tecnologia_de_maquinas[1]

Tecnología de Máquinas i* Miguel Moro Vallina**

1. 1.1.

Fundamentos del diseño mecánico Seguridad y fiabilidad

Factor de seguridad y coeficiente de fiabilidad Para diseñar un dispositivo de manera que no falle, se precisa en primer lugar un parámetro que defina el estado del sistema, i.e., un parámetro que disponga de un rango de valores dentro del cual se puede esperar un comportamiento satisfactorio del sistema, y fuera de él sea previsible el fallo. Naturalmente, en muchas ocasiones los parámetros pueden ser múltiples y además pueden estar vinculados entre sí. Como paso previo al diseño, es preciso encontrar todas las posibles causas de fallo, los parámetros que representan cada uno de ellos y su valor límite; el problema de diseño se replantea entonces como una forma de disponer las cosas de manera que ninguno de los parámetros representados supere su valor límite. De forma general, se define el factor de seguridad respecto a un parámetro representativo del estado del sistema como el cociente entre el valor límite de ese parámetro y su valor actual o previsto en el diseño:1 nξ =

ξlím . ξ

* Apuntes preparados a partir de José Ignacio Pedrero Moya: Tecnología de Máquinas. Tomo I: Fundamentos. Ejes, acoplamientos y apoyos. Madrid, 2005: Universidad Nacional de Educación a Distancia. Los apuntes corresponden a la asignatura homónima del Plan 2001 de la carrera de Ingeniería Industrial de la uned. Originalmente, los apuntes habían sido pensados para incluir toda una serie de figuras sin las cuales la comprensión del texto se hace farragosa. Las limitaciones de tiempo me han obligado a renunciar a este objetivo y, a pesar de todo, he creído que pueden ser de utilidad; pero deben ser usados teniendo en cuenta este hecho. This work is licensed under the Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 2.5 Spain License. To view a copy of this license, visit http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/es/ or send a letter to Creative Commons, 543 Howard Street, 5th Floor, San Francisco, California, 94105, USA. La composición de este documento se ha realizado mediante LATEX. ** Correo: [email protected]. Web: http://narodnaia.googlepages.com 1 En todo caso, esta definición no tiene demasiado sentido si el parámetro escogido carece de un origen significativo. Por ejemplo, si el parámetro es una temperatura, es más lógico definir el factor de seguridad con respecto a una temperatura de referencia, que podría ser la −T0 . temperatura ambiente media del lugar del que se trate. Así, n∆T = Tlím T −T 0

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1.1. Seguridad y fiabilidad

2

En definitiva, un parámetro representativo del estado de un sistema es aquél que presenta un valor límite a partir del cual, y no antes, cabe espera que se presente el fallo. Para poder hablar de factor de seguridad, el valor cero del parámetro debe corresponder a un estado de seguridad prácticamente absoluta, y en tal caso el factor de seguridad respecto al parámetro se define como el cociente entre el valor límite del mismo y el valor actual (verificación) o previsto (diseño). En la realidad, sin embargo, no existe un valor límite de un parámetro que defina la separación entre el funcionamiento correcto y el fallo del sistema. En la realidad se presentan distribuciones estadísticas, con una probabilidad normalizada de fallo p(ξ) y una probabilidad acumulada de fallo P (ξ). Entonces se define el coeficiente de fiabilidad R para un valor ξ0 del parámetro como la probabilidad de buen funcionamiento cuando el parámetro toma un determinado valor. R viene dado por: R(ξ0 ) = 1 − P (ξ0 ) = 1 −

Z

ξ0

p(ξ)dξ.

−∞

En el diseño mecánico, el sistema de fuerzas que actúa sobre un elemento es, en principio, un parámetro bastante indicativo del funcionamiento del mismo. Aquí, el fallo se llama rotura y el factor de seguridad respecto a la fuerza viene dado por: Flím n= . F No obstante, al igual que se observaba para el caso general, en la práctica no existe una Flm , sino una distribución de valores de F que producen la rotura. Si la función de densidad de probabilidad de fallo es p(F ), la fiabilidad del sistema cuando actúa sobre él una fuerza F0 viene dada por: R(F0 ) = 1 −

Z

F0

p(F )dF.

−∞

Ahora bien, un estudio más detallado del problema revela que, si bien la carga exterior refleja con bastante fiabilidad la situación del elemento sobre el que actúa, el valor límite de ficha fuerza depende, no sólo de su naturaleza y del material del sólido, sino también del tamaño y forma del mismo. Por eso se introduce un parámetro más general cuyo valor límite depende sólo del material: la tensión σ. El valor límite de la tensión se conoce como resistencia (S) y el factor de seguridad viene dado por: n=

S . σ

Factor de seguridad estadístico El hecho de que la tensión que produce la rotura de un material no tenga un valor límite definido sino una distribución estadística planta un inconveniente para establecer el valor de la resistencia. Por lo general, los valores que se encuentran en las tablas de materiales se refieren al límite inferior del intervalo de probabilidad de fallo no nula: se garantiza el buen

1.2. Análisis de tensiones

3

funcionamiento para tensiones inferiores y se predice la rotura para tensiones superiores. Es posible relacionar seguridad y fiabilidad a través del valor límite escogido para la resistencia. Si se designa por SR la resistencia que proporciona una fiabilidad R, Z SR p(S)ds. 1 − R = P (SR ) = 0

el factor de seguridad para una fiabilidad R viene dado por: nR =

SR . σ

Factor de aplicación y factor de resistencia Cuando se diseña un elemento ha de considerarse un factor, llamado factor de diseño, en previsión tanto de indeterminaciones en los valores de las resistencias como de posibles sobrecargas sobre el elemento. Así, se define el factor de diseño nα como el cociente entre la resistencia esperada del material y la tensión a la que se supone estará sometido el elemento. El factor de seguridad n es el cociente entre los valores reales de resistencia y tensión. Una vez establecido el factor de diseño, se ha de verificar que la tensión en el sólido no supera el valor nSα ; se introduce así el concepto de tensión admisible: la tensión admisible es el valor máximo que puede tomar la tensión en un punto de un elemento de manera que no se rebase el factor de diseño establecido. La tensión admisible coincide con el valor de la resistencia dividido por el valor de diseño, S σadm = . nα En algunas ocasiones, el factor de diseño se desglosa en un factor de resistencia nS y un factor de sobrecarga, nL .

1.2.

Análisis de tensiones

Carga crítica Si sobre un sólido en equilibrio hacemos actuar una fuerza exterior, ésta moverá el punto del sólido sobre el que actúa, produciendo una deformación y la consiguiente aparición de esfuerzos interiores que tienden a oponerse a tal deformación. Llegado el punto en que dichos esfuerzos compensen el valor de la fuerza se habrá alcanzado el equilibrio. Sin embargo, en este instante el punto de aplicación de la fuerza tendrá una velocidad no nula, por lo que en ausencia de fuerza continuará su movimiento, aumentando la deformación. Ello dará lugar a un aumento de los esfuerzos interiores, a un nuevo desequilibrio de fuerzas y a una aceleración en sentido opuesto a la fuerza exterior. El resultado final será un movimiento vibratorio de los puntos del sólido elástico en torno a una posición de equilibrio.

1.2. Análisis de tensiones

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En el lado opuesto, si una carga se aplica de forma que su valor, inicialmente nulo, vaya creciendo a medida que el sólido se va deformando, de modo que la fuerza exterior y los esfuerzos interiores estén siempre en equilibrio, no se produciría vibración alguna. Se trata únicamente de un modelo ideal: la aplicación de la carga requeriría un tiempo infinito. De lo contrario, aparecerían sobreaceleraciones de valor infinito. A pesar de todo, este modelo se ajusta a la realidad mucho mejor que el primero. Es muy razonable admitir que la aplicación de la carga, aun no siendo lenta, es progresiva, lo que evita sobreaceleraciones infinitas. Obviamente, se producirá una pequeña vibración en torno a la posición de equilibrio, pero será muy pequeña y la energía que consuma será despreciable frente a la energía de deformación elástica almacenada por el sólido. En consecuencia, se admite la hipótesis de aplicación progresiva y lenta de las cargas. Análisis de tensiones. Teorema de reciprocidad Si consideramos un sólido sobre el que actúa un sistema de fuerzas exteriores —incluidas las reacciones en los apoyos— y que se halla en equilibrio, debe cumplirsePque la resultante y el P momento de ese sistema de fuerzas exteriores sean nulos, Fi = 0 y Mi = 0. Ahora bien, si se separa el sólido en dos porciones A y B, se tiene que , sobre la sección que separa A y B deberá actuar una fuerza FA (o FB ) y un momento MA (o MB ) que equilibre las fuerzas y momentos que afectan a la otra porción del sólido. Se tiene así: P P FA = Fi MA = Mi , B B P P FB = Fi MB = Mi . B

A

La fuerza que actúa en la sección se conoce como esfuerzo de la sección o resultante en la sección; en realidad, dicho esfuerzo es la resultante de infinitos esfuerzos diferenciales que actúan cada uno sobre un área diferencial. Se introduce así el concepto de tensión como el cociente entre la fuerza que actúa sobre un elemento de sección y el área del mismo. σ=

dFΩ . dΩ

Para el momento de la sección se tiene entonces: Z Z r ∧ σdΩ. r ∧ dFΩ = MΩ = Ω

Ω

Habitualmente, se descompone el esfuerzo en la sección en dos componentes: la componente perpendicular al plano de la sección (esfuerzo normal ) y la contenida en el plano de la misma (esfuerzo tangencial o cortante). Del mismo modo, la componente del momento perpendicular a la sección se llama momento torsor, y momento flector la contenida en ella. Finalmente, se llama tensión normal σn a la componente de la tensión en dirección perpendicular a la sección, y tensión tangencial o cortante τ a la contenida en ella. Para estudiar el estado tensional en un punto de un sólido elástico se considera un paralelepípedo elemental de lados dx, dy y dz. Sobre cada una de

1.2. Análisis de tensiones

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sus caras actúa una tensión normal y una cortante. Si el sólido se encuentra en equilibrio, las tensiones y sus momentos respecto de cada uno de los ejes deben poseer resultante nula; el segundo de estos criterios proporcionará un resultado muy útil. Veamos el momento de las tensiones respecto del eje x. Respecto de dicho eje sólo producen momento las tensiones τzy y τyz 2 y las correspondientes a estas dos sobre las caras no vistas. El equilibrio de momentos se expresa así: dy dy dz ′ ′ τzy dxdy dz 2 + τzy dxdy 2 − τyz dxdz 2 − τyz dxdz 2 = 0, ′ ′ τzy + τzy − τyz − τyz = 0.

Teniendo en cuenta que:3 ′ τzy = τyz −

∂τzy dz ∂z

′ τyz = τyz −

∂τyz dy. ∂y

el equilibrio de momentos puede expresarse como     ∂τzy ∂τyz τzy + τzy − dz − τyz − τyz + dy = 0. ∂z ∂y Despreciando los términos entre paréntesis y realizando las mismas operaciones sobre los otros dos ejes, se llega al siguiente resultado: τzy = τyz

τxy = τyx

τxz = τzx .

que se conoce como teorema de reciprocidad de las tensiones tangenciales. Tensor de tensiones. Tensiones principales Si sobre el tetraedro del epígrafe anterior se practica un corte por un plano cuyos cosenos directores sean α, β y γ se tiene que para que el tetraedro esté en equilibrio ha de cumplirse que la resultante en cada eje sea nula. De aquí se obtiene, mediante algunas operaciones simples:      α σnx τxy τxz σx  σy  =  τxy σny τyz   β  , γ τxz τyz σnz σz

de modo que σ = T u. A T se la conoce como tensor de tensiones o matriz de tensiones. Siempre se cumple lo siguiente: las componentes del vector tensión en un punto de un plano se obtienen mediante el producto del tensor de tensiones en ese punto y el vector director del plano en ese punto. La componentes normal y cortante de la tensión en el plano se obtienen con las siguientes expresiones: σn = σx αp+ σy β + σz γ, τ = σ 2 − σn2 .

2 El primer subíndice indica el eje perpendicular al plano sobre el que actúan las tensiones, y el segundo indica el eje al que son paralelas. 3 La expresión que sigue proviene de considerar que los errores cometidos al igualar las tensiones cortantes de las caras opuestas del paralelepípedo son infinitesimales con respecto a las tensiones mismas. Por otra parte, nótese la analogía, o más bien la identidad con el desarrollo que en Mecánica de Fluidos se realiza para conocer el estado tensional de un fluido.

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1.2. Análisis de tensiones

donde σ, queq representa el módulo del vector de tensiones en el plano considerado, es σ = σx2 + σy2 + σz2 .

Cabe diagonalizar el tensor T , lo que equivale a hallar un plano para el que la tensión en el punto considerado sea perpendicular a él, i.e., la tensión cortante sea nula. Los nuevos ejes obtenidos tras esta operación de diagonalización conforman un sistema de referencia principal. Las tensiones σ1 , σ2 , σ3 que forman la nueva matriz diagonal se denominan tensiones principales. Éstas se toman siempre de forma que σ1 ≤ σ2 ≤ σ3 . Si los tres valores de las tensiones principales son iguales, cualquier tetraedro ortogonal con vértice en el punto considerado es sistema principal, y por tanto no existe tensión tangencial en ningún punto. Este caso se conoce como estado de presión hidrostática. Círculos de Mohr Si se representa sobre unos ejes cartesianos σn − τ el estado tensional de todos los planos que pasan por un punto deseado, se obtiene una representación en la que se distinguen: una zona limitada por tres semicírculos, todos ellos con centro sobre el eje x y que pasan por dos de los tres puntos (σ1 , 0), (σ2 , 0) y (σ3 , 0), donde σ1 , σ2 y σ3 son las tensiones principales del tensor en el punto considerado. Para determinar en los círculos de Mohr la tensión correspondiente a un plano que forma ángulos α, ˆ βˆ y γˆ, se opera como indica la figura. De la consideración de los círculos de Mohr se extraen una serie de conclusiones útiles para el diseño. Primero, el máximo valor que s presenta para la tensión normal es el que resulta mayor de σ1 y −σ3 . Segundo, dicho valor será también el máximo valor del módulo del vector tensión que aparece en la radiación de planos. Tercero, el valor máximo de la tensión cortante será siempre el radio de la circunferencia mayor, i.e., τmáx = σ1 −σ2 , y dicha tensión cortante 2 máxima se presenta siempre en planos cuyos vectores directores forman ángulos de 45◦ con los ejes principales primero y tercero y son perpendiculares al segundo. Estado plano de tensiones Un sólido está sometido a un estado tensional plano en un punto cuando existe un plano que, en dicho punto, no está sometido a tensión alguna, ni normal ni tangencial. Si se escoge el sistema de referencia de modo que uno de los planos coordenados —llamado plano director — sea el que no está sometido a tensión, el tensor de tensiones tendrá la forma:   σnx τxy 0 T =  τxy σny 0  . 0 0 0

Se acostumbra a reducir el tensor a una matriz de dos dimensiones:   σnx τxy T = τxy σny

y a considerar sólo los planos perpendiculares al director, si bien eso no significa que la tensión en los restantes planos sea nula.

1.2. Análisis de tensiones

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Las dos tensiones principales se obtienen igualando a cero el determinante del tensor anterior. Sólo existen dos cosenos directores distintos de cero. Asumiendo que φ es el ángulo que forma el vector director del plano con el eje x del sistema de referencia elegido, se tiene que los cosenos directores son α = cos φ y β = sen φ, con lo que las componentes del vector tensión quedan:       cos φ σnx τxy σx · = . sen φ τxy σny σy Las componentes normal y tangencial del vector tensión pueden calcularse mediante expresiones alternativas a las enunciadas anteriormente: σn =

σnx +σny 2

τ=

+

σnx −σny 2

σnx −σny 2

cos 2φ + τxy sen 2φ,

sen 2φ + τxy cos 2φ.

Las direcciones principales pueden calcularse teniendo en cuenta que sean aquellas perpendiculares a los planos que tengan tensión tangencial nula. Pueden calcularse las direcciones de los planos de tensión tangencial máxima igualando dτ a cero la derivada dφ . Estos planos forman ángulos de 45◦ con las direccio4 nes principales. Las expresiones de σn y τ , referidas a los ejes principales, se transforman en: 2 2 + σ1 −σ cos 2φ, σn = σ1 +σ 2 2 2 τ = − σ1 −σ cos 2φ. 2

La representación en unos ejes σn −τ de los estados tensionales de los planos perpendiculares al plano director se reduce a un círculo —el círculo de Mohr. Puede parecer que la máxima tensión cortante que aparece en un punto del sólido sometido a un estado plano de tensiones es: τmáx =

σ1 − σ2 . 2

No obstante, esto sólo será cierto si se consideran exclusivamente los planos perpendiculares al director. El estado tensional completo en este punto estaría determinado por las dos tensiones principales σ1 y σ2 , más una tercera igual a cero. Si las dos primeras son del mismo signo, el mayor de los tres círculos de Mohr sería el que pasara por el punto (σ1 , 0) y el origen de coordenadas. En consecuencia, la máxima tensión cortante valdría: τmáx = σ12−0 = σ21 y no actuaría sobre un plano perpendicular al director. Diagrama de esfuerzos y momentos En un problema de diseño nunca será dato el tensor de tensiones sino las cargas exteriores, a partir de las cuales habrán de calcularse las componentes del tensor. En términos generales el procedimiento a seguir es el siguiente: primero, modelar el sistema de cargas, incluyendo el cálculo de las reacciones; segundo, calcular a partir de la carga la resultante y el 4 Recuérdese

que estos planos son aquellos que, de entre los perpendiculares al plano director, están sometidos a tensión cortante máxima; pero esto no significa que no puedan existir otros planos con τ mayor.

1.2. Análisis de tensiones

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momento en cualquier sección; tercero, calcular en cada sección, a partir de la resultante y el momento, la distribución de tensiones en todos los puntos de la misma; cuarto, con la tensión en cada punto construir el tensor de tensiones y calcular el parámetro crítico —tensión normal, tensión cortante, etc.— a considerar; quinto, seleccionar el mayor de todos los parámetros críticos y comparar con la resistencia correspondiente. Las solicitaciones exteriores pueden ser muy diversas, pero sólo existen cuatro tipos de solicitaciones en la sección: las componentes de la resultante perpendicular a la sección —esfuerzo normal — y contenida en ella —esfuerzo cortante— y las mismas componentes del momento —momento torsor y flector —. Las ecuaciones de la estática proporcionan el método para calcular las reacciones en los apoyos. Si el número de componentes de las reacciones en los apoyos es mayor que el número de ecuaciones, el problema se denomina hiperestático, y sólo se puede resolver con ayuda del estado deformado. Si el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas, el problema se denomina isostático. Una vez determinadas todas las cargas exteriores —incluidas las de las reacciones—, se halla el estado del esfuerzo en cada sección mediante el método de las secciones. Se trata de cortar el sólido por un plano imaginario, eliminar una de las dos partes en las que queda dividido y sustituir su acción sobre la otra por una fuerza y un momento iguales a la resultante y al momento (respecto al centro geométrico de la sección) de las fuerzas exteriores y momentos que actuaban sobre la parte eliminada.

Hipótesis de proporcionalidad Además de la hipótesis de aplicación progresiva de las cargas, la teoría de la elasticidad suele admitir otras dos hipótesis: la de isotropía y continuidad e los sólidos y la de proporcionalidad de las tensiones y deformaciones. Esta última, llamada Ley de Hooke, requiere una discusión previa. Una tensión normal a la dirección de un eje determinado produce un alargamiento en la dirección de dicho eje. Según la hipótesis de proporcionalidad, el alargamiento —o acortamiento— será proporcional a la longitud inicial en dicha dirección (por ejemplo, dx) y al valor de la tensión (en este caso, σn ). Dicho de otro modo, si llamamos ǫx al alargamiento unitario, se cumple: ǫx =

σnx ∆dx = . dx E

donde el coeficiente de proporcionalidad E es una propiedad del material que se conoce como módulo de elasticidad. De forma análoga, una tensión tangencial produce un desplazamiento relativo de dos pares de planos. Por ejemplo, una tensión τxy produce un corrimiento relativo del plano y = dy con respecto al plano y = 0. Lados que inicialmente formaban un ángulo recto pasan a formar un ángulo que difiere del recto en una cantidad γxy . Según la hipótesis de proporcionalidad, dicha cantidad es proporcional a la tensión tangencial τxy , de forma que: τxy γxy = , G

1.2. Análisis de tensiones

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en donde G es una propiedad del material que se conoce como módulo de elasticidad transversal. Distribución de tensiones en la sección Para estudiar la distribución de tensiones en la sección que producen las solicitaciones simples estudiadas anteriormente, se formula una hipótesis adicional a las que se han mencionado más arriba. Se supone que la tensión del sólido no varía a lo largo de la longitud del mismo o que, si varía, lo hace de forma suave; dicho de otro modo, se analiza el estado de tensiones en un punto alejado de cualquier cambio brusco de sección. Esfuerzo normal La experiencia ratifica la hipótesis de Bernouilli, que supone que las tensiones planas antes de la deformación permanecen planas después de la misma. Si se admite esto, resulta que todas las secciones perpendiculares al esfuerzo permanecerán planas y, por simetría, se habrán desplazado paralelamente a sí mismas. Eso quiere decir que las fibras longitudinales se habrán estirado todas lo mismo. Puesto que, según la hipótesis de proporcionalidad, N σ= , Ω resulta que la tensión normal será uniforme en toda la sección. Momento flector Supongamos un momento flector puro que actúa sobre un elemento de longitud ds. Al igual que ocurre en el caso anterior, las secciones planas antes de la deformación se mantienen planas después de ésta. Existen fibras que se contraen y fibras que se dilatan; necesariamente, existirá una — llamada fibra neutra— cuya longitud no varía. La fibra neutra adopta la forma de una curva cuyo radio de curvatura verifica ds = ρdφ. La cantidad dx que se acorta una fibra situada a una distancia y por encima de la fibra neutra es dx = ydφ. Por tanto, el alargamiento unitario de dicha fibra será: dx dφ y dx =− =− . ǫ=− ds dφ ds ρ Pero por otro lado, de acuerdo con la hipótesis de proporcionalidad, σ y =− . E σ A partir de aquí, es necesario realizar dos consideraciones. Primero, sobre la sección actúa un momento, pero su resultante es cero. Esto quiere decir que la resultante de los esfuerzos debidos a estas tensiones tomadas en toda la sección ha de ser cero, por tanto, Z Z Z E E − ydΩ = − σdσ = ydΩ = 0. ρ ρ Ω Ω Ω Ahora bien, para que esta integral sea nula, las distancias y han de estar tomadas respecto al centro de gravedad geométrico de la sección; de este modo resulta

1.2. Análisis de tensiones

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que la fibra neutra es aquella que contiene los centros de gravedad geométricos de todas las secciones. Segundo, el momento de todos los esfuerzos distribuidos por la sección ha de ser igual al momento en la sección; por tanto, Z Z E 2 E MF = − yσdΩ = y dΩ = Iz , ρ Ω Ω ρ donde Iz es el momento de inercia geométrico de la sección respecto del eje de la sección paralelo al momento que contiene el centro de gravedad geométrico. A partir de aquí se obtiene: MF =

E σ Iz = − Iz ρ y

σ=−

MF y. Iz

A esta última expresión se la denomina ley de Navier. Obviamente, el valor absoluto de la tensión máxima en la sección será: σmáx = MIzF ymáx . Esta tensión máxima se presenta en el punto de la sección más alejado del centro de gravedad geométrico en dirección perpendicular al momento. Esfuerzo cortante Una pieza no puede estar sometida a esfuerzo cortante en todas sus secciones; la presencia de un esfuerzo cortante induce en la sección la presencia de un momento flector, que además varía con x. En las caras del elemento se dará una distribución de tensiones que viene dada por la ley de Navier. Si se considera el equilibrio del elemento resultante de cortar el anterior por un plano horizontal a una distancia y del centro de gravedad geométrico, se advierte que es necesaria la presencia de una tensión cortante τ actuando sobre la sección inferior del elemento considerado: Z ymáx Z ymáx MF + dMF MF ydΩ + τ bdx = ydΩ, I Iz z y y donde b es el espesor de la sección. En consecuencia: Z Z ymáx dMF 1 dMF ymáx ydΩ τ= ydΩ. τ bdx = Iz dx bIz y y Recordando la relación del esfuerzo cortante con el momento flector, se tiene: Z ymáx T ydΩ. = τ= bIz y Este resultado se conoce como teorema de Colignon, y refleja cómo se distribuye el esfuerzo cortante a lo largo de la sección. Por lo general, los valores que se obtengan para τ por esfuerzo cortante son muy inferiores a los que se obtienen para σ por el momento flector que indudablemente se presenta; por ello, en la mayor parte de los casos, el esfuerzo cortante puede ser despreciado en los cálculos.

1.2. Análisis de tensiones

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Momento torsor Se consideran únicamente secciones cilíndricas o tubulares —rara vez perfiles con otra geometría se ven sometidos a solicitaciones importante de torsión—. Para estas secciones se admite la hipótesis de Bernouilli: las secciones transversales permanecen planas tras la deformación, que por lo tanto no consiste más que en un giro alrededor del eje de unas secciones respecto a otras. Sea la porción (de longitud l) de cilindro sometido a torsión, y A0 y B0 dos puntos situados en sus extremos. Si resulta que la deformación debida al momento torsor es un giro de una sección respecto de otra, en el estado deformado el punto B0 habrá habrá pasado a ocupar una posición B0′ . Si se designa por δ la distancia entre B0 y B0′ , se tiene (suponiendo pequeñas deformaciones): δ = B0 B0′ = Θr , donde Θ es el ángulo girado por una sección respecto de la otra. A partir de este ángulo puede definirse otro, θ, de la forma siguiente: θ=

δ Θr = . l l

θ es la variación de un ángulo recto antes de la deformación; ahora bien, tal como se demostró anteriormente, éste habrá de ser igual a la deformación angular en el punto B0′ o, lo que es lo mismo, a la tensión tangencial en dicho punto dividida por el módulo de elasticidad transversal del material: θ=

τ Θr = ; l G

τ =G

Θ r. l

Así, resulta que la distribución de tensiones cortantes en la sección es radial, y su valor es proporcional al del radio en cada punto. El momento de esta distribución radial ha de ser igual al momento torsor en la sección: Z Z Θ Θ G r2 dΩ = G J0 , τσ dΩ = MT = l l Ω Ω donde J0 es el momento de inercia geométrico central de la sección. La expresión anterior de la sección cortante se transforma en: τ=

MT r, J0

que presenta cierta similitud con la ley de Navier. El valor máximo de la tensión T cortante será τmáx = M J0 rmáx y se presentará en el diámetro exterior de la sección. Concentración de esfuerzo La experimentación revela que las tensiones que aparecen en los cambios de sección son muy superiores a las que corresponderían a la sección sin cambios, incluso en la más pequeña de las que hay en esa zona de cambio. Es un fenómeno conocido como concentración de tensiones o concentración de esfuerzo. Se trata de un efecto muy localizado en las secciones próximas al sato, e incluso en no todos los puntos de la misma.

1.3. Análisis de deformaciones

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Se define la tensión de referencia como el valor que ésta tendría si la sección no variase; se calcula siempre como si la sección fuese constante pero igual a la que realmente hay, i.e., a la menor de las que existen en ese intervalo de variación. Se define el factor de concentración de esfuerzo teórico 5 kt (o kts cuando se trata de cortadura) como el valor por el que hay que multiplicar la tensión de referencia en un punto para obtener el valor máximo de la tensión en ese punto: σ = kt σ0 ;

1.3.

τ = kts τ0 .

Análisis de deformaciones

Relaciones entre tensiones y deformaciones. Ley de Hooke La experiencia muestra que una tensión normal produce no sólo un alargamiento en su misma dirección, sino también un acortamiento en las dos direcciones perpendiculares. Este acortamiento es muy aproximadamente proporcional al alargamiento en la dirección de la tensión; supuesta ésta coincidente con el eje x: σnx , ǫy = ǫz = −µǫx = −µ E donde µ es el módulo de Poisson. Si actúan tensiones normales en las tres direcciones se tendrá: 1 ǫx = [σnx − µ(σny + σnz )] ; (1) E 1 ǫy = [σny − µ(σnx + σnz )] ; (2) E 1 ǫz = [σnz − µ(σnx + σny )] . (3) E El primer objetivo consiste en encontrar un tensor de deformaciones tal que, al multiplicarlo por el vector director de un plano, proporcione un vector deformación. La componente normal al plano será el alargamiento en dicha dirección normal y la componente contenida en el plano será el corrimiento unitario dentro del propio plano. Según la hipótesis de proporcionalidad puede afirmarse que las direcciones principales de tensiones y deformaciones son siempre coincidentes. Así, el tensor de deformaciones referido a las direcciones principales tendrá la forma:   ǫ1 0 0 D =  0 ǫ2 0  . 0 0 ǫ3 A la vista de su forma diagonalizada, la expresión general del tensor de deformaciones resulta ser:   ǫnx Γxy Γxz  Γxy ǫny Γyz  . Γxz Γyz ǫnz 5 El

carácter de «teórico» de dicho factor viene dado por el hecho de que en la realidad la concentración de esfuerzo no va a ser tan grande como se puede prever mediante la teoría de la elasticidad.

1.3. Análisis de deformaciones

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Veamos cuál es el significado de los términos situados fuera de la diagonal principal. Si se calcula la expresión de los corrimientos unitarios (por ejemδz plo, dx = αx ) y se tiene en cuenta que esos mismos corrimientos se obtendrían multiplicando escalarmente el vector deformación (i.e., el producto del tensor por el vector director del plano) por el vector unitario en la dirección en la que se desea calcular el corrimiento, se deduce que: los términos fuera de la diagonal principal del tensor de deformación representan la mitad de la variación de un ángulo inicialmente recto, de lados paralelos a los correspondientes ejes coordenados. Por ejemplo αx + αy = 2Γxy =

τxy . G

El tensor de deformaciones puede escribirse entonces:   1 1 ǫnx 2 γxy 2 γxz 1 . D =  12 γxy ǫny 2 γyz 1 1 ǫnz 2 γxz 2 γyz Se demuestra que realizando un giro, cualquier tensor de deformación puede transformarse en otro equivalente que sólo tenga términos distintos de cero en la diagonal principal. Se demuestra, además, que dichos términos son iguales a los calculados mediante las ecuaciones anteriores. Resulta, por tanto, que dichas expresiones son válidas en cualquier situación, y la tensión tangencial no afecta en absoluto a los alargamientos unitarios. A dichas expresiones, junto con estas otras: τxz τyz τxy ; γxz = ; γyz = , γxy = G G G se las conoce como leyes de Hooke generalizadas. La aplicación de dicho giro permite también demostrar que 12 γxy = 1+µ E τxy . Si esta expresión se compara con las leyes de Hooke, se obtiene una relación entre ambos módulos de elasticidad, a través del coeficiente de Poisson: E = 2(1 + µ)G. Deformaciones ante solicitaciones simples. Teoremas de Mohr Del mismo modo que las tensiones producidas por un esfuerzo cortante eran muy pequeñas, muy pequeños serán también los desplazamientos por él producidos, por lo que en la práctica se despreciarán. Esfuerzo normal Un esfuerzo normal produce un alargamiento en su misma dirección, i.e., un desplazamiento de las secciones perpendiculares al esfuerzo en la dirección del mismo. Si dδ es el desplazamiento de una sección x con respecto a otra muy próxima, separada de ella una distancia dx, se tiene:

δ = (∆l)x0 −x

dδ = ǫdx; Z x Z x N σ dx = dx. ǫdx = = E EΩ x0 x0 x0 Z

x

1.3. Análisis de deformaciones

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Momento flector Anteriormente se dedujo la relación para la curvatura de la deformada de la línea neutra: 1 dθ MF = = . ρ ds EI Por otro lado, en una curva cualquiera y(x), puede hallarse el radio de curva ′′  23 y . Como aquí nos encontramos ante tura mediante la expresión ρ1 = 1+y ′2 deformaciones pequeñas, y ′2 ≪ 1, con lo que

EIy ′′ = MF (x). De esta ecuación diferencial, integrada con las condiciones de contorno que imponen los apoyos, se obtiene la ecuación de la deformada de la línea neutra (o línea elástica). La relación entre el momento y la curvatura permite extraer dos importantes conclusiones. Primero, si se admite que las deformaciones son pequeñas, ds ≈ dx (i.e., longitudes muy pequeñas, medidas sobre la deformada, son muy similares a las correspondientes antes de la deformación). La relación anterior MF F puede expresarse como: dθ = M EI ds ≈ EI dx. El ángulo dθ coincide con el que forman las tangentes a la deformada en los límites de dx. Por tanto, el ángulo formado por las tangentes a la deformada en los puntos cualesquiera será: θ1−2 =

Z

1

2

dθ =

Z

x2

x1

MF dx. EI

A este resultado se le conoce como primer teorema de Mohr. Segundo, la longitud del segmento definido por los puntos de corte de las tangentes a la deformada en dos puntos próximos y una recta vertical por x0 será: dv = (x − x0 )dθ = F (x − x0 ) M EI dx. Así: Z x MF (x − x0 ) v= dx. EI x0 Este resultado es el segundo teorema de Mohr.

Momento torsor Más arriba se dedujo la expresión del ángulo girado por dos secciones próximas de un prisma de sección circular sometido a un momento MT dx. De este modo, el ángulo girado por una sección cualquiera torsor: dθ = GJ 0 respecto de otra será: Z x2 MT θ1−2 = dx. GJ 0 x1 Potencial interno. Teoremas de Castigliano y Menabrea El potencial interno es la energía potencial elástica que almacena el sólido deformado. Por el principio de conservación, ha de ser igual al trabajo que realizan las fuerzas exteriores al desplazar su punto de aplicación durante la deformación.

2. Materiales

15

Según la hipótesis de aplicación progresiva de las cargas, fuerza y desplazamiento son, en todo momento, proporcionales: F (δ) = αδ. Por tanto, la contribución al potencial interno de una fuerza exterior será: Z δi Z δi 1 1 αδdδ = αδi2 = Fi δi . F (δ)dδ = Ui = 2 2 0 0 El potencial interno será el sumatorio de las aportaciones de todas las fuerzas exteriores (en el caso de fuerzas puntuales) o la integral correspondiente (en el R caso de fuerzas distribuidas): U = 12 x F (x)dδ(x). De manera análoga, las aportaciones al potencial interno R de momentos exteriores (puntuales o distribuidos) será: Ui = 12 Mi θi y U = 12 x Mi (x)dθ(x).

El valor total del potencial interno debido a los esfuerzos normales, los momentos flectores y los momentos torsores puede hallarse mediante la integración de los potenciales referidos a cada elemento diferencial del sólido: Z Z Z Z N2 1 1 N 1 dx = dx; N dδ = N ǫdx = N Un = 2 2 2 EΩ 2EΩ Ux =

1 2

1 Us = 2

Z

Z

MF dθ =

1 2

1 MT dθ = 2

Z

Z

MF dx = EI

Z

MF2 dx; 2EI

MT dx = MT GJ0

Z

MT2 dx. 2GJ0

MF

Teniendo en cuenta que la deformación producida por una fuerza puntual es proporcional a su valor, su aportación al potencial interno del sólido puede expresarse como: 1 1 Fi F2 Ui = Fi δi = Fi = i 2 2 α 2α Fi Fi ∂U = = δ . Este resultado es el teorema = De este modo, se tiene que ∂F i α α i de Castigliano: la derivada parcial del potencial interno con respecto a una fuerza exterior es igual al desplazamiento del punto de aplicación de la fuerza en la dirección de la misma. Paralelamente, la derivada con respecto a un momento exterior es igual al giro, en la dirección del momento, de la sección en la que esté aplicado. Como corolario del teorema de Castigliano se obtiene se obtiene el teorema de Menabrea: la derivada parcial del potencial interno con respecto a una reacción hiperestática —fuerza o momento— es cero, pues al tratarse de una reacción no hay ni desplazamiento ni giro.

2. 2.1.

Materiales Propiedades mecánicas de los materiales

Ensayo de tracción. Resistencia estática El ensayo de tracción6 sirve para determinar la resistencia a tracción de los materiales y la relación entre esfuerzos 6 Existe un ensayo similar a compresión, que produce resultados semejantes a los que se describen a continuación para el ensayo a tracción. La forma de la probeta es ligeramente

16

2.1. Propiedades mecánicas de los materiales

y alargamientos que presentan. Consiste en someter una probeta de sección circular uniforme a una serie de esfuerzos de tracción crecientes. A medida que se hace variar el esfuerzo, se van tomando datos de fuerzas y alargamientos que mediante los cálculos correspondientes se transforman en tensiones y en alargamientos unitarios, los cuales se representan a continuación en un diagrama tensión–deformación. En el eje de ordenadas se representa la carga P dividida entre el área inicial A0 . El punto P es el límite de proporcionalidad : por debajo de él, tensión y alargamiento son perfectamente proporcionales; en el intervalo de validez de la ley de Hooke la pendiente del tramo OP es el módulo de elasticidad (E) del material. El punto E es el límite de elasticidad y separa el diagrama en una zona elástica y una zona plástica. Entre P y E, la tensión y el alargamiento dejan de ser proporcionales, pero cuando la carga cesa el material recupera su forma inicial, sin que se produzca deformación permanente alguna. Por el contrario, para cargas por encima de E el sólido no recupera nunca su forma inicial; la recuperación se produce desde el punto que se ha alcanzado y siguiendo una línea de pendiente igual al módulo de elasticidad (i.e., paralela al tramo proporcional), lo que muestra claramente la aparición de una deformación permanente de valor ǫpy . Y es el llamado punto de fluencia; a partir de él, pequeños incrementos de la carga producen alargamientos y deformaciones permanentes grandes. A partir de este punto, comienza a presentarse el fenómeno de la estricción, que consiste en un estrechamiento significativo de la sección.7 U es el llamado punto de resistencia última; a partir de él, el material no es capaz de hacer frente a la fuerza exterior, se alarga —con movimiento acelerado, pues las fuerzas no se equilibran— y acaba por romperse en F , punto de rotura.8 Puesto que a partir de U , de continuar la aplicación de la carga, la pieza se rompe irremisiblemente, para el diseño se toma como punto de rotura el punto U . En la zona elástica del diagrama, los alargamientos unitarios pueden calcularse con la expresión: l − l0 . ǫe = l0 En la zona plástica, sin embargo, el alargamiento unitario no es uniforme: es mucho mayor en la zona de estricción que en el resto. En este caso, a diferencia del anterior, el alargamiento total de la probeta no es significativo de lo que ocurre en cada uno de sus puntos, por lo que no es posible medir el alargamiento en un punto concreto, ni calcularlo a partir del alargamiento total. No obstante, sí es posible determinar los alargamientos unitarios a partir de las áreas. Este distinta para evitar el riesgo de pandeo, y la compresión produce un ensanchamiento en la sección de la probeta, en lugar de un estrechamiento. Ciertos materiales (aceros) poseen iguales resistencias a tracción y a compresión, mientras que otros (hierros, fundiciones) presentan resistencias de compresión del orden de tres veces las de tracción. 7 En un material ideal, el punto de fluencia vendría determinado por el comienzo de la estricción, pero en muchos de los materiales utilizados en la práctica no es fácil determinar con precisión este momento. Por ello, muchas tablas refieren la fluencia al momento en que la carga produce una deformación permanente ǫpy = 0, 2 %, aunque algunas normativas emplean el 0, 5 % e incluso el 1 %. 8 Nótese que, al haber calculado la tensión como P en lugar de como P , el punto F estaría A A0 situado por encima de U . Pero esta gráfica sería engañosa pues no se correspondería con el hecho de que las piezas de una máquina se diseñan para que soporten una tensión referida a su sección inicial.

2.1. Propiedades mecánicas de los materiales

17

cálculo se basa en la hipótesis —respaldada por la experiencia— de que las deformaciones sufridas por el sólido no modifican su volumen.9 Así: ǫe =

A − A0 l − l0 = = ǫp . l0 A0

La resistencia de fluencia de un material sy será el valor de la tensión referida al área inicial AP0 en el punto de fluencia Y . La resistencia última Su —denominada a veces resistencia de rotura—será el valor de la tensión referida al área inicial en el punto U . Elasticidad y plasticidad. Ecuaciones de Hooke y Datsko Es útil introducir una nueva deformación unitaria, denominada logarítmica, natural o verdadera, que se define como la integral de las deformaciones unitarias de cada elemento de longitud: Z l dl l ǫl = = ln , l l 0 l0

siendo su relación con el alargamiento unitario proporcional ǫl = ln (ǫ + 1). Puesto que en la zona elástica los alargamientos son muy pequeños, esa igualdad se puede aproximar a los dos primeros términos del desarrollo en serie de Taylor de la función logaritmo. De este modo se llega a la conclusión de que ǫle = ǫe . En la zona plástica, por el contrario, es preciso emplear la definición de ǫ sin aproximación alguna: ǫp = ln AA0 . Puesto que en la zona elástica coinciden ambos alargamientos, la ley de Hooke puede expresarse como: σ = Eǫle ;

log σ = log E + log ǫle .

Para la zona plástica se admite habitualmente la aproximación de Datsko, σ=

P = σ0 ǫm p ; A

log

P = log σ0 + m log ǫp , A

que constituye una generalización de la ley de Hooke. A σ0 se le llama coeficiente de endurecimiento por deformación plástica, y a m se le llama exponente de endurecimiento por deformación plástica. En el diagrama logarítmico tensión– deformación, ambas rectas logarítmicas se cortan en un punto (de fluencia) que define el intervalo de validez de una y otra ecuaciones. Los materiales reales presentan la fluencia antes de ese punto (subfluencia: aleaciones de aluminio recocido) o después (sobrefluencia: aceros y aleaciones de cobre, latón o níquel). Dureza La dureza de un material es la resistencia que presenta a ser penetrado. Existen distintos procedimientos para medir la dureza, entre los que destacan los grados de dureza Rockwell y Brinell. El grado de dureza Rockwell presenta varias escalas (RA , RB ,. . . ) que se distinguen por la forma y material 9 En

el diagrama tensión–deformación se representa siempre el alargamiento unitario en la sección de la garganta de la zona de estricción, por corresponder a la de alargamiento unitario máximo.

2.1. Propiedades mecánicas de los materiales

18

de la herramienta de penetración y por la fuerza aplicada, y presentan tablas de índices de dureza que se refieren a una dureza de referencia para cada escala. El grado de dureza Brinell (HB ) posee mayor interés. Se calcula como la relación entre la fuerza aplicada y el área de la superficie esférica que deja el penetrador. El interés que reviste este índice de dureza es que está relacionado con la resistencia última del material. Esto permite encontrar dicha resistencia mediante un ensayo no destructivo —que de este modo puede realizarse sobre la pieza fabricada. Para los aceros, dicha relación es: Su = 0, 45HB kpsi;

Su = 3, 10HB MPa.

Para hierros y fundiciones: Su = 0, 23HB − 12, 5 kpsi;

Su = 1, 58HB − 86 MPa.

Fragilidad y ductilidad Un material es dúctil cuando es capaz de soportar grandes deformaciones permanentes sin romperse. En caso contrario, el material es frágil. Puesto que las transformaciones permanentes se inician, en la práctica, a partir del punto de fluencia, puede afirmarse que un material es dúctil si los puntos de fluencia y resistencia última en el diagrama tensión–deformación están separados. Un material es frágil si dichos puntos están próximos. Una medida de la ductilidad la da la llamada reducción del área en la fractura, A0 − Af Af Rf = =1− , A0 A0 donde A0 es el área inicial de la sección de la probeta y Af la zona de estricción de la fractura. Desde un punto de vista didáctico, puede establecerse que un material es dúctil cuando su reducción de área en la fractura Rf es mayor o igual al 5 %, y frágil si es menor. Efecto de la temperatura Tanto los valores de la resistencia a fluencia como los de la resistencia última varían con la temperatura. Existe, además, un intervalo de temperaturas —situado, en el caso de los aceros, entre los 20◦ y los 150◦ — en el cual la ductilidad del material se incrementa, puesto que aumenta el valor de la resistencia de rotura en relación con el de la de fluencia. Sensibilidad a la entalladura No todos los materiales se comportan igual ante la concentración de esfuerzos. Probablemente, el motivo de ello estriba en las pequeñísimas deformaciones plásticas —o, al menos, situadas fuera de la zona de proporcionalidad— que se producen en torno a las zonas de concentración de esfuerzos, que dan lugar a redistribuciones locales de las tensiones, por lo que el valor de la tensión máxima que realmente aparece es menor que el previsto, y además depende del material del que se trate. Ello sugiere la introducción de un factor de concentración de esfuerzos kf tal que la tensión máxima real en la zona de concentración del esfuerzo venga dada por σ = σ0 kf ,

2.2. Materiales empleados en la construcción de maquinaria

19

donde kf ≥ kt . Para determinar kf se introduce el concepto de sensibilidad a la entalladura, q, que se define como q=

kf − 1 , kt − 1

El interés de este parámetro estriba en que es constante para cada material y tipo de carga, i.e., no depende de la forma del sólido ni de la magnitud de la carga.

2.2.

Materiales empleados en la construcción de maquinaria

Fundición Los materiales para fundición más comúnmente utilizados son el hierro colado gris, el hierro colado blanco y el hierro colado dúctil. Sus respectivas características mecánicas son las siguientes. Hierro colado gris Los hierros colados grises —también llamados fundiciones grises— están formados fundamentalmente por ferrita y grafito, este último en forma de láminas delgadas. Se trata de materiales frágiles, de baja resistencia a tracción, buena resistencia a la compresión —tres o cuatro veces mayor que la de tracción— y módulos de elasticidad muy variables, tanto de unos hierros a otros, como con respecto al alargamiento (i.e., estos materiales no cumplen la ley de Hooke). Las características mecánicas de estos hierros se manifiestan en sus diagramas de tensión–deformación en dos rasgos significativos: el tramo inicial del diagrama no es una recta y la zona plástica es prácticamente inexistente. Hierro colado blanco Los hierros colados blancos —fundiciones blancas— están formados por cementita y perlita, sin la presencia de grafito. Son materiales frágiles y duros, muy resistentes al desgaste. Si se someten a un (largo) recocido, se obtiene un material con Sut relativamente elevada y razonablemente dúctil, llamado hierro colado o fundición maleable. Hierro colado dúctil También llamado hierro colado o fundición nodular, se obtiene aleando magnesio y cesio al hierro. Las fundiciones nodulares presentan una ductilidad semejante a la del hierro colado blanco, pero sin necesidad del largo recocido. Presentan módulos de elasticidad elevados y constantes con el alargamiento, así como resistencias a la compresión semejantes a las de tracción. Aceros. Tratamientos térmicos. Trabajo en frío Todos los aceros aleados presentan una serie de propiedades comunes. Las resistencias a tracción y a compresión son sensiblemente iguales. Los módulos de elasticidad y de Poisson son prácticamente invariantes de unos aceros a otros: E = 207 MPa;

µ = 0, 292 ≈ 0, 3;

G = 79, 3 GPa.

También son razonablemente dúctiles y sensibles a la entalladura.

20

2.2. Materiales empleados en la construcción de maquinaria

Tratamientos térmicos y procesos de trabajo en caliente Un acero, después de templado, se somete a un tratamiento térmico posterior que puede ser de tres tipos: revenido, recocido o normalizado. El revenido es un calentamiento por debajo de la temperatura crítica. Cuanto mayor es la temperatura de revenido, menores son las resistencias a fluencia y a rotura y mayor es la ductilidad. El recocido es un tratamiento por encima de la temperatura crítica que proporciona resistencias menores y menor ductilidad, pero elimina las tensiones residuales producidas por los procesos de trabajo en caliente. El normalizado es un tratamiento a temperatura superior aún a la del recocido, que mejora con respecto a éste las resistencias a fluencia y a rotura, pero que disminuye la ductilidad. Los procesos de trabajo en caliente consisten en tratamientos mecánicos operados a temperatura suficientemente alta sobre materiales dúctiles, con el fin de conferirles una forma determinada. Los más usuales son el laminado por rodillos, la extrusión, el prensado y la forja mediante martinetes. Todos estos procesos inducen esfuerzos residuales en el material, debido a las enormes deformaciones y al enfriamiento no uniforme.

Estirado en frío El estirado en frío de los aceros es un proceso mediante el cual se consigue aumentar las resistencias —tanto la de fluencia como última— a costa de una pérdida de ductilidad. El proceso consiste en estirar el acero por encima de su límite de elasticidad para que alcance un nuevo punto de fluencia más elevado. Para determinar las propiedades de un acero estirado, se define en primer lugar el factor de trabajo en frío como W1 =

A1 . A0

1 . De esta definición se sigue que el alargamiento verdadero será: ǫ1 = ln 1−W 1 Al estar el nuevo punto de fluencia en la zona plástica, tensión y alargamiento verifican la ecuación de Datsko; por otra parte, la tensión de rotura será el cociente entre la carga de rotura, sin variación, y el nuevo área. Así, los valores de las resistencias de fluencia y última serán:

Sy′ = σ0 ln

1
m ; 1 − W1

Su′ =

Su . 1 − W1

Por otra parte, con el estirado el punto de fluencia se acerca al de rotura, con lo que el material pierde ductilidad. Dicho de otro modo, la nueva reducción de área en la fractura posee un valor más pequeño, al ser también menor la sección de partida. En consecuencia, un acero estirado en frío presenta, respecto al acero del que proviene, mejores resistencias, tanto a fluencia como a rotura —manteniéndose la igualdad entre los valores de las resistencias a tracción y a compresión— y mayor dureza, pero menor ductilidad.

2.2. Materiales empleados en la construcción de maquinaria

21

Graneado El proceso de graneado (shot-peening) consiste en someter al elemento, tras su fabricación, a un bombardeo con perdigones que introduzca en él —en las zonas próximas a las superficies tratadas— tensiones residuales de compresión. Se trata, por tanto, no de mejorar la resistencia del acero, como en el estirado, sino de que la tensión inducida, al componerse con la que produce la solicitación exterior, dé como resultado una tensión menor. El interés de este método se basa en dos hechos. Primero, el inicio de la grieta, y sobre todo la propagación de la misma, es más probable en zonas sometidas a tracción y más difícil en zonas sometidas a compresión. Segundo, las cargas de fatiga de tracción son mucho más dañinas que las de compresión; por tanto, no es preocupante que la tensión residual inducida alcance valores elevados. Cuando los impactos se reparten uniformemente a lo largo de toda la sección, la composición de todas las correspondientes zonas de compresión define una capa, justo debajo de la superficie, que se denomina capa de compresión residual o inducida. El valor de la tensión varía con la profundidad, presentando una compresión máxima en una zona cercana a la superficie. El valor de la compresión residual máxima es función de la intensidad de graneado, que es una medida de la energía de los perdigones, y de la dureza brinell de los mismos. La profundidad de la tensión residual depende también de la intensidad de graneado y de la dureza brinell del acero que granea. Como proyectiles para graneado se utilizan pequeñas bolas de acero endurecido, vidrio o material cerámico. Una ventaja importante del graneado es que se realiza sobre la pieza ya fabricada, de manera que es posible aplicarlo únicamente a aquellas zonas que van a estar sometidas a mayores tensiones de tracción. El inconveniente fundamental del graneado es que el acabado superficial de la pieza se deteriora. Cuando el acero se trata térmicamente después del graneado, parte de las tensiones inducidas se liberan, de manera que la compresión residual se reduce y el punto de máxima compresión se desplaza a zonas más internas del material. Aceros aleados e inoxidables Los aceros aleados presentan propiedades ligeramente distintas a las anteriormente citadas. Los aceros al cromo presentan mayor dureza a igual ductilidad —o mayor ductilidad a igual dureza— que los aceros sin alear. Los aceros al níquel proporcionan mayor resistencia, también a igual ductilidad. Los aceros inoxidables, con un contenido en cromo superior al 12 %, son duros y frágiles y presentan una gran resistencia a la corrosión, aunque no frente a todos los agentes corrosivos. Materiales ligeros Los materiales ligeros empleados en ingeniería mecánica presentan la ventaja de su reducido peso, pero el inconveniente de su menor resistencia. En general, tienen interés aquellos cuya relación resistencia/peso es, al menos, del orden de la de los aceros. Tienen importancia las aleaciones de aluminio, de magnesio y de cobre. Aleaciones de aluminio Las aleaciones de aluminio tienen pesos específicos del orden de 2770 f racKgm2 , una tercera parte de la de los aceros, y

22

3. Consideraciones estáticas en el diseño mecánico

resistencias últimas de 90 MPa. No obstante, por tratarse de materiales dúctiles es posible estirarlos, y por tanto estas resistencias pueden mejorarse. Su módulo de elasticidad es de 71 GPa, también una tercera parte de la de los aceros. Presenta una relación resistencia/peso excelente, así como una elevada conductividad eléctrica y térmica. Son resistentes a la corrosión, debido a que su facilidad para oxidarse hace que se forme una capa que protege eficazmente. Se trata de una capa delgada que puede desaparecer por abrasión o desgaste, pero es posible crear una capa de óxido más gruesa por tratamiento electrolítico (aluminio anodizado).

Magnesio El magnesio es aún más ligero que el aluminio, manteniendo una relación resistencia/peso similar, aunque es mucho más caro. Encuentra aplicación cuando el peso es determinante, como en el caso de la industria aeronáutica.

Aleaciones de cobre Las aleaciones de cobre de mayor uso en mecánica son las de cinc, llamadas latones, cuyas propiedades varían mucho con las proporciones. Los latones con un contenido en cinc de 5–15 % son dúctiles, duros, resistentes a la corrosión, y presentan una resistencia de rotura mayor que la del cobre sin alear. A medida que aumenta la proporción de cinc, aumenta la resistencia pero disminuye la ductilidad y la resistencia a la corrosión. Si además se alean con estaño o aluminio, la resistencia a la corrosión se recupera en cierta medida.

Otros materiales En la actualidad la utilización de materiales plásticos está experimentando un auge importante. Se distingue entre los termoplásticos — materiales modulables a temperaturas altas, que mantienen sus características y que por tanto pueden moldearse más de una vez— y los plásticos termoestables —que terminan de polimerizar con el primer tratamiento térmico de moldeado, por lo que éste sólo se puede realizar una vez—. Por lo general, los plásticos presentan módulos de elasticidad bajos y resistencias muy variables de unos a otros, aunque algunos de ellos pueden presentar resistencias de rotura similares a las de algunos aceros.

3.

3.1.

Consideraciones estáticas en el diseño mecánico Diseño por resistencia estática

Introducción. Concentración del esfuerzo ante solicitaciones estáticas En los materiales dúctiles, puede ocurrir que la tensión real supere la tensión de fluencia en los puntos de concentración de esfuerzos. Al tratarse de un fenómeno

3.1. Diseño por resistencia estática

23

muy localizado, la zona afectada se endurece por deformación plástica —en esos puntos, la resistencia de fluencia pasa a tener un valor mayor– y no se produce la deformación permanente del sólido. La resistencia aumenta en la cantidad precisa para hacer frente a la tensión adicional fruto de la concentración de esfuerzos; por tanto, en materiales dúctiles sometidos a carga estática, este efecto puede despreciarse.

Criterios de fallo estático. Tensiones equivalentes Obviamente, no todos los posibles parámetros elásticos son representativos del estado del sistema. Un estado tensional está perfectamente determinado por los valores de las tres tensiones principales σ1 , σ2 y σ3 , de forma que el parámetro que se elija será una función de ellas, f (σ1 , σ2 , σ3 ). En el momento del fallo en el ensayo de tracción, el estado tensional al que está sometido el material es σ1 = St , σ2 = 0 y σ3 = 0 —siendo St la resistencia a fluencia (Syt ) o la resistencia a rotura (Sut ), según el fallo que se desee estudiar—. Así, si n es el factor de seguridad, se tiene: f (nσ1 , nσ2 , nσ3 ) = f (St , 0, 0). El factor de seguridad se define como la resistencia de fluencia o de rotura dividida entre la tensión equivalente, n = σSeqt . Dicha tensión equivalente varía con el criterio de fallo a utilizar. Para calcular el factor de seguridad deberá determinarse previamente el punto del sólido en el cual la σeq correspondiente al criterio escogido es máxima.

Criterio de la tensión normal máxima o de Rankine Este criterio supone que el fallo se produce cuando la tensión normal máxima toma el valor que toma en el ensayo de tracción en el momento del fallo. La tensión equivalente de Rankine será, por tanto, σeq = σ1 . No obstante, en el caso de estados tensionales en los que la tercera tensión principal sea negativa, debe compararse el factor de seguridad obtenido con σ1 con el que se obtiene de hacer n = − σS3t , y tomar el que resulte menor de los dos. La tensión equivalente, por tanto, puede ser o bien σ1 o bien −σ3 , según los casos; las siguientes ecuaciones tienen el cuenta ambas posibilidades: n=

St

;  m´ax σ1 , − SSct σ3

σeq,R

  St = m´ax σ1 , − σ3 . Sc

Criterio de la tensión cortante máxima o de Tresca Este criterio supone que el fallo se produce cuando la tensión cortante máxima toma el valor que toma en el ensayo de tracción en el momento del fallo. De los círculos de Mohr 3 , con lo que el factor de se deduce que la tensión cortante máxima es σ1 −σ 2 seguridad y la tensión equivalente de Tresca serán: n=

St ; σ1 − σ3

σeq,T = σ1 − σ3 .

3.1. Diseño por resistencia estática

24

Criterio de la energía de distorsión o de von Mises Este criterio supone que el fallo se produce cuando la energía de distorsión toma el valor que toma en el ensayo de tracción en el momento del fallo. La energía de deformación por unidad de volumen —potencial interno— puede expresarse como: U=

1 (σ1 ǫ1 + σ2 ǫ2 + σ3 ǫ3 ). 2

De la ley de Hookese sigue que σ1 ǫ1 = E1 (σ12 − µσ1 σ2 − µσ1 σ3 ); al llevar esta expresión a la ecuación del potencial interno resulta: U=

 1  2 σ1 + σ22 + σ32 − 2µ(σ1 σ2 + σ1 σ3 + σ2 σ3 ) . 2E

(4)

Además, el estado tensional puede descomponerse en dos: un término medio, σm = σ1 +σ32 +σ3 , y un resto, σ1′′ = σ1 − σm . El primer término representa una dilatación; su correspondiente energía de deformación —energía de dilatación— vendrá dada por la ecuación (4), particularizada para el caso de que σ1 = σ2 = σ3 = σm , i.e., Um =

1 3(1 − 2µ) 2 1 − 2µ 2 2 (3σm − 2µ3σm )= (σ1 + σ2 + σ3 )2 . = 2E σ 6E m

El segundo término representa una distorsión,y su energía de deformación — energía de distorsión— será la diferencia entre la energía de deformación total y la energía de dilatación. Operando, se llega a: Ud =

 1+µ  (σ1 − σ2 )2 + (σ1 − σ3 )2 + (σ2 − σ3 )2 . 6E

El factor de seguridad y la tensión equivalente de von Mises vendrán dadas por las ecuaciones: n= q σeq,vM

St

; [(σ1 − σ2 )2 + (σ1 − σ3 )2 + (σ2 − σ3 )2 ] r 1 [(σ1 − σ2 )2 + (σ1 − σ3 )2 + (σ2 − σ3 )2 ]. = 2 1 2

Criterio de la fricción interna o de Mohr Este criterio establece que el fallo se produce cuando el mayor de los círculos de Mohr es tangente a la curva envolvente de los mayores círculos de Mohr correspondientes a todos los posibles estados tensionales en que se alcanza el fallo. Obviamente, no es posible hallar esta envolvente, pero se obtiene una aproximación aceptable haciéndola coincidir con la tangente común a los círculos de Mohr correspondientes al momento en que se alcanza el fallo en los ensayos de tracción. Por consideraciones geométricas, se llega a las siguientes expresiones para el factor de seguridad y la tensión equivalente de Mohr: n=

St ; σ1 − SSct σ3

σeq,M = σ1 −

St σ3 . Sc

3.1. Diseño por resistencia estática

25

Fallo de materiales dúctiles y frágiles Para comprobar la validez de los criterios de fallo anteriores es preciso recurrir a la experimentación. Se somete el material a diferentes estados tensionales hasta el fallo, calculando en cada ocasión las tensiones principales y comprobando si se ajustan a las ecuaciones correspondientes. Los ensayos se restringen a estados tensionales planos, y se designan por σA y σB los valores de las dos tensiones principales no nulas del estado plano. Estas tensiones principales se corresponden con σ1 , σ2 y σ3 de distinta manera dependiendo de cuál sea la mayor y la menor de las tres. Para cada criterio de fallo se toma la expresión de su σeq , que viene dada en función de σ1 , σ2 y σ3 . Para cada zona del diagrama correspondiente, se sustituyen σ1 , σ2 y σ3 por las σA , σB o 0 correspondientes a esa zona y se iguala la σeq obtenida a St . Así se obtiene una función de σA y σB , que representada en unos ejes σA − σB proporciona la curva de predicción de fallo correspondiente al criterio considerado. Para comprobar la validez de estos criterios con relación a un material determinado, se someten muestras del material a estados tensionales planos (σA , σB ) que se hacen aumentar proporcionalmente hasta que se produce el fallo. Los valores de σA y σB que dan lugar al fallo representan un punto en el diagrama σA − σB . Repitiendo el ensayo para diferentes relaciones entre ambas tensiones se obtiene una distribución de puntos y puede comprobarse si dicha distribución se ajusta a alguna de las curvas de predicción de fallo. Se llega a las siguientes conclusiones: – El comportamiento de los materiales frágiles se ajusta aceptablemente a los criterios de Rankine y Mohr. Ambos criterios coinciden en el primer y tercer cuadrante, mientras que, en los otros dos, el de Mohr es más seguro, i.e., precide el fallo a tensiones menores. La experiencia muestra que el criterio de Mohr es, en muchas ocasiones, demasiado restrictivo. El de Rankine, por el contrario, puede pecar de demasiado permisivo. A veces se utiliza un criterio intermedio entre ambos que se conoce como criterio de Mohr modificado. – Los criterios de Tresca y von Mises representan con bastante precisión el fallo de materiales dúctiles sometidos a estados de tensión planos. Sin embargo, con estados tridimensionales funcionan bastante peor. Con estados de presión hidrostática estos criterios son inservibles para predecir el fallo y, en general, con estados triaxiales funcionan con precisión variable, tanto peor cuanto más se parece el estado a uno hidrostático y tanto mejor cuanto más se parece a uno plano. Un caso relativamente frecuente es el de un material dúctil, sometido a un estado tensional plano, y en el cual una de las tensiones normales es nula; es el caso, por ejemplo, de un eje sometido a flexión y a torsión. En este caso, es interesante obtener la tensión equivalente no en función de las tensiones principales, sino de las tensiones normales y de cortadura en la sección transversal del eje. Según el criterio de Tresca, la tensión equivalente y el factor de seguridad

4. Fractura estática

26

a fluencia serán: σeq,T =

q 2 + 4τ 2 ; σnx xy

Sy ny,T = q . 2 2 σnx + 3τxy

Por su parte, según el criterio de von Mises: q Sy 2 + 3τ 2 ; . σeq,vM = σnx ny,vM = q xy 2 + 3τ 2 σnx xy En el caso de tensión cortante pura (σnx = 0), se puede buscar una resistencia a la cortadura (Ssy ) tal que el factor de seguridad se calcule directamente Ssy como n = τxy . Dicha resistencia será: Ssy,T =

4. 4.1.

Sy , 2

Sy Ssy,vM = √ . 3

Fractura estática Fractura dúctil y frágil

La concentración de esfuerzos en torno a discontinuidades en el material producidas por inclusiones, poros, inicios de grieta o defectos tiene un tratamiento diferente al de los casos estudiados en capítulos anteriores. Un radio de curvatura muy pequeño en una discontinuidad o en el extremo de una grieta aguda produce un factor de concentración de esfuerzo teórico que tiende a infinito si se estudia desde el punto de vista elástico. Sin embargo, la realidad contradice dicha conclusión. En tales circunstancias, lo que en realidad se produce es una deformación plástica local, rodeada de una zona sometida a deformación elástica, cuyo estudio ha supuesto el desarrollo de un modelo relativamente complejo. El concepto de fractura frágil se refiere a la rotura sin fluencia de un material frágil, y su estudio se plantea como la determinación de las condiciones que se han de reunir para que se dé el fenómeno de propagación de una grieta. La mayor parte de los materiales presentan una transición de frágil a dúctil : el material es frágil por debajo de una determinada temperatura —temperatura de transición— y es dúctil por encima de ella. No existen suficientes tablas de temperaturas de transición para los diversos materiales, y por ello se emplea como indicador de la fragilidad de un material la relación entre las resistencias a S fluencia y a rotura, Suy . Un valor grande —i.e., próximo a uno— de dicha relación indica poca capacidad de absorción de energía por deformación plástica y, por tanto, riesgo de fractura frágil. Factor de intensidad de esfuerzo. Tenacidad a la fractura Posiblemente, el caso más estudiado de propagación de grietas es el de una placa rectangular sometida a tracción, con grieta transversal centrada. Puede demostrarse que,

5. Consideraciones dinámicas en el diseño mecánico

27

para el caso en que h ≫ b ≫ a, el parámetro que rige la propagación de la grieta, llamado factor de intensidad de esfuerzo, es el definido como: √ K0 = σ πa. Otras geometrías poseen otros factores de intensidad de esfuerzo, que en general se designarán por KI . Se cumple:   √ KI KI KI = σ πa, K0 = K0 K0   I para diferentes geometrías. Cada material estando tabulada la relación K K0 dispone de un factor de intensidad de esfuerzo crítico por debajo del cual no hay propagación, y a la inversa. Este factor crítico de intensidad de esfuerzo se conoce también como tenacidad a la fractura, y se ha determinado para muchos materiales por métodos experimentales. Seguridad a la propagación de la grieta Si la tenacidad a la fractura es el valor límite del factor de intensidad de esfuerzo, se puede definir el coeficiente de seguridad a la fractura, o a la propagación de la grieta, como: n= 

KIC  √ . σ πa

KI K0

Del mismo modo, la tensión admisible frente a la propagación de la grieta será aquella que haga el factor de intensidad de esfuerzo igual a la tenacidad a la fractura entre el factor de diseño; por consiguiente, σadm = nd

5.

5.1.



KIC √ . πa

KI K0

Consideraciones dinámicas en el diseño mecánico Diseño por resistencia a la fatiga frente a cargas alternantes

Introducción al fenómeno de fatiga El fallo por fatiga se presenta en elementos mecánicos sometidos a cargas variables con el tiempo, y se caracteriza por la rotura repentina después de un cierto período de funcionamiento. El fallo se produce sin deformación permanente visible o alteración apreciable de cualquier otro tipo, lo que lo hace mucho más peligroso que el fallo estático. Para estudiar el fenómeno se diseñó un ensayo llamado de viga rotatoria, consistente en someter una probeta se sección circular a un esfuerzo de flexión

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5.1. Diseño por resistencia a la fatiga frente a cargas alternantes

producido por una carga fija respecto de los ejes del laboratorio, y poner la probeta a girar. Para intentar crear un modelo de comportamiento que se ajustara a los resultados obtenidos se representó en un diagrama logarítmico el valor de la tensión máxima alternante y el número de ciclos en los que se producía la rotura. El diagrama resultante —llamado diagrama de fatiga o diagrama Wöhler— es válido para aceros de cualquier tipo y para materiales férreos, pero no para otros materiales tales como los plásticos y las aleaciones de aluminio. Diagrama de fatiga. Resistencia a la fatiga y límite de fatiga Observando el diagrama de fatiga pueden extraerse varias conclusiones. En primer lugar, existe un valor de tensión —llamado límite de fatiga de la viga rotatoria— por debajo del cual la probeta no se rompería a causa del esfuerzo. Asimismo, existe una duración que, una vez alcanzada, asegura que la probeta no se romperá con esa tensión. Esta duración constituye la frontera entre la duración limitada y la duración infinita; en el caso de los aceros, dicha frontera se localiza entre los 106 y los 108 ciclos, según la composición, el tratamiento térmico, el endurecido superficial, etc. En la zona de vida finita, se observan dos tendencias diferenciadas. La primera, entre 1 y 103 ciclos, muestra una reducción muy tenue del valor de la tensión límite de fallo. Esta zona se llama zona de fatiga de ciclo bajo, y en ella el material se comporta de manera muy similar a como lo hace frente a cargas estáticas, con una leve reducción del valor de la resistencia. La otra zona, llamada zona de fatiga de ciclo alto, y localizada entre los 103 y los 106 ciclos aproximadamente, muestra una reducción de la resistencia con la duración mucho más brusca; se comprueba que, en esta zona, el material se comporta de manera sensiblemente distinta a como lo hace frente a cargas estáticas. A la luz del diagrama Wöhler se observa la utilidad de introducir un nuevo concepto, la resistencia de fatiga (Sf ), que se define como la máxima tensión alternante que no produciría fallo tras N ciclos de inversión de esfuerzo, y sí tras uno más. Así, el diagrama de fatiga de un material muestra la resistencia de fatiga del mismo para cada duración. Corrección del límite de fatiga. Ecuación de Marin Se han realizado pruebas adicionales que revelan que algunos factores tienen influencia en la resistencia para vida infinita cuando s alterna respecto de las condiciones del ensayo de viga rotatoria. Se conoce como límite de fatiga corregido (Sc ) el valor de la tensión alternante máxima para vida infinita que puede soportar un sólido resistente en las condiciones de funcionamiento del ensayo de viga rotatoria. Los factores que afectan al límite de fatiga son el acabado superficial, el tamaño, la naturaleza de la carga, la temperatura y una serie de efectos diversos entre los que destaca la concentración de esfuerzo. El límite de fatiga corregido puede calcularse mediante la ecuación de Marin: Se = ka kb kc kd ke Se′ , donde ka es el acabado superficial, kb el factor de tamaño, kc el factor de carga, kd el factor de temperatura y ke el factor de efectos diversos.

5.1. Diseño por resistencia a la fatiga frente a cargas alternantes

29

Factor de acabado superficial Acabados peores que el empleado en el ensayo de viga rotatoria reducen el límite de fatiga; además, esta reducción es tanto mayor cuanto mayor sea la resistencia última del material. El factor de acabado superficial puede calcularse mediante la fórmula empírica b ka = Sut ,

siendo a y b factores específicos para cada material. Factor de tamaño Las probetas empleadas en el ensayo de viga rotatoria tienen un diámetro de 0,3 pulgadas; mayores diámetros pueden reducir el límite de fatiga. En el caso de flexión y torsión, el factor de tamaño puede evaluarse mediante las expresiones:  −0,1133 d kb = 0,3 con 0,11 ≤ d ≤ 2,00, d en pulgadas,  −0,1133 d kb = 7,62 con 2,79 ≤ d ≤ 51, d en milímetros. Para el caso de carga axial, el tamaño no influye en el límite de fatiga, y por tanto kb = 1.

Para el caso de secciones no circulares o no rotatorias sometidas a flexión o torsión, es necesario disponer de un diámetro efectivo, de manera que la reducción porcentual del límite de fatiga de una probeta con un diámetro igual al diámetro efectivo fuese igual a la reducción porcentual del límite de fatiga de la sección de sólido que se está considerando. Este diámetro efectivo se determina a partir del área de 95 % de esfuerzo, que se designa como A95 , y que se define como el área determinada por los puntos de la sección que en algún momento están sometidos a una tensión mayor o igual que el 95 por ciento del diámetro absoluto. Calculemos, en primer lugar, el área de 95 % de esfuerzo de una sección circular de radio r sometida a flexión rotatoria. De acuerdo con la ley de Navier, el punto de mayor tensión será el de y = r, y todos los puntos situados por encima de y = 0,95r estarán sometidos a una tensión mayor o igual que el 95 % de la máxima. Ahora bien, al ir rotando el momento, estos puntos se van desplazando, de manera que los puntos que en algún momento están sometidos a una tensión mayor o igual que el 95 % de la máxima formarán un anillo de radio interior 0,95r y radio exterior r. Por consiguiente, el área de 95 % del esfuerzo de una sección circular de radio r sometida a flexión rotatoria viene dada por: A95 =

 π 2 d − (0,95d)2 = 0,0766d2. 4

Veamos cuánto valdría el área A95 en otros casos:

– Sección circular sometida a flexión alternante no rotatoria. Por consideraciones geométricas se llega a la conclusión de que: r 0,0105 d = 0,37d. de = 0,0766

30

5.1. Diseño por resistencia a la fatiga frente a cargas alternantes

– Sección anular. Es necesario distinguir dos casos, según que el diámetro interior sea mayor o menor que 0,95 veces el diámetro exterior. En el caso de que sea menor, el diámetro efectivo es igual al de una sección circular maciza de igual diámetro exterior. En efecto, si la flexión es rotatoria, el área del 95 % de esfuerzo sería el mismo anillo de diámetros interior y exterior 0,95d y d, respectivamente, y por tanto de = d. Si la flexión no es rotatoria, el área de 95 % de esfuerzo serían las mismas zonas Ω de antes, con lo que de = 0,37d. Si el diámetro interior es mayor de 0,95 veces el diámetro exterior y la flexión es rotatoria, el área de 95 % de esfuerzo coincidiría con la sección circular completa, de modo que debería verificarse q de = 3,203 d2 − d2i . Si la flexión no es rotatoria, el diámetro efectivo vendrá dado por: r di d2 de = 2,555d 0,021 + 0,95 sen αi + αi i2 . d d

– Sección rectangular sometida a flexión alternante no rotatoria. Si la altura de la sección es h y la anchura b, de acuerdo con la ley de Navier, el área de 95 % del esfuerzo estará formada por dos rectángulos de altura 0,05 h2 y espesor b, situados en los extremos superior e inferior. De este modo, r √ 0,05 de = hb = 0,808 hb. 0,0766 Factor de carga En el caso de carga axial, cuando la resistencia última del material es igual o inferior a 1520 MPa, el factor de carga vale kc = 0,923; en todos los demás casos, kc = 1. Factor de temperatura Los valores de la resistencia última que se ofrecen en las tablas suelen referirse a una temperatura de referencia de 20◦ C; a la resistencia última medida a dicha temperatura se la denomina SRT . La resistencia última a una temperatura de trabajo T vendrá dada por:   ST Sut,T = Sut . SRT Para cuantificar el efecto de la temperatura sobre el límite de fatiga ha de tenerse en cuenta que éste depende de la resistencia última a través de tres parámetros: el límite de fatiga no corregido, el factor de acabado superficial y el factor de carga, además de la sensibilidad a la entalladura, que interviene en el caso de concentración de esfuerzos en materiales dúctiles. El procedimiento más correcto consiste en calcular el valor de la resistencia última a la temperatura de trabajo y con ese valor determinar el límite de fatiga sin corregir y los factores de Marin que dependen de Sut y, en consecuencia, tomar kd = 1. Sólo en el caso de que no se disponga de información acerca de los factores de Marin —sino únicamente de un valor del límite de fatiga corregido—, se habrá de aceptar como válida la aproximación de suponer que los límites de fatiga a la

5.1. Diseño por resistencia a la fatiga frente a cargas alternantes

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temperatura de trabajo y a la temperatura ambiente están en la misma relación que las resistencias últimas a ambas temperaturas. Puesto que, por lo general, se trabaja con el valor corregido de Sut para la determinación de ka , kc y, eventualmente, ke , se puede prescindir del factor de temperatura en la ecuación de Marin. Para temperaturas de trabajo muy elevadas, el comportamiento del material es mucho más dúctil, por lo que, a semejanza de lo que ocurre con las aleaciones de aluminio, es muy posible que no exista límite de fatiga, i.e., que no haya ningún valor de la tensión alternante que asegure vida infinita. Factor de efectos diversos Existen diversos factores adicionales que tienen influencia en el límite de fatiga; tienen particular importancia los recubrimientos —electrolíticos o metalizados— y la corrosión. Dentro de este apartado se contempla también el efecto de concentración de esfuerzo. El factor de concentración de esfuerzos real viene dado por kf = 1 + q(Kt − 1). Aunque kf es un factor multiplicador de la tensión, a efectos de cálculo el resultado es el mismo si se considera dividiendo a la resistencia y no se corrige la tensión nominal. Desde este punto de vista, el efecto de concentración de esfuerzos se podría tener en cuenta mediante el factor de reducción del límite de fatiga por concentración de esfuerzos, que vendrá dado por ke = k1f . Ambos enfoques del efecto de la concentración de esfuerzos —como factor corrector de la tensión o como factor corrector de la resistencia— no son equivalentes, y deben emplearse uno u otro dependiendo de la ductilidad o fragilidad del material. Por último, es necesario tener en cuenta en los cálculos las incertidumbres asociadas a los datos que se manejan. El problema es complejo, pues hay muchos factores que intervienen y las incertidumbres asociadas a cada uno son muy diferentes. Salvo para casos muy estudiados, el problema de las incertidumbres se sortea entonces considerando en el diseño un factor de seguridad suficientemente grande. Para el límite de fatiga de los aceros, si no se dispone de los datos de ensayos, puede emplearse la siguiente correlación: Se′ = m´ın (0,504Sut , 700 MPa). La fiabilidad asociada a este valor correlacionado del límite de fatiga es de aproximadamente un cincuenta por ciento.10 Para una fiabilidad R > 0,5, el valor de Se′ debe reducirse afectándolo del coeficiente keR , cuyo valor puede obtenerse de: 3 2   1 1 log (1 − R) + 2,898 log (1 − R) + keR = 2,203 10 10   1 + 1,655 log (1 − R) + 1,0427. 10 10 La utilización de este valor correlacionado exige el empleo de factores de seguridad de 1,3 aproximadamente.

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5.1. Diseño por resistencia a la fatiga frente a cargas alternantes

Influencia de los factores de Marin en la resistencia a fatiga para vida infinita Para la fatiga en ciclo alto, en 103 los factores de Marin no afectan en absoluto a la resistencia de fatiga, mientras que en 106 afectan, por así decir, completamente; una aproximación aceptable es suponer que para duraciones intermedias los factores de Marin afectan de manera progresiva. Esto proporciona un diagrama Wöhler de carácter lineal y sencillo manejo. En el caso de materiales dúctiles, el factor de concentración de esfuerzos no se considera a 103 ciclos, pero sí a 106 ; entre dichos valores cabe esperar un efecto progresivo de la concentración de esfuerzos, y por tanto éste debe considerarse como reductor del límite de fatiga. En los materiales frágiles, por el contrario, la concentración de esfuerzos afecta en todo el intervalo de duraciones; debe considerarse, por tanto, como mayorador de la tensión. Se puede definir el factor de seguridad para una duración de N ciclos como n=

Sf (N ) . σa

Cargas combinadas alternantes. Caso de materiales frágiles Cuando se tienen combinaciones de carga alternantes axiales, de flexión y de torsión, el problema del análisis a fatiga se complica considerablemente. Aquí se considerará solamente el caso de que todas tengan la misma frecuencia y fase de pulsación, que es lo más frecuente en elementos de máquina. Un procedimiento por el que, al menos, pueden realizarse cálculos a vida infinita, es el siguiente: en lugar de considerar los factores de corrección del límite de fatiga como multiplicadores de la resistencia, se consideran como divisores de la tensión. De este modo, cada componente de la tensión se ve afectado por sus correspondientes factores, de manera que, si se tiene una tensión axial σn , una tensión de flexión σx y una tensión cortante τ , se pueden definir las correspondientes tensiones ficticias como las reales divididas, cada una de ellas, por sus correspondientes factores de Marin: Kf n σn σn = , ka kbn kcn ken ka kcn σx Kf x σx σx∗ = = , ka kbx kcx kex ka kbx Kf s τ τ = . τ∗ = ka kbs kcs kes ka kbs

σn∗ =

Una vez determinados los valores de estas tensiones ficticias, puede determinarse el valor de la tensión ficticia equivalente, y calcular el factor de seguridad S′ para vida infinita haciendo n = σ∗e . En todo caso, no es posible, por medio eq del diagrama de fatiga, determinar la duración ni el factor de seguridad para duración finita.11 11 Excepcionalmente, si la tensión equivalente real es mayor que 0,9S , se podría entrar con ut esa tensión en el diagrama de fatiga de ciclo bajo y calcular la duración, pues en el intervalo 3 de 1 a 10 ciclos los factores de Marin no afectan a las resistencias a fatiga. También será válido para calcular la resistencia a fatiga para una duración inferior a 103 ciclos, y el factor de seguridad para dicha duración.

6. Diseño por resistencia a la fatiga frente a cargas fluctuantes

6.

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Diseño por resistencia a la fatiga frente a cargas fluctuantes

Influencia de la tensión media. Teorías de fallo por fatiga con tensión media Consideremos un sólido elástico sometido a una tensión que fluctúa entre dos valores σmáx y σmín —que, en general, no son iguales y opuestos, como en el caso de la tensión alternante—. El procedimiento a seguir en estos casos es descomponer la carga en sus componentes media y alternante: σm =

σmáx + σmín ; 2

σa =

σmáx − σmín , 2

y suponer que el estado tensional resultante viene dado por la superposición de un estado de carga constante y otro de carga alternante. La existencia de una tensión media se traduce en una reducción del valor de la resistencia. Para estudiar el problema es útil dibujar, en un diagrama σm -σa , el valor de la componente alternante que, para cada valor de la tensión media, produce el fallo a un cierto número de ciclos, N . Es obvio que, para tensión media nula, la resistencia alternante es Sf , y que para tensión alternante nula el valor de la tensión media para fallo es Sut . La curva, por tanto, deberá pasar por los puntos (0, Sf ) y (Sut , 0). A partir de aquí, se realizan ensayos con distintos valores de la tensión media, y se miden los valores de la componente alternante que produce fallo a N ciclos. Los puntos (σm , σa ) obtenidos se representan en el diagrama, y se obtiene así una nube de puntos que posteriormente se intenta correlacionar. Los resultados presentan bastante dispersión, por lo que es recomendable el uso de factores de seguridad elevados. Las distintas correlaciones que se manejan en el diseño constituyen, en definitiva, diferentes hipótesis de cómo es la curva de resistencia entre los puntos A y B del diagrama. Según el criterio de Goodman, la variación de la resistencia alternante con la tensión media se describe mediante una recta que pasa por A y B, de manera que el fallo a N ciclos se produce cuando σm σa + = 1. Sf Sut El criterio de Goodman constituye una aproximación aceptable en la realidad, y presenta además la ventaja de su carácter lineal; por ello, es la más utilizada en la práctica. Otra teoría lineal es la de Soderberg, que supone que, en ausencia de tensión media, el fallo se produce cuando σm = Sy . Para tensiones medias entre 0 y Sy , la resistencia alternante varía según una recta, de manera que el criterio de fallo a N ciclos se establece como: σa σm + > 1. Sf Sy En la mayor parte de los casos, esta teoría arroja resultados excesivamente conservadores, por lo que se utiliza poco en la práctica.

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6. Diseño por resistencia a la fatiga frente a cargas fluctuantes

Otro criterio bastante empleado es el de Gerber, que supone que la variación de σa con σm se representa mediante una parábola cuyo vértice es el punto (0, Sf ), su eje el de ordenadas, y que pasa por el punto (Sut , 0). La ecuación de esta parábola es: 2  σm σa + = 1. Sf Sut Cuando el punto representativo del estado tensional (σm , σa ) está situado por debajo de las curvas, se tiene seguridad para la duración considerada. Si está sobre la curva correspondiente, cabe esperar el fallo justamente tras esa duración. Su está por encima, el fallo se producirá antes. El criterio de Soderberg previene contra el fallo por fluencia, en el sentido de que seguridad a fatiga, según este criterio, conlleva seguridad a fluencia, i.e., asegura que la tensión máxima nunca superará el valor de la resistencia de fluencia. Esto no ocurre con las otras dos teorías. La experiencia también muestra que las tensiones medias de compresión no afectan a la resistencia alternante; en consecuencia, para valores negativos de σm , todos los criterios anteriores se representan mediante rectas horizontales con ordenada Sf .

Tensión alternante equivalente En este epígrafe se plantea el problema inverso al anterior: saber qué duración tendrá un elemento, del que se conocen Se y Sut , sometido a un estado tensional σm -σa dado. Recuérdese que todos los puntos de la curva representan estados tensionales con la misma duración, i.e., que todos los pares (σm , σa ) representados por puntos de la curva tienen una duración de N ciclos. Se llama tensión alternante equivalente al valor de la tensión alternante pura —sin componente media— para el cual el sólido tendría la misma duración que tiene para el estado tensional σm -σa al que se encuentra sometido. El valor de la tensión alternante equivalente viene determinado por la intersección con el eje de ordenadas de la curva que contenga al punto correspondiente al estado tensional al que esté sometido el sólido. El problema se puede resolver analíticamente con facilidad: designando como σa0 la tensión alternante equivalente y por (σmp , σap ) el punto que define el estado tensional considerado, se tiene: Sut σap σap = σ S − σmp 1 − Smp ut ut 2 σap Sut =  2 = 2 2 Sut − σmp σ 1 − Smp y σap Sy = σap σmp = Sy − σmp 1 − Sy

σa0 =

(Goodman);

σa0

(Gerber);

σa0

(Soderberg).

Una vez calculada la tensión alternante equivalente, la duración estimada se determina inmediatamente mediante el diagrama de fatiga.

6. Diseño por resistencia a la fatiga frente a cargas fluctuantes

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Línea de carga. Factores de seguridad En la mayor parte de los sistemas mecánicos, las propias características de funcionamiento hacen que las variaciones de la tensión alternante sólo puedan presentarse acompañadas de variaciones de la tensión media —supóngase, por ejemplo, el caso de un engranaje—. Para evaluar el factor de seguridad en estos casos, el procedimiento no es tan simple como dividir la resistencia alternante —i.e., el valor máximo de la tensión alternante para la duración de que se trate y la tensión media de operación— entre la tensión alternante, pues si ésta aumentara también aumentaría, en el ejemplo considerado, la tensión media, con lo que la resistencia alternante disminuiría y el factor de seguridad así calculado no sería significativo. Para calcular el factor de seguridad, interesa más bien la proximidad o lejanía del estado tensional previsto al estado de fallo que realmente se puede llegar a presentar. Se llama línea de carga a la representación en el diagrama σm -σa de los posibles estados tensionales del sistema que se analiza, cuando la carga externa experimenta variaciones. En el ejemplo del engranaje, las tensiones media y alternante han de ser iguales, con lo que la línea de carga es la recta σa = σm . El estado de fallo que se puede llegar a alcanzar será el correspondiente al punto de corte de la línea de carga con la curva correspondiente al criterio —Goodman, Gerber o Soderberg— que se está empleando. El factor de seguridad deberá estar referido de alguna forma, por tanto, al punto correspondiente al estado límite de fallo. Aquí son posibles dos concepciones del factor de seguridad. Éste puede considerarse como factor de aplicación de la carga, y entonces se trataría de buscar el número nL por el que se ha de multiplicar la carga, y por tanto las tensiones a las que afecta, hasta que las tensiones media y alternante fuesen las correspondientes al punto límite A. Desde otro enfoque, el factor de seguridad se considera como factor de reducción de la resistencia y el problema consiste en trazar una recta paralela a la de Goodman que pase por el punto de diseño D, y encontrar la relación entre la resistencia última y el límite de fatiga «admisible» asó obtenidos, con los empleados en el diseño. Obviamente, la línea de carga no siempre coincidirá con la bisectriz del primer cuadrante. Otras posibles líneas de carga se representan en el diagrama σm -σa mediante rectas horizontales, verticales o inclinadas que no pasan por el origen. Un defecto de montaje, como por ejemplo de un eje sometido a flexión rotatoria que, por una colocación inadecuada de los cojinetes de apoyo, se ve sometido a un alargamiento y, por tanto, a un esfuerzo axial constante, tendrá una línea de carga vertical σm = σd , siendo σd la tensión axial producida por el defecto de montaje. Otro ejemplo es el de un fleje sometido a flexión por leva. En la posición de equilibrio, el fleje está sometido a una tensión de flexión media, tanto mayor cuanto más cerca esté de la leva; pero la tensión alternante será invariante: será la que corresponde a la deformación que produce la leva en el fleje, que está perfectamente determinada por la dimensión de la leva. En tal caso, la línea de carga será una línea horizontal, σa = cte.

Fatiga en tensión La experiencia muestra que, para cálculos a vida infinita, y si se dan las condiciones de material dúctil, pulido, cilíndrico y sin mellas,

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6. Diseño por resistencia a la fatiga frente a cargas fluctuantes

la resistencia a fatiga de una probeta sometida a torsión pura fluctuante no depende de la tensión media. Si no se da alguna de dichas condiciones, la resistencia alternante para vida infinita evoluciona según una recta parecida a la de Goodman, que pasa por los puntos (0, 0,577Sc) y (0,67Sut , 0) que se llama recta de Joerres y cuya ecuación es: τm τa + = 1. 0,577Se 0,67Sut Esto es válido solamente para vida infinita; para cálculos a vida finita se obtiene mayor precisión empleando la tensión equivalente y los diagramas de Goodman normales. Cargas combinadas fluctuantes. Caso de materiales frágiles En general, el caso de combinación de cargas axiales, de flexión y de torsión, todas con componentes medias y alternantes, puede analizarse solamente para el caso de vida infinita. Se calcularía una tensión media equivalente con los valores reales de las componentes medias, únicamente afectadas de los correspondientes factores de concentración de esfuerzos, si se trata de un material frágil. Con las componentes alternantes se calcularían unas tensiones alternantes ficticias, afectadas de los factores de acabado superficial, tamaño, carga y concentración de esfuerzos, y con ellas la tensión alternante ficticia equivalente. Como límite de fatiga se tomaría el nuevo valor sin corregir Se′ . Con ese valor se podría dibujar el diagrama de Goodman y, una vez determinada la línea de carga, calcular el factor de seguridad. No obstante, existe un caso particular en el que sí es posible realizar cálculos a vida finita. Se trata del caso en el que no haya componente alternante del esfuerzo axial ni concentración de esfuerzos —o, si la hay, que el material sea frágil—. En este caso, que se presenta con cierta frecuencia en el diseño de ejes de transmisión de potencia, todos los factores de Marin son iguales y el límite de fatiga se puede corregir. Se puede también, por tanto, construir el diagrama de fatiga, y realizar cálculos a vida finita. Fatiga superficial Cuando dos sólidos se ponen en contacto por medio de una fuerza que aprieta uno contra otro, se producen unas tensiones en ambos cuya determinación es posible gracias a un estudio realizado por Hertz en 1896. Para el caso concreto de dos cilindros en contacto, la teoría de Hertz establece que, si F es la fuerza de apriete, W la generatriz de los cilindros y r1 y r2 los radios de las cases, el contacto se produce en un rectángulo de lados W y 2b, siendo b: v u 2 2 u ∆F 1−µ1 + 1−µ2 E1 E2 t · , b= 1 1 πW r1 + r2 donde µ1 y µ2 son los coeficientes de Poisson de ambos materiales y E1 y E2 los respectivos módulos de elasticidad. Si se agrupan términos y se hace   1 − µ22 1 − µ21 , + kE = π E1 E2

6. Diseño por resistencia a la fatiga frente a cargas fluctuantes

se tiene b=

s

4F · π2 W

1 r1

37

kE . + r12

La misma teoría establece que la presión —que, por razones de simetría es constante a lo largo de la generatriz de los cilindros— se distribuye a lo largo de b según una elipse, i.e., r x2 σ(x) = σmáx 1 − 2 , b El valor máximo de la presión superficial se puede determinar teniendo en cuenta que la integral de la tensión por la diferencial de área sobre la que actúa ha de ser igual a la fuerza de apriete; por lo tanto, r Z b Z x2 πW b σmáx . σdΩ = 2 σmáx 1 − 2 W dx = F = b 2 Ω 0 La presión máxima de contacto será, por tanto:12 s 1 1 F 2F r1 + r2 . = σc = σmáx = πbW W kE

(5)

En la práctica, es muy frecuente el caso de que el contacto entre las superficies se produzca en un instante y finalice un tiempo después, y que este ciclo de carga se repita periódicamente. En estos casos, la tensión de contacto media y alternante será la mitad de la máxima. De este modo, el límite de fatiga a presión superficial resultará ser la mitad de la resistencia a presión superficial para vida infinita. En el caso de los aceros, la resistencia a presión superficial para vida infinita puede calcularse a partir de la dureza Brinell mediante las ecuaciones: Sc = 0,4HB − 10 (kpsi), Sc = 2,76HB − 70 (MPa). Cuando el límite de fatiga se calcula a partir de estas ecuaciones, no se corrige con los factores de Marin. Hay que tener en cuenta que la tensión media será siempre de compresión, por lo que su valor no afectará a la resistencia de fatiga. Si la tensión de contacto mínima es igual a 0, la condición de vida infinita será: Sc ≥ 1. σc 12 Un caso que se presenta con cierta frecuencia es el del contacto de un cilindro contra una superficie plana. Este es el caso, por ejemplo, del contacto entre la rueda de un ferrocarril y el raíl. Para resolver esta clase de problemas se emplea la ecuación (5), haciendo r2 → ∞. En el caso de que las superficies no sean cilindros, se logra una aproximación razonable tomando los radios de curvatura en los puntos de contacto. Así se estudia, por ejemplo, el contacto entre dientes de engranajes rectos.

7. Daño acumulado por fatiga

38

En este caso, los factores de seguridad, considerados como valores de cara o resistencia, no están relacionados linealmente. Las ecuaciones de dichos factores serán:  2 Sc Sc nL = , ; ns = σc0 σc0 con lo que nL = n2s .

7.

Daño acumulado por fatiga

Diagrama de fatiga de materiales dañados. Hipótesis de Miner y Manson Cuando un material es sometido a una tensión alternante σa superior al límite de fatiga Se es de esperar que falle a un determinado número de ciclos N0 que viene dado por el diagrama de fatiga del material. Si el material se somete a dicha carga con un número de ciclos N1 inferior a N0 , en principio no es previsible que falle, pero lo que parece evidente es que, de alguna manera y sin que se pueda apreciar ningún principio de fallo, se deteriora. Si se somete al material a un nuevo ensayo, se encuentra que éste falla tras N0 − N ciclos de carga, y no tras N0 . El nuevo diagrama deberá pasar por el punto (log (N0 − N1 ), log σa ). Acerca de cómo es el resto del diagrama, se han establecido dos hipótesis. La primera de ellas —hipótesis de Miner— supone que el diagrama de fatiga del material deteriorado se obtiene mediante una traslación vertical del diagrama que tenía el material antes del deterioro, y de forma que pase por el punto anterior. Esto equivale a suponer que los valores de la resistencia a fatiga para cualquier duración se reducen en la misma proporción. Pero ello también obliga a admitir que la resistencia para un ciclo de carga ya no sería la resistencia última, sino un valor menor, lo cual es tanto como admitir que la resistencia última del material disminuye, cosa que no parece mostrarse muy de acuerdo con la realidad. En la práctica, se emplea más la hipótesis de Manson, que supone que el diagrama de fatiga del
material deteriorado es una recta que pasa por el punto log 103 , log 0,9Sut y por el antes citado (log (N0 − N1 ), log σa ). Según esta hipótesis, la reducción de la resistencia no es proporcional a su valor: no hay reducción de la zona de fatiga de ciclo bajo, y aquélla va aumentando progresivamente en la de ciclo alto. Además, la resistencia última del material no se altera, lo cual concuerda con la experiencia. Para ambas hipótesis, el nuevo límite de fatiga del material deteriorado viene definido por el punto de corte de ambas rectas con la recta vertical log N = 6. La determinación del límite de fatiga del material dañado se puede hacer con facilidad a partir del diagrama de Wöhler, por semejanza de triángulos. De acuerdo con la hipótesis de Miner, el nuevo límite de fatiga será: ∗ log Se,Miner = log σa −

0,9Sut 6 − log Nres log 3 Se

(6)

y, si se emplea la hipótesis de Manson, ∗ log Se,Manson = log 0,9Sut −

0,9Sut 3 log . log Nres σa

(7)

7. Daño acumulado por fatiga

39

Los valores de la resistencia a fatiga del material dañado Sf∗ que proporciona el diagrama de fatiga pueden emplearse luego para el cálculo de los factores de seguridad, mediante la construcción de los correspondientes diagramas de Goodman o Gerber, para la duración de que se trate.

Daño producido por estados de carga con tensión media Todo lo dicho hasta ahora es válido para el deterioro de materiales sometidos a estados de carga con tensión media sin más que considerar las tensiones alternantes equivalentes y hacer σa = σa0 en las ecuaciones (6) y (7).

Corrección del límite de fatiga de materiales dañados. Factor de deterioro Un problema que se puede presentar es el de evaluar el límite de fatiga de un material deteriorado cuando cambia el estado de carga. Los factores de Marin no recogen en modo alguno el posible deterioro que se haya podido producir en el material por estados de carga anteriores. La única forma de expresar en ecuaciones el efecto del daño es admitir que disminuye la relación entre el límite de fatiga sin corregir y la resistencia última. La manera más sencilla de hacerlo es introducir en la ecuación de Marin un nuevo factor de efectos diversos, que se denominará factor de deterioro y que se expresa como: ked =

Se∗ . Se

Obviamente, si se utiliza la hipótesis de Miner, el factor de deterioro debe afectar también a la resistencia de fatiga en 103 ciclos: ∗ St,Miner (103 ) = ked 0,9Sut .

Propagación de grietas bajo cargas de fatiga En los casos de carga estática, la propagación de la grieta genera inmediatamente el fallo de la pieza, a no ser que la carga deje de actuar. En el caso de carga de fatiga, el comportamiento de la grieta es ligeramente diferente. En primer lugar, se pueden distinguir dos mecanismos de propagación claramente diferenciados, que corresponden a dos fases distintas de la grieta. Ambas fases de designan con los términos de «propagación de la grieta» y «crecimiento de la grieta». Por propagación de la grieta se entenderá lo que se ha venido entendiendo hasta ahora, i.e., el mecanismo por el cual, una vez rebasada cierta situación límite, la grieta se propaga, produciendo la fractura de la pieza de forma inmediata tan pronto como el factor de intensidad de esfuerzo supere el valor de la tenacidad a fractura del material. La fase de crecimiento de la grieta es anterior a la de propagación, y en ella la grieta crece, linealmente, a medida que se repiten los ciclos de carga. Cada ciclo de carga hace aumentar la longitud de grieta, aumenta a cada ciclo el factor de intensidad de esfuerzo y finalmente, cuando se alcanza el valor de la tenacidad del material, comienza la fase de propagación y se produce el fallo.

7. Daño acumulado por fatiga

40

El crecimiento de la grieta ya no está gobernado por el factor de intensidad de esfuerzo, sino por su amplitud de variación: ∆KI = KImáx − KImín =



KI K0



√ πa (∆σ) .

Existe un valor umbral de la amplitud del factor de intensidad de esfuerzo por debajo del cual el crecimiento de la grieta no se produce. Este valor depende del material y de la geometría del problema, aunque se trata de una cuestión poco estudiada aún.13 Algunos ensayos, sin embargo, revelan que, con independencia del material y la geometría, su valor está comprendido en todos los casos entre 2 y 7 MPa · m1/2 . Suponiendo que la grieta crece, cabe preguntarse cuántos ciclos de carga resistirá hasta el fallo. El crecimiento de la grieta tiene un doble efecto sobre la resistencia del material. Por un lado, hace aumentar el factor de intensidad de esfuerzo. Pero por otro, también reduce el área efectiva que ha de soportar la carga a la que está sometida la pieza, lo que hará aumentar también el valor de la tensión. Naturalmente, la resistencia cuyo valor no debe superar la tensión será la resistencia última si el material es frágil y la de fluencia si es dúctil. En este último caso, la pieza puede no romperse pero quedar con una deformación permanente, y por tanto inservible. En consecuencia, para calcular el número de ciclos de carga que se pueden soportar hasta el fallo es necesario determinar cuál de las condiciones de fallo se alcanza antes. El procedimiento consiste en calcular la longitud de la grieta a la que se presenta el fallo por fractura y la longitud a la que se presenta el fallo por resistencia; el tipo de fallo vendrá determinado por la mayor de ambas longitudes críticas. La longitud crítica para propagación de la grieta es la que hace el factor de intensidad de esfuerzo igual a la tenacidad a fractura, y por tanto: KIC =



KI K0



√ σmáx πacr,f .

El problema es que no es posible despejar la longitud crítica de esta ecuación, pues salvo para el caso de que las dimensiones de la pieza sean mucho menores I que las de la grieta, K K0 depende de a. El procedimiento a llevar a cabo suele ser KI para el valor inicial de la longitud el siguiente: primero, calcular el valor de K 0 KI de la grieta; segundo, calcular acr,f para ese valor de K suponiendo que no 0 varía: K2 acr,f =   IC 2 KI σ π K máx 0 a=acr,f

y, tercero, repetir el proceso partiendo de una nueva longitud igual a la semisuma de las dos anteriores; tres o cuatro iteraciones suelen ser suficientes para alcanzar la convergencia. 13 Obsérvese

que puede darse simultáneamente la situación de que la grieta no crezca (∆KI < 2 MPa · m1/2 ), pero que se propague (KI > KIC ), y que por tanto se haya alcanzado el fallo de la pieza.

8. Diseño de ejes de transmisión

41

El crecimiento de la grieta por la repetición de ciclos de carga está regido por una ecuación diferencial llamada ecuación de Paris: da m = C (∆KI ) . dN Reordenando la ecuación de Paris e integrándola entre las condiciones de partida (N = 0 y a = a0 ) y las críticas (N ciclos y a = acr ), se tiene: Z N Z acr 1 da   . dN = N = m/2 m K cπ (∆σ) I 0 a0 am/2 K0

I Al igual que en el caso anterior, el problema consiste en la dependencia de K K0 con a, lo que obliga a emplear un método de integración numérico; se obtiene I una solución aproximada suponiendo que K K0 es constante, y así resulta que: !    1 1  “ ”2m si m 6= 2, · m−2 − m−2 K (m−2)C KI π m/2 (∆σ)m a0 2 acr 2 N= 0  1  si m = 2. · ln aacr0  “ KI ”m m/2 m

C

K0

π

(∆σ)

I Si en esta ecuación se introduce el valor máximo de K K0 —correspondiente a a = acr — se obtiene un valor de N inferior al número de ciclos que realmente I resistirá la pieza; si, por el contrario, se introduce el valor mínimo de K K0 — correspondiente a a = a0 — se obtiene un valor de N superior al verdadero, que permite dar una idea del margen de error. Ejes de transmisión

8.

Diseño de ejes de transmisión

Estado de carga en ejes de transmisión Un eje o árbol de transmisión es un elemento rotatorio, generalmente de sección circular, que transmite potencia. Por contraposición, un eje fijo es aquel que no transmite potencia; por ejemplo, el eje de una bisagra. A efectos de cálculo, un eje fijo es sólo un caso particular de eje de transmisión en el cual la potencia transmitida es nula. A lo largo de un eje que transmite potencia, aparece siempre una distribución de momentos torsores. Si P es la potencia transmitida y ω la velocidad angular del eje, el momento torsor T debe valer: T =

P . ω

Esta ecuación es válida para valores instantáneos de la potencia, la velocidad angular y el par. En el caso de que, en condiciones de operación, la potencia y la velocidad de giro sean constantes, el par torsor también lo será. Dependiendo de los elementos que vayan montados sobre el eje y de los apoyos sobre los que esté soportado, se inducirán también momentos flectores y esfuerzos axiales. En el caso más general, por tanto, sobre las secciones transversales del eje actuará una distribución de momentos torsores, otra de momentos

8. Diseño de ejes de transmisión

42

flectores y otra de esfuerzos axiales. Así, en cada uno de los puntos de cada sección actuará un esfuerzo cortante debido a la torsión, un esfuerzo normal debido a la flexión y otro debido al esfuerzo axial. Además, en los ejes de transmisión es frecuente que la sección varíe, para reforzar las zonas más cargadas y ahorrar material en las más descargadas. De este modo, deberá también tenerse en cuenta el efecto de la concentración de esfuerzos cuando corresponda. En los puntos de las secciones transversales se tendrá siempre un estado plano de tensiones; el tensor de tensiones en cualquier punto de la sección viene dado por:   σn + σx τ 0  τ 0 0 . 0 0 0

En una sección, es bastante sencillo determinar el punto más cargado: la tensión debida al esfuerzo axial se distribuye uniformemente, la de cortadura es máxima en los puntos de la circunferencia exterior y la de flexión es máxima en el punto más alejado de la línea neutra en la dirección perpendicular al momento flector. Por tanto, este último punto será el más cargado. El mayor problema consiste en determinar qué sección es la más desfavorable, especialmente cuando se ha de considerar concentraciones de esfuerzos o cuando se realizan cálculos a fatiga.

Una vez conocidas las solicitaciones que actúan sobre cada sección, determinar las tensiones que se producen en ellas es relativamente fácil. Si T (x), M (x) y N (x) son los valores de los momentos torsor y flector y del esfuerzo axial, respectivamente, las tensiones respectivas en el punto más desfavorable de la sección serán: T (x) d 16T (x) T (x) d , = τ=
4 = π d J0 2 2 πd3 2

2

M (x) d M (x) d 32M (x) σx = , = =
π d 4 2 Iz 2 πd3 4

2

4N (x) N (x) σn = .
= d 2 πd2 π 2

En general, tanto el momento torsor como el flector como el esfuerzo axial pueden tener componente media y alternante, aunque es muy frecuente que el momento flector sea alternante y el momento torsor y el esfuerzo axial sean constantes.

Análisis por resistencia estática En el análisis por resistencia estática de ejes, la mayor dificultad que se plantea es la de escoger cuál de las secciones transversales es la más desfavorable desde el punto de vista resistente. El procedimiento a seguir sería el siguiente: dibujar los diagramas de momento torsores, momentos flectores y esfuerzos axiales; seleccionar las secciones que pudieran ser las más desfavorables; calcular las tensiones por torsión, flexión y esfuerzo axial en cada una de las secciones transversales seleccionadas; calcular la tensión alternante equivalente en dichas secciones; calcular el factor de seguridad estático en cada sección, y seleccionar el menor de los factores de seguridad obtenidos. Para la

8. Diseño de ejes de transmisión

43

tensión equivalente, aplicando los criterios de Tresca y Von Mises, se obtiene: p 4 p (σx + σn )2 + 4τ 2 = (8M + N d)2 + 64T 2, πd3 p 4 p = (σx + σn )2 + 3τ 2 = (8M + N d3 ) + 48T 2 , πd3

σeq,T = σeq,V M

teniendo en cuenta que M , N y T vendrán multiplicados por sus correspondientes factores de concentración de esfuerzos si el material es frágil y hay cambio de sección. Las expresiones anteriores de la tensión equivalente pueden servir también para hacer estimaciones del diámetro del eje para un determinado factor de seguridad estático; de todos modos, para su resolución es necesario el empleo de métodos numéricos. En el caso particular de que no haya esfuerzo axial, el diámetro se puede despejar: dT =



32n p 2 M + T2 πS

 31

;

dV M =



16n p 4M 2 + 3T 2 πS

 31

.

Nótese, por último, que para el cálculo estático las tensiones normales por flexión y esfuerzo axial siempre se deben sumar, independientemente de que esta última sea de tracción o de compresión. El punto más cargado será aquel cuya tensión de flexión tenga el mismo signo que el de la tensión debida al esfuerzo axial, pero el valor de la tensión máxima será siempre la suma de ambas. Análisis por resistencia a la fatiga El caso más general, con torsión, flexión y esfuerzo axial fluctuantes, constituye un caso de combinación de carga para el que únicamente es posible realizar cálculos a vida infinita manejando el diagrama de fatiga. Ahora bien, lo más habitual en un eje de transmisión es que la flexión sea alternante rotatoria, y la torsión y el esfuerzo axial constantes. En este caso, puesto que la tensión alternante sólo tiene componente de flexión, no hay combinación de cargas, y por tanto es posible corregir el límite de fatiga y realizar cálculos a vida finita. Para este caso, las componentes media y alternante de la tensión son: σm =

p 4 p σn2 + jτ 2 = (N d)2 + j(4T )2 ; πd3

σa = σx =

32M , πd3

donde j = 3 si se emplea el criterio de Von Mises y j = 4 si se emplea el de Tresca. Además, si el material es frágil y hay un cambio de sección, cada componente de la sección debe venir afectada de su correspondiente factor de concentración de esfuerzos. Aplicación del criterio de Von Mises La aplicación del criterio de Von Mises al cálculo a fatiga de ejes de transmisión es más sencilla y más utilizada en la práctica que la del criterio de Tresca. El procedimiento es el habitual: calcular las componentes media y alternante de la tensión, incluir el factor de seguridad donde corresponda y sustituir en la ecuación del criterio de fallo elegido. Además de los criterios conocidos, se emplean en ocasiones otros similares,

8. Diseño de ejes de transmisión

44

como el de Bagci, que se expresa como: 4  σa σm + = 1, Sf Sy o la elíptica de la asme (American Society of Mechanical Engineers), cuya ecuación es: 2  2  σm σa + = 1. Sf Sy Aplicación del criterio de Tresca La aplicación del criterio de Tresca exige una consideración previa: en el caso que se está considerando, la tensión alternante es de flexión, mientras que la tensión media es la composición de una tensión de cortadura, producida por la torsión, y otra normal, producida por el esfuerzo axial. Los respectivos tensores de tensiones son:     σx 0 σm τ Ta = ; Tm = . 0 0 τ 0

Las direcciones principales de ambos tensores son distintas y, por tanto, los planos de máxima tensión de cortadura serán también diferentes. Se habrá de determinar, así, el plano cuyas tensiones de cortadura media y alternante más se aproximen a la curva del criterio de fallo por fatiga que se esté considerando. Aquí se realizará un análisis simplificado —válido solamente para los criterios lineales— aplicando el criterio de Goodman. La tensión de cortadura en el plano que forma un ángulo α con el eje x se puede expresar de la siguiente manera:   T   σx + σn τ cos α − sen α T τα = σ t = · ; τ 0 sen α cos α σx + σn sen 2α + 2 cos 2α. τα = − 2 Las tensiones de cortadura media y alternante en el plano son:   Nd 16 σn − sen 2α + τ cos 2α = sen 2α + τ cos 2α ; τmα = − 2 πd3 8 σx 16 τaα = sen 2α = (M sen 2α). 2 πd3

Cuando se maneja el criterio de Tresca para tensiones de cortadura, la ecuación de Goodman puede escribirse como: τa τm + Sut = 1, Sf 2

2

Sf . − Sut

El punto de la curva descrita por los valores de τmα y cuya pendiente es τaα anteriores más próximo a la recta de Goodman será aquel cuya pendiente coincida con la de éste, de manera que habrá de cumplirse: dτaα dτaα dα M cos 2α Sf = · . = Nd =− dτmα dτmα dα Sut − 8 cos 2α − T sen 2α

9. Velocidades críticas en ejes

45

Las componentes media y alternante de la tensión cortante serán:  i  h 16 T Nd Nd M πd3 τm = r + T ; − · − “ ” 8 S 8S S 2 ut ut f d ( STut )2 + SMf − 8SNut  i  h  16 tan 2α Nd M 16 πd3 = r . M √1+tan − · M τa = πd “ ” 3 2 2α S 8S 2 ut f d ( STut )2 + SMf − 8SNut Sustituyendo en la ecuación de Goodman y realizando ciertos cálculos, se llega a: s 2  2 2τa 2τm 32 Nd M T + = 1; − + = 1. Sf Sut πd3 Sut Sf 8Sut Para calcular la duración bastará con sustituir Sf por la tensión alternante equivalente σa0 , despejar ésta y entrar con su valor en el diagrama de fatiga. En el caso más general, en el que tanto el esfuerzo axial como los momentos flector y torsor tienen componentes media y alternante, la expresión obtenida a partir de la ecuación de Goodman, mediante un procedimiento análogo al anterior, sería: s   2  2 32 τa Na d Nm d τm Mm Ma + + − + = 1. − πd3 Sf 8Sf Sut 8Sut Sf Sut

9.

Velocidades críticas en ejes

Concepto de velocidad crítica Cuando un eje se ve sometido a un sistema de cargas radiales, sufre una deformación, i.e., un desplazamiento de sus secciones transversales, de manera que los centros de éstas dejan de estar alineados. Recordemos que la ecuación de la línea elástica —lugar geométrico de los centros de gravedad de las secciones— se obtenía a partir de la ley de momentos flectores, por integración de la ecuación diferencial: EI

d2 y = M (x), dx2

con las condiciones de contorno que imponen los apoyos y la continuidad de la ecuación de la línea elástica. Si las cargas permanecen fijas con respecto al eje de la máquina —o, lo que es lo mismo, son rotatorias respecto del eje—, el eje no varía, sino que cada sección gira alrededor de su centro. Si la carga es fija respecto al eje, el eje deformado gira en torno a la posición de equilibrio sin carga, de manera que el centro de cada sección describiría una circunferencia contenida en un plano perpendicular al eje. En cualquiera de los dos casos aparece una fuerza centrífuga cuya dirección es siempre radial respecto al eje de giro, y que por tanto se mantiene fija respecto de la sección del eje y en rotación respecto de la bancada.

9. Velocidades críticas en ejes

46

Supongamos un eje sobre el que hay montado un disco cuyo centro de gravedad G está desplazado una distancia e —llamada excentricidad — respecto del centro geométrico de la sección O′ . Si el eje gira con ω constante, se tiene que cumplir que la fuerza centrífuga sea igual a la fuerza de recuperación elástica del eje, que será proporcional al desplazamiento de la sección r y, por tanto, mω 2 (r + e) = kr . A partir de esta ecuación, es posible calcular la distancia r que se separa el centro geométrico de la sección respecto del eje de giro: r= Haciendo ωn =

q

k m,

mω 2 e . k − mω 2

la expresión de r queda de la forma:

r=



ω ωn

1−



2

ω ωn

 e.

A ωn se le llama velocidad crítica, y corresponde a la frecuencia natural de vibración del sistema. Cuando la velocidad de rotación del eje coincidiese con la velocidad crítica, el centro del disco se desplazaría, teóricamente, hasta el infinito. Para velocidades de rotación pequeñas (ω → 0), r es también pequeño, con lo que la sección gira alrededor de su centro geométrico, como si la fuerza centrífuga no actuara. Por último, para velocidades de giro muy elevadas, se tiene r → − e, lo que significaría que el disco gira alrededor de su centro de gravedad. En la práctica, debe evitarse el funcionamiento del eje en regímenes de rotación próximos a las velocidades críticas. Las elevadas deformaciones pueden inducir una deformación permanente en el eje o incluso su rotura. Aun sin llegar a esos límites, los elevados niveles de vibración que se inducen, y que se transmiten a la bancada a través de los apoyos, serían inadmisibles. Cálculo de las velocidades críticas Para determinar las velocidades críticas, es necesario conocer el valor de la constante elástica del eje, k. Para ello, se pueden seguir dos procedimientos: integrar la ecuación diferencial de la línea elástica o aplicar el teorema de Castigliano. En ambos casos, la solución dependerá de la ley de momentos flectores a lo largo del eje, y por tanto de la configuración geométrica de la carga y los apoyos. La velocidad crítica depende de la configuración geométrica del eje — vinculada a la disposición de los apoyos— y de la masa del rotor, pero no de la excentricidad. El eje debe diseñarse con una geometría que asegure que la velocidad crítica queda suficientemente distanciada de la velocidad de rotación prevista en el diseño. Influencia de la excentricidad en la resistencia del eje Los esfuerzos que la rotación induce en el eje consisten en una flexión producida por la fuerza

10. Cálculo de embragues y frenos

47

centrífuga; este esfuerzo puede expresarse como: σxc (x) =

32Mc (x) , πd3

donde Mc (x) es el momento flector producido en la sección x por la fuerza centrífuga. Para cálculos a fatiga, esta tensión es tensión media, puesto que permanece fija respecto de la sección del eje. Embragues y frenos

10.

Cálculo de embragues y frenos

Generalidades sobre embragues y frenos Tanto los embragues como los frenos son acoplamientos entre ejes que permiten transmitir el movimiento de un eje a otro —en el caso de los embragues— o detenerlo o reducir su velocidad —en el caso de los frenos—. Desde un punto de vista dinámico, un embrague es un dispositivo que, cuando se acciona, acopla dos ejes; uno de ellos gira, antes del acoplamiento, con velocidad angular ω1 , y mueve un rotor de momento de inercia I1 , y el otro gira con velocidad angular ω2 y mueve un rotor de momento de inercia I2 . Cuando se embraga, las superficies se unen y se produce un deslizamiento relativo entre ellas hasta que pasado un tiempo se equilibran y finaliza el proceso de acoplamiento entre ellas. Un freno es simplemente un caso particular de embrague en el que una de las velocidades angulares es permanentemente igual a cero, lo que obliga a que su correspondiente momento de inercia sea infinito. Desde el punto de vista constructivo, esto se traduce en que este eje está anclado a la bancada de la máquina o al chasis. Embragues y frenos de tambor y zapatas El primer problema que se plantea es conocer cuál es la distribución de presiones que el tambor ejerce sobre cada punto de la zapata cuando ésta se acciona. La acción de una fuerza de acoplamiento F en alguno de los puntos de la zapata es, a efectos de cálculo, equivalente a un par de accionamiento Macc = Fc , donde c es la distancia de la articulación a la línea de acción de la fuerza. Por efecto de este par, la zapata tenderá a girar alrededor de su articulación, apretándose contra el tambor. Éste ejercerá una reacción sobre la zapata, a lo largo de cuya superficie aparecerá una distribución de fuerzas en dirección normal a la misma, de forma que el momento de todas estas fuerzas respecto de la articulación tiene que ser igual y de distinto signo que el momento de accionamiento. En definitiva, lo que se tiene es una distribución de reacciones hiperestáticas que, en virtud del teorema de Menabrea, se repartirán a lo largo de la zapata de forma que el potencial interno sea mínimo. Si se designa por Fi la reacción que el tambor ejerce sobre el punto de la zapata correspondiente a θi , se tiene que: Fi = p(θi )brdθ,

10. Cálculo de embragues y frenos

48

donde p es la presión, b el ancho de la zapata y r el radio del tambor. Puesto que tanto la superficie de la zapata como la del tambor son cilíndricas, se puede afirmar que la contribución de la fuerza Fi al potencial interno es: 1 1 2kE kE Ui = Fi δi = Fi 2 Fi = 2 Fi2 , 2 2 π b π b y el potencial interno total será: U=

kE X 2 F . π2 b i i

Este potencial debe ser mínimo, pero sujeto a la restricción de que la suma de los momentos producidos por todas las Fi tiene que ser igual al momento exterior sobre la articulación (Mext ), que aprieta la zapata contra el tambor. Dicha restricción puede expresarse como: X Fi sen θi = Mext . a i

El problema puede resolverse por el método de los multiplicadores de Lagrange. Operando se llega al resultado: Fi =

a

M P ext 2 sen θi . i sen θi

De este modo, la distribución de presiones a lo largo de la zapata vendrá dada por: Mext Fi = sen θi . p(θi ) = R θ2 brdθ abr θ1 sen2 θdθ

Se concluye que la presión se distribuye de manera proporcional al seno del ángulo θ y, por tanto, se cumple: p(θ) = cte. sen θ

La presión
máxima pa se localizará en el punto θa , que corresponderá a θa = m´ın θ2 , π2 ; finalmente, la distribución de personas puede ponerse de la forma: sen θ p(θ) = pa . sen θa De este modo, los puntos situados en las proximidades de la articulación se verían sometidos a tensiones muy pequeñas, por lo que aportan poco al frenado o embragado. Por ello, es habitual suprimir el material de fricción de esa zona. Una vez determinada la distribución de presiones sobre la zapata, se trata de encontrar la relación entre la fuerza de accionamiento y la presión máxima pa . Esta presión máxima no puede exceder el valor de la resistencia a la presión superficial del material del revestimiento, lo cual limitará el valor de la fuerza de accionamiento.

10. Cálculo de embragues y frenos

49

La fuerza normal en un punto puede expresarse como: dN = p(θ)brdθ =

pa br sen θdθ; sen θa

por tanto, el momento respecto de la articulación producido por las fuerzas normales será: Z pa bra MN = dN (a sen θ) = sen θdθ; sen θa   pa bra 1 1 MN = (θ2 − θ1 ) − (sen 2θ2 − sen 2θ1 ) . sen θa 2 4 Este momento tiende siempre a separar la zapata del tambor y, por tanto, tiene el sentido positivo del eje z si el triedro de referencia se toma a derechas , y ello tanto si la zapata es exterior como interior al tambor. El momento de las fuerzas de rozamiento respecto de la articulación viene dado por: Z Z Z f pa br θ2 2 θdθ; (8) Mf = f dN (r − a cos θ) = sen θa θ1   pa bra 1 1 MN = (θ2 − θ1 ) − (sen 2θ2 − sen 2θ1 ) . (9) sen θa 2 4 El sentido de este momento depende del sentido de giro del tambor. Si la zapata tiende a pegarse al tambor por efecto del par de rozamiento, se dice que posee efecto autoenergizante, que suele ser deseable porque requiere fuerzas de accionamiento menores para el acoplamiento. El efecto autoenergizante es más difícil de predecir para las zapatas exteriores que para las interiores. En todo caso, el momento de las fuerzas de fricción, tal como se calcula con la ecuación (9), es positivo si el término (r − a cos θ) es positivo. Si se define un factor de energizado Rf como:  1 para zapata autoenergizante en θ = π2 , Rf = −1 para zapata no autoenergizante en θ = π2 . Se puede afirmar que el momento total producido por las fuerzas normales y de fricción será: MN − Rf Mf . Este momento, tal como se ha calculado, es positivo si la zapata tiende a separarse del tambor, por lo que ha de ser igual al par de accionamiento, que siempre es en sentido contrario. Para zapatas autoenergizantes, podría darse el caso MN − Rf Mf = 0, que significa que no sería necesaria fuerza de accionamiento alguna para el acoplamiento. Esto es lo que se conoce como autotrabado o autoagarre, y significaría que para separar la zapata sería necesaria la aplicación de una fuerza en sentido contrario a la anterior. Para evitar este efecto indeseable, en las zapatas autoenergizantes debe imponerse como condición de diseño: MN − Rf Mf > 0, lo cual se consigue eligiendo adecuadamente la distancia de la articulación al centro del tambor.

10. Cálculo de embragues y frenos

50

El par de accionamiento es el que la zapata ejerce sobre el tambor. Como las fuerzas normales no ejercen par alguno sobre el eje de giro, el par de acoplamiento valdrá: Z Z θ2 pa br f pa br2 rf T = rf dN = − sen θdθ = (cos θ1 − cos θ2 ). sen θa sen θa θ1 En el caso de frenos, se llama capacidad de frenado al par de frenado máximo, i.e., al que se obtendría para una pa igual a la presión admisible del material del revestimiento. Embragues y frenos de cinta En este tipo de dispositivos, el acoplamiento se produce mediante una cinta o banda que se abraza alrededor del tambor. La distribución de presiones se puede obtener a partir de la condición de equilibrio de fuerzas sobre el elemento de cinta. Si P es la tensión en la banda y f el coeficiente de fricción, la condición de equilibrio de fuerzas horizontales establece que: dθ dθ − P cos − f dN = 0; dP = f dN, (P + dP ) cos 2 2 mientras que, por la condición de equilibrio de fuerzas verticales, se tiene: dN = (P + dP ) sen

dθ dθ dθ + P sen = 2P = P dθ. 2 2 2

Eliminando dN entre ambas ecuaciones e integrando, resulta: ln

P2 = f (θ2 − θ1 ) = f φ; P1

P2 = P1 ef φ .

La distribución de presiones puede obtenerse a partir de las anteriores ecuaciones. Se llega al resultado P p= , br donde b es el ancho de la banda y r el radio del tambor; la presión en un punto, por tanto, es proporcional a la tensión en la banda en ese punto. En consecuencia, la presión máxima será pa = pbr2 y, por tanto, P2lím = brplím . El par de frenado tiene que ser igual al momento de las tensiones a ambos lados de la cinta: T = (P2 − P1 )r. La capacidad de frenado será el par de frenado para el valor de P2lím :

Tmáx = P2lím − P2lím e−f φ r = br2 plím 1 − e−f φ .

Embragues y frenos de disco Los embragues y frenos de disco son los llamados de conexión axial, i.e., el movimiento que se produce para accionar el acoplamiento tiene la dirección de los ejes que acopla. Consisten en uno o más pares de discos, que transmiten el movimiento —o lo detienen— cuando entran en contacto, por efecto de la fricción. Presentan algunas ventajas tales como

10. Cálculo de embragues y frenos

51

la eliminación de efectos centrífugos, un tamaño pequeño en relación con las superficies de fricción —lo que proporciona una mayor superficie de disipación del calor— y una distribución de presiones favorable. Cuando los discos son nuevos —y, en principio, perfectamente planos— se puede suponer que la fuerza de accionamiento se absorbe de manera uniforme a lo largo de toda la superficie de fricción, de manera que la presión será igual en todos los puntos de la misma. Sin embargo, esta situación durará poco tiempo, pues los puntos de mayor deslizamiento relativo —los más próximos al diámetro exterior— se desgastarán más deprisa, los discos perderán planitud, y ciertos puntos externos terminarán sometidos a presiones menores que los puntos más cercanos al centro. Este proceso continuará hasta el momento en que se alcance una distribución de presiones para la cual el desgaste sea uniforme en todos los puntos de la superficie y, a partir de aquí, la distribución de presiones no se alterará. Hipótesis de presión uniforme Si la presión es uniforme en toda la superficie de fricción, la presión máxima pa se alcanza en cualquiera de sus puntos, y su relación con la fuerza de accionamiento es:
πpa F = D2 − d2 . 4 El par de accionamiento sería el momento de las fuerzas de fricción, i.e., T =

Z

D 2

rf dN = d 2

Z

D 2 d 2

rf pa 2πrdr =


πf pa D3 − d3 . 12

Eliminando pa entre las dos ecuaciones anteriores, se halla la siguiente relación entre la fuerza de rozamiento del par de discos y el par de acoplamiento: T =

F f D3 − d3 . 3 D2 − d2

Hipótesis de desgaste uniforme El desgaste δ es proporcional al trabajo de las fuerzas de rozamiento por unidad de superficie; por tanto, δ=k

(f dN )(rωt) (f rdΩ)(rωt) =k = kf prωt. dΩ dΩ

Que el desgaste sea uniforme significa que el desgaste por unidad de tiempo tiene que ser igual en todos los puntos de la superficie; por tanto: dδ = kf prω = cte, dt de donde se deduce que pr = cte. La presión media se produciría en el radio mínimo (interior), y se tiene que: p(r) =

d pa ; 2d

52

11. Consideraciones para el diseño de embragues y frenos

la fuerza y el par de accionamiento serían, respectivamente: Z D2 Z D2 d πpa d F = p(r)2πrdr = pa 2πrdr = (D − d); d d 2r 2 2 2 Z D2 Z D2
d πpa df T = rf p(r)2πrdr = rf pa 2πrdr = D2 − d2 . d d 2r 8 2 2 Embragues y frenos cónicos Los embragues y frenos cónicos son también acoplamientos de conexión axial, muy similares a los de discos, salvo que las superficies de fricción tienen forma de cono de revolución. Las mismas consideraciones de presión y desgaste que se hicieron para el caso de embragues y frenos de discos, según que las superficies estuvieran nuevas o rodadas, son aplicables a los cónicos. Hipótesis de presión uniforme Cuando el embrague o freno es nuevo, la presión es uniforme en todos los puntos de la superficie, y por tanto p = pa . Las componentes radiales de las fuerzas normales se anulan y la resultante de las componentes axiales debe ser igual a la fuerza de accionamiento F . Si α es el ángulo del cono,   Z D2 Z D2
dr πpa pdΩ sen α = pa 2πr sen α = D2 − d2 . F = d d sen α 4 2 2 El par de accionamiento, por su parte, será: Z D2 Z D2
2πr πf pa rf pdΩ = rf pa dr = D3 − d3 . T = d d sen α 12 sen α 2 2

Hipótesis de desgaste uniforme Para desgaste uniforme, la presión se ha d de distribuir de manera que p(r) = 2r pa , con lo que la fuerza de accionamiento, que debe equilibrar las componentes axiales de las fuerzas normales sobre la superficie del cono, es:   Z D2 Z D2 dr πpa d d p(r)dΩ sen α = sen α pa 2πr (D − d); F = d d 2r sen α 2 2 2 finalmente, el par de accionamiento es: Z D2 Z D2
2πr πf pa d d dr = D2 − d2 . T = rf p(r)dΩ = rf pa d d 2r sen α 8 sen α 2 2

11.

Consideraciones para el diseño de embragues y frenos

Tiempo de acoplamiento Durante el proceso de acoplamiento, cada eje ejerce un par torsor sobre el otro, que finalmente transmite el embrague o freno a

11. Consideraciones para el diseño de embragues y frenos

53

través de fuerzas de fricción. Las fuerzas de rozamiento sobre ambos elementos del embrague o freno deben ser iguales y de sentido opuesto, por lo que el par que ejerce un eje sobre el otro es igual y de distinto signo al que ejerce el segundo sobre el primero. Si además la fuerza de accionamiento es constante durante todo el proceso, este par será también constante. Las ecuaciones diferenciales que rigen el rozamiento de ambos ejes son: I1 θ¨1 = −T ;

I2 θ¨2 = T.

Integrando con respecto al tiempo y tomando como origen de tiempos el momento de accionar el acoplamiento, se tiene: T θ˙1 = − t + ω1 ; I1

T θ˙2 = − t + ω2 . I2

El proceso finalizará cuando θ˙1 = θ˙2 , con lo que el tiempo de acoplamiento será: ta =

I1 I2 ω1 − ω2 · . I1 + I2 T

Para el caso particular de un freno, ω2 = 0 e I2 → ∞, por lo que el tiempo de frenado hasta la detención sería: tf a =

I1 ω1 , T

y, si el freno no se acciona hasta la parada, sino que actúa durante un tiempo t0 < ta , la velocidad final resultante sería: T ω10 = θ˙1 (t0 ) = − t0 . I1 La velocidad de rotación de ambos ejes, una vez finalizado el proceso de acoplamiento, será: I1 + I2 I1 ω1 = − . ω= I1 + I2 ω 2 Energía disipada en el acoplamiento y elevación de la temperatura La potencia instantánea disipada durante el proceso de acoplamiento será la perdida por el eje 1 menos la ganada por el 2, y se puede expresar como:     I1 + I2 t . U = T θ˙1 − θ˙2 = T (ω1 − ω2 ) − T I1 I2 La energía disipada en el proceso de acoplamiento será la integral de la potencia, extendida al intervalo de tiempo que dura el acoplamiento, i.e., E=

Z

0

ta

 I1 + I2 I1 + I2 t2a T (ω1 − ω2 ) − T t dt = T (ω1 − ω2 )ta − T 2 · , I1 I2 I1 I2 2 

12. Rodamientos

54

y, teniendo en cuenta que T ta = E=

I1 I2 I1 +I2

(ω1 − ω2 )2 , se tiene:

1 I1 I2 2 (ω1 − ω2 ) . 2 I1 + I2

En el caso de un freno accionado hasta la detención, la energía disipada sería Ef = 12 I1 ω12 . Esta disipación de energía ocasionará una elevación de la temperatura en E . Una vez producido el el embrague o freno, que vendrá dada por: ∆T = Cm calentamiento, el proceso de enfriamiento se rige por la ecuación diferencial: mC

dT = −uA(T − T0 ), dt

donde u es el coeficiente global de transmisión, A el área de transferencia de calor y T0 la temperatura ambiente. Si se integra esa ecuación, resulta que la temperatura en un instante posterior a la finalización del acoplamiento vendrá dada por: Au T (t) − T0 = (Ti − T0 )e− mC t . Estas consideraciones tienen importancia para el diseño por el hecho de que los materiales de fricción pierden sus propiedades —al menos parcialmente— si la temperatura sobrepasa ciertos límites. Cojinetes de rodadura

12.

Rodamientos

Tipos de rodamientos Los cojinetes de contacto rodante, también llamados cojinetes de rodadura o rodamientos, son elementos de soporte de ejes de transmisión que presentan la característica de que el movimiento relativo entre el eje y la bancada de la máquina se realiza a través de elementos que se mueven respecto de los anteriores con movimiento de rodadura, en principio sin deslizamiento. La fricción en este tipo de rodamientos es muy pequeña, despreciable en la práctica. Los rodamientos constan de tres elementos fundamentales: los anillos interno y externo y los elementos rodantes —bolas o rodillos—. Los anillos interno y externo van fijados al eje y a la bancada de la máquina. Ambos tienen practicadas unas ranuras, llamadas pistas de rodadura, por las que ruedan las bolas o rodillos. Con frecuencia, incorporan también unos separadores que impiden el contacto entre ellos. Atendiendo al tipo de elemento rodante, los rodamientos pueden ser de bolas o de rodillos. En este último caso, pueden ser de rodillos cilíndricos o cónicos. Cuando los rodillos son de muy pequeño diámetro, se llaman cojinetes de agujas. Pueden también tener más de una fila de bolas o rodillos. Según la función para la que están concebidos, los rodamientos pueden ser radiales o de empuje. Los primeros están pensados para soportar carga radial y los últimos para soportar carga axial. Los cojinetes de bolas, no obstante, son

12. Rodamientos

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capaces de soportar cierta carga axial, a diferencia de los rodillos cilíndricos, que no soportan carga de empuje alguna. Los cojinetes de rodillos cónicos soportan siempre carga radial y de empuje; para ello están concebidos.

Duración y fiabilidad Durante el funcionamiento de un cojinete de rodadura, y por efecto de la carga a la que está sometido, se producen esfuerzos de contacto entre las pistas de rodadura y los elementos rodantes. Este tipo de carga es origen del fenómeno conocido como picadura, que consiste en el desprendimiento de pequeñas partículas de material, en forma de conos. La picadura es decida a la fatiga del material causada por las tensiones de cortadura que se presenta en zonas próximas a la superficie y que, tras cierto número de ciclos de carga, originan una grieta que se propaga hasta la superficie, causando el desprendimiento del material. El fallo por picadura no es catastrófico: la pieza puede seguir trabajando después de picada; no obstante, empeora el contacto —lo que se traduce en un descenso del rendimiento de la transmisión— y, en el caso de los rodamientos, aparece un golpeteo de las bolas o rodillos con las pistas de rodadura, que induce niveles de ruido y vibración que pueden llegar a ser inadmisibles. Se considera que se ha producido el fallo cuando aparece dañada un área de 6,5 mm2 . La duración o vida útil de un cojinete se define como el número total de revoluciones del eje que soporta el cojinete hasta la aparición del fallo por picadura; se expresa en millones de ciclos o revoluciones. A veces, la duración viene indicada en horas de funcionamiento a un determinado régimen de giro del eje, en cuyo caso se designa por N . En cualquier caso, dos cojinetes idénticos sometidos a la misma carga no durarán, en general, el mismo número de ciclos. Si se repitiera un mismo ensayo para un número significativo de cojinetes iguales, se obtendría una distribución de duraciones hasta el fallo. En otras palabras, un cojinete de la serie tendrá una determinada probabilidad de supervivencia para un cierto número de ciclos de carga, y otra probabilidad de supervivencia para el mismo número de ciclos. Por tanto, para que una duración tenga significado, hay que saber a qué probabilidad de supervivencia se refiere. Por eso, al símbolo L con el que se designa la duración de un rodamiento se le añade un subíndice numérico r. Por ejemplo, si la vida L6 de un tipo de rodamientos ante determinadas condiciones de carga es de 10 Mrev, cabe esperar que, tras esos 10 millones de revoluciones, haya fallado por picadura el 6 por ciento de los rodamientos y haya sobrevivido el 94 por ciento. De este modo, la duración Lr de un rodamiento determinado es la duración para una fiabilidad: R = 1−

r . 100

A la duración L10 se le llama duración nominal y a la L50 duración mediana o promedio. La duración y la fiabilidad estarán relacionadas por una distribución estadística que se ha de determinar mediante ensayos. Se comprueba que corresponde a una distribución de Weibull que se puede expresar mediante la siguiente ecuación: para una vida nominal de L10 Mrev, la fiabilidad correspondiente a

12. Rodamientos

56

una duración de Lr Mrev es:   w 1 Lr ln R = − −r , u L10 donde u, v y w son los parámetros de Weibull.

Carga en rodamientos Las tensiones de contacto que aparecen entre la pista de rodadura y los elementos rodantes no son fáciles de expresar mediante ecuaciones porque, al no corresponder al caso de contacto entre dos cilindros, no se pueden aplicar las ecuaciones que se presentaron anteriormente. Además, la carga no es perfectamente cíclica, pues a cada revolución del eje le corresponde una revolución del anillo que está fijo a él, pero las bolas o rodillos no habrán dado exactamente una vuelta, ni sobre sí mismos ni alrededor del eje. Para relacionar la carga radial sobre el cojinete y la duración se emplea una ecuación obtenida mediante experimentación. Esta ecuación establece que si para una carga radial FA un rodamiento tiene una duración (para una fiabilidad R) LrA , para otra carga radial FB tendrá una duración (relativa a la misma fiabilidad R) LrB que verifica: L rA = L rB



FB FA

a

,

donde a es un coeficiente que depende del tipo de rodamiento. Esta ecuación, que relaciona cargas y duraciones, corresponde a lo que sería el diagrama de fatiga para el caso de rodamientos. Este enfoque permite también determinar el factor de seguridad sustituyendo la fuerza radial correspondiente al segundo estado de carga por la fuerza radial prevista multiplicada por el factor de seguridad. Como ya se ha mencionado, par el cálculo de rodamientos no se manejan valores de tensiones y resistencias debido a la dificultad que entraña establecer, en forma de ecuaciones, un modelo representativo del estado tensional en los distintos elementos del rodamiento. Para realizar cálculos de resistencias y duraciones, se precisa de un valor límite de la fuerza radial con el que se pueda comparar. A ese valor se le conoce como capacidad de carga del rodamiento, y se define como el valor máximo de la fuerza radial que puede soportar, en unas condiciones de duración y fiabilidad determinadas.14 14 Con cierta frecuencia, las capacidades de carga tabuladas por los fabricantes se refieren a un millón de revoluciones y a una fiabilidad del 90 %. En este caso, la capacidad de carga se denomina capacidad básica de carga, y se representa por C. De todos modos, no se puede afirmar que un rodamiento sometido a una fuerza radial igual a su capacidad básica de carga asegure una vida L10 de un millón de revoluciones. Esto es debido a que un millón de revoluciones es una duración muy pequeña para un rodamiento, lo que supone un valor muy elevado de la capacidad básica de carga, de manera que una fuerza radial de ese valor produciría deformaciones permanentes en los elementos del rodamiento, dejándolo inservible tras un número de revoluciones del eje muy inferior al millón.

13. Selección de rodamientos

13.

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Selección de rodamientos

Introducción En principio, el procedimiento a seguir para la selección de un rodamiento es tan simple como determinar la capacidad de carga requerida para las condiciones de carga previstas durante la operación del rodamiento y, a continuación, escoger en la tabla del fabricante el rodamiento con una capacidad de carga inmediatamente superior a la requerida. El problema estriba en que todas las ecuaciones manejadas hasta ahora venían expresadas en función de la carga radial sobre el rodamiento, sin considerar la presencia de carga axial. Cuando hay carga axial, es necesario evaluar una carga radial equivalente que, si actuara sobre el cojinete, produciría el mismo efecto que la combinación de carga radial y carga axial que realmente actúa; de esta manera, se pueden manejar las ecuaciones antes citadas para hacer los cálculos. El problema involucra siempre métodos iterativos en el proceso de diseño. La carga radial equivalente, además de depender de las fuerzas radial y axial sobre el cojinete, depende también de la geometría del mismo, y por tanto su determinación es diferente para cada tipo de rodamiento. Otro aspecto que es necesario tener en cuenta es cómo se soporta el eje en el rodamiento; es diferente que el eje vaya fijado al anillo interior y el anillo externo vaya encastrado en la bancada o que suceda lo contrario. La forma más precisa de tener en cuenta este aspecto es multiplicar la carga radial por un factor V llamado factor de rotación, que será mayor cuando el eje gira con el anillo externo y el interno está fijo a la bancada. Los resultados de pruebas experimentales realizadas con distintos tipos de rodamientos arrojan los siguientes valores para el factor de rotación: – Para rodamientos de bolas y de rodillos cilíndricos, V = 1 para giro del anillo interior, y V = 1,2 para giro del anillo exterior. – Para rodamientos cónicos y rodamientos autoalineantes, V = 1 en todos los casos.

Selección de rodamientos de bolas La carga radial equivalente Fe de un rodamiento de bolas viene dada por la expresión: Fe = m´ax (V Fr , XV Fr + Y Fa ), donde V es el factor de rotación, Fr la carga axial aplicada al cojinete, Fa la carga axial equivalente, y X y Y los factores radial y de empuje respectivamente. Fa Y depende de la relación C , donde C0 es la capacidad de carga básica estática, 0 que debe venir recogida en las tablas del fabricante junto con la capacidad básica de carga. Además, tanto X como Y dependen también de que la relación FFar a sea mayor o menor que un coeficiente e, que depende a su vez de la relación F C0 . El problema es que para calcular la capacidad de carga requerida es necesario determinar antes la carga radial equivalente, pero ésta no se puede calcular sin antes conocer la capacidad básica de carga estática C0 , para lo cual sería necesario tener previamente seleccionado el rodamiento. Así, será necesario ir

13. Selección de rodamientos

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probando rodamientos hasta encontrar el de menor capacidad de carga que cumpla con los requisitos establecidos. No obstante, este proceso iterativo puede racionalizarse de la manera siguiente. Supóngase que se cumple:   Fa 0,44V ≤ m´ax ,e . (10) Fr Y2 Si se cumple esta condición, y por tanto Fe = V Fr , la capacidad básica de carga requerida, si se diseña para una duración de L10D millones de revoluciones, debe verificar: a  L10D Creq . = Fe 1 Entrando en las tablas con el valor de Creq , se seleccionaría el cojinete de capacidad básica de carga inmediatamente superior y se tomarían los valores de su capacidad básica de carga C y de su capacidad básica de carga estática C0 . Fa , y por interpolación se A continuación, se determinaría el valor de la relación C 0 obtendrían los valores de e y de Y2 correspondientes. Si con los valores obtenidos se cumple la condición (10), se puede asegurar que el rodamiento escogido es la solución del problema de diseño. En cambio, si la condición anterior no se verifica, la hipótesis de partida sería falsa, de manera que se podría afirmar que la carga radial equivalente es: Fe = 0,56V Fr + Y2 Fa , y se deberían ir probando rodamientos a partir del obtenido en el paso anterior (incluyéndolo), hasta encontrar el primero que cumpliera los requisitos. En lugar de interpolar los valores de las tablas, pueden emplearse las siguientes ecuaciones —obtenidas por correlación—, que arrojan resultados muy aproximados: e ≈ 0,5065



Fa C0

0,232

;

Y2 ≈ 0,8632



Fa C0

−0,2349

.

Selección de rodamientos de rodillos cilíndricos Los rodamientos de rodillos cilíndricos no resisten carga de empuje. Si se vieran sometidos a carga de este tipo, se desmontarían y se separarían sus anillos. Si la reacción de un rodamiento de rodillos cilíndricos es siempre radial, la carga radial equivalente será siempre Fe = V Fr . La selección de este tipo de rodamientos es más simple, pues no requieren iteraciones. Basta con calcular la capacidad básica de carga requerida y seleccionar de las tablas del fabricante el rodamiento con capacidad básica de carga inmediatamente superior. Selección de rodamientos de rodillos cónicos En el caso de que alguno de los apoyos de un eje sea un rodamiento de rodillos cónicos, la carga radial que

13. Selección de rodamientos

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soporta inducirá en el eje una carga axial adicional, debida a la propia geometría de los conos. La fuerza que se produce en el contacto del rodillo con el anillo móvil del rodamiento tiene la dirección de la normal común a ambas superficies de anillo y rodillo, que no coincide con la dirección radial. Esa fuerza normal ha de ser tal que su componente radial equilibre la carga radial que induce el eje, pero su componente axial inducirá en el eje una fuerza de empuje que se deberá absorber en algún otro componente o apoyo. Por el contrario, las cargas de empuje que el eje ejerza sobre los rodamientos no inducen en éstos cargas radiales. Aunque la reacción sigue siendo en la dirección de la normal de las superficies en el punto de contacto, este esfuerzo normal se reparte alrededor de toda la superficie del cono, de manera que las componentes radiales se anulan y las axiales equilibran la fuerza que ejerce el eje. Un rodamiento de rodillos cónicos sólo resiste carga de empuje cuando ésta tiende a apretar el cono contra la copa; en caso contrario, cono y copa se separan. Por esta razón, los rodamientos cónicos deben montarse sobre el eje con las bases mayores —o las menores— enfrentadas. Suele ser preferible enfrentar las bases mayores, pues de esta forma los esfuerzos axiales inducidos en el eje son a compresión en lugar de a tracción. La relación entre la reacción radial del rodamiento sobre el eje y la carga axial que induce viene impuesta por la geometría del mismo. Esta relación se suele expresar como: 0,47Fr Fi = , K donde Fr es la fuerza radial sobre el rodamiento, Fi la carga de empuje que induce la anterior y K un factor que depende de la geometría. Para que el eje no se desplace, la resultante de las fuerzas axiales sobre él debe ser nula. Esas fuerzas axiales son: la fuerza axial externa que actúa y la que inducen los dos rodamientos, que dependerá de las reacciones radiales en ellos. Evidentemente, la suma vectorial de las tres no tiene que ser necesariamente igual a cero. Por consiguiente, hará falta una reacción más que equilibre la resultante anterior. Dependiendo del sentido que se obtenga y de la forma en que estén enfrentados los conos, esa reacción adicional se producirá en un rodamiento o en el otro. En consecuencia, en este rodamiento la carga de empuje será la suma de la que induce su carga radial más esta reacción adicional. Para utilizar las ecuaciones de la duración y la fiabilidad, al igual que para la determinación de las capacidades de carga requeridas, es necesario definir una carga radial equivalente que tenga en cuenta el efecto de la combinación de carga radial y de empuje que actúa sobre el rodamiento. Para rodamientos de rodillos cónicos, la carga radial equivalente Fe se calcula mediante la ecuación: Fe = m´ax [Fr , (0,4Fr + KFa )] , donde Fr es la carga radial sobre el rodamiento, Fa la de empuje y K el factor correspondiente al rodamiento sobre el que se calcula la carga radial equivalente. Varios problemas se plantean a la hora de seleccionar rodamientos cónicos. En primer lugar, la carga radial equivalente depende del factor K, que obviamente es desconocido hasta tener seleccionado el rodamiento, por lo que para la

14. Lubricación de cojinetes

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selección debe seguirse un proceso iterativo. Pero además, resulta que la carga axial depende de la fuerza axial inducida por el otro cojinete, que depende a s vez de su correspondiente factor K ′ , por lo que el bucle de interacción será doble. Finalmente, tampoco se conoce a priori la posición del centro de presiones del rodamiento, que tendrá influencia —aunque pequeña— en el valor de las reacciones radiales. En la práctica, el proceso no resulta tan complicado, pues en uno de los dos rodamientos, si se disponen con las bases iguales enfrentadas, la carga de empuje es igual a la que induce su carga radial, y por tanto inversamente proporcional a K. Para ese rodamiento, la carga radial equivalente no dependerá de K, lo que simplifica mucho las cosas. Respecto al valor de a, se recomienda despreciarlo inicialmente y considerarlo en un cálculo de verificación, una vez seleccionados los rodamientos. Cojinetes de deslizamiento

14.

Lubricación de cojinetes

Tipos de lubricación El estudio de la lubricación, la fricción y el desgaste se conoce como tribología. Los cojinetes de rodadura tienen muy buen rendimiento debido al contacto rodante entre sus elementos. Sin embargo, presentan algunos inconvenientes respecto a los de deslizamiento: son más caros, su montaje es más complicado, tienen tolerancias muy pequeñas, tienen mayor tamaño, trabajan peor a altas velocidades, y no trabajan bien a temperaturas elevadas. Así, existen dos campos fundamentales para los cojinetes de deslizamiento: – Las operaciones a altas temperaturas y condiciones de carga variables. – Las operaciones con cargas ligeras o, en general, servicios poco críticos, en los que el rendimiento no es fundamental y prevalece su menor coste, su mayor facilidad de instalación y su menor requerimiento de espacio. Cuando los cojinetes de deslizamiento se emplean en operaciones con cargas ligeras, pueden incluso no ir lubricados. Se suele utilizar en estos casos un material de bajo coeficiente de fricción con el acero y suficiente resistencia, como el nilón. Cuando se lubrican, se emplea aceite o, con más frecuencia, grasa. Para operaciones a temperaturas muy altas, los aceites pierden gran parte de sus propiedades, y pueden emplearse revestimientos de aleación, uno de cuyos componentes funde a la temperatura de trabajo y actúa como lubricante. Existen varios tipos de lubricación. La lubricación hidrostática consiste en la introducción a presión del lubricante en la zona de contacto, de manera que separe ambas superficies. Este tipo de lubricación no precisa de movimiento relativo entre las superficies, y por ello se aplica a transmisiones a velocidades de giro pequeñas. La lubricación hidrodinámica o de película gruesa se caracteriza por la introducción del lubricante a baja presión, incluso a presión nula, pero con el eje girando a cierta velocidad. A causa del movimiento relativo, el eje arrastra el

14. Lubricación de cojinetes

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lubricante hacia la zona de contacto, donde se crea una cuña de presión, y esta sobrepresión origina la separación de las superficies, creando entre ambas una capa de lubricante suficientemente gruesa. Se trata de un régimen de lubricación estable: un aumento de la temperatura produce una disminución del coeficiente de fricción, lo que supone una disminución del calor generado y, en consecuencia, una tendencia a reducir la temperatura, compensando el aumento que se produjo. El espesor de la película de lubricante es tanto menor cuanto menor es el área de contacto o la cantidad de lubricante suministrada, o cuanto mayor es la carga o la temperatura del lubricante. Por la conjunción de algunos de estos factores, puede llegarse a espesores de capa de unos cuantos diámetros moleculares. En este caso, se tiene la llamada lubricación al límite o de capa límite. Este régimen de lubricación no es deseable en cojinetes, pues cualquier alteración en las condiciones de funcionamiento puede llevar a zonas de inestabilidad, con rotura de la película de lubricante y contacto metálico entre las crestas de las superficies, y el consiguiente aumento del coeficiente de fricción. Cuando la película de lubricante se rompe, se tiene un régimen de lubricación inestable. El contacto metálico entre las crestas aumenta el coeficiente de fricción, lo que hace aumentar la temperatura, que a su vez reduce el espesor de la capa, aumentando el contacto metálico, lo que haría subir la temperatura indefinidamente. La lubricación elastohidrodinámica se produce cuando se introduce lubricante entre superficies con contacto rodante, como es el caso de engranajes o rodamientos, los cuales se deforman por efecto de la fuerza de apriete de una contra otra. Por último, para operaciones a temperaturas extremadamente altas, los aceites dejan de ser adecuados como lubricantes. Se aplica entonces la lubricación de película sólida. Los lubricantes sólidos más comúnmente empleados son el grafito y el disulfuto de molibdeno. Viscosidad. Ley de Newton Supongamos dos placas separadas por una capa de lubricante de espesor h. La placa superior se mueve con respecto de la otra con velocidad u, para lo cual precisa de la aplicación de una fuerza F que venza la fricción del lubricante. El movimiento de la capa superior arrastrará las distintas capas de lubricante, de manera que la que está en contacto con ella se moverá con velocidad u, y la que está en contacto con la placa inferior tendrá velocidad nula. Este arrastre inducirá una fuerza por unidad de superficie en cada uno de los volúmenes elementales de lubricante, que por estar contenida en la cara del volumen será una tensión de cortadura. Cada uno de estos volúmenes elementales se moverá con una velocidad u = u(y) que será función de la distancia del mismo a la placa inferior. La ley de Newton establece que la tensión de cortadura sobre cada volumen elemental de lubricante es proporcional al gradiente de la velocidad: τ =µ

du . dy

14. Lubricación de cojinetes

62

La constante de proporcionalidad µ se conoce como viscosidad absoluta o viscosidad dinámica, y es una propiedad de cada lubricante —o, más exactamente, de cada fluido— que disminuye con la temperatura. Representa una medida de la fricción interna del fluido. Ley de Petroff Uno de los primeros estudios sobre la fricción en cojinetes fue publicado por Petroff en 1883. Consistió en la aplicación del postulado de Newton a un cojinete de cubrimiento completo —i.e., que abraza 360◦ al eje—, partiendo de la hipótesis de que eje y cojinete son concéntricos. Eso equivale a suponer que se cumple al menos una de las siguiente condiciones: que la carga radial sobre el cojinete es nula; que la viscosidad del lubricante es infinita; o que la velocidad de giro del eje es infinita. Obviamente, ninguna de esas condiciones puede darse en la práctica. No obstante, el estudio de Petroff tiene interés por dos razones: primero, porque introduce una serie de parámetros adimensionales de gran importancia en posteriores estudios; segundo, porque, a pesar de todo, constituye una aproximación aceptable cuando las cargas son muy pequeñas o las velocidades de giro muy altas. Supongamos que un eje de radio r que gira con velocidad de n revoluciones por segundo, abrazado por un cojinete completo de longitud l y radio interior r + c —en donde c es la holgura radial— y que se dan las condiciones de concentricidad antes expuestas. De acuerdo con la ley de Newton, se tiene: τ =µ

u 2πnr du ≈µ =µ . dy c c

Sobre el eje actuará un par torsor, debido a la tensión de cortadura que el lubricante ejerce sobre él, y que valdrá   4π 2 r3 lµn 2πnr (2πrl)r = . T = τ Ωr = µ c c Si sobre el cojinete actúa una carga radial W , y se define la carga por unidad W de área proyectada del cojinete como P = 2rl , el coeficiente de fricción F habrá de verificar, por su definición: Fr = f W ;

T = f Wr = 2f r2 lP,

por lo que, igualando ambas expresiones del par de rozamiento,    r µn , f = 2π 2 p c que es lo que se conoce como ley de Petroff, y que proporciona el valor del coeficiente de rozamiento en función de la viscosidad, la velocidad de giro, la carga por unidad de área proyectada, el radio del eje y la holgura radial. Si se hace  r 2  µn  S= , c p

14. Lubricación de cojinetes

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la ecuación de Petroff queda en su forma habitual: r  f = 2π 2 S. c El parámetro adimensional S se conoce como número de Sommerfield, índice de Sommerfield, índice del cojinete o número característico del cojinete, y será de trascendental importancia para la resolución de la ecuación de Reynolds. Se puede comprobar que, para valores muy elevados de la viscosidad o de la velocidad de giro, o muy pequeños de la carga, el coeficiente de fricción es proporcional al índice de Sommerfield. Sin embargo, cuando se dan esas condiciones, la linealidad se pierde, debido a la aparición de excentricidad entre eje y cojinete. La zona de la derecha de la gráfica, la de valores altos del índice de Sommerfield, corresponde al régimen de lubricación estable, en el que la temperatura se autorregula. Por el contrario, a la izquierda del punto L, la lubricación es de carácter inestable, debido a la aparición de contacto metálico entre los valores de ambas superficies. Ecuación de Reynolds Para estudiar el comportamiento del lubricante en cojinetes de deslizamiento, es preciso establecer una serie de hipótesis de partida, que resultan bastante aceptables. Son las siguientes: el lubricante obedece a la ley de Newton de flujo viscoso; las fuerzas de inercia del lubricante son despreciables; el lubricante es incompresible, y el flujo de lubricante es bidimensional. De acuerdo con la última hipótesis, se supondrá que la presión no varía a ∂p lo largo del eje y, de manera que se cumpla ∂y = 0. Se designan por u y w las componentes de la velocidad en la dirección de los ejes x y z respectivamente, y por h el espesor de la capa de lubricante en cada punto (x, z). Sobre un volumen elemental de fluido actúan una serie de fuerzas por efecto de la presión y la viscosidad. Teniendo en cuenta que las fuerzas de inercia son despreciables, la condición de equilibrio de fuerzas según los ejes x e y puede expresarse como: ∂p ∂τx ∂p ∂τz = ; = . ∂x ∂y ∂z ∂y Así, teniendo en cuenta la expresión de la ley de Newton, se puede escribir:     ∂u ∂p ∂w ∂ ∂ ∂p µ ; µ . = = ∂x ∂y ∂y ∂z ∂y ∂y Puesto que la presión no es función de y, sus derivadas tampoco lo serán, con lo que esas dos ecuaciones se pueden integrar con respecto a y, obteniéndose ∂u y ∂p a1 = + ; ∂y µ ∂x µ

∂w ∂p b1 + . µ ∂z µ

Integrando de nuevo con respecto a y, se tiene: u=

y 2 ∂p a1 y + + a2 ; 2µ ∂x µ

w=

y 2 ∂p b1 y + + b2 . 2µ ∂z µ

14. Lubricación de cojinetes

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En el caso más general, el cojinete (y = 0) se moverá con una velocidad cuyos componentes según los ejes x y z se designarán por u0 y w0 , respectivamente, y el eje (y = h) con otra cuyas componentes se llamarán uh y wh . Introduciendo estas condiciones de contorno en las expresiones de u y w, se tiene: y 2 − hy ∂p y + (uh − u0 ) + u0 ; 2µ ∂x h y 2 − hy ∂p y w= + (wh − w0 ) + w0 . 2µ ∂z h u=

El flujo de lubricante por unidad de ancho en la dirección del eje x y del eje y, respectivamente, vienen dados por: qx = −

h3 ∂p h + (u0 + uh ) ; 12µ ∂x 2

qz = −

h3 ∂p h + (w0 + wh ) ; 12µ ∂z 2

Si se considera un volumen de control paralelepipédico de lados dx, dy y h, el balance neto de flujo será:     ∂qz ∂qx dx dz − qz + dz dx. qx dz + qz dx − qx + ∂x ∂z Si se ha admitido la hipótesis de que el fluido es incompresible, ese balance tiene que ser cero; por consiguiente, se cumple: ∂qx ∂qz + = 0. ∂x ∂z Derivando las expresiones de qx y qy y sustituyendo en la ecuación del balance de flujo, queda:     ∂ ∂h3 ∂p ∂h ∂h ∂ h3 ∂p + = 6 (u0 + uh ) + 6 (w0 + wh ) . (11) ∂x µ ∂x ∂z µ ∂z ∂x ∂z Esta expresión constituye la ecuación de Reynolds para flujo bidimensional, que se maneja para el estudio de la lubricación de cojinetes. La ecuación (11) puede simplificarse de varias maneras. En primer lugar, se puede suponer que, aunque el eje y el cojinete sean excéntricos, se mantienen paralelos y, por tanto, ∂h ∂z = 0. Por otro lado, es admisible suponer que la viscosidad no varía de manera significativa a lo largo del recorrido del fluido. Es posible emplear un valor medio de la viscosidad, sin que por ello se deje de obtener un resultado suficientemente preciso. Si se introducen estas dos simplificaciones, la ecuación de Reynolds queda:   ∂p ∂2p ∂ ∂h h3 + h3 2 = 6µ (u0 + uh ) . ∂x ∂x ∂z ∂x En el caso más general, el eje girará con una velocidad angular ωe , el cojinete con otra ωc , y la carga con una tercera ωW . Puesto que se han despreciado las fuerzas de inercia, no hay inconveniente en referir las condiciones anteriores a un sistema de referencia móvil que gira solidariamente con la carga: ωe′ = ωe − ωW ;

ωc′ = ωc − ωW ,

15. Cálculo de cojinetes de deslizamiento radiales

65

con lo que las componentes de la velocidad en la dirección del eje x de las capas de fluido de contacto con el eje y del cojinete serán, respectivamente, uh = ωe′ r;

u0 = ωc′ (r + c) ≈ ωc′ r,

donde r es el radio del eje y c la holgura radial, que se ha despreciado en la expresión de u0 puesto que su valor es muy inferior al de r. Si ahora se hace ω = ωe′ + ωc′ = ωe + ωc − 2ωW . La ecuación de Reynolds queda de la forma:   ∂p ∂2p ∂ ∂h h3 + h3 2 = 6µωr . ∂x ∂x ∂z ∂x Recordando que los ejes x e y se habían tomado en dirección tangencial y radial, respectivamente, se puede hacer el cambio de variable x = rϕ. Se comprueba que el espesor de la película de lubricante h se puede expresar, de manera muy aproximada, como: h ≈ c + e cos ϕ, ya que la excentricidad tiene una valor muy pequeño. La ecuación de Reynolds queda finalmente:   ∂ ∂2p 3 ∂p (c + e cos ϕ) + r2 (c + e cos ϕ)3 2 = −6µωr2 e sen ϕ. ∂ϕ ∂ϕ ∂z Esta ecuación diferencial en derivadas parciales carece de solución general, a pesar de todas las simplificaciones introducidas. En 1904, Sommerfield publicó una de las primeras soluciones, obtenida por métodos de integración numérica. Su solución se basa en el supuesto de que no existen fugas laterales de lubricante, ∂p = 0. y que por tanto se cumple que ∂z Sommerfield encontró así una relación entre el coeficiente de fricción y el índice del cojinete de la forma:    r r 2 µn , f =G c c p donde G ya no es una función lineal como la que obtenía Petroff, sino que se presenta mediante una tabla de puntos.

15.

Cálculo de cojinetes de deslizamiento radiales

Integración de la ecuación de Reynolds Como ya se ha mencionado, no es posible obtener una solución general de la ecuación de Reynolds y se han de emplear métodos numéricos para su integración. Una posible solución del problema consiste en agrupar términos de la ecuación en parámetros adimensionales,

66

15. Cálculo de cojinetes de deslizamiento radiales

de forma que se reduzca el número de parámetros de partida para los que se ha de encontrar una solución numérica. Este procedimiento es el que se sigue para obtener la solución que se presenta a continuación. Si es posible encontrar solución a la ecuación de Reynolds (14), ésta se expresará de la forma: p = p(ϕ, z, c, e, r, µ, ω, P ), donde ϕ y z son las variables independientes de la ecuación diferencial —las coordenadas del punto en el que se calcula la presión— y el resto de parámetros son los datos del problema. Evidentemente, si ϕ y z son las variables independientes, la solución habrá de depender de ellas; sin embargo, mediante el análisis dimensional, las seis restantes se pueden reducir a dos. En primer lugar, se define el parámetro de excentricidad adimensional ǫ como ǫ = ec ; en función de él, la ecuación de Reynolds queda de la forma:    r 2 ∂2p ∂ 3 ∂p (1 + ǫ cos ϕ) + r2 (1 + ǫ cos ϕ)3 2 = −6µω ǫ sen ϕ. ∂ϕ ∂ϕ ∂z c Si ahora se hace el cambio de variable δ = zl y se introduce en la ecuación de Reynolds, ésta queda así:      r 2 ∂ r 2 ∂2p 3 ∂p (1 + ǫ cos ϕ) + (1 + ǫ cos ϕ)3 2 = −6µω ǫ sen ϕ. ∂ϕ ∂ϕ l ∂δ c Se hace un nuevo cambio de variable, γ =

p P

, con lo que resulta:

   2 1 d ∂2γ µω  r 2 ∂ 3 ∂γ (1 + ǫ cos ϕ) + (1 + ǫ cos ϕ)3 2 = −6 ǫ sen ϕ. ∂ϕ ∂ϕ 4 l ∂δ p c Teniendo en cuenta la definición del índice de Sommerfield S, el segundo término de la igualdad anterior puede escribirse como −12πSǫ sen ϕ, con lo que la ecuación de Reynolds queda finalmente:    2 ∂ ∂γ 1 d ∂2γ (1 + ǫ cos ϕ)3 + (1 + ǫ cos ϕ)3 2 = −12πSǫ sen ϕ. ∂ϕ ∂ϕ 4 l ∂δ La solución general de esta ecuación diferencial, si existiera, sería una función de la forma:   l γ = γ ϕ, δ, ǫ, , S ; d

ahora bien, el parámetro de excentricidad adimensional también se obtiene de la integración de la ecuación de Reynolds, 
y por tanto se podrá expresar en función de dl y S exclusivamente: ǫ = ǫ dl , S . Por ende, la solución general de la ecuación de Reynolds tendrá la forma:     l ,S . γ = γ ϕ, δ, d

15. Cálculo de cojinetes de deslizamiento radiales

67

En conclusión, la variable de presión adimensional γ se puede expresar como una función de las variables espaciales ϕ y δ, y únicamente dos parámetros adimensionales, dl y S, que, a su vez, pueden expresarse en función de los datos iniciales del problema. Comoquiera que sea, lo interesante no es tanto el valor de la presión del lubricante en cada punto como el valor de otros parámetros de funcionamiento, tales como el espesor mínimo de película, el coeficiente de fricción, etc. La variable adimensional de espesor mínimo de película puede expresarse como:    l hmín hmín ,S , =1−ǫ= c c d que se puede determinar exclusivamente en función de dl y S. Esos dos parámetros adimensionales son suficientes para definir otros muchos parámetros de operación, expresados siempre en forma de parámetros adimensionales. El valor máximo de γ (y por tanto de la presión en el lubricante) se obtiene de resolver el sistema de ecuaciones: ∂γ = 0; ∂ϕ

∂γ = 0, ∂δ

cuya solución proporcionará los valores de ϕpmáx y δpmáx correspondientes al punto de máxima presión. Introducidos en la expresión de γ, ésta dejará de depender de ϕ y de δ, de manera que se tendrá:    l ,S , γmáx = γmáx d o, lo que es lo mismo, pmáx pmáx = p p

   l ,S . d

Obviamente, esos valores de ϕpmáx y δpmáx serán también función de dl y S, ya que en el sistema de ecuaciones anterior, del que se obtienen sus valores, no aparecen más parámetros. La posición terminal de película es el punto donde finaliza la cuña de presión, y en consecuencia se obtiene imponiendo la condición γ = 0. Esta condición permite expresar ϕp=0 como:     l ,S ; ϕp=0 = ϕp=0 δ, d i.e., la posición terminal de la película de lubricante varía con δ o, lo que es lo mismo, con la coordenada z. Si se toma el valor de δ en el que se presenta el valor máximo de ϕp=0 (ϕ0 ), se tendrá que ϕ0 es función de dl y S exclusivamente:    l ,S . ϕ0 = ϕ0 d La componente vertical de la fuerza ejercida por el lubricante en la zona de presión sobre el eje debe contrarrestar la carga W que actúa sobre él, por lo

15. Cálculo de cojinetes de deslizamiento radiales

68

que, si φn es el ángulo formado por la línea de centros y la línea de acción de W , se ha de cumplir: Z l Z 2π W =− p(ϕ, z)rdϕdz cos (ϕ − φn ) ; 0

2rlP = − 2=−

Z lZ 0

Z lZ 0

0 2π

P γ(ϕ, δ)rdϕldδ cos (ϕ − φn ) ;

0 2π 0

γ(ϕ, δ) cos (ϕ − φn ) dϕdδ,

expresión esta última que permite determinar el valor del ángulo φn . Este ángulo define la posición del espesor mínimo de película con respecto a la línea de acción de la carga; por depender únicamente de la función γ(ϕ, δ), puede expresarse, al igual que ésta, exclusivamente en función de dl y S:    l ,S . φn = φn d El momento de las fuerzas de rozamiento viscoso del lubricante sobre el eje viene dado por:   Z l Z 2π Z l Z 2π τxy=h dϕ dδ. rτxy=h rdϕ dl = r2 l T = 0

0

0

0

Haciendo uso de la ley de Newton y de las expresiones, obtenidas anteriormente, de u y de h, se llega a:  r  ω′ − ω′ 1 + ǫ cos ϕ P ∂γ e c τxy=h = +µ . r 2 c 1 + ǫ cos ϕ c ∂ϕ Reemplazando esta expresión en la del par de fricción, se obtiene:  Z l Z 2π  r ωe′ − ωc′ 1 + ǫ cos ϕ P ∂γ dϕdδ. + µ T = r2 l r 2 c 1 + ǫ cos ϕ 0 0 c ∂ϕ

Ahora bien, teniendo en cuenta que T = 2f r2 lP , el par de fricción puede expresarse como:  Z l Z 2π  T 1 1 + ǫ cos ϕ ∂γ 1 µ  r  ωe′ − ωc′ f= 2 dϕdδ. = + r 2r lP 4 ∂ϕ 2 p c 1 + ǫ cos ϕ 0 0 c

Para el caso en que ωc′ sea nula, i.e., que ωc y ωW sean iguales, el coeficiente de fricción podrá expresarse como:   Z Z 1 l 2π 1 ∂γ S f= r (1 + ǫ cos ϕ) +π dϕdδ. 4 ∂ϕ 1 + ǫ cos ϕ 0 c 0

El término de la izquierda, llamado variable adimensional del coeficiente de fricción, se puede expresar también mediante una función de dl y S:  r   r   l   ,S . f = f c c d

15. Cálculo de cojinetes de deslizamiento radiales

69

El flujo total de lubricante que entra en la zona de la cuña de presión se puede expresar como la suma del flujo que sale de la zona de presión en dirección tangencial más el flujo flujo que se escurre por los lados del cojinete. El flujo en dirección tangencial que atraviesa una sección cualquiera ϕ vendrá dado por: Z l Z l qx ldδ, qx dz = Qϕ = 0

0

donde qx es el flujo de lubricante por unidad de ancho en la dirección del eje x.

En el caso que se está considerando, el cojinete es fijo y el eje se mueve con velocidad angular ω, de manera que: u0 = 0;

u h = ωr ,

con lo que la expresión de qx , ya obtenida anteriormente, se transforma en: qx = −c3

(1 + ǫ cos ϕ)3 P ∂γ 1 + ǫ cos ϕ +c ωr . 12µ r ∂ϕ 2

Sustituyendo esta expresión en la del flujo tangencial, se llega al siguiente resultado: " # Z (1 + ǫ cos ϕ)2 l ∂γ Qϕ = (1 + ǫ cos ϕ) π − dδ . rcnl 12S 0 ∂ϕ Particularizando esta ecuación para ϕ = ϕ0 , se obtendrá el flujo tangencial en la salida de la cuña de presión:   ! Z l 2 Q0 (1 + ǫ cos ϕ ) ∂γ 0 . = (1 + ǫ cos ϕ0 ) π − dδ rcnl 12S 0 ∂ϕ ϕ=ϕ0

El término de la derecha de la igualdad es función, nuevamente, de dl y S exclusivamente, por lo que el parámetro adimensional de la izquierda también lo será:    Q0 l Q0 ,S . = rcnl rcnl d Por otra parte, el flujo de lubricante que escurre por las dos caras del cojinete será: Z 2π

Qs =

0

[(qz )z=l − (qz )z=0 ] rdϕ,

donde qz es el flujo de lubricante por unidad de ancho —medido en dirección x— en la dirección del eje z. Si se tiene en cuenta que ni el eje ni el cojinete se mueven en la dirección del eje z —coincidente con la dirección axial del eje— y se introducen los anteriores cambios de variable, esta expresión queda de la forma: (1 + ǫ cos ϕ)3 P ∂γ , qz = −c3 12µ l ∂δ

15. Cálculo de cojinetes de deslizamiento radiales

70

con lo que se llega a: Qs 1 =−
2 rcnl 48 dl S

Z

2π

0

(1‘ǫ cos ϕ)2



∂γ ∂δ



δ=l

−



∂γ ∂δ



δ=0



dϕ.

Se aprecia, una vez más, que el parámetro adimensional del término de la izquierda es función únicamente de dl y S. Evidentemente, el flujo total de lubricante que entra en la zona de presión es la suma del flujo tangencial en dicha zona más el flujo lateral:    Q l Q0 Qs Q ,S . = + = rcnl rcnl rcnl rcnl d Se aprecia que el parámetro adimensional de flujo, que aparece en el término de la izquierda de la última ecuación, es también función de dl y S. Diagramas de Raimondi y Boyd El trabajo de Raimondi y Boyd consistió, básicamente, en seleccionar una serie de valores de S y de dl y, para cada par
de valores S, dl , realizar los cálculos descritos en el epígrafe anterior. Concretamente, para S se tomaron valores discretos suficientemente próximos, en el intervalo entre 0 y 10; para dl se tomaron cuatro valores: 14 , 12 ,1 e ∞. Este proceso se repitió para diferentes ángulos de cubrimiento del cojinete, entre 60◦ y 360◦ . En cada uno de los casos, se integraba la ecuación de Reynolds aplicando las condiciones de contorno. Una vez que S y dl toman valores concretos, la ecuación se puede integrar por métodos numéricos. Se obtiene así una tabla de valores de γ para cada punto del dominio (ϕ, λ) discretizado. Aplicando las condiciones de extremo a la función γ(ϕ, λ), se obtienen los valores de ϕ y λ donde se localiza la presión máxima y el valor de ésta: γmáx =

pmáx = γ (ϕpmáx , λpmáx ) . P

En el caso de cojinetes con lubricación natural, el eje toma el lubricante a presión nula y lo arrastra a la zona de presión, en uno de cuyos puntos se producirá la presión máxima.15 En el caso de cojinetes lubricados a presión, el eje toma el lubricante a la presión de suministro, con lo que la presión será ps en los bordes de la ranura, nula en los extremos, y variará de forma más o menos lineal en las secciones intermedias. La presión máxima absoluta será en este caso la suma de la presión máxima más la presión de suministro, y estará localizada en las secciones situadas a ambos lados de la ranura. Raimondi y Boyd publicaron resultados para el caso de lubricación natural; para la lubricación a presión, los flujos se pueden calcular mediante ecuaciones, de la forma siguiente. l′ =

El cojinete se puede suponer equivalente a dos cojinetes iguales de longitud l−lr W 2 , cada uno de los cuales soportará una carga 2 , ya que el eje no apoya

15 Por

consideraciones de simetría, se demuestra que λpmáx = 0,5.

15. Cálculo de cojinetes de deslizamiento radiales

71

sobre la ranura. El aceite se introduce en la ranura a una presión de suministro ps ; rellena totalmente la ranura y fluye en dirección axial hacia ambos extremos del cojinete. Debido a la presión de suministro, este flujo es muy superior al flujo transversal producido por el arrastre del eje, de manera que, con muchas aproximaciones, se cumple QQs = 1. Si se admite que el flujo es fundamentalmente axial, se ha de admitir también que la distribución de velocidades —que tendrán la dirección del eje x— será simétrica respecto de la línea media del intervalo h, en la que se ha situado el eje x. Si se considera un volumen elemental de lubricante de espesor unidad, longitud dx y altura 2y, centrado respecto del eje x, en virtud de la ley de Newton el esfuerzo cortante τ en la cara superior del volumen será igual al que actúa en la cara interior. Por otra parte, la presión del aceite en x = 0 coincidirá con la presión de suministro, e irá disminuyendo hasta hacerse nula en el extremo, x = l′ . Si se admite que esta variación de la presión es lineal, se tiene:  x p(x) = ps 1 − ′ . l La distribución de velocidades resulta ser:  2  h ps 2 − y . u= 2µl′ 4 Así, el flujo axial por unidad de ancho será:  Z h2  2 h ps 3 ps 2 dy = h , − y qx = 2µl′ − h2 4 12µl′ y el flujo axial total será la integral del flujo axial por unidad de ancho, extendida a todas las secciones radiales del cojinete: Z 2π Z 2π ps 3 ps 3 Qsd = h rdϕ = rc (1 − ǫ cos ϕ)3 dϕ. ′ ′ 12µl 12µl 0 0

Si se desarrolla el término de dentro de la integral mediante el binomio de Newton, se tiene: Z 2π Z 2π
3 1 + 3ǫ2 cos2 ϕ dϕ, (1 − ǫ cos ϕ) dϕ = 0

0

puesto que las integrales entre 0 y 2π de cos ϕ y de cos3 ϕ son ambas nulas, por ser funciones simétricas respecto del punto medio del dominio de integración. El flujo que escurre por el extremo de la derecha del cojinete es:
ps rc3 2π 1 + 1,5ǫ2 , Qsd = 12µl′

y el flujo total será la suma del que escurre por el extremo de la derecha más el que escurre por el de la izquierda; como, por simetría, ambos flujos deben ser iguales, se tiene:
πps rc3 Qs = 1 + 1,5ǫ2 . ′ 3µl

15. Cálculo de cojinetes de deslizamiento radiales

72

Los resultados de Raimondi y Boyd se presentaron en forma de gráficas, en cuyos ejes de ordenadas se representaba el valor del parámetro adimensional correspondiente (ǫ, φh , etc.), en el de abscisas el índice del cojinete S, y en cada diagrama cuatro curvas correspondientes a los cuatro valores considerados de dl . En el caso de que la relación dl del cojinete a analizar no corresponda con ninguno de los cuatro valores característicos de las curvas de los diagramas ( 14 , 12 , 1 o ∞), lo más correcto es emplear la ecuación: y=

1− "

l d




1 − 2 dl
l 3 d




1 − 4 dl




y1/2 y1/4 y∞ y1
−
+
− + l l 8 3 1− d 4 1 − 2d 24 1 − 4 dl

#

Balance térmico En la práctica real del diseño, habitualmente se desconoce la viscosidad media de operación del aceite. Se puede suponer que esta viscosidad media será la correspondiente a una temperatura media de operación Tm igual a la media aritmética entre las temperaturas de entrada Te y de salida Ts del aceite, lo que permitiría calcular la viscosidad media de operación del lubricante mediante la curva de viscosidad correspondiente. No obstante, eso no resuelve el problema; es razonable pensar que se conozca la temperatura de entrada del lubricante, pero no la de salida, que depende del calor generado, que a su vez depende de la fricción y por tanto de la viscosidad. El cálculo debe resolverse, en definitiva, mediante un proceso iterativo. Las ecuaciones de balance térmico, aunque se fundamentan sobre el mismo principio, son diferentes para cojinetes con lubricación natural y con lubricación a presión.

Lubricación natural La potencia perdida por fricción se puede expresar como el producto del par de fricción por la velocidad angular: H = T ω = 4πf r2 lP n. Esta potencia debe ser evacuada en forma de calor por el lubricante, con lo que la temperatura de éste, entre la entrada y la salida de la zona de presión, aumenta una magnitud ∆T . El flujo de lubricante que atraviesa la zona de presión es Q − Qs . Por otra parte, el flujo lateral Qs no sale a temperatura uniforme, sino a una temperatura que dependerá del punto de la zona de presión por el que escurra. En cualquier caso, puede admitirse que la temperatura media del flujo lateral es igual a la media aritmética de las temperaturas de entrada y salida, y que por tanto: 1 Te + Ts = Te + ∆T. Tm = 2 2 El calor evacuado en la unidad de tiempo por el lubricante será tal que ocasionará una elevación de la temperatura de valor ∆T en el flujo de lubricante Q − Qs , y una elevación ∆T 2 en el flujo de lubricante Qs . Así, si γ es el peso

15. Cálculo de cojinetes de deslizamiento radiales

73

específico del lubricante y cH su calor específico, el calor evacuado en la unidad de tiempo será:   1 Qs c = (Q − Qs )γcH ∆T + Qs γcH ∆T 1 − . 2 Q Este calor tiene que ser igual a la potencia perdida por fricción, por lo que ha de cumplirse:   r P 4π cf . ∆T = Q JγcH 1 − 21 QQs rcnl

Ni el peso específico ni el calor específico varían de manera significativa en los aceites lubricantes, por lo que el término entre paréntesis de esta última ecuación es sensiblemente constante. Puede tomarse el valor 0,103 para unidades psi, ◦ F; y 8,3 para MPa, ◦ C. Lubricación a presión La potencia perdida por fricción es, en este caso: H = T ω = 2πf rW n. En esta ocasión, todo el calor será evacuado por el flujo lateral de lubricante Qs , cuya temperatura pasa de Te a Ts , lo que permite suponer un incremento de temperatura medio de ∆T 2 , igual que en el caso anterior. La expresión de ∆T resulta ser: 12 f W nµl′ ∆T = . JγcH ps c3 (1 + 1,5ǫ2 ) La carga que soporta cada uno de los semicojinetes en que la ranura divide al conjunto lubricado a presión es la mitad de la carga total, por lo que la carga W por unidad de área proyectada sobre cada semicojinete será P = 4rl ′ , con lo que el índice del cojinete vendrá dado por:  r 2 µn  r 2 µn4rl′ S= = . c P c W

Sustituyendo en la expresión de ∆T :    r 3 SW 2 . ∆T = f JγcH c (1 + 1,5ǫ2 )ps r4

El término entre paréntesis se puede igualar a 0,0246 para unidades inglesas y a 1956 · 106 para kN, kPa, mm y ◦ C. Viscosidad y temperatura media de operación En un problema estándar, los datos de partida son: la velocidad de rotación del eje ω y la carga radial inducida en el cojinete W ; las dimensiones del cojinete, y el tipo de aceite, o sea, su curva característica de variación de la viscosidad con la temperatura, temperatura de entrada y presión de suministro.

El primer paso a realizar consiste en calcular la velocidad de giro n, la carga por unidad de área proyectada P y la relación dl . A partir de ahí, debe desarrollarse un proceso iterativo de la siguiente manera: primero, se supone un valor

74

16. Otros cojinetes de deslizamiento

de la viscosidad media; segundo, con ese valor de la viscosidad se calcula el índice del cojinete S; tercero, se calculan los parámetros adimensionales necesarios para la ecuación de balance térmico; cuarto, se aplica la ecuación de balance térmico y se calcula el incremento de temperatura y, con él, la temperatura media de operación; si esta temperatura se corresponde con la viscosidad supuesta en el primer paso, el proceso finaliza; si no, hay que realizar otra hipótesis. Si la temperatura media calculada resulta ser inferior a la supuesta, debe concluirse que la viscosidad aplicada en los cálculos era pequeña, pues la fricción produjo menos calor del necesario para igualar la hipótesis y los hechos. El siguiente tanteo deberá hacerse pues con una viscosidad mayor y, por tanto, con una temperatura media de operación menor. Y viceversa. Existen algunas situaciones en las que se puede omitir este proceso iterativo. Supóngase que se conoce el valor de la potencia perdida por fricción, o que ésta se quiere imponer como condición de diseño, y se ha de calcular la temperatura a la que hay que suministrar el aceite. A partir de la potencia perdida por fricción, puede calcularse el coeficiente de fricción y, entrando con su valor adimensional en la tablas, calcular la viscosidad media, etcétera.

16.

Otros cojinetes de deslizamiento

Cojinetes de empuje con lubricación hidrodinámica Un cojinete de deslizamiento axial —o de empuje— consiste en discos perpendiculares al de rotación; uno de ellos está unido al eje y, por tanto, posee movimiento rotatorio solidario a éste; el otro está fijo a la bancada y presenta una serie de ranuras en dirección radial, por las que el lubricante entra y sale. La ecuación de Reynolds que regula el comportamiento del fluido es, en este caso:   ∂ ∂ 2p ∂h 3 ∂p h + h3 2 = 6µ(u0 + uh ) , ∂x ∂x ∂t ∂x donde u0 = 0, puesto que el disco fijo no se mueve. Si se desprecian las pérdidas ∂p laterales —i.e., se hace ∂x = 0— y se admite que las superficies de ambos discos con paralelas —i.e., se toma h = cte.—, la ecuación de Reynolds se simplifica a: ∂ 2p = 0. ∂x2 Ahora bien, si se integra esta ecuación, teniendo en cuenta que la presión en todos los puntos del perímetro de la almohadilla la presión es nula, se llega al resultado de que p = 0 en todo el cojinete, por lo que éste no puede soportar carga alguna. De ahí se sigue que no es posible lograr el efecto hidrodinámico en cojinetes de deslizamiento axiales si las superficies de los discos son paralelas. Por ello, los cojinetes de empuje se fabrican siempre con almohadillas de superficies inclinadas. Llamando h0 a la distancia mínima entre las superficies de ambos discos, y h0 + sh a la máxima, se puede escribir:  x h = h 0 + sh 1 − , l

16. Otros cojinetes de deslizamiento

75

y el resultado de integrar la ecuación de Reynolds queda: ∂p 6µuh B0 + 3, = ∂x h2 h donde B0 es una constante de integración cuyo valor se puede obtener de las condiciones de contorno. De acuerdo con esta expresión, la presión no es constante, pero es nula en todo el contorno de la almohadilla. Teniendo en cuenta que ha de haber un punto intermedio en el que la presión sea máxima, la condición de contorno se traduce en: B0 = −6µuhhm , con lo que el gradiente de presión queda:

6µuh ∂p (h − hm ). = ∂x h3 Cojinetes con lubricación hidrostática Los cojinetes con lubricación hidrodinámica son simples, fiables y baratos; sin embargo, presentan algunos inconvenientes de importancia considerable: – Si las velocidades son bajas, puede que no sea posible alcanzar el efecto hidrodinámico. – La lubricación puede fallar durante las operaciones de arranque y parada y en los cambios de giro. – Los ejes soportados por cojinetes radiales hidrodinámicos trabajan excéntricamente y en una posición relativa respecto del cojinete que varía con la carga, lo que significa menor rigidez. En los cojinetes con lubricación hidrostática, las superficies están separadas por una película de fluido lubricante, que se mantiene mediante una fuente de presión externa al cojinete. Así, presentan varias ventajas notables: coeficiente de fricción extremadamente bajo, carga muy elevada a bajas velocidades, alta precisión de posicionamiento. . . El inconveniente es que necesitan un sistema de lubricación más complicado y, por tanto, más caro, que los cojinetes con lubricación hidrodinámica. Para estudiar los cojinetes hidrostáticos, debe plantearse la ecuación de Reynolds e integrarla considerando las condiciones de contorno que procedan. En el caso de un cojinete de empuje, ejemplo bastante frecuente en lubricación hidrostática, el aceite se suministra a una presión ps por el orificio del cojinete, se almacena a la misma presión en la cavidad practicada en la base del eje, y de allí fluye en dirección radial. Se puede admitir que la presión varía únicamente con la distancia al centro, pero no con la posición angular ni la altura, de manera que: p = p(r). Planteando el equilibrio de fuerzas en un volumen elemental de lubricante, teniendo en cuenta la ecuación de Newton e imponiendo que la velocidad radial

16. Otros cojinetes de deslizamiento

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debe ser nula en y = 0 y en y = h, se llega a:
y 2 − hy ∂p ur = . 2µ ∂r El flujo total que atraviesa una superficie vertical situada a una distancia r del centro, de altura h y espesor angular unidad, es: qr = r

Z

h

0

ur dy = −

h3 ∂p r . 12µ ∂r

Puesto que el volumen que atraviesa las sucesivas superficies, a diferentes distancias del entro, ha de ser constante, se ha de cumplir:   ∂p ∂ ∂qr r = 0. = 0; ∂r ∂r ∂r Integrando la segunda ecuación, resulta: p=

ln rr0 ln rr0i

ps .

El flujo total de lubricante a suministrar será: Qr =

πh3 ps . 6µ ln rr0i

La carga axial sobre el cojinete, W , tiene que ser tal que contrarreste la fuerza que el lubricante ejerce sobre el eje, resultando W =


πps r2 − ri2 . 2 ln rr0i 0

Por lo general, W será dato del problema, y esta última expresión servirá para calcular la presión de suministro ps . La expresión de Qr permitirá relacionar el espesor de película del lubricante con el flujo que es necesario suministrar para conseguir ese espesor. La expresión resultante es: h3 =


3µQr 2 r0 − ri2 . W

Cojinetes con lubricación al límite Puede suceder que no sea posible alcanzar el efecto hidrodinámico en la lubricación cuando el índice del cojinete S toma valores muy bajos. Esto puede ocurrir: cuando la viscosidad es baja, cuando la velocidad de giro es baja, o cuando la carga es alta. También puede ocurrir los mismo en condiciones transitorias de operación, o cuando la alimentación de lubricante no es adecuada. Es frecuente, asimismo, que las condiciones de lubricación al límite no se den en todo el cojinete, sino sólo en parte del mismo, coexistiendo con las condiciones

16. Otros cojinetes de deslizamiento

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de lubricación hidrodinámica en otra parte. Este tipo de lubricación se conoce como lubricación mixta. Las condiciones de operación en las que tiene lugar la lubricación mixta son tan diversas que no es posible formular un modelo que proporcione un criterio de diseño fiable. Se suele admitir como válido un cojinete que disipe adecuadamente el calor generado por la fricción. Para ello se emplea la ecuación: PV =

k(Ta − T0 ) , fM

donde P es la carga por unidad de área proyectada del cojinete, V la velocidad periférica del eje respecto del cojinete, Tc la temperatura de la superficie interior del cojinete, T0 la temperatura ambiente, fM el coeficiente de fricción para lubricación mixta, y k un coeficiente que depende de la capacidad de transmisión de calor del conjunto. Cojinetes lubricados por gas Los cojinetes lubricados por película de gas son bastante similares a los cojinetes con lubricación hidrostática, con la salvedad de que, en este caso, el fluido lubricante es compresible, y que su viscosidad es unas mil veces menor que la de los aceites. Así, se originan pérdidas por fricción extremadamente pequeñas, pero también espesores de capa límite muy pequeños, lo que obliga a fabricar y montar estos cojinetes con tolerancias y ajustes muy precisos. El campo de aplicación de los cojinetes lubricados por gas son las operaciones a temperaturas extremas, a velocidades muy altas o con requerimientos exigentes de ausencia de elementos contaminantes.