Técnicas de Conteo con Problemas Resueltos

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*. ¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar con las letras n, l, o, e; así no tengan sentido? nloe, nleo, nelo, neol, nole noel, lnoe, lneo, leno, leon, lone, loen, elon, elno, enlo, enol, eoln, eonl, olne, olen, oeln, oenl, onle, onel. *. Cuántos números de tres cifras se pueden construir con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 si ninguno se puede repetir

*. De cuántas maneras se puede escoger un comité de 4 hombres de un grupo de 8?

*. ¿Cuántas palabras diferentes, aun sin significado, se pueden formar con las letras de la palabra amorosos?

*. Cuántos números de cuatro cifras existen?

*. ¿De cuántas maneras se pueden colocar dos anillos diferentes en la misma mano, de modo que no estén en el mismo dedo? *. Al lanzar cinco dados de distintos colores ¿cuántos resultados podemos obtener? *. Con los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6: a ¿Cuántos números distintos de siete cifras podríamos formar? b ¿Podremos numerar a los 3224564 habitantes de una ciudad con esos números? *. Se lanzan al aire uno tras otro cinco dados equilibrados de seis caras. ¿Cuál es el número de casos posibles? *. ¿Cuántos números de seis cifras existen que estén formados por cuatro números dos y por dos números tres? *. Lola tiene 25 bolitas (10 rojas, 8 azules y 7 blancas) para hacerse un collar. Engarzando las 25 bolitas en un hilo, ¿cuántos collares distintos podrá realizar? *. ¿Cuántas palabras distintas, con o sin sentido, podremos formar con las letras de la palabra educación? ¿Y con la palabra vacaciones? *. Un grupo de amigos formado por Raúl, Sonia, Ricardo y Carmen organizan una fiesta, acuerdan que dos de ellos se encargarán de comprar la comida y las bebidas ¿De cuántas formas posibles puede estar compuesta la pareja encargada de dicha misión?

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*. Una fábrica de helados dispone de cinco sabores distintos (vainilla, chocolate, nata, fresa y cola) y quiere hacer helados de dos sabores ¿Cuántos tipos de helado podrán fabricar? *. Un grupo de amigos y amigas se encuentran y se dan un beso para saludarse. Si se han dado en total 21 besos, ¿cuántas personas había? *. En una carrera de 500 metros participan doce corredores ¿De cuántas maneras pueden adjudicarse las medallas de oro, plata, bronce? *. ¿De cuántas formas pueden cubrirse los cargos de presidente, vicepresidente, secretario y tesorero de un club deportivo sabiendo que hay 14 candidatos? *. 4! = 4*3*2*1 = 24 *. C10,4 son las combinaciones de 10 elementos agrupándolos en subgrupos de 4 elementos, Es decir, podríamos formar 210 subgrupos diferentes de 4 elementos, a partir C10,4 =

10! = 210 4!∗(10 − 4)!

de los 10 elementos. *. V10,4 son las variaciones de 10 elementos agrupándolos en subgrupos de 4 elementos,

10! = 5.040 (10 − 4)!

Vm,n =

Es decir, podríamos formar 5.040 subgrupos diferentes de 4 elementos, a partir de los 10 elementos. *. P10 son las permutaciones de 10 elementos, Pm = 10! = 3.628 .800

Es decir, tendríamos 3.628.800 formas diferentes de agrupar 10 elementos. *. C'10,4 son las combinaciones de 10 elementos con repetición, agrupándolos en subgrupos de 4, en los que 2, 3 o los 4 elementos podrían estar repetidos, C′10,4 `=

13! = 715 4!∗9!

Es decir, podríamos formar 715 subgrupos diferentes de 4 elementos. *. V'10,4 son las variaciones de 10 elementos con repetición, agrupándolos en subgrupos de 4 elementos, ′ ,4 = 10 4 = 10.000 V10

Es decir, podríamos formar 10.000 subgrupos diferentes de 4 elementos. *. Calcular las permutaciones de 10 elementos, en los que uno de ellos se repite en 2 ocasiones y otro se repite en 3 ocasiones, ′ ,2,3 = P10

10! = 302 .400 2!∗3!

Es decir, tendríamos 302,400 formas diferentes de agrupar estos 10 elementos. 2

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Técnicas de Conteo *. En el primer grupo de la clase “A” del campeonato de fútbol participan 17 equipos. Los premios son medallas de oro, de plata y de bronce. ¿De cuántas formas éstas pueden ser distribuidas? La medalla de oro puede ser obtenida por cualquiera de los 17 equipos. En otras palabras, aquí tenemos 17 posibilidades. Pero si ya fue otorgada la medalla de oro a algún equipo, quedan sólo 16 pretendientes a la medalla de plata. Aquí no puede haber repeticiones: un mismo equipo no puede obtener las medallas de oro y plata. Esto significa que después de que un equipo obtenga las medallas de oro, quedaran 16 posibilidades de obtener la de plata. Análogamente, si ya fueron otorgadas las medallas de oro y las de plata, las de bronce pueden ser obtenidas sólo por uno de los 15 equipos restantes. Esto significa que las medallas pueden ser distribuidas de 17 x 16 x 15 = 4080 formas. *. Se desea hacer una lista de dos elementos, en los lugares de la lista pueden estar cualquiera de los dígitos 2, 4, 6 o 8. ¿Cuántas listas con estas características son posibles?. La forma más directa de responder es escribiendo todas las posibilidades: (2,2) (2,4) (2,6) (2,8) (4,2) (4,4) (4,6) (4,8) (6,2) (6,4) (6,6) (6,8) (8,2) (8,4) (8,6) (8,8) Hay 16 elementos posibles. *.Como puede seleccionar el pantalón en una de n=3 formas y por cada pantalón seleccionado puede escoger una de m=4 camisas este puede resultar vestido en una de nm = 4*3 = 12 formas diferentes. *. Las iniciales de una persona (suponiendo que sólo nos interesa el primer nombre así tenga segundo nombre) son las listas formadas por las iniciales de su nombre y su apellido (primer apellido). ¿De cuántas formas se pueden escribir las iniciales de las personas? ¿De cuántas formas se pueden escribir las iniciales en las que las dos letras que no se repitan? (Por CC de Carmen Cardona no se permitiría). *. El alfabeto es de 26 letras tendremos estos 26 elementos para la primera posición de cada lista y así mismo 26 opciones para la segunda posición, luego hay 262 = 676 listas posibles. b. La segunda pregunta pide la cantidad de listas de dos elementos, habiendo 26 opciones para el primer elemento (n=26) y para cada una de ellas, 25 opciones para el segundo (m=25). Por consiguiente hay 26 * 25 listas. *. ¿De cuántas formas se pueden colocar en el tablero de ajedrez 8 torres de modo que no se puedan comer una a la otra? Esta claro que en tal distribución en cada línea horizontal y en cada vertical habrá solamente una torre. Tomemos una de estas distribuciones y denotemos mediante a 1 el número de la casilla ocupada en la primera fila horizontal, mediante a 2, en la segunda,..., mediante a 8, en la octava. Entonces a1,…,a8 será cierta permutación de los números 1,2,...,8 (está claro que entre los números a1,…,a8 no hay dos iguales, puesto que de ser así dos torres quedarían en la misma vertical). Recíprocamente, si a1,…,a8 es alguna permutación de los números 1,2,...,8 a ésta le corresponderá cierta distribución de las torres, en la cual no se podrán comer una a la otra. De esta manera, el número de distribuciones buscadas de las torres es igual al número de permutaciones de los números 1,3,..., 8, es decir, a P8, que equivale a 40320. 3

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*. Supongamos que en las manos de unos lingüistas cayó un texto escrito mediante 26 signos desconocidos. Estos símbolos son letras que representan uno de los 26 sonidos del idioma. ¿De cuántas maneras se pueden hacer corresponder los sonidos a los signos del idioma? Dispongamos los signos de la escritura en cierto orden. Entonces, cada modo de correspondencia nos dará cierta permutación de los sonidos. Pero de 26 sonidos se pueden formar permutaciones. Este número es aproximadamente igual a . Se sobreentiende que comprobar todas estas posibilidades es un trabajo no sólo superior a las fuerzas del hombre, sino a las de una computadora electrónica. Por esto, se trata de disminuir el número de posibilidades. Con frecuencia se logra separar los símbolos que denotan vocales de los que denotan consonantes. Supongamos que se pudo hallar 7 signos para las vocales y 19 para las consonantes. Calculemos en cuántas veces disminuyo el número de posibilidades. Los 7 signos para las vocales se pueden permutar entre sí de 7! formas, y los 19 para las consonantes, 19! maneras. El número total de combinaciones es igual a . Esto significa que el trabajo disminuyo en veces. Esta claro que ahora es más fácil, pero también es un número gigantesco. Si así reducimos más el número a 4 vocales y 13 consonantes tenemos que las posibilidades que quedan aun son . Este número ya puede ser verificado. *. Siete muchachas forman una ronde. ¿De cuántas maneras distintas se pueden colocar en círculo? Si estuviesen paradas sin moverse, se obtendrían 7!=5040 permutaciones. *. ¿Cuántas permutaciones se pueden hacer de las letras de la palabra “Missisipi”? Tenemos aquí una letra “m”, cuatro “i”, tres “s” y una “p”, habiendo un total de 9 letras. Por lo tanto el número de permutaciones es P(4,3,1,1,)=9!/(4!3!1!1!)=2520 . *. Un club tiene 15 miembros. Desean elegir un presidente y alguien más como vicepresidente. ¿De cuántas formas pueden llenarse esos cargos?. Al reformular la pregunta como una de conteo de listas, tenemos: ¿Cuántas listas de dos elementos se pueden formar en las que dos elementos sean personas seleccionadas de un total de 15 candidatos y que la misma persona no se seleccione dos veces (no esté repetida)?. Hay 15 opciones para el primer elemento de la lista (primera posición, n=15) y para cada una de estas (para cada presidente) hay 14 opciones (m=14) para el segundo elemento de la lista (el vicepresidente). Según el principio de la multiplicación, hay 15 X 14 (nm) posibilidades. *. Hay un club con 15 socios. Se desea elegir una mesa directiva formada por un presidente, un vicepresidente, un secretario y un tesorero. ¿De cuántas maneras se puede hacer la elección, suponiendo que un socio puede ocupar sólo un cargo?. Trazamos el siguiente diagrama: 15 14 13 12 Esto nos muestra que hay 15 socios para elegir el presidente. Una vez seleccionado el presidente quedan 14 socios para ser elegidos como vicepresidente y en consecuencia hay 15*14 formas de elegir al presidente y al vicepresidente. Una vez elegidos, hay 13 formas de elegir al tercer elemento (el secretario). Una vez elegidos los tres primeros cargos quedarán 12 socios para elegir entre estos al tesorero. En consecuencia hay 15*14*13*12 formas de seleccionar la mesa directiva.

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