Tema 3 Magnitudes Físicas y Químicas. Sistema Internacional de Unidades. La Medida Métodos de Estimación de La Incertidumbre en La Realización de Medidas en La Determinación de Resultados

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1 TEMA

3

TEMARIO FÍSICA\' QlJÍMlC.i.\ . j\lall

Miguel Yago Cautó.

Fernando EscudNo Hamos.

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Temario Fistca y Quimica. Tema 3.

Índice de Contenido.

3.1 LA MEDIDA .............................................................................................................................................. 6

3.2 CIFRAS CIERTAS E INCIERTAS. CIFRAS SIGNIFICATIVAS ........................................................ 7

3.3 PRECISIÓN Y EXACTITUD ................................................................................................................... 8

4.1CLASJFJCACIÓN DE ERRORES ................ ........ ... ................................................................................. 8

4.2 ERROR ABSOLUTO Y ERROR RELATIVO .................................................................................... lO

4.3 CALCULO DE ERORES EN MEDIDAS DIRECTA$ ........................................................................ 11 lt) EHROH ;\BSOLUTO DE CADA MEDIDA ..................................................................................... .................. 1 1 B) EHH OR ABSOLUTO DE UNA MEDICIÓN EN!.:\ (¿Uf-: SE Hi\ N REJ\LIZADO VJ\JUA S i\t1EDIDA S... 11

4.4 CÁLCULO DE ERRORES EN MEDIDAS INDIRECTAS ................................................................ 13

4.5 TEORIA DE ERRORES .............;.......................................................................................................... 15

Temario Física y Química. Tema 3.

1 q;IN! RQDUCCIÓN. • La Física es la ciencia que estudia los fenómenos físicos, con objeto no solo de describirlos y clasificarlos, sino de interpretarlos y deducir aplicaciones prácticas. Por otro lado, la Química es la ciencia que se ocupa de la constitución, propiedades y transformación de la materia. Tanto una como otra se basan en la observación y la experimentación tratando de obtener una serie de resultados, a los que en muchos casos es posible la asignación de uno o varios valores numéricos, permitiendo su comparación o contrastación con otras experiencias, efectuadas en condiciones análogas o no .

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Podemos definir el concepto de Magnitud como todo fenómeno observable susceptible de ser medido. Las leyes de la Física y la Química expresan relaciones entre magnitudes, como por ejemplo: longitud, tiempo, fuerza, energía, temperatura, densidad, intensidad de campo, etc. Entre las diferentes magnitudes se establece una distinción que supone una cierta, aunque obligada arbitrariedad. Dado que existen amplios grupos de magnitudes relacionadas entre sí, será posible elegir un número reducido, pero completo, de ellas, en función de las cuales pueden expresarse todas las demás mediante las correspondientes ecuaciones matemáticas que reflejan dicha relación. Tales magnitudes se denominan fundamentales, mientras el resto, que pueden expresarse en función de las fundamentales, reciben el nombre de magnitudes derivadas. La ecuación matemática que expresa dicha relación entre una magnitud derivada y las magnitudes fundamentales correspondientes, recibe el nombre de ecuación dimensional o ecuación de dimensiones. As~ por ejemplo, la fuerza, como magnitud derivada, tendrá la siguiente ecuación de dimensiones: [F] =[m·a] =M·[a] =M·L·T 2 • Toda ecuación entre magnitudes ha de satisfacer la condición de homogeneidad. Es decir, la ecuación dimensional del primer miembro ha de ser igual a la del segundo miembro.

Temario Fisica y Quimica. Tema 3.

La elección de un sistema de magnitudes fundamentales es, al menos formalmente, arbitraria hasta cierto punto. En efecto, el conjunto de magnitudes fundamentales elegido ha de ser completo y, además, las magnitudes deben ser independientes entre si. Ambas condiciones no determinan unívocamente un solo grupo de magnitudes fundamentales. El conjunto de magnitudes fundamentales perfectamente determinadas y las unidades patrones de estas magnitudes, perfectamente definidas, constituyen los cimientos de un sistema de unidades. Todas las demás magnitudes derivadas y sus unidades, definidas a partir de las primeras, en perfecta compatibilidad y coherencia, completan el llamado sistema de unidades. Se pueden también clasificar las magnitudes teniendo en cuenta su carácter escalar o vectorial: ./ Las magnitudes escalares son aquellas que quedan perfectamente definidas al dar el valor numérico de la magnitud. Por ejemplo, la temperatura de esta habitación esde22!!C. ./ Las magnitudes vectoriales son aquellas que están necesitadas de algo más que el valor numérico para quedar bien determinadas. Para poderlas definir hace falta asignarles, además de un número, un punto de aplicación, una dirección y un sentido, es decir se debe utilizar el álgebra de vectores. Ejemplo, la posición, no es lo mismo encontrarse a 3m al Este de un determinado punto que a 3m al Oeste.

I1: '~[S!E,~A}NTERNACJONAL DE UNIDADES . Dada la gran cantidad de sistemas de unidades conocidos, Sistema c.g.s ; Sistema Técnico, Sistema Ingles etc. A fin de facilitar la cooperación y comunicación en el terreno científico y técnico, hay una tendencia generalizada en todos los países a adoptar un mismo sistema de unidades. En esta línea de acción, la XI Conferencia General de Pesas y Medidas (CGPM), celebrada en París en 1960, tomó la resolución de adoptar un sistema práctico de unidades como sistema internacional (El cual fue una conversión del sistema Giorgi), que a grandes rasgos, nos proponemos describir a continuación: En el SI se distinguen tres tipos de unidades: a) Unidades fundamentales. b) Unidades derivadas. e) Unidades suplementarias.

Juan Miguel Yaga Cantó y Fernando Escudero Ramos

1

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Temario Física y Química. Tema 3.

Las unidades fundamentales SI corresponden a siete ·magnitudes independientes desde el punto de vista dimensional, las _definicion~s de estas, de acuerdo con las correspondientes resoluciones de la (CGPM), son las siguientes; ./ Unidad de longitud. El metro (m) es la longitud del trayecto recorrido por la luz en el vacío durante el tiempo de la fracción 1/299.792.458 de segundo . ./ Unidad de masa. El Kilogramo (Kg) es la masa igual a la del prototipo internacional de platino irradiado que se conserva en la oficina internacional de Pesas y medidas en Sévres cerca de París. ./ Unidad de tiempo. El segundo (s) es la duración de 9.192.631.770 veces el período de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133 . ./ Unidad de intensidad de corriente eléctrica. El Amperio (A) es la intensidad de una corriente constante que, mantenida en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular despreciable y colocados a una distancia de un metro el uno del otro en el vació, produce entre estos conductores una fuerza igual a 2x10 7 newton por metro de longitud. ./ Unidad de temperatura termodinámica. El kelvin (K) es la fracción 1/273,16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua . ./ Unidad de cantidad de sustancia. El mol (mol) es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidades elementales como átomos hay en 0.012 Kilogramos de carbono 12. Cuando se emplea el mol, las entidades elementales deben ser especificadas y pueden ser átomos, moléculas, iones, electrones, o partículas o agrupamientos especificados de tales partículas. ./ Unidad de intensidad Luminosa. La candela {Cd) es la intensidad luminosa, en la dirección perpendicular, de una superficie de 1/600.000 metros cuadrados de un cuerpo negro a la temperatura de congelación de platino bajo la presión de 101,325 Newton por metro cuadrado. Las unidades derivadas, se obtienen a partir de las fundamentales mediante expresiones algebraicas empleando símbolos matemáticos de multiplicar y dividir. Ejemplos de magnitudes derivadas son: velocidad, definida como el espacio recorrido en un tiempo unidad, aceleración definida como la variación de velocidad en un tiempo unidad, densidad definida como la masa de un cuerpo por unidad de volumen, etc.

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Junto a estas magnitudes fundamentales y derivadas, el sistema de unidades se completa con otras unidades suplementarias como son el ángulo plano y el ángulo sólido: ./ Unidad de ángulo plano. El radián (rd) es el ángulo plano que, teniendo su vértice en el centro de un círculo, intercepta sobre la circunferencia de este círculo, un arco de longitud igual a la del radio . ./ Unidad de ángulo sólido. El estereorradián (sr) es el ángulo sólido que, teniendo su vértice en el centro de una esfera, delimita sobre la superficie esférica correspondiente un área igual a la de un cuadrado que tiene como lado el radio de la esfera. Además de ciertas recomendaciones para la escritura de las diferentes unidades, el SI establece una serie de múltiplos y submúltiplos con una serie de prefijos, símbolos y equivalencias determinadas.

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3.1 LA MEDIDA.

En la investigación física y química la medida juega un papel fundamental, en particular en la etapa de experimentación. Las teorías físicas y químicas han de acudir a Jos resultados de medidas precisas para encontrar en ellas el fundamento de su validez.

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Temario Física y Química. Tema 3.

En Física la noción .de medida presupone la existencia ·de ciertos propiedades o atributos de los sistemas físicos expresablf!S en forma ~uantitativa. Es precisamente la cuantificación de tales propiedades observables, lo que se corresponde con la ideo de medida. Cabe, pues, recordar en este punto tres conceptos diferentes, pero mutuamente relacionados, a saber, magnitud, cantidad y unidad. La magnitud es la propiedad física considerada; la cantidad expresa en forma numérica la intensidad con la que dicha propiedad se presenta en un cuerpo o sistema dado, y la unidad es una cantidad patrón. De acuerdo con lo anterior, para establecer la cantidad de una magnitud física en un cuerpo o sistema, se compara con otro sistema patrón que posee la misma propiedad y que se toma como referencia. El resultado de la medida se expresa como un número real seguido de la cantidad patrón o unidad de la magnitud medida.

,3.2 CIFRAS CIERTAS E INCIERTAS. CI FRAS SIGNIFICATIVAS.

Al realizar una determinada medida se debe tener en cuenta la significación de las cifras o números que constituyen los datos experimentales y que representan los resultados calculados. El resultado calculado no puede implicar uno veracidad mayor que las que corresponde a las medidas que deriva. Una cifra significativa indica la cantidad en el lugar que ocupa. Las cifras significativas de un número son los dígitos del número que son necesarios para expresar la precisión de la medida, de que el número fue obtenido, incluyendo todas las cifras ciertas y la primera incierta o dudosa del mismo. Se debe establecer la incertidumbre de la cifra dudosa. Ejemplo 33,07 t 0,04 El dígito cero es cifra significativa, excepto cuando es la primera cifra de un número. Ejemplo 0,00358, los ceros no son significativos, sino que indican la magnitud del número. Los ceros finales se deben utilizar con cuidado. Así, por ejemplo, decir que la distancia Tierra-Sol es 199 600 000 km, significaría que se conoce con una precisión de tl km.

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13.3 PRECISIÓN Y EXACTITUD. El error en una medición es la diferencia entre el valor observado y el valor verdadero de la magnitud evaluada. El error de una determinación es una medida de la inexactitud o la exactitud de dicho determinación; cuanto más pequeño sea el error mayor será la exactitud. Se puede definir la desviación de un valor, como. la diferencia entre un valor particular medido y la media aritmética de una serie de mediciones de las que forma parte aquel valor. La magnitud de las desviaciones de una serie de mediciones es una medida de la imprecisión (o precisión) de dichas mediciones. La exactitud expresa la corrección de una medición y la precisión su reproducibilidad. Las medidas pueden ser precisas sin ser necesariamente exactas. Ejemplo, los impactos de una diana.

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Evidentemente, resulta imposible alcanzar mucha exactitud sin alta precisión. La precisión y la exactitud de las medidas se conocen conjuntamente bajo el nombre de veracidad.

4 .:: .. ME'f:ODOS ... DE EST!MACIÓN DE '· LA 1NCERT.IDUMBRE · EN LA REAflZAflÓN.DE ~EIJIIJAS ~ENLA DETERMINACU!N DERESULf~DOS.

¡4.1CLASIFICACIÓN DE ERRORES.

Cuando se mide una magnitud física es inevitable que el resultado esté afectado de errores, debidos al observador, al aparato de medida, al ambiente, al sistema a medir, etc; por ello, para indicar la exactitud o fiabilidad de las medidas, es necesario indicar su margen de error.

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Los errores. pueden clasificarse en sistemáticos y accidentales. . .

.

.

../ Los errores sistemáticos son debidos a defectos del método o del instrumento que dan lugar a una desviación de los resultados, de las medidas, siempre en el mismo sentido. El objetivo con respecto a ellos es detectarlos y eliminarlos en lo posible, ya que no admiten tratamiento estadístico . ../ Los errores accidentales son debidos a causas imposibles de controlar, que alteran el resultado unas veces por defecto y otras por exceso. Admiten tratamiento estadístico, por lo que son menos peligrosos que los sistemáticos. (Ej. Variación Condiciones Ambientales.)

Algunos de Jos errores sistemáticos más usuales: ../ Error de paralaje, consiste en que, cuando existe separación entre el objeto que se está midiendo y la escala, si la línea de visión no está en ángulo recto con la escala, la lectura será incorrecta. ../ Error en el cero, en algunos aparatos (tornillo micrométrico, esferómetro, etc.) es frecuente que, estando el aparato en posición cero, la escala indique algún valor. Una vez comprobado este valor, sumando o restando sobre la magnitud a medir corregimos este error. Conviene abstenerse de medir en la zona próxima al cero o en el límite de la sensibilidad del aparato . ../ Error de calibración, Una escala mal graduada es una fuente de error sistemático. Para corregirlo. Hemos de comparar con un patrón exacto.

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4.2 ERROR ABSOLUTO Y ERROR RELATIVO.

El resultado de cualquier medida ha de ir acompañado de una cota de error, que expresará el grado de incertidumbre de la medida. Esta cota de error es la que denominamos error absoluto, E, que se define como: x*

E= X ¡ -

x·

=Valor aceptado (El valor verdadero no lo podemos conocer)

El error absoluto constituye un índice de la sensibilidad del método de medida utilizado, pero no expresa la precisión con que se ha realizado.

Como índice de precisión, se usa el error relativo: E

Er=-

x*

Dicho error se suele expresar en porcentaj e % = Er · 100

Nuestro objetivo, al presentar el resultado de una medida, seró suministrar un valor como resultado de la misma (valor aceptado), y que será distinto del verdadero, junto con el error absoluto: (x *

±

E)

Con esto se indica que el resultado verdadero puede ser cualquier número comprendido entre x-E y x+ E (intervalo de error). Ej. 1000 :± 1

~ E =

1,00 :± 0,01 ~

E =

1; é r

0 , 01; ér

1 - - . 100 1000

= o. 1%

0,01 - - · 100 = 1% 1

Cuando se presenta el valor final de una magnitud y su error x • :± E han de darse las cifras precisas, de tal forma que la última cifra de ambas magnitudes sea del mismo orden decimal.

Temario Física y Química. Tema 3.

Atendiendo al concepto de cota de imprecisión que tiene el -error, éste ha de tener sólo una cifra significativa (si la primera cifra sig'!ificativa ~s 1 podrían darse dos cifras según la J.U.P.A.P).

14.3 CALCULO DE EROR ES EN MEDIDAS DIRE CTAS. Una medida directa es aquélla en la que se obtiene el valor de la magnitud por comparación con otra de su misma especie que se toma como unidad.

A) ERROR ABSOL UTO DE CADA MED IDA.

El valor aceptado será el indicado por el aparato de medida, y el sensibilidad del aparato utilizado.

E

será la

La Sensibilidad de un aparato analógico es el valor más pequeño de la magnitud en cuestión que puede ser medido con el mismo, y coincide con la división más pequeña de la escala de dicho aparato. En aparatos digitales, la sensibilidad es de una unidad en la cifra más a la derecha de la pantalla de dicho aparato.

B) EIUWR ABSOLUTO DE Ui'\A M[D!CIÓ~ EN LA QUE SE f-iA!\i HEALIZADO VAR!i\S MEDIDAS.

En general, se toma como Valor aceptado de la magnitud la media aritmética de todas las medidas:

X; = cada medida; n =numero de medidas realizadas

Temario Fislc:a y Quimic:a. Tema 3.

Veamos como asignar un error absoluto a esta magnitud·x. Lo usual es realizar, en principio, tres medidas. Se Calcula.su valor medio :X y también se calcula su dispersión total o Rango (diferencia entre los valores extremos), con estos dos valores se calcula el porcentaje de dispersión T = 100 (R/X), que nos dará información sobre el número de medidas necesarias. Puede ocurrir: O < T S 2% ~Bastan las tres medidas realizadas. 2 < T S 8% ~ 6 medidas como mínimo. 8 < T S 12% ~ 15 medidas como mínimo. 12% < T ~50 medias como mínimo. (Mejor empezar otra vez).

A continuación, se procede a asignar el error. 1 ) Si se han realizado hasta 6 medidas, se calcula la media de los errores absolutos de las medidas individuales

n Donde E ¡

y el error de dispersión

=

X¡ -

:X

Err R/4 . Se asigna como error absoluto de la medida el que resulta

mayor.

2} Si se han realizado hasta 15 medidas, para calcular el error, ha de utilizarse la expresión del error cuadrático medio:

¿(x¡- x) 2 = (n -1) · n u

(J

=desviación estándar

Juan Mi_quel Yago Cantó y Fernando Escudero Ramos

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Temario Física y Química. Tema 3.

a es una medida del grado de dispersión de la distribución de Jos volo"res alrededor de la media. Cuando a es grande, Jos valores individuales 17stán muy d~spersos. Esta también nos sirve para en una serie de medidas, eliminar las que estén mal tomadas, eliminando todas las que no cumplan:

lx¡- xl

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,4.4 CÁLCULO DE ERRORES EN MEDIDAS INDIRECTAS

En muchas ocasiones, la magnitud a determinar no se mide directamente, sino a través de otras magnitudes intermedias, relacionadas con la magnitud final mediante una formula física:

(x,y, ...... )

z= f

Realizando la diferencial de la función tendremos: dz

a¡

= -ax

dx

a¡ ay

+-

dy

+ .. ·

Asimilando Jos diferenciales a incrementos finitos, es decir, a errores absolutos, tenemos:

a¡ ax

a¡ ay

Ez = - E + - E x Y

+ ...

Elevando al cuadrado, sale:

Ez2 -_

(a') ax

2

Ex

2

+(

a') ay

2

Ey

2

+

(a') a') Ex Ey + .... ax ( ay

Temario Física y Química. Tema 3.

Calculando el promedio de esta ecuación, tenemos:

<

2 Ez

>-< (iJf) OX

2

-

Ex

2

> +<

Al calcular, los promedios con lo que queda:

<

2 Ez



f) >-< (aOX _

iJf) éJy

(

2

.

Ey

2

(éJy iJf) > + < (iJf) OX

Ex Ey

>+

han de anularse, pues ambas son independientes,

2 Ex

2

> +<

(

af) éJy

2 Ey

2

> + ...

Expresión que proporciona el error absoluto medio de la magnitud final en función de los errores absolutos de las magnitudes medidas directamente. Extrayendo la raíz cuadrada de todo lo anterior, nos sale el valor de dicho error absoluto medio:

El valor del Error absoluto máximo, se obtiene haciendo todos los términos positivos por medio de valores absolutos de la siguiente manera:

Expresión fundamental del Cálculo de Errores en las medidas indirectas. Donde Ex y

E,

Ey

Representan el Error absoluto cometido en la medida directa de x e y

Representa el Error absoluto con que vendría afectada la determinación de la magnitud z

Juan Migt1el Yago Cantó y Fernando Escudero Ramos

.· Temario Física y Química. Tema 3.

14.5 TEORIA DE ERRORES. El estudio de los errores indeterminados o accidentales ha originado una teoría de errores basada en la estadística e iniciada por Laplace y Gauss. Si las observaciones realizadas para medir una determinada magnitud, se efectúan en iguales condiciones de trabajo, y por lo tanto, con la misma precisión, éstas forman un colectivo normal, y como tal debe ser tratado. Gauss enunció varios postulados:

1} La probabilidad de que una medición venga afectada de un error absoluto comprendido entre x y x+dx es proporcional a una función de x y al intervalo de error, es decir: dn (x ) - - = f (x ) · dx

n

Siendo n (x) el número de mediciones cuyo error está comprendido entre x y x+dx y n el número tata/ de mediciones realizadas. f (x) recibe el nombre de función de probabilidad.

2) Las probabilidades de cometer un determinado error por exceso y por defecto son iguales, es decir, ya que f(x) = f(-x), f(x) tiene que ser una función par y simétrica.

3) El valor más probable de una serie de mediciones es aquel que hace mínima la suma de los cuadrados de los errores de las mediciones individuales (postulado de los mínimos cuadrados). Teniendo en cuenta este postulado se podría demostrar que el valor más probable de una serie de mediciones es su media aritmética.

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La función de probabilidad, deducida matemáticamente por Gauss, ·es:

h f(x ) = - ·

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h s un parámetro que da idea del grado de dispersión de los errores, es decir, cuanto mayor es h, menor es la dispersión y mejor es la calidad de la serie. Cuya representación Grafica es una curva en forma de campana (Campana de Gauss); como la que se observa en la figura.

Un valor de h elevado (curva a) indica que sólo son muy probables los errores más pequeños. Se puede observar también que la media verdadera de toda la población divide a la curva en dos mitades simétricas y por tanto la media aritmética es el valor más probable, así como que las desviaciones (+) y (-) son igualmente probables debido a la simetría de la campana. Si f(x) es la función de probabilidad, es claro que la probabilidad finita de cometer un error E comprendido entre los limites x 1 y x 21 vendrá dado por:

P (x 1

<

E

<

Xz )

=

f

xz

X¡

f (x ) · dx

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Temario Física y Química. Tema 3.

1BIBLIOGRAFÍA ALONSO~

1

Maree/o y FINN, Edward J. Física. Ed. Addison-Wesley. 1995

BURBANO, Santiago; BURBANO, Enrique y GRACIA, Carlos. Física General. Ed. Tébar. 2003 TIPLER, Paul A. y MOSCA~ Gene. Física para la ciencia y la tecnología. Ed. Reverte. 2010 GETTYS, W. Edward; KELLER, Frederick J. y SKOVE, Maleo/m J. Física clásica y moderna. Ed. Me GrawHi/1. 1991 GALÁN GARCIA; José L. Sistemas de unidades físicas. Ed. Reverte. 1987

Juan Miguel Yago Cantó y Fenzando Escudero R.amos

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