Técnicas de Conteo

TÉCNICAS DE CONTEO (Análisis Combinatorio) La teoría combinatoria estudia los métodos que permiten contar el número de diversos arreglos o selecciones que puede formarse con los elementos de conjuntos finitos. Entre sus aplicaciones prácticas está el cálculo de probabilidades, al permitir enumerar los casos favorables y casos posibles. Tiene también utilidad en otras ramas, como por  ejemplo, el cálculo de la complejidad o tiempo de ejecución de un algoritmo o programa informático, al estimar el número de operaciones que se realizan en un procedimiento algorítmico. Definiciones previas: El factorial de un número natural n, que se denota por  n!, se define como: n!=1·2·3...n,  por convención se define 0!=1.

El número combinatorio de n en k, que se denota por 

 n n! =  k  k !(n− k ) ! Propiedades

 n      k 

, se define como:

 = =1 0    nn

a)

n

     n  n  = = = 1   − 1 k   n− k nn

 b)

n

c)

n

PRINCIPIO FUNDAMENTALES Principio de la Adición Si A pued puedee reali realizar zarse se de n formas formas diferente diferentess y B puede puede realiza realizarse rse de m formas diferentes diferentes y ambos ambos no pueden realizarse simultáneamen simultáneamente te (solo se puede puede llevar llevar a cabo uno uno de los los 2) ento entonc nces es A o B pued pueden en reali realiza zars rsee de n+m formas diferentes. Este resultado se puede generalizar a más de 2 procesos. Ejemplo: Una repuesto de auto se vende en 6 tiendas de la ciudad A y en 8 tiendas de la ciudad B. ¿En cuantas tiendas se puede adquirir el repuesto? Respuesta: 6+8=14

Principio de la Multiplicación Si un proceso proceso puede puede dividirse dividirse en dos dos etapas etapas o fases (simultáneas (simultáneas o no) no) y una puede puede realizarse de n formas diferentes y la otra de m formas diferentes, entonces el proceso  puede efectuarse de n·m formas diferentes. Este resultado se puede generalizar a más de 2 etapas o fases. Ejemplos: Se dispone de 3 vías para viajar de C1 a C2 y de 4 vías para viajar de C2 a C1. ¿De cuántas formas se puede organizar el viaje de ida y vuelta de C1 a C2. Respuesta: 3·4=12 Una matrícula para vehículos consta de 2 letras (considerar 26 letras del alfabeto) y a continuación 3 dígitos.

a) ¿Cuántas matrículas pueden hacerse si las 2 letras son diferentes y también los 3 dígitos son diferentes? Respuesta: 26·25·10·9·8 26·25·10·9·8 = 468 000  b) ¿Cuántas matrículas pueden hacerse si las letras pueden coincidir e igualmente los dígitos pueden ser iguales? Respuesta: 26·26·10·10·10 26·26·10·10·10 = 676 000

TECNICAS DE CONTEO Permutación Si se tiene los elementos a 1, a 2, ..., a n, cada ordenamiento diferente de esos n elementos reci recibe be el nomb nombre re de perm permut utac ació ión. n. Es impo import rtan ante te resa resalt ltar ar que que el orde orden n es una una característica importante en la permutación, cuando variamos el orden de los elementos se dice que permutamos dichos elementos y se obtiene otra permutación. El número total de permutaciones de n elementos es n! Ejemplo: El número total de permutaciones que se puede puede obtener con las letras A, B y C será: 3!=3.2=6, éstas serán: ABC BAC CAB ACB BCA CBA

Permutaciones con repetición Dados n elementos de los cuales k 1 son de la clase 1, k 2 son de la clase 2,... y k m son de la clase clase m, llamam llamamos os permut permutacio aciones nes con repeti repetició ción n de n element elementos os a los posibl posibles es arreglos que podemos formar con n elementos, donde dos arreglos son distintos si varía el orden de los elementos diferentes. -

import importaa el orden orden entr entree los los dist distint intos os pero pero no no entre entre los iguales iguales.. se uti utili lizan zan todo todoss los los elem elemen ento toss (n) (n) de que que se se disp dispon one. e.

k  , k 2 , ... ... , k m

Pn 1

=

n! k 1! k 2 ! ... k m !

Formas diferentes en que puede seleccionarse k elementos tomados de un grupo de n elementos Variaciones: Si el orden de los k  elementos es importante (ordenamientos diferentes de los k  elemen elementos tos se consid considera era una forma forma distin distinta ta de selecci selecciona onarr los k  elementos) entonces se llama variaciones. n El número de variaciones es igual a Vk  =

n! (n − k )!

Combin Combinaci acione ones: s: Si el orden orden de los k  elementos elementos no es importante importante (ordenamient (ordenamientos os diferen diferentes tes de los k  elemento elementoss se consid considera era la misma misma forma forma de selecci selecciona onarr los k  elementos) entonces se llama combinaciones.

 n  

n!

n El número de combinaciones es igual a Ck  =      =  k   k !(n − k )!

Ejemplo: Determinar los diferentes arreglos que se pueden hacer con las letras a, b y c tomadas de dos en dos Solución: Los arreglos pueden ser: ab, ba. ac, ca, bc, cb Como se considera que el orden de los elementos es esencial se calculan las variaciones con n=3 y k=2. 3

V2

=

3! (3 − 2)!

=6

Ejemplo: Determinar los diferentes subconjuntos que se pueden obtener con las letras a, b y c tomadas de dos en dos Solución: Sea el conjunto {a, b, c}, entonces los subconjuntos pueden ser: {a, b}, {a, c}, {b, c}. Como se considera que el orden de los elementos carece de importancia se calculan las combinaciones con n=3 y k=2.

 3   3!    = 2   2!(3 − 2)! = 3     Ejemplo: Si disponemos de 5 puntos no colineales, ¿cuál es el máximo número de triángulos que se podrán formar? Solución : Para dibujar un triángulo solo es necesario 3 puntos en el plano, luego se escogerán 3 puntos (k=3) de un total de 5 puntos (n=5). Además no importa el orden, ya que el triángulo ABC es igual al CBA; por lo tanto se trata de una combinación.

 5   5! 5.4.3!  3    = 3!(5 −3)! = 3!2 =10     Ejercicios 1. ¿Cuántos ¿Cuántos números números de de 2 cifras se se pueden pueden formar con con los dígito dígitoss 1, 3, 5 y 7? 2. Se dispone dispone de 4 frutas frutas diferen diferentes tes ¿Cuánto ¿Cuántoss sabores sabores diferent diferentes es de jugo jugo podrá  prepararse con estas frutas?