Tema Nº 2: Análisis Vectorial - Teoría

VALOR: IDENTIDAD

CÓDIGO: CTAFIS2UN1-01BE CÓDIGO: CTAFIS2UN1-02

FÍSICA II

ANÁLISIS VECTORIAL – teoría

Unidad Nº1: “Recordando lo aprendido sobre el Análisis Dimensional y Vectorial”

Prof. Raúl Salvador Apaza Pilco 1

OBJETIVOS DEL TEMA Nº 2

 Representar algunos fenómenos físicos, empleando modelos vectoriales.  Comprender y aplicar correctamente las reglas existentes para las operaciones con vectores.  Aprender la descomposición y composición rectangular de los vectores.  Aprender a efectuar las principales operaciones con los vectores: adición, sustracción y productos escalar y vectorial.

2

Ejemplo:  Sean A y B vectores -> D = A - B

4

MÉTODOS PARA CALCULAR LA RESULTANTE

MÉTODO DEL PARALELOGRAMO.Se utiliza para calcular la resultante de dos vectores concurrentes y coplanares que tienen un mismo punto de origen. Gráficamente se construye un paralelogramo trazando paralelas a dos vectores. El vector resultante se traza uniendo el origen de los vectores con la interceptación de las paralelas. A

VECTOR

R

Es un ente matemático que gráficamente se representa por un segmento de recta orientado.

R=A+B θ

 La física utiliza los vectores para representar las magnitudes vectoriales. Línea de acción y

B MÓDULO DE R

R = A2 +B2 + 2ABcosθ

Sentido

θ

Origen Dirección

x

 En general un vector se representa de la siguiente forma:

A = A; se lee “Vector A” A = |A|= |A|; se lee: “Módulo del vector A”

VECTOR RESULTANTE

Casos Particulares.o  Si θ = 0 (A ↑↑ B) Se obtiene el máximo valor del módulo de la resultante: A

RESULTANTE MÁXIMA

RMAX = A + B

B  Si θ = 180 (A ↑↓ B) o

θ

B

A

RESULTANTE MÍNIMA

RMIN = A - B

 Si θ = 90 (A ⊥ B) Se obtiene aplicando el “Teorema de Pitágoras” A o

3

OPERACIONES VECTORIALES

SUMA DE VECTORES.Es una operación que tiene por finalidad hallar un único vector denominado “vector resultante” (𝑹), el cual es igual a la suma de todos los vectores. Ejemplos:  Sean A y B vectores -> R = A + B  Sean A, B y C vectores -> R = A + B + C RESTA DE VECTORES.Es una operación que tiene por finalidad hallar un vector denominado “vector diferencia” (D), el cual es igual a la resta de vectores.

Aula Virtual: http://www.pedroruiz.gnomio.com

R

TEOREMA DE PITÁGORAS

R= A2 + B2 B MÉTODO DEL POLÍGONO (PARA 2 O MÁS VECTORES).Se utiliza para calcular la resultante de un conjunto de componentes concurrentes y coplanares. Es un método gráfico que utiliza escalas apropiadas y consiste en trazar los vectores uno a continuación de otro manteniendo sus características. El vector resultante (R) se traza uniendo el origen del primer vector con el extremo del último vector.

Cel. 952 010987

VALOR: IDENTIDAD

CÓDIGO: CTAFIS2UN1-02 CÓDIGO: CTAFIS2UN1-01BE

FÍSICA II

ANÁLISIS VECTORIAL – teoría

Ejemplo:  Sean los vectores A, B y C: A Hallar la resultante del C B sistema vectorial mostrado. Construimos el polígono vectorial: C

MÉTODO DE LA DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR.Se empleará cuando se desea determinar el módulo y la dirección de la resultante de un conjunto de vectores, concurrentes y coplanares. El método consiste en: a) Trasladar todos los vectores a un plano cartesiano, haciéndolos “concurrir en el origen de las coordenadas.” Prof. Raúl Salvador Apaza Pilco Y Y D C A

R=A+B+C O = Origen

B

φ

α

RESULTANTE

R

B

θ

X

X

β

O A

Figura Nº 1

Caso Especial. Cuando el polígono presenta los vectores sucesivos, es decir no observamos intersección de cabezas de flecha, no existirá resultante (R = 0). A

b) Los vectores que poseen diferentes direcciones a los ejes “X” e “Y” serán descompuestos en otros dos vectores componentes uno sobre cada eje. Y Y C sen θ D sen φ A sen α A C D B sen β α φ θ A cos α X D sen φ C cos θ X B β B cos β

B RESULTANTE

O

C

E

R=A+B+C+D+E=0 O = Origen

D MÉTODO DE LAS COMPONENTES RECTANGULARES.Son aquellos vectores que resultan de proyectar un vector sobre dos (o tres) ejes perpendiculares entre sí: Donde: Ax y Ay son componentes y rectangulares del vector A. Ay Se cumple: Ax = Acosθ θ Ay = Asenθ

Figura Nº 1

R=

2

Rx + Ry

DIRECCIÓN 2

Rx Ry O = Origen

c) A continuación se obtienen las resultantes en cada eje sumando algebraicamente los vectores colineales en el eje “X” y en el eje “Y”, es decir: Rx = Suma de los vectores en el eje “X”. Ry = Suma de los vectores en el eje “Y”. d) Finalmente la resultante del sistema se obtiene aplicando el Teorema de Pitágoras y su dirección con la función tangente. PITÁGORAS

R=

δ

B

tgθ =

α

β

LEY DE SENOS

A B R = = senδ senβ senα

A

Aula Virtual: http://www.pedroruiz.gnomio.com

2

DIRECCIÓN

Rx + Ry

Rx Ry O = Origen

2

tgθ =

Algunos Triángulos Notables: o

K

45

K 2

N 3

o

O

24P

16

2N

30

o

MÉTODO DE LA LEY DE SENOS.Se da cuando se conocen los ángulos internos y por lo menos uno de los vectores. R

Figura Nº 2

Ojo: Nótese que las componentes adyacentes o que se encuentra al costado del ángulo están multiplicadas por la función coseno y la otra por el seno.

x Ax El método de las componentes rectangulares permite calcular el módulo y la dirección de la resultante de un conjunto de vectores. Pasos a seguir: 1º Se halla las componentes rectangulares. 2º Se calcula la resultante en cada uno de los ejes coordenados (Rx ; Ry ) 3º Se calcula el módulo de la resultante aplicando Pitágoras y su dirección aplicando la función tangente. PITÁGORAS

Figura Nº 2

60

K

N

O

74 7P

37

o

45

25P

O

4X

O

53 3X o

o

15Y K

5X

28

17Y o

62

8Y

7W

8

5 2W o

82

W

Cel. 952 010987

VALOR: IDENTIDAD

CÓDIGO: CTAFIS2UN1-02 CÓDIGO: CTAFIS2UN1-01BE

FÍSICA II

ANÁLISIS VECTORIAL – EJERCICIOS RESUELTOS  El ángulo entre dos vectores de 5 y 10 unidades de longitud, cuando su resultante forma un ángulo de o 30 con el vector mayor es:

EJERCICIOS RESUELTOS

5

 La resultante máxima de dos vectores es 12 y la mínima es 4. Hallar el modulo de cada vector. Resolución: Este ejercicio se desarrolla usando las “Resultantes máximas y mínimas”, de la siguiente forma: RMAX = A + B 12 = A + B

RMIN = A - B 4=A-B

-

+

1

2

1

3

Prof. Raúl Salvador Apaza Pilco

R

P+Q+R+S resulta T P

Resolución: Se pide: P+Q+R+S+T

sen 150o - θ = sen 90o

5 10 o = sen 30 sen 150o - θ

 En la figura, |A| = |B| = |C| = |D| y |E| = |F|. Encuentre el vector resultante de los vectores mostrados: Resolución: B Por el método del polígono se van:

F C

R=A+B+C+D+E+F En el triangulo AEF se tiene que:

E + F = A y |E| = |F|

E D

150o - θ = 90o θ = 60o

2 o

o

60

37

X o

60

2 3 Resolución: Paso Nº 1: Los vectores que se sumarán se disponen partiendo del origen de coordenadas. Paso Nº 2: Los vectores inclinados respecto a los ejes se reemplazan por sus componentes rectangulares. Paso Nº 3: Se calcula la resultante parcial en el eje X así como la resultante parcial en el eje Y, para esto se suman algebraicamente las componentes en cada eje. vectores eje x

Rx =

vectores eje y

Ry =

Paso Nº 4: Se calcula finalmente el módulo de la resultante, de la siguiente forma: R=

T + T = 2T

A

sen 150o - θ = 1

5

Por el método del polígono

Q

10 1 x 5 2

 Calcular la resultante y su módulo en: Y

Análogamente ocurre con los vectores horizontales, con lo que la resultante será: 3–1–1=1 Finalmente, se obtendrá: 1 R= A2 + B2 R R= 12 + 12 R= 2 1  La magnitud de la resultante del siguiente sistema de vectores es: T

5

θ

O

30 10

sen 150o - θ =

O

150 - θ

R

3

S

A B R = = senδ senβ senα

α A Ahora, según el ejercicio:

Resolución: Se aprecia que los 2 vectores verticales son opuestos y paralelos, con lo que la resultante será 1.

R

LEY DE SENOS

B

δ

β

Trabajando bajo “sistema de ecuaciones”, tenemos: 12 = A + B + 4=A-B Ley de Signos: 16 = 2A + A=8 B=4  Calcular el módulo de la resultante de:

Resolución: Recordando la “Ley de Senos” en un triángulo, lo cual señala:

2

Rx + R y

2

Recordando los triángulos rectángulos notables, se obtiene: o 5sen37

Rx = 1 + 3 - 4 = 0 Ry = 3 + 3 - 3 = 3

o

2sen60 o

5cos37 2cos60o o

2 3sen60

2 3cos60

o

Aplicando el Teorema de Pitágoras para hallar R: R = 0 2+ 3 2 R=3

R=A

Aula Virtual: http://www.pedroruiz.gnomio.com

Cel. 952 010987