Tema 5 Deflexion en Vigas

TEMA 5: DEFORMACIÓN EN VIGAS 5.1.-CONTENIDOS CURRICULARES. OBJETIVO DIDÁCTICO: CALCULAR LA DEFLEXIÓN Y PENDIENTES EN VIGAS SOMETIDAS A CARGA TRANSVERSAL CONTENIDOS CURRICULARES CONCEPTUALES PROCEDIMIENTALES ACTITUDINALES  Ecuación diferencial  Definición de deflexión y pendientes en vigas de la elástica  Diferenciación entre los métodos para el cálculo de  Cooperación en la  Método de doble deflexiones y pendientes en vigas resolución de ejercicios integración  Definición de curva elástica prácticos en clase.  Método de área de  Elaboración del diagrama de deformación momento  Definición de los métodos: doble integración, área de  Actitud crítica ante las  Método de momento y superposición soluciones encontradas superposición  Cálculo de pendientes y deflexiones en vigas al resolver un  Vigas hiperestáticas  Cálculo de reacciones en vigas hiperestáticas problema (Machado, Raúl 2006)

5.2.- INTRODUCCIÓN. El presente tema tiene como finalidad el estudio el comportamiento de la Deformación en Vigas. Se estudiaran tres métodos para el cálculo de la deflexión y la pendiente de una viga, estos son el método de la doble integración, método del área de momentos y el método de la superposición. Cada uno de ellos ofrece ventajas y desventajas, y la decisión de que método va a ser utilizado depende de la naturaleza del problema. El método de la doble integración es el más general y se puede utilizar para resolver casi cualquier combinación de cargas y condiciones de apoyo en vigas estáticamente determinadas. Su uso requiere la capacidad de escribir las ecuaciones de los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante y de derivar las ecuaciones de la pendiente y la deflexión de una viga por medio del cálculo integral. El método de la doble integración produce ecuaciones para la pendiente y la deflexión en toda la viga y permite la determinación directa del punto de máxima deflexión. El método del área de momento es bastante rápido y simple, pero en general se usa para calcular las deflexiones de solo o unos cuantos puntos de la viga. Su uso requiere un elevado nivel de comprensión del principio de momentos y de las técnicas de preparar diagramas de momento flexionante. El método de superposición, consiste en determinar por separado la pendiente y deflexión causadas por diferentes cargas aplicadas a la viga, y luego sumarlas usa formulas estándar para la viga. Este método es fácil de usar si se usan un conjunto de formulas que están tabuladas en todos los libros de resistencia de materiales, que muestra las pendiente y las deflexiones de las vigas para diversas cargas y tipos de apoyo. También en este tema se estudian las vigas estáticamente indeterminadas, es decir apoyadas de tal manera que las reacciones en los apoyos introducen cuatro o más incógnitas. Como solo hay tres ecuaciones de equilibrio, estas deben completarse con ecuaciones deducidas de las condiciones límite impuestas por los apoyos.

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5.3.-DEFLEXION EN VIGAS. En el diseño de los elementos de máquina, frecuentemente se requiere la determinación de la deflexión, ya sea la deflexión máxima o la deflexión en un punto en particular. Hay dos razones importantes por las cuales puede ser necesario un conocimiento de la deflexión de una viga. La primera es simplemente para poder predecir, la deflexión de una viga bajo carga. En elementos de maquinas, las especificaciones y otros requisitos limitan, a menudo, la deflexión que puede tolerarse. Por ejemplo, si los componentes de una maquina experimentan deflexiones excesivas o diferenciales, los engranes pueden volverse inoperantes o pueden desalinearse los componentes. Si se pueden predecir las deflexiones para las cuales las partes sometidas a flexión, pueden especificarse tolerancias adecuadas en el diseño de elementos de máquinas. Una segunda, y posiblemente aún más significativa razón para calcular las deflexiones, es que para la solución de vigas estáticamente indeterminadas se necesita la deflexión de la viga y sus características giratorias. ELÁSTICA DE UNA VIGA: es la forma que toma el eje neutro cuando se carga la viga. Una línea que muestre la forma flexionada de una viga sometida a carga es la elástica de la viga. PENDIENTE DE UNA VIGA: se define como la pendiente de la tangente a la elástica en un punto cualquiera. DEFLEXION DE UNA VIGA: es el movimiento (desviación) de un punto situado sobre la elástica, con respecto a su posición original sin carga. DIAGRAMAS DE UNA VIGA.

Figura 5-1. Cinco diagramas de una viga Fuente: Resistencia de Materiales Aplicada. Robert Mott. U.N.E.F.M. / Ing. Yocias Ulacio & Ing. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales

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Hay muchos métodos diferentes para calcular las deflexiones en las vigas. Este tema presenta tres de los más comunes:    

El método de la doble integración para hallar la ecuación de la curva elástica de la viga. El método del área de momentos. El método de superposición usando las formulas estándar para vigas.

5.4.- MÉTODO DE LA DOBLE INTEGRACIÓN. La vista lateral de la superficie neutra de una viga deformada se llama curva elástica, o simplemente, elástica de la viga. Es la curva que forma el eje longitudinal, inicialmente recto. Se muestra sumamente exagerada en la figura 5-2. En esta sección se deduce la ecuación de dicha curva y cómo calcular el desplazamiento vertical o deflexión y de cualquier punto en función de su abscisa x. Tenemos el extremo izquierdo como origen del eje X, dirigido según la dirección inicial de la viga sin deformar y el eje Y positivo hacia arriba. Se supone siempre que las deformaciones son tan pequeñas que no hay diferencia apreciable entre la longitud inicial de la viga y la proyección de su longitud deformada. En consecuencia la curva elástica es muy llana y su pendiente en cualquier punto también es muy pequeña. El valor de esta pendiente, tan θ = dy/dx, puede hacerse sin error apreciable, igual a θ. Por consiguiente:

Considerando la variación de θ en una longitud diferencial ds, producida por la deflexión de la viga, es evidente que: Siendo ρ el radio de curvatura en la longitud de arco ds. Como la curva elástica es casi recta, ds es prácticamente igual a dx. En estas condiciones, de las ecuaciones (5-2) y (5-3) se obtiene:

Al deducir la formula de la deflexión en el tema anterior se obtuvo la relación :

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Figura 5-2. Vista lateral de la superficie neutra de una viga. Fuente: Resistencia de Materiales. Singer &Pytel

Po lo tanto, igualando los valores 1/ρ de las ecuaciones (d) y (5-5) resulta:

Esta es la ecuación diferencial de la elástica de una viga. El producto EI, que se llama rigidez a la flexión, es normalmente constante a lo largo de la viga. Las aproximaciones hechas, el ángulo por la tangente y dx por ds, no tienen influencias apreciables en la exactitud de la ecuación (5-6) y sustituyendo 1/ρ por su valor exacto, junto con la ecuación (5-5), se tendría:

Teniendo en cuenta que dy/dx es muy pequeño, su cuadrado es despreciable frente a la unidad por lo que se puede escribir: La cual coincide con la ecuación (5-6). Integrando la ecuación (5-6), suponiendo EI constante, resulta:

Que es la ecuación de la pendiente y que permite determinar el valor de la misma o dy/dx en cualquier punto. Conviene observar que en esta ecuación M no es un valor del momento sino la ecuación del momento flexionante en función de x, y C1 es una constante a determinar por las condiciones de apoyo. Integrando nuevamente la ecuación (5-7):

Que es la ecuación de la elástica de la viga y que permite calcular el valor de la ordenada y en cualquier valor de x. C2 es otra constante de integración a determinar también por las condiciones de sujeción de la viga.

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Si las condiciones de carga varían a lo largo de la viga, la ecuación de momentos también tendrá la variación correspondiente. Esto requería una ecuación de momento entre cada dos puntos sucesivos de discontinuidad de cargas (cargas aisladas, comienzo o terminación, o cambio de forma en las cargas repartidas), lo que daría lugar a dos integraciones para cada tramos, por consiguiente dos contantes para cada tramo también. La determinación de estas constantes se hace muy laboriosa y se está expuesto a errores. Afortunadamente estas complicaciones pueden evitarse escribiendo una única ecuación de momentos válida para toda la viga, pese a las discontinuidades de carga.

EJERCICIO ILUSTRATIVO 5.1. El presente ejercicio ilustra, de una manera didáctica, la deducción de la ecuación de momento para toda la viga, la cual se sustituirá en la ecuación diferencial de la elástica de una viga. La deducción de esta ecuación se realizará mediante la resolución del siguiente ejercicio: Se tiene la siguiente viga cargada

Figura 5-3. Viga con cargas externas Fuente: Resistencia de Materiales. Singer & Pytel

Aplicando la definición M = (∑M)izq, se deduce que la ecuaciones de los momentos entre cada dos puntos de discontinuidad de carga son:

Obsérvese que la ecuación para el tramo CD también es válida en los otros dos, AB y CD, si los términos (x-2) y (x-3)2 no se tienen en cuenta para valores de x menores que 2 y 3, respectivamente. En otras palabras, los términos (x-2) y (x-3)2 no tienen existencia para valores de x que hagan negativo al paréntesis. Como indicación de este convencionalismo vamos a adoptar la notación con paréntesis angulares < > para que estos términos, en vez de los paréntesis normales. Con este cambio de notación se obtiene la única ecuación de momentos siguiente:

Válida para toda la viga.

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EJERCICIO ILUSTRATIVO 5.2. Se tiene la siguiente viga:

Figura 5-4. Procedimiento para establecer la continuidad de las cargas. Fuente: Resistencia de Materiales. Singer & Pytel

En la cual la carga distribuida se extiende solamente en el segmento BC. Se puede crear, sin embargo, una continuidad suponiendo que la carga distribuida se extiende desde B hasta E y añadiendo una carga igual y opuesta, que la anule a partir de C, como se indica en la figura 5-4b. la ecuación general de momentos, escrita para el tramo DE y según la notación anterior es:

En donde los términos entre paréntesis angulares no tienen existencia para valores de x que hagan negativos a los paréntesis, no a su exponente. Obsérvese como todas las cargas quedan automáticamente incluidas en la ecuación de momentos al escribir ésta para el último tramo de la derecha de la viga.

EJERCICIO ILUSTRATIVO 5.3. Una carga concentrada de 300 N está apoyada como se indica en la figura 6-5. Determinar las ecuaciones de la elástica y la máxima deflexión en la viga.

Figura 5-5. Diagrama de cuerpo libre de la viga. Fuente: Resistencia de Materiales. Singer & Pytel

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Solución: Escribiendo la ecuación general de momentos para el último tramo BC de la viga, aplicando la ecuación diferencial de la elástica e integrando dos veces, se obtienen las siguientes expresiones para la pendiente y ordenadas: (a) (b) (c) Para determinar las dos contantes de integración, que son físicamente iguales a la pendiente y a la ordenada en el origen, se aplican las condiciones de frontera siguiente: 1. En A, para x = 0, la ordenada y = 0. Sustituyendo estos valores en la ecuación (c) se obtienen C2 = 0. Recordemos que no existe para valores de x menores que 2, que harían negativo el paréntesis. 2. En el otro apoyo, para x = 3, la ordenada también es nula. Conocido C2 = 0 y sustituyendo en la expresión (c), se obtiene:

Determinadas las constantes de integración y sustituidos los valores en (b) y (c), se pueden escribir las expresiones de la pendiente y de la ordenada de la elástica en su forma convencional. Tramo AB (0 ≤ x ≤ 2) (d) (e) Tramo BC (2 ≤ x ≤ 3) (f) (g) Calculemos ahora la máxima deflexión para lo cual se supone que se encuentra en el tramo AB. Su posición se puede determinar derivando la ecuación (e) respecto de x e igualando a cero esta derivada, o bien, igualando a cero la expresión (d) de la pendiente, es decir, hallando el punto de pendiente nula. Por tanto,

Puesto que este valor de x pertenece al tramo AB se confirma la hipótesis de que la máxima deflexión ocurre en este tramo. Ahora para obtener su valor, se sustituye x = 1.63 en la ecuación (e), lo que da:

El valor negativo indica que la ordenada y está por debajo del eje X. Con frecuencia solo interesa el valor de la deflexión, sin indicación de signo y entonces se representa por δ, reservando la y para las ordenadas. El producto EIy se expresa en N.m3, ya que proviene de la doble integración de la ecuación (5-6), en la que U.N.E.F.M. / Ing. Yocias Ulacio & Ing. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales

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M se expresa en N.m. La primera integración da N.m2, como unidades de EIθ correspondiente a la pendiente, y la segunda integración da N.m3. Expresando E en N/m2 e I en m4, se obtiene y en m. Por ejemplo, si E = 10 x 109 N/m2 e I = 1.5 x 106 mm4 = 1.5 x 10-6 m4, el valor de y es: En donde:

EJERCICIO ILUSTRATIVO 5.4. Hallar el valor de EIy en el punto medio entre apoyos y en el extremo volado de la viga de la figura 5-6.

Figura 5-6. Diagrama de cuerpo libre de la viga. Fuente: Resistencia de Materiales. Singer & Pytel

Solución: Es la misma viga de la figura 5-5 para la que ya se había escrito la ecuación general de momentos ecuación (h) de la sección 5-4. Aplicando la ecuación diferencial de la elástica e integrando dos veces resulta:

Para determinar C2 observemos que para x = 0, y = 0, lo que da C2 = 0. No se tiene en cuenta los términos entre paréntesis angulares sino negativos. Aplicando la otra condición de apoyo, para x = 6, y = 0,resulta:

Análogamente, en la ecuación del tramo DE en la que se tienen en cuenta todos los términos, se hace x = 8, con lo que el valor de la ordenada en el extremo es

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5.5.- METODO DEL ÁREA DE MOMENTOS. En este método interviene el área del diagrama de momentos y el momento de dicha área. Se comienza, en primer lugar, por los dos teoremas básicos de este método, luego, una vez calculadas las áreas y los momentos de estas áreas del diagrama de momentos, se aplica el método a varios tipos de problemas. El método está especialmente indicado en la determinación de la pendiente o de la deflexión en puntos determinados, más que para hallar la ecuación la ecuación general de la elástica, no se pierde el significado físico de lo que se está calculando. A continuación se enuncian los dos teoremas básicos para el método del área de momentos: Teorema I: “La desviación angular, o ángulo entre las tangentes trazadas a la elástica en dos puntos cualquiera A y B, es igual al producto de 1/EI por el área del diagrama de momentos flexionantes entre estos dos puntos”. Matemáticamente se puede expresar así:

Teorema II: “La desviación tangencial de un punto B con respecto a la tangente trazada a la elástica en otro punto cualquiera A, en dirección perpendicular a la inicial de la viga, es igual al producto de 1/EI por el momento con respecto a B del área de la porción del diagrama de momentos entre los puntos A y B”. Matemáticamente se expresa así:

Figura 5-7. Ilustración de los dos teoremas del método del área de momentos. Fuente: Resistencia de Materiales Aplicada. Robert Mott.

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EJERCICIO IUSTRATIVO 5.5. Determine la pendiente y deflexión en el extremo B de la viga prismática volada AB cuando está cargada como se indica (figura 5-8) si se sabe que la rigidez de flexión de la viga es EI = 10 MN. m2.

Figura 5-8. Viga prismática en voladizo Fuente: Mecánica de Materiales. Beer Johnoston.

Solución: Primero se dibuja el diagrama de cuerpo libre de la viga (figura 5-9a) al sumar las componentes verticales y los momentos respecto a A, se encuentra que la reacción en el extremo fijo A consta de una componente d fuerza vertical RA de 50 kN y un par MA de 60 kN .m en sentido contrario de la agujas del reloj. En seguida, se dibuja el diagrama de momento flector (figura 5-8b) y se determina a partir de triángulos semejantes, la distancia xD del extremo A al punto D de la viga, donde M = 0.

Figura 5-9. Diagrama de cuerpo libre y diagrama de momento flector de Viga prismática en voladizo Fuente: Mecánica de Materiales. Beer Johnoston.

Dividiendo la rigidez a flexión EI se obtienen los valores obtenidos para M, se dibuja el diagrama (M/EI) (figura 5-10) y se calculan las áreas que corresponden, respectivamente, a los segmentos AD y DB, asignándose signo positivo al área localizada arriba del eje x y signo negativo a la ubicada debajo de dicho eje. Usando el primer teorema de momento de área se tiene:

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Figura 5-10. Diagrama de momento flector de Viga prismática en voladizo Fuente: Mecánica de Materiales. Beer Johnoston.

Y como θA = 0

Ahora, con el segundo teorema de momento de área se escribe la desviación tangencial tA/B es igual al primer momento respecto a un eje vertical que asa por B del área total entre A y B. Expresando el momento de cada área parcial como el producto de dicha área con la distancia de su centroide al eje que pasa por B, se tiene:

Como la tangente de referencia es A es horizontal, la deflexión en B es igual a tA/B y se tiene que:

En la figura 5-11 se ha bosquejado la viga una vez deflectada

Figura 5-11. Diagrama de cuerpo libre de Viga prismática en voladizo Fuente: Mecánica de Materiales. Beer Johnoston.

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EJERCICIO ILUSTRATIVO 5.6. Los travesaños prismáticos AD y DB se encuentran soldados entre sí para formar la viga volada ADB. Si se sabe que la rigidez a flexión es EI en el tramo AD de la viga y 2EI en el tramo DB, determine, para la carga que se muestra en a figura, la pendiente y la deflexión en el extremo A.

Figura 5-12. Viga prismática en voladizo Fuente: Mecánica de Materiales. Beer Johnoston.

Solución: Diagrama (M/EI): Primero se dibuja el diagrama de momento flector para la viga y después se obtiene el diagrama (M/EI) dividiendo el valor de M en cada punto de la viga entre el valor correspondiente de rigidez a flexión. Tangente de referencia: Se elige la tangente horizontal en el extremo fijo B como la tangente de referencia. Como θB = 0 y yB = 0, queda:

Figura 5-13.

Pendiente en A: Al dividir el diagrama (M/EI) en las tres pares que se muestran, se tiene:

Al usar el primer teorema de momento de área queda:

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Deflexión en A: Con el segundo teorema de momento de área, se tiene:

EJERCICIO ILUSTRATIVO 5.7. Para la viga prismática y la carga que se muestra en la figura, determine la pendiente y la deflexión en el extremo E.

Figura 5-14.

Solución: Diagrama (M/EI): Del diagrama de cuerpo libre de la viga, se determinan las reacciones y después se dibujan los diagramas de momento cortante y flector. Como la rigidez a flexión de la viga es constante, se divide cada valor de M entre EI y se obtiene el diagrama (M/EI) que se muestra. Tangente referencial: Como la viga y su carga con simétrica respecto al punto medio C, la tangente en C es horizontal y se utiliza como tangente de referencia. Al mirar el boceto se observa que como θC = 0, (1) (2) Pendiente en E: Con referencia al diagrama (M/EI) y usando el primer teorema de momento de área, se tiene que:

Con la ecuación (1) queda:

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Deflexión en E: Al emplear el segundo teorema de momento de área, se tiene que:

Al usar la ecuación (2) queda:

5.6.- METODO DE SUPERPOSICIÓN. Este método determina la pendiente y la deflexión en un punto de una viga por suma de las pendientes o de las deflexiones producidas, en ese mismo punto, por cada una de las cargas cuando estas actúan por separado. La única restricción o condición impuesta para poder aplicar este método es que cada carga aislada no debe producir un cambio apreciable en la forma inicial o en la longitud de la viga, esto es, la actuación de cada carga no debe influir en la forma de actuar de las demás. La aplicación del método de superposición presenta notables ventajas, sobre todo cuando las cargas son una combinación de los tipos que aparecen en la tabla 6.2. Para cargas parcialmente distribuidas, el método requiere integración. En tales casos, es preferible el método de la doble integración. Si de lo que se trata es de calcular la deflexión o la pendiente en un punto determinado, lo mejor es el método del área de momentos.

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EJERCICIO ILUSTRATIVO 5.8. Determine la pendiente y deflexión en D para la viga y carga mostradas (figura 5-15), sabiendo que la rigidez a flexión de la viga es EI = 100 MN.m2.

Figura 5-15.

Solución: La pendiente y la deflexión en cualquier punto de la viga pueden obtenerse superponiendo las pendientes y deflexiones causadas respectivamente por la carga concentrada y por la carga distribuida (figura 5-16)

Figura 5-16.

Como la carga concentrada en la figura 5-16b se aplica a un cuarto del claro, pueden usarse los resultados obtenidos para la viga y carga del ejemplo 9.03 y escribirse:

Por otra parte, recordando la ecuación de la curva elástica obtenida para la carga uniformemente distribuida , la defección en la figura 5-16c se expresa como:

Y diferenciado con respecto a x:

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Haciendo w = 20 kN/m, x = 2 m, y L = 8 m, en las ecuaciones (b) y (a), se tiene:

Combinando las pendientes y deflexiones producidas por las cargas concentradas y distribuidas se obtiene:

EJERCICIO ILUSTRATIVO 5.9. Para la viga y carga mostradas en la figura, determine la pendiente y la deflexión del punto B.

Figura 5-17.

Solución: Principio de Superposición: La carga puede obtenerse superponiendo las cargas mostradas en la siguiente “película de ecuación de carga”. La viga AB es, naturalmente la misma en cada parte de la figura.

Figura 5-18.

Para cada una de las cargas I y II, la pendiente y la deflexión en B se determinan usando la tabla de deflexiones y pendientes de viga.

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Carga I

Carga II

En la porción CB el momento flector para la carga II es cero, y por tanto, la curva elástica es una línea recta.

Pendiente en el Punto B

Deflexión en el Punto B

5.7.- VIGAS HIPERESTÁTICAS. Todas las vigas que se han estudiado anteriormente han sido estáticamente determinadas. Es decir, todas las reacciones de la viga pueden determinarse mediante las leyes de la estática solamente. Para vigas estáticamente indeterminadas (hiperestáticas), cuando se van a determinar las reacciones en los apoyos deben emplearse las ecuaciones de equilibrio estático, y también debe procederse con el cálculo de la pendiente y la deformación en algunos puntos de la viga.

EJERCICIO ILUSTRATIVO 5.10. Determine las reacciones en los apoyos para la viga prismática de la figura 5-19a.

Figura 5-19. U.N.E.F.M. / Ing. Yocias Ulacio & Ing. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales

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Ecuaciones de equilibrio: del diagrama de cuerpo libre de la figura 5-19b, se tiene:

(a)

Ecuación de la curva elástica: dibujando el diagrama de cuerpo libre de una porción de viga AC (figura 926), se escribe:

Figura 5-20.

Resolviendo la ecuación (939) para M y llevando este valor a la ecuación (94):

Integrando en x:

Refiriéndose a las condiciones de frontera de la figura 5-21 se hacen x = 0, θ = 0 en la ecuación (d) y se concluye que C1 = C2 = 0. Así, la ecuación (d) puede formularse de la siguiente manera:

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Figura 5-21.

Pero la tercera condición de frontera requiere que y = 0 para x = L. Llevando estos valores a la ecuación (e)

Resolviendo estas ecuaciones simultáneamente con las tres ecuaciones de equilibrio (a) , se obtienen las reacciones en los apoyos:

EJERCICIO ILUSTRATIVO 5.11. La viga parcialmente en voladizo de acero ABC soporta una carga concentrada P en el extremo C. Para la porción AB de la viga: a) Obtenga la ecuación de la curva elástica, b) Determine la deflexión máxima, c) calcule ymax para los siguientes datos: W 14 X 68 P = 50 kips

I = 723 in4 L = 15 ft = 180 in

E = 29 x 106 psi a = 4 ft = 48 in.

Figura 5-22.

Solución: Diagramas de Cuerpo Libre: Reacciones RA = Pa/L ↓ RB = P(1+a/L)↑. Usando el diagrama de cuerpo libre de la porción AD de longitud x, se tiene: U.N.E.F.M. / Ing. Yocias Ulacio & Ing. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales

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Ecuación diferencial de la curva elástica: Se utiliza la ecuación 9.4 y se escribe:

Notando que la rigidez a flexión EI es contante, se integra dos veces:

Determinación de constantes: Para las condiciones de fronteras mostrada, se tiene: [x = 0, y = 0]: De la ecuación (b), se encuentra C2 = 0 [x = L, y = 0]: Usando nuevamente la ecuación (b), se escribe

a)Ecuación de la curva elástica: Sustituyendo C1 y C2 en las ecuaciones (a) y (b):

b) Deflexión máxima en la porción AB: La deflexión máxima ymax ocurre en E, donde la pendiente de la curva elástica es cero. Haciendo dy/dx = 0 en la ecuación (c), se determina la abscisa xm del punto E:

Sustituyendo xm/L = 0.577L, en la ecuación (d) se tiene:

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c)Evaluación de ymáx: Para los datos dados, el valor de ymáx es:

EJERCICIO ILUSTRATIVO 5.12. Para la viga y cargas mostradas, determine: a) La ecuación de la curva elástica, b) La pendiente en el extremos A, c) La deflexión máxima

Figura 5-23.

Solución: Ecuación diferencial de la curva elástica: De la ecuación (9.32),

Igualando la ecuación (1) dos veces:

Condiciones de frontera: [x = 0, M = 0]: [x = L, M = 0]:

De la ecuación (c), se encuentra C2 = 0 Usando nuevamente la ecuación (c), se escribe

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Así

Integrando dos veces la ecuación (4):

Condiciones de Frontera: [x = 0, y = 0]: [x = L, y = 0]:

Usando la ecuación (f), se tiene que C4 = 0 De la ecuación (f), se halla que C3 = 0

a)Ecuación de la curva elástica

b)Pendiente en el extremo A Para x = 0

c)Deflexión máxima Para

EJERCICIO ILUSTRATIVO 5.13. Para la viga uniforme AB, determine: a) La reacción en A, b) Obtenga la ecuación de la curva elástica, c) La pendiente en A (Nótese que la viga es estáticamente indeterminada de primer grado).

Figura 5-23. U.N.E.F.M. / Ing. Yocias Ulacio & Ing. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales

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Solución: Momento flector: Usando el diagrama de cuerpo libre mostrado, se escribe:

Ecuación diferencial de la curva elástica: Se utiliza la ecuación (9.4) y se escribe:

Notando que la rigidez a flexión EI es constante, se integra dos veces y se obtiene:

Condiciones de frontera: En el esquema se muestran las tres condiciones de frontera que deben satisfacerse [x = 0, y = 0]:

C2 = 0

(c)

[x = L, θ = 0]:

(d)

[x = L, y = 0]:

(e)

a)Reacción en A: Multiplicando la ecuación (d) por L, restando miembro a miembro la ecuación (e) de la ecuación obtenida y notando que C2 = 0 se tiene:

Note que la reacción es independiente de E y de I. Sustituyendo en la ecuación (d), se tiene:

b)Ecuación de la curva elástica: Sustituyendo RA, C1 y C2 en la ecuación (b):

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TEMA 5. DEFORMACIÓN EN VIGAS.

c)Pendiente en A: Derivando la ecuación anterior con respecto a x:

Haciendo x = 0, se tiene:

5.8.- AUTOEVALUACION. Instrucciones:  Lea con cuidado y despacio cada pregunta. Si no ha entendido algo, no se apresure en el proceso, consulte la teoría correspondiente.  Esta herramienta para autoevaluación, está diseñada para ayudarle a evaluar sus conocimientos sobre el presente tema, por lo tanto cuando esté considerando las preguntas, contéstelas basándose en los fundamentos teóricos.  No conteste basándose en falsos supuestos teóricos

 Cada tema es progresivo, es decir, irá avanzando y aprovechando lo que aprendió del tema anterior.  Por último, saque sus propias conclusiones de manera reflexiva de lo aprendido y cómo lo podrá aplicar estos conocimientos en el campo laboral.

1.- ¿A que se llama deflexión de una viga? 2.- ¿Que es la pendiente de una viga? 3.- ¿Cual es el procedimiento para determinar la ecuación de la deflexión y de la pendiente de una viga por el método de la doble integración? 4.- ¿Cual es el procedimiento para determinar la deflexión y la pendiente de una viga por el método del área del momento? 5.- ¿Cual es el procedimiento para determinar la deflexión y la pendiente para un punto determinado para una viga cargada? 6.- ¿Cuál es el procedimiento para determinar las reacciones de una viga hiperestática?

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TEMA 5. DEFORMACIÓN EN VIGAS.

5.9.- RESUMEN DE ECUACIONES. ECUACION DIFERENCIAL LINEAL DE SEGUNDO ORDEN:

ECUACIONES DE LA PENDIENTE:

ECUACION DE LA DEFLEXION:

TEOREMA I DEL METODO DEL AREA DE MOMENTO.

TEOREMA II DEL METODO DEL AREA DE MOMENTO.

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TEMA 5. DEFORMACIÓN EN VIGAS.

Donde: Deflexion. Pendiente. Constantes de integración. EI: Rigidez a flexion de la viga. Desviación tangencial de A a B. Angulo entre las tangentes a la curva elástica dibujada en dichos puntos. Centroide del área AB. Area del diagrama M/EI entre A y B.

5.10.-EJERCICIOS PROPUESTOS. 501 a 504.- Para la carga mostrada en las figuras, determine a) La ecuación de la curva elástica en voladizo AB, b) La deflexión del extremo libre, c) La pendiente en el extremo libre.

Figura. P-501

Resp. a)

Figura P-502

, b)

Resp. a)

, c)

Figura. P-503

Resp. a)

, b)

, c)

Figura P-504

,

b)

,

c)

Resp. a)

,

b)

,

c)

505.- Para la viga y carga que se muestran en la figura, determine a) La ecuación de la curva elástica para el tramo AB de la viga, b) La pendiente en A, c) La pendiente en B. U.N.E.F.M. / Ing. Yocias Ulacio & Ing. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales

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TEMA 5. DEFORMACIÓN EN VIGAS.

Figura. P-505

Figura P-506

506.- Para la viga y carga que se muestran en la figura, encuentre a) La ecuación de la curva elástica para el tramo BC de la viga, b) La deflexión en mitad del claro, c) La pendiente en B. Resp. a)

,

b)

,

c)

507.- Para la viga en voladizo y la carga mostrada en la figura, halle a) La ecuación de la curva elástica para el tramo AB de la viga, b) La deflexión en B, c) La pendiente en B.

Figura. P-507 Figura P-506

508.- Para la viga en voladizo con la carga P que se ilustra, determine a) La ecuación de a curva elástica para el tramo AC de la viga, b) La pendiente en el extremo B, c) La deflexión en C.

Figura. P-508 Figura P-506

509 y 510.- Para la viga y carga mostradas, a) Exprese la magnitud y ubicación de la máxima deflexión en términos de ωo, L, E, I, b) Calcule el valor de la deflexión máxima, suponiendo que la viga AB es de acero laminado W18 x 50 y que ωo = 4.5 kips/ft, L = 18 ft y E = 29 x 106 psi.

Figura. P-509

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Figura P-510

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TEMA 5. DEFORMACIÓN EN VIGAS.

,

Resp. a)

b)

,

Resp. a)

b)

511.- a) Determine la localización y magnitud de la deflexión máxima de la viga AB, b) Suponiendo que la viga AB es una W360 x 64, L = 3.5 m y E = 200 GPa, Calcule el valor máximo permisible del momento aplicado Mo si la deflexión máxima no debe exceder de 1 mm.

Figura. P-511 Figura P-510

512.- a) Encuentre la localización y magnitud de la deflexión máxima absoluta en AB entre A y el centro de la viga, b) Suponiendo que la viga AB es una W460 x 113, Mo = 224 kN.m y E = 200 GPa, determine la longitud máxima permisible L de la viga si la deflexión no ha de exceder de 1.2 mm.

Figura. P-512 Figura P-510

,

Resp. a)

b) 6.09 m

513 y 514.- Para la viga y carga mostrada en la figura, determine la deflexión en el Punto C. Considere E = 200 Gpa.

Figura. P-513

Figura P-514

515.- Si se sabe que a viga AE es una S200 x 27.4 de acero laminado y que P = 17.5 kN, L = 2.5 m y E = 200 GPa, determine a) La ecuación de la curva elástica para el tramo BD, b) La deflexión en el centro C de la viga.

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TEMA 5. DEFORMACIÓN EN VIGAS.

Figura. P-515 Figura P-514

,

Resp. a)

b)

516.- Se aplican cargas uniformemente distribuidas a la viga AE, como se muestra en figura, a) Seleccionando el eje x como la línea que une los puntos A y E en los extremos de la viga, determine la ecuación de la curva elástica para el tramo AB de la viga, b) Sabiendo que la viga es una W200 x 35.9 de acero laminado y que L = 3 m, w = 5 kN/m y E = 200 GPa, encuentre la distancia del centro de la viga desde el eje x.

Figura. P-516 Figura P-514

517 y 518.- Halle la reacción en el apoyo deslizante y la deflexión en el punto D, si se sabe que a es igual a L/3.

Figura. P-517

Resp.

,

Figura P-518

Resp.

,

519 y 520.- Determine la reacción en A y dibuje el diagrama de momento flector para la viga y carga que se muestran en las figuras.

Figura. P-519 U.N.E.F.M. / Ing. Yocias Ulacio & Ing. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales

Figura P-520 Página 141

TEMA 5. DEFORMACIÓN EN VIGAS.

521 y 522.- Para la viga y carga mostradas en las figuras, halle a) La ecuación de la curva elástica, b) La pendiente en el extremo A, c) La deflexión en el punto C.

Figura. P-521

Figura P-522

Resp. 521) a)

b)

C)

b)

C)

–

522) a)

523.- Para la viga y carga representadas, halle a) La deflexión en el extremo A, b) El punto de deflexión, c) La pendiente en el extremo D.

Figura. P-523 Figura P-522

524.- Para la viga y carga ilustradas, encuentre a) La ecuación de la curva elástica, b) La deflexión en el punto B, c) La deflexión en el punto C.

Figura. P-524 Figura P-522

Resp. a)

,

b)

,

C)

525 y 526.- Para la viga y carga mostradas en la figuras, determine a) La ecuación de la curva elástica, b) La deflexión en el punto B.

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TEMA 5. DEFORMACIÓN EN VIGAS.

Figura. P-525

Figura P-526

527.- Para la viga y carga representadas en la figura, determine a) La ecuación de la curva elástica, b) La deflexión en punto A, c) La deflexión en el punto C.

Figura. P-527 Figura P-526

Resp. a)

b)

C)

528.- Para la viga y carga ilustradas en la figura, encuentre a) La pendiente en A, b) La deflexión en el punto medio C. Considere E = 29 x 106 psi.

Figura. P-528 Figura P-526

529.- Para la viga y carga que se muestran, halle a) La pendiente en A, b) La deflexión en el punto C. Considere E = 200GPa.

Figura. P-529 Figura P-526

Resp. a)

b)

530.- Para la viga de madera y la carga mostradas en la figura, determine a) La pendiente en el extremo A, b) La deflexión en el punto medio C. Considere E = 1.6 x 106 psi. U.N.E.F.M. / Ing. Yocias Ulacio & Ing. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales

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TEMA 5. DEFORMACIÓN EN VIGAS.

Figura. P-530 Figura P-526

531.- Para la viga y carga que se ilustran en la figura, determine a) La pendiente en el extremo A, b) La deflexión en el punto medio C. Considere E = 200GPa.

Figura. P-531 Figura P-526

Resp. a)

b)

532 y 533.- Para la viga y carga mostradas, determine a) La deflexión del punto medio C, b) La pendiente en el extremo A.

Figura. P-532

Figura P-533

Resp. 532 a)

b)

533 a)

b)

534 y 535.- Para la viga en voladizo y carga ilustradas en las figuras, encuentre la pendiente y deflexión del extremo libre.

Figura. P-534

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Figura P-535

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TEMA 5. DEFORMACIÓN EN VIGAS.

536 y 537.- Para la viga en voladizo y las cargas representadas en las figuras, halle la pendiente y deflexión en el punto C.

Figura. P-536

Figura P-537

Resp. 536 537

538.- Para la viga W360 x 39 y la carga mostradas en las figuras, determine a) La pendiente en el extremo A, b) La deflexión en el punto C. Considere E = 200 GPa.

Figura. P-538 Figura P-535

539 y 540 Para la viga en voladizo uniforme y la carga que se muestra en la figura, determine a) La pendiente en el extremo libre, b) La deflexión en el extremo libre.

Figura. P-539

Figura P-540

Resp. 539 a) 540 a)

b) b)

541.- Para la viga en voladizo uniforme y la carga que se observa en la figura, halle a) La deflexión en el punto A. Considere E = 200 GPa.

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TEMA 5. DEFORMACIÓN EN VIGAS.

Figura. P-541 Figura P-535

Resp. a)

b)

542.- Para la viga en voladizo uniforme y la carga que se ilustra en la figura, encuentre a) La pendiente en el punto A, b) La deflexión en el punto A. Considere E = 29 x 106 psi.

Figura. P-542 Figura P-535

543.- Para la viga en voladizo uniforme y la carga que se muestra en la figura, determine a) La pendiente en el punto C. b) La deflexión en el punto C. Considere E = 29 x 106 psi.

Figura. P-543 Figura P-535

544.- Dos perfiles C6 x 8.2 están soldados por su parte posterior y sostienen la carga que se indica. Si se sabe que E = 29 x 106 psi, halle a) La pendiente en D, b) La deflexión en D.

Figura. P-544 Figura P-535

Resp. a)

b)

545.- Para la viga en voladizo y la carga ilustradas en la figura, encuentre la deflexión y pendiente en el extremo D, causadas por el par Mo. U.N.E.F.M. / Ing. Yocias Ulacio & Ing. Carlos Suarez /Resistencia de Materiales

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TEMA 5. DEFORMACIÓN EN VIGAS.

Figura. P-545 Figura P-535

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