Tema - 2 Analisis Dimensional-Tercero 2016-La

 

Lic. Manuel Manay Fernández

  Conoce

y diferencia entre magnitudes derivadas y fundamentales.   Aplica el principio de homoge hom ogeneidad neidad en la resolución de problemas.   Establece si una ecuación es dimensionalmente homogénea.

ANÁLISIS DIMENSIONAL DE UNIDADES: Los valores de las cantidades físicas dependen del sistema de unidades uni dades utilizado; utilizado ; sin embarg embargo, o, hay diferentes sistemas de unidades, por ello, cualquier cantidad física puede expresarse en distintas unidades según ladeescala en que esté graduado el instrumento medición. LONGITUD: Una longitud se puede expresar en metros, metros,   kilómetros,, centímetros kilómetros centímetros o  o pies pies,, sin importar cuál sea la unidad empleada para medir la cantidad física distancia, pues todas ellas se refieren a una dimensión d imensión fundamental llamada longitud , representada por L.  MASA: Par Paraa expresar la cantidad de materia es factible factible utilizar al gramo gramo,, kilogramo kilogramo   o libra libra,, ya que todas las unidades se refieren a la dimensión fundamental llamada masa, la cual queda representada por M.  representada TIEMPO:  TIEMPO:   El tiempo se puede pu ede expr expresar esar en horas, minutos y segundos, segund os, y sin importar impor tar cuales fueran, toda todass se refieren a una dimensión fundamental llamada tiempo, representada por T. 

naturaleza de una magnitud”   En física la palabra dimensión significa “la naturaleza

El análisis dimensional, dimensional , estudia las diferentes formas que adoptan las magnitudes derivadas, a través de reglas leyes y propiedades en un campo puramente matemático. Dicho estudio se realiza para descubrir valores numéricos, que a partir de ahora llamaremos dimensiones dimensiones;; es decir estudia la forma como se relacionan las magnitudes fundamentales con las magnitudes derivadas.

 =   =  = −  

 

 

Para denotar las dimensiones de una magnitud física se utilizan símbolos como L para longitud para elcorchetes tiempo. Para determinar la dimensión de una(distancia) magnitud yseT utiliza [ ]. La dimensión de la velocidad, se representa así:  

 = −

OBJET OBJETIV IVOS OS Y FINE FINES S DEL AN LISIS DIMENS DIMENSIONA IONAL: L: Expresar Expr esar Las magnitudes derivadas en función de las magnitudes fundamentales.   Determinar las unidades unidad es de medida medida en el S.I. de las magnitudes físicas. f ísicas.   Compro Comprobar bar la veracidad de las fórmulas físicas mediante el principio de homogeneidad dimensional.   Determinar fórmulas fór mulas físicas empíricas a partir d dee datos experimentales o de observaciones.

 

ECUACIONES DIMENSIONALES:

Son aquellas igualdades matemáticas que sirven para relacionar las magnitudes derivadas en función de las magnitudes fundamentales. general   una ecuación dimensional se escribe: En su forma general

   =   

 

Donde: X :  Se lee letra X   : Se lee ecuación dimensional de X Exponentes: a, b, c, d, e, f y g   Bases : L  (longitud), M (masa), T (tiempo), (temperatura),

  

desustancia) corriente), J (intensidad luminosa) y N(intensidad (cantidad de



 

Lic. Manuel Manay Fernández LEYES IIMPO MPORTANTES: RTANTES:  

Las dimensiones dimensiones de una magnitud física

no cumplen con las leyes de la adición y sustracción. Ejemplo:   Ejemplo:   

+=

Si una ecuación es dimensionalmen dimensionalmente te correcta, todos todos los términos términos de una adición o sustracción poseen las mismas dimensiones. Es decir: Sea la ecuación dimensionalmente correcta: correc ta:

 

Todos los números son cantidades adimensionales, y su fórmula dimensional es igual a UNO. Ejemplo:   Ejemplo: 

 

 =  ;    = ; [√ ] = 

 

 +    =     =  =  =  =   

Entonces se cumple:

 

TABLA DE DIMENSIONES:

Los ángulos, funciones trigonométricas y logarítmicas son adimensionales, cuando están como base, y para los cálculos se consideran igual a “1”.   Ejemplo:

 

 =  ;     = ;  = 

 

Una ecuación es dimensionalmente correcta  cuando al sumar o restar en los correcta  miembros de la ecuación, estos tienen las mismas dimensiones. Ejemplo: La ecuación:   Es dimensionalmente correcta, porque cumple:   Donde: 

 

=+  =  + 

PROPIEDAD IMPORTANTE:  IMPORTANTE: 

 

=   +  =  + 

 

Fórmulas Empíricas, Empíricas , surgen de la experimentación científica, y permiten determinar la fórmula dimensional de una magnitud nueva, en función de las fórmulas dimensionales ya conocidas. Ejemplo:

 

La fórmula empírica del periodo ( T ) de un péndulo se expresa exp resa en función de su longitud longitud aceleración de la gr gravedad avedad (g ); siendo (L ) y la aceleración la constante de proporcionalidad  

=    

En las siguientes expresiones, se pueden aplicar las fórmulas dimensiona dimensionales: les:  

   

     

 =    =∙  =     = √     =    =   

 =   =∙  =   =  =  = [√   ] =  = [ ] =  = [  ] =   

 

 

 

 

 

 

PRACTICAN DO EN CLASE PRACTICANDO Lic. Manuel Manay Fernández

Problema 1:

Determina Det ermina la fó fórmula rmula dimens dimensional ional de “W”.

W = M. G. H Siendo; M : Masa G: aceleración H : altura Siendo; a) MLT b) ML2T c) ML2 T-2 d) MLT-1 e) MLT-2  

Problema 2:  Determina Det ermina la fó fórmula rmula dimens dimensional ional de “X”.

X=

 A B

 

Donde; A : distancia distancia B : tiempo a) LT b) L2T c) LT -1   d) LT-2 e) T

8:  Problema 8:  Hallar “x”  x = asen30º  a = aceleración a) LT d) LT -1 

b) L1/2  e) N.A.  

c) L1/2T-1 

Problema 9:  9:  La fórmula mostrada es dimensionalmente dimensionalmente correcta. correct a. Indique las unidades de p.  A=B + pt B: distancia distancia (m), t : tiempo (s) A) m/s2 B) m/s2 C) m/s D) m · J E) kg · m Problema 10: 10:   Para cierto movimiento, la velocidad de un cuerpo viene dada por la siguiente expresión:

Problema 3:  Determina Det ermina la fó fórmula rmula dimens dimensional ional de “X”.

X = A. B 2  A : densidad densidad B : área a) ML b) ML 2 c) MLT d) LT-1 e) L2M

determine la ecuación dimensional de: A) T-1  B) LT C) L-2  D) L2  E) T2 

Problema 4: 

× 

 II   Problema 11: UNMSM 2013 – II

Determina la fórmula dimension dimensional al de “Y”.

Y=

P . U T

 

  dimensionalmente correcta, H es la ×  altura, “a” es la rapidez, “b” es el radio y “c” es la

En la ecuación

P: peso U : tiempo T : trabajo -1 a) LT b) L T c) LT-1   d) MLT e) ML-1 T

aceleración. Determine “x + y”.   A) 1 B) -1 C) -2 D) 0 E) 2

Problema 5: 

Problema 12: UNI 2014 – II Sea   una ecuación dimensionalmente correcta. correcta. Dadas las siguientes propo proposiciones: siciones:

Determina la fórmula dimension dimensional al de “R”.

R=

 A

2

. B

C

 

A: veloci velocidad dad B : densidad densidad C : energía 2 a) L b) LT c) L3  -1 -1 d) LT e) L   6:   Problema 6: Determina la fórmula dimension dimensional al de “x”. x  

A: velocidad velocidad a) LT b) LT -1 d) L2T-1 e) LT2  

 A . B

  B: caudal c) L2 T

7:   Problema 7: Determine Det ermine las d dimensiones imensiones de ““E” E” en lla a siguiente ecuación:   DV2

E 

(sen) . g D: Densi D ensidad, dad, V: Velocidad, g: Aceleración a) ML-3 b) ML-1 c) L-2   d) LT-2 e) ML-2

  =  ∙ ∙∙∙()  ∙∙∙() +  

I.  f, A y B tienen las mismas dimensiones. dimensiones. II.  Si f es la magnitud magnitud de una fuerza y t es el tiempo, las dimensiones dimensiones de  son MLT-2.   III.  Si x es el desp lazamiento, lazamiento, las dimensiones dimensiones del p roducto  son magnitud de una fuerza. Son correctas: MLT-2, donde A es la magnitud

A) Solo I D) I y III  

B) Solo III II I   E) II y III

∙∙

C) I y II

 

PRACTICANDO EN CASA  PRACTICANDO

Donde: A = Potencia; W = Período a) ML2T-3 b) LT-2 c) ML  d) ML-2 e) ML-3T2 

Problema 1: Determina la fórmula dimension dimensional al de “x”.

P. X = R R : potencia

P : peso a) L d) MLT-1  

b) MLT e) ML 

Donde: m = masa; V = Velocidad; Velocidad; t = tiempo t iempo a) ML b) ML2T-3   c) LT 3  Y



R

Q W

 

d) LT-3  

e) ML-2 T3

Problema 9:

R : impulso Q: caudal W : potencia

Si la siguiente fórmula física es ddimens imensionalmente ionalmente correctta. Hallar  x   y   correc    y y P   M  x L T 

c) LT-2  

 

Calcula la fórmula dimensional de “x”.  A X



B C

 

 A) 4 D) 1

B) 3 E) 0

  =  + 

La ecuación 2 -2

b) e) LL2TT3 

3 -1

a) M LT-2  d) MLT-3  

Calcula la fórmula dimensional de “P”.  

P=

2

V . H Q

 

V : veloc velocidad idad H : altura Q : caudal a) L b) T c) LT-1   d) 1 e) T-1  

Problema 5: Determina la fórmula dimension dimensional al de “x”. 

A : caudal a) L b) LT 2 d) L e) T2

 A B

  B : velocidad velocidad c) T

Problema 6: Halle la expresión de la ecuación dimensional de R, si: R  

60 º   2   2   sen    rt u 3    

r: radio; t: tiempo; u: aceleración a) T2 

b) M

d) LT-2

e) L1/2T2 

C) 2

  es dimensional dimensionalm mente ente correcta. S Sii “F”

representa repr esenta la fuuerza, erz a, y “t” el tiiempo, empo, halle la dimensión de “B” “B”  

c) L T  

Problema 4:

X

 

Problema 10: UNMSM 2013 – I  

A : potencia potencia B : fuerza C : área -1

1

Si P: presión.

Problema 3:

a) LT d) L3T

m(V   K)2 2t

4P

Determina la fórmula dimension dimensional al de “Y”.

b) LT 2 e) L2 T-1  

Encontrar [ P ] en la ecuación:

c) LT -1  

Problema 2:

a) LT d) L2T

Problema 8:

c) L2 

Problema 7: Hallar [x] si: E  W  A2  x2  



b) ML c) MLT e) LT-2  

 

 

a) 0

NIVEL II

Problema 6:

Problema 1:  Si la ecuación H = AB + BC + AC es dimensionalmente homogénea, ¿cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas? I. [H] = [A]2  II. [B] = [C] III. III . [(AB)/c] [(AB)/c] = 1 a) Solo I b) Solo II c) Solo IIIIII d) Solo I y II e) II y III

b) 1

3:   Problema 3: Si A y B son dos magnitudes físicas cualesquiera, diga cuál de las siguientes operaciones no son dimensionalmente permitidas.

Problema 8:

a) Solo II d) Solo II y III

II. Sen(A/ Sen(A/B) B)

III. A.B

b) Solo II y V e) II, IV y V

c) Solo III

Problema 4: 

La rapidez de una partícula en movimiento viene dada por la siguiente expresión.  ( Ktr + B  –  ( ) v= Ae t : tiempo r : radio de la partícula Determine la la ec ecuac uación ión dimensional de la siguiente expr esión.    1 B)  LT   –  1

C) T 2

 ( )

a) ML –2T –1 d) ML –1T –2

D)  L2 T  –   22 

b) ML –2T –4 e) M2 L –1T –1

c) ML –1T –1

Dada la siguiente ecuación dimensionalmente homogénea. Determine las dimensiones de "y" si A = longitud; t = tiempo.

a) L2/T

La siguiente siguiente ecuac ecuación ión es representativa del efecto ffotoel otoeléctrico éctrico.. V fren frenado enado fren : voltaje de fr  f : frecuencia de la radiación incidente  f 0: frecuenc ia umbral q: cantidad de carga del electrón Determine cuál de los siguientes alternativas expresa mejor las unidades unida des de h. B) eVs2 C) eVs D) eV 2 s E) e2Vs A) eVs –   11

A) T   –   22 

=

La rapidez de un líquido en un tubo cilíndrico cilíndrico es , donde p es presión R radio, L longitud. Halle la dimensión de n.

IV. 2AB 

Problema 4: 

∙

e) 4

Es área área y f es acelerac aceleración, ión, halle la expresión expresión dimensional dimensiona l de Q. a) LT –1  b) L2 T –1  c) LT –2  d) LT e) L –1T Problema 7: 

V. ln(2A)

d) 3

Dadas las ecuaciones dimensionalmente homogéneas:  

2:  Problema 2:  Respecto a las ecuaciones dimensionales, señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. ( ) Las ecuaciones físicas son dimensionalmente homogéneas. ( ) Las constantes en las ecuaciones físicas son adimensionales. ( ) Las cantidades físicas fundamentales son independientes entre sí. a) VVV b) FFV c) VFF d) VFV e) FVF

I. A/B

c) 2

E) L  –   22T  –   22 

NIVEL III

Problema 5: 

Un fluido en movimiento satisface la siguiente ecuación:

Donde p2 se mide en Pascal (presión), r es densidad, h es altura, v es rapidez rapidez y g = 9,81 m/s 2 . Halle Halle ((xx + yy). ).

b) L/T

c) L/T2 

d) L2/T3

e) L/T3 

Problema 9:

La presión (p) que ejerce un fluido en movimiento, puede hallarse en cierto caso particular por: donde; m = masa, t = tiempo, A = área; a = aceleración; determine [k] [k ] en el sistema internacional de unidades. a) LT –1 

b) L2 T –1 

c) L 3 T

d) L3 T –1 

e) LT 

 

 

 

 

 

 

 

Explica cómo se define una circunferencia, circunferencia, y cuáles son sus elementos.  

Indicadores de logro:  

Resuelve problemas, utilizando los teoremas fundamentales.

 

CIRCUNFERENCIA Es el conjunto de los puntos pertenecientes a un mismo plano que se encuentran a la misma distancia deOTRAS un puntoFIGURAS fijo llamado centro centro,, ubicado CIRCULARES en el mismo plano

C RC RCUL ULO O Superficie determinada por la unión de una circunferencia circunfere ncia y su región r egión interior

R

R

ÁREA DEL CÍRCULO

LONGITUD DE LA CIRCUNFRERENCIA

Q

 

 

ELEMENTOS    Centro O:  Es

C R

 

1

el punto interior que equidista de la circunferencia.

Radio OA = R: Segme R: Segmento nto que va de dell centro a cualquier punto de la circunferencia. A   Diámetro BC = 2R: Segm 2R: Segmento ento que pasa por el centro y cuyos extremos están en la circunferencia. Es la cuerda máxima, divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas semicircunferencia.   Arco AC : Es :  Es la parte que esta delimitada por dos puntos de la circunferencia.   Cuerda PQ :  Es un segmento cuyos extremos son dos puntos de la circunferencia.  

   

Recta Secante L: Recta L:  Recta que corta a la circunferencia en dos puntos. Recta Tangente L1:  Recta que toca a la circunferencia en un solo punto.   Flecha o Sagita MN :  Porción del radio.   Punto de Tangencia: Tangencia: Punto  Punto de intersección entre la recta tangente y la circunferencia.

Teoremas Fundamentales: 1: Siendo L una Teorema 1: recta tangente y A el punto de tangencia se tiene tiene que L    OA .

2 :  Si se traza dos Teorema 2: cuerdas paralelas AD y BC, los arcos AB y CD son de igual  AD   medida. Si : BC //  AD B

O

R

A

A

L

Entonces: 

Si: OA es radio. Entonces

Teorema 3 3:: Si un radio es perpendicular a una cuerda, el radio pasa por el punto me medio dio de la cuerda y del arco correspondiente corr espondiente a la cuerda.

Teorema 4 4:: Los segme s egmentos ntos tangentes trazados trazado s desde de un punto B exterior exterior a una circunferencia son iguales. B

B

C

D

O

A

F

A

C

C

Si :

OA      BC

Entonces: 

Longitud de una circunferencia.

  Si: A y C son puntos de tangencia Entonces:

Posiciones Relativas de una circunferencia y una recta:

Esa relación relación numérica n umérica entre circunferencia y diámetro fue descubierta por griegos y babilónicos y se le denomina con la letra griega (pi). (pi) . Barra Barrass de herramientas

 

  Entonces, conociendo el diámetro o el radio podemos calcular la longitud de la circunferencia.

A través de la historia se ha buscado una aproximación decimal cada vez más cercana cercana de d e ese número, manejándose manejándos e actualmente hasta un millón millón de cifras. Comúnmente utilizamos el 3,14 truncando el resto de las cifras

CONSTRUYENDO CIRCUNFERENCIA CONSTRUYENDO CIRCUNFERENCIAS S CON GEOGEBRA:

Dibujando ndo una circunferencia circunfere ncia y determ dete rminando inando su perímetro y el área áre a del círculo círculo.. Dibuja Ingrese a l programa, podemos dibujar una circunferencia, circunferencia, de la si gui guiente ente ma nera: nera:

 

Haciendo clic, en el

botón circunfere ncia dado su su centro y uno de sus punt puntos os..

Hacer cl ic y arrastrar en la hoja de vista gráfic gráfica. a. botón circunferencia dado su centro yy  

Haciendo clic, en el

radio.. Hacemos clic en vis ta gráfic radio gráficaa y es cribimos cribimos la longitud del radio.   

Ahoraa calculamos el perímetro y área de una circunferencia: Ahor

 

Clic en el botón distancia o longitud (clic longitud (clic en en la circunf circunferencia) erencia)

 

Clic en el botón área (el área (el área del circulo circulo). ).

 

Clic en el botón vector entre dos puntos puntos(dibuja (dibujarr el radio de A hacia B)

 

Luego Clic en el botón distancia o longitud (luego longitud (luego clic en el radio).

PRACT ICA CON GEOGEBRA: GEOGEBRA:

 

Traza rectas tangentes y secantes a la circunferencia. Comprueba los teoremas fundamentales.

 

¿Qué se obtiene al dividir la longitud entre el doble del radio radio??  

 

Ejercicios Resueltos 

1.   Si “A” y “B” son puntos de tangencia, calcula “n”.  A 2n -20 P

P  

 

 

OP = 4

4.  Calcula el el ángulo TOA, si  AT es tangente. T

A

20°

Resolución: por el teorema 4. Las dos rectas tangentes son de igual longitud: 2n -20 = n + 15   n = 35

O

Resolución: Por propiedad el radio con la tangente tangente forman un ángulo de 90°. 90 °.

T 

A

20° 2.   Calcular : “x” 

70°

5 O

x

  mTOA = 70°

4 5.   Calcular : “x” 

7

Resolución:

12

O

5 Del gráfico   x = 4 + 5

5

Resolución: 

x 4

x

4

 

Del gráfico:  

A B = 6 y r = 5  3.   Calcular “OP”, si AB

x=5

x O

7

7

12 7

A r O

P B A

Resolución:

5

Aplicamos Teorema de Pitágoras en del triángulo OPA OP 

5

2

  3 2 

PRACTICANDO EN CLASE:  

16

 4 

O

3 3

P B

1.   Identifica: Identif ica: Considera Co nsidera la circunferencia de centro O y completa la siguiente tabla.

 

7.   Calcular : “x” 

5

  2.   Determina si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas. Justifica tus respuestas. a) Las cuerdas que contienen al centro de la cir circunferencia cunferencia se denominan arcos. b) El diámetro de una circunferencia mide la mitad del radi radio. o. c) Toda recta secante a una circunferencia circunfer encia determina determina dos arcos. d) Toda recta tangente a una circunferencia circunf erencia interseca al menos en en un punto pu nto a la circunf circunferencia. erencia. e) El diámetro di ámetro de una circunferencia determina dos arcos de igual medida 

x 4

8.   Calcular : “x” 

3

3.   Se quiere fabricar una tapa cuadrada para

9

almacenar un CD que tiene tiene 6cm de radio. ¿cuál ¿ cuál debe ser la medida más pequeña de ese lado? x 9.   Calcular “x”, AB // CD 

4 B

A

9 4.   Calcula la longitud de cada circunferencia, sabiendo la medida del radio (r) . Considere   = 3,14 i) r = 4cm ii) r = 0,5cm 0,5 cm iii iii)) r = 7/2 cm

D

C x 10.  Calcular : “x” 

5.   Si “A” y “B” son  puntos punto s de tangencia, calcula “x”.  

3

x

A

15

O

60 P 6x   B

11.  Si: r = 3 ; calcula “x”.  A

6.   Si “A” y “B” son puntos de tangencia, calcula “n”. 

x

A r

2n -20 P

P

O

B

n  + 15

 

 

12.  Calcular “OP”, si AB A B = 6 y r = 5  A

r P

O

 Autoevaluación: marca con una X

B

Identificas Ident ificas los elemen elementos tos de una circunferencia. Comparas entre e ntre u una na circunfere circunferencia ncia y círculo. Utilizas correctamente los teoremas fundamentales de la circunferencia. Resuelves ejercicios y problemas, interpretando los enunciados

18.  Calcul Calcular ar “AB”; si: AP = 5; PC = 4; PD = 8

PRACTICANDO EN CASA  

1.   Vea la posición de los jugadores y responda en su cuaderno: Sugerencia: reemplazando APPB = CPPD

19.  Hallar “PC”, si: AB = 5 y BC = 4

i) 

: 2 =      

 

ii)  

¿Cuál de los jugadores, está más cerca a la pelota, y cual está más lejos? Màs cerca està Javier Màs lejos està Juan. Juan. ¿Cuáles de los jugadores está a la misma distancia del balón? Luis y Segundo

2.   Calcula la Calcula la longitud de cada circunferencia, sabiendo la medida del radio (r) .      I) r = 9cm ii) r = 1,7 cm iii) r = 100 cm

( ) = 2     ()    = 2=(3,21(43,)1(49))(=56, 5 2 ) 1, 7 =10, 6 76     = 2(3,14)(100) =628 

20.  Hallar “PC”, si: AB = 9 y BC = 16

Considere

  =

3,14

3.   calcula calcula   el radio de cada circunferencia, sabiendo la medida de la longitud (l) es:

 

 

 

 = 2  = ,, =4,5  = ,, =1  = ,, =5  

i) l = 28,26cm 28,2 6cm ii) l = 6,28cm

 

ii) l = 31,4 cm Considere

 

8.   Calcular “x” 

 

  =

3,14

4.   Resuelve: Una Resuelve: Una pista de baile circular tiene un área de 50,24 m2  ¿qué distancia tendría que recorre una persona que cruza la pista desde un extremo a otro pasando por el centro de ella? Considere

  =

Por dato:

3,14

20 30 40 50 10

160

O x

9.   Si: r = 10, OP = 6. Calcular AB

  ==4  =50,24

 

de donde: donde: cm nos piden el diàmetro:

cm   cm

=2=

5.   Calcular : “x”  a)  b)   c)  d)   e) 

a)  b)   c)  d)   e) 

a)  b)  c)  d)  e) 

A

15 7,5 30 16 8

P

O r

B

10.  Calc Calcular ular AB, si BC = 3 , r = 8

50 40 30 60 70

140

a)  b)   c)  d)   e) 

x

O

B C

5 10 6 7 9

r

6.   Calcular : “x”   8 a)  b)  c)  d)  e) 

5 4 3 6 7

11.  Calcular : “x”  A a)  b)   c)  d)   e) 

15 x

40 70 50 60 80

x

110

7.   Calcular : “x” 

B

80 a)  b)   c)  d)   e) 

160 80 100 90 70

A

12.  Calcular : “x” 

B

x C

D

a)  140 b)   100

x O

70

P

120  

a) 3  3 

c)  110 d)   120 e)  130

c) 8

e) 12 

d) 9

18.  En la figura, calcular calcular x , si: si: y = 8, AB = 12

13.  Calcular : “x”  a)  b)   c)  d)   e) 

b) 6

6 7 8 9 10

x

a) 2 b) 3

6 15

O

c) 4 d) 7 e) 8

14.  Calcular : “BP”  a)  b)   c)  d)   e) 

19.  Calcul Calcular ar “AB”; si: AP = 3; PC = 2; PD = 6

15 12 16 11 14

P

8

9

A B

15.  En la figura, calcular calcular x - y, si: AB = 20, BC = 18 a) 2

Sugerencia: reemplazando APPB = CPPD

b) 3 c) 4 d) 7

a) 4

b) 5

7   d) 7

e) 8 

c) 6

e) 10 20.   Hallar “PC”, “PC” , si: AB = 7 y BC = 9 16. Si “A” y “B” son p puntos untos de ta tangencia, ngencia, calcula “n”.   A 3n  -22 P n +8 B

a) 10

b) 15  15 

c) 20

Sugerencia: PC2 = BC  AC  d) 25

e) 30 a) 9

b) 12  12 

d) 16

e) 63 

17. Si “A” y “B” son pun puntos tos de tangencia, calcula “x”.  A X2 - 2 P

7 B

c) 15

 

 

Metacognición:  ¿En cuál de los tem as tuve mayor dific dificultad. ultad. ¿Por qué?   __  ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ______ ________ ______ ______ ________ _______ ___  ¿Qué tipos t ipos de ejercicios o problemas te resultan difíc difíciles iles de entender? ente nder?   __  ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ______ ________ ______ ______ ________ _______ ___  ¿En qué situaciones de m i entorno ent orno aplicaré aplicaré lo aprendido?   __  ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ______ ________ ______ ______ ________ _______ ___  ¿Qué estrategias utilicé para superar mis dificultades? dificultades?   __  ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ______ ________ ______ ______ ________ _______ ___