Tecnicas de Calculo

 

El cálculo mental consiste en realizar  cálculos matemáticos matemáticos  utilizando sólo el  el cerebro, cerebro, sin ayudas de otros instrumentos como como  calculadoras calculadoras  o incluso lápiz y papel o los dedos para contar fácilmente tambien se puede considerar calculo mental al uso de tu cerebro y cuerpo. Algunos calculistas pueden realizar operaciones matemáticas muy complejas (como productos de números de 4 o más matemáticos  muchas veces no cifras) mediante el cálculo mental. Sin embargo, los mejores  mejores  matemáticos coinciden con  con los mejores calculistas calculistas.. La práctica del cálculo mental favorece que el estudiante ponga en juego diversas  diversas  estrategias estrategias.. Es la actividad matemática más más  cotidiana  cotidiana y la menos utilizada Numérico  y de habilidades en el áula. Entre sus beneficios se encuentran: desarrollo del  Sentido Numérico atención  y la la  concentración, concentración, además de gusto por las Matemáticas. Para su intelectuales como la la  atención enseñanza es aconsejable permitir el descubrimiento de reglas y la selección de estrategias. Aquí se presentan algunas formas de entrenar el cálculo mental.

Índice [ocultar ] 

restas  1 Sumas y restas  2 Duplicación y mediación  mediación  3 Multiplicación por números cercanos a las potencias de 10 10   4 Multiplicación por 37  37  5 Igualdades notables y cálculo de cuadrados  cuadrados  

  5.1 Cálculo del cuadrado de un número cualquiera de dos cifras  cifras  

o

  5.2 Producto de dos números que equidistan de un número cuyo cuadrado es conocido  conocido 

o

  5.3 Cuadrado de un número acabado en 5 

o

  5.4 Cubos y p potencias otencias superiores  superiores 

o

10)  6 Cálculo de logaritmos (en base 10)  resultado  7 Verificar el resultado  8 Conclusión  Conclusión  relacionados  9 Temas relacionados  10 Enlaces externos  externos 

[editar ]Sumas

y restas

Si no hay  hay acarreos, acarreos, es decir, si ninguna suma parcial es mayor que 9, las sumas se pueden realizar  directamente. Lo mismo ocurre con las restas. En caso contrario, hay que saber modelar los números de los que se dispone, a veces convirtiendo una suma de dos números en una suma más sencilla de más sumandos, y algo análogo para las Coto  proponen realizar las sumas siempre de izquierda a derecha, restas. Calculistas como como   Alberto Alberto Coto aunque haya acarreos. Ejemplos:

 



Calcular 456 + 155: 456 + 155 = 461 + 150 = 511 + 100 = 611 (método tradicional, sumando de derecha a izquierda) 456 + 155 = 456 + 4 + 151 = 460 + 40 + 111 = 500 + 111 = 611 (llevando el primer  sumando a la decena superior, a la centena superior... para acabar realizando una suma más sencilla equivalente a la primera) 456 + 155 = 556 + 55 = 606 + 5 = 611 (sumando de izquierda a derecha) 

Calcular 876 - 98:

876 - 98 = 868 - 90 = 778 (método tradicional, de derecha a izquierda) 876 - 98 = 876 - (100 - 2) = 876 - 100 + 2 = 776 + 2 = 778 (valiéndose de la proximidad del sustraendo (98) a uno que facilita la resta (100)) 876 - 98 = 786 - 8 = 778 (restando de izquierda a derecha) 

Calcular 634 - 256:

634 - 256 = 434 - 56 = 384 - 6 = 378 (de izquierda a derecha) [editar ]Duplicación

y mediación

Duplicación..   Artículo principal: Duplicación Multiplicar por 2 es lo mismo que sumarle al número inicial el mismo número. La duplicación y la mediación son un pilar fundamental de las  las matemáticas egipcias egipcias..  Ejemplo: multiplicar 173 × 16: Esto se puede hacer por duplicaciones sucesivas: 173 × 16 = 346 × 8 = 692 × 4 = 1384 × 2 = 2768. La multiplicación y la mediación sirven, en general, para calcular  el producto de un número cualquiera por el producto potencias  de 2 y de 5. Multiplicar por 5 es lo mismo que de de  potencias calcular la mitad del número inicial multiplicado por 10, lo que a veces es más fácil de hallar. Ejemplo: multiplicar 376 × 125 Como 125 = 5³ = 10³/2³, se puede hallar la solución añadiendo los tres ceros correspondientes y dividiendo el resultado tres veces por 2. 376 × 125 = 376000/8 = 188000/4 = 94000/2 = 47000. 

324 x 125 = 324000/8 = 162000/4 = 81000/2 = 40500.

 

Es útil conocer algunas potencias de 2 y 5 para realizar  estas operaciones con soltura. También se puede utilizar este método para multiplicar  por otros números que son sumas de (pocas) potencias de 2 o de 5, como 12 (8 + 4), 130 (125 + 5), 18 (16 + 2), etc. [editar ]Multiplicación

por números cercanos a las potencias de 10 Multiplicar por 9, 11, 99, 101..., es decir, por una potencia de 10 menos 1, se puede hacer mentalmente con un poco de práctica mediante la suma (o resta) de n

10 veces el número inicial más (o resta) del número inicial. Sin embargo, es fácil cometer errores al sumar o restar al mezclar, por ejemplo, unidades con decenas. Ejemplo: multiplicar 28 × 99 28 × 99 = 28 × (100 - 1) = 2800 - 28 = 2772 Otro ejemplo: multiplicar 37 × 121 121 es el cuadrado de 11, así que lo que se pide es lo mismo que multiplicar 37 por 11 y el resultado de nuevo por 11: 37 × 121 = 37 ×(10 + 1) × 11 = (370 + 37) × 11 = 407 × 11 = 4477  Además multiplicar por 11 resulta fácil: f ácil: se separan las cifras y luego se escribe siempre cifra de las unidades y seguidamente se van sumando grupos de dos cifras seguidas poniendo el resultado o la última cifra de la suma llevando un acarreo de 1 si la suma es mayor que 10, y finalmente se coloca la cifra más significativa, así: Multiplicar: 12345 × 11 : 1° las unid 5, 5+4=9, 4+3=7, 3+2=5,2+1=3, y finalmente 1; ahora colocar en orden inverso : 135795 8946 × 11 : 1° las unid 6, 6+4=10 (0 y lleva 1), 4+9+1(acarreo)=14 (4 y lleva 1), 9+8+1(acarreo)=18 (8 y lleva 1), y finalmente 8+1(acarreo)=9; ahora colocar en orden inverso : 98406  Análogamente, se puede aplicar esto a las multiplicaciones por potencias de

 

2, o de 5, más 1. Por ejemplo, 26, 17, 124 y 63. [editar ]Multiplicación

por 37

Primero, basta recordar lo siguiente: 



37 × 3 = 111 37 × 27 = (37 × 3) × 9 = 999 = 1000 - 1

El procedimiento es este: 1.

Se divide el otro factor entre 3. Hay que recordar el cociente y el resto. Si el resto es 1, al resultado final habrá que sumar 37; si es 2, habrá que sumar 74.

Ejemplo: en 37 × 94, se toma 94 : 3 = 31, resto 1. Ahora el producto es 111 × 31. 2.

Se divide el cociente del paso anterior entre 9. El cociente se multiplica por 999 (= 1000 - 1) y el resto por 111.

En el ejemplo anterior, 31 : 9 = 3, resto 4. Ahora tenemos la suma de dos productos: 999 × 3 (= 2997, o, si se prefiere, 3000 - 3) y 111 × 4 = 444. Como el resto del primer cociente que hicimos era 1, al resultado habrá que sumar 37. 3.

Se suma todo.

3000 - 3 + 444 + 37 = 3000 + 444 + 37 - 3 (a menudo es más fácil organizar los términos de esta forma, dejando el número que se resta al final) = 3444 + 34 = 3478. Una variante es tomar por exceso y no por defecto el cociente de la división del primer paso. Esto significa que se suma uno al cociente y al resto se le restan 3. Así, en lugar de un número de la forma 3 × Q + R (donde R = 1 ó 2) tenemos uno de la forma 3 × (Q (Q + 1) + R' (donde R' = -2 ó -1, respectivamente), y al resultado final se le restará 74 o 37 (porque el nuevo "resto" de la división es negativo). Más ejemplos:

 

37 × 54 = 111 × 18 = 999 × 2 = 2000 - 2 = 1998 37 × 79 (método usual) = 111 × 26 + 37 = 999 × 2 + 111 × 8 + 37 = 2000 - 2 + 888 + 37 = 2925 - 2 = 2923 37 × 79 (variante) = 111 × 27 - 74 = 999 × 3 - 74 = 3000 - 3 - 74 = 3000 - 77 = 2923 Como se puede comprobar, en este caso la variante es más fácil, aunque no tiene por qué ser siempre así. En general, si el factor es uno o dos menos que un múltiplo de 27 (recordar que 37 × 27Q 27 Q = 999Q 999Q), es más sencillo ir a por ese múltiplo de 27. Si uno de los factores del producto no es 37 pero sí un múltiplo, se puede reformular la multiplicación haciendo que uno de los factores sea 37. Probemos por  ejemplo con los siguientes cuadrados:

74 × 74 = 37 × 2 × 74 = 37 × 148 = 111 × 49 + 37 = 999 × 5 + 111 × 4 + 37 = 5000 - 5 + 444 + 37 = 5444 + 32 = 5476

111 × 111 = 37 × 3 × 111 = 37 × 333 = 999 × 12 + 333 = 12000 - 12 + 333 = 12321 (en este caso, como ya teníamos el 333, el procedimiento era más sencillo)

148 × 148 = 37 × 4 × 148 = 37 × 592 = 111 × 198 - 74 (en este caso se vuelve a emplear la variante porque 594 es múltiplo de 27) = 999 × 22 - 74 = 22000 - 22 - 74 = 21904 Métodos así funcionan cuando uno de los factores de la multiplicació n tiene a su vez un múltiplo que es una concatenaci ón de nueves. Se trata pues de encontrar  ese múltiplo.

 

Otro ejemplo notable es el número  142 número 857.. No sólo 857 el producto de este número por  7 es igual a 999999, sino que su tabla de multiplicar  es muy sencilla, ya que en la cadena 1428571428 57... basta con tomar  seis dígitos consecutivos a partir de una posición dada: 142857 × 1 = 142857 142857 × 2 = 285714 142857 × 3 = 428571 142857 × 4 = 571428 142857 × 5 = 714285 142857 × 6 = 857142 P r  o b e m o s   a   c

 

a l c u l a r    e l   c u a d r  a d o   d e   e s t e   n ú m e r  o   d e   s e i s   c i

 

f  r  a s   ( ! ) : 142857 × 142857 = (142857 × 7) × (142857 : 7) = 999999 × 20408 + 142857 (Como el resto de 142857 : 7 da 1, al resultado de la multiplicación hay que sumarle 142857. Es lo mismo que se hacía en la multiplicación por 37) = (1.000.000 - 1) × 20.408 + 128.857 = 20.408.000.000 - 20.408 + 142857 = 20.408.000.000 + 122.449 = 20.408.122.449 [ e d i t a r  ]

I g u a l d a

d e s   n o t a b l e s

 

  y   c á l c u l o   d e   c u

a d r  a d o s L a s   l l a

m a d a s   i g u a

 

l d a d e s   n o t a b l e s   p u e d e n   a p l i c a r  s e   a l   c á l c u l o

  m

 

e n t a l :

 

[ e d i t a r  ]

C

 

á l c u l o

 d e l   c u a d r  a d

o   d e   u n   n ú

e r  o   c u a l q u i e r  a

 

  d e   d o

s  c i f  r  a s L a s   d o s   p r  i

m e r  a s   i d e n t i d a d e s   s

 

e   p u e d e n   a p l i c a r    a l   c á l c u l o   d e   c u a d r  a d o s   p e r  f 

 

e c t o s .   S u p o n g a

m o s   q u e   q u e r  e

m o s   c a l c u l a r    5 2 ² .  

 

5 2   =   5 0   +   2 ,   a s í   q u e   a p l i c a

m o s   l a   i d e n t i d a d   c

 

o r  r  e s p o n d i e n t e   a l   c u a d r  a d o   d e   l a   s u

m a ,   d o n d e  

 

a   =   5 0   y   b   =   2 . (50 + 2)² = 50² + 2 × 2 × 50 + 2² = 2500 + 200 + 4 = 2704

17² = (10 + 7)² = 10² + 2 × 7 × 10 + 7² = 100 + 140 + 49 = 289 76² = (70 + 6)² = 70² + 2 × 6 × 70 + 6² = 4900 + 840 + 36 = 5776 95² = (90 + 5)² = 90² + 2 × 5 × 90 + 5² = 8100 + 900 + 25 = 9025

 

2,4² = (2 + 0,4)² = 0,1² × 14² = 0,01 × (20² + 2 × 4 × 20 + 4²) = 0,01 × (400 + 160 + 16) = 0,01 × 576 = 5,76

 

5782² = (5700 + 82)² = 5700² + 2 × 82 × 5700 + 82² = 32.490.000 + 934.800 + 6.724 = 33.431.524

 

(60 + 2) (60 - 2) = 60² - 2² = 3600 - 4 = 3596

 

77 × 83 = (80 - 3) (80 + 3) = 6400-9= 6391 95 × 105 = (100 - 5) (100 + 5) = 10000-25= 9975 128 × 152 = (140 - 12) (140 + 12) = 19600-144= 19456

 

(a + 5) (a (a - 5) = a² - 25

 

(a + 5) (a (a - 5) + 25 = a²

 

65² = 70 × 60 + 25 = 4200 + 25 = 4225.

35 × 35 = 40 × 30 + 25 = 1225 105 × 105 = 110 × 100 + 25 = 11025 255 × 255 = 260 × 250 + 25 = 65025 En este último caso, para calcular 260 × 250 se puede optar por formularlo de esta manera: 260 × 250 = (250 + 10) × 250 = 250² + 2500, y ya sabemos calcular con facilidad 250², así, quedaría 62500 + 2500 + 25 = 65025.

 

4

95 = (95²)² = 9025² = (9000 + 25)² = 9000² + 2 × 25 × 9000 + 25² = 81.000.000 + 450.000 + 625 = 81.450.625 (Facilita mucho el cálculo el hecho de que la segunda cifra de 9025 sea un cero)

 

7 + 3 = 10, 1 + 0 = 1 6 + 4 = 10, 1 + 0 = 1 4 + 6 + 6 + 2 = 18, 1 + 8 = 9 Sin embargo, 1 × 1 no es igual a 9, así que el resultado no es correcto. Habría que revisar  de nuevo la multiplicación o realizarla de nuevo. (El resultado correcto es 4672) Este método es bueno para detectar errores de de  acarreo. acarreo.