Tema 10. Sistemas Trifásicos Equilibrados

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10. SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS En Electrotecnia es habitual la utilización de tensiones y corrientes en c.a en sistemas trifásicos a tres o cuatro hilos. Los sistemas trifásicos equilibrados se caracterizan porque las tensiones y corrientes en distintas partes del sistema son iguales en módulo y desfasadas 120º entre sí.

10.1. 10.1. Esqu ema general de los sis temas trifásic os

En general un sistema trifásico está constituido por fuentes, cables o líneas de distribución y cargas.

Fuentes

Líneas

Carga trifásica equilibrada

Cargas monofásicas repartidas

Cargas bifásicas repartidas

Las fuentes pueden estar dispuestas en estrella (Y) o en triángulo ( )

Los hilos (o líneas) de la distribución son 3 en el caso de fuentes en triángulo o en estrella sin neutro distribuido y 4 en el caso de fuentes en estrella con neutro distribuido.

Las cargas pueden ser trifásicas (en Y o en   la forma más habitual de conectar las cargas trifásicas equilibradas es en paralelo, es decir, sometidas a la

1

 Fundamentos  Fundamentos de Electrotecnia. Electrotecnia. Tema 10: Sistemas trifásicos equilibrados equilibrados .2

misma tensión , cargas monofásicas (solo en caso de sistemas a 4 hilos) que se conectan entre las distintas líneas y el neutro ( A-N,  A-N, B-N, C-N ) repartiéndolas de f orma equilibrada y más raramente cargas bifásicas bifásicas conectadas conectadas entre dos líneas líneas ( A-B, B-C,

C-A) distribuyéndolas entre ellas de forma equilibrada. La forma más inmediata de imaginar una fuente de tensión trifásica es considerando tres fuentes de tensión monofásicas cuyas tensiones están desfasadas entre sí 120º actuando conjuntamente.

N

S

 A  A’ 

Si consideramos otros dos artilugios como el de la figura anterior pero con las posiciones de la espira giradas 120º en sentido positivo en un caso y 120º en sentido  A’, B-B’, C -C’   se obtendrían tensiones negativo en el otro entre los terminales  A- A’,

senoidales desfasadas 120º eléctricos entre sí.

Más sencillo resulta poner poner tres espiras desfasadas 120º en el espacio movidas movidas al mismo tiempo por un eje.

Las tensiones inducidas en las espiras son senoidales de la misma amplitud y pulsación y estarán desfasadas 120º eléctricos en el tiempo, se tiene una fuente de tensión que produce tres tensiones simultáneamente, es decir, una fuente de tensión trifásica.

2

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Representación temporal

 A’ 

B’ 

+ Z  A  A U  A A’ 

u(t) A,A’ 

u(t)B,B’  u(t)C,C’ 

Representación fasorial U CC  ’  

+ Z B B

U  A A’ 

U BB’  C’ 

+ Z C  C U CC’ 

U BB

En la figura, en serie con la fuente ideal de tensión se pone una impedancia la cual contiene la resistencia de la espira y una reactancia inductiva, ese es el circuito equivalente de la fuente de tensión real formada por la espira. En la práctica en lugar de una sola espira se ponen muchas espiras en serie formando una bobina.

Las fuentes de tensión lo que hacen es producir tres tensiones senoidales entre sus terminales desfasadas entre sí 120º las cuales se representan mediante sus senoides pero es mucho más cómodo y práctico representarlas por sus fasores.

 Antes de seguir se dan un par de definiciones

Fase: cualquier parte de un sistema trifásico donde se genere, transporte o consuma energía eléctrica. Se suelen denominar por  A-B-C, R-S-T, 1-2-3,

U-V-W, etc.

Secuencia de fases: orden en el cual se suceden los fasores de tensión e intensidad teniendo en cuenta que éstos son números complejos que giran en sentido positivo (antihorario) a una velocidad angular   . En la figura anterior el orden de sucesión (paso de los fasores por una referencia fija, por ejemplo el eje real) de las tensiones es primero la U  A luego la U B y por último U C .   Al ser  A-B-C  (1-2-3, U-V-W, R-S-T, …) una sucesión creciente se dice que la secuencia de fases es positiva o directa, si el orden de paso fuera  A-C-B-

 A…se diría que la secuencia de fases sería negativa o inversa (coincide con el orden que tendrían si en lugar de girar en sentido positivo lo hicieran en sentido negativo)

3

 Fundamentos de Electrotecnia. Tema 10: Sistemas trifásicos equilibrados .4

 positiva

negativa

U CC’ 

U BB’ 

 U  A A’ 

U BB’ 

2.1.



U   A A’ 

U CC’ 

Tipo s de tensi on es en un sis tema trifásic o

Según se comentó anteriormente tanto las fuentes como las cargas en un sistema trifásico pueden estar conectadas en estrella o en triángulo y eso da lugar a la aparición de dos conjuntos de tensiones, tensiones de fase y de línea

Con exión en estrella Representación temporal

+ U  AN 

Z  A

 A

+

Z B

B

+ U CN 

Z C 

C

u(t) A,A’ 

u(t)B,B’  u(t)C,C’ 

Representación fasorial U CN  

 A’=B’=C’=N 

U BN 

U  AN 

U BN 

N

Si los puntos  A’, B’, C’   se unen entre sí a un punto común (que se denomina

neutro) se tiene una conexión que se llama en estrella. Se puede sacar un hilo desde ese punto (al que se le llama conductor del neutro) entonces se dice que se tiene una fuente trifásica a 4 hilos, en caso de que no exista ese conductor se dice que es a 3

hilos. Tensión sim ple

 A la tensión que se puede medir entre cada terminal A, B, C  y el punto neutro N  se le denomina tensión simple, dado que lo conectado entre el punto  A, B, C   y el neutro N   es una fase de la fuente trifásica la tensión de fase en una conexión en

estrella coincide con la tensión simple. 4

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1 Representación fasorial concurrente U CN 

 A Z  A U  AN 

+



U  AN 

U  AN  N

 A’=B’=C’=N 

U BN 

+

U CN 

U BN  +

Z C 

U BN 

2 Representación fasorial sucesiva

U CN 

Z B

B

B

U BN 

C U  AN 

N 

A

U CN  C

Esta tensión admite dos representaciones fasoriales, la mostrada como 1 en la figura anterior se llama notación concurrente porque todos los fasores concurren en el origen del plano complejo.

La representación mostrada con 2 se llama sucesiva y sigue el criterio de representar las tensiones con flechas de valoración partiendo de un punto origen ( A, B,

C en este caso) hasta un punto destino ( N )  Ambas notaciones dicen exactamente lo mismo lo único que varía es el origen del plano complejo que en la notación concurrente es único mientras que en la sucesiva se sitúa en los orígenes de los fasores pero en ambos casos se aprecia que U  A  U 0 

U B  U   120 

U C   U 120 

Tens ión d e línea o co m pu esta

Las anteriores no son las únicas tensiones que se pueden medir, de hecho las que siempre se pueden medir son las tensiones U  AB , U Bc  , U CA  , entre los distintos terminales a estas tensiones se le llama línea o compuestas

La relación entre las tensiones simples y de línea es muy sencilla ya que

U  AB



U  A



U B

U BC   U B



U C 

U CA



U C   U  A

5

 Fundamentos de Electrotecnia. Tema 10: Sistemas trifásicos equilibrados .6

Lo que conduce a las tensiones indicadas en la figura siguiente en las cuales se puede ver que la tensión de línea es 3  veces mayor que la simple de su mismo origen y está adelantada respecto a esta 30º, con la notación concurrente es necesario hacer una pequeña cuenta sin dificultad pero en la notación sucesiva las tensiones de línea se obtienen directamente en módulo y argumento uniendo los vértices del triángulo equilátero de tensiones ABC .

+ Z  A U  AN 

Representación fasorial concurrente -U   A

 A

U C 

U   AB N

+ Z B U BN 

B

+

C

U CA

U CA

U CN 

B

-U B 

U  AB N

U BC 

A

U   A U B

U BC  Z C 

U   AB

Representación fasorial sucesiva

U  AB=U  3 30  A   U BC =U B   3 30 U CA=U C    30   3 

U BC 

U CA C

-U C 

N

Se había partido de que las tensiones eran de secuencia directa si fueran de secuencia inversa el resultado sería que la tensión de línea es

  3 veces mayor que la

simple de su mismo origen y está retrasada respecto a esta 30º. Representación fasorial concurrente -U C 

+ Z  A U   AN 

 A

U BC  U B

U   AB N

B

+ Z B U BN 

U CN 

U CA N

U  A

U CA U BC 

C



U BC 

A

U CA

C

+ Z C 

Representación fasorial sucesiva

U  AB=U  3 -30  A.   U BC =U B.   3 -30 U CA=U C.     3 -30

U C 

-U B U  AB

U   AB

-U   A

B

N

Con exión en t riáng ulo

Si en lugar de unir los puntos  A’, B’, C’   en un punto único se hacen las conexiones de la figura ( A’ -B, B’ -C, C’ -A) se tiene una conexión en triángulo.

6

 Fundamentos de Electrotecnia. Tema 10: Sistemas trifásicos equilibrados .7

Representación fasorial

Representación temporal

 A’ 

+ Z  A U  A A’ 

 A

+ Z B

B

U CC  ’ 

u(t)B,B’  u(t)C,C’ 

u(t) A,A’ 



B’ 

U  A A’ 

U BB’  C’ 

U CC’ 

 A

+ Z C 

C

U BB

Representación fasorial concurrente U CA

Z  A U   AB

+

U CA

U   AB B



U CA

+ Z C 

Representación fasorial sucesiva

U BC  +

Z B

U  AB

A

U CA

U BC 

B

U  AB U BC  C

U BC 

C

tensiones simples asociadas a las de línea

Como lo existente entre  A y  A’ = B, entre B y B’ = C y entre C  y C’ = A es una fase de la fuente en el caso de la conexión en triángulo la tensión de cada fase es

la tensión de línea o compuesta. En esta conexión solo se pueden medir tensiones de línea, no se pueden medir tensiones simples ya que no hay neutro, tampoco puede haber 4 hilos sino solamente tres, en el caso de la conexión en triángulo la tensión de cada fase es la compuesta o de línea.

 Aunque no existen tensiones simples se puede asociar al conjunto de tensiones de línea un conjunto de tensiones simples cuya composición nos llevara a las mismas tensiones de línea, en la notación sucesiva serían los fasores que desde los vértices del triángulo  ABC   apuntan al baricentro del triángulo de la figura anterior.

TENSIONES

CONEXIÓN EN Y 

CONEXIÓN EN

U  AN , U BN , U CN  U de fase

Coinciden con las

U  AB, U BC , U CA

tensiones s i m p l e s   U de línea

U  AB, U BC , U CA

U  AB, U BC , U CA

7

 Fundamentos de Electrotecnia. Tema 10: Sistemas trifásicos equilibrados .8

2.2.

Tipo s de co rrient es en un sis tema trifásic o

De la misma forma que para las tensiones, en los sistemas trifásicos se pueden dar dos conjuntos de corrientes.

Co rr ien tes de l íne a

Son las corrientes que circulan por las líneas de un sistema trifásico, estas corrientes siempre se pueden medir Corrientes de línea

+

Z   A

I   A

 A

→I  I  +I  A +I  B  C = 0  N =0

Z CA

U   AN  U   AB

+ N

I B

B

Z B

Z CB

U BN  U BC 

+

C

Z C 

I   A

I C  N  ’ 

U CA

I C 

Z CC  I B

U CN  N

I N  =0

El sistema de la figura están cargado con unas impedancias de carga Z CA , Z CB,

Z CC  que son iguales entre sí lo que hace que circulen las corrientes I  A , I B , I C ,   por las líneas, estas corrientes son iguales en módulo y están desfasadas 120º entre sí con lo cual siempre suman cero. Como consecuencia la corriente que sale del neutro de la carga N’  será nula. En la figura anterior como las fuentes y las cargas están conectadas entre sí en

estrella la corriente de cada fase coincide con la corriente de línea Corrientes de fase

Consideremos unas cargas Z  AB, Z BC , Z CA, iguales conectadas en triángulo, aparecen unas corrientes I  AB , I BC  , I CA , iguales en módulo y desfasadas 120º entre sí que son distintas a las corrientes de línea anteriores.

8

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Corrientes de línea

+

I   A

 A

Z   A

Corrientes de fase

U   AN 

I   AB

U   AB N

+ U BN 

Z B

+

Z C 

B

U CA

Z CA

I BC 

U BC 

C

I CA

Z BC 

I C 

I   AB

I CA

Z   AB

I B

U CN 

I BC 

Estas corrientes son las que circulan por las fases del triángulo y en consecuencia se llaman corrientes de fase, hay que notar que mientras que en la conexión en estrella la corriente de cada fase coincide con la de línea, en la conexión triángulo las corrientes de fase y línea son totalmente distintas, la relación entre ellas viene dada por la 1ª ley de Kirchoff aplicada a los nudos.

I  A



I  AB



I CA

I B



I BC 



I  AB

I C 



I CA



I BC 

El sistema de ecuaciones anterior solo es resoluble si se conocen las corrientes de fase I  AB , I BC  , I CA , las corrientes de línea en función de las de fase se determinan en la figura siguiente. Corrientes de línea

+ U   AN 

Z   A

N

Z B

B

U BN 

U CA

I B

Z C 

C

Z   AB I BC 

I C 

Z BC 

U CN 

I C=I  3 -30   CA.  

I C 

-I BC 

I   AB

U BC 

+

I B=I BC.   3 -30

I   A

 A U   AB

+

I  3 -30  A=I   AB.  

I   AB

I CA Z CA I CA

-I CA I   A

I B

I BC  -I   AB

Las corrientes de línea tienen un módulo 3 veces mayor que las de fase y retrasan respecto a éstas 30º cuando son de secuencia positiva (en caso de ser de secuencia negativa adelantarían 30º).

CORRIENTES

CONEXI N EN Y 

I de fase

I  A, I B, I C 

I  AB, I BC , I CA

I de línea

I  A, I B, I C 

I  A, I B, I C 

CONEXIÓN EN

9

 Fundamentos de Electrotecnia. Tema 10: Sistemas trifásicos equilibrados .10

2.3. Reduc ción de sis temas trifásic os a un a con figur ación Y-Y Se acaba de ver que tanto las fuentes como las cargas pueden estar conectadas en estrella (Y) o en triángulo ( ), lo más cómodo para resolver los sistemas trifásicos equilibrados es pasar a la configuración en Y tanto en las fuentes como en las cargas.

Conversión de fuentes en

a fuentes equivalentes en Y

Esta conversión se realiza poniendo fuentes de tensión ideales en estrella con los valores de las tensiones simples asociadas a las tensiones de línea de las fuentes conectadas en . Por su parte las impedancias en serie con las fuentes en estrella son los equivalentes en estrella de las impedancias de las fuentes en , al tratarse de tres impedancias iguales las equivalentes en estrella son 1/3 de las del triángulo.

U   AB

A

A

B

U BC 

U CA

C

+

Z  /3

+

Z  /3

B

+

Z   /3

C

 A

U   A

Z 

U   AB

U   AB

+ U CA

U   AB

B U CA

+ Z 

B

U B

U C 

C

 A

U   A

U BC  +

Z 

N

U CA

U B

U BC 

U BC 

U C 

C

Conversión de cargas en

a cargas equivalentes en Y 

Se hace uso de la transformación Y  Al tratarse de tres impedancias iguales en triángulo las equivalentes en estrella son 1/3 de las del triángulo.

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 Fundamentos de Electrotecnia. Tema 10: Sistemas trifásicos equilibrados .11

Z C  /3 Z C  Z C  /3 Z C  Z C  /3 Z C 

Circu ito m on ofásico equiv alente en estrella

Una vez que el sistema trifásico se tiene pasado a la configuración Y-Y en fuentes y cargas se pasa a un circuito monofásico.

+

Z F 

I   A

 A

I  +I  A +I  B  C = 0

Z C 

U   A U   AB

+ N

I B

B

Z F 

Z C 

U B U BC 

+

N  ’ 

U CA

I C 

C

Z F 

I   A

I C 

Z C  I B

U C 

Si se unen los puntos neutros N y N’  la corriente que circula entre ellos es nula Corrientes de línea

+

Z   A

I   A

 A

→I  I  +I  A +I  B  C = 0  N =0

Z C 

U   AN  U   AB N

+ U BN 

I B

B

Z B

U BC 

+ U CN 

C

Z C 

Z C 

I   A

I C  N  ’ 

U CA

I C 

Z C  I B

N

I N  =0

Se puede descomponer el circuito trifásico en tres monofásicos, la corriente en el neutro será la suma de las corrientes de cada uno de los circuitos monofásicos y su suma es nula.

11

 Fundamentos de Electrotecnia. Tema 10: Sistemas trifásicos equilibrados .12

+

Z F 

 A

I   A

Z C 

+

Z F 

B

I B

Z C 

+

Z F 

C

U   A N  ’ 

U B

N

I C 

Z C 

U C  I   A

Se

selecciona

por

tanto

un

circuito

monofásico

y

se

resuelve,

el

comportamiento de las otras fases es el mismo solo que sus tensiones y corrientes estarán desfasadas 120º y 240º respectivamente. El circuito monofásico seleccionado se denomina equivalente en estrella y en ese circuito las tensiones son simples (línea-neutro) y las corrientes son de línea

Una vez determinadas las tensiones simples y corrientes de línea, la obtención de las tensiones de línea y las corrientes de fase (en los elementos que estén en ) es inmediata.

2.4.

Potenc ia en sis temas trifásic os equil ibrad os

Po ten ci a tri fási ca i ns tan tánea

Supongamos un circuito trifásico como el indicado +

I   A

 A

R

U   A U C 

+ N

I B

B

R

U B

N  ’ 

U   A I C 

I   A I B

+

I C 

C

R U B

U C 

Las tensiones e intensidades están en fase, sus expresiones temporales son

u A i  A





2   U  cos(  t     )

uB

U  t     )  cos(   R 

uB

2  





2   U  cos(  t     120  ) 2  

U   )  cos(  t      120  R 

uC   2   U  cos(  t      240  ) uC   2  

U   )  cos(  t      240  R 

La potencia instantánea en cada fase

12

 Fundamentos de Electrotecnia. Tema 10: Sistemas trifásicos equilibrados .13

 p A  pB





u A  i  A

uB  i B



2 



2 

2  U 2  2  U  ( 1  cos( 2 (  t     )))  (cos(  t     ))  R  R 

U 2  U 2   ))2   ( 1  cos( 2 (  t      120  )))  (cos(  t      120  R  R 

U 2  U 2  2   pC   uC   i C   2   ))  ( 1  cos( 2 (  t      240  )))  (cos(  t      240  R  R 

La potencia instantánea trifásica total es

3

U 



2 

R 

 que es un valor constante y no

fluctuante como sucedía en el caso monofásico, en general para cualquier otro valor de impedancia de carga de argumento “   “ se obtendría  p A   pB



 pC 



3  U   I   cos  

siendo igualmente constante, esa es una de las ventajas que tiene la alimentación trifásica, otra ventaja frente a la alimentación monofásica a igual tensión es que para una misma potencia a transportar las pérdidas en los cables (supuestos de igual sección) son un 50% menores como consecuencia de que las corrientes serían menores.

Potencia com pleja en fun ción de valores de fase

La potencia compleja en un sistema trifásico equilibrado es el triple de la potencia compleja por fase.

S 3F 



3  S 1F 



3  U F   ( I F  )* 

En la expresión anterior



3  ( U F   I F   cos   jU F   I F   sen  )  3( P F    jQF  )

  es el ángulo entre la tensión de fase e intensidad de

fase, el cual coincide con el argumento de la impedancia (real o aparente) de fase. Hay que observar que los valores U F  e I F dependerán de la configuración que   se tenga.

Si se trata de una conexión en Y U F  es una tensión simple e I F  es una corriente de línea Si se trata de una conexión en

U F  es

una tensión de línea e I F  es

una corriente de fase De la expresión de la potencia compleja y de lo dicho anteriormente se llega a:

13

 Fundamentos de Electrotecnia. Tema 10: Sistemas trifásicos equilibrados .14

S 3F 



3  U F   I F   cos     j 3  U F   I F   sen  

3  U L  I L  cos     j  3  U L  I L  sen 

Siendo U L e I L la tensión e intensidad de línea ya que si se trata de una conexión estrella

I F 

I L 

3

U F 

U L 

3

  mientras que

mientras que

Sin embargo

U F 



I F 



I L  

y si se trata de una conexión en triángulo

U L

  sigue siendo el ángulo entre la tensión e intensidad de fase y

no el ángulo entre la tensión y corriente de línea. R

I   A=I  L

 A

+

U   AB

-U B

U   A U F

U L B

+ N

I B

U C 

R

U B

U   A

I C 

N  ’ 

I   A I B

I C 

C

+

R U B

U C 

En este ejemplo sencillo se ve claramente la diferencia, la tensión de línea U  AB y la corriente de línea I  A forman un ángulo de 30º (en adelanto la tensión respecto de la corriente) sin embargo al ser un conjunto de resistencias en la expresión de la potencia activa

P 3F 



3 U L I L cos  





el ángulo

 = 0 y no 30º

Med ida d e la pot enc ia trif ásic a

Sistemas a 4 hilos

Corresponde a una configuración en Y-Y en las fuentes y cargas con el neutro distribuido, en este caso basta con medir la potencia en una fase, la potencia trifásica (activa y reactiva) será el triple de la lectura.

14

 Fundamentos de Electrotecnia. Tema 10: Sistemas trifásicos equilibrados .15

W ó VAr *

+

 A

U   A

N

I   A

Z

I B

Z

*

+

B

+

C

N  ’ 

U B I C 

Z

U C 

Sistemas a 3 hilos

Corresponde a configuraciones Y-Y sin neutro o bien  -Y, Y-  o  en este caso y tratándose de sistemas equilibrados es necesario disponer un neutro artificial formado por tres impedancias iguales una de las cuales es la del circuito de tensión del vatímetro (o vármetro)

W ó VAr *

+

 A

U   A

N

I   A

Z

I B

Z

*

+

B

+

C

N  ’ 

U B I C 

Z

U C  Z’ 

Z’ 

Neutro artificial

Lo más usual sin embargo es utilizar equipos trifásicos, generalmente de tipo electrónico los cuales hacen una medida fase a fase y proporcionan como lectura la del conjunto, tanto en potencia activa como de reactiva.

+

 A

I   A

Z

+

B

I B

Z

+

C

U   A

N

circuito 3F

U B I C 

N  ’ 

Z

U C  Z’ 

15

 Fundamentos de Electrotecnia. Tema 10: Sistemas trifásicos equilibrados .16

Existen dos tipos de equipos electrónicos para la medida de la potencia activa

Medida en dos cuadrantes Medida en los cuatro cuadrantes

Hacen referencia a los cuadrantes del plano complejo de potencias

2: P0

 jQ

1: P>0, Q>0 P

3: P