Tema 4 Tangencias PDF

DIBUJO TÉCNICO

BACHILLERATO

TEMA 4. TANGENCIAS

Departamento de Artes Plásticas y Dibujo

TEMA 4. TANGENCIAS. Los OBJETIVOS generales que se pretende logren los alumnos al acabar el tema son: Conocer las propiedades en las que se fundan los trazados de las tangencias, así como resolver y construir adecuadamente los problemas básicos de tangencias, valorando el método de razonamiento y su acabado y presentación. Cuestiones básicas son: saber poner y señalar correctamente los puntos de tangencias y los centros de las circunferencias tangentes, así como realizar correctamente los enlaces y las uniones. CONCEPTOS Y PROCEDIMIENTOS. 1º BACHILLERATO Tangencias Metodología Propiedades Tangencia entre rectas y circunferencias Tangencia entre circunferencias Nociones y aplicación de la potencia y eje radical. Casos especiales y aplicaciones en el dibujo técnico. Enlaces Propiedades Construcción de enlaces.

2º BACHILLERATO s Propiedades de las tangencias. s Enlaces, planteamiento y aplicación. s Trazado de circunferencias sin conocer el radio. s Estudio sistemático de tangencias: circunferencias que pasan o son tangentes a... s Tres puntos. s Dos puntos y una recta. s Dos rectas y un punto. s Tres rectas. s Dos puntos y una circunferencia. s Un punto, una recta y una circunferencia. s Dos rectas y una circunferencia. s Una recta y dos circunferencias. s Un punto y dos circunferencias. s Tres circunferencias.

PROPIEDADES DE LAS TANGENCIAS: figura 1 1. Si dos circunferencias son tangentes entre sí, el punto de tangencia se encuentra en la recta que une los centros. (figura 1) T

Cuando queramos dibujar una circunferencia que sea tangente a otra circunferencia y que además pase por un punto de tangencia de esta última, lo que tenemos que hacer es unir el centro de la circunferencia con el punto de tangencia y prolongar. En esta recta estarán todos los centros de las circunferencias (infinitas) que son tangentes a la primera. figura 2

O1 O2

O1

O2

T CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES

O1O2 = r1-r2

O1O2 = r1+r2

2. Si una recta es tangente a una circunferencia, el radio en el punto de tangencia es perpendicular a la tangente. figura 3

figura 2 T

Cuando queramos hallar una circunferencia que sea tangente a una recta por un punto de tangencia de ésta lo primero que tenemos que hacer es levantar una perpendicular por este punto a la recta. figura 4

O1

Se pueden hacer exteriores o interiores.

Mediatriz PT figura 3

P

figura 5

O1

figura 7

figura 4

r

P

t

90º

t

T

O1

T

T

3. Recordemos que una mediatriz es la recta de todos los puntos que equidistan de otros dos (extremos de un segmento). Por lo tanto el centro de cualquier circunferencia que pase por dos punto está en la mediatriz del segmento que lo forman. figura 5 figura 6 4. El centro de cualquier circunferencia tangente O1 a dos rectas se encuentra en la bisectriz del ángulo que lo forman. figura 6 r

T

Primer paso

figura 7

Mediatriz PT P

t

O1

T

Aplicación de los principios anteriores en un caso de tangencias:

T

- Circunferencia tangente a una circunferencia que pase por un punto T de tangencia de ésta y pon un punto P exterior. figura 7 1. Se aplica la propiedad 1: se une el centro O1 con el punto de tangencia T 2. Se une P con T y se halla la mediatriz de PT. Donde corte la mediatriz con la primera recta estará el centro de la circunferencia buscada. ENLACES: Es la unión de varias curvas tangentes entre sí o bien curvas con rectas, creando un enlace continuo o curva continua.

Segundo paso

Posiciones relativas de dos circunferencias. O2

O1 T

O2

O1

T

r2

O1

r1 r1

r

O3

O1

r2 O2

Posiciones relativas de recta y circunferencia.

t

Exteriores

Secantes

B

r

O1

r

O1

r1

r

O1

t

A

O1

r1

r2 O

r2 O2

T

Tangentes

t

Secantes

Interiores

Interiores

Exteriores Fecha

Nombre alumno

N. lámina

Nombre lámina

Posición relativa rectas y circunferencias.

Curso:

Nota:

TANGENCIAS

TANGENCIAS: Dos o más figuras geométricas son tangentes cuando únicamente tienen UN PUNTO EN COMÚN. Los casos que nosotros vamos a estudiar son entre circunferencias o entre circunferencias y rectas. La construcción de tangencias sirve, básicamente, para diseñar objetos, figuras o planos donde intervengan curvas realizadas con compás.

joyas muebles instrumental

Poleas arquitectura

juguetes encadenados ganchos

grifos

juegos

objetos industriales

Fecha

Nombre alumno

N. lámina

Nombre lámina

Curso:

Nota:

TANGENCIAS

1.- Dibujar 2 circunferencias radio 10 mm. que sean TANGENTES EXTERIORES a la dada y entre ellas.

2.- Dibujar 2 circunferencias radio 10 mm. que sean TANGENTES INTERIORES a la dada y entre ellas.

R = 32 mm O1

R = 23 mm

O1

3.- Dibujar las circunferencias de r = 12 mm., TANGENTES a la dada y que pase por el PUNTO P.

4.- Circunferencias tangentes a otra de r = 18 mm. dada, que pase por un punto P exterior y por un punto de tangencia T.

P O1

P

T

O1 R = 18 mm

El radio de la circunferencia que se busca se sabrá cuando se acabe el ejercicio.

5.- Hallar las circunferencias tangentes COMUNES EXTERIORES de r= 12 mm., a las circunferencias dadas O1 y O2. O1= 10 mm

O2 = 15 mm

O1= 10 mm

O1-O2 = 40 mm

O2

O1

Fecha

Nombre alumno

N. lámina

Nombre lámina

6.- Hallar las circunferencias tangentes COMUNES INTERIORES de r= 35 mm., a las circunferencias dadas O1 y O2. O1-O2 = 30 O2 = 15 mm

O1

O2

Curso:

Nota:

TANGENCIAS ENTRE CIRCUNFERENCIAS

mm

1.- Dibujar 2 circunferencias radio 10 mm. que sean TANGENTES EXTERIORES a la dada y entre ellas.

2.- Dibujar 2 circunferencias radio 10 mm. que sean TANGENTES INTERIORES a la dada y entre ellas.

R = 10 mm O2

O3

R = 10 mm T1

R = 32 mm

T2

T1

O2

O1

R = 23 mm

O1

O3

T2

3.- Dibujar las circunferencias de r = 12 mm., TANGENTES a la dada y que pase por el PUNTO P.

4.- Circunferencias tangentes a otra de r = 18 mm. dada, que pase por un punto P exterior y por un punto de tangencia T.

P O2

O1

T1

P

T

O1

T2 O3

R = 18 mm

El radio de la circunferencia que se busca se sabrá cuando se acabe el ejercicio.

5.- Hallar las circunferencias tangentes COMUNES EXTERIORES de r= 12 mm., a las circunferencias dadas O1 y O2. O1= 10 mm

O2 = 15 mm

6.- Hallar las circunferencias tangentes COMUNES INTERIORES de r= 35 mm., a las circunferencias dadas O1 y O2. O1-O2 = 30 O1= 10 mm

O1-O2 = 40 mm

O2 = 15 mm

O3

O3

O2

O1

O4

Fecha

Nombre alumno

N. lámina

Nombre lámina

O2

O1

O4

Curso:

Nota:

TANGENCIAS ENTRE CIRCUNFERENCIAS

mm

1.-Dibuja la recta r tangente a la circunferencia O1 por el punto dado de tangencia (T).

2.- Dibuja la circunferencia de radio 13 mm. que sea tangente a la recta dada y que pase por el punto T dado.

O1

T

T 3.- Dibuja las rectas tangentes a la circunferencia 01 dada y que pasen por P

O1

P

5.- Hallar las RECTAS tangentes COMUNES EXTERIORES a las dos circunferencias dadas.. O1= 14 mm

4.- Dibuja la circunferencia de radio 15 mm. que sea tangente a las rectas que se cortan dadas.

O2 = 23 mm

6.- Hallar las RECTAS tangentes COMUNES INTERIORES a las dos circunferencias dadas.. O1= 10 mm

O2 = 22 mm

O2 O1

O2 O1

Fecha

Nombre alumno

Curso:

N. lámina

Nombre lámina

Nota:

TANGENCIAS ENTRE RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS

1.-Dibuja la recta r tangente a la circunferencia O1 por el punto dado de tangencia (T).

2.- Dibuja la circunferencia de radio 13 mm. que sea tangente a la recta dada y que pase por el punto T dado.

O1

O1

T

T 3.- Dibuja las rectas tangentes a la circunferencia 01 dada y que pasen por P

4.- Dibuja la circunferencia de radio 15 mm. que sea tangente a las rectas que se cortan dadas.

15 mm

O1 O1

P

15 mm

5.- Hallar las RECTAS tangentes COMUNES EXTERIORES a las dos circunferencias dadas.. O1= 14 mm

O2 = 23 mm

6.- Hallar las RECTAS tangentes COMUNES INTERIORES a las dos circunferencias dadas.. O1= 10 mm

O2 = 22 mm

T1 T1 T4

O2 T4

O1

O2 O1

T3

T3

T2

T2

Fecha

Nombre alumno

Curso:

N. lámina

Nombre lámina

Nota:

TANGENCIAS ENTRE RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS

1.-Dibujar una circunferencia tangente a la recta r y que pase por el punto P. (Circunferencia que pasa por 2 puntos)

2.- Circunferencias tangentes a una recta r dada, que pasan por un punto P y que tiene de radio 20 mm.

P P r

r

T 3.- Hallar las circunferencias tangentes a una recta r y que pasan por dos puntos dados A y B. (aplicación de eje radical)

4.- Dibujar las circunferencias tangentes a dos rectas r y s dado el punto de tangencia T en una de ellas.

r

T B

t

A

r

5.- Dibujar las circunferencias tangentes a O1 por el punto de tangencia dado T y a la recta r.

6.- Representar las circunferencias de radio 20 mm. tangentes comunes a la circunferencia y a la recta dadas.

o T

o r r Fecha

Nombre alumno

N. lámina

Nombre lámina

Curso:

TANGENCIAS III

Nota:

1.-Dibujar una circunferencia tangente a la recta r y que pase por el punto P. (Circunferencia que pasa por 2 puntos)

2.- Circunferencias tangentes a una recta r dada, que pasan por un punto P y que tiene de radio 20 mm.

r= 20

o1

P

o1

o2 h=20

P r

r

T 3.- Hallar las circunferencias tangentes a una recta r y que pasan por dos puntos dados A y B. (aplicación de eje radical)

4.- Dibujar las circunferencias tangentes a dos rectas r y s dado el punto de tangencia T en una de ellas.

T2

o1 r

T

o1

T1

B

T A

r

o2

o2

t

T

5.- Dibujar las circunferencias tangentes a O1 por el punto de tangencia dado T y a la recta r.

6.- Representar las circunferencias de radio 20 mm. tangentes comunes a la circunferencia y a la recta dadas. Habrían dos resultados más al otro extremo de la circunferencia O

o1

o T

o2

o1

o2

o r r

Fecha

Nombre alumno

N. lámina

Nombre lámina

Curso:

TANGENCIAS III

Nota:

1.- Trazar tres circunferencias tangentes entre sí, dados sus respectivos radios.

2.- Trazar tres circunferencias tangentes entre sí, conocidos sus centros respectivos.

r1 r2

o2

r3

o1 o3

3.- Dibujar las circunferencias de igual radio y tangentes interiores a los lados de los ángulos de los vértices del pentágono.

3.- Dibujar las circunferencias de igual radio y tangentes interiores a los lados de los ángulos de los vértices del pentágono.

o3

5.- Dadas las tres rectas r, s y t que se cortan entre sí, trazar una circunferencia tangente común a las tres.

6.- Dibuja la circunferencia que es tangente a la recta r, pasa por el punto P que está en la recta t y además r tiene el centro en t.

t r

P t

s

Fecha

Nombre alumno

N. lámina

Nombre lámina

Curso:

TANGENCIAS IV

Nota:

1.- Trazar tres circunferencias tangentes entre sí, dados sus respectivos radios.

2.- Trazar tres circunferencias tangentes entre sí, conocidos sus centros respectivos.

r1 r2

r2

r3

o2

o2 T

r1

T

r2

r1

r3 T

T

o1

T

o1

r3

T

o3

3.- Dibujar las circunferencias de igual radio y tangentes interiores a los lados de los ángulos de los vértices del pentágono.

o3

3.- Dibujar las circunferencias de igual radio y tangentes interiores a los lados de los ángulos de los vértices del pentágono.

o3 o

o´

o´

5.- Dadas las tres rectas r, s y t que se cortan entre sí, trazar una circunferencia tangente común a las tres.

6.- Dibuja la circunferencia que es tangente a la recta r, pasa por el punto P que está en la recta t y además r tiene el centro en t.

t T r

T o P

T

o

t

s

T

Fecha

Nombre alumno

N. lámina

Nombre lámina

Curso:

TANGENCIAS IV

Nota:

1.- Dibujar la circunferencia tangente a dos circunferencias O1 y O2, dado el punto de tangencia de una de ellas.

T O1

O2

2.- Dadas las rectas r y t y el punto P, dibujar las circunferencias tangentes a las rectas r y t y que pasen por P.

r

P

s

Fecha

Nombre alumno

N. lámina

Nombre lámina

Curso:

TANGENCIAS V

Nota:

1.- Dibujar la circunferencia tangente a dos circunferencias O1 y O2, dado el punto de tangencia de una de ellas.

O5

T O1

T

O4

O6 O3

T O2

2.- Dadas las rectas r y t y el punto P, dibujar las circunferencias tangentes a las rectas r y t y que pasen por P.

r

P O3

O1

O2

T1

T2 P

T3 T4

s

Fecha

Nombre alumno

N. lámina

Nombre lámina

Curso:

TANGENCIAS V

Nota:

1.- Dibuja la circunferencia tangente exterior a O1 y a la recta r por el punto de tangencia T.

1.- Dibuja la circunferencia tangente interior a O1 y a la recta r por el punto de tangencia T.

O1

r

T O1

r

T

1.- Dibuja las circunferencias tangentes a la circunferencia dada O y que pase por los puntos M y N

N

M

O

Fecha

Nombre alumno

N. lámina

Nombre lámina

Curso:

TANGENCIAS VI

Nota:

1.- Dibuja la circunferencia tangente exterior a O1 y a la recta r por el punto de tangencia T.

1.- Dibuja la circunferencia tangente interior a O1 y a la recta r por el punto de tangencia T.

O1 R

T

r

T R

O1 R T R

r

T

1.- Dibuja las circunferencias tangentes a la circunferencia dada O y que pase por los puntos M y N

N

O2

P A

M

O1

Q

O m

K B

Fecha

Nombre alumno

N. lámina

Nombre lámina

Curso:

TANGENCIAS VI

Nota: