Tema 11-Equilibrio estático

Equilibrio estático de un cuerpo rígido Un cuerpo rígido se encuentra en equilibrio estático si se cumplen las siguientes condiciones necesarias y suficientes:



F 0



o bien ,

F F F

 

M   r  F  0

o bien ,

x

0

y

0

z

0

M M M

x

0

y

0

z

0

En equilibrio estático, tanto las fuerzas externas como sus momentos se encuentran balanceados, por lo cual el sistema de fuerzas externas no impartirán un movimiento translaciones o rotacional al cuerpo rígido en consideración.

Equilibrio estático en dos dimensiones: Consideremos ahora una estructura bidimensional: En este caso, las fuerzas aplicadas están en el mismo plano. Esto implica que las reacciones necesarias para mantener al cuerpo en equilibrio estático también deben estar en el mismo plano.

En este caso, las reacciones se pueden dividir en tres tipos de apoyos (puntos de apoyo) o conexiones:

1. Reacciones equivalentes a una fuerza con una línea de acción conocida. 2. Reacciones equivalentes a una fuerza de magnitud y dirección desconocidas. 3. Reacciones equivalentes a una fuerza y un par.

1. Reacciones equivalentes a una fuerza con una línea de acción conocida:

Los apoyos y conexiones que originan reacciones de este tipo se presentan en la figura, junto con sus reacciones.

Cada uno de estos apoyos puede impedir el movimiento sólo en una dirección. Cada reacción involucra una sola incógnita: la magnitud de la reacción; la línea de acción de la reacción es conocida; y el sentido como se indica en la figura.

2. Reacciones equivalentesa una fuerza de magnitud y dirección desconocidas: Los apoyos y conexiones que originan reacciones de este tipo se presentan en la figura, junto con sus reacciones.

Cada uno de estos apoyos o conexiones puede impedir toda translación del cuerpo en cualquier dirección, pero no puede impedir la rotación del mismo en respecto a la conexión.

En este caso, las reacciones involucran dos incógnitas, usualmente las componentes perpendiculares. En el caso de una superficie rugosa, la componente perpendicular a la superficie se aleja de ésta.

3. Reacciones equivalentes a una fuerza y un par: Los apoyos y conexiones que originan reacciones de este tipo se presentan en la figura, junto con sus reacciones.

Estas reacciones se origina de apoyos fijos, los cuales se oponen a cualquier movimiento del cuerpo, por lo que lo restringen por completo. Los soportes fijos producen fuerzas sobre toda la superficie de contacto, que se pueden reducir a una fuerza y un par.

En este caso, las reacciones producen tres incógnitas: las 2 componentes de la fuerza y el momento del par.

En cualquier caso, cuando el sentido de una fuerza desconocida o un par desconocido no es evidente, se determina arbitrariamente, el signo del resultado indicará si elegimos el sentido correcto o no.

En el caso bidimensional, suponiendo un sistema de coordenadas x-y, se tienen las siguientes características: Fz  0;

M x  M y  0;

Mz  MO

para cada fuerza aplicada sobre la estructura, por lo que, las condiciones de equilibrio estáticio se reducen a

F

x

 0;

F

y

 0;

M

O

0

y a las tres entidades triviales 0=0. Como se debe cumplir que MO=0, independientemente de la elección del origen O, las ecuaciones de equilibrio estático para el caso bidimensional se pueden generalizar como:

F

x

 0;

F

y

 0;

M

A

0

Reacciones estáticas indeterminadas. Restricciones totales.  



Para analizar el proceso, supongamos una armadura sometida a las fuerzas P, Q y S, como se muestra en la figura.

P

Q

S

C

D

A

B

La armadura se encuentra fija en su lugar por un perno en el punto A (2 incógnitas), que ejerce una fuerza A sobre la armadura, y un rodillo en B (una incógnita) que impide que la armadura rote alrededor de A y que ejerce una fuerza B sobre la armadura.

Py

Qy Px

C

Sy Qx

D

Además, también se muestra el peso W de la armadura y las componentes de todas las fuerzas que actúan sobre la armadura.

W

Ax

A

B

Ay

Sx

B

Respecto a los momentos de las fuerzas que actúa, seleccionamos al punto A como referencia.

Podríamos seleccionar cualquier otro punto y obtener el momento total que pude sustituir a cualquiera de las ecuaciones de equilibrio estático.

Sin embargo, como hablamos de equilibrio estático, el punto A nos proporciona un sentido físico más definido que cualquiera otro.

Podemos usar cualquier otro punto para comprobar nuestro resultado.

Cualquier sistema de ecuaciones que obtengamos debe contener una sóla incógnita, de manera que tendremos resuelto el sistema, resolviendo cada ecuación.

En este caso se infiere que el cuerpo rígido está imposibilidado para moverse bajo la acción de las cargas dadas o bajo cualquier condición de carga.

El cuerpo rígido tiene restricción completa, o bien, que son reacciones estáticamente determinadas.

Ejemplo 1: Una grúa fija tiene una masa de 1000 kg y se usa para levantar una caja de 2400 kg. La grúa se mantiene en su lugar por medio de un perno en A y un balancín en B. El centro de gravedad de la grúa está ubicado en G, como se muestra en la figura a) del ejemplo. Determinar las componentes de las reacciones en A y B.

En este caso tenemos las siguientes fuerzas: El peso de la grúa actuando en el punto G.

La fuerza de reacción del perno sobre la grúa actuando en el punto A.

El peso de la caja actuando en el extremo de La fuerza de reacción del balancín sobre la la grúa. grúa actuando en el punto B. F 0   F  0  F  0 M  0  M  0 



FA

x

y



A



 

FB

P

W

z





FA  FA x ˆi  FA y ˆj 

P   m g g ˆj

FB  FB x ˆi 

W  m c g ˆj

FA x  FB  0 FA y  P  W  0 FB d AB  PdGA  Wd CA  0

FA x  FB  0 FA y  m g g  m c g  0 M A  FB d AB  m g gd  GA  m c gd  CA  0





FA y  m g g  m c g  m g  m c g



 1000 kg  2400 kg 9.81 m / s 2  33354 N



FB d AB  m g gd GA  m c gd CA  0 FB  

m g d GA  m c d CA d AB

g

1000 kg2 m   2400 kg6 m  9.81 m / s 2  1. 5 m

 107256 N

FA x  FB  0  FA x  FB  107256 N

FA x  107256 N

FB  107256 N

FA y  33354 N

 107256 N2  33354 N2

FA 

 112322.5N

 33354    arctan   17.3  107256  



F A  112332.5 N



F B  107256 

17.3

Ejemplo 2: Cuando los automóviles C y D se detienen sobre un puente de dos carriles, las fuerzas que ejercen sus llantas sobre el puente son las indicadas en la figura. Determine las reacciones totales en A y B (a) cuando a=2.9 m y (b) cuando a=8.1 m.

En este caso tenemos las siguientes fuerzas: La fuerza que cada llanta del automóvil FC actuando sobre el puente. La fuerza que cada llanta del automóvil FD actuando sobre el puente.

La fuerza de reacción del perno sobre el puente actuando en el punto FA. La fuerza de reacción del rodillo sobre el puente actuando en el punto FB. 12 m a 2

a 3.9 kN

6.3 kN

2.6 m

FA x  0

7.9 kN

7.3 kN

2.8 m

FA y  FB  3.9 kN  6.3 kN  7.8 kN  7.3 kN  0  FA y  25.3 kN  B

12 m a 2

a 3.9 kN

6.3 kN

2.6 m

7.9 kN

7.3 kN

2.8 m

M A  FB 12 m   3.9 kNa   6.3 kN2.6 m  a  a a     7.8 kN12 m   2.8 m   7.3 kN12 m    0 2 2   

FB 

2.65 kNa   175.74 kN m 12 m

FA  25.3 kN  FB

FB 

2.65 kNa   175.74 kN m 12 m

(a) Cuando a=2.9 m  2.65 kN2.9 m   175.74 kN m FB   15.3 N  F B  15.3 N  12 m 

FA  25.3 kN  FB  10.0 N  F A  10.0 N 

(b) Cuando a=8.1 m  2.65 kN8.1 m   175.74 kN m FB   16.4 N  F B  16.4 N  12 m 

FA  25.3 kN  FB  8.7 N  F A  8.7 N 

Ejemplo 3: Se aplican 3 cargas a una viga como se muestra en la figura. La viga se apoya en un rodillo en A y en perno en B. Sin tomar en cuenta el peso de la viga, determine las reacciones en A y B cuando P=15 N.

En este caso tenemos las siguientes fuerzas:  La reacción en A, que es vertical.  La reacción en B que tiene 2 componentes rectangulares.  Las aplicaciones mostradas en la figura, todas ellas verticales hacia abajo.

F  F  0  F  F  F 15 N  6 N  6 N  0  M  15 N3 m  F 9 m  6 N11 m  6 N13 m  0 x

Bx

y

A

A

By

By

FB x  0 FA  FB y  15 N  6 N  6 N  0

 15 N 3 m  FB y 9 m  6 N 11 m  6 N 13 m  0

FB x  0 FB y



15 N 3 m   6 N 11 m   6 N 13 m   21 N 

 F B  21 N 

9m



FA  15 N  6 N  6 N  FB y  6 N  F A  6 N 

Ejemplo 4: Dos niños están parados sobre un trampolín que pesa 649.67 N. Si los pesos de los niños, ubicados en C y D son, respectivamente, 280.34 N y 400.48 N, determine las reacciones en A y en B.

Respuesta: Empecemos haciendo un diagrama de cuerpo libre. En este caso tenemos las siguientes fuerzas:  La reacción en A.  La reacción en B.  Las aplicaciones: los pesos de los niños y del trampolín.

FAx FAy

FB

F  F  0  F  F  F  649.67 N  280.34 N  400.48 N  0  M  F 1.10 m  649.7 N1.54 m  280.34 N2.09 m  400.48 N3 m  0 x

Ax

y

Ay

A

B

B

FAx FAy

FB 

FB

649.7 N 1.54 m   280.34 N 2.09 m   400.48 N 3 m   2534.46 N 1.10 m



 F B  2534.46 N 

FA x  0 FA y  649.67 N  280.34 N  400.48 N  FB  1203.97 N 

 F A  680.17 N 

Ejemplo 5: Un carro de carga se encuentra en reposo sobre un carril que forma un ángulo de 25° con respecto a la vertical. El peso total del carro y su carga es de 5500 lb y éste actúa en un punto que se encuentra a 30 in del carril y que es equidistante a los dos ejes. El carro se sostienen por medio de un cable que está unido a éste en un punto que se encuentra a 24 in del carril. Determine la tensión en el cable y la reacción en cada par de ruedas.

Respuesta: Primero se dibuja el diagrama de cuerpo libre.

Se selecciona un sistema de referencia con el eje x paralelo al carril.

La reacción en cada llanta es perpendicular al carril.

La fuerza de tensión T es paralela al carril.

De esta forma, el peso W tiene dos componentes; Wx  W cos 25  5500 in cos 25  4984.69lb

Wy   W sen 25  5500 in sen 25  2324.40lb

Wx  4984.69lb Wy  2324.40lb

Para simplificar el problema, se usan dos condiciones de equilibrio para momentos, en A y B, y una para fuerza.

M



A

  Wy 25 in   Wx  6 in   R 2 50 in   0

R 2  Wy

M



B

  W    1760.36lb 25 in 50 in

6 in x 50 in



  Wy  25 in   Wx  6 in   R 1  50 in   0

R1  Wy

  W    564.04lb 25 in 50 in

6 in x 50 in

F

x

 Wx  T  0

T  Wx  4984.69 lb 



Ejemplo 6: El marco mostrado en la figura sostiene una parte del techo de un pequeño edificio. Se sabe que la tensión en el cable es de 150 kN, determine la reacción en el extremo fijo E.



DF  4.5 m ˆi  6 m ˆj 

DF 

4.5 m 2  6 m 2

 7.5 m

 4.5 m ˆi  6 m ˆj DF   0.6 ˆi  0.8 ˆj 

7.5 m



F DF





 150 kN 0.6 ˆi  0.8 ˆj  90 kNˆi  120 kNˆj



F  0



M

E



F

 E x  90 kN  0

E x  90 kN  E y  200 kN Fy  E y  420 kN  120 kN  0 x

  20 kN 7.2 m   20 kN 5.4 m   20 kN 3.6 m   20 kN 1.8 m   120 kN 4.5 m   M E  0  M E  180 kN m

200 kN

Ejemplo 7: Un peso de 400 lb se une a la palanca mostrada en la figura en el punto A. La constante del resorte BC es k=250 lb/in y éste no se encuentra deformado cuando q=0. Determine la posición de equilibrio.

Sea s la elongación del resorte a partir de la posición en la que no se encuentra deformado. s  rq

Ley de Hooke F  ks  krq

El momento de la fuerza en O es

M

O

 W sen q  rF  W sen q  r krq  0

kr 2  sen q  q  sen q  0.703125 q W

q  0,  1.40193 rad  80.3247º

Ejemplo 8: Para mover dos barriles con peso de 80 lb cada uno se utiliza una carretilla. Sin  tomar en cuenta la masa de la carretilla, determine (a) la fuerza vertical P que debe aplicarse en el manubrio para mantener el equilibrio cuando =35°, (b) la reacción correspondiente en cada una de las dos ruedas.





F 0 

F

y

M

B

F

x

0

 P  2R  W1  W2  0

 PdBA  W1d BG  W2d BG2  0 1



d  BA  L cos   64 in cos 35  52.43 in

P  y W2

v w

w  20 in sen 35



dBA

W1

v  8 in cos 35

d  BG  w  v  20 in sen 35  8 in  cos 35  4.92 in 1

dBG1

y  32 in cos 35

dBG2 

d  BG 2  y  w  32 in cos 35  20 in sen 35  14.74 in

2R Efecto de 2 ruedas

Pd  BA  W1d  BG  W2 d  BG 2  0  P  1

P  2R  W1  W2  0  R 

 W1d  BG  W2 d  BG 2 1

d  BA

 14.98 lb

 P  W1  W2  72.51 lb 2

 DF

R

R

R

R Ex ME Ey

T