Tema 3: Simetría En Sólidos.: red o retículo

&&7

TEMA 3: SIMETRÍA EN SÓLIDOS.  Los sólidos cristalinos están constituidos por un conjunto de átomos distribuidos en el espacio de forma que esta simetría se extiende hasta el infinito.

Encontramos los mismos elementos de simetría que en la simetría puntual, pero con una nueva operación que será la traslación. La traslación ya no deja ningún punto invariante por lo que es una operación de simetría no puntual. A la hora de estudiar la traslación, nos interesa tener en cuenta el concepto de red o retículo.

Cuanto tenemos un cristal, tomamos un punto de reerencia.  Ahora buscamos un punto que tenga un mismo entorno y orientación que el punto de referencia tomado. El conjunto de puntos con igual entorno y orientación que el de referencia constituyen la red. La red será la misma independientemente del punto que tomemos

como reerencia.

La red nos indica el conjunto de puntos equivalentes por traslación.   Esto quiere decir que si nos ponemos en cualquier punto de la red llegamos a cualquier otro  punto de red con un vector !traslación". #i este vector de traslación se aplica al cristal, este queda indistingui$le, es decir, he reali%ado una operación de simetría. Tipos de red. En &'() *ravais se dedico a estudiar como se podían disponer una serie de  puntos en el espacio mono, di y tridimensionalmente. tridimensionalmente. +ara ello se emplean  condiciones Cada punto tiene el mismo entorno de puntos.  /odos están orientados de la misma manera.  en una dimensión. ...

...

#u red será... 

... Celda unidad

 a La red son puntos ormando una línea recta. Lo único que se podría cam$iar en esta red sería el espaciado entre los puntos ! a esto lo llamaremos  parámetro de la red  (a)". /am$i0n se puede deinir esta red por su celda unidad que es la porción que  por reproducción por traslación nos da la red. La celda unidad convencional es la que tiene los puntos de la red en los v0rtices. Cada celda unidad contiene un punto de red. Estas celdas que contienen un solo punto de red se denominan celda primitiva.

→  celda primitiva. 1 punto 2  3 & punto    En este tipo de red, todas las traslaciones posi$les se pueden e2presar comoAmp. 4uímica 5norgánica !& er  parcial"

!)) 6 ))7"

&&> n ∈ 8

/ 3 n.a  en  dimensiones-

 $ 9E:

a

   → + ;na ve% que hemos deinido la red a partir de nuestro cristal, $uscamos cual es la celda primitiva. E2isten varias posi$les celdas. /omando un punto de reerencia deinimos los vectores de traslación que serán los  más cortos posi$les ! a y  $ " cualquier traslación vendrá dada por una com$inación de estos vectores/

3 n&. a  < n.  $

n&, n ∈ 8

+ara deinir nuestra celda unidad usaremos estos vectores de traslación. =uestra celda primitiva es la que está ormada por los > puntos más pró2imos de la red. r ed. #i tenemos tenemos un vector vector cualqu cualquier ieraa a , tam$i0n e2iste un vector ? a   !misma dirección y sentido contrario". +or tanto todas las redes son centrosim0tricas. Además del centro de simetría las redes pueden tener muchos más elementos de simetría. E2isten varios tipos de redes. Comen%aremos por una red lo más sim0trica  posi$le y luego haremos haremos que vaya vaya perdiendo simetría. La red más más sim0trica posi$le es la que tiene  vectores con el mismo módulo y con un ángulo entre vectores de @). B a B 3 B  $ B

α 3 @) eamos que elementos de simetría presenta esta redCuaternarios. +lanos perpendiculares al cuaternario.

;sando los vectores $ase tam$i0n podemos ver los elementos de simetríaa D$

$ Da

Amp. 4uímica 5norgánica !& er  parcial"

!)) 6 ))7"

&&G Ahora disminuiremos la simetría de la red. +ara ello cam$iamos la magnitud de alguno de los vectores $ase. *inarios +lanos ⊥ a los $inarios.

/am$i0n podemos disminuir la simetría de la red cam$iando el ángulo α. #olo conservamos el $inario. !se pierden los planos".

tra posi$ilidad ha$ría sido mantener la magnitud de los vectores y variar sólo el ángulo.

B a B 3 B  $ B

α ≠ @) !≠(),&)" #i los  vectores son iguales, las $isectrices Contienen planos de simetría. Fay un caso especial en el que α 3 () !&)" y B a B 3 B  $ B. En este caso-

Encontramos un eje de orden (. /enemos en total G tipos de vectores $ase en los que en cada uno tenemos que  poseen los mismos elementos de simetría, es decir, tenemos 5 tipos de celdas primitivasB a B 3 B  $ B α 3 @)

B a B ≠ B  $ B α 3 @)

B a B ≠ B  $ B α ≠ @)

B a B 3 B  $ B α 3 ()

B a B 3 B  $ B α ≠ @)

Cuadrada 9ectangular $licua Fe2agonal róm$ica #upongamos que tenemos una red rectangular. #i ponemos un punto adicional en el centro de cada celda, la celda deja de ser primitiva, ya que no tiene un solo punto de la red. Los vectores que ha$íamos deinido ya no son los más cortos posi$les. +odemos elegir vectores más cortos. Estos vectores cumpliránAmp. 4uímica 5norgánica !& er  parcial"

!)) 6 ))7"

&&( B a B 3 B  $ B α ≠ @) 9ealmente es una celda rom$o0drica.

Cada tipo de celda tiene sus ventajas e inconvenientes. La celda rectangular  centrada maniiesta de orma más clara que esta celda tiene la misma simetría que la rectangular. +ero en este tipo de red usando estos vectores $ase que hemos considerado no se puede o$tener todos los puntos de la red. Luego tendremos que centrar. E2presando esta red como róm$ica si se o$tienen todos los puntos usando los vectores $ase. La simetría de una red la podemos ver con la red entera, con la celda unidad o con los vectores $ases.  en tres dimensionesEn cristales tridimensionales o$tendremos redes tridimensionales. Los distintos  puntos de la red los podemos unir con vectores de traslación. Los vectores de traslación se construyen a partir de los 7 vectores $ase !son los más cortos posi$les". +ara ver los distintos tipos de celdas, veremos los posi$les vectores y los ángulos entre ellos-

 Red c!"ica: # a # $ #  $ # $# c # $ $  $ %&' El grupo de simetría de los vectores  $ase y por tanto de la red sería octa0drica. +odemos deinir la celda unidad de este sistema usando los vectores  $ase o$teniendose de esta orma un cu$o.

O( A partir de esta red, disminuyendo la simetría, o$tenemos las demás-

 Red tetra)o*al: # a # $ #  $ #  # c # $ $  $ %&' D+(

Amp. 4uímica 5norgánica !& er  parcial"

!)) 6 ))7"

&&I

 Red ortor,m"ica: # a #  #  $ #  # c # $ $  $ %&'

D-( Ha no podemos hacer nada más jugando solo con las longitudes. Ahora modiicaremos tam$i0n los ángulos.  Red tri)o*al # a # $ #  $ # $ # c # $ $  %&' Conserva el eje C7 de h !es como si aplastásemos el octaedro achatándolo"

D3(  Red (ea)o*al: # a # $ #  $ #  # c # $ $ %&'  $ /-&' 01&'2 D1(  Red mo*ocl*ica: # a # $ #  $ #  # c # $ $ %&'  %&' 0 1&'4/-&'2 -(

 Red tricl*ica.

# a #  #  $ #  # c #  %&' 0 1&'4/-&'2

Amp. 4uímica 5norgánica !& er  parcial"

i

!)) 6 ))7"

&&' +erdemos el plano de simetría y el eje C. #olo conserva el centro de inversión. En resumen#istema cristalino Cú$ico /etragonal rtoróm$ico onoclínico /riclínico Fe2agonal /rigonal

Jrupo puntual característico h :>h :h Ch Ci :(h :7h

ectores unitarios a 3 $ 3 c K α 3 β 3 γ  3 @) a 3 $ ≠ c K α 3 β 3 γ  3 @) a ≠ $ ≠ c K α 3 β 3 γ  3 @) a 3 $ 3 c K α3β3 @), γ≠@) a ≠ $ ≠ c K α ≠ β ≠ γ ≠ @) a 3 $ ≠ c Kα3β3@), γ 3&) a 3 $ 3 c K α 3 β 3 γ ≠ @)

E2isten I posi$les sistemas usando estos vectores $ases. Con estos I sistemas cristalinos se o$tienen las &> redes de *ravais !I primitivas < I centradas"

eamos como se orman las distintas celdas centradas. ;saremos como ejemplo las celdas cú$icas#i tenemos una celda tridimensional en la que colocamos átomos en todos sus v0rtices. #e o$tiene una celda primitiva !+", en este caso particular cú$ica. Amp. 4uímica 5norgánica !& er  parcial"

!)) 6 ))7"

&&@

a a a

+retendemos ormar una nueva red centrando esta red. Al centrar no de$emos surir p0rdida de simetría. #i centramos en el cuerpo de la celda, o$tenemos una celda centrada que conserva la simetría. #e trata de una celda centrada en el cuerpo  !5" Esta celda no es primitiva ya que tiene  puntos. #i queremos o$tener una celda primitiva deinimos unos nuevos vectores $ase B a B 3 B  $ B 3 B c B α 3 β 3 γ  3 &)@ !ángulo del tetraedro" #e o$tiene una celda rom$o0drica !: 7h". Esta red deinida así tendrá un solo  punto de red, es decir será una celda primitiva. #i lo que hacemos es disponer átomos en el centro de las caras en lugar de en el centro de la celda. #i pongo punto en  caras opuestas, disminuye la simetría a un : >h  por lo que no será ya una celda cú$ica. /endremos que poner átomos en el centro de todas las caras de orma que se conserva la simetría h con lo que se o$tiene una celda centrada en las caras  !M"

Esta celda tiene > puntos de red ! &6'' < (1 3 >" por lo que tampoco es una celda  primitiva. +ara deinir la celda primitiva, nos interesa deinir unos vectores $ase lo más corto posi$le. /omamos como vectores, los que van de uno de los v0rtices a los puntos de los centros de las caras !que son los más pró2imos". Estos 7 vectores tienen el mismo módulo. Los 7 vectores entre sí deinen un triángulo equilátero, por lo que el ángulo entre vectores es de (), por lo que corresponde a una celda tipo rom$o0drica. /odas pertenecen a la simetría octa0drica. /odas las redes del mismo sistema tienen el mismo grupo de simetría. 5gualmente tenemos otros posi$les centrados que dan lugar a redes nuevas. Estas quedan resumidas en la imagen mostrada anteriormente. Esta denominación de celdas primitivas y centradas puede llegar a ser conuso a la hora de la aplicación del sistema. /odos los tipos de redes contienen redes primitivas. Amp. 4uímica 5norgánica !& er  parcial"

!)) 6 ))7"

&) #iempre podemos deinir los vectores de orma que o$tengamos una red primitiva. El que tomemos la red centrada es de$ido a que para muchas aplicaciones cristalográicas resulta más útil. En el ortorróm$ico tenemos 7 posi$les tipos de centrados. 5 !centrado en el cuerpo" M !centrado en todas las caras" C !centrado en  caras" En el sistema cú$ico no e2iste el centrado C porque se perdería la simetría cú$ica !pierde ejes C 7" En el tetragonal no tenemos centrados ni tipo M ni tipo 5. #i centramos en  caras  para intentar ormar una celta tipo Ca c

, 6,

c a a

 =o se o$tiene una nueva red, sino que es la misma red, pero con unos vectores más cortos. *ravais se dedico a estudiar todos estos posi$les casos y llegó a la conclusión de que e2isten I celdas primitivas y I centradas. /odas las redes de un determinando sistema conservan la misma simetría. Cuando queremos o$tener un cristal a partir de la red lo que hacemos es colocar  un elemento !átomo o conjunto de átomos" cuya reproducción por las traslaciones de la red nos genera el cristal. A este elemento se le denomina motivo. #i deinimos una celda unidad, el motivo es lo que queda contenido en la celda. Ej/omamos un punto de la red y  $uscamos los puntos equivalentes !con igual entorno y misma orientación" El motivo de nuestro cristal son los > tríangulos contenidos en la celda unidad !>2&6> < 2&6 <  3 >"

Amp. 4uímica 5norgánica !& er  parcial"

!)) 6 ))7"

&&

Cuando e2traemos la red nos queda-

Ahora estudiaremos las relaciones entre la simetría de la red y la del cristal. #upongamos que partimos de una red o$licua.

#i introducimos como motivo en la red un triángulo, perderemos el centro de inversión en el cristal.  #i en lugar de introducir un triángulo introducimos  triángulos dispuestos como en el di$ujo, se conservará el centro de inversión.  El grupo de simetría del cristal será siempre el mismo o un su$grupo del grupo de simetría de la red. #i se conserva toda la simetría se denomina holoedría de la red . A continuación veremos cuales son los posi$les grupos de simetría que posee un cristal que pertenece a una determinada red. Como hemos dicho la simetría del cristal será la misma o menor que la de la red. +artamos como ejemplo de una red con simetría h. → → → → → h   h      /d    /h    /   u n átomo en cada v0rtice   del cu$o !punto de red"

desaparecen los planos

elimina ejes de orden >

=o pierde σh pero si σd

solo quedan   ejes

:>h  

+erdemos los ternarios

En el caso de un sistema tetragonal tenemos que la simetría de la red es : >h. +odemos disminuir la simetría siempre que se conserve como mínimo el cuaternario !C > o #>".

Amp. 4uímica 5norgánica !& er  parcial"

!)) 6 ))7"

&

Esto queda resumido en la siguiente ta$la#istema Cú$ico /etragonal rtorróm$ico /rigonal Fe2agonal

9ed de *ravais Longitud y ángulo de vectores + 5 M a3$3c α3β3γ  + 5 a3$3c α 3 β 3 γ  + 5 C M a ≠ $ ≠ c α 3 β 3 γ  3 @) + 9 a3$3c α 3 β 3 γ  + a 3 $ ≠ c α3β3@), γ 3 &)

onoclínico

+ C

/riclínico

+

a 3 $ ≠ c α3γ 3@)≠β O @) a ≠ $ ≠ c α ≠ β ≠ γ ≠ @)

#imetría !mínima" característica > ternarios dispuestos a &)@N>I & cuaternario propio o impropio 7 $inarios equivalentes a @) & ternario normal o de inversión & senario propio o impropio

Jrupos puntuales Enantiomoros

=o enantiomoros.

7, >7

m7, > 7m, m7m

>, > 

> , >6m, >6mmm.

mm, mmm

7, 7

7 , m, 7 m

(, (

(,

& $inario normal o  impropio  =inguno &

(6m, (6mmm,

(mm, ( m , 6m

&

En estado sólido se suele tra$ajar con la nomenclatura de FermannDauguin. eamos las equivalencias entre una y otra nomenclatura-

Eleme*tos

Notaci,* 6erma**7Ma8)8i* (Cristalografía)

;la*os de relei,* E #> #>

#>

#>

#> +osición inicial.

>

+osición inicial. Amp. 4uímica 5norgánica !& er  parcial"

!)) 6 ))7"

&7 El resultado inal tras reali%ar el conjunto total de las operaciones hasta volver a la posición inicial es el mismo para las dos operaciones, por lo que # > es id0ntico a > . Esta equivalencia no se cumple siempre. eamos para conirmar esto otro ejemplo distintos. Ej- #7 y

7

≠ #7

≡ #(

7

En nomenclatura de FermannDauguin se cumple la siguiente nomenclatura-

i3

σ 3

&

,

En nomenclatura de #chPnlies distinguimos entre planos perpendiculares al eje !σh" y paralelos a al eje ! σv o σd". En FermannDauguin cuando el plano es perpendicular a un eje n se indica- n6m. #i es paralelo a ese eje se indica como- m

Nome*clat8ra de )r8pos.   Sistemas tetra)o*al4 tri)o*al = (ea)o*al: en estos sistemas tendremos siempre un eje de orden superior. Este eje principal deinirá la dirección %. A continuación se indica lo que tenemos en las direcciones 2 e y. :>h

>6m 6m 6m

↑ ↑

↑

%

y32

2

a$reviado

>6m m m

Los $inarios quedan implícitos ya que cuando hay   planos perpendiculares en la intersección e2iste un $inario,  por lo que no tendremos que indicarlo en el sím$olo al quedar implícito.  Sistema ortorr,m"ico: tiene simetría :h. =os planteamos como pregunta Qcuál es el eje principalR /enemos 7 ejes del mismo orden y no tenemos cual es el  prioritario. La nomenclatura indica lo que hay en cada eje en orden- 2, y, %.

EjAmp. 4uímica 5norgánica !& er  parcial"

!)) 6 ))7"

&> 6m 6m 6m

↑ ↑

↑

2

%

y

a$reviado

mmm

 Sistema mo*ocl*ico:  solo tenemos un eje $inario y por convenio corresponde con SyT. Ej6m

↑ y  Sistema c!"ico: El eje principal es un C>. Las direcciones 2, y, % pasan por el centro de las caras. Los > ejes C 7 hacen que los elementos en la dirección uno de los ejes est0 tam$i0n presente en los otros . El sím$olo nos dará inormación deEj- h >6m

↑ 2,y,%

7 !o

7

↑

" 6m

a$reviado

m 7 m

↑

23y3% 23y, 23%, y3% diagonales

!diagonales de los planos"

Con esto ya tenemos toda la inormación necesaria para conocer la simetría de cada tipo de cristal. Antes de tener la simetría tendremos que indicar como son los vectores unitarios del cristal, es decir tengo que decir que tipo de red se trata !+, C, 5, M". Ej- +m7m Los enantiomoros no tienen ni planos de simetría ni centros de inversión. #i tenemos, por ejemplo, un sistema ortorróm$ico de simetría mmm !: h", al introducir un motivo en la red podemos conservar la simetría !holedría" u o$tener un su$grupo. #i hacemos un centrado tipo C !centrado en  caras" o$tendremos una celda como la siguiente. 9eali%ando todos los posi$les tipos de centrados en todos los tipos de red cristalográica tridimensional, hay algunas que son equivalentes y otras nuevas. En total de esta orma se llegan a o$tener I7 tipos de celdas. En total e2isten 7) celdas tridimensionales. +ara terminar de deinir las que nos altan tendremos que reali%ar operaciones mi!tas !com$inación de una operación de simetría puntual con una traslación". Antes de ver las operaciones mi2tas, reali%aremos algunos ejercicios de reconocimiento de red.

Amp. 4uímica 5norgánica !& er  parcial"

!)) 6 ))7"

&G Ej- =aCl

 eamos cuantas veces se encuentra la órmula unidad en cada celda del cristal =a

(&6 < '&6' 3 > > unidades órmula S=aClT

Cl

83>

&

& 6> < & 3 >

 El tipo de red de *ravais#e ve claramente que se trata de una red cú$ica, por lo que puede ser tipo M, 5 ó +. :einiremos la red a partir del cristal. +ara ello, ponemos los puntos de la red so$re los =a, es decir, tomamos un =a como reerencia y $uscamos todos los puntos con igual entorno y la misma orientación. :e esta orma llegamos a que se trata de una red tipo M. +ara ver los vectores primitivos, tomamos un punto y tra%amos los vectores hasta los  puntos más pró2imos. La simetría de la red será m 7 m. +ara ver la simetría del cristal compro$amos si tiene todos los elementos. Fay cuaternarios en el centro de las caras, ternarios en los v0rtices. Con esto tenemos  opciones. El h tiene planos y el  es rotacional. h  m7m >7 Al ser planos se trata del h !m 7 m". +or tanto el grupo puntual cristalográico será el m 7 m y el grupo espacial de

simetría será el Mm 7 m. El motivo de traslación es el que genera el cristal completo cuando lo colocamos en un punto de red solo usando traslaciones. En nuestro caso el motivo de traslación es una unidad órmula !=aCl", por lo que en cada punto de red irá un =aCl. eamos como trasladamos la unidad órmula. +ara empe%ar asignamos las coordenadas de los átomos que orman los motivos de traslación.  =a !), ), )" otivo traslación Cl !1, ), )" Aplicando las traslaciones a estos  núcleos que constituyen el motivo de traslación, se o$tienen las posiciones de todos los núcleos en el cristal.

Amp. 4uímica 5norgánica !& er  parcial"

!)) 6 ))7"

&( Ej- CsCl

Es una celda sencilla de tipo cú$ica en la que podemos situar un tipo de ión en cada uno de los v0rtices y el otro tipo de ión en el centro del Cu$o. #e trata, por tanto, de una red cú$ica primitiva porque contiene un solo punto de red por celda !'2 &6' 3 &". +ara ver el J+C del cristal vemos los elementos de simetría. Fay cuaternarios, tam$i0n hay planos perpendiculares al cuaternario y ejes ternarios en los v0rtices. +osee la holoedría del cristal y es por tanto +m 7 m. Como se trata de una celda tipo +, es decir, tenemos un solo punto de red en cada celda, tendremos solo una unidad órmula en cada celda. +or tanto, viendo lo que tenemos en cada celda'2&6' 3 &Cl → &ClCs     8 3 & & 2 & 3 &Cs /endremos pues que nuestro motivo de traslación esCs !1,1,1" Cl !), ), )"

Ele*da de ?i*c 0esalerita2 S?*

#e trata de una red cú$ica. #i colocamos un punto de red so$re un #, llegamos a una estructura cú$ica centrada en las caras M. /odos los puntos que hemos tomado para ormar esta red tienen igual entorno y orientación. La celda cristalográica es cú$ica centrada en todas las caras !M" y posee >  puntos de red. #i deinimos la celda + tendrá un solo punto de red y pertenecería al sistema rom$o0drico !ángulos de () e igual módulo".

Amp. 4uímica 5norgánica !& er  parcial"

!)) 6 ))7"

&I

 =uestra celda M conserva los > ejes ternarios característicos del sistema cú$ico. Cuando $uscamos el cuaternario por el centro de las caras no aparece, pero si nos ijamos, si e2isten ejes impropios de orden > ! > ". Con esto ha disminuido la simetría de nuestro J+C podrán ser/d > 7m

/ 7

!no e2isten cristales / " h

/h m7

*uscamos ahora los planos. emos que si están presentes, por lo que llegamos a que el J+C es el > 7m y JE# M > 7m.

eamos cuantas unidades órmula tiene la celda cristalográica. ( 2 1 < ' 2 &6' 3 > >#8n >2&3> La celda cristalográica tiene > puntos de red y > unidades órmula. +or tanto, la celda primitiva contendrá un punto de red y una unidad órmula. eamos el motivo de traslación. 8n!), ), )" # !&6>, &6>, &6>"

se eligen los puntos para tener los vectores lo más cortos posi$le.

Operacio*es mitas. Fasta el momento hemos o$tenido I7 JE# usando solo operaciones de traslación y puntuales. E2isten 7) JE# y para o$tener los que nos altan tendremos que usar operaciones mi2tas. Las operaciones mi2tas consisten en la reali%ación simultanea de una operación de simetría puntual y una traslación. Ej- & !1"

!)"

En general, este tipo de ejes con traslación se e2presan comoJirar

,π n

nm /rasladar

Amp. 4uímica 5norgánica !& er  parcial"

m

/ 

/raslación.

n

!)) 6 ))7"

&' #i reali%amos  veces la operación  & se o$tiene una operación que ya tenemos que es la traslación&.& 3 /

eamos cuales son los posi$les S giros de tornillo".

emos que los giros con traslación se reali%an en sentido contrario a las agujas del reloj, aunque el resultado aparente !ej- 7 " pueda ser el de girar en sentido horario y trasladar !solo &67 en este ejemplo". eamos un ejemplo so$re o$jetos-

En la planta, si tomamos los nudos en cada  pares de hojas como untos de nuestra red tendremos que e2iste un giro de @) y traslada 1, es decir, tenemos un eje de rotación con traslación de >. +ara la escalera si tomamos como puntos la esquina de cada escalón vemos que se generan todos los demás girando () y trasladando &6(. +or tanto tenemos en eje ( &. Amp. 4uímica 5norgánica !& er  parcial"

!)) 6 ))7"

&@ +odemos deinir la estructura de un sólido usando para ello un modelo de eseras compactas. A nivel $idimensional, la orma más compacta de empaquetar los átomos es cada átomo rodeado por otros ( átomos !A". +ara poner la siguiente capa, los átomos se van colocando en los huecos que quedan entre 7 átomos de la capa de a$ajo, por lo que esta capa queda despla%ada respecto a la anterior !*". La siguiente capa quedará igual que la primera !A". Este es un empaquetamiento he2agonal compacto !hcp"- A*A*A...

/am$i0n podemos encontrar otro tipo de distri$ución que será de la orma A*CA*C... . En este caso se trata de una estructura cú$ica compacta !cc". Estas  estructuras son las que suelen tomar los metales. En el hueco entre 7 y 7 eseras !7 arri$a y 7 a$ajo" se coloca otra esera. El eje que e2plica el movimiento e una capa a la otra es un eje ( 7 !gira () y traslada 1"

E !$ 3 c"6> !a 3 $ 3 c"6>

#ím$olo a $ c n

d

 +lanos a2iales !a, $, c"- #e dá una rele2ión y luego el desli%amiente paralelo al eje indicado por la letra !a → 2, $ → y, c → %" Amp. 4uímica 5norgánica !& er  parcial"

!)) 6 ))7"

&7&  +lanos diagonales !n"- releja y desli%a en la diagonal de  ejes- !a 3 ' átomos

+or tanto, el motivo de traslación serán  átomos de C. C- !), ), )" otivo C- !W , W, W" El J+C es m7m por ser cú$ica. Ahora veamos cual es el JE#. En el J+C tenemos planos. emos que no se conservan en el cristal. En su lugar vemos que tenemos planos de desli%amiento tipo diamante. +onemos el plano a &6' del átomo !),),)" al relejar queda !&6>, ), )" y al desli%ar queda a !W , W, W". Es por tanto, un plano tipo d. emos que se conservan los planos diagonales tipo m. El sím$olo del JE# es el M d 7m . +ara o$tener el J+C se eliminan todas las traslaciones !incluyendo las mi2tas"  por lo que quedaría m7m . Ej- /i !ariedad tipo 9utilo".

Jrupo espacial- +>6m n m /i !),),)" Amp. 4uímica 5norgánica !& er  parcial"

!)) 6 ))7"

&7

otivo traslación

/i ! 1,1,1"  !2, 2, )"  ! 2 , 2,)"  !1  !giramos @) y trasladamos 1". Lo indicamos como un cuadrado gris. #e ve ácilmente viendo los /i. +erpendicularmente a este eje tenemos planos de rele2ión !pasa a 1 de la celda". Los planos m diagonales !a3$" se siguen conservando. +or otro lado tenemos los  planos n en la dirección de los ejes 2. Lo indicamos como una línea rayada.

Amp. 4uímica 5norgánica !& er  parcial"

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