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3. Análisis Dimensional

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UNIVERSIDAD DE OVIEDO

Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Gijón Ingenieros Industriales

Curso 2004-2005

Apuntes de Mecánica de Fluidos

3. ANÁLISIS DIMENSIONAL.

Julián Martínez de la Calle Área de Mecánica de Fluidos Gijón noviembre 2004

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3. Análisis Dimensional

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3. ANÁLISIS DIMENSIONAL. 3.1. Homogeneidad dimensional. 3.2. Teorema de BUCKINGHAM. 3.3. Grupos adimensionales. 3.4. Normalización de las ecuaciones de conservación. 3.5. Teoría de modelos. 3.6. Problemas resueltos. El análisis dimensional es un método para verificar ecuaciones y planificar experimentos sistemáticos. A partir del análisis dimensional se obtienen una serie de grupos adimensionales, que van a permitir utilizar los resultados experimentales obtenidos en condiciones limitadas, a situaciones en que se tengan diferentes dimensiones geométricas, cinemáticas y dinámicas; y muchas veces en casos en que las propiedades del fluido y del flujo son distintas de las que se tuvieron durante los experimentos. La importancia del análisis dimensional viene dada por la dificultad del establecimiento de ecuaciones en determinados flujos, además de la dificultad de su resolución, siendo imposible obtener relaciones empíricas y teniendo que recurrir al método experimental. Es importante considerar que si en un experimento en un modelo (a escala geométrica del prototipo), se pueden obtener las escalas cinemáticas (relaciones de velocidades) y las escalas dinámicas (relaciones de fuerzas), los resultados adimensionales que se obtienen para el modelo son también válidos para el prototipo.

3.1. HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL. En toda ecuación física, cada termino deberá tener las mismas dimensiones: la ecuación debe ser dimensionalmente homogénea; además la división de todos los términos por uno cualquiera de ellos, haría la ecuación adimensional, y cada cociente sería un grupo adimensional. Las dimensiones de las magnitudes empleadas normalmente en Mecánica de Fluidos, incluyen sólo una o más de las siguientes 4 dimensiones: M (masa), L (longitud), T(tiempo) y T (temperatura):

longitud área volumen momento de inercia

[l] = L [A] = L2 [V] = L3 [I] = L4

velocidad aceleración velocidad angular aceleración angular

[v] = L T-1 [a] = L T-2 [Z] = T-1 [D] = T-2

densidad volumen especifico

[U] = M L-3 [v] = L3 M-1

fuerza par

[F] = M L T-2 [T] = M L2 T-2

presión, tensión

[p], [W] = M L-1 T-2

entropía calor especifico conductividad térmica

[s] = M L2 T-2 T-1 [c] = L2 T-2 T-1 >N] = M L T-3 T-1

caudal volumétrico caudal másico energía, entalpía

[Q] = L3 T-1  ] = M T-1 [m [E] = M L2 T-2

viscosidad absoluta viscosidad cinemática

[P] = M L-1 T-1 [Q] = L2 T-1

tensión superficial compresibilidad

[V] = M T-2 [K] = M L-1 T2

potencia

 ] = M L2 T-3 [W

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3.2. TEOREMA ““3”” DE BUCKINGHAM. El teorema 3 de BUCKINGHAM establece que en un problema físico en que se tengan ““n”” variables que incluyan ““m”” dimensiones distintas; las variables se pueden agrupar en ““n-m”” grupos adimensionales independientes. Siendo V1, V2, ..., Vn las variables que intervienen en el problema, se debe tener una función que las relacione: f(V1, V2, ..., Vn) = 0; si G1,G2,...,Gn-m, representan los grupos adimensionales que representan a las variables V1, V2, ..., Vn; el teorema de BUCKINGHAM también establece que existe una función de la forma: g(G1,G2,...,Gn-m) = 0. El método para determinar, los grupos adimensionales (Gi, i=1,...,n-m); consiste en la selección de ““m”” de las ““n”” variables, con diferentes dimensiones, de manera que contengan entre todas las ““m”” dimensiones, y emplearlas como variables repetitivas, formando cada uno de los ““n-m”” grupos adimensionales a partir de la siguiente expresión genérica: j n

Gi

Vi ˜

– Vj

a ij

i 1,..., m  n

j m  n 1

(1.)

A los grupos adimensionales , se les suele denominar parámetros adimensionales 3 de BUCKINGHAM, al ser su expresión un productorio adimensional (símbolo de productorio = 3   Los exponentes ““aij”” se determinan por la condición de que cada grupo resulte adimensional; se sustituyen las dimensiones de las variables por ellas mismas y los exponentes de M,L,T,-,..., se igualan a cero (adimensionalidad del parámetro). Consideremos como ejemplo, la fuerza de arrastre en flujo externo, de un fluido sobre un determinado objeto. Se tiene que la fuerza de arrastre (FD) depende de: la viscosidad absoluta del fluido (P), la densidad del fluido (U), la velocidad relativa entre fluido y objeto (v) y de una longitud característica del objeto (L). Las cinco variables: FD, P, U,v, y L, aportan 3 dimensiones distintas: M,L y T; con lo que por el teorema de BUCKINGAM se tendrán 5-3=2 grupos adimensionales: G1 = FD La vb Uc G2 = P Ld ve Uf Los exponentes de cada grupo se determinan a partir de sus ecuaciones dimensiónales: [G1] = [FD] [La] [Vb] [Uc] M0 L0 T0 = (MLT-2 )(L)a(LT-1)b(ML-3)c = M1+c L1+a+b-3c T-2-b ... 0=1+c; 0=1+a+b-3c; 0=-2-b ..... a=-2; b=-2; c=-1 con lo que el grupo adimensional G1 es: G1 = FD L-2 v-2 U-1 =

FD ; que da lugar al denominado coeficiente de arrastre CD; en donde se 2 2

L v U introduce el factor (1/2) para tener la presión dinámica: CD

FD 1 Uv 2 L2 2

(2.)

De forma análoga se obtiene el segundo parámetro adimensional: G2=PL-1v-1U-1; que da lugar al número de REYNOLDS Re:

Re

vLU P

(3.)

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3.3. PARÁMETROS ADIMENSIONALES. Las magnitudes que intervienen en el movimiento de un fluido, se pueden agrupar en tres tipos: - magnitudes mecánicas del fluido - magnitudes térmicas del fluido - magnitudes del flujo

magnitudes mecánicas del fluido

magnitudes térmicas del fluido

magnitudes del flujo

magnitud  viscosidad absoluta o dinámica P densidad (dm/dV) U viscosidad cinemática (P/U  Q tensión superficial (dF/dl) V K módulo de compresibilidad (Udp/dU presión, tensión p, W  conductividad térmica N calor específico a presión constante ( wh / wT )p cp cv calor especifico a volumen constante ( wû / wT )v coeficiente de dilatación térmica (-(dU/U) /dT) E v L g H

velocidad longitud característica aceleración gravitacional rugosidad

dimensiones

unidades SI

M L-1 T-1 M L-3 L2 T-1 M T-2 M L-1 T-2 M L-1 T-2

kg/ms=Pa.s kg/m3 m2/s kg/s2 N/m2 = Pa N/m2 = Pa

M L T-3 --1 L2 T-2 --1 L2 T-2 --1 --1

W/mK J/kg K J/kg K K-1

L T-1 L L T-2 L

m/s m m/s2 m

Los parámetros adimensionales asociados a las magnitudes anteriores, vienen determinados por relaciones entre los diversos efectos que se pueden considerar: parámetro

definición vLU Re P

número de REYNOLDS

número de MACH

v

Ma

K/U

número de FROUDE

Fr

número de WEBER

We

número de EULER

Eu

número de STROUHAL

St

v gL

1 2

Uv 2

importancia siempre

inercia compresibilidad

flujo compresible

inercia gravedad

flujo con superficie libre

inercia tensión sup erficial

flujo con interfase L-L, L-G

presión inercia

siempre

oscilaciones t º residencia › velocidad t º característico

Flujos oscilatorio transitorio

N

disipación energía (prop. fluido) conducción calor

transmisión de calor

P v2 NT

disipación energía (prop. flujo) conducción calor

transmisión de calor

E 'T gL3U 2

flotabilidad vis cos idad

Convección natural

f L v Pr

número de BRINKHAM

Br

Gr

v a

U v2 L V p

número de PRANDTL

número de GRASHOF

relación cualitativa de efectos fuerza de inercia fuerza tensiones vis cos as

L/v T

P cp

P

2

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3.4. NORMALIZACIÓN DE LAS ECUACIONES DE CONSERVACIÓN.

Un método para obtener los parámetros adimensionales que controlan un determinado flujo, es el de normalización, en donde se rescriben las ecuaciones diferenciales de conservación, de forma que aparezcan variables adimensionales, y además que su orden de magnitud sea la unidad. Para la normalización de las ecuaciones, se adimensionalizan todas las variables por un valor característico, de tal forma que los valores adimensionales (*) sean próximos a la unidad:

Longitudes:

longitud característica = Lc

Tiempos:

tiempo característico = tc

Velocidades:

velocidad característica = Uc

Densidades:

densidad característica = Uc

Presiones:

presión característica = pc

Temperaturas:

temperatura característica = Tc

Operador Nabla: longitud características = Lc   

Operador Nabla2: longitud características = Lc

x y z y z Lc Lc Lc t

t Tc & & v u & v & w & v i j k Uc Uc Uc Uc U U Uc p p pc T T Tc w & w & w &

’ i j k Lc ˜ ’  wx wy wz x

’

2

Lc 2 ˜ ’ 2 

3.4.1. NORMALIZACIÓN DE LA ECUACIÓN DE CONTINUIDAD: Números de MACH y de STROUHAL & wU  ’U ˜ v wt

La ecuación de continuidad es:

& & wU  U ’ ˜ v  v ’U wt

0

'U c wU t c wt & Uc U c & U ’˜v U ’ ˜v Lc & & Uc 'U c v ’ U v ’U Lc wU wt

La normalización de los términos es:

siendo 'U

'U 'U c

Con lo que la ecuación de continuidad normalizada es: 'U c wU U c U c & Uc &  U ’ ˜v  'U c v ’ U t c wt Lc Lc

dividiendo todos los términos por § 'U c ¨ ¨ U © c

0

Uc U c , queda: Lc

·§ Lc / Uc · wU

& §¨ 'U c ¸¨ ¸ ¸¨ t ¸  U ’ ˜v ¨ U c ¹© ¹ wt © c

·& ¸v ’ U ¸ ¹

0

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'U c es el cuadrado del número de MACH, que es la relación entre la Uc velocidad del fluido y la velocidad de una pequeña perturbación en el seno del fluido:

El término adimensional

Ma

Uc ac

a2

§ wp · ¨¨ ¸¸ © wU ¹ s

s cte Ÿ

Ÿ

dp  v ˜ dv U

0

dU U

dp / a 2  dp / vdv



v ˜ dv a

2

... //

dv | 1 // ... v



v2 a

2

 Ma 2

Lc / Uc es el número de STROUHAL, que es la relación entre el tiempo de tc residencia y el tiempo característico:

El término adimensional

St

Lc / Uc tc

Con lo que la ecuación de continuidad normalizada y adimensional es:

Ma St wwUt 2





& &  U ’ ˜ v  Ma 2 v ’ U

0

(4.)

a partir de la cual se pueden establecer hipótesis simplificadoras en función de los valores de los números adimensionales que controlan la ecuación de continuidad:

Si el Ma es pequeño (Ma