − 1)d.   Basta entonces restar ambas igualdades.

2. Si (an ) es progresi´on on aritm´etica, etica, ocurre ocur re que   an   =   a1  + (n − 1)d  = (a1 − d) +  dn , que es un polinomio de primer grado en   n.   Si, rec´ıproc ıpr ocame amente, nte, es   an  =  x  +  yn,  para cada   n >  1 ser´ a   an  − an−1  =  x  +  yn − x − y(n − 1) =  y   y (an ) es progresi´on on arit ar itm´ m´etic et ica. a. an en progresi´on on aritm´etica etica con difere diferencia ncia   d,  para cada   k   ≥  0 ocurre 3. Si   a1 , a2 , . . . , an   est´an que   a1+k  +  an−k  =  a 1  +  kd  + a1  + ( n − k − 1)d  =  a 1  +  a1 + ( n − 1)d  =  a 1 +  an 4. Si se suma t´ermino ermino a t´ermino ermino la sucesi´ oon n a otra equivalente a si misma pero en sentido inverso, es decir, se suman   S n  =  a 1 + a2 + a3 + · · · + an−1 + an−1 + an   y   S n  =  a n + an−1 + an−2  + · · · + a3  +  a2  +  a1 , entonces el resultado es 2S n  = (a1  +  an ) + ( a2  +  an−1 ) + · · · + (an−1  +  a2 ) + ( an +  a1 ). Se observa que en cada par´entesis entesis aparece la suma de dos t´erminos erminos equidistantes de   a1 y   a  respectivamente, por lo que el resultado de cada sumando es   a  +  a . Como hay   n n n 1 sumandos: 2S n  =  n (a1  +  an )

=⇒   S n  =   (a1 +2an)n

Adem´as, as, se observa que dados dos t´erminos erminos cualesquiera   a p   y   aq  siempre se cumple que: aq   =  a p  + ( q  −  p)d

Por lo que una progresi´on on aritm´etica etica queda determinada conociendo dos cualesquiera de sus t´erminos erminos y los lugares que ocupan: d  =

  ap −aq  p−q

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Una progresi´ progresi´ on on aritm´etica etica es convergente co nvergente solamente so lamente si   d  = 0, de hecho: l´ım an   = l´ım a1  + ( n − 1)d

n−→∞

n−→∞

, y este t´ermino ermino resulta  ±  ±∞ ∞  excepto para   d  = 0 que resulta   a1 . Por lo tanto, ser´a acotada si   d   = 0, ya que convergente implica acotada. Una sucesi´oon n es an = 0. Por lo tanto, si fuera   d   acotada cuando n− l´ım = 0: →∞ an−1

an a1  + ( n − 1)d   d = l´ım =0   =   = 1   n−→∞ an−1 n−→∞ a1  + ( n − 2)d d

l´ım

, luego no es acotada para valores   d   = 0.

3.3.. 3.3

In Inter terpola polaci´ ci´ o on n ar arit itm´ m´ e etic t ica a

A veces es necesario intercalar   n  t´erminos ermino s entre dos n´u umeros meros fijos   a  y   b, tales que los   n + 2 n´umeros umeros resultantes sean t´eerminos rminos de una progresi´on on aritm´etica. etica. Lo que necesitamos es conocer la diferencia   d  entre ellos. Se comprueba f´acilmente acilmente que esta diferencia debe ser: a d  =   nb− +1

4. 4.1. 4.1.

Progresiones geom´ e etricas tricas Defin Definic ici´ i´ on. on. T´ ermino ermin o general gene ral

Se dice que una sucesi´oon n   {an }n∈N   de n´ umeros umeros reales es una progresi´on on geom´etrica etrica si cada t´ermino ermino se puede obtener del anterior multiplic´ andolo andolo por un valor constante   r  que llamaremos raz´on: on: an  =  a n−1  · r

Se puede deducir f´acilmente acilmente que el cociente cociente entre entre cada dos t´ erminos erminos de una progresi´ progresi´ on on geom´etrica etrica es constante: consta nte: an an−1

=  r

Al igual que las progresiones aritm´eticas, eticas, las progresiones geom´eetricas tricas tambi´ en en se pueden expresar mediante una ley de recurrencia de orden 2: an  =

  a2 n−1 an−2

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4.2. 4.2.

Prop Propie ieda dade dess

Las progresiones geom´etricas etricas sumplen las siguientes propiedades: 1. Una progresi´ progresi´ on on geom´ geom´etrica etrica queda completamen completamente te determinada determinada en cuan cuanto to se conoce un n−k t´ermino erm ino cualqu cua lquier ieraa   ak  y la raz´oon n   r.  Concretamente,   an  =  a k  · r ,  para todo   n. on geom´eetrica trica si y s´olo olo si el t´ermino erm ino 2. Una sucesi sucesi´on ´o n de n´ umeros umeros reales (an )n es una progresi´on n−´esimo esimo de la sucesi´on on es   an  =  a · b ,  para ciertos   a, b ∈ R   con   b   =0. 3. Si varios varios n´ umeros umeros est´an an en progresi´on on geom´etrica, etrica , el producto pro ducto de dos t´ermino ermino equidistantes equidist antes de los extremos es igual al producto de ´estos. estos. 4. El producto producto   P n   =   a1 a2 . . . an   de   n  t´erminos erminos consecutivos de una progresi´on on geom´ ge om´etri et rica ca cumple que: P n2  = (a1 an )n

5. La suma suma  S n  =  a 1 + a2 + . . . + an  =  a 1 + a1 r + . . . + a1 rn−1 de  n  t´eermino rm inoss co consec nsecuti utivos vos de de una progresi´ progresi´ on on geom´etrica etrica de raz´oon n   r   = 1 es: S  n  =

 a

 r n −1

1 r −1

6. Una progresi´ progresi´ on on geom´ g eom´etrica etrica es convergente co nvergente solamente so lamente cuando   |r |  <  1. aalogas logas Demostraci´  on:  Omitir´e las demostraciones de las 4 primeras propiedades, pues son an´ a las de las progresiones aritm´eticas. eticas. 5. Restando Restando la progresi´ progresi´ on on multiplicada por   r  a si misma, mism a, t´ermino erm ino a t´ermino erm ino:: (r − 1)S n  =  r  rS  S n  − S n  = (ra1  +  ra 2  +  . . . +  ra n ) − (a1 +  a2  +  . . . +  an ) = (a2 +  a3  +  . . . +  an  +  ra n ) − (a1  +  a2  +  . . . +  an ) =  ra  r an − a1  =  a 1 rn − a1  =  a 1 (r n − 1) Si   r  = 1, evidentemente la suma es   S n  =  n · a1 Si  | r |  <  1, la suma converge converge ya que tiene l´ımite: l´ım S n  =

n→∞

  a1

1−r

6. Diferenciar´ Difere nciar´e varios casos: Si la raz´oon n   r >  1, cada t´ermino ermino ser´a mayor que el anterior, en valor absoluto, y si, adem´aass   a1   >  0, entonces la progresi´on on ser´a creciente y divergente. Si la raz´on o n es 0  < r <  1, cada t´ermino ermino ser´a menor que el anterior, en valor absoluto, y si, adem´aass   a1   >  0, entonces la progresi´on on ser´a decreciente, acotada superiormente por   a1  y convergente. Para demostrar esta convergencia se pueden tomar logaritmos en base  r  a la expresi´on on de dell l´ım ımit ite: e:

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logr L  = logr ( l´ım an ) = l´ım (logr an ) = l´ım (logr a1  · r n−1 ) = n−→∞

n−→∞

n−→∞

logr a1   + l´ıım m (n − 1) =  ∞  =⇒  L  =  r ∞ = 0, ya que  | r|  <  1. n−→∞

Si la raz´on on  r