TEMA5 _Grado ICT Refracción, Difracción y Rotura 2012

TEMA V REFRACCIÓN, DIFRACCIÓN Y ROTURA Tema 5. Los niveles del mar y las variaciones del nivel medio. Convergencia con el oleaje 5.1

Niveles del mar y nivel medio del mar

5.2

Marea astronómica y otras fluctuaciones periódicas

5.3

Marea meteorológica y otras variaciones variaciones de origen climático

5.4

Propagación y transformación del oleaje: refracción, difracción y rotura

5.5

Efectos de la rotura del oleaje sobre las costas: erosión y transporte de sedimentos

Vicente Negro Valdecantos Doctor Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos Profesor Titular de Universidad

Curso Académico 2012 – 2013

REFRACCIÓN. REFRACCIÓN. Razonamiento teórico teóric o del problema La determinación del oleaje es absolutamente imprescindible en la Ingeniería Marítima, Portuaria y Costera. Los datos de partida son generalmente obtenidos en aguas profundas, d/L > 1/2, y es necesaria la transformación del fenómeno ondulatorio hasta el área de interés, en zonas de relativa y escasa lámina de agua, zonas de transición, profundidades reducidas e incluso en procesos de descomposición ondulatoria con fenómenos de rotura. La modificación de la onda con los procesos de refracción o expansión frontal de la energía del oleaje, difracción o expansión lateral, shoaling o asomeramiento, disipación, fricción, reflexión y otros fenómenos que pueden afectar a la onda son elementos básicos en el análisis. La onda es un ente matemático, la ola es un ente físico. Los modelos de propagación se basan en múltiples teorías. ⋅

Matemática aplicada a la onda con su ecuación de Laplace Laplace basada basada en en las las hipótesis hipótesis de incompresibilidad del fluido ( ρ = constante), e irrotacionalidad del flujo (rotacional del campo “φ” = 0), en la ecuación de continuidad como operador diferencial divergencia y la velocidad como función gradiente del potencial. div u = 0, la divergencia de un campo vectorial es un escalar u = - grad φ, el gradiente de un campo escalar es vectorial div (grad φ) = ∆φ = 0 Ecuación de Laplace, Laplace, por operador operador de campo compuesto

⋅

Soluciones basadas en la ecuación de pendiente suave de Berkoff, 1972 o " mild slope equation". equation".

⋅

Resoluciones de manera elíptica

⋅

Resoluciones en aproximaciones parabólicas

⋅

Modelos basados en las ecuaciones de conservación

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.

Conservación de la acción de onda

.

Irrotacionalidad del número de onda

Estos elementos o herramientas tan sofisticadas han servido para, en cierta medida, complementar a los modelos clásicos gráficos basados en dibujos de evolución mediante semiavances, Iribarren, o la teoría de rayos, Snell. ⋅ 

Iribarren

H1 = H0

⋅ 

B0 ; 2 · = cte ; 2 · · cos α = cte H cg H cg B1

H

Altura de ola, m

B

Ancho del cuadrilátero de avance, m

o

Subíndice de profundidad indefinida, -

i

Subíndice de profundidad considerada, -

Snell

sen α1 sen α 2 2 = ; H1 · cos α1 = H2 2 · cos α 2 c1 c2 α

Oblicuidad, Ángulo que forma el frente con la batimetría, º

C

Celeridad del movimiento, m/s

Hi

Altura de ola, m

1, 2

Indicadores de referencia, punto 1 y punto2

sen α = cte , H2 · c g = cte c Los subíndices representan la misma significación que la teoría clásica del Profesor Iribarren. I ribarren.

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Han sido múltiples los intentos de obtener ábacos de determinación del coeficiente de refracción (K r) y asomeramiento (K s) y combinado (K r x Ks) en función de criterios de batimetría rectilínea, sensiblemente paralela a la línea de costa, más o menos homogénea que permitían definir,

K=f(

d , α0 ) g . T2

obteniendo resultados como el proporcionado por el U.S. Army Coastal Engineering Research Center 1.977, o ábaco del Shore Protection Manual. Con hipótesis semejantes y en función de parámetros espectrales direccionales (S

max),

dependientes de la pulsación angular y la velocidad del viento, y para oleajes tipo Sea y Swell con pequeño y gran "decay", decaimiento, como representantes del peraltamiento de la ola, Goda 1.985, en fondo paralelo - regular define el coeficiente de refracción para un campo irregular direccional de oleaje tomando en abscisas h/L 0 y en ordenadas α0. Mitsoyashu con hipótesis semejantes y en función de d/L > 0.50 y angular para obtener el ángulo

la variación

αp y con ello, el coeficiente de refracción correspondiente.

Kr =

c0 =

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αo  define

cos α 0 cos αi

g·T ; celeridad indefinida 2·π

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cp = cp

g·T 2·π·d · th 2·π Lp

celeridad a profundidad "p", m/s

sen αp sen α 0 = = cte cp c0 El hecho cierto es que la matemática aplicada a la teoría de ondas y los avances en las técnicas de resolución de ecuaciones diferenciales, bien empleando elementos finitos o diferencias finitas, sirvió para desarrollar el campo de la propagación de los fenómenos ondulatorios. La clásica ecuación de Laplace, 2 2 2 ∂ φ ∂ φ ∂ φ + = 0 2 + ∂ x2 ∂ z2 ∂y

∆ φ = 0 = diver ( grad φ ) ; u = − ∆φ

con las hipótesis de incomprensibilidad e irrotacionalidad y discretización, φ (x , y , z , t ) = A ( x , y ) · w ( z ) · e( - i * ω * t )

ω(z)=

ch k · ( d + z ) 2·π ;k = ch k · d L

y la ecuación de Helmholtz, ∂ A ∂ A 2 + 2 + k ·A = 0 2 ∂x ∂y 2

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Esta ecuación fue empleado en expansión lateral y fue básico para estudiar la propagación de ondas sobre fondos suaves - variables, definiendo un potencial. φ

*

φ

*

(x, y, z, t)

=

φ  (x,

y) x w(z) x exp(- iwt)

(x, y)

=

A(x, y) x exp {is (x, y)}

A(x, y)

Amplitud

s(x, y)

Fase

Transformando la ecuación de Laplace de 3D a 2D, integrando, amplitud

∫- h

ω ( z ) · ∆ φ dz

La descripción completa de los fenómenos de propagación de ondas monocromáticas lineales sobre un fondo cualquiera, batimetría arbitraria fue descrita y formulada por Berkoff, 1972, con la única restricción de taludes suaves, expresando su ecuación de "pendiente suave", "mild slope equation" mediante un potencial “ Φ” y una expresión matemática de naturaleza elíptica.

c · c g · ∆ φ + ω2 ·

cg ·φ=0 c

siendo: c

Celeridad de la onda, m/s

cg

Celeridad del grupo, m/s

ω

Frecuencia, s-1

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6

Curso Académico 2012 – 2013 2 ω = g · k · th k · d

k

Número de onda, m-1

k=

2·π L

L

Longitud de onda en profundidad reducida, m

L0

Longitud de onda en profundidad indefinida, m

d

Profundidad, m

φ

Función potencial, -

La solución numérica empleó dos tendencias claramente diferenciadas, el método de los elementos finitos y los esquemas en diferencias finitas. MEF

MDF

Berkoff,

1.972

Houston,

1.981

William, 1.980 Holmes, 1.980

Ambos modelos presentan un largo tiempo de cálculo computacional con los inconvenientes que esto conlleva. La resolución del problema elíptico requería además de un tiempo de computación muy elevado, condiciones de contorno en todo el dominio, así como reflexiones no deseadas en las condiciones de absorción, ante incidencia oblicua. Las grandes mallas conducen a enormes matrices y como consecuencia, procesos laboriosos de cálculo.

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El conocimiento de la condición de contorno en la costa casi siempre desconocida, obliga a pensar en otros planteamientos de cálculo que obviarán la misma y simplificarán notablemente la resolución numérica del problema. Para simplificar el modelo elíptico y descomponiendo la función potencial en una componente de reflexión que se dispersa y en una difracción, donde en dirección de avance es más reducido que en expansión lateral, se obtiene una ecuación representativa del fenómeno de propagación, transformando el problema de elíptico a parabólico, empleando conceptos de función potencial complejo. Está simplificación origina los modelos llamados "Parabólicos" que funcionan en esquemas en diferencias finitas; destacando: Berkoff, Booij y Radder, 1.982 Radder, 1.982 (Ecuación parabólica de Radder) Mei, 1.983 Kirby, 1.986 Equipo de la Universidad de Delaware (Mei, Kirby y Dalrymple) 1.988 REF - DIF Vincent, 1.988 J.M. Grassa, REF - DIF, 1.988 – 90. Win Waves, 2.000 y siguientes SMC, Sistema de Modelado Costero, Universidad de Cantabria, 2.001 La principal desventaja del modelo parabólico se centra en la malla o celda de integración, sensiblemente paralela a la dirección de propagación, lo que proporciona soluciones erróneas para batimetrías irregulares, complejas, con alternancia de bajos, y giros pronunciados. La ecuación representativa de los fenómenos de propagación resulta:     δ φ   1 δ 1 δ δφ =  i · K · ( C · Cg · K )  φ + · ( C · Cg · ) δ x   2 · K · C · Cg δ x 2 · C · Cg δ y δy     Refracción, difracción y rotura Grado en Ingeniería Civil y Territorial Obras Marítimas

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donde "x" define ahora la dirección principal de propagación y haciendo la hipótesis de descomposición del potencial en una componente dispersiva hacia adelante y una reflejada, despreciando la componente de reflexión y suponiendo que los efectos de difracción en la dirección de propagación son mucho menores que los producidos en la dimensión perpendicular a la de avance, tal como se exponía brevemente con anterioridad. Tal como queda demostrado en la figura adjunta, para onda plana y pequeño valor del ángulo α, el error cometido es despreciable, para ángulos mayores de 45 °  los errores son más

grandes, debiendo delimitar el campo de aplicación de la aproximación parabólica. Los modelos tipo Booij y Radder presentan una malla en la dirección de propagación con eje X en la dirección del oleaje y el eje Y en perpendicular antihorario. Los casos de oblicuidad requieren la reorientación de la malla de forma que el modelo Radder garantiza propagaciones de onda ± 45 °; Booij maneja rangos de ± 60 °; debido al tratamiento en particiones de la matriz elíptica y el número de términos en la aproximación de las derivadas transversales. Kirby con una aproximación en minimax alcanzó rangos de validez de 70 °. Así mismo, no es igual emplear estos esquemas en puertos que en playas, donde la componente reflexión es de gran importancia en el primer caso y despreciable en el segundo, de manera que puedan despreciarse frente al oleaje incidente. Los modelos numéricos de propagación para ondas monocromáticas lineales funcionan fuera de rotura entre gamas d/L = 0.20 a d/L < 1/25, debiendo cambiar la función potencial para caso de H/d ó H/L, fenómeno de rotura por fondo o peralte. Los otros métodos de cálculo responden: 1.

Clásicos. Teoría de Rayos

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2.

Flujo de energía.

Teorías de Boussinesq, empleando la integración de las ecuaciones de cantidad de movimiento en el eje x, eje y, conservación de masa, con una aproximación en la componente vertical dada por las ecuaciones de Boussinesq de aproximación cuasilineal. El modelo, aquí empleado, está basado en el estudio de Kirby y Dalrymple, Universidad de Delaware, con aproximación no lineal que incluye la celeridad de una onda en cada uno de los dominios de existencia en función del modelo teórico. El clásico modelo REF - DIF incluye la teoría de Dally y Dean para el proceso de rotura y post rotura asumiendo que tras ésta existe una altura de ola estable proporcional a la profundidad y que la tasa de disipación de la energía en la zona de rompientes es proporcional a la diferencia entre el flujo de energía real y el flujo de energía estable. REF - DIF incluye también efectos de capas límites laminares de superficie y fondo, capa límite de fondo turbulenta y propagación sobre lechos porosos, preferentemente arena. La técnica de resolución mediante el método de Crank - Nicholson mediante esquema en diferencias finitas implícito en dobles pasadas o barridos permiten progresar en la determinación de la respuesta numérica al problema. El modelo parabólico, de fondo de pendiente suave, restringido en el parámetro de Ursell a valores inferiores a 40º y con dirección predominante del oleaje, permite obtener resultados bastante aproximados al proceso refracción - difracción y a la combinación del fenómeno oleaje - corriente. En dominios relativamente reducidos y efecto profundidad bastante importante, donde la solución teórica es la onda solitaria y la onda cnoidal, las ecuaciones que modelan la propagación son las de Boussinesq, con soluciones numéricas en 2D y fondo irregular. Refracción, difracción y rotura Grado en Ingeniería Civil y Territorial Obras Marítimas

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Modelos actuales tipo Liu o Kirby permiten incluir efectos rotura, fricción e incidencia oblicua. Los modelos de teoría de rayos están basados en las sencillas ecuaciones descritas anteriormente y se basan en hipótesis muy sencillas de física general. Éstas son: Primera Hipótesis: T, el período, es constante en la propagación

senα0 c · T L0 = c0 = 0 = senαi c · T Li ci i sabiendo las celeridades se puede obtener,

1 2·π·d c0 = = coth = Ki 2·π·d L ci th L Por consecuencia,

senαi =

senα 0 ; Kr = Ki

cosα 0 2 α0 sen 12 Ki

Segunda Hipótesis: Flujo de energía entre dos ortogonales es constante

1 2 E0 = · ρ · g · H0 · cosα 0 8 1 2 Ei = · ρ · g · Hi · cosαi 8 Por tanto,

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2 2 E0 = Ei ; H0 · cos α0 = Hi · cos αi

Hi = H0

cos α0 = kr cos αi

Tercera Hipótesis: La celeridad solo depende de la profundidad, c = f(h) Cuarta Hipótesis: El avance es ortogonal en cualquier profundidad Quinta Hipótesis: La batimetría es rectilínea y paralela Con estos criterios, se obtiene el coeficiente de refracción por teoría clásica de ortogonales. Esta situación puede complementarse con el concepto de asomeramiento o shoaling , obtenido mediante el modelo clásico de Blunt siguiente:

Ks =

CG0 = CG

1 4 · π ·h     2 · π ·h L 1 · th +   4 · π ·h L   sh L  

obteniendo el tradicional y clásico K r x Ks  mediante esta teoría. Estos modelos siempre se fundamentan en los principios siguientes: -

El período es constante en la propagación

-

El flujo de energía entre dos ortogonales se mantiene constante

-

La dirección de avance de la onda es perpendicular en cada momento de avance

-

La celeridad solamente depende de la profundidad

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-

Se desprecian efectos corrientes, reflexiones, vientos,...

-

La batimetría es rectilínea, paralela, en la misma configuración que la línea de costa

-

Los cambios en fondo se consideran graduales, no existiendo discontinuidades

La refracción, como consecuencia, es la expansión frontal de la energía del oleaje por efecto fondo (kR), pudiendo presentar una componente de rayo (k r) y un efecto grupo (k s). Si suponemos que el fondo es homogéneo, todo el tren de ondas avanza con la misma celeridad y se modifica en la propagación de manera semejante, concepto que se define como asomeramiento o shoaling (k s). La existencia de irregularidades, variaciones de profundidad, entre otros, condiciona la refracción (k r). El concepto global k R resulta como k r x k s. La refracción o expansión frontal es un fenómeno de muchas longitudes de onda; al contrario, que la difracción o expansión lateral, que es un fenómeno de muy pocas longitudes de onda. Merece destacar también en los modelos denominados clásicos, los conceptos de Iribarren fundamentados en los siguientes aspectos: 1.-

Definición del proceso de refracción, d/L < 1/2.

2.-

Definición del cuadrilátero de avance, nL 0 /2, nL0 /2.

3.-

Selección de "n", recomendando valores entre 2 y 5

4.-

Definición del avance en el proceso desde profundidad indefinida a reducida.

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∆ S0 =

5.-

n · L0 2

Conociendo la ecuación de onda y el avance, se define:

2 · ∆S 2·π ·d g · T2 L = ; L = L0 · th ; L0 = n L 2·π ∆S = ∆S

2 6.-

=

n · L0 n·π ·d · th 2 ∆S n · L0 2 ·n· π ·d · th ∆S 4 2

Esta situación a período constante permite la propagación y obtención de la relación siguiente:

Hi = H0

B0 Bi

Estos esquemas se encuentran basados en la constancia del período y en la conservación del flujo de energía entre dos ortogonales. Esta clásica descripción del método de Iribarren se observa en las figuras adjuntas, donde se determina la curva de avances, en nuestra caso de semiavances, y en segundo lugar como se aplica en tramos sucesivos de viaje desde profundidades indefinidas a reducidas pasando por transición del frente. Debe recordarse que la teoría de ondas responde a entes matemáticos que transportan energía, mientras que la solas son entes físicos que transportan masa, diferencia fundamental en los dos conceptos que se manejan en este capítulo de modificaciones de las ondas. Los gráficos siguientes son suficientemente explicativos, adjuntando el clásico de Goda de K r y Shutto de Ks. Refracción, difracción y rotura Grado en Ingeniería Civil y Territorial Obras Marítimas

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Gráfico de Goda de refracción (1985). Gráfico de Shuto de shoaling - asomeramiento (1973)

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Esquema general de Iribarren de expansión frontal de energía del oleaje

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Esquema general de la propagación de oleaje. Teoría de ortogonales

Diferencias entre los modelos elípticos y parabólicos de propagación de oleaje

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DIFRACCIÓN Aunque resulta complejo separarlo del fenómeno anterior (refracción y asomeramiento), la difracción es la expansión lateral de la energía del oleaje cuando un tren de ondas incide sobre un obstáculo emergido o sumergido a una determinada profundidad. Al encontrarse con el dique se modifica la configuración del tren de ondas y se crea una zona I de Incidencia y reflexión. Esta zona es la de máxima agitación. La onda continúa sin estar perturbada en su zona II o de Incidencia. Cuando la onda disminuye su energía por el efecto obstáculo, estamos en la zona III o de Alimentación. La zona IV de expansión está formada por la aparición verdadera de la expansión lateral de energía cedida por la zona de alimentación. Finalmente, aparece una zona abrigada o V de calma. La planta de la difracción queda planteada en la figura adjunta.

Esquema de difracción o expansión lateral de energía. Iribarren, 1.954 Refracción, difracción y rotura Grado en Ingeniería Civil y Territorial Obras Marítimas

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Para su comprensión teórica, el fluido se considera perfecto y cumple la ecuación de continuidad. No hay cesión de energía entre la zona I y la II. El morro del dique es el emisor de ondas, cediendo la energía a lo largo de las líneas de fase. La celeridad transversal coincide con la de las ondas longitudinales, debido a la constancia del período y al análisis de la profundidad en cada celda o paralelepípedo de avance. Tanto el método del Profesor Iribarren como de Wiegell son de indudable valor práctico, aplicable a un tren monocromático que en su avance se encuentra un dique.

Forma en alzado de la expansión lateral de Iribarren

Esquema de difracción de Wiegell

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ROTURA O DESCOMPOSICIÓN DE LA ONDA. EFECTO FONDO 1.-

Munk - Mac Cowan

H = 0.78 d 2.-

Gumbak

H = 0.80 ; ξ < 0.20 d H = 0.87 · ξ + 0.63 ; 0.20 < ξ < 0.66 d H = 1.20 ; ξ > 0.66 d 3.-

Weggel

H b = ; a = 43.70 · ( 1 - exp (− 19 · i ) ) d 1+ a · d g · T2 b= 4.-

1.56 1 + exp ( − 19.5 · i )

Battjes

H 2 · π · Hs = 0.50 + 0.40 · th ( 33 · s0 ) ; s0 = d g · T z2 5.-

Kimshi - Saeki

H = 5.618 · m 0.40 d Refracción, difracción y rotura Grado en Ingeniería Civil y Territorial Obras Marítimas

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6.-

Collins

H = 0.72 + 5.60 · m d 7.-

Miche (1949), Latoine (1962), Longuet - Higgins y Fenton (1974)

H = 0.88 ; Miche d H = 0.73 ; Latoine d H = 0.827 ; Longuet - Higgins d Hasta un número de treinta modelos de rotura por fondo.

EFECTO FORMA. 1.-

Miche en profundidades indefinidas

H 1 = L 7 2.-

Miche en profundidades reducidas

H 2·π = 0.142 · th ( k · h ) ; K = L L

g · T2 2·π·d ; L = L0 · th L0 = 2·π L Refracción, difracción y rotura Grado en Ingeniería Civil y Territorial Obras Marítimas

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ξ=

tagα 2 · π · Hs tagα , som = 2 ,ξ = g · Tz H som L

siendo, H1/3 Altura de ola significante o promedio del tercio de olas más altas, m H1/10 Altura de ola promedio del décimo de olas más altas, m H1/50 Altura de ola promedio de 1/50 x N olas más altas, m Hmax Altura máxima del registro de N olas, m Hd

Altura de ola de diseño, m

Hb

Altura de ola en rotura, m

ξ

Número de Iribarren, -

som

Peralte adimensional, -

tag α Talud de la plataforma, º i

Pendiente del terreno natural, -

m

Pendiente del terreno natural, - (la notación varía según formulaciones)

d

Profundidad de la lámina de agua, m

h

Profundidad de la lámina de agua, m (la notación varía según formulaciones)

L0

Longitud de onda en profundidades indefinidas, m

L

Longitud de onda en profundidades reducidas, m

g

Aceleración de la gravedad, m/s 2

T

Período ondulatorio, s

K

Número de onda, -

a, b Constantes de ajuste π

Número pi

N

Número de olas activas de un registro de oleaje, -

Los Ejercicios presentados a continuación representan casos prácticos y reales de estudio. Se adjuntan igualmente los gráficos de Goda y Weggel explicativos de la rotura. Refracción, difracción y rotura Grado en Ingeniería Civil y Territorial Obras Marítimas

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Esquema de Goda para la determinación de la ola rota en función de la pendiente de la plataforma, el período ondulatorio y la altura de ola H 0’

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Ejercicio 1 El morro de una estructura de abrigo convencional se encuentra situado a la profundidad de diez metros en una zona de 4.50 metros de carrera de marea. El período del oleaje es de 15 segundos, y la altura de ola significante en profundidades indefinidas es de 14.25 metros. El viento generador del temporal más desfavorable es 26 m/s. El temporal tiene dirección NW teniendo una orientación angular del frente con relación a la batimetría en aguas profundas de 22.50º, α0 = 22.50º. Aplicando el ábaco de Goda - Mitsoyasu para un oleaje “swell” totalmente desarrollado, calcular el coeficiente de refracción - shoaling. Aplicando la fórmula de Blunt determinar el coeficiente de shoaling. Determinar la altura de ola de diseño en función de la tipología estructural y del posible análisis de rotura, tanto por peralte (H/L) o forma como por fondo (H/h).

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FORMULACIÓN DE REFRACCIÓN Y SHOALING: Coeficiente de refracción según la ley de Snell

senαi =

senα 0 ; Kr = Ki

cosα 0 2 α0 sen 12 Ki

Coeficiente de asomeramiento según el modelo clásico de Blunt

Ks =

4·π·d 2·π·d · th L L 4·π ·d 4·π ·d sh + L L

sh

Modelo de Iribarren de refracción

Hi = H0

B0 Bi

donde, Kr

Coeficiente de refracción

B0

Ancho del cuadrilátero de avance en profundidades indefinidas, m

Bi

Ancho del cuadrilátero de avance en profundidades reducidas, m

α0

Angulo del frente con la batimetría en profundidades indefinidas, º

αi

Angulo del frente con la batimetría en profundidades reducidas, º

i

Subíndice de profundidades reducidas

0

Subíndice de profundidades indefinidas

Ks

Coeficiente de shoaling, -

d

Profundidad de la lámina de agua, m

L0

Longitud de onda en profundidades indefinidas, m

L

Longitud de onda en profundidades reducidas, m

T

Período ondulatorio, s

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g

Aceleración de la gravedad, m/s 2

sh

Seno hiperbólico, -

th

Tangente hiperbólica, -

cth

Cotangente hiperbólica, -

g · T2 2·π ·d ; L = L0 · th L0 = 2·π L CUANDO HAY REFRACCIÓN d/L0  > 0.50

No hay refracción

d/L0 < 0.50

Hay refracción

d/L0

Entre 0.50 a 0.20 la refracción es muy poco pronunciada

d/L0

Desde 0.20 a 0.050, la refracción es muy acusada

SOLUCIÓN EJERCICIO 1 T = 15 segundos, L 0 = 351 metros, L pleamar = 173 metros, L bajamar = 143 metros Ki,p = 2.01, Ki,b = 2.43; Kr,pleamar  = 0.97; Kr,bajamar  = 0.97 Para la Bajamar Máxima Viva Equinoccial, se obtiene:

4·π 4·π·d 2·π·d = 0.878 ; sh = 1; th = 0.413 ; k s = 1.12 L L L Para la Pleamar Máxima Viva Equinoccial, se obtiene:

4·π 4·π·d 2·π·d = 1.053 ; sh = 1.259 ; th = 0.483 ; k s = 1.061 L L L Empleando Snell y Blunt, k r x ks = 1.04 en P.M.V.E. y 1.08 en B.M.V.E., adoptando 1.05 Refracción, difracción y rotura Grado en Ingeniería Civil y Territorial Obras Marítimas

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ÁBACO DE GODA d/L0 = 0.042 en pleamar y 0.028 en bajamar. S max = 25, swell con bajo decay. K r > 0.96 en ambos casos El coeficiente de shoaling calculado en pleamar resulta 0.84. La altura de ola resultante será: Hs, indefinida x Ks x Kr = Hs, pie de dique H0 = 14.25 x 1.05 = 14.96 m; Hs = 15.00 metros

Figura 1 Refracción, difracción y rotura Grado en Ingeniería Civil y Territorial Obras Marítimas

Ábaco de Goda de refracción 28

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Ábaco 2

Diagrama de refracción - shoaling del Shore Protection Manual

Empleando este modelo, resulta:

h = 0.00657 ; kr · k s = 1.05 g · T2 h = 0.00453 ; kr · k s = 1.08 g · T2 Adoptando un valor medio de 1.05, se obtiene una ola de cálculo a pie de dique de 15.00 metros.

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Ejercicio 2 Calcular con el procedimiento de Goda la altura de ola en rotura a una profundidad de 10 metros, en una zona de playa con pendiente 1/30 cuando sobre ella inciden oleajes de 10 segundos.

Ejercicio 3 Calcular lo mismo que el concepto anterior pero con la aproximación de Osterdoff y Madsen

Ejercicio 4 Utilizando los ábacos de Goda estimar la altura de ola significante en rotura a 8.00 metros de profundidad cuando un swell H 0'= 6.00 metros, T 1/3 = 15 segundos, cuando incide sobre una playa de pendiente 1/30.

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Ejercicio 2 Empleando la fórmula de Goda, previo al empleo de ábacos, se obtiene: 4        h b − − π β · ( 1 + 15 · (tag ) 3 )  Hb = 0.17 · L0 ·  1 exp ( 1.50 · · L0      

Para el caso que nos ocupa,

g · T2 10 ; L0 = 156 m ; hb = = 0.064 L0 = 2·π 156 L0 Entrando en la fórmula, se obtiene, H b = 7.80 metros

Ábaco de Goda, límite de rotura de oleaje regular Refracción, difracción y rotura Grado en Ingeniería Civil y Territorial Obras Marítimas

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Ejercicio 3 La fórmula de Osterdoff y Madsen, 1.979, resulta:

2 · π · hb     Hb = 0.14 · th    ( 0.80 + 5 · tag β ) ·  ; tag β < 0.10 Lb Lb       Hb = 0.14 · th Lb

2 · π · hb        1.30 ·  ; tag β > 0.10 L b      

La longitud de onda en profundidad indefinidas es de 156 metros. La longitud de onda en profundidades reducidas es 92.50 metros. La pendiente es 1/30, se toma la primera parte de la fórmula de Osterdoff y Madsen,

Hb = 92.50 · ( 0.14 ) = 7.50 metros

Ejercicio 4 Utilizando los ábacos de Goda, la longitud de onda en profundidades indefinidas es 351 metros. El peralte equivalente y la profundidad relativa se obtienen: * H0 = 6 = 0.0171 ; h = 8 = 1.33 * 351 6 L0 H0

Entrando en el ábaco de pendiente 1/30, se obtiene la relación:

H31 H0

*

= 0.87 ; H 1 = 0.87 · 6 = 5.20 metros 3

Se adjuntan los ábacos representativos.

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Diagramas para la estima de la altura de ola en la zona surf o de rompiente de Goda Refracción, difracción y rotura Grado en Ingeniería Civil y Territorial Obras Marítimas

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Diagramas para la estima de la altura de ola en la zona de surf o de rompiente de Goda

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Ejercicio 5 Sea un oleaje de período 20 segundos y altura de ola de 1.00 metro propagándose sobre un fondo en pendiente y formando un ángulo de 30 grados con la batimétrica de - 20.00 metros. Se pide, definir la oblicuidad y la altura de ola a 10 metros de calado.

Ejercicio 6 Calcúlese la altura de ola de una onda unitaria a una profundidad de 20 metros cuando alcance la profundidad de 10 metros. Se supone que la oblicuidad inicial respecto al fondo es de 0 grados. Es de aplicación la teoría lineal.

Ejercicio 7 Mismo ejemplo anterior pero con oblicuidad de 30 grados.

NOTA: Aplíquese la teoría lineal de ondas para aguas poco profundas, es decir,

c =

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g · d = cg

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Ejercicio 5 La ley de Snell puede escribirse de la forma siguiente,

sen α1 sen α 2 = ; c1 = c1 c2

g · d1 ; c2 =

g · d2

La expresión en alturas de ola resulta, 2 2 H1 · cos α1 = H2 · cos α2

El ángulo crítico se define,

c2 · sen < 1 α1 c1 Por tanto, en este caso resulta, c 1  = 14.00 m/s, c 2  = 9.90 m/s, empleando la Ley de Snell,

sen α 2 sen 30 = 9.90 14 α 2 = 20.70 grados

La altura de ola resulta, H 2 = 1.00 x (cos 30º/cos 20.70º) 0.50 = 0.96 metros

Ejercicio 6 La celeridad a diez metros de profundidad resulta, 9.90 m/s. La celeridad a 20.00 metros de profundidad es de 14.00 m/s.

H2 · cg = cte ; H2 · cg · cos α = cte 2 12 · 14 = H2 · 9.90 ; H2 = 1.19 m

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Ejercicio 7 La relación es: 2 12 · 14 · 0.866 = H2 · 9.90 · 0.9355 ; H2 = 1.14 m

Ejercicio 8 Empleando los diversos esquemas de rotura por fondo definir la altura de ola en rotura en un punto con seis metros de profundidad, 3.40 metros de carrera de marea y la sobrelevación meteorológica dada por una borrasca de gradiente de presión de 953 milibares. La pendiente del lecho es 1/20. El período es de 12 segundos.

Solución del Ejercicio 8 Empleando el criterio de sobrelevación por gradiente clásico: η ∆p = 0.010 · ( 1013 − P a ) ; Pa milibares ∆n

La sobrelevación sale 1013 - 953 = 60 cm. Por tanto, la lámina de agua es la profundidad con la carrera de marea y la sobrelevación, es decir, 6.00 + 3.40 + 0.60 = 10.00 metros. a.-

Modelo de Mac Cowan, H = 0.78 x 10 = 7.80 metros

b.-

Modelo de Miche, H = 0.88 x 10 = 8.80 metros

c.-

Modelo de Latoine, H = 0.73 x 10 = 7.30 metros

d.-

Modelo de Longuet - Higgins y Fenton, H = 0.827 x 10 = 8.27 metros

e.-

Modelo de Collins, H = 10 x (0.72 + 5.60/20) = 10.00 metros

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f.-

Modelo de Weggel, a = 26.79, b = 1.13, H = 9.49 metros

g.-

Modelo de Gumbak, Número de Iribarren inferior a 0.20, H = 8.00 metros

Se observa la notable variación entre los distintos modelos, si bien, se puede decir,

H < γ  γ ; 0.70 < γ  γ  < 1.00 h

Ejercicio 9 Determinar mediante el método de las ortogonales, para un frente de ondas en profundidades indefinidas de 10 segundos de período y 5 metros de amplitud de onda, la amplitud de la misma a la sonda o batimétrica - 15.00 metros de profundidad, sabiendo que las isobatas son líneas rectas, paralelas entre ellas, el período permanece constante y el frente forma en indefinidas un ángulo de 45 grados.

Ejercicio 10 Calcular el ángulo del frente a profundidad de 15 metros, el coeficiente de refracción individual y el coeficiente de refracción - shoaling mediante el ábaco del Shore Protection Manual

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Ejercicio 9 FORMULACIÓN DE REFRACCIÓN Y SHOALING: Coeficiente de refracción según la ley de Snell

senαi =

senα 0 ; Kr = Ki

cosα 0 2 sen α0 12 Ki

Coeficiente de asomeramiento según el modelo clásico de Blunt

Ks =

4·π·d 2·π·d · th L L 4·π·d 4·π·d sh + L L

sh

Modelo de Iribarren de refracción

Hi = H0

B0 Bi

Kr

Coeficiente de refracción, -

B0

Ancho del cuadrilátero de avance en profundidades indefinidas, m

Bi

Ancho del cuadrilátero de avance en profundidades reducidas, m

θ0

Angulo del frente con la batimetría en profundidades indefinidas, º

θi

Angulo del frente con la batimetría en profundidades reducidas, º

i

Subíndice de profundidades reducidas, -

0

Subíndice de profundidades indefinidas, -

Definimos los parámetros de la onda, es decir, la longitud de onda en profundidades indefinidas y a 15 metros, resultando: Refracción, difracción y rotura Grado en Ingeniería Civil y Territorial Obras Marítimas

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L0 = 1.56 x T 2 = 156 metros L, tanteando en la ecuación trascendente, 109 metros La constante K i sale 1.43, que al elevarla al cuadrado es 2.048. El ángulo del frente con la batimetría en indefinidas es 45 grados. Aplicando la ley de Snell, se obtiene un coeficiente de refracción de 0.90177, por lo que la altura de ola es de 4.51 metros.

Ejercicio 10 Empleando el SPM El ábaco del Shore Protection Manual tiene en abscisas d/gT 2 y α0 valiendo respectivamente, 0.015 y 45 grados. El ángulo obtenido en profundidad de 15 metros es 30 grados, y el cociente de las funciones coseno a la potencia 0.50, resulta:

Kr =

cos α0 ; Kr = cos αi

cos 45 0.707 = = 0.9035 cos 30 0.866

En este caso, Hi = 0.9035 x 5 = 4.51 metros El coeficiente de refracción - shoaling resulta 0.84, y por tanto, la ola es de 4.20 metros.

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4794600 550600

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Batimetría real reproduciendo un cañón submarino

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