Tema 3. Algoritmos Divide y Vencerás

 

Tema 3 Algoritmos divide y vencerás

 

Tema 3 Algoritmos divide y vencer vencerás ás 4.1 Características del método divide y vencerás. 4.2 Búsqueda binaria. 4.3 Multiplicación de grandes enteros. 4.4 Elaboración de un calendario deportivo. 4.5 Ordenación por mezcla (mergesort). 4.6 Ordenación rápida (quicksort). 4.7 Otros problemas.

 

3.1 Características del método divide y vencerás. La técnica divide y vencerás consiste en: 

Descomponer el ejemplar a resolver en un cierto número de subejemplares subejemplares más pequeños (independientes) del mismo problema.



Resolverlos independientemente volviendo a aplicar la técnica si es necesario (recursividad).



Combinar los resultados obtenidos para construir la solución del problema.

base.. Para que el proceso recursivo termine, es necesario establecer el caso base

 

3.1 Características del método divide y vencerás. algoritmo divide y venceras (ENT x:problema; SAL z:resultado) variables

y : problema i, k : entero principio {divide y vencerás} si x pequeño entonces z ←solución simple (x) si no

descomponer (x,x (x,x1,x2,…,xn) para i = 1 a k hacer divide y vencerás (xi,yi) fin para

z ← combinar ((y y1,y2,…,yn) fin si fin {divide y vencerás}

 

3.1 Características del método divide y vencerás. •

•

•

Solución simple es el subalgoritmo usado para resolver ejemplares pequeños del problema a los que llamaremos casos base base.. El número k de subejemplares debe ser pequeño e independiente del pr problema oblema concreto a resolver (es frecuente que sea una potencia de 2). Si k = 1 a la técnica se le llama reducción o simplificación. simplificación. Para que la técnica sea rentable rentable::  Los problemas deben ser independientes.  La descomposición de x en subejemplares y la combinación de sus resultados ha de ser eficiente.  El tamaño de los subejemplares debe ser tan parecido como sea posible.  Si es posible utilizar algoritmos iterativos en lugar de recursivos, se obtiene una mejora drástica en el espacio de memoria.

 

3.1 Características del método divide y vencerás.

 si1 n≤≥

Como ya estudiamos, el tiempo de ejecución de los algoritmos divide y vencerás vencerás es: c1nk si n 1. Entonces:

(nk) 

t(n) =

ቐ

loggbba

(nklog) n) n)

(n

 k b número númeross natnaturalales,s, y a > 0, c > 0,k0, k ≥ k  a b

si < ssii = >

polilogarítmica , pero nunca exponencial. La complejidad es polinómica o polilogarítmica,

 

3.2 Búsqueda binaria. Dado un vector ordenado de números enteros no repetidos, queremos conocer si un elemento x está en él y queremos conocer su posición.

3

5

8

10



Si x=9, la respuesta es que no está



Si x=10, está en la posición 4

13

14

29

34

 

3.2 Búsqueda binaria. Dado un vector ordenado de números enteros no repetidos, queremos conocer si un elemento x está en él y queremos conocer su posición.

3



5

8

10

13

14

29

34

Primera solución: Recorr Primera Recorrer er el vector hasta localiz localizar ar el elemento o hasta el final O(n)  Búsqueda binaria.

 

3.2 Búsqueda binaria. Dado un vector ordenado de números enteros, queremos conocer si un elemento x está en él y queremos conocer su posición.

Encontrar un i tal que 0 ≤ i ≤ n que cumpla T[i] T[i] ≤ x < T[i+1], con el convenio implícito de que T[0] = −∞ y T[n+1] =+ =+∞. ∞. 3



5

8

10

13

14

29

34

Búsqueda binaria •

Dividir el problema en subproblemas subproblemas:: 2 en este caso.

•

Quedarnos con una de las mitades: Si el elemento a buscar es menor que el

•

central, buscar en la primera mitad y, si no, en la segunda (reducción). Caso base: Tabla con un elemento.

 

3.2 Búsqueda binaria. x=13 3

5

8

10

13

14

29

34

3

5

8

10

13

14

29

34

3

5

8

10

13

14

29

34

3

5

8

10

13

14

29

34

 

3.2 Búsqueda binaria. algoritmo búsqueda binaria (ENT T:tabla[1..n] de elementos, x:elemento; SAL i:entero) variables j: entero entero principio {búsqueda binaria} i 1; j n mientras i 2  = ቊ , si n = 2

t(n)

2t(n/ (n/2) + bn2 si a

Y, por tanto, O(n2) debido al algoritmo completar.

 

3.5 Ordenación por mez mezcla cla (merges ( mergesort). ort). Ordenar un vector v de n elementos.

7 

5

7

2

14

3

4

8

10

2

3

4

14

Se utiliza un algoritmo de mezcla para obtener una única tabla a partir de las dos ordenadas. 2



10

Se divide el vector en dos subvectores de aproximadamente el mismo tamaño y se ordenan llamando recursivamente a la función. 5



8

3

4

Caso Cas ob base ase:: un ele eleme ment nto o

5

7

8

10

1 14 4

 

3.5 Ordenación por mez mezcla cla (merges ( mergesort). ort). algoritmo mergesort (ENT (ENT i, j:1..n; ENT-SAL v:tabla[1..n]) variables medio : 1..n principio{mergesort } si i < j entonces medio  (i + j) div 2 mergesort(i,medio, v)

mergesort(medio mezclar(i,medio, j,+v)1, j, v) fin si fin{mergesort }

 

3.5 Ordenación por mez mezcla cla (mergesort). algoritmo mezclar(ENT inf,med, inf,med, sup:1..n; ENT-SAL v:tabla[1..n]) {El algoritmo mezclar mezclar ordenará los elementos de las subtablas v[inf..med] v[inf..med] y v[med + 1..sup] ya ordenadas} variables vaux :tabla[1..n] i1, j1, j, indice : 1..n principio{mezclar } i1  inf  i2  medio + 1  j  inf  mientras i1 ≤ medio y i2 ≤ sup hacer si v[i1] ≤ v[i2] entonces

vaux[j]  v[i1] i1  i1 + 1 si no

vaux[j]  v[i2] i2  i2 + 1 fin si  j  j + 1 fin mientras

 

3.5 Ordenación por mez mezcla cla (mergesort). si i2>sup; para ind indice ice = i1 i1 a medio hacer vaux[j]  v[indice]  j  j + 1 fin para Si no:

indice ice = i2 i2 a sup hacer para ind vaux[j]  v[indice]  j  j + 1 fin fin par para para ind indice ice = inf  inf a sup hacer v[indice]  vaux[indice] fin fin par para fin{mezclar }

Mezclar necesita una gran capacidad de almacenamiento La ecuaci ecuación ón en recur recurre renci ncia a es: t(n)

2t(n/ t(n/2 2) + bn si

Complejidad: O(logn)

 = ቊ , si n,=  1n > 1 a

 

3.6 Ordenació n rápida rápida de Hoare Hoare (quick (quicksort). sort). Ordenación Ordenar un vector v de n elementos.

7 

5

8

10

2

14

3

4

Se elige como pivote un elemento cualquiera de la tabla y se permutan el resto de elementos de forma que los mayores que el pivote queden a su derecha y los restantes a su izquierda.

Supongamos que el pivote es el primer elemento: 7 2

5

4

3

7

14

1 10 0

8



Utilizando recursividad, se ordenan la parte izquierda y la derecha siguiendo el mismo proceso.



Si el pivote es la mediana las dos partes en las que dividimos el vector son de igual

tamaño.  

3.6 Ordenació Ordenación n rápida rápida de Hoare Hoare (quick (quicksort) sort).. Ordenar un vector v de n elementos.

7

5

8

10

2

14

se mueve hacia derecha buscando los mayores que pivote

3

4

se mueve hacia la izquierda buscando los menores o iguales que pivote

7

5

8

10

2

14

3

4

7

5

4

10

2

14

3

8

 

Ordenación 3.6 Ordenació n rápida rápida de Hoare Hoare (quick (quicksort) sort).. 7

5

4

3

2

14

10

8

7

5

4

3

2

14

1 10 0

8

2

5

4

3

7

14

1 10 0

8

Repetir el proceso con cada subproblema

 

3.6 Ordenac ión rápida rápida de Hoare Hoare (quick (quicksort). sort). Ordenación algoritmo pivote (ENT i, j:1..n; ENT-SAL v:tabla[1..n]; SAL l:1..n) {El algoritmo pivote permuta los elementos de la tabla v[i..j] y proporciona un valor l tal que, al final, i ≤ l ≤ j, v[k] ≤ p para todo i ≤ k < l, v[l   ] = p, y v[k] v[k] > p para todo l < k ≤ j, con p el valor inicial de v[i]} variables p, k, l : 1..n principio {pivote} p  v[i]; k  i; l  j + 1 repetir k  k + 1 hasta que v[k] > p o k ≥ j repetir l  l − 1 hasta que v[l] ≤ p mientras k < l hacer intercambiar v[k] y v[l] repetir k  k + 1 hasta que v[k] > p o k ≥ j repetir l  l − 1 hasta que v[l] ≤ p fin mientras intercambiar inter cambiar v[i] y v[l]

fin {pivote}  

Ordenación rápida 3.6 Ordenación rápida de Hoare Hoare (quick (quicksort) sort).. algoritmo quicksort (ENT i, j:1..n; ENT-SAL v:tabla[1..n]) {El algoritmo quicksort quicksort ordena no decrecientemen decrecientemente te los element elementos os de la tabla v que están entre las posiciones i y j} variables l : 1..n principio {quicksort} si j > i entonces pivote(i, j, v, l) si i < l − 1 entonces quicksort(i, l-1, v) fin si fin si fin {quicksort}

si l + 1 < j entonces quicksort(l+1 quicksort(l+1,, j, v) fin si

Es poco eficiente cuando los subcasos están fuertem fuertemente ente desequilibrados. desequilibrados. (n2)  En el caso medi medio: o: O(nlog O(nlog n)



 

3.7 Otros problemas. •

Multiplicación de matrices.

Mejorar la complejidad del algoritmo que multiplica dos matrices utilizando el esquema divide y vencerás. •

Trasposición de una matriz cuadrada. Construir la traspuesta de una matriz cuadrada M de tamaño potencia de dos. •

Mediana de dos vectores.

Dados X e Y dos vectores ordenados de tamaño n, implementar un algoritmo para calcular la mediana de los 2n elementos que contienen X e Y. •

Buscar el elemento en su posición .

Dado A un vector ordenado, ordenado, diseñar un algoritmo de comple complejidad jidad O(log n) en el caso peor, capaz de encontrar un índice i tal que A[i] = i, si tal índice existe.