Tema 12 Centroides

Centroides

Supongamos que queremos determinar la  posición media de un grupo de alumnos en un salón de clases.

Lo primero que necesitamos es un sistema de referencia para establecer la posición exacta de cada banca. (xi, yi) Supongamos que los ejes están alineados con las paredes del salón como se muestra en la figura.

 Numeramos los estudiantes del 1 al N y denotamos la posición del estudiante i como (xi, yi).

La coordenada x media es  N

x

=

∑x

i

i =1

 N

La coordenada y media es

(xi, yi) y

 N

y=

∑ yi

   

rm

i =1

 N

x El punto medio es

   N  xi  i =1 r m = ( x , y ) =  ,  N    



  y i    N     1 i =1  =  x i ,  N    N   i =1      N

∑ ∑

  y i     i =1    N

∑ ∑

Ahora, supongamos que queremos saber la posición media de las libretas que tienen los estudiantes, los cuales seguramente tendrán un número diferente de ellas. Entonces, si ci es el número de libretas que tiene el estudiante i, la posición media de las libretas se encuentra mediante la suma del producto del número de libretas que cada estudiante tiene por la coordenada de ese estudiante, y dividido entre el número total de libretas:  N

∑c x x= ∑c i

 N

∑c y y= ∑c

i

i

i =1  N

i

i =1  N

i

i

i =1

i =1

Estas ecuaciones sirven para determinar la posición media de cualquier conjunto de cantidades a las que podamos asociar posiciones. Una posición media obtenida de estas ecuaciones se denomina “ posición de pesos  ponderados” o centroide. 

r c

= ( x, y) =

1  N

∑ ci i =1

 N    N    ∑ c i x i , ∑ c i y i      i =1   i =1  

Centro de gravedad

Si lo que nos interesa es la posición media de los pesos de una distribución discreta de objetos, el centro de gravedad o posición media del peso, tenemos que  N

xW =

 N

∑x W = ∑M i

i

y

yW

=

i =1

i

y

i

x

i =1  N

 N

i =1

x

∑y W ∑M = y= ∑W ∑W

i

i

i

 N

∑x W ∑M = x= ∑W ∑W i =1  N

i

i =1

 N

i

∑y W = ∑M

i

 N

i

i =1

i =1

i

i =1

Si la distribución del peso es continua, el centro de gravedad  o  posición media del peso , es dado por  xW

=

∫ xdW = M

y

xdW M ∫  x= = ∫ dW ∫ dW y

yW

=

∫ ydW = M

x

ydW M ∫  y= = ∫ dW ∫ dW x

x=[-3,3] 2 y=x -x+4 x=0.1

Masa=10( x )

P on on de ra ra ci ci ón ónx

Ponderacióny

-3.0000 -2.9000 -2.8000 -2.7000 -2.6000 -2.5000 -2.4000 -2.3000 -2.2000 -2.1000 -2.0000 -1.9000 -1.8000 -1.7000 -1.6000 -1.5000 -1.4000 -1.3000 -1.2000 -1.1000 -1.0000 -0.9000 -0.8000 -0.7000 -0.6000 -0.5000 -0.4000 -0.3000 -0.2000

16. 0000 15. 3100 14. 6400 13. 9900 13. 3600 12. 7500 12. 1600 11. 5900 11. 0400 10. 5100 10. 0000 9.5100 9.0400 8.5900 8.1600 7.7500 7.3600 6.9900 6.6400 6.3100 6.0000 5.7100 5.4400 5.1900 4.9600 4.7500 4.5600 4.3900 4.2400

0.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0.0000 -2.9000 -2.8000 -2.7000 -2.6000 -2.5000 -2.4000 -2.3000 -2.2000 -2.1000 -2.0000 -1.9000 -1.8000 -1.7000 -1.6000 -1.5000 -1.4000 -1.3000 -1.2000 -1.1000 -1.0000 -0.9000 -0.8000 -0.7000 -0.6000 -0.5000 -0.4000 -0.3000 -0.2000

0.0000 15. 3100 14. 6400 13. 9900 13. 3600 12. 7500 12. 1600 11. 5900 11. 0400 10. 5100 10. 0000 9.5100 9.0400 8.5900 8.1600 7.7500 7.3600 6.9900 6.6400 6.3100 6.0000 5.7100 5.4400 5.1900 4.9600 4.7500 4.5600 4.3900 4.2400

-0.1000 0.0000 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 0.9000 1.0000 1.1000 1.2000 1.3000 1.4000 1.5000 1.6000 1.7000 1.8000 1.9000 2.0000 2.1000 2.2000 2.3000 2.4000 2.5000 2.6000 2.7000 2.8000 2.9000 3.0000

4.1100 4.0000 3.9100 3.8400 3.7900 3.7600 3.7500 3.7600 3.7900 3.8400 3.9100 4.0000 4.1100 4.2400 4.3900 4.5600 4.7500 4.9600 5.1900 5.4400 5.7100 6.0000 6.3100 6.6400 6.9900 7.3600 7.7500 8.1600 8.5900 9.0400 9.5100 10. 0000

1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 Masa Masa Total 60. 0000

-0.1000 4.1100 0.0000 4.0000 0.1000 3.9100 0.2000 3.8400 0.3000 3.7900 0.4000 3.7600 0.5000 3.7500 0.6000 3.7600 0.7000 3.7900 0.8000 3.8400 0.9000 3.9100 1.0000 4.0000 1.1000 4.1100 1.2000 4.2400 1.3000 4.3900 1.4000 4.5600 1.5000 4.7500 1.6000 4.9600 1.7000 5.1900 1.8000 5.4400 1.9000 5.7100 2.0000 6.0000 2.1000 6.3100 2.2000 6.6400 2.3000 6.9900 2.4000 7.3600 2.5000 7.7500 2.6000 8.1600 2.7000 8.5900 2.8000 9.0400 2.9000 9.5100 3.0000 10. 0000 Moment omento o Tota Totallx Momento Totaly 3.0000 417.1000

Ejemplo 1: x

ρ=

y = x2

= [ − 3,3]

dm dx

−x+4

m = 10 x 3

∴

dm = ρdx

∫ 

= 10dx

m = 10 dx

= 10x 3−3 = 10( 3) − 10( − 3) = 60 kg

−3

3

3

∫ 

x dm =

−3

3

∫ 

x (10 dx )

= 5x 2

−3

3

−3

= 5( 3) 2 − 5( − 3) 2 = 0 m kg ∴

∫ x dm

x

= −33

∫ dm

=

0 m kg 60 kg

−3 3

3

∫ y dm = ∫ (x

−3

2

− x + 4)(10 dx ) = (

10 3

−3

3

∴

∫ y dm

y = −33

∫ dm

−3

=

420 m kg 60 kg

=7m

x

3

−

10 3

x

2

+ 40x )

3

−3

= 420 m kg

=0m

Centroides de áreas

Sea un área A arbitraria en el plano x −y.

y Dividamos esta área en partes A1, A2, …, AN y denotemos denotemos la posición posición de de las partes mediante sus coordenadas (x1,y1), (x2,y2), …, (xN,yN).

y yi

Ai

A

El centroide o posición media del área es  N

∑ x= ∑A

 N

Ai x i

i =1  N

i =1

∑ y= ∑A

Ai yi

i =1  N

i

i =1

i

xi

x

x

Sin embargo, cada sub-área Ai tiene un área finita, por lo cual tenemos el problema de no saber la posición exacta de Ai. Para evitar este problema, hacemos un  proceso límite haciendo tender cada sub-área Ai a cero, por lo que la posición media es dada por   N

∑A x x = lim ∑A i

i =1 A i →0  N

i

i =1

y

y yi

Ai

 N

i

∑A y y = lim ∑A i

i

i =1 A i →0  N

xi

i

i =1

Entonces, el centroide del área es

∫ xdA x= ∫ dA A

A

∫ ydA y= ∫ dA A

A

x

x

Los primeros momentos de área son definidos por las integrales

Qx

=

∫ ydA

A

Qy

=

∫ xdA

A

Qx es el  primer momentos de área respecto al eje y y Qy es el  primer momentos de área respecto al eje x .

Los centroides de figuras geométricas simétricas se encuentras en el eje de simetría.

Ejemplo 1. Determinar el centroide del área triangular mostrado en la figura

y

h x  b

Respuesta: Sea dA el área de una franja vertical. y

La base de esta franja es dx y la altura a se encuentra usando los triángulos semejantes que se forman. dA

Entonces, h

tan θ =

a θ

x x

a

=

x

h

∴

 b

a

dA = a dx

=

h  b

x dx

Entonces, la coordenada x del centroide del área es

 h   h x x dx     b    b

∫  ∫  = x= ∫ dA ∫  bh x dx xdA

A

0

 b

A

0

h  b

x

Por lo tanto, el área de la franja es

dx  b

 b

=

 b

=

h

∫ 

h x

2

x dx

0  b

x dx ∫   b 0

=

3

 b 3 h x2  b 2

 b

h  b 0  b

3

=  b

3 h  b 2

 b 2 0

=

2 b 3

 para calcular la coordenada y del centroide de área, seleccionamos a  y como la ordenada del  punto medio de la franja y

a

=

dA

h  b

∴

x

y=

a

2

=

h 2 b

x

h a/2

Entonces,

x x

dx  b  b

 1 h x   h x dx        2  b  b        0

∫  ∫  = y= h ∫ dA ∫  b x dx ydA

A

 b

A

0

h

=

2  b

2 b 2 h

∫ 

0  b

x dx ∫   b 0

h

x 2 dx

=

2

x

3

 b

2 b 2 3 h x

2

 b 2

h 2  b 3 0

 b

=

2 b 2 3 h  b 2  b 2

0

=

h 3

y

y

=

h

h 3

x x

=

2 b 3

 b

∫ ydA h = y= 3 dA ∫ 

∫ xdA 2 b = x= 3 dA ∫  A

A

A

A



r c

=      3

2 b h   ,   3  

Ejemplo 2. Determinar el centroide del área triangular mostrado en la figura

y

h

x  b

Respuesta: Sea dA el área de una franja vertical

y La base de esta franja es dx y la altura a se encuentra teniendo en cuenta que los triángulos que se forman son semejantes Entonces, dA

a

h

 b − x

=

h

∴

 b

a

h

= ( b − x )  b

a Por lo tanto, el área de la franja es

x x

dA = a dx

 b

h

∫  ∫   b = x= ∫ dA ∫  bh ( b − x ) dx A

A

 b

dx

 b

xdA

h

= ( b − x ) x dx

x

0  b

Entonces, la coordenada x del centroide del área es h

( b − x ) dx

=

 b

( ∫   b

)

 bx − x 2 dx

0  b

h

( b − x ) dx ∫   b

h   x  b  2  b  

2

=

 b

  − x   3    0 3

h    bx − x   b   2

2

 b

       

 b 3

=

2  b 2

− −

 b 3

3  b 2 2

 b 3

=

6  b 2 2

=

 b 3

 para calcular la coordenada y del centroide de área, seleccionamos a  y como la ordenada del  punto medio de la franja a

 b − x y=

y

=

a

2

=

h

∴

 b h

h

= ( b − x )  b

( b − x )

2 b

dA = a dx

a

h

= ( b − x ) dx  b

Entonces, dA

 b

h

h

∫  ∫ 2 b  b y= = h ∫ dA ∫  b ( b − x )dx ydA

A

( b − x ) ( b − x ) dx

=

0

 b

y=a/2 x

x  b

2 b

2

 b

∫ (

 b 2

h  b

0

h   2 x 2 x 3    b x − 2 b +    2 b   2 3    0 = =  b   x 2    bx −    2      

− 2 bx + x 2 )dx

0

A

 b

dx

h2

h

 b

∫ ( b − x )dx 0

  3 3  b 3    b − b +    2 b   3     = h

 b

2

−

h   b 3

 3 2  

 b 2

 b 2

2

2

      h   =

3

y

y=

h

h 3

x=

x

 b 3

 b

∫ xdA  b = x= 3 dA ∫  A

A

∫ ydA h = y= 3 dA ∫  A

  b h   r c =  ,    3 3  



A

y

y

y

=

h

h 3

y

=

x x

=

h

h 3

2 b 3

x=

 b

x

 b 3

 b

∫ ydA h = y= ∫ dA 3

∫ xdA 2 b = x= ∫ dA 3 A

A

A

A

∫ ydA h = y= 3 dA ∫ 

∫ xdA  b = x= 3 dA ∫ 

A

A

A

A



r c

=      3

2 b h   ,   3  



r c

 b h   =    ,    3 3  

Ejemplo 3. Determinar el centroide del área mostrado en la figura

y

(1,1)

y=x y=x 2 x

Respuesta: Sea dA el área de una franja vertical, como se muestra en la figura. La base de esta franja es dx, y la altura es la resta de las funciones

y

(1,1)

x-x2

x

x dx

(

)

dA = x − x 2 dx 1

∫  (

)

1

( x 2 − x 3 )dx ∫ 

∫  ( = = = x= ∫ dA ∫ ( x − x )dx ∫ (x − x )dx ( xdA

A

x x − x 2 dx

0 1

0 1

2

2

A

0

0

− 14 x 4 )0 1

( 13 − 14 ) 121 6 1 = 1 1 = 1 = = 1 2 3 ( 2 − 3 ) 6 12 2 1 1 ) x x − 2 3 0

1 3

x

3

Para calcular y media, tomamos y como la ordenada del punto medio de la franja, ver la figura, entonces

y

(1,1)

1 2 2 (x+x)

x

∫  = y= ∫ dA ydA

A

A

1

x + x 2 )( x − x 2 )dx ( ∫ 

1

1 2

0

1

( x − x 2 )dx ∫  0

x

1 2

=

x 2 − x 4 )dx ( ∫ 

0 1

( x − x 2 )dx ∫  0

1 1 3 1 5 ( ) x x − ( 1 − 15 ) 1 152 12 2 5 0 1 3 1 3 =2 =2 1 1 =2 1 = = 1 2 3 ( 12 x − 13 x )0 ( 2 − 3 ) 6 30 5

y

(1,1)

y=x y

y=x 2 x

x

∫ xdA 1 = x= 2 dA ∫  A

A

∫ ydA 2 = y= ∫ dA 5 A

A

En muchos casos, el objeto bajo estudio puede ser dividido en figuras comunes, esto  permite calcular sus centroides usando los centroides de estas áreas comunes. Por ejemplo:

determine: (a) los primeros primeros momentos momentos con Ejemplo 4.: Para el área mostrada en la figura, determine: respecto a los ejes; (b) la ubicación de su centroide.

Respuesta: Para simplificar el problema dividimos la figura en partes de área conocida, por  ejemplo rectángulos, círculos y semicírculos.

Ahora se calculan las áreas y los primeros momentos:

( x, y) =   b , − h1   

 3 3   0.12 m 0.06 m   ,− =      3 3     = ( 0.04 m, − 0.02 m )

•

(Q x , Q y ) = ( A y, A x ) = ( − 0.000072 m 3 , 0.000144 m 3 ) = ( − 0.72 ×10 − 4 m 3 , 1.44 ×10 − 4 m 3 ) A trian

= 12  base × altura = 12 ( 0.12 m ) ( 0.06 m ) = 0.0036 m 2

( x, y ) =   b , h 2   

 2 2   0.12 m 0.08 m   =   ,    2 2     = ( 0.06 m, 0.04 m )

•

( Q x , Q y ) = ( A y, A x ) = (0.000384 m 3 , 0.000576 m 3 ) = (3.84 ×10 −4 m 3 , 5.76 ×10 − 4 m 3 ) A rect

=  base × altura = ( 0.12 m ) ( 0.08 m ) = 0.0096 m 2

( x, y ) =   r 1 , h 2 + 4r 1   

3π     4( 0.06 m )   0 . 06 m , h =   +    2 3 π     = ( 0.06 m, 0.1055 m )

•

(Q x , Q y ) = ( A y, A x ) = (0.000059639 m 3 , = (5.9639 ×10 −4 m 3 , A semic

0.00033929 m 3

)

3.3929 ×10 − 4 m 3

= 12 ( π radio 2 ) = 12 π( 0.06 m ) 2 = 0.005655 m 2

)

( x, y) = ( r 2 , h 2 )

•

= ( 0.06 m, 0.08 m )

( Q x , Q y ) = (A y, A x ) = (0.00040212 m 3 , 0.00030159 m 3 ) = ( 4.0212 ×10 −4 m 3 , 3.0159 ×10 −4 m 3 ) A circ

= π radio2 = π( 0.04 m ) 2 = 0.005027 m 2

(a) los primeros momentos con respecto a los ejes

(∑ Q

x,

∑

Qy

) = −( 4.0212 ×10 − m , 3.0159 ×10 − m ) + (5.9639×10− m , + (3.84 ×10 − m , 5.76 × 10 − m ) + (− 0.72 ×10 − m = (5.0627 ×10 − m , 7.577 ×10 − m ) 4

3

4

4

4

3

3

3

4

4

4

3

4

3

, 1.44 × 10

3

(b) la ubicación de su centroide

∑A = A

trian

+ A rect + A circ − A semic

= 0.0036 m 2 + 0.0096 m 2 + 0.005655 m 2 − 0.005027 m 2 = 0.013828 m 2

∑ ∑ ∑ ∑

−4

m3

−4

m3

3.3929 × 10

3

  Q y Q x    7.577 × 10 − 4 m 3 5.0627 × 10 − 4 m 3     =    ( x, y ) =  , , 2 2      0.013828 m 0.013828 m A A         = ( 0.054795 m, 0.036612 m ) = (5.4795 ×10 − 2 m, 3.6612 ×10 − 2 m )

)

)

área mostrada mostrada en la figura. figura. Ejemplo 5: Localice el centroide del área

Respuesta: Es claro que el área se puede dividir en dos partes básicas: un cuadrado y un triángulo.

En el caso de áreas simétricas el centroide se encuentra en el punto medio del área, entonces, para el rectángulo,

( x, y ) = ( 5 in, 4 in ) y el área se encuentra multiplicando la base  por la altura, entonces,

y

A rect

x

= (10 in ) ( 8 in ) = 80 in 2

Por lo que los primeros momentos son: Qx Qy

= yA = [ 4 in ][80 in 2 ] = 320 in 3 = xA = [ 5 in ][80 in 2 ] = 400 in 3

En el caso del triangulo, el centroide se encuentra mediante las ecuaciones obtenidas en el ejemplo 2: x

 b

= x 0 + = 10 in +

y=

h 3

=

3 12 in 3

9 in 3

= 13 in

= 4 in

y el área se encuentra multiplicando la  base por la altura, entonces,

y

A trián

= 12 ( 9 in )() (12 in ) = 54 in 2

x

Por lo que los primeros momentos son: Qx Qy

= yA = [ 4 in ][54 in 2 ] = 216 in 3 = xA = [13 in ][54 in 2 ] = 702 in 3

Los primeros momentos totales se encuentran sumando los momentos de las dos áreas: rectángulo + triángulo Qx Qy

= 320 in 3 + 216 in 3 = 536 in 3 = 400 in 3 + 702 in 3 = 1102 in 3

y el área total se encuentran sumando las dos áreas: A

= A rect + A trián = 80 in 2 + 54 in 2 = 134 in 2

Entonces, el centroide del área dada es

x= y=

Qy A Qx A

= =

1102 in 134 in

2

536 in 3 134 in

3

2

= 8.2239 in = 4 in

y

área mostrada mostrada en la figura. figura. Ejemplo 6: Localice el centroide del área

Respuesta: Es claro que el área se puede dividir en dos partes básicas: un cuadrado y un cuarto de círculo. Restando al cuarto de de círculo el cuadrado encontramos el resultado:

Para el cuarto de círculo tenemos que

x

=

y=

4r  3π 4r  3π

= =

A 1 círculo 4

Qx Qy

4(16 in ) 3π 4(16 in )

=

3π

πr 2 4

=

= =

64 3π 64 3π

in

= 6.7906 in

in

= 6.7906 in

π(16 in ) 2 4

= 64π in 2 = 201.0619 in 2

64   4096 3 2 ( ) = yA =   π = in 64 in in = 1365.3333in 3    3  3π   64   4096 3 = xA =   in = 1365.3333 in 3  in  (64π in 2 ) = 3  3π  

Para el cuadrado tenemos que x

a

= =

y=

2

a

2

=

A cuadrado Qx Qy

8 in 2 8 in 2

=

a

= 4 in = 4 in 2

= ( 8 in ) 2 = 64 in 2

= yA = ( 4 in ) (64 in 2 ) = 256 in 3 = xA = ( 4 in ) (64 in 2 ) = 256 in 3

Los primeros momentos totales se encuentran restando los momentos del cuadrado a los del cuarto de círculo: 1 4

Qx Qy

círculo − rectángulo

= 1365.3333 in 3 − 256 in 3 = 1109.3333 in 3 = 1365.3333 in 3 − 256 in 3 = 1109.3333 in 3

y el área total se encuentran restando el área del cuadrado a la del cuarto de círculo : A = A 1 círculo 4

− A cuadrado = 201.0619 in 2 − 64 in 2 = 137.0619 in 2

Entonces, el centroide del área dada es

x

=

y=

Qy A Qx A

= =

1109.3333 in 3 137.0619 in

2

1109.3333 in 137.0619 in

3

2

= 8.0937 in = 8.0937 in

y Ejemplo 7 : ¿Cuál es el centroide del área mostrada en la figura. Las unidades corresponden al SI.

1

h

-1

1

=1m x

Respuesta: Es claro que el área se puede dividir en dos partes básicas: un cuadrado y un triángulo. -2

Dado que el cuadrado es una figura Para el triángulo, usamos las ecuaciones geométrica, el centroide se encuentra en el encontradas en el ejemplo 2 para encontrar  el centroide.  punto medio, entonces x

=0

A cuadrado

Qx Qy

y = −1 m

= ( 2 m) 2 = 4 m2

= yA = ( − 1 m ) ( 4 m 2 ) = −4 m 3 = xA = ( 0) ( 4 m 2 ) = 0

x

=0

A triángulo

y=

1 3

m

= 12 ( 2 m ) (1 m ) = 1 m 2

Qx

= yA = ( 13 m )(1 m 2 ) = 13 m 3

Qy

= xA = ( 0 ) (1 m 2 ) = 0

A cuadrado

= 4 m2

A triángulo = 1 m

2

(Q x , Q y ) = ( 13 m 3 , 0)

( Q x , Q y ) = ( − 4 m3 , 0)

Los primeros momentos totales se encuentran sumando los momentos del cuadrado y del triángulo

( Q x , Q y ) = (( − 4 + 13 ) m 3 , 0) = (− 113 m 3 , 0 ) y el área total se encuentran sumando las áreas del cuadrado y del triángulo A = A rect

+ A trián = 4 m 2 + 1 m 2 = 5 m 2

Entonces, el centroide del área dada es x= y=

Qy A Qx A

= =

0

(4 + 2 ) m − 113 m 3 5m

2

2

=−

=0 11 15

m

mostrada en la figura. Ejercicio 8: Localice el centroide del área mostrada Respuesta: El área de esta figura se puede dividir en 3 partes: 1) Un rectángulo de 17 in de base por 9 in de altura que se suma.

2

2) Un cuarto de círculo de 4.5 in de radio que se resta.

3 1

3) Un cuarto de círculo de 6 in de radio que se resta. 1) Rectángulo de 17 in de base por 9 in de altura que se suma.

( x, y ) = ( 8.5 in, 4.5 in ) A cuadrado

= (17 in ) ( 9 in ) = 153 in 2

= ( 4.5 in ) (153 in 2 ) = 688.5 in 3

Q rectángulo

x

Q rectángulo

8.5 in ) (153 in 2 ) = 1300.5 in 3 ( = y

2) Cuarto de círculo de 4.5 in de radio que se resta. 4( 4.5 in )   6   =  8 −  in = 6.0901in x = 8 in − 3π   π   y = 9 in −

4( 4.5 in )

A 1 círculo 4

Q c1x Q c1 y

3π

=

6   =   − 9   in = 7.0901in   π  

π( 4.5 in ) 2 4

= 15.9043 in

2

A 1 círculo 4

= ( 7.0901 in ) (15.9043 in 2 ) = 112.7631 in 3 = ( 6.0901 in ) (15.9043 in 2 ) = 96.8588 in 3 Qx Qy

3) Cuarto de círculo de 6 in de radio que se resta. 4( 6 in ) x = 8 in + = (8 + π8 ) in = 10.5465 in 3π 4( 6 in ) y = 9 in − = (9 − 8π ) in = 6.4535 in 3π

Q c2 x Q c2 y

=

π( 6 in ) 2 4

= 28.2743 in 2

= ( 6.4535 in ) ( 28.2743 in 2 ) = 182.4682 in 3 = (10.5465 in ) ( 28.2743 in 2 ) = 298.1949 in 3

= 688.5 in 3 − 112.7631 in 3 − 182.4682 in 3 = 393.2687 in 3 = 1300.5 in 3 − 96.8588 in 3 − 298.1949 in 3 = 905.4463 in 3

A

= 153 in 2 − 15.9043 in 2 − 28.2743 in 2 = 108.8214 in 2 x

=

y=

Qy A Qx A

= =

905.4463 in

3

108.8214 in

2

393.2687 in 3 in

2

= 8.3205 in = 3.6139 in

Ejercicio 9: Localice el centroide del área mostrada en la figura.

Respuesta: El área de esta figura se puede dividir en 2 triángulos: 1) Un triángulo de 90 mm de base y 270 mm de altura. 2) Un triángulo de 135 mm de base y 270 mm de altura. 1) Triángulo de 90 mm de base por 270 mm de altura (ejemplo 1). 2 b h   ( x, y ) =    ,  = ( 60 mm, 90 mm )   3 3   A1

Q1x Q1 y

= 12 ( 90 mm ) ( 270 mm ) = 12150 in 2

= ( 90 mm ) (12150 mm 2 ) = 1093500 mm 3 = ( 60 mm ) (12150 mm 2 ) = 729000 mm 3

2) Triángulo de 135 mm de base por 270 mm de altura (ejemplo 2).  b h   ( x, y ) =    x 0 + ,  = (135 mm, 90 mm ) 3 3     A2

Q2 x Q2 y

= 12 (135 mm )( 270 mm) = 18225 in 2 = ( 90 mm) (18225 mm 2 ) = 1640250 mm3 = (135 mm) (18225 mm 2 ) = 2460375 mm3

A1

= 12150 in 2

A2

(Q1x , Q1y ) = (1093500 mm 3 , 729000 mm 3 )

= 18225 in 2

(Q 2 x , Q 2 y ) = (1640250 mm 3 , 2460375 mm 3 )

(Q x , Q y ) = (2733750 mm 3 , 3189375 mm 3 ) A

x= y=

Qy A Qx A

= =

= 30375 in 2

3189375 mm 3 30375 mm

2

2733750 mm 3 30375 mm

2

= 105 mm = 90 mm

y

Ejercicio 10 (Ejercicio 5.23): Un alambre delgado y homogéneo se dobla para formar  el perímetro de la figura. Localice el centro de gravedad de la figura formada por el alambre. 225 mm

Respuesta: Debido a que el alambre es homogéneo, su centro de gravedad coincide con el centroide de la línea, de manera que cada segmento de alambre tiene esta misma  propiedad.

x 375 mm

Entonces, para este problema, dividimos el alambre en 3 partes como se muestra en la figura: Pedazo 1: El segmento de la recta que empieza en ( −225 mm, 0) y termina en (375 mm, 0). Pedazo 2: El segmento de la recta que empieza en (0, 225 mm) y termina en (375 mm, 0). Pedazo 3: El arco que corresponde a al cuarto de circunferencia de radio 225 mm y centrado en el origen, colocado en el segundo cuadrante

Pedazo 1: El segmento de la recta que empieza en (−225 mm, 0) y termina en (375 mm, 0).

L1

−225 mm + 375 mm

x1

=

y1

=0

2

= 75 mm

= x f  − x i = 375 mm − ( − 225 mm ) = 600 mm

En los segmentos lineales, los centroides se encuentran a la mitad del mismo.

= ( 75 mm ) ( 600 mm ) = 45000 mm 2 y1L1 = 0

x1L1

Pedazo 2: El segmento de la recta que empieza en (0, 225 mm) y termina en (375 mm, 0). x2 L2

=

0 + 375 mm 2

= 187.5 mm

y2

=

225 mm + 0 2

= 112.5 mm

= ( x f  − x i ) 2 + ( y f  − y i ) 2 = ( 375 mm − 0 ) 2 + ( 0 − 225 mm ) 2 = 437.3214 mm = (187.5 mm ) ( 437.3214 mm ) = 81997.7610 mm 2 y 2 L 2 = (112.5 mm )()( 437.3214 mm ) = 49198.6566 mm 2

x 2L2

Pedazo 3: El arco que corresponde a al cuarto de circunferencia de radio 225 mm y centrado en el origen, colocado en el segundo cuadrante x3 y3

=− =

2r 

π

2r 

π

=

=−

2( 225 mm )

π

2( 225 mm )

L3

=

πr  π( 225 mm) = 2

2

π

2( 225 mm )   π( 225 mm )   =   −    = −( 225 mm) 2 = −50625 mm 2 π 2         2( 225 mm)   π( 225 mm )  = ( 225 mm ) 2 = 50625 mm 2 y3L3 =      π 2       

x 3L3

x1L1 + x 2 L 2

+ x 3L 3 = 45000 mm 2 + 81997.7610 mm 2 − 50625 mm 2 = 76372.7610 mm 2 y1L1 + y 2 L 2 + y 3 L 3 = 0 + 49198.6566 mm 2 + 50625 mm 2 = 99823.6566 mm 2 L1 + L 2

+ L 3 = 600 mm + 437.3214 mm + 353.4292 mm = 1390.7506 mm x

=

y=

76372.7610 mm 2 1390.7506 mm 99823.6566 mm 2

= 54.9148 mm = 71.7768 mm

y Ejercicio 11: Localice el centroide de la  barra doblada en forma de arco parabólico, mostrada en la figura.

y=x2 1m

x 1m