Tema 1 Geometria y Trigometria Plana

 

 

GEOMETRÍA 

GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA PLANA

 ÁREA DE ÁLGEBRA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS  

 

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Tema # 1 

Índice 

Pág. 

TEMA1  1.1.

Conceptos fundamentales 1.1.1 Segmentos: operaciones 1.1.2 Ángulos: sistemas de medidas,  transformaciones 1.2. Triángulos 1.2.1 Definición, notación, representación,  elementos, clasificación, líneas y puntos notables 1.2.2 Ángulos en el triángulo, congruencia de triángulos, postulados 1.2.3 Propiedades de los triángulos: isósceles, equilátero, rectángulos 1.2.4 Semejanza de triángulos. t riángulos. postulados, propiedad del baricentro 1.2.5 Resolución de triángulos rectángulos: relaciones métricas y trigonométricas

2 5 12  20  20  23  28  31  34 

 

1.2.6 Resolución deytriángulos trcosenos iángulos escalenos: Ley de senos

35 

Recursos complementarios  Bibliografía  Actividades de aprendizaje aprendizaje 

36  37  38 

1 

 

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Tema # 1 

1. TEMA 1  1.1 Conceptos fundamentales La geometría es la ciencia estudia las formas espaciales del mundo, basada en un conjunto de preposiciones queque estudia la forma, propiedades y medida de lasestá figuras y cuerpos geométricos. (G.Calvache, Rosero, & Yaselga, 2006, pág. 1)   Antes de empezar el estudio de la geometría plana es importante conocer algunos conceptos básicos que resultan ser abstractos y existen solo en la mente del observador, por ejemplo al mirar un tanque de reserva se lo puede relacionar con un cilindro, sin importar el material, color, peso, tamaño, etc; Se lo llega a relacionar con esta forma ya que el cerebro humano crea ideas abstractas el cual permite dar un nombre a los diferentes objetos.   En la geometría existen términos complejos de definir, ya que representan un elemento abstracto y cada persona puede llegar a tener una interpretación diferente de acuerdo a su nivel cognitivo, algunos de los términos no definidos son: plano, punto, recta, espacio, medida.  a. Plano.  Al ser un concepto abstracto al plano se lo puede relacionar con una superficie que

toma una forma determinada, como por ejemplo un paralelogramo. Posee dos dimensiones longitud y altura. Se lo representa por medio de una letra mayúscula ubicada en el interior de su representación.   A  B 

Plano A  Plano B  b. Punto. Según Euclides: “Punto es lo que no tiene partes”, es decir carece de altura, anchura y longitud, pero si tiene posición, para una mejor comprensión de este término al punto se lo puede relacionar como la marca que deja un esfero al presionarlo sobre un papel, también se lo encuentra en la intersección de dos rectas. Su representación está dada por medio de una marca ( . o x ), conjuntamente con una letra mayúscula escrita cerca de la representación gráfica, por ejemplo: 

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Tema # 1 

Línea recta. Se defina como la sucesión infinita de puntos, que siguen la siguiente forma:  

Punto A 

Punto E  Recta ⃡AB, B 

Una recta está determinada por dos puntos como se observa en la figura y se la representa por medio de los dos puntos, o de un punto de la recta.  c. Semirrecta. Si se fija un punto A, el conjunto de puntos que le siguen o preceden del mismo lado de A y B excluyendo A se llama semirrecta.  

   Semirrecta   d. Segmento. Es la figura geométrica de puntos colineales limitada por dos puntos A y B que forman los extremos del segmento. 

Segmento ̅   e. Curva. Es aquella que no tiene puntos rectos como se muestra en la figura. (Pearson educación, 2009) 

Curva AB 

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f. Arco. Porción de una curva limitado por dos puntos no coincidentes como se muestra en la figura. 

   Arco  g. Figura geométrica. Es un conjunto no vacío de puntos, es decir una extensión limitada por puntos, líneas y superficies.  

h. Cuerpo sólido. Es todo aquello que ocupa un lugar en el espacio y posee altura, longitud, anchura. 

Prisma rectangular y cilindro  i. Proposición. Es el enunciado de una verdad, de un principio, de una propiedad por resolver o demostrar.   Axioma      n        ó        i      c        i      s      o      p      o      r        P

Postulado Teorema Corolario Problema

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Tema # 1 

Axioma. Es la proposición, que siendo evidente no necesita demostración, por ejemplo:    Dos puntos diferentes determinan una recta y solo una.   Sobre cualquier recta hay al menos m enos dos puntos diferentes.  Postulado. Son proposiciones, cuya verdad, aunque no tenga la evidencia de un axioma,   recta.   se lo sinpuntos demostración, ejemplo:  acepta Por dos distintos por pasa solo una   Toda recta puede prolongarse indefinidamente en los dos sentidos.    Por tres puntos dados no colineales pasa un plano y solo uno.     Se puede trazar un círculo con centro y radio dados.  Teorema. Es la proposición cuya verdad necesita ser demostrada, si se logra demostrar un teorema se lo puede utilizar como base de demostraciones de otros teoremas, un teorema se divide en dos partes; Hipótesis que son las condiciones y datos del teorema; Tesis: Es la propiedad a demostrarse, por ejemplo:    Dos ángulos opuestos por el vértice son iguales.     La suma de los ángulos internos de un triángulo son 180º.     Todos los puntos de la mediatriz de un segmento, equidistan de sus extremos.  

Es una proposición resultado de la demostración de un teorema por lo cual no Corolario. requiere demostración.    Del postulado de Euclides: “Por un punto exterior a una recta, r ecta, pasa solo una paralela a esa recta”. Se obtiene el siguiente corolario: “Dos rectas paralelas a una tercera, son paralelas entre sí” (Pearson educación, 2009)  Problema. Es una situación particular que requiere una resolución.  

1.1.1 Segmentos: operaciones Como se describió describió anteriormente un segmento es un una a figura geométrica limitada por dos puntos AB AB que forman sus extremos, los puntos que se encuentran entre A y B se los denomina puntos interiores, o simplemente puntos del segmento AB. 

Segmento ̅  

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Tema # 1 

Propiedades de un segmento  1.

Dados los puntos colineales A, B y C; B está entre A y C, si AB+BC=AC. 

2.

Dados los puntos colineales colineales A, M y C; M es el punto medio del seg segmento mento̅  , si AM=MC. 

Operaciones con segmentos  1. Suma de segmentos. Consiste en sumar la longitud de los segmentos dados, para encontrar

la longitud total del segmento que los contiene, para entender de mejor manera se lo va a realizar de manera gráfica: 

̅  =  +  +  +   ̅  =̅ +̅ +̅ +̅  

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Tema # 1 

2. Resta de segmentos. Consiste en restar la longitud del segmento menor del mayor, para

encontrar la longitud del tercer segmento, para entender de mejor manera se lo va a realizar de manera gráfica: 

̅ =̅ −̅  3. Multiplicación de un segmento por un número. Consiste en encontrar la longitud total del

segmento, en base a la longitud de un segmento dado multiplicado por el número deseado, para entender de mejor manera se lo va a realizar de manera gráfica: 

̅ = 5  4. División de un segmento por un número.  Consiste en encontrar la longitud total del

segmento, en base a la multiplicación del número dado por la longitud de cada segmento, para entender de mejor manera se lo va a realizar de manera gráfica: 

̅  = 5(/ 5(/5) 5) 

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5. División interna de un segmento. Consiste en encontrar el punto situado en un segmento,

tal que formen segmentos que están a una razón dada m/n, para entender de mejor manera se lo va a realizar de manera gráfica: 

̅   ̅ =    6. División externa de un segmento. Consiste en encontrar el punto situado en la prolongación

de un segmento, tal que formen f ormen segmentos que están a una razón dada m/n, para entender de mejor manera se lo va a realizar de manera gráfica:  Siendo K el punto que divide externamente al segmento̅   cumple la sig siguiente uiente relación:

̅   ̅ =   

 > 1  



 

 1  

 < 1  

8.

División en media y extrema razón de un segmento. Consiste en dividir un segmento interna o externamente en dos segmentos tales que uno de ellos es media proporcional entre el segmento dado y el otro de la división, para entender de mejor manera se lo va a realizar de manera gráfica:  Si Q divide internamente inter namente en media y extrema razón del segmento̅, se cumple: 

  =   ∗    Si R divide externamente en media y extrema razón del segmento̅, se cumple: 

 =   ∗   

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Tema # 1 

Ejercicios resueltos  1.

Demostrar que 2PM=PA+PB si se sabe que el segmento AM=MB 

H) AM=MB  T) 2PM=PA+PB 

Solución:  2PM= PA+PB  2PM= AM + MB + PB + PB  Si AM=MB;   2(MB

+ PB) = MB + MB + 2PB    2MB + 2PB = 2MB + 2PB    0 = 0  Por lo tanto se demuestra que 2PM = PA + PB   2.

Hallar el valor de BQ si se sabe que que AP*BQ AP*BQ = PB*AQ, AP = BQ y PB = 3,3 u  H) AP*BQ = PB*AQ   AP = BQ  PB = 3,3 u  T) BQ = ? 

Solución:   AP*BQ = PB*AQ    BQ*BQ

= PB*(AP + PB + BQ) 

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Tema # 1 

  = 3,3(+3,3+ )      = 3,3(2 + 3,3)      = 6,6 + 10,8 0,89      − 6,6 − 10,89 = 0   

Resolviendo la ecuación se tiene:  

−±√  − 4  =   2 6,6±  (−6,6) (−6,6) − 4(1)(−1 4(1)(−10,8 0,89) 9)  =   2 6,6± √ 87,18 87,18  =   2 6,6 + 9,3 9,34  = →  = 7,97  2 6,6 − 9,3 9,34  = →  = −1,37  2

Como la longitud de un segmento no puede tomar valores negativos la respuesta es: BQ = 7,97 u. 

3.

Halle el valor del segmento DE si se sabe: 



H)   =   ;  =  ; CD = 5u  T) DE=? 

Solución: 

  =    

;  =  

2 =   2 =  +     =     = 5  → 2 = =10 

3 =    3 =  +   2 =    2 = 10    = 5 

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Tema # 1 

1.1.2 Ángulos: sistemas de medidas, transformaciones El ángulo es una figura geométrica que está formado por dos semirrectas que tienen el mismo origen y forman una abertura, es decir estas semirrectas no son paralelas en un mismo plano para que pueda formar el ángulo.

Un ángulo se lo puedo denotar de la siguiente manera:      Por la letra del vértice que corresponde ∡,     Por la composición de las letras que forma el ángulo. ∡,   Por una letra, símbolo o número de ángulo.̂∝  La unidad de medida de un ángulo está dada en grado sexagesimal o radianes.   Radián (rad): Es la medida del ángulo cuya longitud de arco subtendido es igual al radio del círculo.  Grado sexagesimal: Es la representación de una revolución completa dividida en 360 partes iguales, a cada una de estas partes se la denomina grado (º).  360º = 2π rad  Conversión de grados a radianes y de radianes a grados  Grados a radianes 

Radianes a grados 

Se multiplica el número de grados Se multiplica el número de radianes  por el factor

 

 .  

por el factor

 .  

Por ejemplo si se desea convertir 150º a radianes se obtiene:  

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Tema # 1 

150∗

   180

Simplificando se obtiene: 

5  

Caso contrario si se desea convertir

 

6    a grados 

se obtiene: 

7 180 ∗   4  Simplificando se obtiene: 

315º  Clasificación de los ángulos  a. Por su medida  Agudo. Cuando la medida es menor a 90º.  Recto. Cuando la medida es igual a 90º.  Obtuso. Cuando la mediad es mayo a 90º y menor a 180º 

Ángulo llano. Se llama también ángulo plano, y su medida es igual a 180º. 

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Tema # 1 

Ángulos complementarios. Dos ángulos son complementarios cuando la suma de sus valores es 90º. El complemento de un ángulo ∡a se obtiene restando 90º-∡a 

∡a+∡b=90º  Ángulos suplementarios. Dos ángulos son suplementarios cuando la suma de sus valores es 180º. El suplemento de un ángulo ∡a se obtiene restando 180º-∡a 

b. Por su posición 

∡a+∡b=180º 

Adyacentes. Son dos ángulos que tienen el mismo vértice y un lado común.  

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Tema # 1 

Consecutivos. Son ángulos que tienen un lado común y se forman siguiendo el mismo sentido.  

Opuestos por el vértice. Son dos ángulos no adyacentes, formados cuando dos rectas se intersecan. 

∡a=∡c & ∡b=∡d  Ángulos formados por una transversal o secante. Cuando dos rectas pertenecientes al mismo plano son cortadas por una transversal o secante se originan 8 ángulos que se mencionan a continuación:    ∡a, ∡b, ∡g, ∡h ángulos externos.    ∡c, ∡d, ∡e, ∡f ángulos internos.    ∡c y ∡f, ∡d y ∡e ángulos alternos internos.    ∡b y ∡g, ∡a y ∡h ángulos alternos externos.    ∡a y ∡e, ∡b y ∡f, ∡c y ∡g, ∡d y ∡h ángulos correspondientes.  Propiedades de los ángulos    ∡c y ∡e, ∡d y ∡f ángulos conjugados internos.    ∡a y ∡g, ∡b y ∡h ángulos conjugados externos. 

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Tema # 1 

a. Si dos rectas paralelas en un mismo plano son cortadas por una trasversal o secante se cumple que la suma de los ángulos internos conjugados es igual a 180º. 

∡c + ∡e = 180º  b. Si dos rectas no paralelas en un mismo plano son cortadas por una trasversal o secante se cumple que la suma de los ángulos internos conjugados no es igual a 180º.  

∡c + ∡e ≠ 180º  c. Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes.  

d. Los ángulos alternos internos, alternos externos y correspondientes, formados en dos rectas paralelas cortadas por una secante son congruentes:  ∡c ≅ ∡b 

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Tema # 1 

     

∡c ≅ ∡f & ∡d ≅  ∡e  ∡a ≅  ∡h & ∡b ≅  ∡g  ∡a ≅  ∡e & ∡b ≅  ∡f

e. Las bisectrices de dos ángulos adyacentes suplementarios son perpendiculares entre sí.  

f. Las bisectrices de dos ángulos opuestos por el vértice son colineales. 

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Tema # 1 

Ejercicios Resueltos  1. Si el suplemento del complemento de un ángulo más el complemento del suplemento de su ángulo doble es igual al doble del complemento del ángulo. Encontrar la medida del ángulo.  Solución:  Para resolver el ejercicio se debe plantear la ecuación que corresponde según el enunciado:  90- (180 - x) + 180 - (90 - 2x) = 2(90 - x)  90 – 180 + x + 180 – 90 + 2x = 180 - 2x  Simplificando:  3x = 180 - 2x  5x = 180  Despejado x:    x = 36º  2. Encuentra el valor del ∡x en la siguiente figura.  Solución:  Para resolver este ejercicio se debe analizar los ángulos y aplicar las propiedades descritas, para ello se va a prolongar el segmento FG   Aplicando las propiedades propiedades se puede decir que:  ∡EFK = 90º por ángulo suplementario.  ∡JGL = 75º por ángulo suplementario.  ∡GJD = 60º por ángulo opuesto vértice.   

∡GDJ= 180º - 75º - 60º = 45º El ángulo: ∡KMA y ∡D1DL son alternos externos por lo tanto son iguales. 

∡D1DL = 45º por opuesto al vértice.  -> ∡KMA = 45º 

∡IMF = 45º por opuesto al vértice.   

∡MIF = 180 – 90 - 45º = 45º   X

= 45º por opuesto al vértice.  18 

 

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Tema # 1 

3. Encuentra el valor del ∡DAE en la siguiente figura, Si se tienen los siguientes datos: 

H) ∡BAD = 56,6º 

∡EAC = 90º  T) ∡ FAG = ?  Solución: 

∡BAD = 2∡2 + ∡3 = 56,6º (a)  ∡EAC= 2∡1+∡3=90º (b)  ∡FAG = ∡1 + ∡2 + ∡3 Sumamos la ecuación a y b y se obtiene:  2∡1 + 2∡2 + 2∡3 = 146,6º (c)  Como el ∡EAG = ∡1 + ∡2 + ∡3 se divide la expresión (c) para 2 y se obtiene: 

∡1+ ∡2 + ∡3 = 73,3 º por lo tanto:     ∡FAG = 73,3º 

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Tema # 1 

1.2 Triángulos  1.2.1 Definición, notación, representación, elementos, clasificación, líneas y puntos notables 

Es una figura geométrica formada por 3 lados, que se intersecan en tres puntos no colineales llamados vértices. La forma de representar un triángulo es por sus vértices: ΔBAC. 

 A, B, C son sus vértices. 

̅  = ̅,   = ̅, , =        Clasificación Los triángulos se clasifican por la longitud de los lados y la magnitud de los ángulos.   a. Por sus lados  Triángulo equilátero. Todos sus lados son iguales.  Triangulo isósceles. Tiene dos lados iguales y uno desigual.   Triangulo escaleno. Tiene todos sus lados desiguales.  

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Tema # 1 

b. Por sus ángulos 

Triángulo Triángulo Triángulo Triángulo

equiángulo. Si sus tres ángulos internos son iguales.  acutángulo. Si sus tres ángulos internos son agudos.  obtusángulo. Si uno de sus ángulos internos es obtuso.  rectángulo. Si uno de sus ángulos internos mide 90º. 

Líneas y puntos notables  a. Base. La base de un triángulo puede ser cualquiera de sus tres lados.   b. Altura. Es el segmento perpendicular trazado desde un vértice al lado opuesto.  c. Ortocentro. Es el punto donde se intersecan las alturas del triángulo. Para un triángulo rectángulo se lo ubica en el vértice del ángulo recto, y en un triángulo obtusángulo en su parte externa.

̅ = ℎ  ̅  = ℎ  ̅ = ℎ  

¬ H = Ortocentro 

d. Mediana. Se denomina al segmento que une al vértice con el punto medio del lado opuesto.  e. Baricentro. Es el punto de intersección de las tres medianas, y es el centro de gravedad del

triángulo. El baricentro siempre está ubicado en la parte interna del triángulo. El baricentro forma

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Tema # 1 

en cada mediana dos segmentos, uno doble doble de otro; El del vértice es el doble del otro segmento, para entenderlo de mejor manera se lo verá gráficamente.

̅ =   ̅  =   ̅ =   ̅ = 2̅  

¬ G = Baricentro 

̅ = 2̅  ̅  = 2̅  f. Bisectriz. Es el segmento que divide al ángulo interno o externo de un triángulo en dos ángulos de la misma medida.  g. Incentro. Es el punto de intersección de las tres bisectrices internas y es el centro del círculo

inscrito en el triángulo (círculo tangente a sus tres lados).  h. Excentro. Es el punto de intersección de dos bisectrices externas y una interna del triángulo, y es el centro del circulo externo del triángulo. 

̅ =   ̅  =  

¬ I = Incentro 

̅ =   ¬ Oa = Excentro  ̅ = 2̅   ̅ = 2̅  ̅ ̅     = 2

Mediatriz. Es la recta perpendicular trazada en el punto medio de un lado del triángulo.  Circuncentro. Es el punto de intersección de las tres mediatices, y es el centro del circulo circunscrito al triángulo. 

¬ O = Circuncentro 

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Tema # 1 

1.2.2 Ángulos en el triángulo, congruencia de triángulos. Postulados  Teoremas fundamentales  1. En todo triángulo la suma de las medidas de sus ángulos internos es 180º. 

∡ A+∡B+∡C=180º  2. En todo triángulo la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los ángulos no adyacentes al ángulo. 

∡x = ∡ A + ∡B  3. En todo triángulo t riángulo la suma de las medidas de sus ángulos exteriores es 360º. 

∡α + ∡β + ∡ϕ = 360º 

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4.

Tema # 1 

 Ángulo formado por dos bisectrices interiores. Su medida es igual a los 90º más la mitad de la medida del tercer ángulo. 

x = 90 + 5.

∡ϕ 2

 Ángulo formado por dos bisectrices exteriores. Su medida es igual a 90º menos la mitad de la medida del tercer ángulo interior. 

x = 90 6.

 

∡θ 2

 

 Ángulo formado por por una bisectriz interior y una exterior, exterior, su medida es ig igual ual a la mitad del tercer ángulo interior. 

  =   2

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7.

Tema # 1 

 Ángulo forado por una altura y una bisectriz relativas a un mismo lado. Su medida es igual a la semisustracción de las medidas de los ángulos restantes del triángulo. 

  =

−   2

Congruencia de triángulos  Dos triángulos son congruentes si tienen igual forma e igual tamaño. Es decir sus ángulos interiores de igual medida y sus lados opuestos de igual longitud respectivamente. 

El ΔABC ≅  ΔABC  Si:  Los lados: F ≅ f , h ≅ h, g ≅ g   Los ángulos:  ∡ A ≅∡A, ∡B ≅ ∡B, ∡C ≅∡C 

Postulados de congruencia  1. Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes dos lados y el ángulo comprendido. 

El ΔABC ≅ ΔABC  Si:  Los lados: F ≅ f , g ≅ g  Los ángulos:  ∡B ≅ ∡B 

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2.

Tema # 1 

Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente congruente un lado y dos ángulos.  

El ΔABC ≅ ΔABC  Si:  Los lados: f ≅ f   Los ángulos:  ∡B ≅∡B & ∡ A ≅ ∡A  3.

Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente congruentes 3 lados.    

o

El ΔABC ≅ ΔABC  Si:  fLos ≅ lados: f , h ≅ h , g ≅ g 

4.

Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados congruentes y un ángulo congruente opuesto al lado mayor. 

El ΔABC ≅ ΔA BC  Si:  Los lados:   fLos ≅ ángulos: 

f , h ≅ h

∡B ≅ ∡B, suponiendo que h sea el lado mayor mayor.. 

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Tema # 1 

Ejercicios resueltos  1. Halle el valor del ∡BAC, si se sabe que: ∡BDC = 70º, ∡ ABC = 80º 

Se sabe que los segmentos:    BE = Bisectriz del ∡B     AF =Bisectriz externa del ∡ A Entonces:    El ∡ ABC = 80º, por lo tanto ∡2 = 40º    El ∡BDC = 70º, entonces si se trabaja con el ΔDBC, se puede obtener la medida del ∡BCD:    ∡BCD = 180 - ∡2 - ∡BDC = 180º - 40º - 70º = 70º.  Se tiene un polígono de 4 lados por lo que la suma interna de sus ángulos es 360º.    ∡BAF = 360º - ∡ AFC - ∡FCB - ∡CBA  = 360º - 90º - 70º - 80º = 120º.  El ∡1 + ∡BAF son suplementarios por lo cual se puede obtener el valor del ∡1    ∡1 = 180º - ∡BAF = 180º - 120º = 60º    Al hallar este ángulo se obtiene el valor del ∡ A    2∡1 + ∡ A = 180º 180º ; ∡ A = 180º - 2∡1 = 180º- 120 = 60º 

2.

Halle el valor del ángulo X si se sabe:  BE bisectriz externa ΔABC.  BF bisectriz interna ΔABC. 

Por las bisectrices se tiene: ∡ ABE = ∡EBD, 

∡ ABF = ∡FBC.  Entonces se tiene: 2∡1 + ∡2 + ∡X + ∡2 + ∡X = 180º  2

∡1 + 2∡2 + 2∡X = 180º ; ∡1 + ∡2 + ∡X = 90º 

Utilizando el ΔABH se tiene:  20º + ∡1 + ∡2 + 90º = 180º   ∡1 + ∡2 = 180º - 90º - 20º; ∡1 + ∡2 = 70º 

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3.

Tema # 1 

Determine el valor del ángulo X si se sabe que:  La bisectriz AD divide al ∡B en partes iguales, se tiene que el ladoisósceles. AB = BD = DC por lo tanto se tiene dos triángulos

∡ A = ∡D   ΔDBC; ∡1 = ∡X   ΔABD;

Se resuelve cada triangulo para obtener las ecuaciones:  3∡1 + ∡2 = 180º  2∡2 + ∡1 = 180º  Resolviendo las ecuaciones se tiene: 

∡2 = 72º  ∡1 = ∡x = 36º 

1.2.3 Propiedades de los triángulos: isósceles, equilátero, rectángulo  1. Triángulo isósceles  Si dos lados de un mismo triángulo son congruentes entre sí, los ángulos opuestos a dichos lados también son congruentes. 

El ΔBAD ≅ ΔDAC Los ángulos:  ∡B ≅ ∡C  La bisectriz AD es: Altura, mediana, mediatriz. 

28 

 

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Tema # 1 

 

Si dos ángulos de un triángulo t riángulo son congruentes, entonces los lados puestos a estos ángulos también son congruentes. congruentes.    La bisectriz de un ángulo desigual del triángulo t riángulo isósceles, es también mediana, altura y mediatriz de dicho triángulo 

 

La suma de las de un punto la basecongruentes. de un triángulo isósceles a sus lados congruentes es distancias igual a cualquiera de lasdealturas  

 

α = a + b  La sustracción de las distancias de un punto tomado en la prolongación de la base de un triángulo isósceles a sus lados congruentes es igual a cualquiera de las alturas iguales.  

 

H=a-b 2. Triángulos equiláteros    La suma de las distancias de un punto interior a un triángulo equilátero hacia sis tres lados es igual a cualquiera de las alturas alt uras congruentes. 

H = a + b + c 

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 

Tema # 1 

Si desde un punto situado desde el exterior de un triángulo equilátero se trazan t razan perpendiculares a sus lados, la suma de las perpendiculares externas menos la longitud de la perpendicular intermedia es igual a cualquiera de las alturas congruentes. 

H = a + c - b 

3. Triángulos rectángulos    El punto medio de la hipotenusa equidista de los tres vértices del triángulo rectángulo. 

̅AE =̅EC =̅BE   

Si una mediana de un triángulo es igual a los dos segmentos que forma en el lado del triángulo, el triángulo es rectángulo.     El ángulo formado por la altura y la mediana relativas a la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la diferencia de los ángulos agudos. 

∡X = ∡β - ∡C 

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Tema # 1 

1.2.4 Semejanza de Triángulos. Postulados, propiedad del baricentro  Un triángulo es semejante a otro cuando sus ángulos internos son respectivamente congruentes, es decir cada lado de un triángulo tiene un lado similar en el otro triángulo y estos mantienen una proporcionalidad entre ellos por lo cual mantienen la misma forma pero la medida de sus lados puede ser mayor o menor, manteniendo el valor de los ángulos. 

El ΔABC ≈ ΔA BC  Si:  Los ángulos:  ∡ A ≅ ∡A, ∡B ≅ ∡B, ∡C ≅∡C  Los lados correspondientes son proporcionales:   ℎ  = =     ℎ  Postulados de semejanza  a. Triángulos escalenos    Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos homólogos congruentes. 

ΔABC ≈ ΔABC   

Toda recta paralela a uno de los lados de un triángulo, da origen a otro triángulo semejante.     Dos triángulos son semejantes si tienen lados respectivamente paralelos o perpendiculares perpendiculares..    Si los lados correspondientes de dos triángulos son respectivamente proporcionales, los dos triángulos son semejantes. 

El ΔABC ≈ ΔABC  Si:  Los lados son proporcionales:    = =     

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 

Tema # 1 

Si en dos triángulos, tr iángulos, dos lados homólogos son proporcionales y los ángulos comprendidos son congruentes, los triángulos son semejantes. 

El ΔABC ≈ ΔA BC  Si:  Los ángulos:  ∡ A ≅ ∡A  Los lados son proporcionales:   =      

Los perímetros de dos triángulos semejantes, están en la misma relación que los lados homólogos. 

b. Triángulos rectángulos    Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo correspondiente congruente. 

El ΔABC ≈ ΔABC 

Propiedad del baricentro  El baricentro divide a cada una de las medianas en dos segmentos, tales que uno es el doble del otro. 

BG = 2GM 

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 

Tema # 1 

La longitud del segmento perpendicular trazado desde el baricentro de un triángulo a uno de sus lados, es igual a la tercera parte de la altura relativa al mismo lado.  

GD = AH/3 

Ejercicios resueltos  1. Demuestre que DExCF = ACxEF  Solución: Para demostrar la proporcionalidad se debe analizar si son semejantes los triángulos: ΔDEF & ΔAFC.  Por lo tanto:  Aplicando los teoremas de semejanza semejanza se pude de determinar: terminar:  ΔABE ≈ ΔCDB; ya que el ∡ A = ∡B, ∡D = ∡E, ∡B es común.  ΔAFC ≈ ΔFDE; ya que el ∡F opuesto por el vértice, ∡FAC = ∡FDE, ∡FCA = ∡FED, por lo tanto podemos decir: 

  =       DE

2.

x CF = EF x AC 

En la figura se muestra el marco de un cuadro, representado por el rectángulo ABCD si se le coloca unos refuerzos BD,AH,AG tales que los puntos H, G se intersecan DC, y BD = 2m, halle EF = ?.  Solución: Para hallar el valor de EF se va analizar la semejanza en los triángulos que contienen estos puntos, por lo tanto: ΔABE ≈ ΔHED, ya que tienen dos ángulos congruentes.  Los segmentos AH, AG AG dividen al DC en tres partes iguales: 

AB EB 3x 2 − D E = → =  resol  res olvi viend endoo se tiene tiene:: DE = 0, 0,55 DH DE x DE

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Tema # 1 

ΔAFB ≈ ΔDFG, ya que tienen dos ángulos congruente. 

AB FB 3x 4 − D F 3x 2 − 0 , 5 − E F  resol  res olvi viend endoo se tiene tiene:: EF = 0, 0,33 → = = → = 0,5+EF 2x DF DG DF 2x

1.2.5 Resolución de triángulos rectángulos: relaciones métricas y trigonométricas  Relaciones métricas    Un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección en la hipotenusa.     La altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los segmentos que determina la hipotenusa.    El producto de los catetos es igual al producto entre la hipotenusa y su altura relativa.     El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. 

b = a x n  h = m x n  b x c = a x h  a = b x c  

Relaciones trigonométricas  a. De un ángulo agudo 

cateto opuesto b = hipotenusa a cateto adyacente c cos ∡α = = hipotenusa a cateto opuesto b tan ∡α = = cateto adyacente  sen ∡α =

 

 

 

34   

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b.

Tema # 1 

De ángulos complementarios 

b sen ∡B = a = ∡ = cos(90 − ∡) c cos ∡B =  = ∡ = sen(90 − ∡) a

 

 

1.2.6 Resolución de triángulos escalenos: ley de senos y cosenos   Relaciones trigonométricas  Ley de senos. Los lados de un triángulo son proporcionales a las funciones seno de los ángulos opuestos. 

a b c = = sen ∡A sen∡B sen∡C

 

Ley de cosenos. El cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble producto de dichos lados, por el coseno del ángulo que lo forman. 

 =  +   − 2 2  ∡ ∡ 

 

35   

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Recursos complementarios / Videos  Segmentos  https://www.youtube.com/watch?v=D https://www .youtube.com/watch?v=D2V0LznfSXo 2V0LznfSXo 

Ángulos  https://www.youtube.com/watch?v=FUvuZW1ciWQ 

Tema # 1 

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Triángulos  https://www.youtube.com/watch?v=L https://www .youtube.com/watch?v=LqQbGleCjcQ qQbGleCjcQ 

https://www.youtube.com/watch?v=MmtAgurht54 

Tema # 1 

37   

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https://www.youtube.com/watch?v=O https://www .youtube.com/watch?v=OD9iJ6HcwBI D9iJ6HcwBI 

https://www.youtube.com/watch?v=IVZLiI3aheg 

https://www.youtube.com/watch?v=SbFetGnLdr8 

Tema # 1 

38   

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Tema # 1 

Bibliografía  1.

 Abarca, I. M. (2005). Geometría plana y trigonometría. Quito. 

2.

algebraenpdf.blogspot. (s.f.). algebraenpdf . Obtenido de https://matematicasn.blogspot.com/2015/12/semejanza-de-triangulos-ejercicios.html 

3.

G.Calvache, Rosero, T., & Yaselga, M. (2006). Geometría plana y del espacio. Quito. 

4.

LMDE. (2020). inst-mat.utalca. Obtenido de http://inst-mat.utalca.cl/ 

5.

Pearson educación. (2009). Gemetría y trgonometría. México: Prentice Hall. 

6.

Rodríguez, J. B. (2020). I.E.S. Historiador Chabás .  Obtenido de http://www.juanbragado. http://www.juanbragado.es/ es/ 

7.

Taylor, S. (2011). acm.ciens. Obtenido de http://www.acm.ciens.ucv http://www .acm.ciens.ucv.ve/main/entrenamiento/guia-3.pdf  .ve/main/entrenamiento/guia-3.pdf  

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Tema # 1 

Actividades de aprendizaje autónomo  1.

Determine el valor del segmento BF, si se sabe que:  

H) AB = BC; CD = 4AC  EF = FG; DE = 3EG    AB + FG = 6u  T) CF=?  2.

Demostrar que: PB*AQ = AP*BQ, si se sabe que AP = PQ y BQ = 2PB  H) AP = PQ  BQ = 2PB  T) PB*AQ = AP*BQ 

3.

 A, B, C, D y E son puntos colineales tales tales que: 

 

=  ; DE= 4u; CD = 8u y BD = 2DE.  

Hallar AC.  4.

Uno de los ángulos complementarios es los 3/4 del otro ángulo. ¿Cuánto mide cada ángulo?  

5.

El doble del suplemento del complemento de un ángulo más el triple de su complemento es 750º, hallar la medida del ángulo.

40   

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Tema # 1 

6.

La suma del complemento de un ángulo con el suplemento de su ángulo doble es mayor en 150º a la mitad del ángulo. Hallar la medida del ángulo.  

7.

Dos ángulos suplementarios están a la razón de 7/4. Hallar sus medidas. 

8.

En un ángulo llano ∡ AOD se trazan dos ángulos adyacentes ∡ AOB, ∡BOC y ∡COD. Si las bisectrices de los ángulos ∡ AOB y ∡COD forman un ángulo de 130º, hallar la medida del ángulo ∡BOC. 

9.

Encuentre el valor de: ∡x + ∡y = ? 

10. Encuentre el valor de: ∡x, Si se sabe: 

H) ∡CBD - ∡DBA = 45º 

∡CBE = ∡DBA  T) ∡ EBD = ? 

11. Encuentre el valor de: ∡x,

41   

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Tema # 1 

12. Determina el valor de los ángulos de la siguiente figura 

13. Determina el valor de los ángulos de la siguiente figura: 

14.

Los lados de un ΔABC miden 36 m, 27m y 63 m, respectivamente. Si los lados de otro ΔFGK miden 18m, 9 m y 7 m, respectivamente. Determina si son o no semejantes, justificando tu respuesta. 

15. Los

lados de un ΔABC miden 45 m, 55 m y 70 m, respectivamente. Si en un triángulo semejante a éste, el lado homólogo del primero mide 15 m, hallar los otros dos lados de este triángulo. 

16. La razón de semejanza del ΔABC con el triángulo A’B’C’ es 3/2. Si los lados del primero 36, 120 y 40, determina los lados del segundo.  17. Los

son

lados de un triángulo rectángulo miden 12 m, 16 m y 20 m respectivamente. ¿Cuánto medirán los catetos de un triángulo semejante al primero si su hipotenusa mide 30 m? 

42   

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18.

Tema # 1 

En la figura, las rectas L1 y L2 son paralelas. El valor de x es:  

19. Para

medir la altura de una torre nos situamos en un punto del suelo y vemos el punto más alto de la torre bajo un ángulo de 60 . Nos acercamos 5 metros a la torre en línea recta y el ángulo es de 80 . Halla la altura de la torre.   



20. Un

mástil de 5 metros se ha sujetado al suelo con un cable como muestra la figura: Halla el

valor de c y la longitud del cable. 

21.

Dada la siguiente figura calcular, la altura del triángulo y la distancia de los dos al pie de la altura. 

22.

Se desea fijar un poste de 3,5 m de altura, con un cable que va desde el extremo superior del poste al suelo. Desde ese punto del suelo se ve el poste bajo un ángulo de 40 . ¿A qué distancia del poste se sujetará el cable?, ¿cuál es la longitud del cable?  

43   

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Tema # 1 

Nota importante:  Autoevaluación  Una vez que usted, ha concluido el estudio correspondiente al T Tema ema 1: Geometría y Trigonometría Plana de la Asignatura de Geometría, puede realizar la autoevaluación, que consiste en una serie de preguntas de opción múltiple. No es una actividad calificada y puede realizarla las veces que considere necesario. Las preguntas correspondientes a la Autoevaluación se encuentran en la plataforma como  Autoevaluación No. 1.