Tema 13 Probabilitat1

 

 

{5 10}

14

Esdeveniment {múltiples de 5}

PROBABILITAT

NOM:

{7} {4}

CURS:

DATA:

Esdeveniment elemental

L’e ’ess ssen enci cial al

FES-HO AIXÍ

1.

DETERMINACIÓ DE L’ESPAI MOSTRAL EN EXPERIMENTS SENZILLS. REGLA DE LAPLACE

Determina l’espai mostral i la probabilitat associada a cada resultat en l’experiment de llançar un dau cúbic. E

=

L’espai mostral serà {1, 2, 3, 4, 5, 6} i com que tots són equiprobables: 1 P(1) P( 2) P( 3) P ( 4) P(5) P(6) 6 =

=

=

=

=

=

Determina l’espai mostral associat a l’experiment que consisteix a llançar un dard a la diana del dibuix: L’espai mostral consisteix en la descripció de tots els possibles resultats que es puguin donar quan fem l’experiment, per tant: E {1, 2, 3, 4}. PRIMER.

=

La probabilitat de cada cas està determinada per la superfície de cada sector, que, a la vegada, està determinada per l’angle de cada sector, i per què el total és igual a 1. SEGON.

Per tant, 360°

prob.

 →

1 (esdeveniment segur). A partir d’això, tenim:  →

a) Esd Esdeve evenim niment ents s 3 i 4: 4: 90° 90°

276

P(3)

b) Es Esde deve veni nime ment nt 1: 1: 45° 45°   →

P(1)

c) Es Esde deve veni nime ment nt 2: 2: 135° 135°    →

P(2)

=

P(4)

90 =

360

45 =

1 =

360

=

8

135 =

1 =

360

1

=

=

8

=

4 0,125. 0,375 .

0,25 .

4

1

3

2

 

2. DETERMINACIÓ DE L’ESPAI MOSTRAL EN EXPERIMENTS COMPOSTOS AMB L’AJUDA DEL DIAGRAMA D’ARBRE. CÀLCUL DE PROBABILITATS Llancem enlaire tres monedes. Determina l’espai mostral i calcula la probabilitat d’obtenir dues cares i una creu.

1/2

1/2

PRIMER.

Hem d’identificar l’experiment senzill i la probabilitat de cada esdeveniment que el forma. E {c, x}, que són equiprobables, per la qual cosa: 1 P(c) P(x) 2

1/2

 =

1/2 1/2

=

1/2

Fem un diagrama amb les tres extraccions seguides i cadascuna amb la seva probabilitat. SEGON.

1/2

TERCER.

A partir d’aquí podem calcular les probabilitats de cada cas:

1/2

1/2

=

P{c, c, c}

1/2

1

1/2

=

1

=

⋅

 P {c, c, x}

1

⋅

2

2

1

=

…

=

 P {x, x, x}

=

=

2

8

QUART.

I d’això, i tenint en compte que l’esdeveniment A {dues cares i una creu} està format pels següents:  A  P {(c, c, x), (c, x, c), (x, c, c)}, i, per tant, aplicant la regla de Laplace:   =

1/2 1/2

 =

1/2

P(A)

casos caso s favorables favorables   =

3 =

casos caso s possibles possibles

8

I ARA… PRACTICA Determinació de l’espai mostral amb l’ajuda del diagrama d’arbre 1. Quin és el nombre d’esdeveniments elementals

Tècniques per calcular probabilitats 3. En el llançament de tres monedes, quina és la probabilitat d’obtenir d’obtenir almenys una cara?

quan llancem enlaire dos daus octaèdrics?

a) 4/8

c) 3/8

a) 8

c) 16

b) 1/8

d) 7/8

b) 10

d) 64

Ús de la regla de Laplace 2. Quan traiem una fitxa del joc de dòmino, quina és la probabilitat que surti una fitxa doble? a) 2/28 b) 6/28

c) 7/28 d) 8/28

4. Extraiem dues cartes seguides (sense devolució) d’una baralla de 40 cartes. Quina és la probabilitat que surtin dues figures seguides? a)

12

12 ⋅

40

b) 12 40

39 ⋅

11 39

c)

10

9 ⋅

40

d) 4 40

39 ⋅

3 39

277

 

 Ac  A ctivitats EXPERIMENTS ALEA ALEATORIS. TORIS.

IDEA DE PROBAB PROBABILITA ILITAT.

ESDEVENIMENTS

REGLA DE LAPLACE

21.   ●

25.   ●

Esbrina, dels experiments següents, quins són deterministes i quins són aleatoris:

a) Llançar una una pilota i verificar verificar si cau a terra o no. b) Extreure dues dues cartes d’una baralla baralla espanyola. espanyola. c) Tria Triarr a l’atzar l’atzar una fitxa fitxa de dòmino. dòmino. d) Esbrinar el resultat resultat d’un partit partit de tenis abans que es jugui. e) Pitjar l’interruptor l’interruptor d’un llum i esperar esperar a veure veure si s’en s’encén. cén. f) Calc Calcular ular l’espai l’espai que recorre recorreran ran diferents diferents cotxes cotxes a 120 km/h durant 15 minuts. g) D’una bossa de 1.000 boles boles totes negres negres llevat d’una de blanca, extreure’n una bola i anotar-ne el color. Escriu dos experiments aleatoris i dos que no ho siguin.

22.   ●

En una bossa tenim dues boles blanques, quatre de verdes i sis de negres. En traiem una bola a l’atzar. l’atzar.

a) Què és més més probable, probable, que sigui sigui blanca blanca o ve verd rda? a? b) Què és més probable, que sigui sigui verda o negra? negra? c) Quina és la probabilitat probabilitat que surti blava? blava? D’un joc de dòmino de 28 fitxes, en traiem una. Classifica els esdeveniments següents de més a meny menys s proba probabili bilitat: tat:

26.   ●

a) La suma suma dels punts és 6. b) La suma suma dels punts punts és 10. 10. c) És una una fitxa fitxa doble doble.. d) La diferència diferència entre els punts és més gran qu 6. dels punts és més petita que 12. e) que La esuma

23.   ●

Escriu l’espai mostral associat a cadascun dels experiment aleatoris següents:

a) Extreure Extreure una bola bola d’una bossa bossa amb boles boles de color blanc, blanc, negre i vermell. b) Llançar dos daus i sumar els els punts de les les cares superiors. c) Extreure una carta de una baralla i anotar-ne anotar-ne el pa pal. l. d) Extreure una carta carta de una baralla i anotar-ne anotar-ne nombre nom bre. e) el Llançar un. dau octaèdric octaèdric que té té anotats anotats els nombres de l’1 al 8 i anotar anotar si el que surt és múltiple de 3 o no. f) Una urna urna conté conté sis boles boles blanqu blanques es i cinc cinc boles boles negres. Traiem una bola de l’urna i n’anotem el color. g) Una urna conté cinc cinc boles blanques, set set de grogues i vuit de negres. Traiem una bola de l’urna i n’anotem el color Considerem l’experiment de llançar dues moned monedes. es.

24.   ● ●

a) Escriu l’espai l’espai mostral que hi està està associat. associat. b) Esbrina si l’esdevenime l’esdeveniment nt «sortir dues cares» cares» té més o menys probabilitat probabilitat que l’esdeveniment l’esdeveniment «sortir una cara i una creu».

278

27.   ●

Tirem un dau de 4 cares. Ordena de més a menys probabilitat probabilitat els esdeveniments esdeveniments següents:

a) Treur Treuree un nombre nombre imparell imparell.. b) Treur Treuree un múltiple múltiple de 5. 5. c) Tr Treu eure re un un 1. d) Treur Treuree un nombre més més petit petit que 4. Calcula la probabilitat que surti una bola blanca d’una bossa en la qual hi ha dues boles blanques i una de negra. Calcula també la probabilitat que surti blava.

28.   ●

Podem construir una ruleta dividida en quatre sectors de manera que les seves probabilitats siguin 1/2, 1/3, 1/4 i 1/5?

29.   ●

30.   ●

Quina és la probabilitat que, si tirem un dau, surti un nombre més gran que 3? I que surti un nombre més petit que 8?

 

Hem trucat un dau de quatre cares de manera que les seves probabilitats són directament proporcionals al seu nombre. Calcula la probab probabilitat ilitat d’obtenir d’obtenir cada nombre.

31.   ● ●

En una urna tenim 100 boles numerades de l’1 al 100. Traiem una bola. Calcula la probab probabilitat ilitat que:

37.   ● ●

a) Surti un nombre nombre parel parell. l. b) Surti un nombre nombre més gran gran que 85.

      3

  3

        1         2       4

4  

c) Surti un múltiple múltiple d’11. d) Surti un nombre nombre imparell més gran que 80. e) La xifra de les desenes sigui doble que la xifra de les unitats. f) Sur Surti ti un un nombr nombre e primer primer..

A les cares d’un dau escrivim tres 1, dues X i un 2. Llancem Llancem aquest dau. Quina Quina és la probab probabilitat ilitat de treure treure un 1? I una X? I un 2?

32.   ●

De la paraula INTEMPESTIVITAT escollim una de les lletres lletres a l’atzar: l’atzar:

38.   ●

a) Quina és la probabilitat probabilitat que sigui una vocal? b) I una cons consonan onant? t?

33.   ● ●

En una moneda trucada, la probabilitat d’obtenir cara és la meitat que la d’obtenir creu. Quina és la probabilitat de cada resultat?

c) I que sigui sigui la la lletra lletra T?

I

D’una urna que conté 8 boles blanques, 7 de verme vermelles lles i 5 de negres, negres, n’extraie n’extraiem m una bola. bola. Quina és la probabilitat que sigui negra? I que no sigui negra?

34.   ●

Troba la probabilitat que quan llancem un dau obtinguem:

35.   ●

V  I

E  T 

a) Un nombr nombre e parell. parell.

P

E  

 T 

I N

T 

S 

A  

T 

M

39.   ● ●

Llancem dos daus i multipliquem els punts de cada dau dau..

b) Un nombr nombre e primer primer.. c) Un múlti múltiple ple de de 5. d) Un nombre nombre més més gran gran que 4. 4. e) Un nombre nombre més més petit petit o igual igual que 3. Troba la probabilitat que, si traiem una carta d’una baralla espanyola, obtinguem:

36.   ●

a) Un set.

d) Un Un nombre parell.

b) Un U na figura.

e) Una copa.

c) El rei rei de basto bastos. s.

a) Quants esdeveniments esdeveniments elementals té aquest aquest experiment? b) Quin és l’esdev l’esdevenime eniment nt que té més probabilitat? PROBLEMES AMB PROBABILITATS

Llancem enlaire dos daus. Fes un diagrama d’arbre per obtenir la probabilitat que siguin dos nombre nombres s imparells. imparells.

40.   ●

41.   ●

Un joc amb la baralla consisteix a treure

dues cartes sense devolució devolució,, i guanya el que treu dues copes. Quina Quina probabilitat probabilitat hi ha de guanyar?

279

 

45.   ● ● Mitjançant un resort es deixa anar una bola pel tauler de joc simulat:

FES-HO AIXÍ COM CALCULEM LES PROBABILITATS EN EXPERIMENTS COMPOSTOS? 42.   ● ● Quants resultats són possibles en el llançament de tres daus? Fes un diagr diagrama ama d’arbre d’arbre i calcu calcula la la probabilitat d’obtenir d’obtenir almenys un sis. PRIMER. Com que en el llançament d’un dau hi ha

6 resultats possibles, possibles, en aquest experiment experiment compost tindrem: 6 6 6 216. ⋅

⋅

SEGON. Fem un diagrama amb els possibles

resultats. 6

6

no 6

6 1/6

no 6

no 6

=

no 6 no 6

no 6

TERCER. Si anomenem  A

6 6

6

5/6

6 no 6

{no treure cap 6},

la proba probabilit bilitat at de  A serà: P(A)

5 =

5 ⋅

6

5 ⋅

6

125 =

6

216

QUART. La probabilitat de l’esdeveniment contrari

a  A,  A

{treure almenys un 6}, serà 125 89 1 0,412 P(A) 216 216

=

=

−

=

➀

➁

➂

➃

=

=

Calcula la probabilitat que la bola surti per cada una de les sortides: 1, 2, 3 i 4. 46.   ● ● En una urna tenim 5 boles blanques i 4 de verdes. Traiem 2 boles. Descriu l’espai mostral i calcula les diferents probabilitats. 47.   ● ● En una urna tenim 7 boles blanques i 4 de negres i en traiem 3 boles. Calcula la probabilitat que totes tres siguin blanques

si cada vegada es torna la bola que es treu a la urna. 48.   ● ●● En l’exercici anterior, calcula la probabilitat que siguin del mateix color en els dos casos: que la bola que es treu es torni a l’urna i que no es torni. 49.   ● ● D’una baralla extraiem tres cartes per observar si són figures o no. Descriu l’espai mostral de l’experiment i calcula’n les diverses probabilitats. 50.   ● ● Traiem 2 cartes seguides d’una baralla de 40 cartes:

43.   ● ● En una bossa tenim 5 boles vermelles i 3 de blanques. Quina probabilitat hi ha d’extreure dues boles blanques seguides? a) I si, una vegada vegada extreta extreta la primera primera bola, bola, la tornem a introduir a la la bossa (amb devo devolució lució)? )? b) I si no la tornem (sense (sense devoluci devolució)? ó)? c) Calcula, ara, la probabilitat probabilitat que siguin les dues boles negres, tant si tornem la primera bola a la bossa com si no ho fem. d) I la probabilitat probabilitat d’extreure d’extreure una bola bola de cada cada color? 44.   ● ● Tenim en una urna 4 boles blanques i 7 de negres, i les traiem totes menys una. Quina és la probabilitat que sigui blanca?

280

a) Quina probabilitat probabilitat hi ha que totes dues siguin oros? b) I que siguin siguin dos asos? asos? 51.   ● ●● En una urna tenim deu boles amb les xifres 0 a 9. Traiem una bola i, sense tornar-la a la urna, traiem una segona bola. Si considerem el nombre que surt (1a bola: xifra de les desenes): a) Quina probabi probabilitat litat hi ha que sigui sigui múltiple múltiple de 5? I de de 3? b) Quina és la la probabilitat que la segona segona bola tingui un nombre més petit que la primera? 52.   ● ● Si agafem quatre fitxes de dòmino, quina és la probabilitat que cap sigui una fitxa doble?

 

Una màquina d’una fabrica té dos motors. La probabilitat que, en un torn de l’empresa de 8 hores, falli un dels dels motors és del 3,5%, 3,5 %, encara que la màquina pugui funcionar amb un sol dels motors. Quina probabilitat hi ha que la màquina no acabi el torn?

53.   ● ●●

Considera l’experiment aleatori que consisteix a escollir a l’atzar un nombre de l’1 al 30. Siguin els esdeveniments:

58.   ● ●

 A

=

{Obtenir nombre parell més petit o igual que 14}.

B

=

{Obtenirr un múltiple de 3 més petit o igual {Obteni igual que 10}.

C

=

{Obtenir un múltiple de 10}.

54.   ● ●

En una empresa hi ha 215 treballadors, repartits de la manera següent: Homes

Dones

Amb ulleres

65

43

Sense ulleres

54

53

Calcula les probabilitats de cada esdeveniment, i també les dels seus contraris. contraris. Un joc consisteix a llançar un dau diverses vegades fins que surti un 6, aquí el joc s’acaba. Calcula:

59.   ● ●●

Si escollim una persona a l’atzar: a) Quina probabilitat probabilitat hi ha que sigui sigui una dona? dona? b) I que sigui una dona dona sense ulleres ulleres? ?

INVESTIGA 55.   ● ●

El segon problema que el cavaller De Meré va plantejar a Pascal Pascal era el següent: següent: Què és més avantatjós, apostar a treure almenys un 6 en quatre tirades seguides d’un dau o no treure cap 6? Calcula les probabilitats de cada un dels esdeveniments anteriors. Sobre una taula posem quatre cartes (un rei i tres cartes diferents) cap per avall. Les aixequem una a una fins que traiem el rei.

56.   ● ●

a) La probabilitat probabilitat que el joc joc s’acabi en en la primera jugada. b) La probabilitat probabilitat que s’acabi s’acabi abans de la la quarta jugada. c) La probabilitat probabilitat que que s’acabi s’acabi exactament exactament a la quarta jugada.

En una urna hi ha 10 boles vermelles i un determinat nombre de boles negres. Calcula quantes boles negres hi ha d’haver per tal que:

60.   ● ●

a) Hi hagi la mateixa mateixa probabilitat probabilitat de treure treure els dos colors. b) La probabilitat probabilitat de treure una bola vermella vermella sigui de 0,265. c) La probabilitat probabilitat de treure una bola negra sigui de 0,75. 61.   ● ●●

En una urna hi ha boles de diversos colors. Calcula quantes boles hem d’agafar com a mínim per estar segurs de treure’n dues del mate mateix ix color si: a) Hi ha boles boles de 3 colors colors diferents diferents.. b) Hi ha boles boles de 4 colors diferents.

Escriu l’espai mostral i calcula la probabilitat que el joc acabi acabi en dues jugades. jugades. En un grup de 30 alumnes de 2n d’ESO hi ha 17 nois, dels quals 8 són rossos, i de les alumnes, 7 no són rosses. Si escollim un alumne a l’atzar:

c) Hi ha boles boles de 5 colors colors diferents diferents.. c) Hi ha ha boles boles de n colors diferents.

57.   ● ●

a) Quina és és la probabilita probabilitatt que sigui una noia? noia? b) I que no sigui sigui ross rossa? a?

Tres persones, A, B i C, llancen un dard sobre una diana. Les seves probabilitats d’encertar, són, respectivament, respectivament, de 0,7, 05 i 0,2. Troba la probabilitat d’encertar entre els tres si cada un llança quan l’anterior l’anterior no encerta.

62.   ● ●●

281

 

 A la vida quotidiana Una empresa es dedica a construir i vendre uns objectes de tres peces fabricades cada una d’elles per tres màquines,  A, B i C, diferents en una cadena de muntatge. Un objecte es considera defectuós si ho és alguna de les peces

63.   ● ●

que el formen. Les probabilitats que un objecte surti defectuós són: màquina  A, del 3 %, màquina màquina B, del 10 % i màq màquin uina a C, el el 5 %. Quina és la probabilitat que un objecte no surti defectuós de la cadena de muntatge?

Històricament,, l’estudi de la probabilitat ha Històricament anat associat als jocs d’atzar. Entre els més coneguts hi ha la ruleta, introduïda a França al seg segle le XVIII i que va ser estudiada pel matemàtic francès D’Alembert. D’Alembert. La ruleta és un joc

65.   ● ●●

que utilitza una roda o plat giratori horitzontal amb 37 subdivisions radials. A cada una hi ha escrit un nombre i està pintada d’un color. La col·locació i el color dels nombres és el que veus al requadre de baix.

 A

3%

B

10 %

1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 – 10 11 – 12 12 –  – 13 – 14 14 –  – 15 – 16 16 –  – 17 – 18 18 –  – 19 19 –  – 20 21 – 21  – 22 – 23 23 –  – 24 – 25 25 –  – 26 – 27 27 –  – 28 – 29 – 30 31 – 32 32 –  – 33 – 34 34 –  – 35 – 36 36 –  – 0

C

5%

Les apostes senzilles són • Ve Verm rme ell

Es fabrica una diana per jugar de manera que la puntuació sigui proporcional a la superfície. Si el radi de cada un dels cercles és d’1, 2, 3 i 4 cm, calcula la probabilitat de cada una de les zones.

64.   ● ●

D C B A

• Negre • Parell • Im Impa pare rell ll • Falt Falta a (surt (surt un número número de l’1 l’1 al 18) • Pas Passa sa (del (del 19 al al 36) 36)

Els jugadors fan les apostes (n’hi ha molta varietat) i el crupier tira la bola, que cau en un nombre. Si és el 0 guanya la banca. a) Calcula Calcula la probabili probabilitat tat de cada una una de les apostes senzilles. b) Calcula la la probabilitat probabilitat d’altres apostes múltiples: i) Par Parell ell i falt falta a ii) Imp Impare arell ll i vermel vermelll

Quant sumen les probabilitats? Quina puntuació assignaries a cada una de les zones?

282

iii) Vermell, Vermell, parell parell i passa passa iv) Cava Cavall ll (s’a (s’apost posta a a dos números seguit seguits) s) v) Ple. S’apo S’aposta sta a un un únic númer número o