Tema 5 - Semiconductores No Uniformes en Equilibrio

Tema 5: Semiconductores no uniformes en equilibrio

FÍS IC A D EL ES TA D O S Ó LID O C U R S O 2014

Eduardo J. Ricciardi

B IB LIO G R A FÍA

Apuntes de clases teóricas – Tema 5. Gray and Searle págs. 103 a 105. Talley and Daugherty págs. 130 – 150. Adler Smith and Longini págs. 130-138.

Indice Tema 5 - Semiconductores no uniformes en equilibrio.A. B. C. D. E.

Introducción y objetivos. La Función Fermi. Distribución de los Niveles Permitidos en las Bandas. Estadística de Portadores y la Posición de Ef. Campos y Potenciales Internos 1. Potencial Electrostático, Energía Potencial y Diagramas de Bandas 2. La Constancia de Ef en el Equilibrio 3. Expresiones Matemáticas para Campos y Potenciales Internos en el Equilibrio F. Ejemplos de Estructuras No Uniformemente Dopadas. 1. Dopados Linealmente Graduados. 2. No Uniformidad Localizada.

Introducción En el Capítulo 2 hemos discutido la naturaleza de los semiconductores y destacamos los siguientes hechos importantes. En los semiconductores, los niveles de energía de los electrones caen en bandas permitidas separadas por bandas prohibidas. En cualquier semiconductor, a una temperatura dada, algunos enlaces atómicos se rompen y dan lugar a la aparición de dos especies de portadores de carga móviles: electrones en la banda de conducción y huecos en la banda de valencia. Las concentraciones de estos electrones y huecos generados térmicamente son iguales puesto que se producen de a pares. Existen impurezas llamadas donadoras y aceptoras las que cuando se incorporan a la red del semiconductor desequilibran el balance entre electrones y huecos agregando electrones a la banda de conducción o huecos a la banda de valencia, dando lugar a los materiales llamados Tipo N y Tipo P. Los donadores y aceptores son inmóviles y poseen carga negativa y positiva respectivamente.

Introducción Aunque los hechos descriptos se han desarrollado para semiconductores homogéneos, también resultan ciertos para materiales no uniformes, es decir inhomogéneos. Dado que en el equilibrio, la temperatura debe ser constante en toda la muestra semiconductora, la no-uniformidad a la que nos referimos es en su composición. Si, particularmente, nos restringimos a sistemas que están compuestos solamente por un tipo de semiconductor, es decir Si o Ge pero no mezclas de ellos, entonces la única variable restante es el nivel de dopado. Existen dispositivos que tienen dos o más tipos de semiconductores. Por ejemplo, se podría depositar una capa de GaAs (Arseniuro de Galio) sobre un cristal de Ge y hacer un dispositivo utilizando esta estructura compuesta. Tales dispositivos se denominan heterojunturas y son muy importantes en los campos de la opto-electrónica y la óptica integrada pero no se discutirán en este curso. De hecho, las heterojunturas dan lugar a un grado de libertad adicional en el diseño de dispositivos ya que el ancho de la banda prohibida puede variar con la posición.

Introducción Entonces, cuando hablemos de un semiconductor no uniforme, estaremos refiriéndonos a un semiconductor en el que las concentraciones de donadores y aceptores son función de la posición. En particular, independientemente de cualquier variación de ND o NA la magnitud del salto de energía Eg será constante, sin importar la posición en el material. Esto es así porque el salto de energía entre bandas es una propiedad fundamental del semiconductor y no cambia con la concentración del dopado. Si permitimos que Nd y Na sean función de la posición, es claro que también n y p lo serán y los gradientes resultantes darán lugar a corrientes de difusión, como se discutió en el Capítulo III. Antes de lanzarnos a la resolución del problema matemático es útil pensar simplemente acerca de esto e intentar comprender qué deberíamos esperar. Supongamos, por ejemplo que tenemos una barra de semiconductor en la cual la concentración de donadores varía de un extremo a otro de una manera gradual, como se muestra en la Figura 1.

Introducción Ya que los coeficientes de difusión atómicos son muy pequeños a temperatura ambiente, el gradiente de concentración en ND no dará lugar a una difusión significativa de los átomos donadores. Esto es lo que queremos decir cuando afirmamos que los donadores están inmóviles. Pero ya que tenemos un gradiente de concentración de electrones y esto dará lugar a una difusión de electrones desde la izquierda a la derecha (suponemos que ND >> ni y entonces podemos ignorar los huecos). Es en este punto en que la aplastante importancia del hecho de tener portadores móviles e inmóviles de carga se hace claro. Además dejan atrás algunos donadores cargados positivamente, inmóviles. A medida que los electrones se difunden hacia la derecha, entran a una región de bajo Nd y alteran la neutralidad de cargas en esa región (haciéndola más negativa). Así la difusión conduce a la separación de cargas y a la aparición de un campo eléctrico interno que está orientado en forma tal que se opone a posteriores difusiones. Eventualmente este campo crecerá hasta el punto donde moverá electrones de la derecha hacia la izquierda (por conducción o arrastre) tan rápidamente como se mueven de izquierda a derecha por difusión. Esto lo podemos observar en la Figura 2. De esta forma cuando se ha establecido el equilibrio no habrá corriente neta en ninguna dirección.

B - La Función de Fermi Dado cualquier sistema de niveles de energía electrónicos que contenga N electrones, una pregunta muy importante es: ¿Cómo están distribuidos los electrones sobre los niveles permitidos, si el sistema está en equilibrio termodinámico a la temperatura T?. Para T=0 esta es una pregunta muy fácil de contestar. Cada nivel permitido puede contener solamente hasta dos electrones y la configuración de equilibrio será la de menor energía. De esta forma los niveles más bajos se llenarán y todos los niveles más altos estarán vacíos (obviamente, si N es impar el más alto nivel ocupado será llenado solamente hasta la mitad). Esto es así si consideramos que los niveles de energías permitidos forman un “Contenedor” y los electrones forman un “Fluido” que llena este contenedor hasta un nivel distintivo llamado “Energía Fermi”. A T=0 todos los niveles de energías permitidos por debajo de Ef se llenan y todos los niveles de energía por encima de Ef están vacíos. Sin embargo, a medida que la temperatura aumenta, la energía térmica puede llevar a algunos electrones con energías cercanas a Ef a cruzar la barrera de Ef de manera que algunos niveles por encima de Ef sean temporariamente ocupados mientras que algunos niveles por debajo de Ef quedan vacíos. Puesto que este proceso es dinámico, con electrones saltando continuamente a niveles superiores a Ef para caer luego a los respectivos niveles inferiores solamente podemos hablar de la ocupación promedio o La Probabilidad de Ocupación para un

B - La función de Fermi Utilizando los métodos de la Mecánica Estadística, Fermi demostró que a una temperatura T, la probabilidad de ocupación para un nivel de energía, a la energía E, viene dada por:

f (E) 

1 1 e

EE f KT

(1)

El comportamiento de esta función es muy sencillo: A muy bajas temperaturas, cerca del cero absoluto, el exponente en el denominador es un número negativo muy grande o un numero positivo muy grande, dependiendo de si o si . Si , cualquier nivel de energía o energía E es casi seguro que será ocupado. Si , cualquier nivel de energía o energía E se casi seguro que estará vacante. Recordemos que es una probabilidad de ocupación; significa que el nivel definitivamente estará ocupado por un electrón y implica que el nivel definitivamente no estará ocupado por un electrón. De este modo, cuando E pasa por el valor de , cae muy abruptamente de 1 a 0. A altas temperaturas ocurre la misma caída, pero es más gradual tal como se observa en la Figura 4. Notemos también que a cualquier temperatura cuando . Figura 4: El comportamiento de F(E) con la temperatura

B - La función de Fermi Podemos plantear ahora una definición de la Energía Fermi:

“La Energía Fermi es la energía a la cual un nivel de energía electrónico permitido, tendría una probabilidad de ocupación de ½”. El que un nivel de energía permitido esté realmente ubicado o no en depende del sistema en cuestión. Para ilustrar esto, consideremos una vista ampliada de la región de la Figura 3, cercana a como se muestra en la Figura 5.

A T=0 los niveles E1 y E2 están totalmente ocupados, entonces: . Los niveles E3 y E4 están totalmente vacíos de manera que . Claramente se observa que la energía Fermi debería ubicarse entre E2 y E3 y, de hecho, por simetría, deberá situarse exactamente a mitad de camino entre ambas energías, como se ve en la Fig.: 5. Así pues, en este caso, Ef se ubica en una energía que no coincide con ningún nivel de energía permitido del sistema. Si le agregáramos un electrón más al sistema, el nivel 3 se llenaría a medias y tendríamos, entonces, una Ef = E3.

B - La función de Fermi A temperaturas por encima del cero absoluto no es posible, en general, determinar la posición exacta de Ef por razonamientos cualitativos solamente, ya que Ef es función de la temperatura (sumado esto al hecho de ser una función del particular esquema de niveles de energía y del número de electrones del sistema). Independientemente de eso, siempre hay una única posición para Ef, y en el caso de la mayor parte de los semiconductores esta posición siempre puede ser obtenida por la aplicación de la condición de neutralidad de cargas. Más adelante, en la sección D, discutiremos esto con más detalle. Ya que la nos da la probabilidad que un nivel de energía permitido, E, esté ocupado; nos dará la probabilidad de que ese nivel No esté ocupado. De esta manera podemos decir que es la probabilidad de que un nivel de energía, E, contenga un hueco. Ejercicio: Haga un boceto de en función de la energía, E, para varios valores de T, tal y como se hizo para en la Figura 4.

C - La Distribución de niveles de energía permitidos en bandas Resulta que la mayoría de los niveles de energía permitidos se sitúan cerca del medio de las bandas y sólo unos pocos cerca de los extremos superior e inferior. Esto lo podemos ver esquematizado en la Figura 6. De modo que si nos preguntamos cuántos niveles permitidos se encuentran en el intervalo de energía dE, a una energía E, encontramos que el número es cero fuera de las bandas permitidas, pequeño cerca de los extremos de una banda y grande cerca del medio de la banda. Para hacer esto más concreto introduciremos un concepto muy útil: La Función de Densidad de Estados Sea g(E) el número de niveles de energía permitidos por unidad de volumen y por unidad de energía, a una energía E. Basados en nuestra discusión anterior , g(E) debe verse cualitativamente como se observa en la Figura 7. Nótese que como fue definida, g(E) es una densidad en dos sentidos: Es un Número por Unidad de Volumen y por Unidad de Energía. Así, por ejemplo, el número total de estados permitidos por unidad de volumen entre las energías E y E+dE es: g(E)dE. Normalmente trataremos solamente con electrones cerca del fondo de la banda de conducción y con huecos situados cerca de la parte superior de la banda de valencia.

C - La Distribución de niveles de energía permitidos en bandas Entonces, la forma exacta de g(E) en inmediaciones del centro de la banda no nos interesa y podremos dibujar las partes relevantes de g(E) para un semiconductor como se muestra en la Fig.: 8. La razón para esta simplificación se hará clara en la próxima sección. En general gc(E) y gv(E) tienen la misma forma pero tamaños levemente diferentes. Ya que estas pequeñas diferencias no serán importantes para nuestros fines las tomaremos como idénticas (imágenes especulares).

Figura 8: Bandas de energía y densidad de estados para un semiconductor.

D - Estadística de portadores y la posición de Ef. Vamos a reconsiderar el tema de la estadística del semiconductor a la luz del nuevo material introducido en las dos últimas secciones. Consideremos primero un semiconductor intrínseco a la temperatura T. Sabemos que habrá concentraciones de electrones (n) en la banda de conducción y de huecos (p) en la banda de valencia y que n = p = ni(T). De las definiciones de f(E) y gc(E) podemos escribir que:

n



 g  E  f  E  dE c

Ec

(2)

para la concentración de electrones. (El motivo de que usemos  como límite superior en la integración es debido a que f(E) cae muy rápidamente a cero para E>>Ef. Esto lo aclararemos en breve). Ev Similarmente para la concentración de huecos podemos escribir:

p

 g  E   1  f  E  v

dE



Para evaluar estas ecuaciones, debemos conocer (además de las formas de g c(E) y gv(E)), la posición de Ef, ya que este valor se utiliza en f(E). La posición de f(E) puede determinarse notando que cualesquiera que sean los valores de n y p, ellos son

D - Estadística de portadores y la posición de Ef. Entonces tenemos la condición de neutralidad de cargas: Ev



 g  E  f  E  dE   g  E   1  f  E  c

Ec

v

dE

(4)



Dadas gc(E) y gv(E) y la temperatura T, queda solamente un solo valor desconocido en la Ecuación 4: la energía Fermi, Ef. Suponiendo que se puedan efectuar todas las integraciones, podemos entonces resolver para el único valor de Ef que satisface la ecuación 5.4. En vez de dar ecuaciones explícitas para gc(E) y gv(E) y hacer las integraciones directamente, podemos hacerlas gráficamente, ya que el método gráfico proporciona mayor penetración intuitiva al problema. La ecuación 5.2 nos dice que para calcular n deberíamos multiplicar la curva gc(E) por la curva f(E) y luego calcular el área bajo la curva resultante de ese producto. Similarmente para p debemos multiplicar gv por 1-f(E) y calcular el área debajo de esta curva producto. La ecuación 5.4 también nos dice que las áreas bajo estas curvas deben ser iguales. Si decimos que gc(E) y gv(E) tienen la misma forma y magnitud y si tenemos en cuenta que f(E) y 1-f(E) son simétricas respecto de Ef entonces solamente pueden ser iguales si Ef está en el centro de la banda prohibida. Esto lo ilustramos en la Figura 9.

D - Estadística de portadores y la posición de Ef. Notemos que para los efectos de la ilustración, la curva de f(E) ha sido rotada para que los ejes de las escalas de energías coincidan en el sentido vertical. Esto demostrará ser muy conveniente a través del resto del curso. También se ve más claro en esta figura el hecho de porqué usamos ∞ como límite de integración de la ecuación (5.2). f(E) tiende a cero muy rápidamente en inmediaciones de Ec entonces, el producto del integrando también tiende a cero. Por lo tanto, si el integrando es cero, resulta irrelevante el límite superior de integración. Un comentario análogo se puede hacer respecto del límite inferior que se toma como -∞ para la ecuación (3).

D - Estadística de portadores y la posición de Ef. La Fig. 9 ha sido dibujada para una temperatura en particular. Y podemos, ahora, utilizar la Fig. 4 para visualizar lo que ocurre a temperaturas mayores o menores. En primer lugar, Ef se mantiene en el centro de la banda prohibida para mantener iguales las áreas de n y p. Pero las magnitudes de estas áreas se verán radicalmente afectadas. Si T disminuye, por ejemplo, las partes de f(E) y 1-(f(E) que se superponen en las bandas de conducción y de valencia, se harán mucho más pequeñas (exponencialmente más pequeñas – ver el problema 2) y n y p deberán reducirse. De igual modo, cuando T aumente n y p deberán aumentar. Esto se explica por la dependencia exponencial de ni con la temperatura, establecida en la Ecuación 7 del Capítulo 2.  Eg

ni  Ne 2 kT

Ecuación 7

D - Estadística de portadores y la posición de Ef. Si el material extrínseco es levemente tipo n entonces Ef estará apenas por encima de Efi. Si, en cambio, es fuertemente tipo n, Ef estará muy cerca del borde de la banda de conducción. Un razonamiento análogo se plantea para los materiales semiconductores extrínsecos tipo p, tal como se muestra en la Figura 11.

Por supuesto, no estamos en libertad de mover simplemente la Energía de Fermi como nos plazca. Para cualquier sistema, dado, en equilibrio la Energía de Fermi tiene una posición definida, que no es “ajustable”. Debemos, por lo tanto demostrar que es razonable y consistente decir que Ef estará por encima de Ef i para semiconductores tipo n y se ubicará por debajo de Efi para semiconductores tipo p.

D - Estadística de portadores y la posición de E f. Para hacer esto recordemos que un material tipo n o p se obtiene mediante su dopado con una predominancia de donadores o aceptores. Vimos en el Capítulo II que los donadores proporcionan niveles de energías permitidos adicionales en la banda prohibida, justo por debajo del borde de la banda de conducción. A T  0 estos niveles están completos con electrones (la energía térmica es insuficiente para separar estos electrones libres de los átomos donadores y causa que ellos sean “donados” a la banda de conducción. Puesto que Ef está, por definición, a mitad de camino entre el estado lleno más alto y el estado vacío más bajo, deberá ubicarse entre los niveles de donadores y el borde de la banda de conducción a bajas temperaturas. Ejercicio: Repase la naturaleza de los niveles aceptores en el Capítulo II y presente un argumento para la conclusión de que Ef debe estar cerca del borde de la banda de valencia a bajas temperaturas, para materiales tipo p. Podemos plantear las siguientes conclusiones: 1) Existe una relación biunívoca entre la posición de Ef y la concentración de portadores n y p. 2) Ef quedará más cerca del borde de la banda de conducción cuanto más grande se haga n y más pequeño p. 3) Ef quedará más cerca del borde de la banda de valencia cuanto más grande se haga p y más pequeño n. 4) en un material intrínseco n = p = ni2 y Ef queda en el medio de la banda prohibida y se denota por Efi. Aún en materiales extrínsecos podemos utilizar Efi como un nivel de referencia demarcando la mitad de la banda prohibida.

E - Campos internos y Potenciales. 1 - Potencial Electrostático, Energía Potencial y Diagramas de Bandas: El Potencial Electrostático, (x) en un punto x se define como el trabajo por unidad de carga necesario para mover una carga de prueba positiva desde el ∞ hasta el punto x. Así, si consideramos una barra con un extremo cargado positivamente y el otro con carga negativa, el potencial electrostático cerca del extremo positivo es, sin ninguna ambigüedad, mayor que el del extremo negativo. El Campo Eléctrico, es una magnitud vectorial relacionada con (x) por:

r E  x     x 

(5.5)

d  x  dx

(5.6)

o para el problema unidimensional:

E  x  

Cuando una partícula cargada con carga q se encuentra en un campo eléctrico, actúa sobre ella una fuerza dada por: r   qE  x  Para cargas r (5.7) F  x   r positivas Para cargas negativas  qE  x 

E - Campos internos y Potenciales. Esta fuerza, a su vez, está relacionada con la energía potencial de la partícula, E(x), por: o, para el caso unidimensional:

r r F  x   E  x  F  x  

(5.8)

dE  x  dx

(5.9)

Claramente se ve que para una partícula cargada situada en un campo eléctrico existe una estrecha interrelación entre la energía potencial y el potencial electrostático. Combinando las ecuaciones (5.6), (5.7) y (5.9) nos queda:

E  x    q  x   K E  x   q  x   K

Para cargas positivas Para cargas negativas

(5.10)

donde K es simplemente una constante de integración que nos da cuenta del hecho de que podemos mover libremente el nivel cero desde donde medimos E o  mediante un factor constante. Este corrimiento del cero no nos cambia la forma de las curvas, solamente mueve el nivel cero. Las relaciones y definiciones expuestas deberían serle familiares, por lo estudiado en Física General, y solamente las exponemos por conveniencia.

E - Campos internos y Potenciales. Demostraremos, ahora, cómo estas ideas se relacionen con los diagramas de bandas de energía en los semiconductores. La Figura 12 nos muestra nuestro diagrama de bandas de energía estándar. Recordemos que este diagrama nos muestra los niveles de energía electrónicos permitidos, como una función de su posición en el cristal. Cuando se aumenta la energía total de un electrón, este se mueve hacia arriba en el diagrama de bandas de energía. Un electrón situado en el fondo de la banda de conducción está sin movimiento y su energía es, por lo tanto, energía potencial. Por lo tanto la energía potencial de electrones de la banda de conducción está indicada por el borde inferior de la banda E c(x). Cuando un electrón está más arriba en la banda de conducción (como por ejemplo cuando se le está dando algo de energía mediante un campo eléctrico aplicado y está por lo tanto participando de la conducción) Tiene, además, algo de energía cinética agregada a su energía potencial. Similarmente un hueco en la parte superior de la banda de valencia no tiene movimiento y la energía potencial del hueco viene dada por Ev(x). La energía de los huecos se incrementa hacia abajo en el diagrama de bandas de energía electrónica. Consideremos ahora qué ocurriría si un campo eléctrico fuese aplicado en la dirección +x (es decir: con el extremo derecho del cristal más negativo que el extremo izquierdo). La Fig. 13 nos muestra el campo eléctrico resultante , el potencial (x) y la energía potencial E(x) para electrones. Ejercicio: Verifique la Fig. 13 detalladamente utilizando las ecuaciones (5.6) y (5.10). Convénzase usted mismo que el diagrama es cualitativamente razonable en todos los aspectos.

E - Campos internos y Potenciales. A la luz de nuestra discusión sobre el significado del diagrama de bandas de energía, nos es fácil, ahora, dibujar un diagrama de bandas para la muestra polarizada de la Fig. 13. Ya que el fondo de la banda de conducción es la energía potencial electrónica, la Fig. 13 nos dice que la banda de conducción tiene una pendiente hacia arriba. Además ya que Eg debe ser igual en cualquier parte del cristal y que Efi está siempre a mitad de camino, estas curvas deben seguir la pendiente de la banda de conducción. Por lo tanto el diagrama de bandas de energías queda como se observa en la Figura 14. Podemos describir los resultados mostrados en la Figura 14 diciendo que el campo eléctrico ha causado que se curven las bandas de energía (en este caso la curvatura es de pendiente constante). Siempre que esté presente un campo eléctrico en el semiconductor se producirá la curvatura de las bandas de energía. Inversamente: siempre que las bandas estén curvadas podemos afirmar que se halla presente un campo eléctrico (ver Nota) y su magnitud y dirección son calculables directamente de Ec(x):

r 1 E  x     x   Ec  x  q

(5.11)

(5.10) Figura 14: Diagrama de Bandas de Energías ara la muestra polarizada de la Figura 13

o, en una dimensión:

E  x 

1 dEc  x  q dx

(5.12)

Ya que Ev(x) y Efi(x) tienen las mismas formas que Ec(x) (es decir: solamente difieren de Ec(x) en una constante) podríamos sustituir Ec(x) con cualquiera de ellas en la Ecuación (5-2) y obtendríamos el campo .

Nota: Los campos magnéticos y gravitacionales también pueden alterar las energías potenciales de los electrones y causar el curvado de las bandas, pero estos efectos son muy pequeños (por varios órdenes de magnitud) comparados con los efectos de los campos eléctricos y directamente los ignoraremos en este curso.

E - Campos internos y Potenciales. Consideremos, ahora el problema planteado en la Sección A, e ilustrado en la Figura 1: Una barra de semiconductor con una concentración no uniforme de donadores que disminuye de izquierda a derecha. Se vio en la sección A que el dopado no uniforme produce un campo eléctrico interno en la dirección de las x positivas. Por ahora debería estar claro que el diagrama de bandas correspondiente a la muestra de las Figuras 1 y 2 debiera ser cualitativamente el mismo que el que se mostró en la Figura 14. La única diferencia es que la curvatura podría no ser lineal (y eso depende del perfil de dopado Nd(x)) y la curvatura total máxima no será qVB puesto que no hay batería externa. En vez de ese valor, será donde corresponde a un potencial interno determinado por el cambio total del dopado entre los extremos de la barra. En la Sección E-3 desarrollaremos las herramientas necesarias para calcular el valor de

2 – La constancia de Ef en el equilibrio

En la Sección B se introdujo el concepto de Energía Fermi, Ef, y en la Sección D mostramos cómo la posición de Ef, relativa a los extremos de bandas determina las concentraciones relativas de electrones y huecos. En esta sección mostraremos que para cualquier sistema en equilibrio, la energía Fermi es constante (es decir independiente de la posición) en todo el sistema. Esta es una propiedad muy potente e importante de la energía Fermi y será fundamental para todo nuestro trabajo en el resto del curso.

Consideremos primero los diagramas de bandas de energía para dos metales diferentes (digamos cobre y aluminio) los que inicialmente están separados, luego se los pone en contacto y se permite llegar a un equilibrio de uno con el otro. Recordemos del Capítulo II que la estructura de bandas de un metal es como se muestra en la Figura 15 (ver Figura 12(b) del Capítulo II). En general las energías Fermi de metales diferentes se sitúan a diferentes alturas. Sin embargo hay algunos niveles sin llenar en el metal B que están por debajo de algunos de los niveles llenos del metal A. Cuando los dos metales son puestos en contacto no hay nada que impida que algunos electrones en A difundan a través del contacto y caigan en los niveles sin llenar de B más bajos. De hecho, esto es precisamente lo que ocurre, como se muestra en la Figura 16. Pero notemos que los metales A y B eran eléctricamente neutros antes del contacto. Sin embargo cuando los electrones fluyen de A hacia B hacen que B se cargue negativamente con respecto de A. Queda claro que esto nos dice que el potencial electrostático de B es menor que el de A y en consecuencia las energías potenciales de los electrones en B son mas elevadas que en A.

E - Campos internos y Potenciales. Por cada electrón que se transfiere desde A hacia B el diagrama de bandas de B se desplaza hacia arriba, en dirección al de A. Claramente, el proceso de transferencia continuará hasta que no haya ninguna diferencia entre los niveles de Fermi en ambos lados y Ef(A)=Ef(B)=Ef Tal y como se observa en la Figura 17. De esta manera, la única configuración estable (la configuración de equilibrio) es aquella en la que Ef es constante en todo el sistema. Notemos que en el equilibrio existe una diferencia entre las posiciones de los extremos de banda y esto es porque hay una diferencia de energía potencial y una diferencia de potencial electrostático entre A y B.

Si llamamos Vbi a la diferencia de potencial electrostática para tensiones internas, la diferencia de energía potencial será: qVbi. En el caso de los metales, se denomina comúnmente a V bi Potencial de Contacto. Cuando dos materiales disímiles son puestos en contacto, una vez establecido el equilibrio aparece un potencial de contacto entre ambos materiales. Este proceso se realiza de manera muy similar al ponerse en contacto dos piezas de semiconductores, un semiconductor y un metal, un semiconductor y un aislador, etc. Todos estos casos se ilustrarán adecuadamente durante este curso.

E - Campos internos y Potenciales. Ahora daremos simplemente un ejemplo más y es el del contacto de dos semiconductores de tipo n. La Figura 18 nos muestra el diagrama de bandas para dos muestras semiconductoras tipo n llamadas A y B, se reconoce inmediatamente que la muestra A está más fuertemente dopada que la B puesto que Ef está más cerca de la banda de conducción en A que en B. Claramente se ve que ambas piezas están hechas con el mismo tipo de semiconductor ya que la banda prohibida Eg tiene el mismo ancho en ambos casos. Como A está más dopado que B, tiene una mayor concentración de electrones y por lo tanto, cuando se pongan en contacto A con B se producirá un flujo de electrones de A a B. Esto causará que B se cargue más negativamente en las cercanías de la interfase y quedarán algunos donadores positivos no neutralizados en A, también en inmediaciones de la interfase. Como ocurrió en nuestro primer caso, aquí también las bandas de B se desplazarán hacia arriba respecto de las de A hasta que se equilibren las energías Fermi lo que se puede ver como resultado final en la Figura 19. En este caso hay una región de transición cercana a la interfase que requiere un poco más de explicación. Los electrones que se transfieren hacia B son atraídos por los donadores positivos que quedaron en A y entonces permanecen en las cercanías de la interfase. Entonces el exceso de cargas negativas en B se ubica muy cerca de la interfase de manera que el total de B permanece eléctricamente neutro. Similarmente los donadores no neutralizados de A se ubican muy cerca de la interfase, de manera que el resto de A mantiene la neutralidad de cargas. De esto resulta una pequeña región de carga espacial positiva en A y una pequeña región de carga espacial negativa en B, como se ve en la figura 20. Luego, en el Capítulo 6, consideraremos detalladamente esta región de carga espacial.

E - Campos internos y Potenciales. Aquí, es suficiente, ahora, notar que la forma de las bandas en la zona de transición y el ancho de la región de carga espacial dependen exclusivamente de los niveles de dopado de A y B. Notemos, además, que se establece un campo eléctrico en la región de carga espacial y podemos ver esto de dos maneras: Claramente la separación de las cargas mostrada en la Figura 20 origina un campo eléctrico en la dirección positiva de las x dentro de la región de carga espacial y ningún campo fuera de esta región. Podríamos haber deducido lo mismo analizando la Ecuación (5-12) y la Figura 19. (Convénzase usted mismo de que esto es verdad !!!). Una consideración final respecto de los campos y potenciales internos: Hemos visto que en el equilibrio aparece una diferencia de potencial en la región de la interfase entre dos materiales disímiles. Esto no quiere decir que hayamos descubierto lo último en baterías de estado sólido y además baratas. El potencial interno es la forma automática y de magnitud exacta para reducir a cero la corriente neta a través de la interfase. Mientras el sistema permanezca en equilibrio el nivel Fermi se mantendrá constante y no circulará corriente neta. Evidentemente necesitamos una diferencia de niveles Fermi para extraer corriente y por lo tanto efectuar un trabajo útil. Lo único que nos podría proveer de esta diferencia sería alguna especie de generador interno o externo (una reacción química en una batería, por ejemplo, o portadores libres fotogenerados, como en una celda solar) que debería suministrar los nuevos portadores y mantener así la corriente. Cualquier generador de ese tipo causaría una diferencia de E f en la interfase y en consecuencia una desviación de la condición de equilibrio. Cualquier batería u otra fuente de energía es inherentemente un dispositivo en desequilibrio. Veremos más adelante que si intentamos conectar un voltímetro entre los extremos de la juntura para medir la diferencia de potencial V bi veremos que el instrumento marca cero!!!. Como el nivel Fermi es constante, no existe fuerza motriz que haga que los electrones fluyan por el instrumento de medición y entonces no se mide nada. De manera que una vez alcanzado el equilibrio no es posible medir Vbi con un voltímetro común. Esto no quiere decir que esa diferencia de potencial interna sea imposible de medir.

Apuntes de clases teóricas – Tema 5. Gray and Searle págs. 103 a 105. Talley and Daugherty págs. 130 – 150. Adler Smith and Longini págs. 130-138.

Gracias por la atención.

FIN