Tema 5 - El Modelo de Asignacion

EL MODELO DE ASIGNACIÓN Si bien la resolución del problema de transporte mediante tablas parece ser muy expedita, existen ciertos tipos de problemas de transporte, para los cuales el método no es eficiente. Estos problemas son los llamados Problemas de asignación. El problema de asignación se aplica generalmente cuando debemos de asignar personal a realizar ciertas tareas. “La mejor persona para el puesto” describe correctamente al modelo de asignación. El caso se puede ilustrar con la asignación de trabajadores de diversos niveles de capacitación a los puestos. Un puesto que coincide con los conocimientos de un trabajador cuesta menos que uno en el que el trabajador no es tan hábil. El objetivo del modelo es determinar la asignación óptima (de costo mínimo) de trabajadores a puestos. El modelo general de asignación con n trabajadores y n puestos se presenta a continuación:

1 Trabajador

1 2 . . n

Puestos 3

2

…

c11 c21

c12 c22

c13

…

c23

. .

. .

. .

… … …

cn1

cn 2

cn 3

…

1

1

1

n

c1n c2 n

1

. .

1 . .

cn n

1

1

El elemento c j i representa el costo de asignar al trabajador i al puesto j (i, j = 1, 2, …, n). No se pierde generalidad al suponer que la cantidad de trabajadores siempre es igual a la cantidad de puestos, porque siempre se pueden agregar trabajadores o puestos ficticios para obtener esa condición. El modelo de asignación es en realidad un caso especial del modelo de transporte, en el cual los trabajadores representan los orígenes y los puestos representan los destinos. La cantidad de oferta en cada origen, y la cantidad de demanda en cada destino son exactamente iguales a 1. El costo de “transportar” el trabajador i al puesto j es c j i . De hecho, se puede resolver el modelo de asignación en forma directa como modelo normal de transporte. Sin embargo, el hecho de que todas las ofertas y demandas son iguales a 1, condujo al desarrollo de un algoritmo sencillo de solución llamado método húngaro. Aunque parezca que el nuevo método es totalmente ajeno al modelo de transporte, en realidad el algoritmo tiene su raíz en el método simplex, igual que el modelo de transporte. 1

El método húngaro de asignación opera sobre un principio de reducción de matrices, lo que significa que mediante la resta o la suma de números apropiados de la tabla o matriz de costos se puede reducir el problema a una matriz de costos de oportunidad. Los costos de oportunidad muestran las penalizaciones relativas asociadas con la asignación de cualquier persona o proyecto en contraste con hacer la asignación mejor o de menor costo. Sería deseable hacer asignación

El método húngaro Iremos directamente a explicar la mecánica de este algoritmo con un ejemplo: Ejemplo 1. El taller Mr. Fix it, acaba de recibir tres proyectos de reparación urgentes: 1)una pantalla LED, 2) un tostador, y 3)una laptop. Se cuenta con tres trabajadores con diferentes talentos y habilidades para realizar los trabajos. El propietario estima cuánto costará en salarios asignar a cada uno de los trabajadores a cada uno de los tres proyectos. Los costos difieren porque el propietario cree que cada trabajador diferirá en velocidad y habilidad en estos trabajos. El objetivo del propietario es asignar los tres proyectos a los trabajadores de una manera que produzca el costo total más bajo para el taller. Obsérvese que la asignación de personas a proyectos debe hacerse en una modalidad de uno a uno, esto es, cada proyecto debe ser asignado exclusivamente a sólo un trabajador.

PROYECTO PERSONA Trabajador 1 Trabajador 2 Trabajador 3

Pantalla LED $1,400 $800 $1,200

Tostador $1,000 $1,000 $500

Laptop $1,300 $1,700 $900

Tenemos que seguir los siguientes pasos: Paso 1. En la matriz original de costos, identificar el mínimo de cada renglón y restarlo de todos los elementos del renglón. Paso 2. En la matriz que resulte del paso 1, identificar el mínimo de cada columna, y restarlo de todos los elementos de la columna. Paso 3. Identificar la solución óptima como la asignación factible asociada con los elementos cero de la matriz obtenida en el paso 2. Sean pi y qj los costos mínimos del renglón i y la columna j, como se definieron en los pasos 1 y 2, respectivamente. Vamos al paso 1: 2

Paso 1. Se obtiene el mínimo costo de cada fila. PROYECTO PERSONA Trabajador 1 Trabajador 2 Trabajador 3

Pantalla LED $1,400 $800 $1,200

Tostador $1,000 $1,000 $500

Laptop $1,300 $1,700 $900

Mínimo de fila p1 = 1,000 p2 = 800 p3 = 500

La nueva tabla restando el mínimo valor de los valores de cada fila. PROYECTO PERSONA Trabajador 1 Trabajador 2 Trabajador 3

Pantalla LED $400 $0 $700

Tostador $0 $200 $0

Laptop $300 $900 $400

Paso2. Se obtiene el mínimo costo de cada fila. PROYECTO PERSONA Trabajador 1 Trabajador 2 Trabajador 3 Mínimo de columna

Pantalla LED $400 $0 $700 q1 = 0

Tostador $0 $200 $0 q1 = 0

Laptop $300 $900 $400 q3 = 300

La nueva tabla restando el mínimo valor de los valores de cada fila.

PROYECTO PERSONA Trabajador 1 Trabajador 2 Trabajador 3

Pantalla LED $400 $0 $700

Tostador $0 $200 $0

3

Laptop $0 $600 $100

Paso 3. Identificar los elementos cero. PROYECTO PERSONA Trabajador 1 Trabajador 2 Trabajador 3

Pantalla LED $400 $0 $700

Tostador $0 $200 $0

Laptop $0 $600 $100

Las celdas con elementos cero subrayados son la solución óptima. Eso quiere decir que el trabajador 1 va a reparar la laptop, el trabajador 2 la pantalla LED y el trabajador 3 el tostador. El costo total para el propietario será: $800 + $500 + $1,300 = $2,600. Esta cantidad siempre será igual a:

( p1  p2  p3 )  (q1  q2  q3 )  (1,000  800  500)  (0  0  300)  $2,600 Los pasos para el método húngaro funcionan bien en el ejemplo anterior, porque sucede que los elementos cero en la matriz final producen una asignación factible (en el sentido en que las tareas se asignan en forma única a los trabajadores. En algunos casos, los ceros que se producen en la matriz final no producen una solución factible en forma directa, en este caso se agrega el siguiente paso: Paso 2ª. Si no se puede asegurar una asignación factible (con todos los elementos cero) con los pasos 1 y 2. i)

Trazar la cantidad mínima de líneas horizontales y verticales en la última matriz reducida que cubran todos los elementos cero.

ii) Seleccionar el elemento mínimo no cubierto, restarlo de todo elemento no cubierto y a continuación sumarlo a todo elemento en la intersección de dos líneas. iii) Si no se puede encontrar con una asignación factible entre los elementos cero que resulten, repetir el paso 2ª. En caso contrario, seguir en el paso 3 para determinar la asignación óptima. Citemos el ejemplo anterior, pero ahora con las siguientes cifras. Ejemplo 2.

PROYECTO PERSONA Trabajador 1 Trabajador 2 Trabajador 3

Pantalla LED $1,400 $800 $1,200

Tostador $1,000 $1,000 $500

4

Laptop $1,900 $1,100 $900

Tenemos que seguir los siguientes pasos: Paso 1. En la matriz original de costos, identificar el mínimo de cada renglón y restarlo de todos los elementos del renglón. Paso 2. En la matriz que resulte del paso 1, identificar el mínimo de cada columna, y restarlo de todos los elementos de la columna. Paso 3. Identificar la solución óptima como la asignación factible asociada con los elementos cero de la matriz obtenida en el paso 2. Sean pi y qj los costos mínimos del renglón i y la columna j, como se definieron en los pasos 1 y 2, respectivamente. Vamos al paso 1:

Paso 1. Se obtiene el mínimo costo de cada fila. PROYECTO PERSONA Trabajador 1 Trabajador 2 Trabajador 3

Pantalla LED $1,400 $800 $1,200

Tostador $1,000 $1,000 $500

Laptop $1,900 $1,100 $900

Mínimo de fila p1 = 1,000 p2 = 800 p3 = 500

La nueva tabla restando el mínimo valor de los valores de cada fila. PROYECTO PERSONA Trabajador 1 Trabajador 2 Trabajador 3

Pantalla LED $400 $0 $700

Tostador $0 $200 $0

Laptop $900 $300 $400

Paso2. Se obtiene el mínimo costo de cada fila. PROYECTO PERSONA Trabajador 1 Trabajador 2 Trabajador 3 Mínimo de columna

Pantalla LED $400 $0 $700 q1 = 0

Tostador $0 $200 $0 q1 = 0

5

Laptop $900 $300 $400 q3 = 300

La nueva tabla restando el mínimo valor de los valores de cada fila.

PROYECTO PERSONA Trabajador 1 Trabajador 2 Trabajador 3

Pantalla LED $400 $0 $700

Tostador $0 $200 $0

Laptop $600 $0 $100

Paso 3. Identificar los elementos cero. PROYECTO PERSONA Trabajador 1 Trabajador 2 Trabajador 3

Pantalla LED $400 $0 $700

Tostador $0 $200 $0

Laptop $600 $0 $100

Las celdas con elementos cero subrayados son la solución óptima. Eso quiere decir que el trabajador 1 va a reparar el tostador, el trabajador 2 la pantalla LED, pero el trabajador 3 no tendría trabajo asignado. Entonces recurrimos al paso 2ª. PROYECTO PERSONA Trabajador 1 Trabajador 2 Trabajador 3

Pantalla LED $400 $0 $700

Tostador $0 $200 $0

Laptop $600 $0 $100

La celda de valor mínimo no sombreada es $100. Este elemento se resta de todas las celdas no sombreadas y se suma a las celdas de las intersecciones, para producir la siguiente tabla: PROYECTO PERSONA Trabajador 1 Trabajador 2 Trabajador 3

Pantalla LED $300 $0 $600

Tostador $0 $300 $0

6

Laptop $500 $0 $0

Ahora, la solución óptima se indica con los ceros subrayados. Entonces, el trabajador 1 reparará el tostador, el trabajador 2 la pantalla LED y el trabajador 3 la Laptop. El costo óptimo asociado es:

$800  $1,000  $900  $2,700 Sumando las p y q, y la celda que se restó después de la determinación de las celdas sombreadas:

($1,000  $800  $500)  ($0  $0  $300)  ($100)  $2,700

Ejemplo 2. Un gerente de comercialización la conferencia anual de ventas de la compañía para los gerentes de ventas regionales y su personal. Para ayudar en la organización, contrata a cuatro empleados temporales, donde cada uno manejará una de las siguientes actividades: 1. Procesamiento en PC de presentaciones. 2. Realización de gráficas y demás material electrónico para las presentaciones. 3. Preparación de paquetes de conferencia, incluido copiado y organización de materiales escritos. 4. Manejo de inscripciones a la conferencia adelantadas y en el momento. Ahora necesita decidir a qué persona asignarle qué tarea. Estos empleados difieren en forma considerable en la eficiencia con que pueden realizar cada actividad. En la tabla siguiente se muestra cuántas horas necesitará cada uno para cada tarea: ACTIVIDAD PERSONA Empleado 1 Empleado 2 Empleado 3 Empleado 4

Presentaciones

Gráficas

Paquetes

Inscripciones

35 47 39 32

41 45 56 51

27 32 36 25

40 51 43 46

Salario por hora $140 $120 $130 $150

Se pretende asignar las tres actividades a los empleados de una manera que implique el menor tiempo posible y así obtener el costo total más bajo en cuanto a honorarios. Paso 1. Encontramos los valores más pequeños de cada fila:

7

ACTIVIDAD PERSONA

Presentaciones

Gráficas

Paquetes

Inscripciones

Mínimo de fila

Empleado 1

35

41

27

40

p1  27

Empleado 2

47

45

32

51

p2  32

Empleado 3

39

56

36

43

p3  36

Empleado 4

32

51

25

46

p4  25

Se genera la nueva matriz de costos de oportunidad restando los mínimos valores de cada fila a cada elemento de la fila: ACTIVIDAD PERSONA Empleado 1 Empleado 2 Empleado 3 Empleado 4

Presentaciones 8 15 3 7

Gráficas 14 13 20 26

Paquetes 0 0 0 0

Inscripciones 13 19 7 21

Paso 2. Se obtienen los valores mínimos de cada columna: ACTIVIDAD PERSONA Empleado 1 Empleado 2 Empleado 3 Empleado 4 Mínimo de columna

Presentaciones 8 15 3 7

Gráficas 14 13 20 26

Paquetes 0 0 0 0

Inscripciones 13 19 7 21

3

13

0

7

Ahora, restamos el mínimo de cada columna a cada uno de los elementos de la columna: ACTIVIDAD PERSONA Empleado 1 Empleado 2 Empleado 3 Empleado 4

Presentaciones 5 12 0 4

Gráficas 1 0 7 13 8

Paquetes 0 0 0 0

Inscripciones 6 12 0 14

Como la actividad de inscripciones únicamente lo puede realizar una persona, entonces recurrimos al paso 2ª. Cancelamos las filas y columnas que contengan ceros. ACTIVIDAD PERSONA Empleado 1 Empleado 2 Empleado 3 Empleado 4

Presentaciones 5 12 0 4

Gráficas 1 0 7 13

Paquetes 0 0 0 0

Inscripciones 6 12 0 14

La celda de valor mínimo no sombreada es 1. Este elemento se resta de todas las celdas no sombreadas y se suma a las celdas de las intersecciones, para producir la siguiente tabla: ACTIVIDAD PERSONA Empleado 1 Empleado 2 Empleado 3 Empleado 4

Presentaciones 4 12 0 3

Gráficas 0 0 7 12

Paquetes 0 1 1 0

Inscripciones 5 12 0 13

Paquetes 0 1 1 0

Inscripciones 5 12 0 13

Como no se pudo encontrar una asignación factible, se repite el paso 2ª. ACTIVIDAD PERSONA Empleado 1 Empleado 2 Empleado 3 Empleado 4

Presentaciones 4 12 0 3

Gráficas 0 0 7 12

Restando el menor valor de las celdas no marcadas y sumándosela a las intersecciones, tenemos: ACTIVIDAD PERSONA Empleado 1 Empleado 2 Empleado 3 Empleado 4

Presentaciones 1 9 0 0

Gráficas 0 0 10 12

9

Paquetes 0 1 4 0

Inscripciones 2 9 0 10

Ahora, la solución óptima se indica con los ceros subrayados. Entonces, el empleado 1 hará los paquetes, el empleado 2 las gráficas, el empleado 3 se encargará de las inscripciones y el empleado 4 de las presentaciones en PC. Revisando la matriz original ACTIVIDAD PERSONA

Presentaciones

Gráficas

Paquetes

Inscripciones

35 47 39 32

41 45 56 51

27 32 36 25

40 51 43 46

Empleado 1 Empleado 2 Empleado 3 Empleado 4

el costo óptimo asociado es:

($150 * 32)  ($120 * 45)  ($140 * 27)  ($130 * 43)  $19,570

10

Salario por hora $140 $120 $130 $150