Tema 1_ El Campo Gravitatorio

TEMA 1. INTERACCIÓN GRAVITATORIA Antecedentes Los movimientos aparentes de las estrellas y planetas respecto a la Tierra fueron observados y registrados por los astrónomos durante muchos siglos. Algunos modelos del universo: Ptolometo ( 140 d.c. ): modelo geocéntrico. Copérnico ( 1543d.c. ): modelo heliocéntrico. Galileo (1632 d.c. ): modelo heliocéntrico.

1. Las Leyes de Kepler. Siglo XVI (finales) astrónomo Tycho Brahe realiza mediciones más exactas del movimiento de los planetas. Kepler (discípulo de Brahe) aprovecha las mediciones y confirma los modelos heliocéntricos, enunciando sus tres leyes sobre el movimiento de los planetas alrededor del Sol. Perihelio

Primera Ley de Kepler: Los planetas describen órbitas elípticas alrededor del Sol, estando situado si tuado éste en uno de sus focos.

Foco

Segunda Ley de Kepler: El radio vector dirigido desde el Sol a los planetas barre áreas iguales de la elipse en tiempos iguales. Velocidad areolar = Cte

30 de  julio

r 1 enero

 A

 A

Sol r 1  julio

1 de  julio

30 de enero

vs

 Area  Area t 

Sup .órb . T 

a

3

Eje menor 

Sol

b

1 de enero

 Afelio

a Eje mayor 

Tercera Ley de Kepler: Los cuadrados de los periodos de revolución de los planetas alrededor del Sol (T) son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores o radios medios, de sus órbitas. T 

2

K  a

3

T 

donde K = Cte igual para todos los planetas del sistema s istema solar y su valor es:

K 

3 10

19

s

2

m

3

1/56

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2. Newton y la Gravitación Universal. Su aportación resuelve el problema de la estructura y dinámica del Universo, hasta la teoría de la relatividad de Einstein dos siglos después.

Ley de la Gravitación Universal de Newton: Todos los cuerpos del universo se atraen con una fuerza que es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. F  z

m m

G

r 

m

2

donde



F 

6 , 67 10

G

11

 Nm

2

Kg

2



r 

m

vectorialmente: y

donde u es un vector unitario en la dirección y sentido de r  



x

F 

G

m m r 



u

2





o bien si



u

r  r  

F 

G

m m 3



r 

r 

Características de la interacción gravitatoria. 1. La dirección del vector fuerza es la de la recta que une las dos masas. Los sentidos de F  son contrarios, es decir, las fuerzas gravitatorias siempre son atractivas.



r 

y



2. Son fuerzas a distancia. No es preciso que exista ningún medio material entre las masas para que dichas fuerzas actúen. 3. Siempre se presentan en parejas. 



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4. La fuerza gravitatoria es central, puesto que está dirigida hacia el punto donde se encuentra la masa que la crea. 5. Es conservativa. 6. El valor de G es tan pequeño que, a menos que alguna de las masas sea muy grande, la fuerza de atracción es inapreciable. Su valor no depende del medio en el que se encuentran las masas.

Interacción de un conjunto de masas puntuales: superposición. Cuando tenemos un conjunto de varias masas, es de suponer que la fuerza fuerz a gravitatoria que actúa sobre una de ellas se deba ala suma de las fuerzas que sobre ésta ejercen las demás. m



m1

F 1



m2

F 2

m3



F 3



F 









F 1

F 2

F 3

n

F 

F n i 1

∆(Repasar movimiento circular).





....

F n

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3. El campo gravitatorio. Para explicar la “acción de las fuerzas a distancia” se introdujo el concepto de “campo”.

Todo cuerpo material de masa M, debido a la interacción gravitatoria que produce sobre otros cuerpos, perturba las  propiedades del espacio que lo rodea creando un “campo de fuerzas” llamado “campo gravitatorio” que se pone de manifiesto por la aparición de una fuerza sobre cualquier masa colocada en un punto de dicho campo. Magnitudes que definen un campo: La intensidad del campo en un punto. El potencial del campo en un punto. El campo gravitatorio se representa gráficamente mediante “líneas de campo”.

3.1. Intensidad del campo gravitatorio La intensidad de campo gravitatorio en un punto en dicho punto.



g

, es la fuerza por unidad de masa, calculada

z 

m´

F 

G

m m 3



r 

G

r 

m m r 

2



u r 



r  

u

y



m



g

x z

F 

G

m

m m m



3

r 

r 

G

m 3

r 



r 



g

m´

cuyo módulo valdrá:



F 

g y

G

m r 

2

y se expresa en

 N 

m

Kg

s

2

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3.2. Representación del campo gravitatorio Los campos se representan gráficamente mediante “líneas de campo o de fuerza” que pueden

definirse como la trayectorias que describirían descr ibirían una partícula abandonada en el campo. La densidad de las líneas de fuerza (número de líneas que atraviesan la l a unidad de superficie) en un punto representa la intensidad del campo en dicho punto. En el campo gravitatorio las líneas de fuerza fuerz a provienen del infinito, es decir no tienen “fuentes” y acaban en los cuerpos con masa o “sumideros”.

Las líneas de campo representan al campo del siguiente modo: o

o

o

Módulo: se indica mediante la densidad de líneas de campo. m

Dirección del campo en un punto es la tangente a la línea en dicho punto.

M

El sentido viene indicado por la flecha, y es el que seguiría la unidad de masa colocada en dicha línea por efecto de las fuerzas del campo.

3.3. Campo gravitatorio de un conjunto de masas. Principio de superposición.

P

g

g1

3

Cuando un cuerpo se encuentra sometido a la acción de varias fuerzas gravitatorias, el efecto total resultante es igual a la suma de los efectos individuales de cada fuerza.

r 1

g2 g

m1

1

n 

r 3

g

T

g



g T 

3



g1

....

g2





gn

gi i 1

r 2 m2

O bien:

m3

n



F T 



m g T 



F i i 1

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3.4.

Campo gravitatorio terrestre

La intensidad del campo gravitatorio viene dada por:

g

G

 M  T  ( R T 

h

h)

2

RT

Para h