Tema No 03 Analisis Vectorial

 

 

FÍSICA I.

Análisis vectorial . Análisis vectorial I 1.11.   Definición de vector. 1.11. Un vector es un segmento de recta que contiene dirección, sentido, origen y módulo En la figura se representa un vector en el plano, donde →

∧

∧

0A = A x . i + A y . j   ∧

∧

donde i y j  son vectores unitarios. También un vector en el ordenado

plano,

se puede

representar como un par

→

0A = ( A x , A y )   →

∧

∧

Otra representación de un vector es la siguiente : A = A x . i + A y . j ; A x  y A y  son las componentes escalares del →

vector A . 1.12. Elementos de un vector. La dirección lo da la línea que contiene al vector y cuyo ángulo (tomado en sentido sentido antihorario), está comprendido entre el eje X positivo y dicha línea. En la figura anterior la dirección está determinado por el ángulo “θ”. El sentido  es el indicado por la cabeza de flecha del vector y cuyo ángulo (tomado en sentido antihorario) es el comprendido entre el eje X positivo y la cabeza de flecha del vector. Para la figura anterior está determinado por el ángulo “θ”. Cuando un vector se encuentra en el primer, segundo cuadrante del sistema coordenado cartesiano la dirección y sentido coinciden; lo que no suceden suceden cuando el vector está en el tercer y cuarto cuadrante. La longitud de la flecha representa el módulo del vector desplazamiento, velocidad, fuerza, etc,. →

A = (A   x ) 2 + (A y ) 2  es el correspondiente módulo del vector A   1.13. Clasificación de los vectores.

Vectores Colineales. Los vectores colineales son aquellos que están contenidos en una misma de acción.

 

 

Vectores Paralelo. →

→

→

Un vector C  es paralelo al vector D  si C

→

= n D , donde “n” pertenece a los números reales.

Vectores Opuestos. →

Dos vectores A  y

→

− A  son opuestos si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido.

Vectores equipolentes. →

→

Dos vectores E  y F  son equipolentes si tienen el mismo módulo, dirección y sentido.

Vectores Iguales. Dos vectores son son iguales si sson on equipolentes, si además tienen el mismo origen.

Vectores Coplanares. Los vectores concurrentes son aquellos que se encuentran en un mismo plano , como por ejemplo el plano P..

 

 

Vectores Concurrentes. Son aquellos vectores cuyas líneas de acción se cortan en un punto.

Vectores en el espacio

→

El vector en el espacio se expresa con tres componentes: A →

Su módulo: A =

∧

∧

∧

= A x . i + A y . j+ A z . k  

( A x )  2 + ( A y ) 2 + (A z ) 2   →

α, β, γ son los ángulos directores del vector A   →

A x = A. cos α ; A y = A. cos β ; A z = A. cos γ  componente escalares del vector A   →

cos α  = A / A x ; cos β  = A / A y ; cos γ   = A / A z ; son los cosenos directores del vector A . Se cumple que : (cos α )

2

+ (cos β) 2 + (cos γ ) 2 = 1  

Análisis vectorial II 1.15. Operaciones con vectores Suma de vectores Sumar vectores es reemplazar un conjunto de vectores por su resultante, que produce el mis mismo mo efecto que todos los vectores juntos.

colinelaes y paralelos.

→

→

→

→

→

R = E+ F+ G+ H  

 

 

→

→

→

→

R = A + B+ C   Producto de un escalar por un vector. →

→

→

→

(A).( n ) = B . Si n=2 entonces: 2 A = B  

Suma de vectores (Método del Paralelogramo)

→

→

→

= A+ B  

Donde R

El módulo está determinada Por: R 2

2

2

2

R = A + B + 2A.B. cos θ  

Suma de vectores (Método del triángulo)

→

→

→

R = A+ B  

2

→ →

= A + B + 2AB ;

2

R = A + B + 2A.B. cos θ   2

2

 

 

Resultante Máxima y Mínima de dos d os vectores.

→

→

→

R max = A + B   Esta es resultante máxima   R max =  A + B Este es el módulo máximo.  →

→

→

R min = E + F   Esta es resultante máxima   R min =  E − F Este es el módulo máximo.  

Suma de “n” vectores (Método del Polígono).

En este caso n=4 →

→

→

→

→

R = A + B+ C+ D   Ley de senos.

Se cumple que:

A senβ

=

B senα

=

R sen(180 − θ)

=

R senθ

 

 

 

Diferencia de vectores.

→

→

→

D = A + (− B)   D 2 = A 2 + B 2 + 2AB cos(180 − θ)   2

2

2

D = A + B − 2AB cos θ   2

2

D = A + B − 2AB cos θ   Descomposición rectangular de vectores. →

∧

∧

A = A(cos α). i + A(senα). j ; →

∧

∧

B = B(cos β). i + B(senβ). j   →

∧

∧

∧

∧

R = A(cos α). i + A(senα). j+ B(cos β). i + B(senβ). j   Son vectores descompuestos en sus coordenadas rectangulares.

Vectores unitarios cartesianos en el plano y en el espacio. → →

∧

En el plano, el vector unitario del vector A  está definido: u A →

“A” es el módulo del vector A  

→

∧

∧

∧

A = A x . i + A y . j+ A z . k   →

En el espacio A

∧

∧

∧

= A x . i + A y . j+ A z . k  

A x = A. cos α ; A y = A. cos β ; A z = A. cos γ  

= A , donde A

 

 

→

∧

∧

∧

A = A. cos α. i + A. cos β. j+ A. cos γ k   →

∧

∧

∧

A = A.(cos α. i + cos β. j+ cos γ k )   → ∧

A

 

∧

∧

∧

A A = (cos α. i + cos β. j+ cos γ k ) = u  vector unitario en el espacio tridimensional.

Ejemplo 01. Determinar la resultante de los vectores coplanares coplan ares A=20u con60° con60 °y B=40u con 210°. Y el s entido de la resultante. Datos: A=20u; B=40u ; Solución: →

→

→

R = A+ B   2

→ → →        A  R   =   + B          2

2

 

2

→

2

→

→ →    R  =    A  +    B  + 2   A . B                    2

 

→

2

2

→ → →     +  B   =   A  R       + 2(A.B. cos θ)               2

2

2

R = A + B + 2AB cos θ   2 2 2 R = 20 + 40 + 2.20.40 cos150°  ; Entonces R= 24,8u Determinando el sentido Recurriendo a la ley de los senos:

R sen30

=

20 senβ

 

, entonces β=2 =23, 3,77 77° °. α=126,23° =126,23°por por lo tanto el sentido de la resultante e s igual a 126,23 +60 +60= = 186,23° 

Ejemplo 02. La resultante de dos vectores coplanares es de 18u a 30°, 30°, si un vector es 28 u a 0°. Determinar el otro vector y su módulo. Datos: R=18u; B=28 u Solución. →

A? →

→

→

A = R− B   2

2

2

→ → → → →     − 2 R   +   B   =  R  A  . B                         2

2

2

 →     →   →   A  =  R  +  B  − 2(R.B cos θ°)              

 

 

2

2

2

 →     →   →   A  =  R  +  B  − 2(R.B cos θ°)  ó             A 2 = R 2 + B 2 − 2(R.B cos θ°)   Esta es la

ley de los cosenos (para un triángulo)

A 2 = 18 2 + 282 − 2(18 * 28 * cos 30°)   ; Donde θ= 30°, enton entonces ces A = 15,3N

R senβ

A

=

 

sen30°

senβ  = 0,59 ; β=36,03°.

Por la ley de los senos

Entonces:

γ  = 180 − 36,6 = 143,9°  

Ejemplo 03. Encontrar el vector resultante, la magnitud y el vector unitario, de la di disposición sposición de los vectores mostrados. Si A=10u y B=20u →

→

→

R = A+ B   →

∧

A = A. u A   Pero el vector unitario hay que determinarlo. ∧

uB =

→

→

r Q / R

r Q − rR

rQ / R

=

→ ∧

uA =

rQ / R

→

→

r Q / P

rQ− r P

=

rQ / P

→

rQ / P

(vect

→

or unitario del vector  A ) 

∧ ∧

uA =

→

∧

∧

∧

∧

4 i + 5 j+ 6 k − (6 k ) 4 2 + 52 + 6 2

=

∧

4 i + 5 j 41

∧

∧

= 0,62 i + 0,78 j  

∧

B = B. u B  

∧

uB =

→

→

r Q / R

r Q − rR

rQ / R ∧

∧

uB = →

=

(vector unitario del vector 

→

→

B)

rQ / R

∧

∧

∧

4 i + 5 j+ 6 k − (8 k ) 4 2 + 52 + 2 2 ∧

∧

=

∧

∧

4 i + 5 j− 2 k  45

∧

∧

R = A. u A + B. u B   →

∧

∧

∧

∧

∧

= 0,6 i + 0,74 j− 0,3 k  

∧

∧

R = A(0,62 i + 0,78 j) + B(0,6 i + 0,74 j− 0,3 k )  

 

 

→

∧

∧

∧

∧

∧

R = 10(0,62 i + 0,78 j) + 20(0,6 i + 0,74 j− 0,3 k )   →

∧

∧

∧

∧

∧

R = (6,2 i + 7,8 j) + (12 i + 14,8 j− 6 k )   →

∧

∧

∧

R = (18,2 i + 22,6 j− 6 k )  u (Este es el vector resultante) ∧ 2

∧ 2

∧

2

R 2 = (  18,2 i  +    22,6 j  +    − 6 k   )  

 

 

 

 

 

∧

 

∧

∧

R=

(+18,2) 2 ( i ) 2 + ( +22,6) 2 ( j) 2 + (−6) 2 ( k ) 2  

R=

(+18,2) 2 (1) 2  + ( +22,6) 2 (1) 2 + (−6) 2 (1) 2  

R = 331,24 +  510,76 + 36 = 29,63u (Este es el módulo de la resultante) → ∧

uR =

R R

∧

=

∧

∧

(18,2 i + 22,6 j− 6 k )u 23,63u

∧

∧

∧

= 0,77 i + 0,96 j− 0,25 k   (Este es el vector unitario de la

resultante)

Problemas. 1. a)¿ Si dos vectores tiene la misma magnitud, podemos asegurar que son iguales?; b) Cuando se considera que son iguales dos vectores? ; c) ¿Cuántos sentidos pueden existir en una dirección dada?; d)¿ Cómo definirías la dirección de un vector? ; e) ¿Es posible que dos vectores tengan la misma dirección, el mismo punto de aplicación y la misma magnitud y sean distintos?; f) ¿Si dos vectores son iguales, que podemos afirmar de ellos?

2.  Dado el sistema mostrado, encontrar, magnitud y el vector resultante. Si A=30u , B=10u 

3. Encontrar el vector resultante del sistema de vectores →

mostrados en función del vector E : Rpta:

→

−A 

 

 

→

→

→

4.  En la figura expresar el vector x  en función de a  y b , “m” es punto medio. → →

Rpta: x

=

→

a− 3b 4

 

→

→

5.  Encontrar el vector C  en función de los vectores A  y → →

→

B .Rpta: C =

→

3 A+ B 4

 

6.  Dado la distribución de vectores calcular el vector resultante gráficamente y analíticamente; además su módulo, dirección y sentido. , donde A=30u; B=15u; c=40u; D=40u; E=30u

7.  Las expresiones de tres vectores coplanarios respecto a un cierto sistema de coordenadas rectangulares, son: A  = 2i - 4j; B = -5i + j; C  = -7j. Donde las componentes están dadas en →

unidades arbitrarias. Encontrar el vector R  que representa la suma de estos tres vectores.

8. Sean los vectores A = 3i + 5j y B = 6i + 12 j. Encuentre; a) ¿Cuál es el vector igual a 9 veces el vector B?. b) A + B. c) La magnitud de A; d) Un vector unitario en la dirección de B.

 

 

9. Encontrar el vector resultante, el vector unitario, el módulo, los cosenos directores y los ángulos directores, si el lado del cubo tiene por medida 1u. →

Algunas Rptas: R

∧

∧

∧

= ( i − 2 j+ k ) ; R  =

6u  

10.  Encontrar el vector resultante, la magnitud, vector unitario, los cosenos directores y ángulo directores, de la disposición de los vectores mostrados. Si A=20u y B=10u

11. Descomponer la fuerza de módulo F = 30  30  N en las direcciones a y b indicadas en la figura.

12.  Dados los vectores: a  de módulo 3 y cosenos directores proporcionales a 2 , 1 y -2, b  que tiene de origen respecto de cierto sistema el punto O  (-1,   (-1, -2, 1) y 1) y de extremo el punto P   (3 , 0 , 2 ) y el vector c   (2 , 0 , --3  ). Calcular: 1) 2a -3b       c a -2 b  b        2 |. 3 ). c .  2) |3 a  2 c   c |.

13.  Dados los vectores: a   =3 i  i  - 2   j , b   =- 4 i  i  + j , calcular: a) El vector suma y su módulo. b) El vector diferencia y el ángulo que forma con el eje OX . c) El vector c  =2 a a  - 3 b b   y el vector unitario que define la dirección y sentido de c . 

14.  Dados los vectores a   (2, 4 , 6 ) y b   (1, .2, 3 ). ). Calcular: 1) El vector suma a   + b , su módulo y cosenos directores. 2) El vector diferencia a  - b  y el vector unitario que define su dirección y sentido. →

15.  De la figura figura mostrada, escribir la expresión del vector A  

 

 

→

16.  Si la componente escalar en el eje “y” del vector B es 4000u, →

expresar el vector B  con sus componentes vectoriales. →

∧

∧

∧

Rpta: B = (1000 / 3)(9 i + 12 j+ 0,5 k ) unidades  

→

17.  Descomponer la magnitud B  en sus componentes vectoriales que actúan a lo largo de los ejes u y v; determine las magnitudes escalares de dichas componentes.

18.  Tres vectores situados en un plano tienen 6, 5 y 4 unidades de magnitud. El primero y el segundo forman un ángulo de 50º mientras que el segundo y el tercero forman un ángulo de 75º.

Encontrar la magnitud del→ vector resultante y su∧ dirección respecto del mayor. Rpta: R=9,9; θ =45,8º. → ∧ ∧ ∧ 19.  Dados los vectores A = 4 i + 6 j  y B = −6 i −  j . Encontrar: a) El ángulo formado por los vectores. →

∧

→

b) Un vector unitario en la dirección del vector A − 2 B   Rpta: a) θ = 133,2º ; b) u →

∧

∧

∧

20.  Demuestre que los vectores A = i − 3 j+ 2 k   y

→

∧

∧

∧

∧

= 0,89 i + 0,45 j  

∧

B = −4 i + 12 j− 8 k  son

paralelos. 21.  Sumar dos v vectores ectores de magnitudes 8 y 5 que forman un ángulo de 60º →

entre sí. Rpta: R

∧

22.  Dado el vector

Rpta:

∧

= 9 i + 6,9 j  

→

∧

∧

∧

A = 2 i + 4 j− 4 k  , determine sus ángulos directores.

θ x = 70,5º; θ y = 48,2º; θ z  = 131,8º

23.  Hallar la resultante de los siguientes desplazamientos: 3 [m] hacia el este; 12 [m] hacia el este →

40º hacia el norte y 7 [m] hacia hacia el oeste 60º hacia el sur. Rpta: R

∧

∧

= 8,7 i + 1,6 j  m

Un vector A tiene una magnitud de 9 [cm] y está dirigido hacia +X. Otro vector B tiene una magnitud de 6 [cm] y forma un ángulo de 45º respecto de la abscisa positiva. El vector C tiene una magnitud de 15 [cm] y forma un ángulo de 75º respecto del eje +X. Determine el vector resultante. →

Rpta: R

∧

∧

= 17,1 i + 18,7 j  

24.  La componente x de un vector q que ue está en el plano XY es de 12 unidades, y la componente y es de 16 unidades. ¿Cuál es la magnitud y dirección dirección del vector?. A= 20u y θ x =53,1º.