TEHNICKA MEHANIKA 2

GRA\EVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U BEOGRADU Katedra za Tehni~ku mehaniku i teoriju konstrukcija Pismeni deo ispita iz TEHNI^KE MEHANIKE - 2

29.03.2004. GRUPA

A

1. ZADATAK: Mehani~ki sistem na skici (1) kre}e se u vertikalnoj ravni. Opruge su nenapregnute kada su {tapovi AC i CE vertikalni. Odrediti: • Broj stepeni slobode kretawa i usvojiti generalisane koordinate, • Brzine sredi{ta masa i ugaone brzine svih tela sistema, sa skicom brzina karakterist. ta~aka • Kineti~ku energiju sistema, • Generalisane sile. 2. ZADATAK: U prikazanom polo`aju mehanizma na skici (2) poznati su brzina ta~ke A: v0 i ubrzawe ta~ke B: a0 . Odrediti: • Ugaone brzine svih tela sistema i brzine ta~aka B, D i E. • Ugaona ubrzawa svih tela sistema i ubrzawa ta~aka A, D i E. 3. ZADATAK: Sistem na skici obr}e se konstantnom ugaonom brzinom ωo oko vertikalne ose. Odrediti : • Dijagrame ubrzawa, inercijalnih optere}ewa i inercijalnih sila za ceo sistem, • Potrebnu krutost opruge, tako da sistem pri rotaciji ostane u prikazanom polo`aju, ako je du`ina opruge u nenapregnutom stawu: Lo = l (zanemaruju}i uticaj sopstvene te`ine), • Za tako odre|enu krutost opruge odrediti reakcije veza i nacrtati dijagrame prese~nih sila samo na delu E-F-G (zanemaruju}i uticaj sopstvene te`ine).

1

3l, 2m

E

k

F

F G

2l, m

zanemar. mase

ωo = const

m

C

D

B

3l, 3m

2k

2l, 2m

l

2l, 2m

A

G

C

m

m

B

m 2m

2m

E

l A

45° D

l

l C

l A B

l

l

l

45°

l

F

D

E

l

k

m

2

3

l

l

l

ГРAЂEВИНСКИ ФАКУЛТЕТ УНИВЕРЗИТЕТА У БЕОГРАДУ Kaтeдрa зa Teхничку мeхaнику и теорију конструкција Писмени део испита из TEХНИЧКE MEХAНИКЕ - 2

11.06.2004. ГРУПA

A

1. ЗАДATAK: Meхaнички систем на скици (1) крeћe сe у вeртикалној равни. Дискови сe кoтрљajу по пoдлoзи бeз клизaњa. Дужина oпругa у нeнaпрeгнутом стању је 2l. Написати диференцијалне jедначинe кретања система. 2. ЗАДATAK: Meханизам на скици (2) креће се у вертикалној равни. У приказаном положају позната је угаона брзина штапа AB која је константна (ω0 = const). Одредити: • Брoj степени слободе кретања система, • Угаоне брзине свих тела система, кao и брзине тачака B, C, D и E. • Угаона убрзања свих тела система, кao и убрзања тачака B, C и E. 3. ЗAДATАК: Maтеријалнa тачка масе m креће се у вертикалној равни по идеално глаткој вези A-B-C, a затим слободно, као што јe приказано на скици. • Oдредити најнижи положај тачке A (Lmin= ?) одакле треба пустити мaт. тачку без почетне брзине, тако да тачка током слободног кретања “прескочи” препреку познате висине ( h = l ). Oдредити положај D ( XD = ? ) где сe у тoм случају налази препрека. • Aкo je препреци, кoja сe налази у положају D, повећана висина на h2 = 1.5 l, oдредити са којом минималном почетном брзином (V0 = ?) треба пустити тачку (из претходно одређеног положаја A), да би она “прелетела” нову препреку. k

1

R=l m A

6l

4l

R=l 2m

R=l

2m

2m bez mase

D B

2k

ωο = const

2

A

F

B

3l

F(t)

3l, m

C

2l 45°

3l

D

2l

l

C

30° E

m A

y

3

Lm

in =

?

3 0° 3 0°

30°

R B

D

C

XD =?

l

x

ГРAЂEВИНСКИ ФАКУЛТЕТ УНИВЕРЗИТЕТА У БЕОГРАДУ Kaтeдрa зa Teхничку мeхaнику и теорију конструкција Писмени део испита из TEХНИЧКE MEХAНИКЕ - 2

20.09.2004.

1. ЗАДАТАК: Механички систем на скици (1) креће се у вертикалној равни. Сви штапови су дужине l и масе m. Дужина опруга у ненапрегнутом стању је l. Одредити: • Број степени слободе кретања и усвојити генералисане координате, • Брзине средишта маса и угаоне брзине свих тела система, са скицом брзина карактер. тачака, • Кинетичку енергију система, • Генералисане силе, • Диференцијалне једначине кретања. 2. ЗАДАТАК: Систем круто везаних штапова на скици (2) обрће се константном угаоном брзином ω = ωο око вертикалне осе. Нацртати дијаграме пресечних сила само услед инерцијалних (динамичких) оптерећења. 3. ЗАДАТАК: Штап AB почиње кретање са задатом почетном брзином, из положаја приказаног на скици (3). У тренутку проласка кроз вертикалан положај, штап удара у тачку C. Удар је идеално еластичан. Тачка се креће по хоризонталној храпавој равни коефицијента трења µ, а затим и по идеално глаткој кружној путањи. На крају, тачка удара о хоризонтални штап EF (коефицијент удара је k = 0.5). Одредити максимално обртање штапа EF после удара (α = ?).

2

F

1

Z

D

ω =ω =const

B

k

E

η

l

2m m

l

k

2m

A

B

C

l

2m m

m

сви штапови су: дужине l , и масе m .

m

l α

Y

ζ

l

l

ωο

F

A

3l, 2m

l

ξ

A X

E

l

bez l , mase m

l

2l

bez

, mase

R=

3l

60°

l

3

m B

µ I.G.P.

D

5l

C, m

ω 0 = 0.6

g l

µ = 0.09723

ГРAЂEВИНСКИ ФАКУЛТЕТ УНИВЕРЗИТЕТА У БЕОГРАДУ Kaтeдрa зa Teхничку мeхaнику и теорију конструкција Писмени део испита из TEХНИЧКE MEХAНИКЕ - 2

30.08.2004. ГРУПA

A

1. ЗАДАТАК: Механички систем на скици (1) креће се у вертикалној равни. Опруге крутости k редно су везане, и њихова дужина у ненапрегнутом стању је l. У положају статичке равнотеже штап BC је хоризонталан и диск се налази на средини тог штапа. Одредити: • Број степени слободе кретања и усвојити генералисане координате, • Брзине средишта маса и угаоне брзине свих тела система, са скицом брзина карактер. тачака, • Кинетичку енергију система, • Генералисане силе. 2. ЗАДАТАК: Meханички систем на скици (2) креће се у вертикалној равни. Штапови су занемарљивих маса, а у тачки А је концентрисана маса m. Одредити силу у штапу AF, у функцији координата θ и ψ, и њихових извода по времену. 3. ЗАДАТАК: Штап AB почиње кретање, без почетне брзине, из положаја приказаног на скици. У тренутку проласка кроз вертикалан положај, штап удара у тачку C (коефицијент удара је k = 0.5). Тачка се креће по хоризонталној храпавој равни, коефицијента трења µ и на крају удара о вертикалан штап DE. Удар је идеално еластичан. Одредити максимално обртање штапа DE после удара, претпостављајући да су питању мале осцилације ( sin ϕ ≈ ϕ, cos ϕ ≈ 1 ).

E

D

k

k

R= l / 2, m B

l, m 4 l, 4 m

C

2 l, 2m

2k

2

A

1

3l

D

3l E

F

ψ

4l

θ

C

2m, 2l

α

3

D

A b ez ma se

k

2l

C,

µ

m

ϕ E

2m 4l

4l

A, m

B B

2l

α = 30° mg l µ = 0.085 k = 200

GRA\EVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U BEOGRADU Katedra za Tehni~ku mehaniku i teoriju konstrukcija Pismeni deo ispita iz TEHNI^KE MEHANIKE - 2

07.04.2003. GRUPA

A

1. ZADATAK: Mehani~ki sistem na skici (1) kre}e se u vertikalnoj ravni. Mase i geometrije svih tela prikazane su na skici. Opruga je nenapregnuta kada je {tap AE vertikalan. U zglobu G deluje i horizontalna sila inteziteta F. Odrediti: • Broj stepeni slobode kretawa i usvojiti generalisane koordinate, • Brzine sredi{ta masa i ugaone brzine svih tela sistema, sa skicom brzina karakterist. ta~aka • Kineti~ku energiju sistema, • Generalisane sile, • Diferencijalne jedna~ine kretawa. 2. ZADATAK: Sistem kruto vezanih {tapova na skici (2) obr}e se konst. ugaonom brzinom ω = ωο oko horizontalne ose (masa svih {tapova po jedinici du`ine je m / l ). Odrediti : • Dijagrame prese~nih sila, samo usled inercijalnog optere}ewa, • Maksimalnu vrednost ugaone brzine ωο , iz uslova da vrednost reakcije u osloncu A (usled inercijalnog optere}ewa) ne bude ve}eg inteziteta od 5kN. 3. ZADATAK: [tap, zadatih karakteristika, zapo~iwe kretawe iz polo`aja kao {to je prikazano na skici (3). Prolaze}i kroz vertikalan polo`aj udara u materijalnu ta~ku M mase m, koja se nalazi na vrhu idealno glatke cilindri~ne povr{i polupre~nika R. Udar je idealno plasti~an. Odrediti mesto (tj. ugao ϕ) gde kuglica napu{ta podlogu, kao i mesto pada kuglice na horizontalnu podlogu (L=?).

E

1

G

F

zanemarljive mase

B A

D

C

mase

R

A

3 2 ζ

mase {tapova po jedinici du`ine:

m =1 kg R =2 m g=10 m/s2

m = 100 kg l=1m

η A

ξ

B

ϕ

GRA\EVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U BEOGRADU Katedra za Tehni~ku mehaniku i teoriju konstrukcija Pismeni deo ispita iz TEHNI^KE MEHANIKE - 2

11.02.2002. GRUPA

A

1. ZADATAK: Mehani~ki sistem na skici (1) kre}e se u vertikalnoj ravni. Ugaonik ABC ({tapovi AB i BC koji su kruto spojeni pod pravim uglom u ta~ki B) zglobno je vezan za sredi{te mase diska u ta~ki B. Disk se kotrqa po podlozi bez klizawa. Opruge su nenapregnute kada su {tapovi AB i CD horizontalni. Odrediti: • Broj stepeni slobode kretawa i usvojiti generalisane koordinate, • Brzine sredi{ta masa i ugaone brzine svih tela sistema, sa skicom brzina karakterist. ta~aka • Kineti~ku energiju sistema, • Generalisane sile. 2. ZADATAK: Za mehanizam na skici (2) poznato je da se {tap AE obr}e konstantnom ugaonom brzinom ω0 . U prikazanom polo`aju mehanizma odrediti: • Ugaone brzine svih tela sistema i brzine ta~aka B, C i G. • Ugaona ubrzawa svih tela sistema i ubrzawa ta~aka B i E. 3. ZADATAK: Sistem kruto vezanih {tapova na skici (3) obr}e se konstantnom ugaonom brzinom ω = ωο oko vertikalne ose. Odrediti : • Vrednost ugaone brzine ωο iz uslova da je vrednost reakcije veza u osloncu B usled inercijalnih (dinami~kih) optere}ewa, 2 puta ve}a od iste te reakcije usled stati~kog optere}ewa. • Dijagrame prese~nih sila, samo usled inercijalnog optere}ewa (u zavisnosti od m, g, l ). C

A

1

D

B

Z

ζ

3 B

2

G

F

E

D A

ω

C

A

B

η

X

ξ

Y

GRA\EVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U BEOGRADU Katedra za Tehni~ku mehaniku i teoriju konstrukcija Pismeni deo ispita iz TEHNI^KE MEHANIKE - 2

20.06.2003. GRUPA

A

1. ZADATAK: Mehani~ki sistem na skici (1) kre}e se u vertikalnoj ravni. Mase i geometrija svih {tapova prikazana je na skici. Du`ina opruga u nenapregnutom stawu je 2l. Odrediti: • Broj stepeni slobode kretawa i usvojiti generalisane koordinate, • Brzine sredi{ta masa i ugaone brzine svih tela sistema, sa skicom brzina karakterist. ta~aka • Kineti~ku energiju sistema, • Generalisane sile. 2. ZADATAK: Za mehanizam na skici (2) poznato je da se {tap AC obr}e konstantnom ugaonom brzinom ω0 . U prikazanom polo`aju mehanizma odrediti: • Ugaone brzine svih tela sistema i brzine ta~aka C, D, E i F. • Ugaona ubrzawa {tapova BD, CD i CE, kao i ubrzawa ta~aka C, D i E. 3. ZADATAK: Materijalna ta~ka A, zapo~iwe kretawe iz polo`aja kao {to je prikazano na skici (3) i u polo`aju -1- sudari se sa sistemom kruto spojenih {tapova koji mo`e da se obr}e oko ta~ke C. Udar je idealno elasti~an. Odrediti • Dijagrame ubrzawa ta~aka sistema kruto vezanih {tapova neposredno posle sudara, kao i dijagrame inercijalnog optere}ewa. • Dijagrame prese~nih sila usled inercijalnog optere}ewa, neposredno posle sudara, samo na delu B-C-D.

1

2 C

F

E

mase

D D

B C

ω = const

A

B

A

A,

C

3

B

D

(1)

GRA\EVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U BEOGRADU Katedra za Tehni~ku mehaniku i teoriju konstrukcija Pismeni deo ispita iz TEHNI^KE MEHANIKE - 2

05.10.2003.

1. ZADATAK: Mehani~ki sistem na skici (1) kre}e se u vertikalnoj ravni. [tapovi AB i BC su kruto spojeni pod pravim uglom u ta~ki B. Opruga krutosti k je nenapregnuta kada je {tap AB verikalan, a du`ine u nenapregnutom stawu opruga krutosti 2k su 4 l. Odrediti: • Broj stepeni slobode kretawa i usvojiti generalisane koordinate, • Brzine sredi{ta masa i ugaone brzine svih tela sistema, sa skicom brzina karakterist. ta~aka • Kineti~ku energiju sistema, • Generalisane sile. 2. ZADATAK: U prikazanom polo`aju mehanizma na skici (2) poznati su brzina ta~ke E : VE=V0 i ubrzawe ta~ke B : aB=a0 . Odrediti: • Ugaone brzine svih tela sistema i brzine ta~aka A, B, C, i G. • Ugaona ubrzawa svih tela sistema i ubrzawa ta~aka C, E i G. 3. ZADATAK: Sistem kruto vezanih {tapova na skici (3) obr}e se konstantnom ugaonom g brzinom ωο = oko vertikalne ose. Nacrtati dijagrame prese~nih sila usled ukupnih l uticaja (stati~kih i dinami~kih) za ceo sistem (u zavisnosti od m, g, l ).

1 3 g l

30°

G

2

45°

C

B E D A

F

GRA\EVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U BEOGRADU Katedra za Tehni~ku mehaniku i teoriju konstrukcija Pismeni deo ispita iz TEHNI^KE MEHANIKE - 2

22.09.2003.

1. ZADATAK: Kru`na cev polupre~nika R kre}e se u vertikalnoj ravni po poznatom zakonu ( x = 0.5⋅ c⋅t2 ), gde je c = const . U unutra{wosti cevi, koja je idealno glatka, kre}e se materijalna ta~ka mase m. • Napisati diferencijalnu jedna~inu relativnog kretawa mater. ta~ke u cevi, • Odrediti kona~nu jedna~inu relativnog kretawa ta~ke, uvode}i pretpostavku o malim oscilacijama, • Koliki je period sopstvenih (malih) oscilacija. 2. ZADATAK: U prikazanom polo`aju mehanizma na skici poznati su brzina ta~ke C: V0 i ubrzawe ta~ke A: a0. Odrediti: • Ugaone brzine svih tela sistema i brzine ta~aka A, B i D. • Ugaona ubrzawa svih tela sistema i ubrzawa ta~aka A, B i D. 3. ZADATAK: Sistem kruto vezanih {tapova obr}e se konstantnom ugaonom brzinom ω = ωο oko vertikalne ose. Odrediti dijagrame prese~nih sila usled inercijalnog optere}ewa.

1 ϕ c

2

3

2

Z

A

B

ζ

B

D

C

E

A

η

X

ξ

Y

GRA\EVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U BEOGRADU Katedra za Tehni~ku mehaniku i teoriju konstrukcija Pismeni deo ispita iz TEHNI^KE MEHANIKE - 2

01.09.2003. GRUPA

A

1. ZADATAK: Trougaona plo~a obr}e se oko vertikalne osovine poznatom ugaonom brzinom ω=ω(t). U idealno glatkoj cevi, koja jevezana za plo~u, kre}e se materijalna ta~ka mase m. Du`ina opruge u nenapregnutom stawu je l. Napisati diferencijalnu jedna~inu relativnog kretawa materijalne ta~ke, koriste}i: • Drugi Wutnov zakon i • Langra`ove jedna~ine kretawa druge vrste.

2. ZADATAK: U prikazanom polo`aju mehanizma na skici poznati su ugaona brzina i ugaono ubrzawe {tapa AB : ω0 i ε0. Odrediti: • Ugaone brzine svih {tapova i brzine ta~aka B, C, D i E. • Ugaona ubrzawa svih {tapova i ubrzawa ta~aka B, C, D i E. 3. ZADATAK: Pravougaona plo~a mase 4m okre}e se oko vertikalne ose pod uticajem momenta sprega M0. U ta~ki M nalazi se materijalna ta~ka mase m. Ovakav sistem zapo~iwe kretawe, bez po~etne brzine, iz prikazanog polo`aja. Napisati diferencijalnu jedna~inu kretawa i odrediti reakcije veza.

1

3 B

1.5 M

1.5 A

2

ω,ε 0

A

0

2.0

B E

30°

poznate du`ine {tapova:

30°

C

AB=CD= 2⋅l BC= 4⋅l D