Técnicas de Conteo

 

PROABILIDAD Y EST ESTADÍSTICA ADÍSTICA

Tecnicas de conteo Técnicas de Conteo

Kevin Alexander Soto

 

Las técnicas de conteo son una serie de métodos de probabilidad para contar el número posible de arreglos dentro de un conjunto o varios conjuntos de objetos. Estas se usan cuando realizar las cuentas de forma manual se convierte en algo complicado debido a la gran cantidad de objetos y/o variables. permu rmutac tacion iones es y Se les denomina técnicas de conteo a: las combinaciones, pe diagrama   d e árbol, las que a continuación se explicarán y hay que destacar que éstas proporcionan proporcionan la infor información mación de todas las maneras maneras posibles en que que ocurrenos un evento determinado. Las bases para entender el uso de las técnicas de conteo son el principio: •Multiplicativo • Aditivo  Aditivo

 

Técnicas de Conteo

PRINCIPIO MULTIPLICATIVO 

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Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde:

el primer paso de la actividad activi dad a realizar puede ser llevado a cabo de N1 maneras o formas, el segundo paso de N 2 maneras o formas

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y el n-ésimo paso de N n maneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de: N1 x N2 x ..........x Nn maneras o formas 

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Ejemplo:Vamos a imaginar a una persona que quiere construir un colegio. Para ello, considera que la base del edificio edifici o puede construirse de dos maneras distintas, cemento o concreto. En cuanto a las paredes, pueden ser de adobe, cemento o ladrillo. En cuanto al techo, este puede construirse de cemento o lámina galvanizada. Finalmente, la pintura final sólo puede realizarse de una forma. La pregunta que se plantea es la siguiente: ¿Cuántas formas tiene de construir el colegio? En primer lugar, consideramos el número de pasos, que serían la base, las paredes, el tejado y la pintura. En total, 4 pasos, por lo que r=4. Lo siguiente sería enumerar las N:

 

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N1= formas de construir la base=2

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N2= formas de construir las paredes=3

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N3= formas de hacer el tejado = 2

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N4= formas de realizar pintura = 1

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Por lo tanto, el número de formas posibles se calcularía mediante la fórmula antes descrita: N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 formas de realizar el colegio.

 

Técnicas de Conteo Ejemplo:

PRINCIPIO ADITIVO

Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas alternativas para ser realizada, donde: la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas,

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la maneras segunda oalternativa puede realizarse de N formas ..... y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad pue puede de ser llevada a cabo de: M + N + .........+ W maneras o formas

Imaginemos esta vez a una persona que quiere comprar una raqueta de tenis. Para ello, tiene tres marcas a elegir: Wilson, Wils on, Babolat o Head. Cuando va a la tienda ve v e que la raqueta Wilson puede comprarse con el mango de dos tamaños distintos, L2 o L3 en cuatro modelos distintos y puede ser encordada o sin encordar.

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La raqueta Babolat, en cambio, tiene tres mangos (L1, L2 y L3), hay dos modelos diferentes y puede también ser encordada o sin encordar. La raqueta Head, por su parte, sólo está con un mango, el L2, en dos modelos diferentes y sólo sin encordar. La pregunta es: ¿Cuántas formas tiene esta persona de comprar su raqueta?

 

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M = Número de formas de seleccionar una raqueta Wilson N = Número de formas de seleccionar una raqueta Babolat W = Número selecc ionar una raqueta Headde formas de seleccionar

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Realizamos el principio multiplicador:

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M = 2 x 4 x 2 = 16 formas

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N = 3 x 2 x 2 = 12 formas

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W = 1 x 2 x 1 = 2 formas

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M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 formas de elegir una raqueta. Para saber en qué momento hay que utilizar el principio multiplicativo y el aditivo, únicamente hay que fijarse en si la actividad tiene una serie de pasos para realizarse, y si existen varias alternativas, el aditivo.

 

Técnicas de Conteo

Principio multiplicativo y aditivo ¿Cómo podemos distinguir cuando hacer uso del principio multiplicativo y cuando del aditivo?

Es muy simple, cuando se trata de una sola actividad, la cual requiere para ser llevadamultiplicativo a efecto de o una de pasos, entonces haremos uso del principio multiplicativ y siserie la actividad a desarrollar o a ser efectuada tiene alternativas para ser llevada a cabo, haremos uso del principio aditivo.

 

Permutación y combinación Para entender lo que son las permutaciones es necesario definir lo que es una combinación y lo que es una permutación para establecer su diferencia y de esta manera entender claramente cuando es posible utilizar una combinación y cuando utilizar una permutación al momento de querer cuantificar los elementos de algún evento.

COMBINACIÓN:

PERMUTACIÓN:

Es todo arreglo de elementos en donde Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa interesa el lu lugar gar o pos posición ición que no nos interes interesa a el luga lugarr o posic posición ión que ocupa cada uno de los elementos que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo. constituyen dicho arreglo. Para ver de una manera objetiva la diferencia entre una combinación y una permutación, plantearemos cierta situación:

 

Permutaciones

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Imaginemos una clase con 35 alumnos, y con las siguientes situaciones: El profesor quiere que tres de sus alumnos le ayuden a mantener la clase limpia o entregar materiales a los otros alumnos cuando lo necesite.

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En este caso, ¿importaría el orden? La respuesta es sí, ya que si cambiamos los elementos, cambia cambia el resultado. Es decir, si en vezcomo de poner a Juan como presidente, le ponemos asistente, ya María como presidente, el resultado final cambiaría. En este caso se trata de una permutación.

El profesor quiere nombrar a los delegados de clase (un presidente, un asistente y un financiero). La solución sería la siguiente: Imaginemos que por votación se elige a Juan, María y Lucía para limpiar la clase o entregar los materiales. Obviamente, podrían haberse formado

 Ahora imaginemos imaginemos que se eligen a Juan como presidente, a María como asistente y a Lucía como financiera.

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Una vez vez compre comprendida ndida la dif diferenci erencia, a, vamo vamoss a obtener las fórmulas de las permutaciones y de

otros grupos de tres personas, entre los 35 alumnos posibles.

las combinaciones. Sin embargo, antes hay que

Debemos preguntarnos lo siguiente: ¿es importante el orden o la posición que ocupa cada uno de los alumnos a la hora de seleccionarlos? Si lo pensamos, vemos que realmente no es importante, ya que el grupo va a encargarse de las dos labores por igual. En este caso, se trata de una combinación, ya que no nos interesa la posición de los elementos.

utilizará en las distintas fórmulas.

definir el término “n!” (ene factorial), ya que se

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n!= al producto desde 1 hasta n. n!= 1 x 2 x 3 x 4 x………..x n

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Utilizándolo con números reales:

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10!=1 x 2 x 3 x 4 x………x 10=3,628,800 5!= 1 x 2 x 3 x 4 x………x 5=120

La fórmula de las permutaciones sería la siguiente: nPr=n!/(n-r)! Con ella podremos averiguar los arreglos donde el orden es importante, y donde los n elementos son distintos.

 

Técnicas de Conteo

Fórmula para calcular las Permutaciones 

Fórmula de permutaciones de r objetos tomados de entre n objetos

  nPr  

n n

r 

Esta fórmula nos permitirá obtener todos aquellos arreglos en donde orden es importante se usen parte (r) deel los n objetos con que ysesolo cuenta, además hay que hacer notar que no se pueden repetir objetos dentro del arreglo, esto es, los n objetos son todos diferentes.

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Combinación

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las combinaciones son los arreglos en donde no nos importa el la posición de los elementos. Su fórmula es la siguiente: nCr=n!/(n-r)!r!

Ejemplo: Si existen 14 alumnos que quieren ser voluntarios para limpiar el aula, ¿cuantos grupos de limpieza podrán formarse cada grupo ha de ser de 5 personas? La solución, por tanto, sería la siguiente: n = 14, r = 5 14C5 = 14! / (14 – 5 )!5! = 14! / 9!5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9!/ 9!5!= 2002 grupos

 

Diagrama de árbol

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Los diagramas en árbol son especialmente útiles para resolver problemas con experimentos compuestos, es decir, aquellos donde realizamos más de un experimento aleatorio. Algunos ejemplos de experimentos compuestos son: tirar dos monedas al aire, y mirar si salen dos caras, contar si hay dos mujeres de entre tres hijos, sacar dos bolas de una urna, y mirar si hay una roja y una azul. Supongamos el siguiente problema:

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Ejemplo Un médico general clasifica a sus pacientes de acuerdo a: su sexo (masculino o femenino), tipo de sangre (A, B, AB u O) y en cuanto a la presión sanguínea (Normal, Alta o Baja). Mediante un diagrama de árbol diga en cuantas clasificaciones pueden estar los pacientes de este médico?

 

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Si contamos todas las ramas terminales, nos damos cuenta que el número de clasifi cla sificaci cacione oness son 2 x 4 x 3 = 24 misma mismass que podemos enumerar; MAN, MAA, MAB, MBN, MBA, MBB, etc, etc.