TecnicaCostruzioni

Marco Menegotto Corso di Tecnica delle Costruzioni Introduzione I materiali per il c.a. Procedimenti di verifica Analisi della sezione in c.a. Analisi della sezione in c.a.p. Strutture di fondazione (Giovanni Via) Elementi strutturali in acciaio (Giovanni Via)

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INTRODUZIONE

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I MATERIALI PER IL C.A.

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2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 3

GLI INERTI I CEMENTI L’ACQUA GLI ADDITIVI IL CALCESTRUZZO LE ARMATURE DI ACCIAO PROVE OBBLIGATORIE

9 11 15 15 16 27 31

PROCEDIMENTI DI VERIFICA

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3.1 3.2 3.3 3.4 4

RAPPRESENTAZIONE DEL COMPORTAMENTO DEI MATERIALI VALORI CARATTERISTICI METODO DELLE TENSIONI AMMISSIBILI LA DUTTILITA' ANALISI DELLA SEZIONE IN C.A.

4.1 4.2 4.3 4.3.1 4.4 4.5 4.6

COMPORTAMENTO DI ELEMENTI IN C.A. FLESSIONE SEMPLICE - ANALISI LINEARE FLESSIONE SEMPLICE - ANALISI NON LINEARE FLESSIONE SEMPLICE DEVIATA TAGLIO E FLESSIONE TORSIONE SEMPLICE SFORZO NORMALE SEMPLICE

34 42 47 61 63 65 68 78 83 86 95 99

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4.6.1 COMPRESSIONE SEMPLICE 4.6.2 TRAZIONE SEMPLICE 4.7 SFORZO NORMALE E FLESSIONE - ANALISI LINEARE 4.8 SFORZO NORMALE E FLESSIONE - ANALISI NON LINEARE 4.9 FESSURAZIONE

100 103 104 109 113

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ANALISI DELLA SEZIONE IN CEMENTO ARMATO PRECOMPRESSO

5.1 5.2 5.2.1 5.2.2 5.3 5.4 5.4.1 5.4.2 5.5 5.6 6 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 7

RAGIONE DELLA PRECOMPRESSIONE SFORZI DI PRECOMPRESSIONE CAVI SCORREVOLI (POST-TESI) CAVI ADERENTI (PRE TESI) COMPORTAMENTO E VERIFICA DELLE SEZIONI FLESSIONE SEMPLICE VERIFICHE PROGETTO FLESSIONE E TAGLIO SFORZO NORMALE (SEMPLICE E COMPOSTO)

STRUTTURE DI FONDAZIONE E CONTENIMENTO INTERAZIONE TRA SUOLO E STRUTTURA INDAGINI GEOTECNICHE FONDAZIONI OPERE DI CONTENIMENTO CEDIMENTI ELEMENTI STRUTTURALI IN ACCIAIO

120 124 125 132 134 138 139 144 148 157 160 160 162 167 174 178 180

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7.1 7.2 7.3 7.4

CARPENTERIA METALLICA GLI ELEMENTI CHE COMPONGONO LA STRUTTURA I COLLEGAMENTI LE UNIONI

180 185 188 193

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1 Introduzione

La struttura portante di un'opera deve assolvere la sua funzione rispetto a tre ordini di obiettivi: di affidabilità, di economia ed estetici. In particolare, per quanto riguarda l'affidabilità, la struttura deve poter rispondere alle varie sollecitazioni cui andrà incontro nel suo esercizio, senza subire deterioramenti che ne compromettano il buon funzionamento. Il progettista deve essere in grado di concepire una struttura adeguata all'opera e di garantirne l'affidabilità. Pertanto ha bisogno di controllarne a priori il comportamento. La teoria delle strutture gliene offre gli strumenti. Si consideri ad esempio, un comune edificio. Esso sarà composto da un gran numero di elementi, di diversi materiali, e di cui una parte viene considerata struttura. Potrà aversi in elevazione un'ossatura di pilastri, travi, solette, pareti in c.a., murature in laterizio, solai e coperture misti; in fondazione punti, pali o travi; infine, alla base, si avrà un suolo di fondazione. Tutti questi elementi saranno connessi tra loro in molteplici modi. Il comportamento di un tale assemblaggio la struttura dell'edificio, soggetto alle azioni esterne, deve essere analizzato a priori, cioè prima della costruzione. A questo scopo è necessario far uso di un modello, sperimentale o astratto. Il modello, più o meno complesso, non corrisponderà mai esattamente alla realtà, neppure se fesse costituito da un'intera struttura di prova nominalmente identica a quella

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i modelli

vera. Infatti, è noto che non possono realizzarsi due oggetti perfettamente uguali nelle dimensioni, nella composizione locale dei materiali, nei vincoli. Inoltre, la storia delle sollecitazioni di prova non potrebbe essere uguale a quella reale futura. Quindi anche un modello di struttura e di carichi, il più completo e vicino al vero, fornirebbe solo delle indicazioni limitate. Qualsiasi modello richiede pertanto un giudizio sul suo grado di corrispondenza con la realtà ed un’interpretazione degli effetti del divario sulla affidabilità dell’opera. In pratica i modelli impiegati nella progettazione sono il più delle volte astratti e consistono in schemi di comportamento strutturale interno ed in schemi di azioni esterne più o meno semplificati ed adatti ad un calcolo conveniente. I modelli sperimentali consistono in campioni al vero, nella scala e nei materiali, di singole parti o dell’intera struttura, oppure in riproduzioni in scale e/o in materiali diversi. Essi vengono impiegati sia per le verifica diretta di alcuni elementi strutturali, sia per comprovare la validità dei modelli teorici e per perfezionarli. Il divario, rispetto alla situazione reale, sia dei modelli in sé, sia dei parametri numerici (come ad es. l’intensità delle forze), è dovuto a fattori in buona parte non determinabili a priori e diversi da caso a caso. L’interpretazione degli effetti di tale incertezza è di notevole importanza. Poiché l’analisi del modello ha come obiettivo l’affidabilità della struttura, interesse non tanto che le incertezze siano piccole in assoluto, quanto piuttosto che non siano dalla parte del pericolo. Nel giudizio di corrispondenza fra i risultati dell’analisi e la realtà verrà quindi interposto il concetto di sicurezza. Cioè, essendo impossibile conoscere la non corrispondenza in dettaglio, le varie incertezze saranno coperte con opportuni margini di sicurezza rispetto al verificarsi di eventi indesiderati (tali da compromettere l’uso della struttura o da arrecare danni). A sua volta, la stima di tali margini è oggetto di un’analisi, svolta mediante l'impiego di ulteriori nodelli, che rappresentano la distribuzione probabilistica dei parametri in

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la sicurezza

gioco. Nella verifica delle strutture quindi saranno presenti in maggiore o minor grado dei modelli probabilistici, in associazione ai modelli di comportamento strutturale. Da questo punto di vista si possono individuare tre tipi di analisi delle strutture. L'analisi deterministica, in cui non intervengono modelli probabilistici. Tutti i dati sulle grandezze che compaiono nel calcolo vengono considerati certi, e quindi le grandezze, come le tensioni e le deformazioni di esercizio, risultano determinate. La sicurezza viene introdotta genericamente imponendo dei limiti a tali grandezze. L'analisi probabilistica, mediante la quale si elaborano le probabilità di raggiungimento di tutte le particolari condizioni indesiderate per la struttura (collasso o altri stati-limite), mettendo in conto ogni parametro casuale con la sua distribuzione probabilistica. Questo tipo di analisi diviene estremamente laborioso anche con pochi parametri in gioco. L'analisi semiprobabilistica, in cui i valori delle grandezze da introdursi nel calcolo vengono tutti fissati (come nell'analisi deterministica), ma in modo da tenere conto della probabilità che ognuno di essi ha di non venir oltrepassato in senso sfavorevole Come si vedrà nel seguito (cap.3), le normative sono attualmente orientate verso questo tipo di analisi, e ne stabiliscono i termini. Come in qualsiasi altro campo della tecnica, nella analisi delle strutture i modelli usuali, sono schemi semplificati, risultanti da un compromesso fra la praticità d'impiego e l'aderenza alla realtà. Più lo schema vuole essere comprensivo ed accostarsi al fenomeno reale, più le analisi diventano complesse e costose. D'altra parte, se per semplicità ci si allontana eccessivamente dal vero, occorrono margini di sicurezza più ampi. Nella progettazione corrente si tenderà a schemi più semplici, poiché il progetto, oltre alla struttura, ha una sua economia, ed una grande raffinatezza di analisi non produce in genere corrispondenti benefici. Invece, gli schemi più complessi avranno impiego quando una conoscenza più precisa dei fenomeni sia richiesta o dall’interesse scientifico, per scopi

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semplicità e accuratezza degli schemi

che vanno oltre un singolo progetto, oppure da un’opera particolarmente impegnativa. A questo riguardo va fatta peraltro un’osservazione, cioè che la precisione di calcolo è sempre relativa al modello adottato. Ha senso quindi spingere tale precisione solo se il modello stesso è adeguato, altrimenti essa è apparente, in quanto è annullata dalle incertezze di corrispondenza. Al solo scopo di fissare le idee sugli schemi di calcolo, si consideri ad esempio la semplicissima struttura in figura. La trave in c.a. è vincolata ai pilastri con continuità, e sopporta un solaio con dei carichi variabili. Dimensionata la struttura, il progettista verosimilmente adatterà uno schema strutturale piano,in cui la trave è rappresentata da una linea d’asse retta, su vincoli puntiformi che non trasmettono coppie. Il carico sarà rappresentato da un permanente e da un accidentale uniformi e applicati statisticamente, fissati con un’analisi dei carichi in base ai pesi nominali. Ciò permetterà di calcolare le caratteristiche di sollecitazione esterna (M,T) nella sezione generica. Per la sezione si avrà uno schema a deformata piana, con aderenza fra acciaio e conglomerato e senza resistenza a trazione di questo, i due materiali avranno comportamento elastico lineare con rapporto prestabilito dei moduli elastici. Con ciò sarà possibile trovare una distribuzione di tensioni interne in equilibrio col momento flettente M. In un ulteriore schema si calcoleranno le tensioni corrispondenti al taglio T. Le tensioni casi ricavate dovranno essere tutte inferiori a dei valori ammissibili, che il progettista ipotizza. Occorrerà poi, all’atto dell’esecuzione, preparare dei modelli sperimentali (campioni dei materiali da adoperarsi: prismi di conglomerato e barrette di acciaio), e sottoporli a prove di resistenza. I valori delle tensioni di rottura saranno posti in relazione con le tensioni ammissibili assunte, ciò avverrà ancora attraverso modelli probabilistici e criteri di sicurezza stabiliti dai vari regolamenti. Nella scelta e nel giudizio sugli schemi impiegati il progettista viene in effetti guidato dalla normativa ufficiale, che ha una duplice funzione. Da una parte, il vincolo dei regolamenti (imposto al progettista ed agli altri

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sezione retta

q = cost

M

Sezione retta a

b'

a'

le norme

responsabili dell’esecuzione) costituisce per gli utenti una garanzia di uniformità dei criteri di affidabilità delle opere. D’altra parte.il progettista stesso viene sollevato dal compiere ogni volta un lavoro critico di carattere generale e dalla relativa responsabilità, essendo aiutato dalla normativa nella scelta di schemi comprovati, semplificazioni accettabili, formule di calcolo, ed inoltre dei parametri numerici, cioè delle intensità delle azioni esterne, delle resistenze dei materiali eccetera. I regolamenti che attualmente interessano per la progettazione di strutture civili in Italia sono: Caratteristiche tecniche e requisiti dei leganti idraulici (Legge 26/5/65 n.595) Norme sui requisiti di accettazione e modalità di prova dei cementi (O.M.3/6/68) Norme per la disciplina delle opere di conglomerato cementizio armato, normale o precompresso, ed a struttura metallica (Legge 5/11/71 n.1086) Norme per la disciplina delle opere di conglomerato cementizio armato, normale o precompresso, ed a struttura metallica. Istruzioni per l’applicazione (Circolare Min. LL.PP 14/2/74 n. 11951) Criteri generali per la verifica della sicurezza delle costruzioni e dei carichi e sovraccarichi (D.M. LL.PP. 12/2/1982) Istruzioni relative ai carichi ai sovraccarichi ed ai criteri generali per la verifica della sicurezza delle costruzioni (Circ. Mi LL.PP. 24/5/82 n.22631) Norme tecniche per la esecuzione delle opere in cemento armato normale e precompresso e le strutture metalliche (D.M. LL.PP. 1/4/1983) Istruzioni relative alle norme tecniche per la esecuzione delle opere in cemento armato normale e precompresso e per le strutture metalliche (Circolare Mm. LL.PP. 30/6/1980 n.20244) Calcestruzzo preconfezionato (Norme UNI 7163/79). Varie norme UNI per l’accertamento delle proprietà del calcestruzzo, dell’acciaio per c.a. e per carpenteria metallica, citate nelle altre norme. Istruzioni per la progettazione e i l’esecuzione delle opere in c.a. e in c.a.p. col metodo

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semi-probabilistico agli stati limite - Consiglio Nazionale delle Ricerche, Luglio 1980. Istruzioni per il calcolo e l’esecuzione delle travi composte di acciaio e calcestruzzo (Norme tecniche CNR 22/6/71) Criteri generali e prescrizioni tecniche per la progettazione, l’esecuzione e il collaudo di ponti stradali (0.M. LL.PP. 2/8/80). Norme tecniche per il calcolo, l’esecuzione ed il collaudo delle strutture in conglomerato cementizio con armatura normale o di precompressione e confezionato con aggregati leggeri strutturali (proposta AICAP 1976) Norme per la progettazione, il calcolo, la esecuzione ed il collaudo di costruzioni con strutture prefabbricate in zone asismiche e sismiche (Circolare Cons.Sup. LL. PP. 11/8/69 n.6090) Istruzioni per il progetto, l’esecuzione ed il controllo delle strutture prefabbricate in conglomerato cementizio e per le strutture costruite con sistemi industrializzati (Norme tecniche CNR 14/12/83) Istruzioni per il calcolo e l’impiego degli appoggi di gomma nelle costruzioni (Norme tecniche CNR 25/6/71) Provvedimenti per le costruzioni con particolari prescrizioni per le zone sismiche (Legge 2/2/74 n.64) Disposizioni concernenti l’applicazione delle norme tecniche per le costruzioni in zone sismiche (D.M. LL.PP. 3/3/75) Norme tecniche riguardanti le indagini sui terreni e sulle rocce, la stabilità dei pendii naturali e delle scarpate, i criteri generali e le prescrizioni per la progettazione, l’esecuzione e il collaudo dalle opere di sostegno delle terre e delle opere di fondazione (D.M. LL.PP. 21/1/81). Nell’ambito di tali norme alcune, quali leggi e decreti, hanno carattere vincolante, altre costituiscono un supporto ufficioso per il progettista e l’esecutore. Le Norme tecniche per la esecuzione delle opere...... (D.M. LL.PP. 1/4/83) costituiscono il riferimento ufficiale principale per il progetto delle strutture.

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Nel presente testo queste verranno citate brevemente come norme o regolamento italiani. La loro lettura è necessaria all’intendimento del corso. Il progetto di una struttura è dunque una sintesi - fatta sulla base della conoscenza delle necessità d’impiego, delle tecniche di esecuzione, dei metodi di analisi disponibili, e della normativa in vigore - la quale, pesando in ogni caso particolare l’importanza reciproca che acquistano i diversi aspetti ed i relativi oneri, cercherà di essere ottimale rispetto all’insieme delle esigenze. Il progettista deve possedere una cultura specifica sufficiente per Controllare tali esigenze e Compierne una sintesi, poiché l’analisi e le verifiche, più o meno automatiche ma non completamente, sono comunque un momento successivo all’impostazione del progetto. Naturalmente, il progetto della strutture è una parte del progetto dell’opera. Che la struttura portante sia destinate a un edificio civile o industriale, a un ponte, o e un impianto qualsiasi, essa dovrà essere integrata in un organismo per il quale tutti gli aspetti della funzione vengono elaborati nella fase progettuale. In questa materia si mette a fuoco l’aspetto statico, che può venir isolato nell’analisi, ma non è indipendente dagli altri nel progetto. Con ciò la sintesi di cui si diceva si estende, e comporta una collaborazione fra persone che si occupano dello stesso oggetto osservandolo da più punti di vista. Al progetto fa seguito l’esecuzione, dell’opera. La conoscenza delle tecniche e dei problemi esecutivi presenta un interesse pratico e teorico che riguarda sia i progettisti, sia i responsabili dei lavori. Forse i problemi esecutivi si prestano meno ad una trattazione teorica, che non i problemi di analisi. Essi, perciò verranno trattati nella forme di illustrazione di immagini, con commenti e discussioni nel corso delle lezioni e con osservazioni in loco, mentre il presente testo ne conterrà solo qualche treccia. La parte più illustrativa del corso, riguardante appunto gli aspetti costruttivi, sia per quanto riguarda i procedimenti esecutivi, sia per quanto riguarda i dettagli di progetto, si appoggerà ad alcuni esempi occasionali per dar luogo ad osservazioni più generali. Rappresenterà cioè lo spunto iniziale per la formazione dell’esperienza necessaria alla progettazione.

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sintesi

Tale parte, per forza di cose, può comparire nel testo degli appunti solo per cenni, ma ciò non significa che sia secondaria. Anzi rappresenta il succo del corso. La materia, più fibrosa del corso sarà invece una prosecuzione dello studio teorico delle strutture, iniziato nei corsi di Statica o di Scienza delle Costruzioni, con riguardo soprattutto al cemento armato e precompresso, accompagnato dalle esemplificazioni di cui si è ora detto. La trattazione, che se ne farà, sarà elementare, non solo in senso limitativo, ma anche nel senso che cercherà di fornire gli elementi che sono necessari per poter approfondire, in via autonoma o in corsi successivi, la cultura in materia.

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2 I MATERIALI PER IL C.A.

Il cemento armato è un materiale composto da conglomerato cementizio e armature di acciaio. Esso può essere considerato una pietra artificiale che, come tale, offre i vantaggi di poter essere prodotta nella forma desiderata e di poter incorporare le armature atte a renderla, nell’insieme, molto più resistente alla flessione che non una pietra naturale. Poiché, dei due componenti, il conglomerato viene prodotto in opera, e poiché le sue qualità dipendono molto dalla sua confezione, se ne dà una descrizione più estesa. I componenti principali del conglomerato a loro volta sono: - gli inerti, in genere di pietra di piccola pezzatura, che costituiscono l’ossatura del conglomerato; - il cemento e l’acqua, che al contatto reagiscono formando una pasta che rende monolitica tale ossatura.

2.1 GLI INERTI Gli inerti si possono suddividere secondo: - il peso specifico; - la forma e le dimensioni; - altre caratteristiche petrografiche, fisiche e chimiche. Sono inerti naturali quelli provenienti da fiume o da cave, in dimensioni già adatte,

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oppure frantumati da blocchi maggiori. Sono artificiali: da frantumazione di materiali da costruzione, da scorie di altoforno, eccetera. In rapporto al peso specifico essi si suddividono in inerti normali, inerti pesanti ed inerti leggeri. Con gli inerti normali i ottengono i calcestruzzi ordinari, il cui peso specifico si trova intorno ai 2300 g/m3. Con gli inerti pesanti i ottengono calcestruzzi fino a 5000 kg/m3, che sono di raro impiego, per grosse zavorre o per schermi contro radiazioni. Sono tali ad esempio gli inerti come le magnetite o la barite. L’impiego degli inerti leggeri è invece frequente ed in estensione: i calcestruzzi raggiungono i 1200 kg/m3. Vengono usati nella prefabbricazione edilizia, sia per tamponature, sia per strutture portanti, e sono dei buoni coibenti termici. Vengono anche usati per strutture importanti semplici o precompresse. I vantaggi della leggerezza sono evidenti. Peraltro le tecniche di lavorazione sono più delicate e le resistenze offerte dai calcestruzzi leggeri alla compressione sono in generale inferiori. Possono essere, inerti per calcestruzzi leggeri materiali come: pomice, scorie vulcaniche, amianto, numerosi materiali artificiali espansi, anche l’aria si può considerare tale, se il calcestruzzo è prodotto con dei vuoti distribuiti per diminuirne il peso specifico (calcestruzzo alveolare). Fra le altre caratteristiche di cui si deve tener conto per la scelta degli inerti, in generale od in alcuni casi particolari, sono da ricordare principalmente: l’uniformità, la bassa permeabilità, la scarsezza di impurità, la stabilità ad alte temperature, la non gelività, la resistenza meccanica, anche eventualmente all’urto, alla abrasione, all’erosione, la non reattività chimica col cemento o con altre sostanze che possono venire e contatto col calcestruzzo; la dilatabilità termica, infine, e soprattutto, le disponibilità a basso costo. La forma e le dimensioni degli inerti influiscono sulle lavorazione del calce, come si osserverà più oltre.

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inerti pesanti e leggeri

altre qualità

2.2 I CEMENTI Alla base della maggior parte dei cementi si ha il Cemento Portland che è costituito da: Calce (CaO) per il 60 68 in peso Silice (SiO2) per il 18 28 in peso Allumina (Al2O3) per il 5 14 in peso Ossido ferrico (Fe2O3) per il 5 14 in peso altri componenti secondari per il 4 8 in peso i quali componenti, che si trovano nelle materie prime (calcari e materiali argillosi), vengono cotti ad elevata temperatura (1400+1500 0C) formando il clinker che, raffreddato e macinato con una piccola aggiunta di gesso, fornisce il cemento. Durante la clinkerizzazione i componenti primi si combinano, per formare: Silicato tricalcico (in formula abbreviata C3S) Silicato bicalcico (C2S) Alluminato tricalcico (C3A) Alluminato-ferrite tetracalcico (C4AF) I due silicati costituiscono intorno al 70 80 del clinker, e sono i più stabili ed i più significativi per la resistenza meccanica e chimica del calcestruzzo indurito. Il C3S si idrata più rapidamente e quindi sviluppa all’inizio più calore; esso dà il maggior contributo alle resistenze iniziali. Il C2S si idrata più lentamente e contribuisce all’aumento della resistenza per periodi fino ad un anno. Il C3A ed il C4AF sono poco attivi, sono degradabili perché poco stabili, in definitiva non desiderabili nel prodotto, ma sono utili al processo di clinkerizzazione. Un altro fattore che influisce sulla rapidità dell’idratazione e quindi sulle resistenze iniziali e sullo sviluppo del calore, è la finezza di macinazione. Aumentando la finezza, aumenta la superficie specifica dei granuli e quindi la rapidità di idratazione. Con essa aumenta però anche il ritiro (v.oltre). Il calore di idratazione può essere dannoso qualora la dispersione sia limitata, come nei

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getti ad alte temperature ambiente o nei getti massicci, dando luogo a lesioni per contrazioni non uniformi del conglomerato. I diversi tipi di cemento Portland semplici si ottengono mescolando in diverse proporzioni, nei limiti degli intervalli indicati, i rispettivi costituenti, ottenendo diverse caratteristiche di resistenza e di velocità di presa e indurimento. I Portland modificati o corretti (cementi pozzolanici e d’alto forno) si ottengono con l’aggiunta di pozzolana, o loppe d’alto forno rispettivamente. Essi forniscono una maggiore resistenze all’aggressione chimica ed uno sviluppo ritardato dell’indurimento e del calore di idratazione. I cementi alluminosi hanno una diversa composizione chimica dal Portland: le caratteristiche principali consistono in alte resistenze sia iniziali che finali, e nella buona resistenza all’aggressione chimica; sfavorevoli sono l’alto calore di idratazione ed il costo elevato. Per cementi Portland naturali si intendono, infine, i cementi ottenuti per cotture di marne così come si trovano, senza variarne artificialmente le percentuali dei componenti con tagli. Essi furono i primi ad essere prodotti, ma attualmente sono rari. In Italia, la legge 26 Maggio 1965, n.595 prevede i seguenti cementi: A) Cementi normali ed a alte resistenza B) Cemento alluminoso C) Cementi per sbarramenti di ritenute, Il D.M. 3 Giugno 1968 ne stabilisce le norme sui requisiti di accettazione e le modalità di prove. I requisiti riguardano: le resistenze meccaniche su malta plastica, a flessione e a compressione a varie età fino a 28 giorni (la resistenza a compressione a 28 giorni è anche usata per indicare i tipi. di cemento, per es. cemento tipo 325 o 425 etc.), secondo la tabella:

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tipi di cementi

cementi normalizzati

Art. 1 I cementi indicati nella legge 26 maggio 1965, n. 595, saggiati su malta normale, secondo le prescrizioni e le modalità indicate nel successivo art. 10, debbono avere i seguenti limiti minimi di resistenza meccanica, con tolleranza del 595: A) CEMENTI NORMALI E AD ALTA RESISTENZA - normale resistenza a flessione: dopo sette giorni dopo ventotto giorni resistenza a compressione: dopo sette giorni dopo ventotto giorni - ad alta resistenza resistenza a flessione: dopo tre giorni dopo sette giorni dopo ventotto giorni resistenza a compressione: dopo tre giorni dopo sette giorni dopo ventotto giorni

40 kg/cm2 60 » 2

175 kg/cm 325 »

2

40 kg/cm 60 » 70 »

175 kg/cm2 325 » 425 »

- ad alta resistenza e rapido indurimento resistenza a flessione: dopo ventiquattro ore dopo tre giorni dopo ventotto giorni resistenza a compressione: dopo ventiquattro ore dopo tre giorni dopo ventotto giorni B) CEMENTO ALLUMINOSO resistenza a flessione: dopo ventiquattro ore dopo tre giorni dopo ventotto giorni resistenza a compressione: dopo ventiquattro ore dopo tre giorni dopo ventotto giorni

40 kg/cm2 60 » 80 » 175 kg/cm2 325 » 525 »

40 kg/cm2 60 » 80 » 175 kg/cm2 325 » 525 »

C) CEMENTI PER SBARRAMENTI DI RITENUTA resistenza a compressione: dopo ventotto giorni 225 kg/cm2 dopo novanta giorni 350 »

la perdita al fuoco, il residuo insolubile, il contenuto massimo in SO3 e in MgO (e contenuto minimo in Al2O3 per il cemento alluminoso) la finezza massima, controllata con setaccio la deformabilità per rigonfiamento su provini di pasta normale i tempi di inizio e termine della presa su provini di pasta normale.

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Tabella: resistenze meccaniche dei cementi indicate nel DM 3/6/68

La malta plastica e la pasta normale sono impasti di prova definiti dalle stesse norme. I cementi indicati nella tabella con A) e C) rientrano nei cementi Portland, semplici o modificati. La finezza di macinazione, controllata secondo le norme, non dà l’effettiva distribuzione della grandezza dei granuli ai fini della rapidità di presa e del ritiro: questa va misurata con metodi di sospensione in un liquido, oppure di permeabilità ad una corrente di aria. Con il setaccio, invece, si può controllare che non si siano formati grumi. Le prove di rigonfiamento mirano a verificare, attraverso una maturazione accelerata, che non vi siano CaO ed MgO stracotti, che possono provocare nel tempo, con un aumento di volume, la disgregazione del calcestruzzo. La prova di inizio e termine della presa si svolge mediante l’ago di Vigat, cilindretto d’acciaio di cui si misura l’affondamento in pasta normale in un recipiente dato. Due valori convenzionali dell’affondamento indicano l’inizio ed il termine della presa. I tempi di inizio e termine devono essere, rispettivamente, non inferiore a 45 minuti e non superiore a 12 ore, per i cementi appartenenti alle categorie A e C; per i cementi alluminosi i due valori diventano 30 minuti e 10 ore. Oltre a quelli descritti vi sono dei cementi non normalizzati, per impieghi particolari, fra cui: i cementi resistenti ai solfati ed i cementi ferrici, che sono cementi Portland in cui è ridotta la presenza del C3A (maggiormente nei secondi). Essi offrono una buona resistenza chimica. Il costo di produzione è più elevato. i surosolfatati, derivati dai Portland d’alto forno, con accentuazione delle sue caratteristiche: basso ritiro, basso calore d’idratazione, buona resistenza chimica, lenta presa e minore resistenza iniziale. i cementi bianchi (cui viene tolto 1’ossido ferrico, che dà la colorazione normale grigiastra) usati molto per rifinitura, marmette, intonaci ecc., ed anche talvolta per

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cementi speciali

impieghi strutturali. i cementi colorati, che si ottengono con aggiunte di pigmenti minerali. I cementi espansivi, adoperati per tamponature di falle, per ancoraggio di strutture metalliche e di elementi prefabbricati, per inghisaggio di macchinari, in essi il ritiro è compensato dall’espansione, il che garantisce un riempimento permanente. i cementi, ottenuti con aggiunte durante la macinazione, atte a migliorare le caratteristiche di impermeabilità della pasta indurita.

2.3 L’ACQUA L’acqua d’impasto non deve contenere acidi in proporzioni eccessive, particolarmente l’acido solforico (3%) per la formazione di gesso, che rigonfia; il pH deve essere compreso fra 6 e 8. Non deve inoltre contenere zuccheri. L’acqua potabile è generalmente buona per l’impasto. Per una prova diretta, se l’acqua dà a 28 gg una resistenza con uno scarto non maggiore del 10% rispetto all’acqua distillata in un uguale impasto, può considerarsi valida. Le norme Italiane stabiliscono in proposito: L’acqua per gli impasti deve essere limpida, priva di sali (particolarmente solfati e cloruri) in percentuali dannose, e non essere aggressiva.

2.4 GLI ADDITIVI Esistono molti tipi di additivi per calcestruzzo, di cui si dà un rapido cenno. Gli effetti che si possono richiedere agli additivi sono di modificare alcune caratteristiche del calcestruzzo, fra tali effetti, sono richiesti principalmente: l’aumento della lavorabilità, l’acceleramento o il ritardo della presa, l’impermeabilizzazione, la diversa colorazione, l’aumento di volume durante la presa.

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Fra gli additivi che aumentano la lavorabilità sono compresi, tra gli altri, gli aeranti, che producono un’inclusione di bollicine d’aria nel getto nella misura del 0,5 2% del volume. Queste sono molto piccole (qualche centesimo di mm) e distribuite uniformemente nella massa del getto. Il loro effetto è molto diverso dai vuoti dovuti a difetti di miscelazione o di getto o ad eccesso di acqua, che sono di dimensioni visibili. L’aria inclusa,. funzionando da lubrificante interno, migliora la lavorabilità e riduce il tempo di mescolamento mantenendo omogeneo l’impasto e aumentando la durevolezza del calcestruzzo. Riduce peraltro la resistenza, ma meno di quanto avvenga con aggiunta dell’acqua necessaria ad un pari aumento della lavorabilità. Gli acceleratori ed i ritardatori di presa, agendo sui tempi dell’idratazione e quindi anche sulla velocità di sviluppo del calore, possono occorrere in getti a temperature esterne rispettivamente troppo basse o troppo alte e per altre esigenze, come ad es. per riprese del getto prima della presa dello strato precedente (ritardatori). I ritardatori, agendo anche sull’inizio dell’indurimento, richiedono, ovviamente, un periodo più lungo di impiego delle casseforme. Gli additivi si producono in molte qualità, e con effetti diversi e combinati, fra cui anche aumenti delle resistenze. Essi vanno comunque considerati e sperimentati caso per caso.

2.5 IL CALCESTRUZZO Il conglomerato cementizio, o calcestruzzo, si ottiene mescolando g1i inerti il cemento e l’acqua, fino ad ottenere un imposto omogeneo. L’impasto viene gettato in opera, ancora fluido, dopo qualche ora avviene le presa, durante le quale il conglomerato perde gradualmente la fluidità. Al termine della presa, il conglomerato non cambia più forma e ha inizio l’indurimento, durante il quale esso acquista via via la resistenza. Le velocità di presa e di indurimento dipendono dal tipo di cemento e dalle condizioni di maturazione. I requisiti di un calcestruzzo finito possono essere molteplici. Prima di tutto va

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considerata, fra le grandezze interessanti, la resistenza a compressione R’b. Questa è la grandezza più significativa di un calcestruzzo: una elevata R’b si accompagna o buone caratteristiche meccaniche, omogeneità, buona compattezza. Come si è detto il calcestruzzo può considerarsi una pietra artificiale, in cui la massima parte è costituita per così dire da pietra stessa in piccole dimensioni, cioè dagli inerti, cementati dalla pasta. Gli inerti nei calcestruzzi normali costituiscono circa 1’80% del peso totale. E’ necessario che gli inerti riempiano il più possibile il volume del calcestruzzo, lasciando il minime di spazi liberi, da riempirsi con la pasta. Ciò sia per ragioni di economia, essendo gli inerti molto meno cari del cemento, sia perché essi sono più stabili fisicamente della pasta, e quindi conviene che il volume di questa sia minimo, ai fini del ritiro, delle deformazioni viscose e della durevolezza. Perché gli inerti occupino il massimo del volume disponibile occorre che essi siano di forma compatta e di granulometria assortita. Si pensi di riempire un certo volume mediante corpi sferici tutti di dimensioni uguali: questi lasceranno libera una certa percentuale di volume, che sarà sempre uguale, quale che sia la dimensione delle sfere. Affinché il volume libero si riduca occorrerà aggiungere sfere di dimensioni inferiori per occupare gli spazi liberi. Ciò vale, sia pure in modo approssimato, anche per dei corpi della forma degli inerti da calcestruzzo. Come dimensione indicativa della grandezza degli inerti è considerato il diametro dei fori del setaccio di una serie normalizzate, attraverso il quale passano i grani, essendo trattenuti dal successivo. Una espressione ideale della distribuzione delle grandezze degli inerti è data da Füller: Pd

d

D

in cui D è il diametro massimo degli inerti del gruppo prescelto, d il diametro intermedio generico, e Pd la percentuale in peso passante il setaccio di diametro d.

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granulometria degli inerti

Esempio di fuso granulometrico per gli inerti Pd (%) 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0

5

10

15

20

25

30

D, diametro fori dei crivelli in mm.

Avendo scelto per es. D = 30 mm si ottiene la curva in figura, attorno alla quali si può costruire un fuso granulometrico entro cui deve ricadere la curve effettiva di un gruppo di inerti, perché si abbia una buona distribuzione. La Norma UNI 7163-72 riporta i fusi granulometrici prescritti per D =15 70 mm. Una curva adatta si ottiene mescolando inerti, forniti in due – tre – quattro pezzature separate (sabbia, ghiaia o pietrischi di varie dimensioni). Il diametro massimo si stabilisce in funzione degli spessori del getto e della densità delle armature metalliche. Esso ha poi un limite superiore dato dalla possibilità di essere bene impastato. Per getti di dighe si giunge ad esempio fino e D = 15 cm. Si parla di granulometria continua e discontinua se nell’insieme sono contenuti inerti di tutti i diametri oppure no. Stabilita la granulometria occorre progettare la miscela in base, oltre ad altri requisiti di cui si vedrà in seguito, principalmente alla resistenza richiesta (a indurimento avvenuto) ed alla lavorabilità necessaria per la posa in opera. La lavorabilità indica genericamente la facilità con cui si riesce e porre in opera ed a costipare, fino all’eliminazione dei vuoti, un calcestruzzo. Essa è in relazione inversa con l’energia necessaria - data una certa cassaforma ed una certa armatura metallica - a vincere gli attriti interni nel calcestruzzo e gli attriti esterni verso la cassaforma e l’armatura, per riempire la cassaforma e costipare il calcestruzzo. Sulla lavorabilità influiscono, a parità di cassaforma e di armatura: il tipo e la forma degli inerti, soprattutto dei più fini, la forma arrotondata essendo più favorevole di quella a spigoli vivi, e la granulometria; il tipo e la finezza del cemento; la presenza di polvere negli inerti, che riduce la lavorabilità, infine, e soprattutto, le quantità di acqua e la presenza di additivi. Considerando i due requisiti principali, resistenza e lavorabilità, questi sono in contrasto per quanto riguarda la quantità d’acqua d’impasto richiesta. L’acqua aumenta la lavorabilità, che è necessaria per la sicurezza che il getto vada a riempire tutto il suo spazio, soprattutto nel cado di armature intricate o comunque di spessori sottili, per il

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lavorabilità

quantità d’acqua

trasporto a mezzo di pompe da calcestruzzo, per ridurre il costo del costipamento, che diviene oneroso con calcestruzzi di bassissima lavorabilità. Invece, per quanto riguarda la resistenza, l’acqua la riduce, ed un aumento di acqua richiede un corrispondente aumento di cemento e ciò fa crescere il costo del conglomerato. E’ da tenere presente che la quantità di acqua valida per la lavorabilità prescinde da quella assorbita dai grani porosi degli inerti e dalla polvere, mentre contiene quella assorbita per capillarità dall’inerte fino nel suo insieme (sabbia bagnata) e quella, in generale, che si trova sulla superficie degli inerti, che si distribuisce durante l’impasto (acqua libera). L’acqua di saturazione assorbita, invece, interviene in parte nel rapporto A/C durante l’indurimento, riducendo la resistenza; la porosità e la polverosità degli inerti sono quindi negative. Per il progetto della miscela, cioè per ottenere una certa resistenza oltre alla abilità voluta, ci si può basare sulla legge di Abrams. Essa stabilisce che, dato il tipo di cemento, la resistenza finale dipende solo dal rapporto Acque/Cemento (A/C) della miscela, (a condizione che il getto sia costipato fino a lasciare non più del 2 di vuoti). Una volta fissato il rapporto A/C, occorre fissare le rispettive quantità. Vi sono più modi di indicare il contenuto in cemento di un calcestruzzo: come kg di cemento per m3 di calcestruzzo finito, che è il più usato da noi; come rapporto in peso tra inerti e cemento (I/C), con gli inerti considerati tutti insieme oppure divisi secondo le pezzature; come rapporto I/C in volume. Le quantità assolute di cemento e quindi di acqua vengono stabilite in base alla lavorabilità richiesta. Alcuni autori hanno anche preparato delle tavole per stabilire il rapporto I/C in funzione di essa. Il rapporto acqua-cemento può essere condizionato,oltre che dalla resistenza, anche dalla durevolezza, che rappresenta genericamente la resistenza al deterioramento superficiale,in relazione agli agenti atmosferici e climatici, e la capacità di protezione delle armature. La durevolezza è funzione essenzialmente della porosità del conglomerato finito, su

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rapporto acqua/cemento

cui influisce anche il rapporto A/C, per i vuoti lasciati nella pasta dall’acqua non combinatasi col cemento ed evaporata. Si riporta una tabella dell’A.C.I. sulle limitazioni del rapporto A/C in funzione della durevolezza. Nel caso i valori riportati per il rapporta A/C in funzione della durevolezza siano più limitativi di quelli richiesti dalla resistenza, occorre tenerne conto. L’impasto di tutti i componenti viene effettuato in apposite macchine betoniere di tabella

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l’impasto

diverse grandezze. dell’ordine del decimo di m3 fino ad alcuni m3. Essenzialmente consistono in un tamburo con delle pale interne il quale, ruotando intorno al suo asse, impasta i componenti. I tempi di impasto dipendono dal tipo di macchina, dal volume, dal riempimento e dai dosaggi. I dosaggi possono essere effettuati a mano o automaticamente, con misura del volume o del peso, secondo i casi, in impianti dalle più diverse capacità. Il calcestruzzo dopo l’impasto viene trasportato anche a grandi distanze a mezzo di betoniere montate su autocarro e ruotanti lentamente. In questo caso va posta attenzione al tempo di presa, tenuto conto anche delle temperature esterne. All’interno del cantiere viene trasportato mediante secchioni (di gru o altri elevatori), nastri trasportatori o pompe. Per essere pompato il calcestruzzo ha bisogno di una opportuna fluidità. Infine viene gettato nelle casseforme, che sono centinate in modo da reggere le spinte verticali ed orizzontali esercitate dal getto. Il calcestruzzo viene costipato quindi nella propria sede, principalmente a mezzo di vibrazione ad alta frequenza. questa ha lo scopo di fornire l’energia necessaria a vincere gli attriti interni all’impasto, costipandolo fino ad eliminare i vuoti. Oltre che per vibrazione,il calcestruzzo si può costipare per pigiatura a mano con pestelli, per forza d’inerzia dovuta a centrifugazione o ad urto in ceduta. In cantiere si usa soprattutto la vibrazione, talvolta ancore le pigiatura a mano, che naturalmente ha bisogno di un’altissime lavorabilità; cioè in pratica di molta acqua e quindi di molto cemento. I vibratori possono essere di quattro tipi: da applicarsi alle casseforme; da applicarsi alla superficie libera del calcestruzzo; da applicarsi ad una tavola che si porti l’intero manufatto e le casseforme; ad immersione. Il più frequente è quest’ultimo. L’effetto vibrante è ottenuto nei vari vibratori da masse oscillanti con frequenze di alcune migliaia di cicli al minuto. I vibratori vanno disposti in modo che le loro aree di influenza coprano tutto il getto, eventualmente in tempi successivi, nel caso di vibratori immersi. Il tempo di vibrazione è

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getto e costipamento

quello necessario ad eliminare i vuoti d’aria dall’impasto. Esso varia molto con le consistenza del calcestruzzo: più è asciutto e più a lungo deve esse essere vibrato. Un calcestruzzo considerato fluido (abbass. al cono > 15 cm) non può essere vibrato. Nelle fasi di mescolamento, trasporto, getto e costipamento possono manifestarsi degli inconvenienti, fra cui: l’inizio di presa anticipato, su cui influiscono, tra i fattori contingenti, soprattutto la temperatura esterne ed il trasporto ritardato, l’evaporazione dell’acqua, le separazione degli inerti e della pasta. La separazione provoca disuniformità di distribuzione delle varie pezzature di inerti e della paste all’interno del getto finito, alterando localmente anche i rapporti A/C ed I/C, con danno per tutte le caratteristiche. Essa può verificarsi, oltre che per difetti di progetto delle miscele, per i seguenti motivi: tempo di rimescolamento scarso o eccessivo, miscela troppo magra (povere di cemento), miscela troppo fluida, trasporto accidentato; getto in caduta libera da nastri o comunque da altezza elevata o con rimbalzi contro le pareti, per presenze di armature metalliche troppo intricate, per inerti troppo grossi in rapporto agli spessori del getto, per forma degli inerti non compatta; per getti subacquei, per vibrazione prolungata, per vibrazione di calcestruzzo a scorrere; per vibrazione del calcestruzzo troppo fluido. Da quanto detto deriva la necessiti di accompagnare alcuni getti con tubi guide o benne o imbuti, evitando percorsi a caduta libera e di vibrare il conglomerato quando ha già raggiunto la sua posizione. La fase successiva al getto è la stagionatura o maturazione che consiste nella regolazione o nel controllo alle superfici del getto (in via di presa e di indurimento) dei fattori ambientali: temperatura, umidità, ventilazione. Per la temperatura, occorre soprattutto impedire che scenda ala gelo. Occorre poi mantenere umido l’intorno delle superfici per evitare che l’acqua interna, non ancora combinata, evapori lasciando canalicoli vuoti. Il tutto per il tempo, dipendente dalle caratteristiche e dai requisiti del calcestruzzo, finché questo raggiunge un indurimento sufficiente. Ciò si traduce, per il periodo necessario, nel lasciare in opera le casseforme, nel disporre stuoie o sabbia bagnata o speciali pellicole che si spruzzano sul calcestruzzo ne

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stagionatura

trattengono l’umidità, nel proteggere dall’irraggiamento solare o, viceversa, nel disporre dei riscaldatori. Si accenna al fatto che la maturazione può essere accelerata mantenendo il conglomerato a temperatura elevata fino all’indurimento. In questo caso però, per le ragioni suddette, essa va realizzata in ambiente costantemente saturo di umidità. Ciò si può ottenere immettendo vapore in involucri disposti attorno ai getti. Si è visto nel progetto della miscela che, fra le caratteristiche finali del calcestruzzo, si è tenuto conto solo della resistenza a compressione R’b. Questo anche perché, come si è detto, una buona R’b significa buona qualità in generale del calcestruzzo. Come ordine di grandezza, la resistenza a compressione dei calcestruzzi normali per c.a. e c.a.p. oscilla fra 150 600 kg/cm2 Vanno tenuti presenti però altri caratteri o requisiti, che possono interessare talvolta in modo particolare e su cui si può influire specificamente nella confezione del calcestruzzo. La resistenza a trazione è riferibile in generale a quella a compressione, e quindi al rapporto A/C. E’ da osservare peraltro che, a parità di R’b viene migliorata la resistenza a flessione con la spigolosità degli inerti. La resistenza a flessione è importante per evitare la formazione di fessure in opere di contenimento di liquidi o in lastre sottili inflesse per carichi concentrati, E come lastre di pavimentazioni stradali o aeroportuali). Le Norme forniscono, per la resistenza (caratteristica) a trazione,in mancanza di determinazione diretta, l’espressione convenzionale:

Rbk

resistenza a compressione e a trazione

7 0.06 R' bk ( kg cm 2 )

ove R' bk , resistenza caratteristica a compressione, sarà definita più oltre. La resistenza a trazione per flessione Rbk(f) è assunta pari al doppio: Rbk f

2 Rbk .

La deformabilità istantanea a compressione (reversibile) si esprime tramite il modulo elastico iniziale E’b. Anche esso è riferibile alla R’b e quindi a1 A/C, dipendendo però anche dal modulo E degli inerti. E’b si determina sperimentalmente; in mancanza di ciò le

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deformabilità elastica

Norme fanno assumere l’espressione convenzionale: E ' b 18000 R ' bk ( kg cm 2 ) Il modulo elastico trasversale (Poisson) può variare intorno a valori di 0,10 0,20, aumentando per calcestruzzi di maggiore resistenza. Il coefficiente di dilatazione termica, del conglomerato e del ce. e c.a.p., viene assunto in media pari a 1 10

5 0

C

dilatazione termica

1

Il ritiro è il fenomeno della variazione di volume dovuta agli scambi igrometrici con 1’ambiente. La parte maggiore del ritiro avviene per l’asciugarsi del calcestruzzo con il procedere dell’indurimento. A questo si sovrappongono le variazioni stagionali in cui il calcestruzzo esposto all’aria aperte può assorbire o cedere umidità. L’entità del ritiro dipende soprattutto dalla quantità dell’acqua d’impasto e dalle condizioni di stagionatura. Il calcestruzzo che stagione e permane in acqua può presentare anche un ritiro negativo, cioè una leggera espansione. Il ritiro varia con lo distanza della superficie esterna: questa contrazione non uniforme può provocare tensioni e fessure, che si aggiungono a quelle provocate dai gradienti termici durante la stagionatura, per effetto della dispersione del calore di idratazione dalle superfici. Il ritiro genera stati di coazione nelle strutture in c.a.; Un conglomerato ha ritiro molto inferiore (10 volte) a quello delle corrispondente pasta di cemento da sola. Ciò è dovuto alle presenza degli inerti che, trovandosi racchiusi nella pasta, tendono ad opporsi, comprimendosi, alle contrazione della pasta stessa. Il ritiro si misura in variazione relativa di lunghezze ( ) ed ha normalmente valori oscillanti fra 0,2 0,5 mm/m. Per quanto riguarda il tipo di cemento, il ritiro dipende molto dai componenti minori e dalla finezza di macinazione. Gli inerti influiscono, per quanto si è detto, attraverso il loro modulo E, la permeabilità e la porosità; gli inerti grossi riducono il ritiro.

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ritiro

La deformazione viscosa (ingl.: creep; franc.: fluage) é la deformazione lenta che avviene sotto carico. Essa è funzione del valore del carico, dell’età a cui è stato iniziato il carico, della durata del carico, e si protrae, nel conglomerato, per alcuni anni. Dipende molto dal tipo di cemento: il Portland ad alta resistenza ha, per es., una deformabilità minore del Portland normale e ancora minore del Portland a basso calore(per sbarramenti). Dipende fortemente dal rapporto A/C. Il creep è presente sia in compressione che in trazione. Quanto agli effetti, una forte deformabilità viscosa può giovare, per compensare coazioni interne e ridurre la fessurazione, quando per esempio sia desiderabile l’impermeabilità di una struttura. Il creep va limitato, invece, in opere che non devono subire deformazioni differite, come per esempio sostegni di macchine, di guide e simili; nelle strutture precompresse, in cui riduce la precompressione; e nelle strutture snelle, in cui la deformazione influisce sulla sollecitazione. Una buona resistenza all’abrasione è richiesta ad es. per pavimenti industriali, per rivestimenti di canali o per opere marittime. Influiscono positivamente un basso A/C, un alto costipamento, ed una riduzione degli inerti fini nella granulometria. Per aumentare l’impermeabilità gli accorgimenti principali sono: una granulometria studiata e il costipamento completo; la buona stagionatura. preferibilmente in acqua; la limitazione sperimentata bene; l’uso di inerti impermeabili e di forma compatta; delle riprese di getto; l’uso di additivi adatti. Per resistenza al fuoco si intende la conservazione delle caratteristiche meccaniche di un elemento soggetto ad un certo trattamento termico su una faccia per una certa durata e sotto carico. La resistenza al fuoco dipende soprattutto dalle caratteristiche degli inerti. Buoni inerti sono, fra gli altri, i prodotti cotti frantumati. Gli inerti leggeri sono in genere anche buoni, a causa della loro coibenza. Per la resistenza all’aggressione chimica di un conglomerato riveste grande importanza il tipo di cemento, cui si è accennato. I problemi di resistenza ai differenti agenti aggressivi variano e debbono essere analizzati caso per caso.

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deformabilità viscosa

resistenza all’abrasione

impermeabilità

resistenza al fuoco

resistenza chimica

La prove sui calcestruzzi possono dividersi in prove sui calcestruzzi freschi e prove sui calcestruzzi induriti. A loro volta queste ultime si distinguono in prove distruttive e prove non distruttive. Tre le principali per calcestruzzo fresco è la prova di consistenza, mediante il cono di Abrams, prova che è pratica in cantiere per la semplicità dell’attrezzatura. Si tratta di un tronco di cono alto 30 cm e con le altre dimensioni normalizzate aperto sulle due basi, che fa da cassaforma al calcestruzzo da provare. Questo si getta dalla base minore, che sta in alto, e si costipa con un pestello per un determinato numero di colpi a diversi strati. Si sfila quindi la forma e si misura l’abbassamento del tronco di cono di calcestruzzo rimasto libero. Questo abbassamento è detto in inglese slump. Un calcestruzzo estremamente consistente può avere slump 0 2 cm, un colcestruzzo con slump > 15 cm è troppo fluido (salvo che non abbia additivi particolari). La consistenza, che è misurata dal cono, è l’attitudine a non cambiare formo in riposo, dopo un certo costipamento, in dipendenza della coesione. Essa non è sempre riferibile alla lavorabilità, che invece dipende dagli attriti in movimento, cioè anche dalla forma degli inerti e da altre cause: ad esempio l’aggiunta di un aerante può aumentare la lavorabilità e lasciare inalterato lo slump. Inoltre la lavorabilità è sensibile alla quantità di acqua libera, mentre lo slump lo è anche al rapporto A/C Lo slump è principalmente indicativo della lavorabilità per impasti affini, in cui l’unica grandezza variabile sia la quantità d’acqua, come controllo indiretto del dosaggio ad ogni impasto. Altrimenti la consistenza dà solo orientativamente un indice di qualità e di lavorabilità, soprattutto se si tratta di conglomerati speciali o con additivi. Fra le prove sui calcestruzzi induriti vi sono le note provo a rotture per le misure della resistenza e compressione, trazione, flessione, su provini preparati a parte oppure estratti da getti induriti, secondo modalità normalizzate (v.UNI 5125-67 e segg.), che si svolgono in laboratorio (v.anche par.2.7). Sono pure normalizzate, seconda varie norme in diversi passi, le prove per la determinazione, su provini, del modulo elastico, del modulo di Poisson, del ritiro, del

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prove sui calcestruzzi

slump

prove di resistenza

viscosità, della durevolezza, della resistenza all’erosione e della permeabilità. Fra le prove non distruttive, condotte cioè su una struttura in servizio senza danneggiarla, molto diffuse sono quelle che misurano la durezza superficiale di un calcestruzzo, attraverso il rimbalzo di un percussore. L’apparecchio misuratore, si chiama sclerometro. La durezza superficiale si può mettere in relazione, in via approssimata, con la resistenza del calcestruzzo. La corrispondenza è funzione anche di altre grandezze, quindi, per una migliore approssimazione, lo strumento andrebbe tarato per ogni tipo di calcestruzzo, secondo la natura degli inerti. Lo strumento va inoltre tarato per le diverse inclinazioni. Si ricorda infine l’esistenza di prove che misurano la propagazione di vibrazioni ultrasoniche nella struttura, attraverso cui si risale alle caratteristiche elastiche e di smorzamento e, tramite taratura. anche alla resistenza. N.B.: Sugli argomenti attinenti ai cementi, conglomerati e prove relative, vengono svolte delle proiezioni illustrative nel corso delle lezioni.

2.6 LE ARMATURE DI ACCIAO L’acciaio è una lega di ferro, carbonio ed altri elementi (manganese, cromo, silicio, eccetera). Il ferro è il componente principale; gli altri raggiungono nell’insieme percentuali intorno all’ l %; essi vengono legati al ferro nel processo di fusione, per aumentarne la resistenza alla trazione. Il carbonio però rende anche l’acciaio più fragile e meno saldabile; il silicio pure lo rende meno saldabile; la loro quantità è quindi limitata. Si descrivono qui oppresso le qualità più significative per gli acciai da impiegarsi nelle costruzioni in c.a.. Il Modulo elastico iniziale E non varia sensibilmente da un acciaio all’altro, ed ha valori intorno a 2000000 kg/cm2, o leggermente, superiori. Date l’omogeneità del materiale e la proporzionalità iniziale tra tensioni e deformazioni, la misura del modulo elastico si effettua molto più semplicemente che per il

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l’acciaio

modulo elastico

conglomerato, su una barra sottoposta a trazione, di cui si rileva contemporaneamente la tensione e la deformazione media. Il modulo E è fornito dal rapporto / . Le resistenze a trazione e compressione sono circa uguali. Le prove standard sono fatte a trazione (cfr.anche par. 2.7). Interessano sia la resistenza a rottura Ra, cioè la tensione di rottura, sia la resistenza allo snervamento Ra(S) o limite di elasticità, o limite di proporzionalità, cioè la tensione per la quale il materiale subisce forti allungamenti a tensione circa costante. Gli acciai dolci (a basso tenore di carbonio) mostrano nel diagramma - un 5000 punto(tensione) di snervamento preciso Ra(S) a dei valori compresi fra 2000 2 kg/cm . Negli acciai più resistenti (ad es. gli acciai armonici da precompressione) il punto di snervamento non è evidente e si usa far riferimento ad un limite convenzionale di snervamento: il raggiungimento di una deformazione permanente = 0.002 =0.2 %. La corrispondente tensione si indica come Ra(0.2) (cfr. figure a pag. 48). La resistenza allo snervamento dell’acciaio da c.a. è più importante di quella a rottura. Infatti l’acciaio in una struttura non raggiunge normalmente la tensione Ra, che comporterebbe delle inaccettabili per il conglomerato adiacente. Per tale ragione, come si vedrà in seguito, nella rappresentazione della relazione / dell’acciaio viene spesso ignorata la parte corrispondente a > Ra(S). Questa è anche la ragione per cui alcuni acciai vengono sottoposti ad un trattamento preventivo, l’incrudimento. Esso consiste in una sollecitazione preliminare oltre il limite elastico, che nera delle deformazioni permanenti. Nel successivi carichi (cioè in opera) l’acciaio non subirà più tali deformazioni per raggiungere il secondo tratto ascendente della curva (v. figura). L’effetto dell’incrudimento a freddo viene annullato a temperature di circa 35000. L’allungamento unitario a rottura, A, deve essere molto più elevato della che rende inservibile una sezione in c.a.; il materiale cioè deve presentare uno sufficiente duttilità. Tale proprietà (la cui opposta è la fragilità) è importante oltre che per considerazioni sul

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resistenze

allungamento a rottura, duttilità

comportamento strutturale, cui sarà fatto cenno in seguito, anche per la lavorabilità dell’acciaio, che deve poter essere piegato senza mostrare segni di fragilità. Le norme prevedono delle prove a piegamento delle barre, e dei valori minimi dell’allungamento a rottura A. Questi variano tra 0,12 0,24 per le armature ordinarie e tra 0,035 0,05 per quelle da precompressione. La ripetizione di carico e scarico (anche parziale, o invertito) su un acciaio per un elevato numero di volte (dell’ordine dei milioni) riduce la Ra dell’acciaio e lo rende più fragile, questo fenomeno viene denominato come fatica del materiale. La resistenza ridotta è funzione del numero dei cicli di carico e scarico e al crescere di esso tende ad un valore asintotico RF (resistenza a fatica). Tale resistenza a fatica è a sua volta funzione del rapporto fra le tensioni massime e minime che si raggiungono ciclicamente. Il rilassamento consiste nella caduta di tensione che si ha, in funzione del tempo, quando la deformazione venga mantenuta a lungo costante. L’entità del rilassamento dipende dal tipo di acciaio e dal tipo di laminaziane, dalla tensione iniziale e dal tempo. Il rilassamento ha inoltre una forte sensibilità alla temperatura. Le norme forniscono i valori del rilassamento a tempo infinito r in funzione della qualità di acciaio, delle tensioni iniziali e del tipo di armatura (par.3.1). Si accenna solo al fatto che tutte le proprietà dell’acciaio sono molto sensibili alla temperatura (resistenza, modulo elastica, duttilità, incrudimento, deformabilità viscosa e rilassamento). Le armature d’acciaio quindi vanno protette in modo particolare dal fuoco (e anche da temperature molto inferiori allo 0 oC), perché le loro deformazioni possono causare il cedimento delle struttura. Il coefficiente di dilatabilità termica è circa uguale a quello del conglomerato e cioè a o -1 10 C . Ciò rappresenta un vantaggio, in quanto non nascono coazioni permanenti tra armature e conglomerato dovute a dilatazioni differenziali.

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resistenza alla fatica

rilassamento

comportamento termico

I tipi di armature per c.a. in uso e contemplati dalle norme sono: barre tonde lisce (tondino d = 5 30 mm) barre ad aderenza migliorata (d = 5 30 mm) fili (trafilati) lisci o nervati (d = 4 6 mm) reti elettrosaldate (d = 4 12 mm) per ognuno dei tipi suddetti le norme stabiliscono i requisiti ed i limiti di impiego. Si tornerà più oltre sui tipi di armature da precompressione, insieme alla trattazione dei relativi procedimenti d’impiego. Il requisito fondamentale del tipo di armature, oltre e tutti i requisiti del materiale in sé, è la capacità di aderenza col conglomerato, al fine di realizzare appunto un valido cemento armato. Questo requisito attiene anche alle armature da precompressione, ma in minor grado. L’aderenza è funzione delle proprietà sia dell’armatura sia del conglomerato; essa ha effetto sulla resistenza alla fessurazione e alla rottura degli elementi in c.a. Per quanto riguarda le armature, dipende dalla misura della superfici, di contatto e dalla sua rugosità. A parità di tensione nell’acciaio e di altre condizioni, una barra di piccolo diametro offre una superficie di contatto, rapportata alla sezione, superiore rispetto a una di grande diametro, ed offre quindi maggiore aderenza. Così pure, a parità di diametro, una barra nervata con dei risalti (detta appunto ad aderenza migliorata) resisterà allo scorrimento più di una liscia, e potrà avere quindi delle tensioni ammissibili più elevate. L’aderenza si oppone allo scorrimento reciproco tre armatura e conglomerato, che tende a nascere in una struttura sollecitata, quando la tensione nell’acciaio vari lungo la barra. In particolare, come si vedrà meglio in seguito, per passare dalla tensione zero (termine della barra) alla tensione di esercizio, le armature hanno bisogno di una conveniente lunghezza di ancoraggio e di altri accorgimenti, fra cui, per le barre lisce, una

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tipi di armature - aderenza

barra tonda liscia

barre ad aderenza migliorata

piegatura a gancio. Le norme prevedono per le barre da c.a. delle prove per il controllo dell’aderenza, con cui viene misurata la resistenza allo sfilamento di una barra da un blocco di conglomerato. Le modalità delle prove, dette Beam Test e Pull out Test, sono standardizzate e specificate. Le norme prevedono poi le modalità di posa in opera delle armature, in particolare le curvature dei ganci e delle sagomature, e le modalità di controllo per campioni, in funzione dei diversi tipi e dei diversi diametri.

2.7 PROVE OBBLIGATORIE Le Norme (in particolare il citato DM 16.6.76 parte 1^, art.3 ed allegati 2 e 3) prevedono delle prove obbligatorie di controllo dei conglomerati e degli acciai che vengono impiegati in una costruzione. Tali prove sono necessarie anche per stabilire le Resistenze caratteristiche dei materiali stessi, le quali vengono introdotte nei calcoli di verifica (par.3.2). Tutte le prove obbligatorie si svolgono sotto il controllo di Laboratori Ufficiali. a) conglomerato Viene definito prelievo un insieme di quattro provini cubici ottenuti con calcestruzzo struzzo prelevato fresco da uno stesso impasto. Il lato del cubetto varia da 10 a 30 cm seconda il diametro degli inerti. Sono molto in uso attualmente provini con lato pari a 16 cm. I provini vengono rotti per schiacciamento in una pressa quando hanno raggiunto una età prescritta (generalmente 28 giorni). La resistenza a compressione di un provino è data dal carico massimo raggiunto prima della rottura, diviso per l’area su cui esso agisce: R’b=Prott / B. La resistenza di un prelievo è le media delle quattro resistenze dei relativi provini. Essa costituisce il risultato di una prova ai sensi del calcolo della suddetta Resistenza caratteristica R’bk’ la quale si intende quindi riferita ad una stagionatura normale di 28 giorni, salvo diversa specificazione.

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P

2

B=1

1 1 1

Prott.

Le modalità di prelievo, confezione, stagionatura e prova sono precisate nelle UNI6126 5132. Le Norme stabiliscono una frequenza di prelievi di almeno uno per ogni 100 metri cubi di getto. b) acciai Le prove di controllo degli acciai per armatura ordinarie si svolgono secondo modalità differenziate, esposte nel DM citato (parte 1, art.3 ed allegati 4. 5) e UNI 8407, a seconda che essi siano controllati in stabilimento o meno. I prelievi si effettuano in cantiere obbligatoriamente, a meno che l’acciaio sia controllato ufficialmente e con continuità in produzione, nel quel caso i controlli in cantiere divengono facoltativi. Si determinano le resistenze caratteristiche: allo snervamento Rak(s), all’allungamento permanente 0,2 % Rak(0,2), ed a rottura Rak, attraverso prove a trazione delle barre. Si determina altresì l’allungamento a rottura delle zona della barre in cui essa si verifica, e si effettuano prove di piega, per il controllo della duttilità del materiale. I vari tipi di barre debbono previamente aver superato delle prove di aderenza. Le prove di controllo degli acciai da precompressione sono riportati nel DM citato (parte 2. arti2, ed allegato 3). Anche queste differiscono nelle modalità (essenzialmente quantità dei prelievi obbligatori) a seconda che siano controllate in stabilimento o meno. Le grandezze che si controllano sono le resistenze caratteristiche Rak(0,2), Rak(1), Rak(s), ed Rak. Inoltre: il diametro, l’allungamento a rottura, il modulo elastico, ed il massimo numero di piegamenti alternati. Sono facoltative le prove di rilassamento e di fatica.

32

3 PROCEDIMENTI DI VERIFICA

Per poter inserire il comportamento meccanico del materiale in un modello di calcolo astratto, occorre isolare alcune relazioni significative (come per esempio una relazione fra tensioni e deformazioni) e quindi tradurle in schemi analitici. Analogamente, i concetti di sicurezza vanno quantificati ed associati ai medesimi0020schemi. Lo scopo di tali schemi è di permettere un confronto numerico, una verifica, che attesti la sicurezza della struttura. E’ appena superfluo notare che non tutta la sicurezza può essere controllata con dei numeri e che la struttura dovrà rispondere ad essa anche mediante un’impostazione a degli accorgimenti di buona concezione ed esecuzione, e che tutto ciò sarà frutto della sensibilità e della capacità di tutti gli addetti ai lavori, generata dalla comprensione del comportamento delle strutture, come si accennava nell’introduzione. Nondimeno, le verifiche numeriche sono un riferimento fondamentale per la sicurezza e sono richieste dalla normativa. In questo capitolo saranno illustrati: (1) alcuni degli schemi di comportamento dei materiali impiegati nel calcolo del cemento armato, quindi (2) il significato dei valori caratteristici dei parametri che regolano tali schemi, in funzione della sicurezza; quindi (3) l’impostazione generale dei metodi di verifica in uso, infine sarà introdotta (4) la

33

nozione di duttilità, che rappresenta un aspetto, del comportamento dei materiali e degli elementi strutturali, importante ai fini della sicurezza.

3.1 RAPPRESENTAZIONE MATERIALI

DEL

COMPORTAMENTO

DEI

Le principali relazioni - ai fini del calcolo delle strutture - riguardanti il comportamento di un materiale, sono le relazioni fra tensioni e deformazioni. In particolare, le relazioni fra tensioni e deformazioni normali ( ). Le figure nella pagina successiva mostrano alcuni diagrammi sperimentali carico assiale/deformazione di alcuni provini in conglomerato (a compressione) e in acciaio (a trazione). Essi sono stati tradotti in diagrammi dividendo i carichi e le deformazioni rispettivamente per l’area della sezione e per le lunghezza di misura del provino (accettando con ciò l’ipotesi delle distribuzione uniforme delle tensioni sulla sezione). Ogni diagramma rappresenta una particolare relazione di un campione di materiale, cioè la relazione corrispondente alle circostanze di quella data prove. La relazione potrebbe venire alterata, in un ipotetica altra prova, da vari fattori: dalla presenza contemporanea di altre tensioni sul provino, dalla velocità e dalle durate della prove, delle condizioni ambientali; dalla storia delle sollecitazioni subite previamente dal provino. Si prescinde per ora dalla variabilità dei risultati di una stessa prova per più provini uguali - su cui si tornerà fra breve - considerando invece (teoricamente) le diverse possibilità di prova per un determinato campione. Le curve di sinistra descrivono dunque la tensione a in funzione della deformazione unitaria, in una prova svolta in ambiente normale, in tempo breve, in assenza di tensioni trasversali, e su un provino vergine (curva di primo carico) Per contro, un provino soggetto prima ad un carico molto elevato, e quindi scaricato, non descrive lo stesso diagramma a ritroso, né un altra linea e, per successivi ricarichi e scarichi segua linee ancore diverse. Ciò avviene per entrambi i materiali (fig. di destra).

34

relazioni

35

Senza entrare in un esame dettagliato di tali fenomeni, sarà sufficiente affermare qui che, finché le tensioni si mantengono nell’ambito del tratto circa lineare della curva, il carico, lo scarico e i ricarichi seguono approssimativamente la stessa linea. Nel calcolo di elementi strutturali in cui non si superi tale livello di tensione, si potrà quindi usare la curva di primo carico come unico schema . Analogamente, per quanto riguarda l’ambiente, se un elemento non va incontro a condizioni eccezionali, come ad ), si considererà esempio a una temperatura da incendio (che fa abbassare l’intera curva valida quella normale. Eventuali condizioni anomale, se del caso, potranno essere analizzate a parte. Per quanto riguarda il tempo, invece, è una condizione normale che le strutture sopportino dei carichi permanenti, o delle deformazioni impresse di lunga durata. Ciò comporta l’insorgere di deformazioni viscose, oppure di rilassamento delle tensioni, che in alcuni casi possono modificare anche le sollecitazioni. Esse quindi saranno tenute in conto; ma le descrizioni della relazione con l’aggiunta del tempo (t) saranno comunque riferite alle relazioni istantanee. Quanto infine alla presenza di tensioni contemporanee in altre direzioni, esse alterano (si confronti anche la legge di Hooke generalizzata); anche qui, quando le relazione la tensione in una direzione è nettamente predominante, talvolta si trascura l’influenza delle altre. Fra tutti i fattori, citati c’è interferenza, ma è possibile generalmente separare, in pratica, i problemi connessi a ognuno di loro. Resta stabilito comunque che la curva per breve durata è una relazione di riferimento fondamentale per il comportamento del materiale. Tornando al punto iniziale, cioè l‘utilizzazione nel calcolo, le curve sperimentali come quelle viste, vanno tradotte in relazioni analitiche definite. Diversi schemi vengono adottati in proposito. Innanzi tutto si ha, per entrambi i materiali, lo schema lineare, che corrisponde alla

36

R'b

E'b 0

schemi

Parabola

0,0035

legge di Hooke: / = cost = E (E, modulo elastico, è diverso da un materiale all’altro). Questo schema è molto semplice e viene impiegato per l’analisi delle tensioni di esercizio nelle sezioni, e per l’analisi lineare delle strutture. E’ accettabile per tali scopi, ed in tali limiti, dato che sia il conglomerato, sia e meglio, l’acciaio, presentano un tratto iniziale circa rettilineo nelle curve sperimentali. Dove invece occorre considerare le relazione per intero oltre le tensioni di inizio (calcolo allo s.1. di rottura), lo schema lineare non è più adatto e viene sostituito con schemi non lineari come i seguenti: a) Conglomerato Per il conglomerato si usa arrestare tutti i diagrammi ad un valore determinato dalle , considerato di rottura convenzionale a compressione del materiale, indipendentemente dal valore della sua resistenza R’b. In Europa il valore ultimo della deformazione viene assunto pari a bu

= 0,0035 = 3.5%

In realtà il conglomerato potrebbe raggiungere contrazioni molto maggiori, se si diminuisse il valore della tensione dopo aver raggiunto il massimo R’b, la curva presenterebbe un ramo discendente molto lungo. In questa sede però prescindiamo da tale considerazione. Inoltre, generalmente si esclude del tutto il ramo corrispondente alla trazione, poiché si considera Rb = 0. Gli schemi analitici più comuni sono: 1) la parabola con vertice corrispondente al punto: =

bu

;

=

bu

la parabola è la più semplice curva di secondo grado ed ha equazione:

37

E

2 bu

R' b

bu

2) la parabola-rettangolo (adottata dalle Raccomandazioni CEB); in essa il vertice è spostato al punto: = 0,002 ;

=

R'b

bu

e prosegue con un tratto orizzontale fino a bu; in questa curva, il modulo iniziale E (cioè la tangente nell’origine) è in media più vicino al vero che nella precedente. L’equazione delle curva, divisa in due parti, risulta: 0,004

2

R' b 0,002

R' b

per per

E'b

0,002 0,002

0

0,0035

3) curve cubiche, raccomandate anche dal CEB per un’analisi della struttura particolarmente precisa; 4) diagramma rettangolare, valido solo per lo stato limite ultimo di rottura di sezioni in cui la zona compressa sia circa rettangolare. Esso rappresenta una semplificazione delle altre curve ed è valido al sola fine di calcolarne l’integrale. Il regolamento italiano, nel caso in cui si intende fare riferimento al diagramma rettangolare, ne precisa le caratteristiche. b) Acciaio Il comportamento dell‘acciaio soggetto a tensione normale, viene generalmente rappresentato con curve uguali in compressione e trazione. Il tratto iniziale è sempre rappresentato da una retta di inclinazione: E

6

2,0 2,1 10 kg cm

2

Le rappresentazioni più frequenti sono:

38

0

0,002

0,0035

Parabola - rettangolo

R'b

E'b 0

0,0022

Cubica

'bu

1) acciai dolci per c.a. diagramma bi-lineare con secondo tratto orizzontale, corrispondente alle tensione di snervamento Ra(S); 2) acciai incrudenti diagramma bi-lineare con il secondo tratto crescente; 3) acciai armonici da c.a.p. tali acciai, non presentando un punto di snervamento netto, vengono rappresentate da diagrammi misti come in figura, in cui è posto in rilievo il punto di snervamento convenzionale al 2% Ra(0,2) ed il valore della resistenza Ra. Come la relazione , di cui si sono visti alcuni modelli relativi alla curva di primo carico, così gli altri aspetti del comportamento meccanico si possono in via semplificata isolare e schematizzare: se ne riportano alcuni di uso più comune. Si è detto come la presenza contemporanea di tensioni secondo altre direzioni modifichi le curve dei materiali, e in particolare i valori delle resistenze. I criteri di resistenza sono modelli rappresentativi della resistenza del materiale, quando sia sottoposto a stati di tensione pluriassiali. Le resistenze a trazione o a compressione testé considerate ne rappresentano dei casi particolari, in cui la tensione è presente lungo una sola direzione (stati tensionali monoassiali). Molti sono anche qui i modelli proposti, più o meno efficaci a seconda dei materiali e delle sollecitazioni. Se ne ricordano solo due: uno valido per l’acciaio ( ottaedrica) ed uno per il conglomerato (curva critica). Si ricorda a questo proposito che le tensioni principali intorno a un punto, sono le agenti nelle giaciture in cui = 0 e che la determinazione di dette giaciture, mediante considerazioni sull’equilibrio di un elementino contenente il punto, si ottiene anche graficamente con il circolo di Mohr. a) Acciaio Vengono considerati equivalenti, ai fini della resistenza allo snervamento, tutti gli stati di tensione intorno a un punto per i quali risulti uguale la seguente funzione delle tensioni principali I II III:

39

(+ - )

Ras Ea 0

Ea

Ras

0

Acciai dolci per c.a.

0,002

0,01

Acciai incrudenti Ra Ra (0,2)

Ea 0

0,002

0,01

Acciai armonici da c.a.

criteri di resistenza

(+ - )

2 I

id

2 II

2 III

I

II

II

III

III

I

tale funzione viene anche detta sigma ideale o equivalente, poiché, nel caso di tensione monoassiale, id coincide con la tensione effettiva presente ( I = ; II = III = 0; id = ): essa quindi riconduce uno stato tensionale qualsiasi a uno stato monoassiale ideale equivalente secondo il criterio).Questo criterio di resistenze è detto della ottaedrica, perché la funzione id così espressa è proporzionale al valore che assume la lungo le giaciture di un ottaedro regolare, i cui vertici si trovino sugli assi delle tensioni principali. b) Conglomerato Per il conglomerato, che è un materiale fragile, e nel quale la resistenza a trazione è molto inferiore di quella a compressione, il criterio precedente sarebbe del tutto inadeguato. Uno schema valido è invece costituito dalla caVa critica. Ogni stato tensionale piano intorno a un punto può venir rappresentato da un circolo di Mohr, in un piano , . Uno stato tensionale qualsiasi (e con esso il relativi circolo di Mohr) viene definito critico quando comporti la crisi (rottura) del materiale. L’inviluppo di tutti i possibili circoli critici viene detto curva critica o intrinseca del materiale (v.figura). Pertanto, se a uno stato tensionale corrisponde un circolo di Mohr interno allo spazio delimitato della curva, lo stato si trova al disotto della rottura. Se, viceversa, il corrispondente circolo è tangente o secante alla curva, tale stato è critico. Vi sono varie proposte di equazione rappresentativa di tali curve. Fra asse, quella di Caquot, con alcune approssimazioni, porta alla condizione di resistenza: c

in cui

Rb

2

r2

8Rb Rb

R'b R'b3 r 3

R’b è la resistenza a compressione del conglomerato Rb è la resistenza a trazione è l’ascissa del centro dal circolo di Mohr corrispondente al dato stato c

40

critica curva

Rb

Rb

1 2

4

3

1,2,3: cerchi critici 4: cerchio non critico x y

tensionale r è il raggio di tale cerchio. E’ importante notare come la presenza di una compressione laterale aumenti la resistenza a compressione rispetto a quella monoassiale. La deformazione (unitaria) lenta di un dato conglomerato soggetto, a partire da un dato istante t0 ad una tensione costante, si rappresenta in funzione del tempo e in funzione della deformazione, elastica e con un’espressione: t

e

v

t

E 1

La funzione , a parità di altre circostanze, è crescente col tempo, tendendo a stabilirsi per t . intorno a un valore finito Il suo andamento si può schematizzare come esponenziale: 1 e

(t)

t

La deformazione differita V(t) è in gran parte irreversibile e riflette i fenomeni viscosi. Nell'ambito delle tensioni di esercizio, per un dato conglomerato si considera (coefficiente di fluage) una funzione del solo tempo, come indicato nella formula (fluage t, lineare rispetto a ). Per livelli tensionali elevati varierebbe anche con :

t

deformazione viscosa del conglomerato

t (anni) 0

1

2

3

4

1,5 1,0 0,5 0,65

0,75

4

0,85

R'bkj /R'bk28

t

dipende da tipo di conglomerato e condizioni ambientali, secondo I1 valore di quanto visto in precedenza; invece è una costante che dipende dall'indurimento raggiunto dal conglomerato all'atto della applicazione del carico (t0 = j giorni). Le costanti si ottengono per determinazione sperimentale diretta o per analogia. Le norme e stabiliscono comunque dei valori minimi ove occorra, come per es. nel calcolo delle si hanno i valori cadute di tensione nelle strutture precompresse: in particolare per forniti dal diagramma in figura, dove in ascisse è espressa la resistenza del conglomerato al tempo j rapportata a quella dei 28 gg. Anche l'andamento del ritiro in funzione del tempo può essere espresso da una curva

41

r(t) r 0,63 r

0

0,86 r

0,95 r

0,98 r

t (anni)

0,4 r

ritiro conglomerato

1

2

3

4

esponenziale r

t

r

1 e

t

posto che sia noto il valore a tempo infinito r per via sperimentale. Anche di r le varie norme forniscono comunque i valori minimi o consigliabili (cfr. pag. 34). Considerando solo i valori della tensione iniziale api a partire da 0,5 Rak, al disotto della quale il rilassamento si considera nullo, si ha per il rilassamento dell'acciaio l'espressione r

16

* r

api

R ak

che è l'equazione di una parabola in funzione di

0,5 api

2

Rak è la resistenza caratteristica

*

è una costante, dipendente dal tipo di armatura e vale: dell'acciaio. r Tondo trafilato 0,1125 Rak Treccia 0,150 " Trefolo 0,135 " Barra laminata 0,090 " *

viene determinata sperimentalmente. oppure r Tali valori corrispondono a temperature di circa 20 °C, ed al tempo t = . 3.2

VALORI CARATTERISTICI

I1 comportamento dei materiali, per essere inserito in un calcolo teorico, va tradotto in relazioni analitiche tra tensioni, deformazioni, ed anche altre grandezze come il tempo, la temperatura, eccetera. Gli schemi di comportamento sono, come si è visto, definiti a meno di alcuni parametri legati al tipo ed alla qualità del materiale. Ad esempio, la relazione di un conglomerato sia rappresentata come una parabola-rettangolo: per riferirla ad un certo conglomerato occorrerà fissare i parametri R'b

42

rilassamento acciaio

(resistenza), bu (def. unitaria di rottura), e la tangente iniziale (modulo E'b) ovvero 0 (vertice della parabola). Si consideri per ora 1a resistenza a compressione R'b. Si è visto come questa sia per i conglomerati una grandezza di riferimento che riassume bene la qualità del materiale, e sia di facile misurazione su campioni prismatici. Si è anche accennato al fatto che per diversità casuali, nell'ambito di uno stesso conglomerato. si verificano delle disuguaglianze nei risultati di più prove. Cioè la resistenza di un conglomerato non è una grandezza determinata, ma è soggetta a variazioni aleatorie. I regolamenti prevedano pertanto l'esecuzione di numerosi prelievi, su uno stesso materiale, stabilendone le modalità, con lo scopo di ricavarne un valore significativo della resistenza (par.2.7). Si esamina ora il criterio per individuare un tale valore. Si potrebbe pensare di assumere come rappresentativo il valor medio di una serie di prove. Ma ciò non soddisferebbe l'esigenza di sicurezza. Ad esempio, se le prove di resistenza di dieci prelievi di un conglomerato fornissero i valori 200, 200, 250, 250, 300, 300, 350, 350, 400, 400; oppure fornissero 280, 290, 290, 295, 300, 300, 300, 310, 315, 315 il valor medio sarebbe in entrambi i casi 300 kg/cm2; ma non sarebbe logico considerare equivalenti i due conglomerati. Infatti, dal punto di vista della sicurezza, interessa più un minimo garantito della resistenza che non un valore medio generico. Tale minimo garantito viene inteso probabilisticamente, cioè come un minimo che ha una data (molto elevata) probabilità di venir raggiunto dal materiale. Nell'esempio qui sopra appare chiaramente che tale minimo è più elevato nel secondo che nel primo conglomerato, e che quindi al secondo possiamo attribuire una resistenza superiore che al primo, a parità di sicurezza. I1 valore che si usa adottare come caratteristico di una resistenza non è dunque il valore medio, ma quel valore che ha una probabilità 95% di venire raggiunta o superato. Esso con ciò tiene conto della maggiore o minore dispersione delle resistenze di quel

43

variabile casuale (aleatoria)

f (x)

_ x

distribuzione di Gauss

x

materiale, cioè della loro distribuzione probabilistica, che invece il semplice valor medio non considera. Per poter stimare tale valore basandosi su una serie limitata di prelievi (quale è quella di cui si dispone in pratica), occorre considerare i valori ottenuti dalle prove come variabili casuali (o aleatorie) e, ancora una volta, assumere un modello, che rappresenti la loro distribuzione probabilistica. Uno schema comunemente adottato per la distribuzione di una variabile aleatoria è quello della distribuzione normale o di Gauss. Detta x la variabile aleatoria, questa distribuzione è rappresentata da una funzione f(x) continua, simmetrica rispetto al valor medio x , e che copre tutto il campo delle x, da + a - . La funzione f(x) è detta di densità di probabilità, definita come f(x)=P(dx)/dx essendo P(dx) la probabilità che la variabile cada in un certo intervallo dx intorno ad x. Nella distribuzione normale la f (x) ha espressione: f x

1 e 2

1 x x 2

f (x)

2

essa contiene lo scarto quadratico medio , che è un indice della dispersione della x, e regola perciò la maggiore o minore compattezza della rispettiva curva. Per visualizzare il significato della funzione, si immagini di costruire un istogramma delle frequenze, a partire dalla conoscenza di un numero finito di esperienze, e cioè: si divida l'asse della variabile x in intervalli finiti x e si riportino su ogni intervallo dei rettangoli, di area proporzionale alla frequenza dei risultati caduti nell'intervallo stesso. L'altezza dei rettangoli sarà h = (n /N x) (n = numero di risultati compresi nell'intervallo del rettangolo) (N = numero di risultati totale) e x 0 l'istogramma tende alla curva f(x). al tendere di N

44

h

xk

_ x

x

x

Questa curva sottende una superficie di area totale pari a 1: f x dx 1

che è il valore della probabilità che la x cada fra - e + (pari a 1 cioè al 100 %) . La probabilità che invece il risultato cada in un intervallo qualsiasi (x1 x2) è data dall'integrale della F(x) esteso a quell'intervallo: x2

P x1

x

x2

f x dx x1

Il valor medio e lo scarto quadratico medio, se è data l'intera curva, hanno rispettivamente espressione: x

f x xdx

f x x

2

x dx

mentre, se si dispone solo di un numero finito di prove, essi vengono stimati mediante le espressioni: N

x

1N

xi i 1

N

x

x

2

i 1

N 1 con i quali valori viene estrapolata la curva distribuzione f(x) completa.

45

Un valore che ha un particolare interesse è il frattile di ordine p della curva. Esso corrisponde al punto Xp per il quale si ha:

frattile f (x)

xp

P

x

xp

f x dx

p

cioè per il quale la probabilità della x di essere inferiore a xp è pari a p. Esso si può esprimere come xp

2 1 xk2 xk1

x kp

in cui kp è una funzione del solo p. In particolare, il valore caratteristico xk, che si voleva determinare, è definito proprio come il frattile di ordine 0,05(5%) della funzione f(x). xk è quindi tale che p = 0,05:

_ x_1 x2

x

v a l o r i " c a r a t t e r i s t i c i " x k d i d u e _c u r v e

con uguale v. medio x

1.1.1.1 valore caratteristico f (x)

xk

f x dx

0,05 2

1

e vale xk

x0,05

xk1 xk2

x k 0,05

in cui k0,05 vale 1,64 (nella distribuzione normale). Se i valori x e sono ricavati da stime in base a un numero limitato di prove, si assumono per k0,05 dei valori prudenziali, che sono indicati nelle norme. Quanto si è fin qui detto, partendo dall'esempio della resistenza a compressione del conglomerato, vale in generale per tutte le grandezze meccaniche che rappresentano il comportamento dei materiali. Quando si verifica cioè la sicurezza di una struttura, si considerano, come valori rappresentativi dei materiali, sempre i valori caratteristici. Per quanto riguarda le azioni esterne (carichi) sulla struttura, esse andranno introdotte

46

_ x2

_ x1

x

valori "caratteristici" xk di due _curve con diverso v. medio x f (x) frattile 0,95

_ x

xk

x

nello schema di calcolo, ad esempio sotto forma di forze, con dei valori rappresentativi, che pure dovranno tener conto della sicurezza. Anche per queste saranno considerati quindi dei valori caratteristici, che corrispondono, nella maggior parte dei casi, a dei massimi invece che a dei minimi garantiti, in quanto generalmente le azioni esterne hanno effetti sfavorevoli; in questi casi i valori caratteristici saranno quindi frattili superiori; di ordine 0,95, cioè, invece di 0,05. I valori nominali delle azioni esterne massime su una struttura verranno perciò intesi come valori caratteristici, determinati in base alla probabilità che su quella struttura si verifichino tali azioni massime. Si vedrà in seguito, come tutti i parametri (resistenze, intensità dei carichi eccetera) vengono poi inseriti nel calcolo con i valori detti appunto di calcolo, derivanti da quelli caratteristici mediante un'ulteriore operazione (applicazione dei coefficienti di sicurezza).

3.3 METODO DELLE TENSIONI AMMISSIBILI METODO DEGLI STATI LIMITE La verifica o l'analisi della struttura consiste, come si è accennato nell'introduzione, nel ricondurre a schemi azioni esterne, struttura e comportamento dei materiali; nel riprodurre quindi, attraverso tali schemi, alcuni aspetti del comportamento della struttura, e nel verificare che questi siano compatibili con la sicurezza d'impiego. Si prendono qui in esame due impostazioni del problema: quella delle tensioni ammissibili e quella degli stati limite. La prima consiste nel determinare mediante uno schema statico le tensioni massime corrispondenti alle azioni esterne di esercizio, e di verificare quindi che tali tensioni siano inferiori a dei valori prestabiliti (tensioni ammissibili). Lo schema di calcolo per la determinazione delle sollecitazioni nelle sezioni (nei casi delle strutture monodimensionali) e quello per la determinazione delle tensioni nella

47

metodo delle tensioni ammissibili (t.a.)

sezione stessa, possono essere schemi basati sul comportamento lineare dei materiali. Infatti, in generale, il comportamento dei materiali é con buona approssimazione lineare nell'ambito delle tensioni ammissibili (t.a.) in esercizio. Le t.a. vengono stabilite dai regolamenti in base alle resistenze sperimentali dei materiali, ridotte secondo vari coefficienti di sicurezza: ad esempio la 'b (tensione ammissibile di compressione) per un conglomerato é fissata dalle norme attuali nella formula 'b 60

R'bk 150 4 ( kg/cm2)

in cui R’bk è la resistenza cubica caratteristica del conglomerato impiegato. Volendo esprimere il coefficiente di sicurezza come: R ' bk

'b

in questo caso esso risulterebbe oscillante fra 2,5 e 3,4 circa, secondo il valore di R’bk (compreso fra 150 e 500 kg/cm2). Analogamente le norme fissano le altre tensioni ammissibili nei vari casi, per il conglomerato e per l'acciaio, come si vedrà meglio nel cap.4. Il procedimento delle tensioni ammissibili (t.a.) è tradizionalmente il più usato,1soprattutto per ragioni di semplicità: l'analisi lineare consente fra l'altro la sovrapposizione degli effetti. Un tempo era l'unico, e veniva impiegato del tutto deterministicamente. Oggi contiene anch'esso una traccia semiprobabilistica nei valori caratteristici delle resistenze, cui fanno riferimento le norme nello stabilire i valori delle tensioni ammissibili. Peraltro tale metodo risulta concettualmente debole, dato che il raggiungimento delle t.a. in una struttura, oltre a non essere dannoso in sé, non misura neppure la maggiore o minore distanza di un eventuale fatto dannoso o stato limite. 1

E’ detto anche metodo tradizionale o metodo n (per il cemento armato).

48

L'esempio seguente evidenzierà tale aspetto. Si consideri la struttura a, rappresentata dallo schema in figura, di tre aste in acciaio incernierate, di sezione A= 1 cm2 ciascuna, formanti angoli di 45°. Un carico P applicato nel nodo sollecita le tre aste a trazione, con sforzi normali N che in regime elastico lineare corrispondono ai valori indicati a fianco.

A = 1 cm2

A

A 1

2

2

Assumendo una t.a. dell'acciaio a = 1600 kg /cm , si ricava che ogni asta può sopportare in esercizio uno sforzo assiale N = 1600 kg. Tale valore viene raggiunto per prima dall'asta 2, quando P = 1600 1,707= 2730 kg. Questo è quindi da considerarsi il massimo carico attribuibile alla struttura, indipendentemente dal valore inferiore (esattamente la metà) raggiunto nel contempo dalla tensione nelle altre aste. Si vedrà invece come esse costituiscano una riserva di resistenza per la struttura, nel confronto con un altra b, composta di una sola asta dello stesso acciaio, di sezione A =1,707 cm2 e che pure raggiunge la tensione ammissibile di 1600 kg/ cm2 per il carico P = 2730 kg. Infatti, se si facesse riferimento alla rottura della struttura, prescindendo da altri possibili inconvenienti, si noterebbe che facendo crescere il carico P, a parità di altre condizioni, questa struttura cederebbe molto prima della precedente (v.oltre). I1 metodo delle t.a. ha il difetto di considerare le due strutture equivalenti rispetto alla sicurezza, nonostante la diversa distanza dal collasso in termini di aumento dal carico. L'esempio, che verrà più oltre sviluppato meglio, pone in rilievo la carenza del metodo tradizionale nel confronto con un calcolo allo stato limite di rottura, il quale, mettendo in luce la diversa distanza delle due strutture dallo strato limite (s.l.) considerato, attribuirà loro una diversa sicurezza. Lo s.l. di rottura è quello più tipicamente considerato, ed ha dato luogo al nome di calcolo a rottura. Bisogna però tener presente che esso è solo uno dei diversi stati limite che possono interessare una struttura. Le citate Istruzioni del CNR per le strutture in c.a. ed in c.a.p. stabiliscono quanto segue.

49

a)

45° 45°

3 N2= P/1,707 N1= N3= N2/2

P

A = 1 cm2

b) P

definizione di stati limite

Si definisce stato limite uno stato, raggiunto il quale la struttura, o uno dei suoi elementi costitutivi, non può più assolvere la sua funzione o non soddisfa più le condizioni per cui é stata concepita. Gli stati limite si suddividono in due categorie: a) stati limite ultimi, corrispondenti al valore estremo della capacità portante o comunque legati al raggiungimento di condizioni estreme; b) stati limite di esercizio, legati alle esigenze di impiego normale e di durata. a) STATI LIMITE ULTIMI Nei casi usuali si devono considerare gli stati limite ultimi derivanti da: perdita di equilibrio di una parte o dell'insieme della struttura, considerata come corpo rigido; rottura localizzata della struttura, per azioni statiche; collasso per trasformazione della struttura o di una sua parte in meccanismo; instabilità per deformazione; rottura localizzata della struttura per fatica; deformazione plastica o di fluage o di fessurazione,che conducano ad una modifica della geometria, tale da rendere necessaria la sostituzione della struttura o di sue parti fondamentali; degradazione o corrosione che rendano necessaria la sostituzione della struttura o di sue parti fondamentali. Stati limite ultimi possono essere raggiunti anche per collasso incrementale, per effetto del fuoco, di esplosioni, urti, ecc. b) STATI LIMITE DI ESERCIZIO Oltre agli eventuali stati limite di esercizio specificatamente previsti caso per caso, di regola si dovranno prendere in esame gli stati limite di esercizio derivanti da: deformazioni eccessive; fessurazione prematura od eccessiva; degradazione o corrosione;

50

spostamenti eccessivi senza perdita dell'equilibrio; vibrazioni eccessive. L'impiego del metodo degli Stati limite permette anche una impostazione del calcolo più approfondita in senso probabilistico. In fatti si procede come segue: Si definiscono prima di tutto i valori di calcolo dei parametri da impiegarsi (essenzialmente delle azioni esterne e delle resistenze dei materiali; eventualmente di altri, riguardanti la deformabilità e il comportamento in genere della struttura, in dipendenza dello stato limite considerato). I valori di calcolo si ottengono dai valori caratteristici, ridotti o accresciuti, secondo il caso, mediante dei coefficienti parziali di sicurezza . Tali coefficienti vengono precisati numericamente dai diversi regolamenti. Ad esempio la resistenza di calcolo a compressione del conglomerato R’b* si ottiene dividendo la resistenza caratteristica per un coefficiente b (intorno 1,4 1,5) mentre la resistenza di calcolo dell'acciaio Ra si ottiene attribuendo al coefficiente a dei valori compresi tra 1,1 1,3; questo é inferiore a quello del conglomerato, a causa della maggiore affidabilità in generale della qualità dell'acciaio, che viene prodotto in stabilimento e non é soggetto a manipolazioni sostanziali nella posa in opera. R '*b

R'bk

Ra*

b

Rak

Fk

F

.

maggiori di 1, vanno nella maggior parte dei casi a moltiplicare le azioni (invece che a dividerle, come per le resistenze), in quanto le azioni sono più sfavorevoli se accresciute, mentre le resistenze se ridotte. I coefficienti F sono fissati dai regolamenti per le varie azioni esterne che possono I

coefficienti parziali di sicurezza

resistenze*

a

Analogamente per ottenere le azioni (carichi ecc.) di calcolo, si moltiplicano i valori caratteristici per i coefficienti F, F*

valori di calcolo (*)

F,

51

azioni esterne*

interessare la struttura (pesi propri, carichi di servizio, vento, ecc.) in funzione dello stato limite considerato (cioè del tipo di danno che può derivare alla struttura), e della combinazione di carico (cioè della probabilità ridotta di intervento simultaneo di tutte le azioni al loro livello caratteristico). Ad esempio le azioni di calcolo in una combinazione di peso proprio, carichi di servizio, e vento, per una verifica ad uno stato limite ultimo, potrebbero venire fissate: Fg

*

FS

*

FW

*

Fgk

F1

FSk

F2

FWk

F3

dove F*gk, F*Sk, F*Wk sono i valori caratteristici rispettivamente dei carichi permanenti, dei carichi di servizio e del vento, ed i coefficienti di sicurezza: F1

= 1,5 ;

F2

= 1,5 ;

F3

= 1,35 ;

Se intervenissero ulteriori carichi, essi potrebbero avere coefficienti via via decrescenti, per tener conto della ridotta probabilità del loro intervento simultaneo. Qualora invece il peso proprio agisse favorevolmente (per esempio se fosse stabilizzante rispetto allo s.l. di ribaltamento), il relativo F1 verrebbe ridotto a 0,9. Infine, nella verifica ad uno stato limite di esercizio della struttura, le stesse azioni Fk varrebbero affette da coefficienti F più bassi. Ad esempio: F1

=1;

F2

=1;

F3

=1;

Fissati i valori di calcolo riguardanti le azioni esterne ed i materiali e supponendo di trattare una struttura ad elementi monodimensionali, si entra in uno schema strutturale, che permette di ricavare gli effetti delle azioni (o sollecitazioni,o sforzi: Momento flettente, Sforzo normale, eccetera) nelle varie sezioni. Queste sollecitazioni S(F*) corrispondono perciò alle azioni esterne di calcolo F*, ma

52

sollecitazioni

possono venire a loro volta modificate da ulteriori coefficienti di sicurezza Sollecitazioni di calcolo della sezione: S*

S F*

S,

per divenire

S

serve a tener conto della non corrispondenza dello schema di calcolo alla struttura reale. Talvolta S non compare esplicitamente, ma é conglobato nei coefficienti F. In definitiva, tutti i valori di calcolo sono ottenuti dai corrispondenti valori caratteristici mediante dei coefficienti parziali di sicurezza, pesati ad hoc per ogni tipo di carico, per la resistenza di ogni materiale, e in funzione dello stato limite in esame. Ottenuta la sollecitazione, o le sollecitazioni, di calcolo S* nella sezione considerata, si verifica, mediante uno schema di calcolo della sezione, che le deformazioni prodotte da S* non superino i valori convenzionali di rottura u (per lo s.l. di rottura del materiale) o quelle corrispondenti ad altri s.l., l. La verifica sarebbe così compiuta. Vi é però da fare una osservazione, importante ai fini pratici. Poiché nell'analisi agli s.l. (ad es. di rottura) lo schema di calcolo della sezione non é lineare (in quanto non lo é il comportamento del materiale) può essere piuttosto complicato calcolare le tensioni e le deformazioni corrispondenti ad una data S*. In generale, è più facile calcolare direttamente quale è la sollecitazione S* cui corrisponde il raggiungimento della deformazione limite nel materiale. Essa può essere considerata una sorta di resistenza della sezione a quel tipo di sollecitazione ed al dato stato limite, e viene detta sollecitazione limite di calcolo interna S*i in particolare, per lo s.l. ultimo di rottura della sezione si avrà S*u (ad es. M*u: momento di rottura di calcolo della sezione). Di contro,la S* data, cioè calcolata in base alle azioni esterne e maggiorata di * S, viene detta precisamente sollecitazione di calcolo esterna S e . Se si ricava quindi previamente la S*i (dipendente solo dalla sezione e dai materiali), é sufficiente verificare che la S*e (dipendente dalle azioni esterne e dalla struttura) non le S

53

verifiche agli s.l.

sollecitazione di calcolo interna ed esterna

sia superiore, cioè: S* e

S* i

Se la sollecitazione non é semplice ma combinata (ad es. Momento flettente e Sforzo Normale), ovviamente occorre fare la verifica per le sollecitazioni di calcolo combinate. Ciò sarà analizzato in dettaglio nel seguito. Riassumendo il procedimento (cfr. anche lo schema seguente):

SCHEMA DEI PROCEDIMENTI DI VERIFICA DELLA SEZIONE IN C.A. Alle tensioni ammissibili

Agli stati limite

R

F

F

F

Fk

Fk

Fk

Distribuzione probabilistica Raccolta statistica resistenze

Rk

Rk

Fornite da Regolamento

Analisi della struttura elastica sezioni reagenti

Coefficienti di sicurezza unici sui materiali

Se Sollecitazione esterna di esercizio

Analisi della sezione ideale (parzializzata, elastica, omogeneizzata)

Tensioni ammissibili in esercizio

b

b max

a

a max

Azioni esterne

Materiali R

R

F

F

F

Fk

Fk

Fk

f

f

f

Distribuzione probabilistica Raccolta statistica resistenze

Rk

Fornite da Regolamento

Rk

Coefficienti parziali di sicurezza

Eventuali formule di conversione fra R provate e richieste Coefficienti parziali di sicurezza

(Procedimento distinto)

R

(Proc. coincidente)

Azioni esterne

Materiali

Resistenze di calcolo

m

m

R*

R*

Coefficienti di combinazione

Azioni di calcolo

F*

f

F*

F*

Analisi della struttura più o meno adeguata allo s.l.

Analisi della sezione adeguata allo s.l.

Tensioni massime in esercizio

s

Se* Sollecitazione esterna di calolo

Sl* Sollecitazione limite di calolo

54

si assumono delle azioni esterne di calcolo F* (carichi, ecc.), considerate le più sfavorevoli possibili, compreso il voluto margine di sicurezza (prima attraverso il valore caratteristico e poi con il coefficiente F). mediante un opportuna schema di calcolo della struttura, lineare o meno, si ricavano le corrispondenti sollecitazioni di calcolo S*e (con lo stesso significato) nelle sezioni da verificarsi (ad esempio il Momento flettente agente su di esse M*e ). mediante uno schema di calcolo della sezione, che contiene i parametri di calcolo (con significato analogo) dei materiali, si ricava la sollecitazione limite di calcolo interna S*i (ad esempio il Momento di rottura della singola sezione M*u). si verifica che S*e S*i (ad es. M*e M*u). L'iter di verifica appena esposto é condotto sulla falsariga degli s.l. che riguardano la sezione. Le modalità di applicazione saranno viste nella parte riguardante il cemento armato. Non per tutti gli s.l. e non per tutte le strutture la verifica passerà per le sollecitazioni * S nelle sezioni. Dal punto di vista concettuale però il procedimento non sarà differente: nel caso più generale, occorrerà verificare sempre che gli effetti delle azioni di calcolo non superino le "capacità interne" di calcolo (delle sezioni, di elementi, della intera struttura) rispetto al dato s.l.. Ad esempio si debba verificare allo s.l. ultimo di perdita di equilibrio dell'insieme della struttura come corpo rigido un muro di sostegno di un terrapieno. Occorrerà verificare che il Momento ribaltante, della spinta di calcolo (nel senso ormai noto) del terreno, non sia superiore al momento resistente di calcolo riferito alle forze che si oppongono al ribaltamento. In teoria qualsiasi struttura andrebbe verificata in rapporto a tutti gli s.l. possibili, in quanto nessuna struttura, ovviamente, deve raggiungere alcuno stato limite, per definizione. In pratica, il progettista può sapere quali verifiche siano superflue analiticamente, così

55

diversi stati limite

come sa stabilire quante e quali sezioni verificare, su tutte quelle della struttura. Anche in ciò, del resto, i regolamenti stabiliscono delle direttive. Ad esempio, riguardo agli s.1. di fessurazione, viene stabilito quali tipi di strutture non debbono subire fessurazione in esercizio, (s.l. di fessurazione prematura) e quali debbano rispettare un massimo di apertura specificato (s.l. di fessurazione eccessiva). Non tutti gli s.l. poi rilevano direttamente dal calcolo strutturale (si veda ad esempio lo s.l. di corrosione, quando non sia conseguenza dello s.l. di fessurazione). Si può ora riprendere l'esempio delle tre aste ed effettuarne la verifica allo s.l. di rottura, per completare il confronto accennato. Occorre stabilire i valori di calcolo delle grandezze interessate ed uno schema di comportamento della struttura2. Si supponga che l'insieme delle azioni esterne sia rappresentato da una forza verticale P, come in figura, del valore caratteristico pari a:

confronto t.a./s.l.

(Fk) = Pk = 2730 kg. se

F

= 1,75, l'azione esterna di calcolo sarà:

P

F*e = Pk 1,75 = 4777 kg Il modello di calcolo della struttura sia rappresentato dallo schema statico (di tre aste a sezione costante, perfettamente incernierate), con l'aggiunta del legame */ dell'acciaio, assunto di forma bilineare, come in figura. Per la resistenza di calcolo si assume, posto a=1,3:

* R*a

Ra = Rak/ a = 3200/1,3 = 2460 kg/cm2 2

La struttura e la relativa analisi sono semplicissime. Tutte le sezioni di una stessa asta hanno la stessa sollecitazione (sforzo normale di trazione) anche numericamente. L'analisi della sezione fornisce in ogni caso Q=N/A, in campo lineare e non lineare. E' perciò possibile condurre una analisi non lineare della struttura in modo elementare. Si consideri in pratica l'intera struttura come una sezione, ai fini del discorso da esemplificare.

56

as

au

per il modulo elastico iniziale Ea e per l'allungamento a rottura Ea = 2000000 kg/cm2 ;

au

aU,

rispettivamente:

= 0,01

Si esamina dapprima il comportamento della struttura al crescere del carico. Per P = Pk = 2730 kg, l'impiego della curva di calcolo fornisce gli stessi risultati già visti nel caso elastico lineare, trovandosi tutte le aste nel primo tratto della curva. Si ha: N2 = 1600 kg ,

N1 = N3 = 800 kg.

Facendo crescere il carico, gli sforzi nelle tre aste crescono in proporzione fino a quando restano tutte in campo lineare, cioè fino a quando nell'asta 2 non si raggiunge lo sforzo N 2 = Ra

A = 2460

1 = 2460 kg

che ha luogo per (cfr. pag. 58) P = 2460

1,707 = 4200 kg

ed N1 = N3 = 2460/2 = 1230 kg. Dopodiché la relazione / dell'asta 2 è rappresentata dal tratto orizzontale, in cui Q = cost. = Ra = 2460 kg/cm2

P

pertanto N2 non potrà più crescere: l'ulteriore carico P incrementerà lo sforzo solo nelle aste 1 e 3 (cfr. anche par.3.4) *

N2 = 2460 kg N1 = N3 = 1230 + (cos45° P/2) = 1230 + (0,71

R*a

P/2)

Nel caso in esame interessa lo stato corrispondente a P = F*e, cioè a P = F* e

4200 = 577 kg

in corrispondenza del quale N1 = N3 = 1230 + 408 = 1638 kg < R*a

as

A.

57

Non si raggiunge quindi la resistenza di calcolo3. Appare chiaro che il carico P può essere aumentato ancora oltre Fe* , fino al valore che provoca la plasticizzazione di tutte e tre le aste, e che tale valore può essere calcolato più facilmente che non lo stato tensionale corrispondente a Fe* . Basta infatti ricavare la risultante interna verticale che, essendo N1 = N 2 = N 3 = R* a P

A = 2461 kg, sarà:

N1 1 cos 45

2640 2,41 5930kg

Questo può considerarsi un carico ultimo di calcolo interno Fu* , cioè il carico massimo che la struttura può sopportare (analogo a Sl* vista più sopra a proposito del la sezione). Potendosi calcolare facilmente Fe* , la verifica allo s.l. di rottura (della struttura) conviene nella forma Fe*

Fu*

che in questo caso é verificata, essendo 4777 < 5930 Si esamini ora la struttura costituita dall'asta singola di 1,707 cm2 (equivalente secondo il metodo delle t.a.) e se ne calcoli la Fu* . Chiaramente si ha: 3

Per la verifica allo stato limite occorrerebbe ora controllare che la nell'asta 2 fosse inferiore a au. Questa verifica è spesso superflua, poiché normalmente in una struttura di acciaio non si raggiunge la tensione convenzionale di rottura, se non quando tutta la struttura subisce forti deformazioni; in questo caso, quando tutte le aste hanno raggiunto la plasticizzazione, cioè il tratto orizzontale corrispondente a R*a. Da questo punto di vista talvolta la curva di calcolo dell'acciaio viene considerata illimitata nel tratto orizzontale, per semplificare le operazioni, anche nelle sezioni in c.a.

58

Fu*

Ra*

A 2460 1,707

4200kg

Con i dati attuali quindi, la verifica allo s.l. di rottura non sarebbe soddisfatta, infatti: Fe*

Fu*

4777 > 4200 kg Ora si può evidenziare meglio la differenza fra i risultati del calcolo alle t.a. ed allo s.l. di rottura. Riassumendo l'esempio, si hanno due strutture equivalenti rispetto alle t.a; in quanto il carico di esercizio provoca la stessa tensione massima; ma di esse una è esuberante rispetto allo s.l. di rottura e l'altra è scarsa. Pur raggiungendo entrambe il valore della Ra* al carico di 4200 kg, con conseguente plasticizzazione dell'asta centrale, questo fatto rappresenta per l'asta singola il collasso, mentre per le tre aste è l'inizio della ridistribuzione degli sforzi tra le aste, ovvero è l'attivazione della riserva di resistenza, realmente presente nelle aste laterali, ma non presa in conto dal metodo delle t.a.(cfr.par.3.4). La verifica agli s.l. consente quindi, mediante uno schema di calcolo più aderente al vero fenomeno indesiderato (qui il meccanismo di rottura), una migliore valutazione della sicurezza. La migliore valutazione si realizza, inoltre, anche perchè, spezzando il coefficiente di sicurezza in diversi coefficienti parziali , il metodo degli s.l. permette di calibrare questi rispetto alla probabilità dei carichi di crescere e di combinarsi e della pericolosità di ogni s.l.; laddove il metodo delle t.a., con i soli coefficienti applicati alle tensioni, opera ancora senza sufficiente distinzione. Si è già detto, per contro, che quest'ultimo ha il vantaggio di una maggiore facilità d'uso. Quanto invece alla maggior convenienza dell'uno rispetto all'altro in termini di economia di materiale, il problema va posto in termini più sfumati, poiché l'eventuale risparmio dipende dai valori che si assegnano ai coefficienti . Certo è che, in media, il metodo degli s. l., è più calibrato. Con i numeri dell'esempio, per pura economia

59

converrebbe la verifica alle t.a. per l'asta singola, e quella allo s.l. per l'asta triplice. In realtà la considerazione degli stati limite delle strutture non era affatto estranea al metodo di verifica tradizionale, fondato sulle tensioni ammissibili. Solamente,era presente in maniera ridotta e non organica. Ad esempio, i regolamenti hanno sempre prescritto delle limitazioni sulle deformazioni (frecce elastiche di travi, ecc.) delle strutture, il che, sia pure in modo frammentario, viene a coincidere con le verifiche ad uno s.l. di deformazione. Ancora, la verifica alle ammissibili nella sollecitazione di taglio o torsione nel c.a. non è altro che una verifica alla fessurazione obliqua. Parallelamente, nei tiranti in c.a., la duplice verifica dell'armature isolate e della di trazione nel conglomerato, non sono altro che verifiche agli s.l. di rottura e di fessurazione (con i coefficienti di sicurezza concentrati nelle tensioni). Nel campo delle strutture snelle, inoltre, le verifiche di instabilità attraverso il metodo non sono altro che verifiche allo s.l.u., con l'introduzione di coefficienti speciali ( e c) sui carichi, per tener conto del particolare comportamento della struttura: le fittizie non hanno nulla a che fare con le tensioni di esercizio, ed il loro confronto con le tensioni ammissibili è un mero artificio di regolamento per limitare le sollecitazioni, in quanto crescono in proporzione maggiore dei carichi. La nozione di stato limite è stata quindi sempre presente, in modo implicito, nei regolamenti. L'attuale tendenza, però, con il metodo degli s. l., ne rende più sistematica la verifica, con una lista organica e con i coefficienti di sicurezza rispettivi. Tali coefficienti parziali, applicati anche alle azioni, permettono di esplorare situazioni sfavorevoli non rilevabili con le azioni di esercizio. I1 metodo poi permette l'uso di modelli di calcolo più adeguati nella verifica a quegli stati limite in cui le strutture si discostano dal comportamento lineare, come si è visto attraverso l'esempio delle tre aste e come si approfondirà nei capitoli che seguono.

60

s.l. impliciti nel metodo delle t.a.

3.4 LA DUTTILITA' L'esempio appena citato offre lo spunto per un altra importante osservazione. Generalizzando, si può esprimere il fenomeno nel modo seguente. Finché le tre aste si mantengono tutte in campo elastico, vi è una certa distribuzione (cioè un insieme di rapporti mutui) degli sforzi assiali: gli sforzi N sono infatti costantemente nel rapporto 0,5 :1,0 : 0,5 per le tre aste nell'ordine. Dal momento in cui l'asta centrale supera il limite di proporzionalità as, il suo sforzo N rimane fisso, mentre gli altri continuano a crescere: i rapporti N1: N2 : N3 quindi cambiano progressivamente; ha luogo cioè una ridistribuzione di tali sforzi. Se il materiale fosse stato fragile, cioè se si fosse rotto appena raggiunta la Ras, senza poter subire allungamenti anelastici oltre 1a as, la ridistribuzione non avrebbe avuto luogo. Infatti, raggiunta Ras, l'asta centrale si sarebbe rotta, e lo sforzo N2 sarebbe caduto a zero; l'intero carico si sarebbe quindi trasferito sulle aste laterali. Queste, ricevendo il nuovo sovraccarico, avrebbero a loro volta raggiunto la Resistenza e si sarebbero rotte; in altri termini, non avrebbero mai potuto lavorare tutte contemporaneamente al massimo sforzo. Gli elementi strutturali fragili, pertanto, non permettono ridistribuzione degli sforzi. Nell'esempio presente, è necessario che l'asta centrale, raggiunta la Ras, riesca a deformarsi ulteriormente, mantenendo la propria sollecitazione costante (è una condizione di congruenza che deve verificarsi con le altre aste, che, assorbendo l'ulteriore carico, devono subire ulteriori allungamenti). E' necessario, cioè, che gli elementi i quali nella ridistribuzione devono cedere sforzo (in proporzione) siano sufficientemente duttili, perché essa abbia luogo. Nell'esempio, si è supposto che avvenisse una ridistribuzione totale degli sforzi, cioè tale da permettere a tutte le aste di raggiungere la loro tensione di rottura. Se la duttilità viceversa è limitata, può aver luogo una ridistribuzione parziale degli sforzi, oltre la quale la struttura cede.

61

ridistribuzione completa N1= N2 = N3 P non può crescere ulteriormente

P 5930 (Fu*)

ridistribuzione per non linearità dell'asta 2 N1= N2 >0,5 N3

1e3 4200

distribuzione elastica lineare degli sforzi: N1= N2 =0,5 N3

2

2461 R*as A

N

P 5930

4200

allungamento di rottura dell'asta 2 allungamento elastico dell'asta 2

allungamento plastico (duttilità) richiesto nell'asta 2 (=1231 h/E) per la ridistribuzione totale

N

La duttilità degli elementi, cioè la loro capacità di subire estese deformazioni (in generale, quindi: allungamenti, rotazioni, scorrimenti eccetera) mantenendo il corrispondente sforzo circa costante, è una proprietà molto importante per le strutture.

definizione ed effetti

La duttilità consente una ridistribuzione degli sforzi, quindi un migliore sfruttamento delle resistenze di tutti gli elementi. Ciò permette anche che una determinazione non precisa delle sollecitazioni (nei calcoli) venga assorbita dalla struttura con maggiore sicurezza rispetto a una struttura fragile. La rottura delle strutture duttili è inoltre preceduta da forti deformazioni, che sono un preavviso visibile dell'approssimarsi del pericolo. La duttilità è poi molto utile ad evitare collassi completi di strutture che subiscano azioni eccezionalmente violente (urti, esplosioni, sismi), tali da renderle in servibili nel seguito. Ciò in ragione della notevole energia che assorbono gli elementi duttili durante la deformazione plastica (irreversibile), oltre che della redistribuzione degli sforzi. In definitiva, la duttilità degli elementi strutturali è una qualità essenziale per la riserva di sicurezza, anche al di là delle sollecitazioni previste nel calcolo.

vantaggi delle strutture duttili

62

4 ANALISI DELLA SEZIONE IN C.A.

La ricerca dello stato tensionale in una struttura è un problema iperstatico, nel senso che non sono sufficienti considerazioni di equilibrio di forze a definirlo completamente, ma occorrono anche condizioni di congruenza (o compatibilità) delle deformazioni e, pertanto, anche la definizione dei legami fra tensioni e deformazioni. Come é noto, la teoria della elasticità studia la distribuzione delle tensioni in corpi tridimensionali qualsiasi, in cui detti legami siano elastici. Diversi legami sono presi in esame in altre teorie. Non è necessario però trattare tutti i corpi come tridimensionali, benché lo siano. Si ricorre infatti a modelli semplificati: monodimensionali, come la trave, o bidimensionali, come la piastra, quando un elemento strutturale abbia una dimensione (o rispettivamente due) prevalente nettamente sulle altre. In questo modo il problema iperstatico si riduce. Nello schema trave ad esempio, si individua un sottoschema sezione (retta) (cfr. Appendice I) per il quale sono significative le caratteristiche di sollecitazione o sforzi (sforzo normale, flessioni, tagli, torsione). Se la trave è isostatica rispetto ai vincoli esterni queste si possono determinare mediante le sole condizioni di equilibrio, cioè mediante la statica dei corpi rigidi. I1 problema iperstatico viene con ciò circoscritto alle singole sezioni, per il principio di de Saint Venant. Se invece la trave é iperstatica anche esternamente, le caratteristiche di sollecitazione si debbono determinare mediante la statica 63

sforzi (sollecitazioni) nella sezione

dei corpi deformabili; ma il problema è comunque semplificato dal detto principio. Si. ricorda che vengono trattate con modelli monodimensionali non solo le travi isolate, ma anche le strutture composte di elementi monodimensionali collegati fra loro (iso- ovvero iper-staticamente) come tralicci, telai, graticci. Anch'esse vengono dette brevemente strutture monodimensionali, benché nell'insieme possano avere uno sviluppo piano o spaziale. Si ricorda inoltre che correntemente si chiamano strutture iperstatiche solo quelle in cui gli elementi sono vincolati iperstaticartente (fra loro o esternamente) e isostatiche quelle in cui le caratteristiche di sollecitazione sono staticamente determinate. I1 problema della determinazione delle tensioni in una struttura monodimensionale si svolge in due momenti: 1) determinazione degli sforzi esterni nelle sezioni della struttura: analisi della struttura 2) determinazione delle tensioni nei vari punti della sezione e degli sforzi interni: analisi della sezione. La parte 1) analisi della struttura, che comprende naturalmente anche la determinazione delle reazioni vincolari, richiede per le strutture iperstatiche la conoscenza della deformabilità degli elementi e quindi del comportamento delle sezioni. Pertanto essa verrà svolta dopo l'analisi della sezione. Del resto, anche in fase di progetto l'analisi della struttura richiede un dimensionamento preliminare della sezione, con delle sollecitazioni di prima approssimazione, al fine di poter assegnare una deformabilità ed un peso agli elementi: ottenute così le sollecitazioni, le sezioni vengono ridimensionate; si procede quindi per successivi aggiustamenti tra calcolo della sezione e calcolo della struttura. Anche da questo punto di vista perciò non è illogico trattare la sezione prima della struttura. Questo capitolo tratterà dunque dell'analisi delle sezioni (o meglio di conci) di trave in c.a., soggette a caratteristiche di sollecitazione considerate date, cioè, riguardo alla sezione, esterne. La sezione verrà considerata sotto l'aspetto del progetto e della verifica. Ciò che conta, ai fini del controllo numerico della sicurezza, é la verifica della sezione, 64

analisi della struttura e della sezione

progetto e verifica

secondo quanto prescritto dalle norme. Per progetto della sezione, si intende un dimensionamento preliminare (dati gli sforzi) della sezione e delle armature, il più preciso e ottimale possibile, affinché la sezione soddisfi le verifiche regolamentari secondo uno dei procedimenti visti nel capitolo 3. Ciò si ottiene scegliendo più o meno liberamente alcuni parametri (altezza, larghezza, qualità dei materiali, area delle armature, eccetera) e ricavando gli altri con l'ausilio di qualche operazione. L'importanza pratica di un procedimento di progetto in questa accezione é notevole, in quanto può accelerare i calcoli. Da un punto di vista teorico lo è meno, in quanto qualsiasi procedimento è valido - al limite anche un dimensionamento a occhio - purché le verifiche siano poi soddisfatte e non vi siano sprechi. Altro è invece il progetto della struttura nella accezione più vasta - cui si accennava nell'introduzione - di impostazione, scelta dei tipi e definizione dei particolari, aldilà delle verifiche numeriche.

4.1

COMPORTAMENTO DI ELEMENTI IN C.A.

Negli elementi monodimensionali in cemento armato sono presenti in via generale tutte e sei le caratteristiche di sollecitazione; alcune sono però prevalenti. Quasi sempre fra esse la flessione, accompagnata dal taglio o dallo sforzo normale. Ad esempio, nella struttura di un edificio le travi orizzontali sono soggette prevalentemente a flessione e taglio, quelle verticali (pilastri) a flessione e compressione. Spesso uno schema strutturale può essere considerato piano, eliminando con ciò nelle sezioni una componente di flessione, una di taglio, e quella di torsione. Giova ricordare però quanto si è detto a proposito del buon progetto di una struttura in generale: cioè che la verifica non è tutto e che se le sollecitazioni fuori del piano si trascurano in alcuni casi, per semplicità, nei calcoli, tuttavia la loro presenza va tenuta in conto nella disposizione delle armature e nei particolari costruttivi. Ciò premesso, si esamini il comportamento di una trave reale in c.a. soggetta a flessione 65

comportamento al vero

e taglio. Se le sollecitazioni sono molto basse, cioè se inducono nelle sezioni tensioni inferiori alla resistenza a trazione del conglomerato, la trave si comporta all'incirca come se fosse omogenea e isotropa. Al crescere delle sollecitazioni le parti tese si microfessurano e gli sforzi di trazione si trasferiscono via via alle armature di acciaio. A1 crescere ulteriore del carico, nascono delle fessure ben delineate, (v.figura), che partono dal lembo teso e montano perpendicolarmente verso l'asse neutro nelle zone prevalentemente inflesse, mentre si propagano obliquamente nelle zone prevalentemente soggette a sforzo di taglio. Se si fa crescere poi il carico fino al collasso, questo potrà avvenire, schematicamente: per rottura del conglomerato al lembo compresso (con o senza snervamento delle armature al lembo teso); per rottura del conglomerato nell'anima; per rottura o per sfilamento delle armature; o comunque per una combinazione di tali modi. I1 comportamento degli elementi in c.a. impone prima di tutto di tener conto della fessurazione in tutte le verifiche di resistenza (sia con il metodo delle t.a., sia agli s.1. ultimi) con la parzializzazione della sezione sullo schema di calcolo: la parte in conglomerato viene considerata non reagente a trazione e parzializzata alla sola zona compressa. Nelle verifiche agli s.l. di esercizio, come p.e. la fessurazione, la resistenza a trazione sarà invece tenuta in conto. Le armature in acciaio vengono considerate ugualmente reagenti a trazione eacompressione e solo secondo l'asse della barra: l'area di una barra si considera cioè concentrata in un punto della sezione (la rigidezza a flessione della barra viene considerata solo in quanto si possa opporre al suo stesso svergolamento per carico di punta, cfr. par.4.6). Nelle verifiche a sforzo normale e a flessione, si assume che ogni sezione retta si mantenga piana (schema di Navier), cioè che il diagramma delle E (lungo una perpendicolare all'asse neutro) sia lineare. Tale diagramma di riguarda sia il conglomerato sia le armature, le quali subiscono quindi la stessa deformazione del conglomerato adiacente: vengono considerate cioè aderenti (ovviamente la buona corrispondenza del comportamento reale a tale schema deve essere assicurata con gli opportuni ancoraggi). 66

armature

sezioni piane ( lineare)

aderenza

Sempre con riferimento alle sollecitazioni di sforzo normale e flessione, l'impiego di lineari (possibile, come si è visto, nel metodo t.a. e nelle verifiche a s. 1. di relazioni esercizio) permette di elaborare uno schema utile per l'analisi della sezione in c.a.: la sezione omogeneizzata. Si ponga il problema: qual è l'area B°, (di una sezione) di conglomerato, elasticamente equivalente ad una certa area di acciaio A°; cioè qual é l'area che, a parità di deformazione ° fornisca la stessa forza F°. La forza fornita da A° e da B° rispettivamente, per un accorciamento ° sarà, ricordando che la relazione lineare (Hooke) si esprime = E : F° = A° F° = B°

a b

omogeneizzazione della sezione

= B°Eb °

dall'uguaglianza degli ultimi membri si ricava B° = A° (Ea/Eb) = A°

F0

F0

= A°Ea °

A0

n

I1 rapporta fra i moduli elastici dei due materiali n = Ea/Eb viene detto coefficiente di omogeneizzazione. La risposta al problema è che una area di conglomerato n volte maggiore di una area di acciaio fornisce la stessa forza, a parità di deformazione , e viceversa. In una sezione in c.a. un'area di acciaio equivale quindi ad una area di conglomerato n volte, superiore, ai fini della risposta elastica. Inoltre, l'area d'acciaio reagisce anche a trazione. I1 coefficiente di omogeneizzazione n può essere assunto come fisso. Le norme stabiliscono il valore convenzionale: n = 15 o altri valori a seconda dei casi.

67

l l

B0

0

ll

Per questa ragione il metodo di verifica lineare delle tensioni ammissibili, vie ne detto anche metodo n (cfr. par.3.3). Una sezione in c.a. quindi equivale (si sottolinea ancora: quando i materiali seguono la lineare di Hooke) ad una sezione omogenea in solo conglomerato, nella relazione quale 1) sia esclusa la parte di conglomerato tesa, e 2) alle armature corrispondano aree concentrate pari a n volte quelle effettive d'acciaio, e che queste aree resistano anche a trazione. L'unica particolarità dell'analisi lineare per le sezioni in c.a. (rispetto a quelle omogenee) è che la sezione parzializzata non è nota a priori ma,per poterla determinare, bisogna prima trovare la posizione dell'asse neutro, in modo da escludere la parte tesa. Una volta parzializzata ed omogeneizzata, quindi, la sezione, che così viene detta anche sezione ideale, si può trattare come una sezione omogenea qualsiasi (il cui comportamento è, peraltro, stato già esaminato nei corsi precedenti). In particolare, si può operare per sovrapposizione degli effetti, purché si operi sulla sezione parzializzata rispetto agli effetti complessivi. E' ciò che si vedrà nei prossimi paragrafi. L'omogeneizzazione con il coefficiente n e, quindi, la sezione ideale non potranno impiegarsi per l'analisi non lineare. Per quanto riguarda gli sforzi di taglio e di torsione, invece, il modello impiegato per la verifica di una trave in c.a. è nettamente differente dai corrispondenti per le travi omogenee e verrà introdotto nei paragrafi 4.4 e 4.5.

4.2

sezione ideale

A' a.n a) A

n A' A' b) A

68

n A

a.n Sezione ideale a) parzializzata (a.n. interno) b) non parzializzata (a.n. esterno)

FLESSIONE SEMPLICE - ANALISI LINEARE

Vengono trattate come sezioni inflesse quelle di numerosissimi tipi di strutture (indipendentemente da come vengono verificate: cioè alle tensioni ammissibili, mediante un'analisi lineare, come si vedrà ora, oppure allo stato limite di rottura, trattato nel prossimo paragrafo). Quando una trave è soggetta a flessione e taglio, le sezioni vengono analizzate come per la flessione semplice e separatamente poi si esamina il taglio. Così pure si opera in genere per la flessione con torsione. A1 contrario, quando la flessione è associata a sforzo normale,

n A

generalità

occorrerà tenerne conto simultaneamente, in quanto entrambe le sollecitazioni producono tensioni normali sulla sezione. Per fare alcuni esempi, sezioni inflesse vengono considerate quelle di grandi travate di copertura o di ponte (v.fig.), nella loro sollecitazione di insieme derivante dallo schema longitudinale a trave. Con altri schemi si analizzano poi le inflessioni trasversali, delle strisce che la compongono (come ad es. le mensole degli sbalzi laterali). Anche le sezioni di solette e solettoni, a pianta rettangolare e vincolati solo su due lati opposti, vengono trattati come sezioni di travi inflesse, se i carichi sono distribuiti uniformemente rispetto alla larghezza della soletta (altrimenti nasce un problema di ripartizione trasversale della sollecitazione, che può richiedere la trattazione bidimensionale della struttura). Un esempio particolare è dato dai comuni solai in c.a. e laterizio, negli edifici. Essi hanno forma di soletta nervata (v.fig.), se si trascura la collaborazione del laterzio alla resistenza. Essi vengono trattati per semplicità a trave, benché non si verifichino le condizioni di cui sopra: normalmente sono vincolati di fatto sui quattro lati ed il carico non è uniforme (per la parte accidentale). Nel calcolo, essi vengono considerati vincolati soltanto sui lati perpendicolari ai travetti; si adottano poi alcuni accorgimenti a integrazione dello schema, come le armature trasversali, di ripartizione e di collegamento ai lati. Un altro esempio è rappresentato dalle travi che sorreggono i solai stessi o le solette. Come appare dalla figura, esse o sono in spessore o hanno una sezione a T di cui l'ala superiore è costituita da parte della soletta. Quest'ultimo tipo si presta ad alcune considerazioni. a) la trave con una sezione a T funziona come tale solo quando l'ala si trova al lembo compresso. Se la flessione si inverte, come avviene nelle travi continue su più appoggi, la stessa sezione va considerata come rettangolare con larghezza pari all'anima, poiché l'ala tesa, viene esclusa nella parzializzazione. b) La larghezza dell'ala può essere molto grande in rapporto alla luce della trave stessa.

69

Trave a cassone

Soletta piena appoggiata su due lati

Soletta nervata

b Me

Me

b0

In tal caso la larghezza non può essere considerata tutta utile (il principio di de Saint Venant non lo consentirebbe). Le norme stabiliscono una larghezza convenzionale collaborante massima per il calcolo a trave, in funzione della luce (l) della nervatura,e dello spessore (s) della soletta: essa è pari al massimo dei due valori l 10 e 5 s . c) Le travi di bordo con soletta (o parte di solaio) collaborante vengono trattate spesso ome travi a T, mentre in realtà la loro forma asimmetrica ha gli assi principali d'inerzia deviati rispetto alla direzione dell'ala e dell'anima. L'approssimazione che si fa nel considerare anche qui l'asse neutro perpendicolare al piano di sollecitazione (verticale) è giustificata per tali strutture, in realtà soggette a flessione deviata. Di questa verrà dato un cenno nel paragrafo 4.3. Nelle travi inflesse le armature principali di flessione attraversano le sezioni dalla parte tesa, il più vicino possibile al lembo esterno per acquistare il massimo braccio. Ciò compatibilmente con lo spazio per le staffe, (armature di cucitura trasversale (v.fig.) di cui si tratterà a proposito del taglio) oltre a un minimo di distanza regolamentare copriferro di protezione. Quando l'armatura non ha spazio sufficiente per essere alloggiata correttamente in uno strato, si dispone su più strati, con ulteriore aumento della distanza dal lembo teso. Inoltre, saranno sempre presenti armature secondarie longitudinali in piccola quantità: almeno un paio di piccole barre vicino al lembo compresso (reggistaffe), ed eventualmente altre, anche ad altezza intermedia nelle sezioni alte e sottili, per assorbire tensioni dovute al ritiro o alla torsione, eccetera; talvolta le armature in compressione sono in quantità superiore al minimo, per ridurre le tensioni nel conglomerato senza aumentare le dimensioni della sezione. Nella flessione semplice retta le caratteristiche di sollecitazione sono tutte nulle (in particolare Ne = 0) eccetto il momento flettente agente secondo un asse principale della sezione. Esso è noto e per la sezione è un momento esterno Me. Si consideri una generica sezione . Gli assi di riferimento x,y abbiano origine nel centro geometrico della sezione. L'asse di sollecitazione sia y. Le risultanti delle tensioni interne saranno, per definizione: 70

b=b0 +max (5 s,l/10) s

b0

(compressione) b

b

staffa

h

staffe

copriferro armatura tesa di trazione

calcolo delle tensioni

b0

Ai

Ai

dA

y

N

dAy

M

y

yn

Si farà riferimento senz'altro alla sezione ideale (cfr. par.4.1); pertanto gli integrali varranno estesi all'area ideale Ai e le saranno quelle del conglomerato. 1) L'equilibrio alla traslazione e alla rotazione tra sforzi esterni e risultanti interne sarà espresso dalle equazioni

asse neutro x

N = Ne = 0 M = Me = 0 2) I1 legame tensioni-deformazioni sarà qui lineare (Hooke) = Eb 3) La congruenza con lo schema di sezione piana (Navier) impone alle e un andamento lineare, parallelamente a y. =K

yn

dove K è una costante da determinarsi; yn è la distanza del punto generico dall'asse neutro, esso pure da determinarsi Sostituendo a catena, le due equazioni di equilibrio diventano 0

Ne

N

Me

N

Ai

dA

Ai

E dA

Ai

dAyn

Ai

Ai

EKyn dA

E dAyn

Ai

EK

Ai

EKyn2 dA

yn dA

EKSin

EK

yn2 dA

Ai

A'

A

EKJ in

Per definizione infatti (v.Appendice) gli ultimi integrali, che sono estesi alla area della sezione ideale, sono rispettivamente il momento statico Sin e il momento di inerzia Jin della sezione ideale stessa rispetto all'asse neutro. Dalla prima delle due equazioni si ha: EKSin = 0

Sin = 0

71

a.n.

b' max a' /n

bmax a'

a

a /n

Cioè il momento statico della sezione ideale rispetto all'asse neutro è nullo. Tale relazione si impiega appunto per trovare la posizione dell'asse neutro. Dalla seconda equazione si ricava: Me = EK Jin e quindi la tensione E

EKyn

K

M e EJ in

t

y a.n.

Me

M e EJ in

M e J in yn

queste sono tensioni della sezione ideale, cioè omogeneizzata in conglomerato, quindi saranno valide per il conglomerato, mentre per l'acciaio andranno moltiplicate per il coefficiente di omogeneizzazione n: a

C=1/2b b' max y

nel punto generico vale:

Si osservi che tutte queste espressioni sono quelle già note per le sezioni omogenee. Si sono qui ricavate per mostrare come è sufficiente riferirsi ad area, momento statico e momento d'inerzia della sezione ideale per trasferire tali risultati al caso della sezione in c.a.. Anche qui la costante K é la curvatura (corrispondente allo schema di sezioni non reagenti a trazione) della linea d'asse della trave nella sezione in esame. Per il calcolo delle tensioni e la verifica si procede quindi così: 1) Si scrive l'espressione del momento statico della sezione ideale rispetto all'asse neutro: poiché la posizione di questo è incognita, l'espressione conterrà una incognita. Uguagliando a zero Sin si otterrà un'equazione che permetterà di ricavarla. 2) Si calcola quindi il momento d'inerzia Jin; le tensioni nei punti della sezione in funzione delle rispettive distanze yn dell'asse neutro varranno: b

b' max

n M e J in yn

I valori massimi (in assoluto) delle tensioni così calcolate vanno confrontati con le corrispondenti tensioni ammissibili. Si dovrà verificare cioè che (valori assoluti)

72

T=A

verifica

a

a /n

'b max a

max

'b a

Le norme prevedono inoltre che l'armatura tesa rispetti un minimo (0,25% dell'area della sezione, per barre lisce e 0,15% per barre ad aderenza migliorata). Le espressioni di Sin e Jin in sono in pratica molto semplici da calcolarsi, come appare dai seguenti esempi (nel seguito, per brevità si ometterà l'indice i, restando però inteso che Sin e Jin saranno riferiti alla sezione ideale). Esempio: sezione rettangolare con armatura semplice. L'incognita più comoda da assumersi è la distanza y dell'asse neutro dal lembo compresso. by 2 2

Sn

nA y h

y

0

(si riconosce in questa relazione l'equilibrio alla traslazione delle risultanti interne, divise per b max y ) ricavata la y da tale relazione, il momento d'inerzia rispetto all'asse by 3 3

nA y h

2

(qui si riconosce invece, sempre diviso per

b

max y , l'equilibrio alla rotazione delle

risultanti interne con Me). Noto il momento esterno Me, le tensioni massime varranno: per il conglomerato, al lembo compresso ( yn y ) b

max

Me Jn y

per l'acciaio, nell'unico strato presente nell'esempio ( yn a

bmax

a.n.

h a /n

neutro vale Jn

yn

max

y h)

n Me Jn y h

(che verrà negativa, come ( y h ), essendo di trazione).

73

Analogamente si procede nel caso di sezioni di larghezza variabile e con più armature: le espressioni di Sn e di Jn conterranno alcuni termini in più. Occorre talvolta fare delle ipotesi sulla posizione dell'asse neutro in rapporto alla figura, come appare dall'esempio seguente. Si abbia una sezione a T, con tre strati di armature. Non si sa a priori se l'asse neutro cadrà nell'ala superiore oppure nell'anima (ciò dipende dallo spessore dell'ala in rapporto alle altre dimensioni della sezione e delle armature). Si suppone allora che cada nell'ala: Sn

1 2 b2 y 2

nA1 y h1

nA2 y h2

nA3 y h3

yn y

a max/n

0

neutro cada effettivamente nell'ala, come supposto. In tal caso si procede come nell'esempio precedente al calcolo di Jn (con i termini di tutte le armature, ovviamente) e quindi delle tensioni massime. Altrimenti, se risulta y s , l'asse neutro cade nell'anima; ma la y così trovata non è quella

b2 hII

hI

hIII

b1 y

s

2

nA1 y

h1

nA2 y

h2

nA3 y

h3

1 3 b2 y 3 1 3 b2

b1 y

s

3

nA1 y

h1

2

nA2 y

h2

2

nA3 y

h3

y s ys

Una volta fissate però un numero sufficiente di grandezze, le altre si possono ricavare rispettive dei analiticamente, imponendo le condizioni che le max risultino uguali alle due materiali. Si supponga di aver stabilito di impiegare una sezione rettangolare di una certa larghezza b e con armatura semplice (cioè solo dalla parte tesa). Sono ovviamente assegnate la sollecitazione Me e le tensioni ammissibili b e a . Si cercano delle espressioni che forniscano l'altezza utile h e l'armatura A in funzione del lato b (o viceversa). 1) L'equazione di equilibrio alla traslazione (Sn = 0) può leggersi: 1 2 b2 y 2

nA h

y

cioè SCn =

STn

(i due termini sono i momenti statici della parte compressa e di quella tesa rispettivamente: v. figura a pag.72). Sostituendo STn con SCn nell'espressione di Jn si ottiene: 1 3 by 3 1 2 by 2 h

Jn Jn

y

SCn t

t, che nel caso presente vale h

1 2 by 2 h

y 3 , cioè

(oppure J n

STn t )

H h

max

Me Jn y

a

max

T

n Me Jn y h

Inserendo in queste equazioni le condizioni che si vogliono imporre:

4

Nella geometria delle masse t è la somma dei bracci dei baricentri dei momenti statici, o centri relativi, rispetto all'asse neutro; si riconosce così 1'espressione del momento d'inerzia come momento statico dei momenti statici, cfr. Appendice.

75

y/3 y

t

y 3 , è i 1 braccio delle forze (risultanti) interne4.

2) L'equazione di equilibrio alla rotazione, espressa in funzione delle due tensioni massime, fornisce: b

a.n.

C

bmax

b

a /n

b

max

b

;

a

max

a

nonché l'espressione di Jn appena vista (punto 1), si ottiene 2 M e by h

b

a

y 3

2nM e h by h y 3 2

y

Questo sistema, risolto in funzione delle due incognite y ed h fornisce: h in cui

y

Me b

kh

e k sono coefficienti in cui vengono raccolte funzioni delle sole (

b

,

a

,n).

La comodità di queste espressioni è nel fatto che le funzioni e k si trovano in tabelle, come quella in figura. Queste riportano anche altri coefficienti, che determinano le corrispondenti quantità di armature, ed il braccio delle forze interne, ottenuti dalla manipolazione delle stesse relazioni. Il dimensionamento, consiste dunque nel determinare l'altezza utile h in funzione di b, o viceversa, rispettivamente con le formule:

h

Me b

b

e successivamente l'armatura h 0,9h : interne t

A

Me

a

di

trazione

M e h2 A,

mediante

il

braccio

delle

forze

C t

t

I risultati di queste formule di dimensionamento, h (o viceversa b) ed A, vanno poi arrotondati secondo dimensioni costruttive. Essi sono esatti per le sezioni rettangolari con armatura semplice, che quindi non richiedono ulteriori verifiche una volta arrotondate per eccesso. Vengono pure impiegati per un dimensionamento di sezioni a T o con doppia armatura: in tali sezioni è necessaria però una verifica. Esistono poi altre tabelle analoghe, ricavate per le sezioni rettangolari con armature doppie in varie proporzioni.

76

T=A

=M/t

Nelle travi in cui l'altezza h è vincolata da ragioni di ingombro ed anche la larghezza b non può superare certi limiti (come ad es. nelle travi in spessore di solaio), non si potrà ottenere che entrambi i materiali lavorino al massimo: infatti non c'è modo di soddisfare la formula di progetto né per h né per b, se si assegnano entrambe le tensioni . Per contenere la bmax entro la b, occorrerà allora disporre acciaio in quantità tale che esso lavori a a a (sia in trazione sia, eventualmente, in compressione). Le formule di progetto e le relative tabelle potranno venir impiegate per ricercare (con tentativi) a quali a e b corrisponda un coefficiente ed un braccio del le forze interne t tali da soddisfare le h e b assegnate. L'area di acciaio necessaria (in questo caso armatura semplice) sarà data da

A

M t

a

Se si dispone anche armatura in compressione, per lo stesso impiego delle formule di progetto si potrà omogeneizzare tale area in conglomerato e tradurla in un allargamento equivalente approssimativo della sezione. La determinazione dell'armatura in trazione procede poi come sopra.

77

travi in spessore

4.3 FLESSIONE SEMPLICE - ANALISI NON LINEARE Le sezioni soggette a flessione sono ovviamente le stesse del paragrafo precedente, le quali vengono ora esaminate sotto il profilo dello s.l. di rottura. Lo schema di calcolo differisce da quello impiegato nella analisi lineare solo per il legame tensioni deformazioni, che non rifletterà qui la legge di Hooke, ma leggi non lineari del tipo di quelle viste nel par.3.1., meglio adatte a riprodurre le tensioni in condizioni di rottura. Pertanto non sarà applicabile la omogeneizzazione (par.4.1.), in quanto essa è fondata sul rapporto fra i moduli di elasticità lineare (coefficiente n), né, quindi, lo schema di sezione ideale. Rimarrà valido invece lo schema di parzializzazione, cioè l'esclusione della zona di conglomerato tesa nella verifica di resistenza. Si avrà una sollecitazione esterna di calcolo costituita da un momento flettente Me, che sarà maggiore di quello di esercizio, si ricorda, in quanto conterrà i coefficienti di sicurezza regolamentari F. Come è stato detto nel par.3.3, non conviene calcolare lo stato di tensione interno corrispondente ad Me, per poi verificare se le corrispondenti rientrino nei limiti convenzionali di rottura. E' più semplice invece ricavare il momento Mu, per il quale tali limiti vengono raggiunti: momento (interno) di calcolo di rottura o ultimo, e verificare quindi che esso non sia inferiore al momento esterno:

M e*

M u*

Mu sarà di calcolo, in quanto elaborato dalle relazioni fondate sulle resistenze di calcolo dei materiali, cioè, si ricorda ancora, su quelle caratteristiche ridotte dei coefficienti M. (cfr. par.3.3). La verifica allo s.l. di rottura per flessione richiede dunque, in sostanza, il calcolo del momento di rottura della sezione M u* . del conglomerato, tutti A titolo di illustrazione si considereranno alcuni diagrammi limitati alla b = ’bu = 0,0035, ed uno per l'acciaio (bilineare elasto-plastico senza

momento di rottura (di calcolo)

incrudimento); quest'ultimo dev'essere limitato in trazione a au = -0,01, ma per comodità può venir considerato illimitato (solo per la flessione semplice, non alterando significativamente il valore di Mu). Pertanto lo s.l. verrà raggiunto sempre per bmax = ’bu. Ai fini del calcolo però conviene distinguere fra i casi in cui tale valore ’bu viene raggiunto prima, o dopo, che l'acciaio in trazione abbia raggiunto la deformazione di snervamento (di calcolo)

as

rottura di compressione rottura di trazione

Ra* S E : infatti, a seconda dell'uno o dell'altro modo di

rottura (detti anche di compressione e di trazione), il valore di M u* si calcola in maniera diversa. Per una data sezione, il modo di rottura dipende dalla quantità di armatura tesa A, a * b

armatura bilanciata

* a

parità di tutte le altre condizioni (cioè dimensioni della sezione, resistenze R ed R , armatura in compressione A'). I1 valore Ab dell'armatura, per cui l'acciaio si troverebbe proprio al limite di snervamento ( as) quando il conglomerato raggiunge l'accorciamento di rottura ’bu, si dice Armatura bilanciata. Se l'armatura effettivamente presente in trazione A è inferiore ad Ab l'acciaio si snerva prima che il conglomerato si rompa e la sezione si dice debolmente armata. Viceversa, se A è superiore ad Ab, l'acciaio è ancora in campo elastico alla rottura del conglomerato compresso; la sezione si dice fortemente armata. Nel caso in cui A = Ab la sezione si dice anche normalmente armata. Si noti che l'appellativo di normale è riferito solo alla distinzione dei due modi di rottura, e non ad una opportunità di armare effettivamente le sezioni con tale quantità; ché anzi normalmente la maggior parte delle sezioni sono debolmente armate, ed è opportuno che sia così ai fini della loro duttilità e, d'altro canto, spesso, del loro costo. Il valore dell'armatura bilanciata Ab si determina facilmente imponendo alla sezione un diagramma di lineare(come sempre per la congruenza) e che rifletta le condizioni: b

max

' bu

a

max

as

cioè

y

' bu

h ' bu

as

79

AAb distribuzione elastica

progetto

aAb

Individuato tale diagramma si calcolano i momenti flettenti nelle direzioni parallela e perpendicolare all'asse neutro, i quali, composti vettorialmente, forniranno un valore risultante del momento di rottura (in una direzione che a priori non era nota). Si ottiene così un punto della frontiera. Ripetendo la stessa operazione per tutte le direzioni dell'asse neutro (o per un ambito ristretto che possa comprendere la direzione che si cerca) si ottiene il dominio richiesto (o una porzione di esso). Naturalmente i punti del dominio sugli assi

a .n . a=R a*s

rappresentativo della sollecitazione esterna M ex* , M ey* sullo stesso piano. Se il punto è interno al dominio, la verifica è positiva; se invece è esterno non è soddisfatta. Si ricordi che i momenti di calcolo, esterni e interni, contengono già tutti i rispettivi coefficienti di sicurezza. I domini di rottura si trovano risolti in prontuari, per alcune sezioni più comuni, in funzione di diverse qualità di conglomerato e di acciaio.

85

C

C=-T T

principali della sezione x, y sono quelli rappresentativi dei momenti di rottura M ux* e M uy* nelle due flessioni rette, che si calcolano direttamente, come si è visto precedentemente. Si noti che nella figura (pag. prec.) è stato disegnato un solo quadrante del dominio di rottura. Gli altri tre sono uguali (simmetricamente) se la sezione è simmetrica rispetto agli assi x ed y (sia per la forma sia per l'armatura); altrimenti il dominio completo avrà i quattro quadranti disuguali. Una volta che si è in possesso del dominio di interazione per la rottura in flessione deviata di una sezione, le verifiche relative sono immediate: si riporta il punto

b =R * b'u

verifica

4.4 TAGLIO E FLESSIONE Le strutture portate ad esempio per la flessione sono generalmente soggette anche a taglio. Una trave soggetta a sforzo di taglio è necessariamente soggetta anche a flessione, essendo T

dM dz

La flessione può invece essere presente da sola (come nell'esempio in figura), in tratti di trave, ma ciò non avviene di frequente. Le armature specifiche per il taglio sono costituite da staffe (armature trasversali che corrono lungo il perimetro della sezione racchiudendo anche le armature longitudinali), e da ferri piegati o sagomati (armature longitudinali che attraversano in obliquo l'altezza della trave: generalmente sono realizzati piegando le stesse barre longitudinali di flessione). Le stesse barre longitudinali, in alcuni tratti servono per il taglio, come si vedrà oltre. Si esamina uno schema di analisi impiegato per la verifica alle tensioni ammissibili. In esso le tensioni nel conglomerato e nell'acciaio si calcolano servendosi di due modelli diversi ed indipendenti. Una prima verifica riguarda le tensioni tangenziali nel conglomerato, secondo il seguente modello: a) si assume che la distribuzione delle tensioni normali dovute alla flessione (nello schema della sezione ideale) non venga alterata dalla presenza del taglio; b) si assume che l'intera sezione di conglomerato, anche la parte tesa, reagisca alle (e quindi alle corrispondenti oblique di trazione). Con riferimento alla figura, si consideri un concio di trave a sezione e armatura costanti, compreso tra le sezioni 1 e 2, distanti dz, e soggetto a flessione e taglio. Si divida il concio in due parti (linea tratteggiata): in sezione, la parte superiore presenterà l'area A* (eventualmente parzializzata e omogeneizzata), e l'altra la restante area. Sulla parte superiore agiscono in direzione z le risultanti: nella sezione 1, la risultante delle di compressione relativa ad A* (cfr.par.4.2):

86

T M sagomati

T M staffe longitudinali di flessione

verifica alle t.a. tensioni nel conglomerato

C1*

dA

A*

EK1

A*

ydA

M1 * S J

J è il momento d'inerzia della intera sezione omogeneizzata. S* è il momento statico di A* rispetto all'asse neutro nella sezione 2, analogamente (J ed S* saranno gli stessi, essendo la distanza dz infinitesima) C 2*

C1

A*

C2

y* M1

h

M1 J S *

a.n.

M2 1

in presenza di sforzo di taglio sarà M 2

M 1 ; quindi sulla superficie orizzontale di

b

2

dz

stacco fra le due parti agirà, per l'equilibrio, una risultante infinitesima dF *

C 2*

C1*

M2

M1 S* J

dMS * J

TdzS * J

Supponendo la distribuzione delle uniforme sulla superficie dì stacco (b dF *

C1

1

dz) si avrà

bdz

dF= bdz

da cui T

S*

C2

J

b

2

A*

b

*

T e J sono costanti (per la sezione), mentre b ed S variano in funzione della linea di stacco (distante y* dall'asse neutro). Le così calcolate sono yz (orizzontali). Ad esse per reciprocità corrispondono le zy (verticali) agenti sulla sezione all'altezza y. Tale procedimento si può applicare riguardo a qualunque linea che divida in due la sezioni. La ricavata sarà la media perpendicolare alla linea stessa. S* sarà il momento statico rispetto all'a.n. di una delle due superfici staccate e b la lunghezza della linea di stacco. Dall'espressione delle verticali di una sezione si ottengono i diagrammi esemplificati in figura, che sono coerenti con l'ipotesi che la parte tesa in flessione non reagisca. S*, quindi, nella zona fra l'asse neutro e le armature di trazione è costante. In tale zona varia solo se varia b, ed è massima dove b è minima:

87

T

max

S *n

J bmin

T t bmin

a.n.

poiché il braccio delle forze interne t vale:

t

M C

ydA dA

c om p .

EKJ EKS *n

J S *n

Nella parte compressa, invece, S* ha un andamento parabolico, poiché sia A* sia la sua distanza dall' a.n. variano con y*. In figura sono riportate anche le orizzontali nell'ala di una sezione a T, che possono assumere talvolta valori da controllarsi. Le max calcolate vanno confrontate con la ammissibile, stabilita dalle Norme:

a.n.

R'bk 150 35 (kg/cm2)

14

Tale verifica ha per scopo di evitare in esercizio la fessurazione per taglio, la quale nasce obliquamente e si estende facilmente a tutta l'altezza della zona tesa. Essa è dovuta alle principali di trazione che, dove la longitudinale è nulla (cioè fra 1'a.n. e le armature tese), sono dirette a 45° ed hanno valore 1 = , come si ricava dal circolo di Mohr. La verifica delle non è quindi altro che una verifica delle 1. Se poi si ha che max

4

R'bk 150 35

allora le norme permettono di evitare la verifica delle armature. I1 calcolo degli sforzi nelle armature viene svolto, come si è detto, con l'impiego di un altro modello, detto traliccio di Moersch. Questo è una trave reticolare ideale, isostatica internamente, in cui (con riferimento alla figura): il corrente superiore è costituito dal conglomerato compresso e il corrente inferiore dalle armature tese di flessione; le aste di parete compresse sono di conglomerato e disposte a 45°, come le 2; infine le aste di parete tese sono costituite dalle armature di taglio ed hanno l'inclinazione effettiva di queste (per l'ipotesi che le armature lavorano solo secondo il proprio asse).

88

sforzi nelle armature

Supponendo di avere un traliccio semplice, come in figura, lo sforzo nell'asta di parete generica viene calcolato attraverso l'equilibrio delle forze agenti nella maglia cui appartiene. Lo sforzo di scorrimento relativo alla maglia è dato da: F

T2

T1

M t

T

l t

l

t

45°

essendo T1 e T2 le forze di trazione nei due tratti adiacenti di corrente inferiore, T lo sforzo di taglio nella maglia, Tp la forza di trazione nell'armatura di parete. Le forze di compressione Cp non interessano, in quanto questa verifica riguarda le sole armature. Risolvendo il triangolo di equilibrio si ricava facilmente il valore di Tp per le varie inclinazioni dell'armatura. In particolare si ha per un ferro sagomato a 45°:

Tp

F

2

T

l t 2 e

a

T t

2 Asag

l

t

45°

l

invece per una staffa a 90°

Tp

F

T

Tp

l

Tp

Se, come è in realtà, le staffe e i ferri piegati sono presenti insieme e a distanza ravvicinata rispetto a quella di una maglia, il modello viene generalizzato, come se fosse composto di diversi tralicci sovrapposti in parallelo, costituenti sempre un insieme isostatico. La tensione a che sollecita un piegato o una staffa si ottiene mediante le stesse formule, nelle quali lo sforzo di scorrimento F da attribuirsi alla relativa maglia é però solo una parte dello sforzo relativo a quel tratto l, data la presenza di altre armature accostate. Si fa l'ipotesi che lo sforzo si distribuisca nelle maglie sovrapposte in proporzione alle armature. A ognuna di queste viene quindi in pratica assegnato un proprio l pari al suo passo, e si suppone che la a in una data sezione sia uguale per staffe e sagomati. Si ha allora:

T t

Tst t

Tsag t

a

Ast lst

2 Asag lsag

C 45° T1

45° F

T2

Tp sagomati (45°)

C 90°

45°

T1

F Tp

F=T2-T1

staffe (90°)

l

cioè

89

T2

a

T

t

2 Asag lsag

Ast lst

si deve verificare che

a

a

progetto delle armature

.

Al di là dello schema di calcolo a traliccio, l'efficacia delle staffe è superiore, in quanto esse: realizzano una cucitura completa del concio rispetto a qualsiasi superficie di scorrimento (cfr. calcolo delle ); reagiscono anche al taglio trasversale ed alla torsione; contengono le armature di flessione favorendone l'aderenza e limitandone la possibilità di carico di punta; esercitano anche un effetto di contenimento del conglomerato rendendo più efficace la collaborazione fra i due materiali e migliorando la duttilità dell'insieme. D'altra parte i ferri sagomati sono comodi in quanto sono le stesse barre, via via che si rendono superflue lungo la trave, impiegate per la flessione. Le norme prescrivono pertanto che almeno il 40% dello sforzo di scorrimento F sia assegnato alle staffe. La parte restante può andare ancora a staffe o a ferri piegati. A rigore ciò dovrebbe verificare in ogni punto, cioè:

Tst t

a

Ast

lst

l

T dl t

Fsag

A*

F

40% T t

Di fatto si ammette che basti la verifica complessiva su un tratto. In tal caso l'armatura a taglio si dimensiona come segue. Si considera un tratto di trave (in cui il taglio T è di segno costante) e se ne calcola lo sforzo di scorrimento F lungo la superficie neutra. F è pari all'area sottesa dal diagramma T/t di quel tratto, ovvero alla differenza (algebrica) delle risultanti di trazione T1 e T2 degli estremi:

F

A*

F

T1

l T/t

Fst 40%min sag

Si calcola quale parte Fsag di esso può essere assorbito dai sagomati, in numero nsag compatibile con la possibilità di sottrarli all'armatura di flessione (nel modo che si vedrà oltre) ed in base alla tensione ammissibile a :

90

a)

Tp Fst

(nst Ast

a)

t

(T=sforzo di taglio)

Fsag60%max

(nsag Asag

Fst

T2

Tp

Fsag

nsag

Asag

a

2

e quindi

Fst

F

Fsag

con Fst non inferiore al 40% di F. I1 numero di staffe necessarie (tenendo conto che se una staffa ha due braccia utili la sezione utile Ast è due volte la sezione della barra usata) si ricava da:

nst

Ast

a

Ast

Fst

Le staffe in genere sono disposte a passo costante, per cui coprono una fascia uniforme di sforzo di scorrimento. I sagomati vanno disposti in maniera che la loro posizione coincida approssimativamente con il baricentro dello sforzo F di spettanza di ognuno (il che si può controllare con una suddivisione del diagramma T/t in zone di spettanza di ogni ferro) e che comunque ogni ferro piegato, nella sua proiezione sull'asse della trave, si sovrapponga ai successivi. Per il passo delle staffe le norme fissano un massimo di 0,8 h, e comunque di 1/3 di metro. In questo modo, la prescrizione della percentuale minima del 40% viene rispettata sulla media del tratto considerato e non punto per punto (v.figura). Ciò è tollerato, purché i tratti non siano troppo lunghi. Nelle travi di piccola luce (come quella dei comuni edifici) si può assumere come unico tratto anche la metà della luce stessa. Si è detto che, per la sagomatura dei ferri longitudinali, occorre verificare che la loro sottrazione all'armatura longitudinale non deve ridurre oltre i limiti ammissibili la capacità a flessione. Bisogna controllare cioè che il Momento flettente esterno sia, in ogni sezione, inferiore al Momento ammissibile cioè a quel valore per cui si raggiunge la tensione ammissibile in un materiale (generalmente l'acciaio, per travi di sezione costante). Il Momento ammissibile si riduce nelle sezioni a mano a mano che si sottraggono dei ferri, per sagomarli. Dato lo schema a traliccio, però, è da notarsi che il Me che tende il corrente inferiore nel punto s in cui si rialza un ferro è il Me relativo non a quella sezione ma, nell'ipotesi peggiore, al polo opposto della maglia, distante lungo l'asse della trave di una quantità pari ad h (regola della traslazione o del decalage). In realtà tale distanza, per la presenza di

91

T/t

1 sag

2 sag 3 sag staffe

momento ammissibile (resistente)

polo h S h

92

l/2

A R/

a

>0,5h >0,5h

>0,5h

Armatura di flessione = T/

F T C

F

s.l. di rottura per taglio

a

Mamm

R

Me

varie armature a taglio affiancate, è compresa fra 0,5 h ed h. Bisogna quindi che il diagramma dei momenti ammissibili sia esterno a quello dei momenti Me massimi di almeno 0,5 h. Le norme non prescrivono nulla al riguardo; salvo nel punto di appoggio dove prescrivono una armatura longitudinale inferiore in grado di assorbire una forza pari all'intera reazione (per travi semplicemente appoggiate). Ciò corrisponde a una traslazione pari a circa h. La necessità di questa traslazione serve ad adeguare travi, di altezza non piccolissima rispetto alla luce, alla teoria delle travi monodimensionali. Infatti essa perde di rilevanza via via che si riduce il rapporto h/l , mentre è di evidente necessità nelle travi molto corte. Ad esempio la mensola corta in figura ha un comportamento a traliccio elementare puntone tirante: apparirebbe assurdo ridurre l'armatura del tirante tra la sezione d'incastro e quella dell'estremità libera, dove pure il Me si annulla. Un altro esempio di strutture soggette a flessione e taglio, in cui lo schema si riduce a un traliccio elementare, è quello dei plinti tozzi, che sarà esaminato più oltre. Si è già osservato che la verifica delle nel conglomerato non é altro che una verifica allo s.l. di fessurazione per i carichi di esercizio, nella quale si considera tutta la sezione reagente alle . Invece, per il calcolo delle armature, mediante il traliccio di Moersch, si trascura il contributo del conglomerato teso, considerando la trave completamente fessurata: tale schema corrisponde pertanto a una realtà già diversa da quella di esercizio. Esso è impiegato però a favore della sicurezza nelle verifiche delle tensioni di esercizio, analogamente a quanto si fa per la flessione, dove il contributo del conglomerato teso alla resistenza viene del tutto trascurato. Si dà ora un cenno del problema del calcolo a rottura per taglio. A differenza dello schema di calcolo della sezione inflessa, lo schema di Moersch è isostatico, e la distribuzione delle tensioni nel traliccio non dipende dalla deformabilità delle aste (cioè dalle leggi ). Pertanto l'impiego delle relazioni non lineari non evidenzierebbe nessuna redistribuzione: la struttura cederebbe quando in un'asta la tensione raggiungesse il suo valore ultimo (resistenza di calcolo) e la verifica allo s.l. di rottura non si differenzierebbe da quella alle t.a. se non per i coefficienti di sicurezza.

Peraltro, se si vuole indagare più accuratamente sulla rottura per taglio, é il modello stesso che bisogna variare, risultando il traliccio isostatico troppo semplificato. Questo non tiene in conto che, in prossimità della rottura per taglio, alcuni dei seguenti fenomeni hanno luogo (v.figure): il corrente compresso fornisce delle verticali nel conglomerato; il corrente teso fornisce una componente verticale a seguito dell'inclinazione dell'armatura; lungo la lesione ha luogo un ingranamento degli inerti; le fessure non sono a 45° e quindi la direzione delle aste di parete compresse ad esse parallela, è diversa da quella prevista; dette aste non sono incernierate ma, entro certi limiti, continue con i correnti. Formule di calcolo che tengano conto adeguatamente di tali meccanismi resistenti sono attualmente in discussione e in evoluzione. Le Norme CNR citate, per quanto riguarda lo s.l. di rottura per taglio, premettono testualmente: Il comportamento a rottura degli elementi in c.a. e in c.a.p. sottoposti a prevalente sollecitazione di taglio è estremamente complesso, dipendendo da un gran numero di parametri, talché non esistono ancora metodi di calcolo semplici e di corrente utilizzo che coprano tutti i tipi di rottura e che tengono conto adeguatamente dei contributi alla resistenza dei detti gli elementi costituenti le membrature. Si ritiene quindi sufficiente, allo stato attuale, il cenno dato dei fenomeni che intercorrono. Riassumendo, generalmente il progetto di una trave ordinaria procede così: si dimensionano le sezioni di momento massimo (positivo e negativo) stabilendo la larghezza della zona compressa b, l'altezza h e l'area dell'armatura tesa A (e l'eventuale armatura compressa A'). L'area A si definisce in un congruo numero di barre, scelte fra i diametri commerciali. Teoricamente è meglio che esse siano di piccolo diametro e in gran numero, a vantaggio della aderenza e delle sagomature per il taglio. Il numero viene limitato poi dalle esigenze pratiche. Nelle travi comuni non dovrebbero comunque essere meno di 4, dovendo

93

45°

ingranamento degli inerti comp. vert. armatura

aste continue

progetto della trave

una coppia di ferri, più esterni, correre per tutta la lunghezza della trave. Si dispone un'armatura corrente in compressione: un minimo di due reggistaffe, se non ne occorre di più per calcolo. Se la sezione é alta, si dispone anche qualche corrente intermedio. Qualora la trave abbia sezione a T, la larghezza bmin viene stabilita in base alle tensioni tangenziali . Essa non può essere troppo piccola anche per offrire una certa resistenza a flessione e taglio trasversali, non calcolati; ciò vale anche per la disposizione dell'armatura corrente. Le sezioni di momento massimo vengono poi verificate o alle t.a. o allo s.l. di rottura. Si determina quindi il momento ammissibile o resistente della sezione al diminuire dell'armatura tesa. Si calcola l'armatura totale a taglio, ripartita in staffe e ferri piegati. La posizione di questi ultimi si stabilisce con il diagramma dei momenti resistenti e quello dello sforzo di scorrimento. Sono necessarie alcune traslazioni rispetto a entrambi: il posizionamento delle armature a taglio caso per caso è un interessante tema di dettaglio costruttivo e richiede una certa immaginazione del meccanismo resistente, dipendendo dalla ubicazione dei carichi e delle reazioni. Ad esempio, in una trave appoggiata sull'intradosso, il traliccio ideale parte con un puntone inclinato: quindi i sagomati vanno spostati verso la campata. Le staffe, invece, sono utili vicino all'appoggio, per il contenimento del conglomerato, e risulta efficace il prolungamento dell'armatura tesa di flessione (traslazione). Si é già accennato al caso affine della mensola corta. Un altro problema importante di dettaglio è quello dell'ancoraggio delle barre, su cui si tornerà nuovamente. Le barre vanno prolungate, oltre la sezione in cui si considerano efficaci, di una lunghezza di ancoraggio in cui acquistano aderenza. Per le barre lisce è necessario anche un uncino o gancio. Le prescrizioni relative sono espresse nelle Norme. L'ancoraggio va di massima realizzato nel conglomerato compresso. Cosi pure le sovrapposizioni delle barre, cioè gli ancoraggi di barre in prosecuzione, che sono necessari a causa della lunghezza limitata (10 :12 metri) delle barre commerciali. Le tensioni che nascono nel conglomerato intorno ai tratti di ancoraggio delle barre, come pure quelle in corrispondenza delle piegature, sono aspetti importanti da tener presenti nei dettagli costruttivi. 94

lunghezza di ancoraggio

armatura di flessione

ancoraggio dei ferri

Ancora, da tener in conto nel disegno delle armature, sono gli effetti delle concentrazioni di tensioni dovute a fori, spigoli, forze concentrate, giunti, ecc.

4.5 TORSIONE SEMPLICE La sollecitazione di torsione é presente in una sezione di trave quando la risultante relativa è sghemba rispetto all'asse della trave (più precisamente rispetto all'asse dei centri di torsione delle sezioni). Si ha torsione semplice se essa si riduce ad un momento Mt intorno a tale asse: le sezioni ruotano allora intorno all'asse stesso. In pratica, nelle strutture in c.a. nelle quali la torsione compare come fenomeno secondario, cioè non necessario all'equilibrio dello schema di calcolo, essa viene trascurata. Ad esempio, le travi di bordo su cui un solaio viene considerato appoggiato sono di fatto rese solidali con questo (anche attraverso armature di collega mento, superiori o inferiori): il solaio, inflettendosi, trascina nella rotazione la trave di bordo, che si torce. Tale torsione viene assorbita bene da una trave a sezione piena con un minimo di armatura longitudinale e trasversale; inoltre la presenza di altri elementi, esclusi dallo schema portante, come le tamponature ed il contrasto assiale del solaio stesso, possono contribuire a ridurla: la verifica a torsione in tale caso viene tralasciata. In altri casi la torsione non si può trascurare. Naturalmente sono fra questi i casi in cui l'equilibrio stesso di parti strutturali non può prescindere dalla resistenza a torsione. Ad esempio, quando un balcone o una scala sono portati a sbalzo da una trave laterale, la flessione d'incastro dei primi si traduce in torsione per la trave. Un altro esempio è costituito dai ponti con impalcato a trave unica (in generale a cassone). Quando il sovraccarico non é in asse alla trave, questa è soggetta a torsione. Le sezioni vantaggiose per la torsione sono quelle cave di forma chiusa e quelle piene. Sono svantaggiose quelle in pareti sottili di forma aperta. Le armature adatte alla torsione devono correre lungo il perimetro della trave. Teoricamente la più conveniente avvolge la trave con un'elica, ma normalmente si usa un graticcio formato da staffe e ferri longitudinali perimetrali. 95

F

Flessione Torsione e Taglio

Torsione semplice

solaio

balcone

buone

no

Lo schema di calcolo della trave in c.a., parallelamente a quello per il taglio, viene spezzato in due schemi indipendenti: uno per il calcolo delle tensioni nel conglomerato ed uno per il calcolo degli sforzi nell'armatura. nella sezione vengono calcolate nell'ipotesi che questa sia Le tensioni tangenziali omogenea elastica e reagente. Le espressioni per il calcolo delle sono quindi quelle note dalla teoria elastica, di cui si riportano le più significative. Sezione circolare, piena o cava: per la simmetria radiale, vale l'ipotesi del mantenimento delle sezioni piane. Gli scorrimenti e le tensioni tangenziali variano proporzionalmente alla distanza dal centro:

Mt J p

r;

max

Mt J p

max

nel conglomerato

Mt 0 R 0 r

R

dove Mt è il momento torcente agente sulla sezione, Jp il momento d'inerzia polare di questa rispetto al centro O; r la distanza del punto generico da O; R il raggio esterno della sezione. Sezione in parete sottile di forma chiusa qualsiasi (a una connessione)

Mt 2 s ;

tensioni

max Mt

S

M t 2 smin

Smin

dove è l'area delimitata dalla linea media della parte piena; s è lo spessore locale dove si calcola la (formula di Bredt). Sezione rettangolare piena. Non si può ammettere che la sezione rimanga piana, per cui la non è più proporzionale alla distanza dal centro (cfr. analogia idrodinamica). La max (al centro del lato lungo) vale: max

max

max

M t b2 H

H max

con coefficiente di forma, che dipende dal rapporto H/b fra i lati e che può esprimersi approssimativamente 96

b

4 3 H b 0.45 H b principali di Alle , e in praticolare alla max al bordo, corrispondono delle compressione e di trazione, orientate a 45° rispetto all'asse della trave, e di valore uguale a quello della corrispondente (cfr. Cerchio di Mohr, par.4.4). (cioè la 1) sia contenuta nei valori ammissibili (uguali a Si verifica quindi che la quelli considerati per il taglio): max

14

R'bk 150 35 (Kg/cm2)

Con il che ci si cautela dalla fessurazione obliqua nella trave. Poiché, come si é visto, lo schema per la verifica del conglomerato è indipendente da quello per le armature, il progetto della sezione prescinde dalle armature e viceversa. La sezione si può pertanto dimensionare direttamente in funzione di max . Le possibili armature, si è visto, sono due: o un'elica, inclinata a 45° nel verso delle principali di trazione, oppure un graticcio ortogonale. Il secondo tipo é più pratico sia per il confezionamento e la posa in opera, sia perché non è soggetto a errori di orientazione. I1 relativo modello di calcolo prescinde dunque dalla resistenza a trazione del conglomerato. Esso è costituito da un traliccio in cui le aste compresse sono costituite da conglomerato e sono inclinate a 45°, parallelamente alle fessure, cioè come le principali di compressione. Le aste tese sono costituite dalle barre di arma tura. a) Elica Considerando la maglia base del traliccio, la forza di scorrimento di sua spettanza si scompone come in figura. Lo sforzo di trazione nella barra vale F

2 . E' da notare che le

aste orizzontali (tratteggiate in figura) pur essendo necessarie a rendere isostatico lo schema, risultano scariche per la sollecitazione in esame. Il valore dello sforzo F si ricava dalla formula di Bredt, immaginando di applicarla all'involucro della sezione contenente l'armatura (lo spessore s non interessa):

97

armature

F

p

s dp

p

Mt 2

p

p essendo il passo dell'elica misurato lungo la sezione, cioè il tratto di competenza di una barra. Per ottenere lo sforzo di scorrimento complessivo lungo tutto il contorno, si estenderà l'integrale all'intero perimetro p Fp

F

Mt 2

p

2b

Mt b

h h

b

h

2 sarà lo sforzo di trazione complessivo nelle armature stesse.

Si potrà direttamente calcolare l'area complessiva delle barre che attraversano la sezione, A, in modo che la tensione risulti uguale alla tensione ammissibile dello acciaio a

A

Fp

2

1

Mt

a

a

b

2

h

b h

da cui si ricavano facilmente il numero delle barre, l'area di ognuna o il passo scegliendo a piacere una delle tre grandezze. b) Graticcio Ortogonale In questo schema, anche le aste orizzontali risultano cariche (per l'equilibrio nella terza dimensione rispetto allo sviluppo del perimetro: v.oltre). La maglia base del traliccio sarà sollecitata come in figura. Fermo restando quindi il valore di Fp, se si dispone l'armatura a graticcio ortogonale occorrerà un'area complessiva Along

Fp

1

a

Mt

a

b

h

b

h

oltre a delle staffe laterali di pari area per maglia (ad esempio uguale area e uguale passo dei longitudinali). Per un tratto di trave lungo l si avrà così un volume complessivo di armature 2 Along l, mentre, con un armatura a elica (che correndo inclinata sviluppa una lunghezza

98

di

x

2 per barra), si avrà un volume Ael

2 l

Along

l , cioè la metà rispetto al

graticcio. Ciò è dovuto al fatto, cui si è accennato, che le aste trasversali del traliccio (costituite dalle staffe), nel primo schema sono scariche e quindi nella realtà non si mettono, mentre nel secondo sono necessarie e costituiscono la metà dell'armatura totale. Per rendersene conto si confrontino i due schemi, ridotti per semplicità di figura ad una maglia quadrata per faccia di trave; posto che i diagonali compressi sono in ogni caso sollecitati, ed esaminando il nodo indicato dal cerchio, ad esempio, si vede che nel primo caso è possibile l'equilibrio orizzontale senza staffa, mentre nel secondo no; oppure: fatto un qualsiasi taglio orizzontale dell'insieme, l'equilibrio verticale alle risultanti delle aste compresse è assicurato nel primo caso dall'elica tesa, mentre nel secondo sono necessarie le aste longitudinali. Nel caso di torsione composta con sforzo di taglio il modello impiegato sarebbe in realtà inadeguato, sia per il calcolo delle tensioni nel conglomerato (in sezione parzializzata e soggetta a ), sia per le armature. I1 modello necessario ad uno studio accurato diverrebbe però molto complesso. In pratica perciò, nei casi ordinari, si usa sommare le quantità di armature trasversali e longitudinali e sommare gli effetti anche nel calcolo delle , verificando la max complessiva. Le norme in questo caso consentono una maggiorazione del 10% della ammissibile. Per quanto riguarda la verifica allo stato limite ultimo per torsione vale quanto detto per il taglio (par.4.4).

torsione composta

N

N

4.6 SFORZO NORMALE SEMPLICE Fra le strutture che possono essere soggette a sforzo assiale rientrano, per quanto riguarda la compressione, pilastri, pile, puntoni di travature reticolari; per quanto riguarda la trazione, i tiranti,presenti in strutture strallate o reticolari. In pratica lo sforzo normale semplice, cioè perfettamente centrato con l'asse dell'elemento, è ben difficile che si realizzi. Queste strutture sono soggette per lo meno anche alla flessione, i cui effetti combinati con lo sforzo normale non sono affatto

99

pilastro compresso

N

tirante

N

trascurabili. Ciononostante le Norme consentono in alcuni casi, per semplificare lo schema di calcolo, la verifica a compressione semplice; ma contemporaneamente impongono una maggiorazione dei coefficienti di sicurezza del conglomerato e l'obbligo di un minimo di armatura. Così è per i pilastri degli edifici (quando non siano presenti azioni orizzontali sulla struttura), che possono venir considerati soggetti al solo sforzo assiale derivante dall'analisi dei carichi della loro zona di spettanza su tutti i piani sovrastanti. Vengono costruiti anche dei tiranti in cemento armato, nonostante il conglomerato non contribuisca alla resistenza a trazione. Esso ha bensì la duplice funzione di proteggere le armature dalla corrosione e di limitare le deformazioni; un tirante equivalente di solo acciaio richiederebbe manutenzione (il che può essere svantaggioso in una struttura composta per il resto in c.a.) e subirebbe allungamenti specifici superiori.

puntoni

tiranti

4.6.1 COMPRESSIONE SEMPLICE La verifica delle tensioni è immediata, essendo la sezione uniformemente compressa ( = cost) e quindi non parzializzata. In campo lineare, la sezione ideale coincide con l'intera sezione omogeneizzata (cfr. par.4.1), quindi: Ai = B + nA

H

A

in cui B è l'area del conglomerato, A l'area di tutto l'acciaio. Le tensioni, costanti, valgono: b

N Ai

a

B=H b

n N Ai

b

la verifica comporta il confronto con una tensione ammissibile ridotta del 30% rispetto alla 'b stabilita per la flessione (par.4.2): b

0,7 'b

'b

22,5 R'bk 4

la quale viene ridotta ulteriormente per pilastri con lato b < 25 cm b

0.7 1 0,03 25 b

'b verifica a rottura

La verifica della tensione nell'acciaio è superflua essendo sempre soddisfatta. La condizione convenzionale di rottura è data da: 100

'bu con

'bu ridotto a 0,0020 (invece che 0,0035); ad essa corrisponde uno sforzo normale

interno di calcolo pari a:

N u* a(0,002)

B R'*b A

a

0,002

è la tensione nell'acciaio corrispondente a

questa ha un valore minore di Ea La verifica è, al solito:

N e*

= 0,002 (risulta pari a Ra* s se

0,002 = 4200 Kg/cm2).

N u*

I1 progetto della sezione di un pilastro è staticamente indeterminato: può essere qualsiasi, invero, il rapporto tra A e B (percentuale d'armatura), in quanto l'armatura non sarebbe staticamente necessaria in compressione semplice. Come si è detto, però, il regolamento fissa un minimo, pari allo 0,6% dell'area strettamente necessaria di conglomerato in esercizio, cioè (per b 25 cm):

progetto barre longitudinali

l>12mm.

staffe

A 0,006 N e 0,7 'b con gli ulteriori limiti che 0,003 B < A < 0,050 B e che le barre abbiano un diametro 0 >12 mm. Per un pilastro rettangolare le barre devono essere almeno quattro, ai vertici della sezione. Se non ci sono limiti alle dimensioni b ed H, si tende a mettere il minimo di armatura; altrimenti si sceglie un compromesso economico. Inoltre vanno poste delle staffe di diametro 0 > 6 mm, con un passo p non maggiore di 15 volte il diametro delle barre longitudinali, e non maggiore di 25 cm. Lo scopo dell'armatura longitudinale è quello già detto di opporsi alle flessioni non calcolate, in tutte le direzioni. In una sezione quadrata non armata, ad esempio, sarebbe sufficiente una eccentricità di Ne pari a solo 0,12 volte il lato per avere trazione al vertice ed un forte aumento delle . Le barre hanno inizialmente una tensione a = n b. Col passare

101

pT T

sezioni del dominio solido a vari livelli di N*= cost.

La fessurazione costituisce uno stato limite per le strutture in c.a. perché ne favorisce la disgregazione e ne rovina l'aspetto e perché è un veicolo all'aggressione delle armature da parte di agenti esterni. La fessurazione può essere prodotta da varie cause. Può cominciare in seguito ad assestamenti dopo il getto, durante la presa; può conseguire a dilatazioni termiche in coazione,durante l'indurimento o a maturazione avvenuta; può derivare dal ritiro

' bu

yq

interazione M x* , M *y (flessione deviata) per vari valori dello sforzo N* , che rappresentano

4.9 FESSURAZIONE

striscia p

cause

C

o da discontinuità (riprese di getto); infine può nascere o venir incrementata dagli sforzi generati da azioni esterne o cedimenti. Per le prime cause, l'accuratezza di getto, costipamento e maturazione, nonché di alcuni particolari costruttivi, come un minimo di armatura ben distribuita (previsto dalle Norme), costituiscono la prevenzione adatta. Per quanto riguarda gli sforzi, invece, la fessurazione è possibile ogni volta che il conglomerato venga a trovarsi in trazione. E' necessario perciò compiere delle verifiche per assicurarsi contro tale fenomeno o, meglio, per contenerlo, dato che una fessurazione è di trazione. Le verifiche, come sempre, inevitabile, nel cemento armato soggetto a avranno carattere convenzionale e saranno condotte su opportuni modelli. Lo stato limite si presenta almeno sotto due aspetti: quello di fessurazione prematura, che è legato alla nascita delle fessure; e quello di fessurazione eccessiva, legato all'ampiezza massima che raggiungono le fessure stesse. L'uno o l'altro stato limite sono da prendersi in considerazione, a seconda della delicatezza della struttura e della sua esposizione. Si è visto (cfr. par.4.4, 4.5, 4.6) come il metodo tradizionale delle tensioni ammissibili contenga delle verifiche implicite allo s.l. di fessurazione prematura, imponendo (direttamente o tramite le ) la verifica delle principali di trazione. Esse sono prescritte per quelle sollecitazioni (taglio, torsione, trazione semplice) la cui fessurazione si propaga immediatamente a tutta la larghezza della trave, e quindi è bene che non nasca affatto. La fessurazione per flessione (o per pressoflessione) ha invece un altro carattere, in quanto le di trazione sono massime a un lembo, e decrescono rapidamente verso l'interno. Inoltre, la fessura incontra di regola, presso l'apertura, delle armature ortogonali. Normalmente quindi è prescritto come stato limite quello di ampiezza eccessiva, ma non quello di apertura prematura, salvo alcuni casi di strutture delicate (ad es., che devono essere impermeabili, o che hanno armature particolarmente sensibili alla corrosione) oppure in ambienti molto aggressivi. Per entrambi gli s.l. il modello impiegato nella verifica è analogo: si considera, cioè, la sezione tutta reagente e omogeneizzata, entro il valore di Rbk di trazione nel conglomerato, che si calcola con le consuete formule della sezione ideale.

s.l. di fessurazione

fessurazione per flessione

s.l. di fessurazione prematura

114

I1 momento flettente M *f momento di fessurazione, è quello per cui:

max (traz) = Rbk ove Rbk è la resistenza a trazione caratteristica per flessione, che per le Norme (a11.2) può essere assunta pari a (7+0,06 Rbk) Kg/cm2

Rbk = 2

Deve risultare M e*

M *f

Trattandosi di uno s.l. di esercizio, la resistenza di calcolo coincide con la resistenza caratteristica ( m =1), al contrario di quanto è prescritto per gli s.l. ultimi, più gravi. Anche le azioni esterne, con le quali si calcola M e* , sono quelle caratteristiche (

f

=1) o

combinazioni simili a quelle di esercizio, dette frequenti o quasi permanenti eccetera, e sono stabilite dalle Norme. In alcuni casi più severi si impone che la sezione non vada in trazione, (stato limite di decompressione) per evitare che una fessura, preformata, si possa aprire. In modo del tutto

s.l. di decompressione

parallelo si definisce allora un momento di decompressione M d* , come quello per cui

max(traz) = 0 (invece che Rbk). Naturalmente questa condizione non è possibile in una sezione semplicemente inflessa (senza compressione esterna o precompressione). Per quanto riguarda lo s.l. di ampiezza eccessiva, è utile fare qualche considerazione preliminare sul fenomeno, per individuare dei parametri che influiscono sull'ampiezza delle fessure. Si consideri un modello molto semplice (v.figura): un gruppo di barre tese contornate da un prisma di conglomerato; il tutto soggetto a trazione. Si assume che: in fase non fessurata la sezione si comporti come una sezione omogeneizzata interamente reagente: b

b

n

s.l. di ampiezza eccessiva

B T T

A

b=0

a=T/A

T B nA

b

a

115

b=Rbk

d a=nT/(B+nA) b=Rbk= a /n

a

a

(B = area conglomerato; A = area acciaio; n = coefficiente di omogeneizzazione); la resistenza a trazione Rbk sia uguale per tutte le sezioni, salvo differenze casuali infinitesime; raggiuntasi la Rbk nella sezione casualmente più debole, si apra una fessura completa e resti solo l'armatura a trasmettere gli sforzi tra le due labbra; ivi cioè si perda l'aderenza e sia b = 0; le tensioni tangenziali d di aderenza fra armatura e conglomerato siano costanti tra la fessura e la sezione in cui l'aderenza è ancora completa (cioè in cui b = a/n = Rbk) (ipotesi di Brice). Formatesi alcune fessure qua e là in punti casualmente appena più deboli degli altri, la distribuzione delle b (costante sulla sezione) varia tra una sezione e l'altra con legge lineare tra i valori b = 0 (sezioni fessurate) e b = a/n (sezioni distanti a dalla sezione fessurata): a è appunto la lunghezza di trasmissione, cioè quella necessaria al conglomerato per raggiungere la tensione corrispondente alla perfetta aderenza (cioè b = Rbk nel caso presente). a si rilava dalla relazione di equilibrio (riferita al modello d = cost.): d

p a

Rbk

B

cioè

a

Rbk

B

d

bRbk b=Rbk

b=0 d

a=nT/(B+nA)

a T w

p

in cui p è il perimetro totale delle armature in sezione. A1 crescere della forza di trazione T, ulteriori fessure non potranno nascere a distanza inferiore ad a dalle precedenti, in quanto ivi non si raggiunge Rbk (per insufficienza di lunghezza di trasmissione); d'altra parte non rimarranno intervalli lunghi più di 2a privi di fessure, in quanto in una fascia centrale si avrebbe una tensione b > Rbk. Si conclude che tutte le fessure sono intervallate fra loro tra un minimo di a ed un massimo di 2a.

a.n. y h B

L'ampiezza w della fessura (detti gli intervalli adiacenti) è data dalla differenza tra l'allungamento dell'acciaio quella del conglomerato di un intervallo

w

a

b

116

w

A

e supponendo trascurabile il secondo rispetto al primo,

w

a

Essendo l'intervallo

w max

a

2a

al massimo pari a 2a, si avrà 2

a

Ea a

2

a

Rbk B

Ea

d

p

Per estendere le considerazioni derivate da questo modello, già molto semplificato, alle sezioni inflesse, occorre stabilire quale area di conglomerato B si debba considerare: si può assumere un'area come quella in figura, che abbia le armature al proprio centro. L'ampiezza delle fessure quindi, a parità di tensione nell'acciaio a, diminuisce, secondo l'espressione di wmax, essenzialmente: all'aumentare di p (perimetro delle barre): quindi a parità di area di acciaio conviene usare più barre di diametro minore, le quali sviluppano un perimetro maggiore; all'aumentare di d (tensione di aderenza): quindi convengono gli acciai ad aderenza migliorata. Con tali accorgimenti si ottiene una fessurazione mediamente più diffusa ma meno ampia, quindi meno dannosa. Le norme CNR forniscono altre formule, di origine simile ma un po’ più elaborate; per la determinazione dell'ampiezza delle fessure. Esse definiscono, nello spirito del procedimento semiprobabilistico, un valore caratteristico dell'apertura delle lesioni wk, di cui stabiliscono i valori massimi ammissibili nel prospetto a lato. Data una sezione inflessa, l'unica incognita nella formula di wmax (ovvero di wk) è a; questa si può ricavare in funzione della wmax (o wk) richiesta, da cui il Momento interno di

massima fessurazione di calcolo M w* risulterà M w*

a

Ji

nh

y

a

a

wk

Il modello che si impiega per il calcolo della a nella verifica a questo stato limite è la sezione ideale, cioè parzializzata (cfr.par.4.1), in quanto la sezione vera ha le fessure aperte (mentre il modello per il calcolo della lunghezza a era la sezione reagente). 117

A1 solito, la verifica sarà

M e*

M w*

La verifica agli s.l. di fessurazione è necessaria soprattutto nelle travi alte, che sono in genere molto debolmente armate. In tali casi, questi s.l. possono risultare più limitativi della verifica allo s.l. ultimo (rottura) o della stessa verifica alle t.a.

118

5 ANALISI DELLA PRECOMPRESSO

SEZIONE

IN

CEMENTO

ARMATO

Gli elementi in c.a.p. sono costituiti, al pari di quelli in c. a., da conglomerato cementizio e da armature in acciaio. La differenza consiste nella applicazione di una sollecitazione artificiale, preliminare rispetto all'intervento delle azioni esterne (carichi permanenti, accidentali, eccetera). Questa pre-sollecitazione, comprimendo il c.a. e tendendo alcune armature, genera nell'elemento uno stato di coazione che ha degli effetti benefici sul comportamento della struttura e sulla sua resistenza. A tale tecnica è anche legata una differente qualità dei materiali. Il conglomerato, pur essendo di base lo stesso, è mediamente migliore di quello da c.a.: infatti la fascia di resistenze caratteristiche contemplata dalle Norme (300 550 kg/cm2) si colloca più in alto. La migliore qualità è dovuta ad una confezione più accurata, commisurata anche al maggior impegno tecnologico complessivo che richiede un opera in c.a.p. Più importante la diversità dell'acciaio. Ne sono presenti due tipi: quello per le armature con cui si esercita la precompressione e quello per le armature ordinarie. Le armature di presollecitazione vengono realizzate con acciaio armonico che ha resistenze molto superiori a quelle dell'acciaio dolce, pur avendone lo stesso modulo elastico Ea (cfr..par.2.6 e 3.1). La precompressione però non può sostituirsi a tutte le funzioni proprie delle armature. Pertanto 119

materiali

vengono introdotte anche delle armature ordinarie, ma in misura ridotta rispetto al c.a., come armature trasversali e staffature, armature secondarie, rinforzi locali eccetera. In conclusione il c.a.p. è un cemento armato che, oltre alle armature ordinarie, in quantità ridotta, possiede delle armature speciali, mediante le quali viene precompresso.

5.1 RAGIONE DELLA PRECOMPRESSIONE La necessità della presollecitazione deriva principalmente dalia disponibilità di acciai con resistenza molto elevata rispetto all'acciaio ordinario e che, naturalmente, si vogliono sfruttare appieno. Ciò non è possibile infatti con la tecnica del cemento armato ordinario, con le armature che entrano in tiro per aderenza, poiché alla maggior resistenza dovrebbe corrispondere anche un maggior modulo elastico Ea. Si consideri una sezione in c.a. soggetta a flessione semplice, ed il suo comportamento agli stati limite di rottura e di fessurazione. a) s.l. (ultimo) di rottura (par.4.3) Si ricorda l'espressione ricavata per l'armatura bilanciata: Ab

bh 'bu

'bu

as

c.a. non precompresso s.l. di rottura

R*bu Ras

Aumentando la resistenza di calcolo dell'acciaio Ras* e perciò anche

as

(che vale

Ras* Ea ), a parità di altre condizioni il valore di Ab decresce molto rapidamente (al limite col quadrato di Ras* ). Pertanto, impiegando acciai con Ras* crescenti, e non potendosi aumentare * in proporzione Rbu , né tanto meno ’bu (convenzionalmente fissa), tutte le sezioni tendono a

cadere nel campo delle sezioni fortemente armate. In conseguenza vanno incontro a rotture di compressione (par.4.3) cioè a quelle in cui, per definizione, l'acciaio non raggiunge la

Ras* e, quindi, non viene sfruttato convenientemente. s.l. di esercizio

b) s.l. (di esercizio) di fessurazione (par.4.9) 1) I1 momento di fessurazione M *f dipende dal momento d'inerzia Ji della sezione ideale. Questa a sua volta (par.4.1) non è legata alla resistenza dell'acciaio, ma solo al suo

120

modulo elastico Ea, tramite il coefficiente di omogeneizzazione n. Pertanto un acciaio più resistente non porta nessun miglioramento, se non ha un Ea maggiore (che in effetti non ha) 2) Il momento di apertura limite delle fessure, M w* , dipende dalla tensione

a

wk (vedi

espressione dell'ampiezza wmax delle fessure), indipendentemente dal valore della resistenza dell'acciaio: un valore elevato della resistenza può risultare inutile. Dunque, un acciaio con resistenza Ras* elevata oltre certi limiti non può essere ben sfruttato nel c.a. ordinario. Rispetto a tutte e tre le angolazioni da cui si è osservato questo fatto, la ragione si riconduce alla perfetta aderenza che fa parte del modello di calcolo e che, in effetti, si provvede per il buon funzionamento del cemento armato stesso. Queste considerazioni possono riassumersi dicendo che l'armatura ad elevata resistenza, per raggiungere le tensioni elevate di trazione, ha bisogno di elevati allungamenti . I1 conglomerato, se è aderente, deve subire gli stessi allungamenti: quindi è costretto a deformarsi molto e, di conseguenza, a fessurarsi molto, ed a subire anche elevate di contrazione al lembo compresso, rompendosi per compressione. Con la tecnica della precompressione si può superare tale problema, permettendo alle armature di subire degli allungamenti diversi (maggiori) rispetto a quelli del conglomerato adiacente. L'armatura viene tesa prima di essere resa solidale con la struttura: viene, cioè, pre-tesa mediante opportune apparecchiature; viene poi bloccata nella sua pretensione, contrastando la relativa forza sul conglomerato, il quale diviene precompresso. Le due forze danno luogo ad un sistema autoequilibrato. In queste operazioni le armature si allungano, mentre il conglomerato si contrae; l'aderenza, eventualmente, viene stabilita dopo. Le armature di precompressione sono costituite da: fili, barre, trecce (due o tre fili avvolti fra loro), trefoli (più fili avvolti intorno a un filo centrale); fili, trecce o trefoli sono spesso riuniti in fasci che formano dei cavi.

121

armatura di precompressione

I sistemi di precompressione sono molti e coperti da brevetti; le differenze riguardano essenzialmente la tecnica di messa in tiro e di bloccaggio delle armature. Essi si suddividono in due gruppi: quelli a cavi pre-tesi o aderenti e quelli a cavi post-tesi o scorrevoli. Occorre fare una precisazione sui termini: nel c.a.p. i cavi sono sempre pre-tesi artificialmente rispetto all'entrata in azione dei carichi esterni, per la natura stessa della precompressione. Nella suddivisione suddetta si intendono invece cavi pre-tesi quelli tesi prima che venga gettato il conglomerato. In una prima fase essi vengono messi in tiro nelle cassaforme vuote e contrastati o su di esse o a terra: hanno perciò un tracciato rettilineo ovvero a tratti rettilinei. Viene poi eseguito il getto del conglomerato, ove essi rimangono annegati (in tensione); a maturazione avvenuta, gli ancoraggi a terra vengono sbloccati ed i cavi, impediti nell'accorciarsi dal conglomerato stesso, per aderenza, lo precomprimono. I cavi post-tesi (s'intende: tesi dopo il getto del conglomerato) giacciono invece liberi in guaine e sporgono dalle estremità dell'elemento gettato, finché questo non ha raggiunto un indurimento sufficiente. A maturazione avvenuta i cavi vengono tesi dalle estremità, contrastando immediatamente sul conglomerato, che precomprimono: debbono perciò essere scorrevoli dentro la guaina. Una volta tesi a dovere, vengono bloccati alle estremità contro il conglomerato. Tali cavi possono avere un tracciato curvilineo qualsiasi (senza gomiti vivi), poiché durante il tiro la guaina rimane ferma nel getto indurito, secondo il tracciato predisposto. Gli apparecchi di bloccaggio sono commisurati alla portanza dei relativi cavi. Generalmente il pezzo essenziale è una piastra d'acciaio o un cuneo, su cui vengono fissate le estremità dei cavi, ed ha il compito di ripartire la forza di contrasto sul conglomerato. A bloccaggio ultimato, dentro la guaina viene iniettata a pressione una malta di cemento fluida, che la riempie tutta e poi indurisce. La malta assolve le funzioni di proteggere il cavo dalla corrosione e di stabilire aderenza tra il cavo e la guaina; questa è a sua volta aderente al conglomerato esterno, con il quale pertanto il cavo viene a collaborare nelle successive fasi di carico, rendendo anche più sicuro l'ancoraggio. 122

cavi pre-tesi (aderenti)

cavi post-tesi (scorrevoli)

Si cerca di orientare la forza di precompressione nel conglomerato in maniera da comprimere quelle zone che, nella sollecitazione derivante dalle azioni esterne, risulterebbero tese. In tal modo: inizialmente i cavi raggiungono elevate tensioni, allungandosi liberamente, e le zone di c.a. potenzialmente tese accumulano compressione; sotto i carichi di esercizio i cavi si continuano a tendere, ma la trazione, invece che tutta alle armature, viene attribuita anche al conglomerato che ricede la compressione accumulata, senza parzializzarsi (nella maggior parte dei casi); per ulteriore carico il conglomerato si fessura e si parzializza, fino a rottura, ma l'acciaio potrà essere sfruttato al massimo, avendo scontato elevati allungamenti iniziali. La sezione in conglomerato, quindi, non parzializzandosi sotto i carichi di esercizio, viene sfruttata integralmente. A ciò si accompagna un controllo completo della fessurazione ed anche una riduzione della deformazione. Tutto ciò ha naturalmente anche dei risvolti economici traducendosi in notevoli risparmi di acciaio e di conglomerato, rispetto al c.a., a parità di sollecitazioni esterne. I1 minor peso delle strutture, che ne deriva, riduce poi le sollecitazioni stesse e costituisce un ulteriore fattore di risparmio. Ciò consente, fra l'altro, di realizzare strutture inflesse di luci impossibili per il c.a.; mentre quest'ultimo risulta conveniente negli elementi prevalentemente compressi, oppure nelle strutture inflesse di piccola luce o intelaiate.

123

comportamento

A titolo di curiosità si ricordano due esempi antichi di pro-sollecitazione artigianale, applicate a note strutture: la botte e la ruota di bicicletta. Nella fabbricazione di una botte le doghe vengono accostate faccia a faccia e poi legate da cerchi di ferro montati a forzare e a caldo. Raffreddandosi, il cerchio stringe ulteriormente la botte, cioè la precomprime. Se così non fosse, con l'entrata in carico della botte per il riempimento, il cerchio si allungherebbe leggermente e, poiché l'interfaccia fra doga e doga non reagisce a trazione, esse si distaccherebbero, facendo perdere tenuta alla botte. Senza precompressione si avrebbe uno stato limite di esercizio paragonabile alla fessurazione (o meglio alla decompressione) nel c.a. Nel secondo caso, invece, i raggi di una ruota di per sé non potrebbero reagire a compressione (essendo estremamente snelli andrebbero incontro allo s.l. di instabilità); trovandosi di volta in volta al disotto del mozzo si affloscerebbero, ed il cerchione lavorerebbe in modo del tutto improprio. Pertanto il ciclista pre-tende i raggi (contrastando sul cerchione esterno, che si precomprime, e sul cerchio interno della ruota, che si pretende). I raggi, una volta soggetti alla compressione del carico esterno, restano sempre in trazione, ridotta, anche sotto carico.

5.2 SFORZI DI PRECOMPRESSIONE Molti sono i tipi di strutture in c.a. che vengono precompressi. Si ricorre a tale tecnica ogni volta che è necessario ridurre il peso di elementi inflessi, (come per esempio in ponti, coperture di grande luce) o quando si voglia annullare la fessurazione (serbatoi, tubi) o limitare le deformazioni (tiranti eccetera). Come per il cemento armato (par.4.0), in questo ambito verranno considerati solo gli elementi monodimensionali (travi). La sezione in c.a.p., oltre che agli sforzi esterni, è anche soggetta agli sforzi di precompressione: l'analisi della sezione richiede quindi la determinazione di entrambi. Poiché quella degli sforzi di precompressione presenta alcune particolarità, che influiscono sulla verifica delle sezioni, esso verrà affrontato ora, limitatamente alle travi isostatiche, nonostante un tale problema sia stato classificato (par.4.0) come appartenente alla analisi 124

esempi tradizionali

`

della struttura. Si rinvia a questa (cap.8), per quanto riguarda gli sforzi di precompressione nelle strutture iperstatiche. 5.2.1 CAVI SCORREVOLI (POST-TESI) Si consideri una trave precompressa da un solo cava post-teso, come in figura, e senza altre azioni. La determinazione degli sforzi in ogni sezione sarebbe immediata se il cavo scorresse nella guaina senza attrito, gli ancoraggi bloccassero perfettamente il cavo alle estremità, nella tensione di tiro, ed i materiali non subissero fenomeni viscosi. Infatti, dalla statica dei fili si verrebbe a dedurre che la tensione N nel cavo è costante ed uguale a quella misurata all'apparecchia di tiro (martinetto) al momento del blocco degli ancoraggi. In ogni sezione si avrebbe: nel cavo uno sforzo di trazione N, diretto come la sua linea d'asse in quel punto; nella parte in c.a., per l'equilibrio, una risultante uguale ed opposta: cioè uno sforzo N, diretto come il precedente, ma di compressione. Lo sforzo di compressione N si può scomporre in tre componenti (considerando un caso piano): una componente normale o pre-compressione in senso stretto, pari a N cos ; una coppia o pre-flessione, pari a N cos e ; una componente tangente, o pre-taglio, pari a N sen ; è l'angolo fra le linee di asse del cavo e della trave, nella data sezione. Per le forme normali, essendo piccolo, si può porre cos 1. Le sezioni andrebbero così verificate sotto l'effetto congiunto di questi sforzi e di quelli prodotti dalle azioni esterne. Prima di descrivere le correzioni necessarie, per effetto dei fenomeni accennati, si descrive ora un altro modo di individuare gli sforzi di precompressione. Si considerano tutte le forze superficiali scambiate fra cavo e conglomerato (sempre nelle ipotesi di cui sopra) che sono: 125

N cavo N N c.a. N Ncos Nsin

sistema equivalente

N

N

forze di blocco agli ancoraggi, pari a N (e scomponibili nelle tre componenti) pressioni fra cavo e guaina lungo i tratti curvi; in mancanza di attrito esse sono perpendicolari alla linea di contatto e valgono p = N/R (essendo R il raggio di curvatura locale del cavo). I1 sistema (autoequilibrato) costituito da queste forze rappresenta in dettaglio quello con cui si realizza la precompressione del c.a. e, rispettivamente, la pretensione del cavo. Quindi, calcolando gli sforzi prodotti da tale sistema, si ottengono per un'altra via ovviamente gli stessi sforzi visti, sezione per sezione. I1 sistema di forze viene detto pertanto sistema equivalente alla precompressione, essendo in verità proprio il sistema che la realizza. Per calcolare la pre-compressione la pre-flessione ed il pre-taglio in una sezione, si possono calcolare, rispettivamente, lo sforzo normale, il momento flettente ed il taglio prodotti nella sezione dal sistema equivalente. Si esaminano ora gli effetti degli attriti e del comportamento nel tempo dei materiali, che producono delle perdite di tensione nei cavi e, corrispondentemente, delle perdite di precompressione nel c.a., rispetto ai valori predetti. Si hanno delle perdite di tensione instantanee (cioè che avvengono durante le operazioni stesse di tiro e bloccaggio), tra l'apparecchio e le varie sezioni della trave; esse sono dovute a vari fattori. Una prima perdita si ha nell'apparecchio stesso, che per entrare in forza ha bisogno di un certo cedimento, rispetto alla tensione letta sul martinetto in tiro. Occorre calcolare che lo sforzo N0 all'ancoraggio non è, quindi, quello letto sullo strumento, ma è ridotto, in una misura che dipende dal tipo di apparecchiature impiegate. Inoltre, nelle sezioni via via più distanti dall'apparecchio, vi sarà una diminuzione progressiva della tensione, che andrà persa nell'attrito fra cavo e guaina. L'attrito nasce quando due superfici a contatto si scambiano una forza normale e tendono a scorrere mutuamente. La forza di attrito Fa (tangenziale) che si può sviluppare è pari alla forza normale Fn per il coefficiente di attrito f

R

N e0

0

p=N/R

Nsin

p=N/R 0

Ncos 0 M=N0

0

Ncos0 M=N0 Sistema equivalente alla precompressione

perdita di tensione

A) istantanee:

bloccaggio

attrito Fn Fa Fa Fn

126

Nsin

Fa

f Fn

Se si esercita una forza Fa maggiore di quella di attrito, le due superfici scorrono, ma resta una reazione tangenziale pari a circa Fa. Nel caso cavo-guaina, la Fn è presente nei tratti in curva, distribuita sotto forma di una pressione normale p = N/R (v.sopra); N è ora lo sforzo di trazione locale nel cavo, non più costante. Nei tratti rettilinei teoricamente non c'è pressione di contatto fra cavo e guaina. Ma inevitabili serpeggiamenti del tracciato producono lo stesso effetto che in curva, in misura ridotta. A causa degli attriti il cavo perde tensione tra l'estremità di tiro e le sezioni, al crescere della distanza. Le norme prevedono pertanto che si calcolino tali perdite, suddividendo il tracciato del cavo in più tronchi (v.figura). A1 termine del primo tronco (0-1) si ha uno sforzo di pre-tensione N1 pari a: N1

N0

1

f l l01

fc

cavo

guaina

N0

0

1

01

2

fc = 0,3

Per la generica sezione (1,2,3...) occorre calcolare gli sforzi N1, N2, N3.... ridotti via via fino alla sezione stessa, ripetendo l'operazione come per il primo tronco. La suddivisione in più tronchi, non troppo lunghi, é necessaria, in quanto 1'espressione vista è un'approssimazione lineare di un'integrazione, in cui lo sforzo N varia con continuità. La determinazione degli sforzi variabili lungo il cavo è necessaria anche per il calcolo dell'allungamento del cavo stesso che costituisce un controllo immediato, prima del blocco,

127

3

N1 12

N2 23

l01 l12

01

perdite per attrito nel tratto 0-1 in cui l01 ed 01 sono la lunghezza e l'angolo di curvatura del cavo nel tronco 0-1 fl ed fc i coefficienti di attrito in linea ed in curva. Le norma stesse stabiliscono i valori dei coefficienti di attrito tra guaina (in lamierino) e cavi, in mancanza di determinazione diretta: fl = 0,003 m-1 ;

p

N

l23

(N.B. i simboli N1 ,N2 ,N3 , non vanno confusi con quelli usati nel seguito per gli sforzi iniziali e finali di ogni sezione)

N3

che il cavo sia tutto alla tensione prevista e non si sia incastrato in qualche punto nella guaina. L'allungamento complessivo si ottiene dalla somma degli allungamenti nei vari tronchi: per il tronco 0-1 esso vale l01

N0

N1 2 Ea A l01

(A= area del cavo)

e così via per gli altri. Alle perdite istantanee si può aggiungere quella dovuta al tiro dei cavi successivi. Una trave, infatti, contiene generalmente più cavi, messi in tiro uno alla volta, ognuno dei quali dà il suo contributo alla precompressione, accorciando la trave in proporzione alla sua quota. Tale accorciamento produce una perdita di tensione nei cavi già in tiro, che si valuta mediante il calcolo dell'accorciamento elastico della trave dovuto ai cavi successivi e procedendo quindi come per il ritiro (v. oltre). Le perdite differite procedono in tempi lunghi (mesi). Esse sono dovute sia all'accorciamento della trave per ritiro e per deformazioni viscose (che comporta un accorciamento del cavo teso, riducendone la tensione): sia al rilassamento dell'acciaio stesso, che costituisce di per sé una perdita di tensione. La prima perdita deriva dal ritiro rs successivo alla messa in tiro dei cavi: dipende quindi dall'età del conglomerato al momento in cui questa avviene. Disponendo del valore r sperimentale e delle curve esponenziali (par.3.1) di ri in funzione dell’età alla messa in tiro, si può ottenere per differenza il ritiro successivo rs =

r

ri

In mancanza di determinazione diretta (e per spessore di conglomerato non particolarmente sottile) le Norme forniscono i valori: rs

= 0,00030

(strutture precompresse prima di 14 gg.)

rs

= 0,00025

(strutture precompresse dopo 14 gg.)

In conseguenza di un tale accorciamento nel cavo si avrà la perdita di tensione: r

=

rs

Ea

Nr=

r

A

128

cavi successivi

b) differite:

ritiro

La perdita di tensione per deformazione viscosa del conglomerato dev'essere valutata secondo le Norme sezione per sezione, tenendo conto della posizione del cavo nella sezione stessa, poiché esso seguirà la deformazione viscosa v del conglomerato adiacente (in seguito alla aderenza tramite la malta iniettata); essa vale: v

b

Eb

viscosità conglomerato

(cfr.par.3.1)

in cui b è appunto la tensione del conglomerato sotto l'effetto della precompressione iniziale (cioè senza contare le perdite lente) e dei carichi permanenti nel punto dove passa il cavo nella sezione data. (Per il calcolo di tale b v.oltre). le Norme stesse concedono, in mancanza di determinazione Per il termine sperimentale, i valori: = 2,3 (strutture precompresse prima di 14 gg.) = 2,0 (strutture precompresse dopo 14 gg.) La perdita di tensione corrispondente, analogamente al ritiro, varrà v

v

Ea

Nv

v

A

Va notato che tale procedura semplificata è molto approssimativa, in quanto la deformazione viscosa della trave avviene sotto sforzi che variano nel tempo. I1 rilassamento dell'acciaio è una perdita di tensione, funzione della tensione iniziale, del tempo e della temperatura. La rappresentazione analitica considerata dalle norme è stata prospettata nel par.3.1. La perdita di tensione per rilassamento va sommata alle altre perdite lente (ritiro e deformazione viscosa del conglomerato). Tuttavia bisogna osservare che fra loro vi è un'interferenza che ne riduce gli effetti: infatti il cavo, accorciandosi e perdendo tensione per gli altri motivi, è soggetto a un rilassamento ridotto rispetto a quello che presenterebbe se fosse tenuto a lunghezza perfettamente costante. Le Norme (art.2.6.2) concedono pertanto una riduzione del rilassamento, con un'espressione approssimata.

129

rilassamento

Un artificio per ridurre effettivamente le perdite di tensione lente (e quella dovuta al tiro dei cavi successivi) è la ritaratura dei cavi, ove il sistema di bloccaggio lo permetta. Questa consiste in una rimessa in tiro del cavo, al valore iniziale massimo, dopo un periodo di alcuni giorni o settimane, durante il quale si sono già sviluppate delle perdite. Mediante tale rimessa in tiro le perdite, per la parte già sopravvenuta, vengono così recuperate. La ritaratura non può essere sostituita da un maggior tiro iniziale, pur avendone gli stessi effetti, in quanto, come si vedrà anche in seguito, la tensione di tiro del cavo ha per norma un valore massimo ammissibile. Riassumendo, un cavo non sarà tutto teso ad una tensione pari a quella realizzata al tiro, ma già inizialmente subirà delle perdite tra sezione e sezione, a causa degli attriti; inoltre, tali tensioni caleranno col tempo (ma si suppone che le perdite si stabiliscano asintoticamente a valori limitati). Interesserà quindi per ogni sezione lo sforzo N iniziale e lo sforzo N a perdite lente avvenute o finale, che d'ora in avanti verranno detti brevemente N1 ed N2; altrettanto vale per lo sforzo di precompressione sul conglomerato (uguale ed opposto sezione per sezione a quello del cavo). I due valori dello sforzo N dipendono dalla misura delle perdite, diversa da caso a caso. Come ordine di grandezza esse valgono, detto N0 il tiro all'apparecchio, per un cavo: 5 30% di N 0

N2

finale

N0

N anc

N attr

15 25% di N 1

N rit

N visc

N rilass

N1(iniziale) Riprendendo il sistema equivalente alla precompressione, esso va quindi corretto per le perdite di tensione: inizialmente compaiono sul conglomerato delle forze distribuite tangenti al tracciato del cavo (forze di attrito), che sono dirette in verso contrario a quelle di precompressione; attraverso lo schema rappresentativo (v.figura) è evidente la riduzione di precompressione via via che ci si allontana dagli ancoraggi;

130

ritaratura dei cavi

1.1.1.3 perdite complessive sforzi iniziali e finali in ogni sezione

N0

col passare del tempo tutte le forze del sistema equivalente si riducono per le perdite lente, fino a stabilirsi sui valori cosiddetti finali. Il problema dell'ancoraggio è di bloccare il cavo, in tiro con forze fino a centinaia di tonnellate, su una testata, o in un punto intermedio, della trave. Si tratta quindi di ripartire una forza concentrata su una zona ristretta, (per ragioni di ingombro) di conglomerato. Senza entrare nella descrizione dei numerosi apparecchi di bloccaggio, essi si riconducono a piastre metalliche appoggiate sulla superficie di conglomerato, oppure a elementi che penetrano nel getto. Ad essi vengono fissati i fili, trefoli o trecce formanti i cavi, mediante sistemi di cunei, o dadi e cunei. Anche le barre hanno degli ancoraggi a piastra, alla quale possono essere fissate con dadi filettati (v.figura)5. Nel conglomerato, al contatto con gli apparecchi di bloccaggio, sono ammesse delle tensioni locali pari a R’bk/1,3, molto superiori a quelle ammissibili in sezione; tali pressioni si attenuano diffondendosi verso l'interno della trave. La loro rapida diffusione genera però delle tensioni di trazione trasversali, che debbono venir assorbite da opportune armature di frenaggio, cioè da fitte staffature incrociate, perpendicolari al cavo, per alcune decine di centimetri all'interno del getto. I1 calcolo delle tensioni che nascono nei pressi dell'ancoraggio ricade nell'analisi degli stati tridimensionali. Generalmente il dimensionamento del frettaggio, come quello dell'ancoraggio stesso, non è compito diretto del progettista, ma viene stabilito in base a indicazioni fornite dal possessore del brevetto. Talvolta il cavo può venire messo in tiro da una sola estremità: allora, all'estremità opposta si dispone un ancoraggio morto o autoancoraggio. I1 cavo, invece che uscire dalla trave ed essere collegato a una piastra, rimane all'estremità morta annegato nel getto, con i trefoli sfioccati a ventaglio o ripiegati a cappio e bloccati per aderenza. Anche questi ancoraggi richiedono una armatura secondaria di diffusione.

5

Si rinvia alle proiezioni svolte nel corso per una illustrazione più dettagliata.

131

ancoraggio dei cavi guaina cavo

Ancoraggio per barre (sistema Dywidag)

Con gli ancoraggi si ottiene un risparmio di materiale e di operazioni. Per i cavi che hanno un tracciato lungo, però, il tiro da due estremità dà più sicurezza che la tensione richiesta giunga fino alle sezioni più importanti. Ad operazioni di tiro ultimate, gli ancoraggi esterni vanno ricoperti, generalmente con una paretina in conglomerato, per protezione. 5.2.2 CAVI ADERENTI (PRE TESI) Si è detto che questi cavi vengono messi in tiro nella cassaforma vuota; poi si getta il conglomerato che, a maturazione avvenuta, si precomprime sbloccando i cavi degli ancoraggi esterni. La pre-sollecitazione di acciaio e conglomerato avviene perciò in due tempi diversi, da cui il nome di cavi pretesi. Per la attrezzatura fissa pesante che richiedono e per i vantaggi che offrono d'altra parte (mancanza di ancoraggi in opera), essi vengono molto usati nella prefabbricazione. L'esempio più corrente è quello dei travetti prefabbricati per solai, che vengono prodotti su filiere, in pezzi molto lunghi, e poi tagliati a misura. Molti altri tipi di elementi vengono prodotti in serie con tale procedimento. Non essendovi superfici a contatto durante il tiro, i cavi non possono avere tracciato curvilineo. Inoltre, salvo tracciati pluriangolati, non vi sono perdite per attrito. Vi è però un calo di tensione nei cavi al momento dell'entrata in compressione del conglomerato. Infatti questo, comprimendosi, si contrae, trascinando i cavi. Ciò non avviene nei cavi scorrevoli perché, mentre i cavi vengono tesi il conglomerato si accorcia simultaneamente. Fin dall'atto della precompressione i cavi sono aderenti e si può ragionare su una sezione omogeneizzata (par.4.1). Il coefficiente di omogeneizzazione viene però assunto pari a n = 6 (invece che 10 o 15) in base alla qualità superiore del conglomerato, ed alla considerazione che esso non va in trazione sensibilmente, per cui il suo modulo elastico complessivo è più elevato.

132

cavo aderente

cavo aderente deviato

perdite di tensione 1.1.1.4 A) contrazione elastica istantanea

Si esamina dapprima la sezione precompressa da un solo cavo. Si avrà, applicando uno sforzo N iniziale eccentrico di e (come il cavo), una tensione di compressione variabile espressa dalla formula binomia (par.4.7) b

N Ai

Ne J i y

in particolare, all’altezza del cavo (y=e) b

N 1 Ai b

Eb

e2 J i 1 Eb N 1 Ai

e2 J i

Questa , per l'aderenza, è la contrazione unitaria locale del conglomerato ma anche del cavo. Quindi la perdita di tensione, per effetto di tale accorciamento varrà Ea

Ea Eb N 1 Ai

e2 J i

G

n N Ai 1 e 2 i 2

Ora, lo sforzo N è proprio lo sforzo di precompressione finale della sezione, cioè quello a contrazione scontata N = N0

A

Risolvendo il sistema di queste due equazioni si ricavano le due incognite N e N

N0 nA e2 1 1 2 Ai i

:

( = N1 )

in cui N0 è lo sforza di tiro iniziale, noto A è l'area del cavo Ai l'area della sezione ideale (B + nA) I

è il raggio d'inerzia della sezione ideale

J i Ai

N.B. Se all'atto della precompressione interviene un momento esterno M1(v.oltre), il termine e2 diviene e(e M1/N).

133

e

b

cavo risultante

In conclusione, all'atto della precompressione, invece che le perdite per attrito e rientro degli ancoraggi, nei cavi pre-tesi ha luogo una riduzione di tensione (che si può anche chiamare perdita) per l'accorciamento elastico del conglomerato, conseguente al rilascio dei cavi. Una volta tagliati i cavi (a filo della testata della trave) l'ancoraggio si realizza per aderenza: bisogna perciò considerare che il cavo stesso diviene pienamente efficace dopo una conveniente lunghezza di ancoraggio, al pari di quanto si è detto nel par. 4.9; ciò va tenuto in conto, ad esempio, nell'appoggio delle travi, la cui profondità dev'essere sufficientemente lunga e staffata. Invece, per le perdite differite, tutto avviene come per i cavi post-tesi: N2

finale

N1 iniziale

N rit

N visc

cavo aderente

B) perdite differite

N rilass

5.3 COMPORTAMENTO E VERIFICA DELLE SEZIONI La sezione in c.a.p. è dunque una sezione sottoposta preventivamente ad un sistema autoequilibrato: uno sforzo N di trazione, applicato ad uno o più cavi, ed un uguale sforzo N di compressione al c.a. Lo sforzo N è noto ed è lo sforzo complessivo applicato al tiro, depurato delle perdite di tensione di ogni cavo: sarà lo sforzo iniziale Ni, se al netto delle sole perdite istantanee; o lo sforzo N2 finale, se al netto anche delle perdite lente. Verrà ora trattata la precompressione integrale, cioè quella per cui, sotto le azioni di esercizio, tutta la sezione è compressa (salvo una minima trazione ammessa). Si darà un cenno, più oltre, sulle sezioni miste, in cui solo una parte viene precompressa, e delle sezioni a precompressione parziale in cui l'intera sezione viene precompressa, ma non in misura tale che resti senza trazioni significative in esercizio. Nel caso, normale, in cui la trave sia precompressa con più cavi, si definisce, per comodità, un cavo risultante, cioè un cavo ideale passante sezione per sezione nel centro di spinta dei cavi.

134

cavo risultante

Il cavo risultante (c.r.) sarà disposto in modo da presollecitare la trave in senso opposto alle sollecitazioni esterne. Ad esempio, in una trave appoggiata e con un carico distribuito verso il basso, a cavi post-tesi, il c.r. avrà un andamento curvilineo come in figura, esercitando così una pre-flessione verso l'alto, crescente verso le sezioni di mezzeria, ed un pre-taglio, crescente verso gli appoggi, in proporzione, rispettivamente, ai diagrammi della flessione e del taglio esterni. Ciò risulta anche meglio dell'osservazione del sistema equivalente (par.5.2): per un cavo siffatto esso consiste in un carico ripartito e diretto verso l'alto (oltre alle forze d'estremità). Il comportamento di una tale trave si può descrivere sommariamente come segue. La trave inizialmente appoggia sui casseri. La precompressione, entrando in gioco, tende a imprimerle una deformata con curvatura verso l'alto. Purché gli appoggi siano sufficientemente rigidi, essa tende a sollevarsi dalla cassaforma, rimanendo appoggiata alle estremità e portando così, subito, il peso proprio insieme agli sforzi di precompressione. Ciò è vantaggioso perché consente un migliore sfruttamento della precompressione, come si vedrà anche oltre; però non accade se la trave viene appoggiata su un fianco o viene sostenuta nel tratto intermedio: problemi che sono da tener presenti nel trasporto dei prefabbricati e che impongono eventualmente le verifiche di condizioni transitorie. Un eccesso di precompressione non compensata dal carico potrebbe infatti provocare uno stato limite della struttura anche in fase iniziale, per deformazione, fessurazione o anche rottura verso l’alto. Col tempo lo sforzo di precompressione diminuisce per le perdite lente, quindi tale pericolo non si verifica se non subito. Una volta caricata, invece, la struttura inverte l’inflessione fino a incurvarsi verso il basso. Nella precompressione integrale si fa in modo che fino ai massimi carichi di esercizio, il conglomerato non si fessuri e resti in campo elastico: le sezioni seguono bene lo schema elastico interamente reagente. Al crescere ulteriore del carico la trave si fessura e il conglomerate compresso entra in , come in una normale trave in c.a., fino alla rottura: la sola campo non lineare differenza è che l'acciaio, pre-teso, raggiunge tensioni molto più elevate.

135

cavi reali cavo risultante sezione sezione c. r.

comportamento

peso proprio c.r. carichi accidentali peso proprio c.r.

I1 fatto che la sezione sia pre-sollecitata comporta alcune particolarità nelle verifiche, in confronto al c.a.: prima di tutto le tensioni complessive non sono proporzionali (neppure in campo lineare) ai carichi esterni, ma alla somma algebrica tra le sollecitazioni esterne e le presollecitazioni (normalmente di verso opposto). Quindi la sola verifica alle tensioni ammissibili è ancora più carente che nel c.a. ordinario, rispetto alla sicurezza in termini di aumento del carico; perciò le norme prescrivono, con le verifiche alle t.a., delle verifiche aggiuntive agli s.l. di rottura e di fessurazione. inoltre, le condizioni più sfavorevoli per le tensioni massime non sono necessariamente quelle a carico esterno massimo, ma possono essere quelle a carico esterno minimo: le norme prescrivono perciò di verificare le tensioni in entrambe le condizioni; infine, lo sforzo di precompressione varia nel tempo. Poiché esso è opposto agli sforzi esterni, il carico esterno minimo sarà più sfavorevole abbinato alla precompressione massima (cioè iniziale); invece col carico massimo sarà più sfavorevole la precompressione minima (a perdite lente avvenute). Queste sono infatti le due condizioni per cui vengono svolte generalmente le verifiche alle tensioni ammissibili (a parte i casi in cui la struttura viene eseguita in più fasi). In base a tali considerazioni è evidente che, in sede di progetto, la forma della sezione di una trave inflessa verranno calibrate in modo da ottimizzare le verifiche in entrambe le condizioni. Cioè, il momento di precompressione N e avrà un valore opportunamente intermedio fra Memax ed Memin, ed il pre-taglio N sen sarà compreso fra Temax e Temin, in modo da minimizzare in assoluto le rispettive tensioni da verificare. Prima di specificare i valori delle tensioni ammissibili, viene di fare un ulteriore considerazione. La condizione di carico minimo e precompressione iniziale ha luogo solo all'atto della messa in tiro; col tempo la precompressione cala e con essa le corrispondenti tensioni nei materiali. Quindi, la condizione di carico minimo col tempo si sposta verso la sicurezza.

136

problemi di verifica

+ precompressione

=

+ M1

M2-M1

M1 (min.)

M2 (max.)

N1 (max.)

N2 (min.)

valori degli sforzi di precompressione Me

Te N e

tensioni ammissibili

Nsin

Essendo transitorie, le tensioni prodotte in tale condizione hanno dei valori ammissibili più elevati di quelle a carico massimo (e precompressione finale). Queste stesse, comunque, hanno dei valori leggermente superiore che nel c.a., a parità di resistenza caratteristica R’bk. La ragione è che i materiali globalmente subiscono le tensioni massime alla messa in tiro e poi non più, neppure con l'intervento dei carichi massimi (al contrario di quanto avviene nel c.a.) superando una significativa riprova in opera. Questa sorta di collaudo preventivo dei materiali al vero consente una certa riduzione dei coefficienti di sicurezza nelle tensioni ammissibili. Queste valgono, per il conglomerato: in fase iniziale, a compressione:

'b 0,48Rbkj

in fase iniziale, a trazione:

'b 0,08Rbkj 0

a regime, a compressione:

'b 0,38R 'bk 28

a regime, a trazione

'b

:

0,06 R'bk 28 0

I valori di R’bk sono riferiti all'età (j giorni) del conglomerato nella fase corrispondente alla verifica. Per le condizione a regime si adotta senz'altro la resistenza convenzionale a 28 giorni R’bk28. Per la condizione iniziale, se la precompressione è attuata ad es. dopo una settimana dal getto, si adotterà la R’bk7, con il carico esterno minimo che agisce in tale data. Se successivamente può intervenire un carico minimo inferiore (ad esempio una flessione di segno uguale a quello della presollecitazione) la verifica andrà ripetuta per le resistenze e le perdite di tensione relative alla data di tale intervento. I valori ammissibili in trazione b interessano sia le normali alle sezioni (dovute alle pressoflessione), sia le

principali dovute al taglio. Le

'b di compressione per taglio

hanno qualche ulteriore limitazione. Le b di trazione per pressoflessione sono limitate a zero nei casi, stabiliti, nei quali vada esclusa la fessurazione.

137

Invece 1e tensioni ammissibili nell'armatura di precompressione valgono: (cavi post-tesi) in fase iniziale a api 0,85Rak s a regime

api

0,6 Rak

Le resistenze Rak e Rak(s) devono essere garantite in produzione, secondo standards stabiliti dalle Norme. La resistenza Rak(s) è allo snervamento: per i fili e le trecce viene sostituita da Rak(0,2) per i trefoli di Rak(1). Se le armature sono pre-tese, il coefficiente in fase iniziale viene portato da 0,85 a 0,90, per tener conto della immediata riduzione di tensione per la deformazione elastica (par.5.2). In ragione delle piccole trazioni ammesse nel conglomerato nella precompressione integrale le tensioni stesse vengono calcolate sempre nell'ipotesi di sezione non di trazione, vengono però prescritte delle parzializzata. Pur essendo ammesse delle armature sussidiarie in acciaio ad aderenza migliorata, in grado di assorbire l'intera risultante di trazione ad una tensione convenzionale di 2200 Kg/cm2 in fase iniziale e di 1800 Kg/cm2 a regime. Nell'analisi della sezione, per le sollecitazioni esterne che intervengono dopo che è stata Stabilita l'aderenza, le armature (sia pre-tese che post-tese) vengono omogeneizzate (cfr.par.4.1 e 5.2) con un coefficiente n = 6. Viene ammessa nell'acciaio una sovratensione pari a 0,06 Rak, per tali azioni. Più oltre verranno precisate i criteri ed i coefficienti di sicurezza per le verifiche agli stati limite.

schema di calcolo della sezione

5.4 FLESSIONE SEMPLICE Con sollecitazione di flessione semplice s'intende quella prodotta dalle azioni esterne e consistente in un momento flettente Me. La sezione sarà soggetta anche allo sforzo di precompressione (autoequilibrato) calcolato come si è mostrato nel par.5 Si assume che la sezione, nell'ambito delle tensioni ammissibili, anche di trazione, sia interamente reagente, elastica e nella deformazione rimanga tutta piana, eccetto

138

Me

c.r. N

sezione

naturalmente il cavo: questo subisce una deformazione e preliminare indipendente e poi eventualmente viene legato alla deformazione della restante sezione per aderenza. 5.4.1 VERIFICHE Le verifiche, secondo quanto detto nel paragrafo precedente, saranno le seguenti a) t.a. condizione iniziale La precompressione è la massima. I1 carico esterno da considerare è il minimo. Se i cavi sono post-tesi la sezione non li comprende, ma anzi dev'essere depurata dei fori delle guaine. Prima di tutto il carico. Dovendosi considerare quello esterno minimo, esso sarebbe nullo. Però normalmente si fa in modo che questa condizione non si verifichi mai, che almeno il peso proprio della trave entri in carico all'atto stesso della precompressione (cfr.par.5.3). Poiché la sezione si mantiene elastica, reagente e piana, si può impiegare la formula binomia (par.4.7) per il calcolo delle tensioni. Detti: N1 lo sforzo iniziale del cavo risultante nella sezione (contiene le perdite istantanee, non quelle lente) M1 il momento flettente esterno Me minimo sulla sezione A1 J1 area e momento d'inerzia della sezione iniziale (per i cavi pretesi coincide con quella definitiva). Le verifiche delle nel conglomerato, che debbono essere soddisfatte ai lembi superiore e inferiore sono: y s1

sup

N1 A1 inf

0,08 R ' bk

j

0,48 R ' bk

ys1

j

139

-0.08R'bk (0) M1

yi1

e N1 inf1

trazione

0

N1 e M 1 J 1 y i1

sup1

compressione

B/6). Nella verifica allo scorrimento la sicurezza viene di solito espressa dalladisu guaglianza: Pa

F

T

in cui T = Ntg viene considerata la forza di attrito sviluppabile nella superficie di contatto; F il coefficiente di sicurezza, che viene concentrato tutto sulla spinta Pa per semplicità. I valori di F dipendono dalle caratteristiche del terreno di riempimento e, comunque, non sono mai inferiori a 1,5 2. In modo analogo nella verifica al ribaltamento si ha: MR

F

MN

Successivamente, note tutte le azioni sulla struttura, si possono facilmente calcolare le sollecitazioni nelle sezioni più significative (ad esempio le sezioni indicate in figura S1,S2, S3, S4) ed eseguire il dimensionamento dell'armatura e la verifica delle sezioni, secondo quanto indicato per le sezioni in c.a. E' importante notare, infine, che la verifica della stabilità come corpo rigido nel modo esposto, può risultare insufficiente, qualora, in terreni dalle caratteristiche di resistenza molto basse, vi sia il pericolo di uno slittamento in blocco del muro e di una parte di terreno, secondo una superficie simile a quella indicata in figura. Per lo studio di questo problema si rinvia ai testi di geotecnica.

6.5 CEDIMENTI Nel progetto delle fondazioni e delle opere di contenimento, come è stato detto più in generale a proposito dei metodi di calcolo delle strutture, non è sufficiente verificare la

178

condizioni di equilibrio, ma è necessario porre particolare attenzione al problema delle deformazioni, che non solo possono essere oltre una certa misura inaccettabili in sé, ma sono causa di sollecitazioni supplementari nella struttura (e talvolta di gravi dissesti). I cedimenti possono essere uniformi o differenziali. Alcuni esempi: un abbassamento uniforme, di notevole entità, che ovviamente non comporta incrementi delle sollecitazioni, potrebbe considerarsi accettabile per il serbatoio di una raffineria, non per una casa d'abitazione che ha riferimenti altimetrici al tessuto urbano: un cedimento verticale, accompagnato da una rotazione rigida d'insieme, analogamente al precedente, non impegna le varie parti della struttura, ma può essere pericoloso per la stabilità d'insieme o globale (caso noto è quello della Torre di Pisa) oppure rendere inutilizzabile la costruzione (per esempio uno stabilimento in cui le macchine possono funzionare entro determinati limiti di orizzontalità): cedimenti differenziali sono ammissibili per strutture isostatiche o, anche, per strutture iperstatiche se dimensionate tenendo conto delle sollecitazioni prodotte dagli spostamenti relativi dei vincoli. Qualora i cedimenti calcolati risultino inaccettabili, si dovrà modificare il progetto delle fondazioni o delle strutture sovrastanti ovvero esaminare la possibilità di intervenire per migliorare le caratteristiche del terreno, sottoponendo l'area interessata dalla costruzione a trattamenti particolari, quali il precarico con rilevati, il consolidamento con iniezioni, l'assestamento con vibrazioni, la sostituzione dello stato superficiale con materiale opportunamente selezionato e trattato. I1 calcolo dei cedimenti dovuti al terreno e la valutazione dei pericoli che essi comportano, così come la scelta dei provvedimenti atti ad eliminarli o a renderli accettabili richiedono esperienza e conoscenze specifiche approfondite, che vanno oltre l'ambito di questo corso; si è ritenuto però opportuno stimolare la sensibilità a questo aspetto molto importante della progettazione strutturale.

179

7

ELEMENTI STRUTTURALI IN ACCIAIO

7.1

CARPENTERIA METALLICA

L'insieme di tutte le parti che compongono una struttura in acciaio costituite la carpenteria metallica, di cui è necessario conoscere i processi di produzione e di assemblaggio per impostare correttamente il progetto. Mentre le costruzioni in c.a. possono essere realizzate sia fabbricandole in cantiere, con i materiali componenti (barre d'acciaio e, per preparare il calcestruzzo, cemento, inerti e acqua), sia prefabbricandole, parzialmente o totalmente; le costruzioni metalliche sono sempre costituite da elementi prefabbricati in stabilimento, generalmente standardizzati e, successivamente, assemblati in cantiere, impiegando diversi sistemi di collegamento. La prefabbricazione consiste nella produzione dell'acciaio, profilato in varie forme particolarmente adatte per le costruzioni, da parte dell'industria siderurgica e nella successiva lavorazione in officina per la preparazione dei pezzi e per parziali assemblaggi. Una volta pronte, le diverse parti della carpenteria vengono trasportate dall'officina al cantiere per il montaggio, al quale seguono generalmente dei trattamenti per proteggere la struttura dalla corrosione e dal fuoco (verniciatura, zincatura, ecc.).

180

aspetti tecnologici

Gli specialisti addetti alle diverse fasi di realizzazione della carpenteria metallica (lavorazione in acciaieria e officina, trasporto, montaggio, verniciatura) devono conoscerne le tecniche ed i relativi problemi, come: la composizione chimica ed il processo di fabbricazione dell'acciaio si traducono in diverse possibili proprietà meccaniche del materiale, rendendolo adatto o meno all'impiego nelle costruzioni. L'acciaio è una lega del ferro e di altri componenti metallici (manganese, rame, nichel, cromo, ecc.) e non metallici (carbonio, silicio, zolfo, ecc.), in parte volutamente aggiunti, in parte contenuti nelle materie prime; le percentuali dei singoli componenti influenzano lavorabilità, fragilità, resistenza meccanica, saldabilità, ecc. della lega; il tenore di carbonio, in particolare, viene assunto correr criterio di classificazione, poiché influisce profondamente sulla lavorabilità. La trasformazione nella forma richiesta per mezzo di laminazione a caldo o a freddo, di fucinatura o di colata in getti influenza ulteriormente le proprietà ricordate (per es. creazione di tensioni interne). La lavorazione dei profilati commerciali (prodotti dalle acciaierie) comporta diverse altre operazioni, per renderli adatti al loro impiego finale, quali il taglio, la piallatura, la tornitura, la fresatura, la foratura con trapano o con punzone, la saldatura, ecc. Il trasporto ed il sollevamento impongono criteri per la scelta delle dimensioni dei pezzi. I1 piano di montaggio deve essere coordinato in relazione ai macchinari e all'impianto di cantiere, alle tecniche previste per il collegamento in opera delle diverse parti (chiodatura, bullonatura, saldatura), al tipo di unione dei singoli elementi (colonna, trave, solaio, ecc.). La scelta dei prodotti protettivi e delle relative modalità di applicazione possono influire fortemente sulle spese di manutenzione della carpenteria e sulla sicurezza della struttura nei riguardi dell'azione del fuoco.

181

Questi cenni su alcuni problemi tecnologici propri delle costruzioni in acciaio, mostrano quanto varie e complesse siano le conoscenze necessarie agli operatori impegnati nella realizzazione ed inoltre servono ad introdurre alcune nozioni elementari che devono essere note al progettista strutturale, a completamento di quelle relative ai calcali statici. Per tutto ciò che riguarda le costruzioni metalliche si fa riferimento alla parte 3^ delle Norme (D .M .16.6.76); in esse vengono indicate, per i diversi tipi di acciaio, le qualità richieste e le prave necessarie ad accertarla. Per i procedimenti di verifica sono già stati indicati i criteri fondamentali nel cap.3. In particolare le verifiche della sezione risultano più semplici che nel c.a., trattandosi di sezioni realmente omogenee. Le Norme suddividono gli acciaio laminati a caldo in due classi, tipo 1 e tipo 2, di cui stabiliscono le seguenti tensioni ammissibili per stati monoassiali: acciai tipo 1

amm

= 16 kg/mm27

acciai tipo 2

amm

= 24 kg/mm

Tali valori, relativi alla condizione di carico I (azioni principali), sono da moltiplicarsi per 1,125 nella condizione di carico II (azioni principali e complementari). Per gli stati pluriassiali, invece, si dovrà verificare che la tensione ideale (par.3.1) risulti id ottaedríea, nel caso di amm. La tensione ideale col criterio della stato biassiale (piano) e nel riferimento (x,y),vale: id

2 x

2 y

x

y

3

2 xy

In particolare per tensione tangenziale

7

pura, si ha:

Nella parte 3^ delle norme le tensioni ammissibili vengano indicate con

amm,

amm

invece che

,

.

182

proprietà dei materiali e verifiche

id

3

2 amm

cioè

amm

= 0,576

amm

Se per la scelta degli acciai da impiegare il compito del progettista è chiarito dalla normativa e per l'analisi della sezione facilitato dal comportamento del materiale, di contro problemi complessi, propri della carpenteria metallica, nascono dall'esigenza di montare in cantiere la struttura. E' pertanto necessario essere in grado di verificare la capacità dei collegamenti e delle unioni a trasmettere gli sforzi e a realizzare i vincoli per cui sono previsti. Una precisazione terminologica: in questi appunti si diranno collegamenti i sistemi di connessione (chiodature, bullonature, saldature) tra due o più parti della struttura; unioni i dettagli relativi all'assemblaggio degli elementi strutturali (unioni colonna-colonna, trave principale-trave secondaria, trave-colonna ecc.); nella letteratura si incontrano i termini collegamento ed unione, con significato alterno. Pur ricordando che un confronto approfondito per la scelta della soluzione più idonea ad una struttura deve essere fatto di volta in volta, in base alle condizioni particolari di ogni singola costruzione, è interessante elencare alcuni fattori favorevoli o sfavorevoli alle strutture in acciaio: rispetto ad altri materiali da costruzione, l'acciaio ha un elevato valore del rapporto resistenza/peso a cui conseguono una maggiore leggerezza della struttura (a titolo orientativo un fabbricato con struttura in acciaio può pesare 0,30 t/m3 vuoto per pieno, con struttura in c.a. 0,35 t/m3) e quindi fondazioni meno costose, ingombri ridotti degli elementi portanti, minori oneri di trasporto e sollevamento dei pezzi prefabbricati; le ridotte dimensioni delle sezioni, dovute all'elevata resistenza del materiale (non accompagnata da un modulo elastico elevato in proporzione), comportano maggiore deformabilità e pericolo di fenomeni di instabilità. Le Norme infatti, oltre a imporre dei limiti alle deformazioni (frecce degli elementi inflessi, spostamenti orizzontali dei fabbricati alti, ecc.), dedicano un intero paragrafo al criteri di verifica riguardo all'instabilità. Questa si può manifestare sia per la struttura nel suo insieme, sia per un

183

assemblaggio degli elementi

confronti con il c.a.

intero elemento (sbandamento laterale di una colonna o di un controvento compressi, svergolamento di una trave inflessa), sia localmente nelle lamiere degli elementi (imbozzamento dell'anima, dell'ala, di una parete) sono propri dell'acciaio i pericoli di rotture fragili (a temperature molto basse o per particolari lavorazioni, che inducano stati triassiali di tensione, o per urti) e di rotture per fatica (v.anche par.2.6); una struttura metallica può essere trasformata, consente facili accoppiamenti con strutture non metalliche, può essere, in particolari casi, anche recuperata; proprietà comuni a tutte le costruzioni prefabbricate, e quindi a quelle metalliche, sono rapidità di esecuzione e industrializzazione del lavoro; in alcune parti della struttura possono essere presenti tensioni interne dovute a lavorazioni (produzione, montaggio), mentre non esiste il ritiro del materiale; come già si è detto, l'acciaio deve essere protetto dall'azione del fuoco, che ne altera le caratteristiche meccaniche, e dalla corrosione: sono necessari pertanto trattamenti iniziali e manutenzione continuata; la rappresentazione grafica del progetto è più onerosa. Un cenno, infine, alle strutture miste acciaio-calcestruzzo; a questa definizione corrisponderebbero anche le strutture in c.a., nelle quali si impiegano barre di acciaio distribuite e piegate opportunamente nelle zone di conglomerato ove si prevedono tensioni di trazione. Nelle strutture miste propriamente dette, però, l'acciaio è utilizzato in profilati, che vengono preparati, lavorati e assemblati con i criteri propri delle strutture in acciaio e che spesso costituiscono il supporto per il getto del calcestruzzo. Mentre nelle strutture in c.a. il trasferimento delle tensioni interne da un materiale all'altro avviene su tutta la superficie delle barre, in quelle miste il contatto è limitato ad

184

strutture miste acciaio-calcestruzzo

un piano (per es. faccia dell'ala superiore di un profilato a I, come in figura); su tale piano è necessario pertanto realizzare dispositivi che assicurino la trasmissione degli sforzi di scorrimento, come staffe e perni, saldati alla trave d’acciaio e compresi nel getto di calcestruzzo. Nel calcolo viene prudenzialmente affidato ad essi per intero il trasferimento delle tensioni di scorrimento tra 1e due parti, trascurando l'aderenza con la faccia del profilato. La sezione, composta dai due materiali, viene considerata unica e analizzata nelle verifiche con il metodo delle t.a. o degli s.l.. Si osserva che, nella verifica a rottura, si evitano le incertezze sulla valutazione di numerosi parametri che devono essere considerati nel metodo delle t.a. Infatti, detta verifica può prescindere dagli effetti del ritiro, della viscosità, delle variazioni termiche differenziali, delle fasi costruttive, delle tensioni residue, che influenzano sostanzialmente solo le tensioni di esercizio. Si rileva però l'importanza di questi problemi nelle strutture miste riguardo ad altri s.l. (cedimenti locali, deformazioni, ecc.), che debbono comunque essere tenuti presenti.

7.2 GLI ELEMENTI CHE COMPONGONO LA STRUTTURA Le strutture degli edifici civili, ai quali si farà riferimento nel breve esame che segue, sono costituite da fondazioni, colonne, travi (principali e secondarie), solai, eventuali controventi. Le fondazioni sono sempre in c.a. (perché non possono essere in manutenzione) e di esse si è parlato nel cap.6. Per la realizzazione di colonne, travi, controventi si impiegano generalmente profilati semplici in commercio, previsti nel sagomario europeo: solo se le sezioni di questi risultano insufficienti, si fa ricorso a elementi composti speciali, più costosi. I prontuari, a cura delle società produttrici, riportano in tabelle le caratteristiche geometriche e statiche dei profilati commerciali (v.pag. seguente). Le colonne sono elementi verticali soggetti principalmente a sforzo normale, eventualmente accompagnato da flessione. Possono essere realizzate con profili

185

colonne

commerciali semplici con sezione a I (doppio T) ad ali larghe (serie HE - A leggera, B normale, M rinforzata) che presentano raggio d'inerzia e, quindi, snellezza non molto dissimili in tutte le direzioni; le sezioni tubolari hanno raggio d'inerzia elevato e costante in tutte le direzioni, ma comportano maggiori difficoltà nelle unioni con altri elementi. Nei casi in cui la flessione o la lunghezza libera d'inflessione in un piano prevalgono rispetto agli altri, si adotteranno sezioni aventi in tale piano modulo di resistenza (e raggio d'inerzia) più elevato. Dall'accoppiamento di lamiere, di profilati a L, a C, a I si possono ottenere sezioni composte, più costose, ma indispensabili in particolari condizioni di sollecitazione. Alle volte risulta più conveniente per il montaggio realizzare colonne in un solo pezzo comprendente più piani, anziché suddivise piano per piano, in quanto si riduce il numero delle unioni (colonne passanti). La sezione dell’intero tratto si dimensiona in base alle sollecitazioni massime, che si hanno generalmente in corrispondenza la piano più basso, oppure si rinforza ai piani inferiori la sezione progettata per il piano più alto. Le travi principali e secondarie, sollecitate a flessione, possono essere costituite da profilati commerciali con sezione a I, (della serie IPE o, se l’altezza è limitata, della serie HE, più bassa ma più pesante a parità di modulo di resistenza) o a C. Per carichi o luci notevoli si passa a travi composte (a parete piena o forata, a traliccio o a cassone). Con piatti saldati è possibile ottenere sezioni composte a parete piena con sezione a I, a C, ad H; travi di questo tipo sono disponibili in serie unificate ed integrano pertanto la gamma dei profilati semplici. Il passaggio dei cavi e tubazioni degli impianti richiede a volte dei fori ( generalmente circolari o rettangolari) nell’anima delle travi. Rispondono a questa esigenza le travi alveolate prodotte in serie con profili commerciali, tagliati a greca lungo l’anima e saldati come risulta dalla figura; il profilo che si ottiene ha, inoltre, il momento d’inerzia superiore rispetto al profilato di base. Nei casi comuni si impiegano travi di sezione costante, progettate per il momento massimo; negli elementi inflessi di una certa importanza può risultare conveniente

186

travi

impiegare un profilo semplice, rinforzato in corrispondenza delle sezioni più sollecitate mediante piattabande applicate alle ali, oppure un profilo composto, avente momento d'inerzia variabile lungo l'asse della trave, in relazione all'andamento del momento flettente. Ciò si può ottenere variando l'altezza della trave, oppure la larghezza o lo spessore delle ali. I solai degli edifici a struttura d'acciaio possono essere in calcestruzzo o metallici. Nel primo caso si tratta di solai analoghi a quelli delle strutture in c.a. costituiti da solette piene o miste in calcestruzzo e laterizio. Nel secondo caso di lamiere zincate con forma ondulata o grecata, su cui si può effettuare un getto di riempimento. Dell'esecuzione e del calcolo dei solai in calcestruzzo si è già accennato (par. 4.2); il loro impiego nelle costruzioni metalliche pone, però, alcuni problemi particolari. I1 solaio può essere indipendente dalle travi portanti metalliche, allora il suo comportamento è del tutto simile a quello dei solai delle strutture in c.a. ma, nella determinazione delle sollecitazioni, potrà esser necessario tenere conto della maggiore cedevolezza degli appoggi (cap.8). I1 solaio può invece collaborare con le travi metalliche, se vengono predisposte opportune connessioni sulla superficie di contatto;si realizza in tal caso una struttura mista acciaio-calcestruzzo (nella direzione d'orditure delle travi). I solai metallici sono costituiti da lamiere zincate di piccolo spessore (5/10 20/10 mm.) la cui capacità portante è data dalla particolare forma ondulata o grecata; esse vengono fissate alle travi con viti o con punti di saldatura. I1 getto di riempimento può avere solo fini di spianamento, ripartizione, isolamento acustico e termico, ecc.; oppure collaborare staticamente con la lamiera, mediante risalti sulle superfici o saldatura per punti di una rete elettrosaldata d'armatura, disposta nel getto. I controverti sono elementi di irrigidimento dell'insieme della struttura (cfr. cap.8) riguardo alle azioni esterne laterali (come il vento). Essi possono essere costituiti da pareti in c.a. oppure da aste in acciaio disposte in maniera da lavorare a trazione e compressione.

187

solai

controventi

7.3

I COLLEGAMENTI

I principali sistemi per collegare due o più parti di una struttura d'acciaio so no: chiodi bulloni normali bulloni ad attrito saldature Le Norme indicano sia i materiali da impiegare, sia i criteri di verifica, sia le regole pratiche per il progetto e l'esecuzione. I collegamenti con chiodi e con bulloni normali sono simili nel comportamento statico e nella preparazione delle parti da connettere: gli sforzi sono trasmessi da una parte all'altra mediante il gambo (di chiodo o bullone), che attraversa i due pezzi, precedentemente forati. Le norme stabiliscono i diametri normali del gambo e del relativo foro, l'interasse tra i fori e la loro distanza dai bordi; questi ultimi limiti servono a garantirsi dall'indebolimento della lamiere, dal distacco tra le faccia a contatto (pericolo di corrosione all'interno), dall'instabilità di tratti intermedi di lamiera compresi fra due chiodi o bulloni e sono anche necessari all'esecuzione del collegamento. Essi differiscono, invece, sostanzialmente nel sistema di bloccaggio: i chiodi, dotati di testa ad una sola estremità del gambo, vengono riscaldati a temperatura tale da renderli malleabili ( 1200°C), poi introdotti nel foro e ribattuti ( 950°C) con uno stampo, in modo da formare in opera la seconda testa dell'altra estremità; i bulloni normali sono filettati e vengono serrati mediante un dato avvitato (con chiavi normali o dinamometriche). Infatti, durante il raffreddamento da 950°C alla temperatura ambiente, il chiodo non è libero di accorciarsi e quindi comprime le lamiere una contro l'altra. Le incertezze sull'entità delle tensioni indotte dalla contrazione termica e sulla qualità della testa realizzata in opera sconsigliano l'uso di chiodature nei collegamenti atti a trasmettere sollecitazioni dirette parallelamente al gambo (fig.)002E

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chiodi, bulloni normali

Dopo il serraggio del dado, anche i bulloni sono tesi e comprimono le lamiere, fornendo, però, per le loro modalità esecutive, maggiori garanzie nei riguardi di eventuali sforzi di trazione. Di ciò tiene conto il regolamento stabilendo tensioni ammissibili di trazione molto superiori a quelle per i chiodi. Le principali verifiche dei collegamenti con chiodi e bulloni riguardano la recisione del gambo, la rottura della lamiera indebolita dai fori, il rifollamento della lamiera, per effetto della pressione di contatto con il gambo. Per poter effettuare tali verifiche è necessario calcolare come si distribuiscano tra i vari chiodi o bulloni le sollecitazioni totali agenti sul collegamento. Si tratta di un problema iperstatico e le equazioni di equilibrio non sono sufficienti, ma è necessario considerare la deformabilità del sistema. Ragionando nei due casi limite (a) di infinita rigidità dei pezzi da unire e perfetta deformabilità dei chiodi e (b) viceversa, si può dimostrare che nel caso (a) la sollecitazione si ripartisce uniformemente tra tutti i chiodi, nel caso (b) viene interamente sopportata dal primo e dall'ultimo della fila. La situazione reale (c) sarà intermedia. I risultati dell'analisi teorica e sperimentale di casi reali sono stati utilizzati per formulare delle regole pratiche per la scelta del numero massimo dei chiodi per fila e del passo delle chiodature; nelle applicazioni si suole spesso considerare la ripartizione uniforme della forza tra tutti i chiodi, nel caso di sollecitazioni come in figura. I collegamenti con bulloni ad attrito, molto simili nella tecnologia a quelli con bulloni normali, ne differiscono sostanzialmente per il comportamento statico. Anche nei collegamenti precedenti, per effetto delle operazioni di bloccaggio (raffreddamento dei chiodi, serraggio dei bulloni), nascono tensioni di attrito che collaborano alla resistenza, ma si trascurano nel calcolo. Nel collegamento in esame, invece, si fa riferimento solamente all’attrito, non considerando la resistenza al taglio del gambo, la quale non può entrare in gioco, perché l'attrito impedisce praticamente scorrimenti relativi fra le lamiere.

189

I bulloni ad attrito, realizzati in acciaio ad alta resistenza, vengono serrati per mezzo di chiavi dinamometriche, in modo da avere una forte trazione nel gambo e quindi una forte precompressione dell'interfaccia delle lamiere. Nota la forza di trazione Nb nel gambo, il regolamento propone per il calcolo della forza Nt di esercizio trasmessa per attrito, per ogni bullone:

bulloni ad attrito

Nt = (1/ s) Nb

ove s è il coefficiente di sicurezza allo slittamento, che si assume 1,25 per la con dizione di carico I (azioni principali) e 1,10 per la II (azioni principali e complementari); è il coefficiente d'attrito, i cui valori variano tra 0,45 e 0,30 in funzione della qualità delle superfici a contatto. Se, come possibile, il collegamento richiede anche sforzi assiali N di trazione nei bulloni (fig.), la forza d'attrito Nt si riduce: Nt = (1/ s) (Nb

N)

Per quanto riguarda diametri normali, interassi, distanze dai bordi valgono criteri analoghi a quanto detto per i collegamenti con bulloni normali; particolare cura va posta alla protezione dalla corrosione, che potrebbe nel tempo ridurre l'attrito tra le superfici a contatto e quindi la resistenza del collegamento. I collegamenti con saldature sono sostanzialmente diversi da tutti i precedenti, sia per le modalità esecutive, che per il funzionamento statico. Portando i materiali a contatto ad elevate temperature si genera un legame intimo tra loro e si ottiene così un insieme monolitico, attraverso cui le tensioni fluiscono con continuità. I procedimenti tecnologici delle saldature sono vari e complessi; le norme indicano quali impiegare: saldatura manuale ad arco con elettrodi rivestiti; saldatura automatica ad arco sommesso; saldatura automatica e semiautomatica sotto gas protettore;

190

saldature

ammettendo la possibilità di adottare altri procedimenti, la cui efficacia venga preventivamente verificata con ben determinate prove. L'arco voltaico si sviluppa tra due elettrodi, uno costituito dagli elementi da unire, l'altro da un cannello metallico inserito nella saldatrice, il quale fornisce il materiale d'apporto per il cordone di saldatura. Variando la composizione dell'elettrodo metallico, che avrà caratteristiche simili al metallo base da saldare, e rivestendolo con materiali opportuni, è possibile influire sostanzialmente sui risultati dell'operazione (riducendo le perdite di carbonio, proteggendo la saldatura dall'ossidazione, rendendo più graduale il raffreddamento, durante il quale possono nascere tensioni interne causate dall'impossibilità delle diverse parti di deformarsi liberamente). Anche per la scelta degli elettrodi metallici vengono date indicazioni dal regolamento. Una classificazione dei tipi di saldatura può essere fatta in funzione delle posizioni relative che assumano le lamiere tra loro e con il cordone. Si hanno così i giunti a completa penetrazione, con le lamiere disposte testa a testa, a croce, a T ed i giunti con cordoni d'angolo, frontali e laterali. Per la verifica delle saldature si calcolano le tensioni ideali assumendo per la sezione resistente della saldatura dimensioni convenzionali, fissate dalle norme in funzione del tipo di giunto e della direzione delle forze che lo sollecitano, e si confrontano con le tensioni ammissibili (v. esempio in fine capitolo). Per tutti i collegamenti descritti assumono grande importanza le modalità esecutive ed i successivi controlli per accertare la buona riuscita delle operazioni o per individuare eventuali difetti. A questo proposito il regolamento precisa che: nei collegamenti con chiodi: le teste ottenute con le ribaditure devono risultare ben centrate sul fusto, ben nutrite alle loro basi, prive di screpolature e ben combacianti con la superficie dei pezzi; dovranno poi essere liberate dalle bavature mediante scalpello curvo, senza intaccare i ferri chiodati;

191

controlli

nei collegamenti con bulloni ad attrito le superfici di contatto devono essere pulite (prive di olio, vernice, scaglie, ecc.), planari, parallele; deve poi essere controllato il serraggio dei bulloni, misurando il valore della coppia torcente, presente mediante due possibili operazioni, cioè applicando con chiave dinamometrica un ulteriore coppia che faccia ruotare il dado di 10°, oppure allentando e riserrando il dado per controllare se la coppia prescritta lo riporta in posizione originale; nei collegamenti con saldature si richiede addirittura che i saldatori abbiano superato determinate prove di qualifica; che i lembi da collegare siano regolari, lisci ed esenti da incrostazioni, ruggine, scaglie, grassi, vernici, irregolarità locali ed umidità e presentino un minimo disallineamento. Particolarmente accurati saranno per le saldature, i controlli con radiografie, ultrasuoni, o sistemi magnetici dai quali se ne dedurrà l'accettabilità e l'appartenenza ad una delle due classi previste dalle norme: la saldature di I classe debbono soddisfare ovunque l'esame radiografico o l'esame con ultrasuoni; per quelle di II classe sono ammessi difetti contenuti per numero ed estensione, entro ragionevoli limiti di accettabilità. Si ricordano, infine, alcuni degli elementi che concorrono alla scelta di un tipo di collegamento piuttosto che un altro. Le chiodature sono ormai in disuso perché costose, pesanti, lente nel montaggio. Le bullonature, rispetto alle saldature: richiedono una mano d'opera meno specializzata; comportano operazioni di montaggio più facili a normalizzarsi ed industrializzarsi e minori incertezze sulla loro riuscita; si prestano meglio ad eventuali trasformazioni e rimozioni; hanno bisogno di maggior lavoro di preparazione dei pezzi in officina, sono però rapide nel montaggio; sono più pesanti per la presenza di parti passive (testa, rosetta, dado); realizzano unioni che si scostano maggiormente dal vincolo ideale e che presentano

192

scelta del collegamento

discontinuità a causa dei fori; condizionano maggiormente le dimensioni dell'unione per la necessità di distanziare opportunamente fori, dadi. Mentre in una stessa unione è vietato l'impiego di differenti metodi di collegamento, a meno che uno solo di essi sia un grado di sopportare l'intero sforzo,è invece possibile realizzare nella stessa struttura alcune unioni bullonate, altre saldate. Si eseguono allora in officina le unioni geometricamente e staticamente più impegnative mediante saldatura, operando in condizioni ottimali (attrezzature, posizione dell'operatore, controlli, trattamenti protettivi, ecc.); il montaggio in cantiere avviene con collegamenti bullonati nelle unioni più semplici (per es. a flangia, vedi oltre).

7.4 LE UNIONI L'assemblaggio della carpenteria metallica, parte in officina, parte in cantiere viene eseguito con i sistemi di collegamento visti nel par.prec. A seconda dei diversi tipi di elementi da associare (travi, colonne, eccetera) si hanno vari dettagli attivi o unioni, le cui caratteristiche tecnologiche e statiche differiscono notevolmente. E' necessario stabilire il vincolo da realizzare e conseguentemente le sollecitazioni di trasmettere. Per esempio l'unione tra una trave ed una colonna può essere armata in modo da consentire rotazioni relative e non spostamenti: in tale sezione si annullano allora i momenti e, nel modello strutturale, si individua una cerniera. Oppure essa può essere progettata in modo da costituire un nodo rigido: lo schema sarà in quel punto continuo e tutti gli sforzi potranno essere trasmessi. Nel descrivere alcune delle unioni più comunemente impiegate negli edifici civili, si può seguire una classificazione in funzione della tipologia dei diversi elementi da unire: unioni di colonna unioni di trave unioni trave-trave unioni trave-colonna unioni colonna-fondazione (base)

193

194

Se una colonna ha dimensioni tali da rendere opportuna, per il trasporto e montaggio, una suddivisione in più pezzi, si devono prevedere delle unioni. Esse vengono preferibilmente disposte ove la flessione risulta minima, al di sopra dei nodi; si ottengono così unioni più semplici perché soggette a solo sforzo normale e distanziate dagli attacchi delle travi. Le due parti di colonna possono essere saldate testa a testa, o unite mediante coprigiunti (chiodati o bullonati o saldati), oppure con flange da collegare mediante bulloni;le flange sono preparate in officina e saldate normalmente all’asse del profilato. Se i tratti di colonna sovrapposti hanno sezione diversa, si ricorre a piastre di imbottitura tra profilati e coprigiunti, a vari elementi di raccordo, in modo da realizzare nel migliore dei modi il passaggio delle tensioni da una sezione all’altra (v.figura). La verifica delle unioni con saldatura testa a testa non è necessaria nel caso di saldature di I classe, che ripristinano integralmente la sezione del profilato; è molto 0,85 amm, assumendo una sezione semplice per quelle di II classe: 1 = N/As convenzionale As della saldatura pari a quella del più piccolo dei profilati da unire. Nelle unioni di colonne a doppio T con coprigiunti bullonati , dopo aver valutato la distribuzione dello sforzo assiale N tra ali ed anima (per es. in proporzione alle rispettive aree), le verifiche da farsi riguardano: i bulloni soggetti taglio; le sezioni di colonna indebolite dai buchi; il rifollamento della lamiera al contorno dei fori. Inoltre, si devono dimensionare i coprigiunti in modo che abbiano la stessa area ed inerzia dei profilati da unire. Lo spessore delle flange deve essere proporzionato a quello delle parti da unire ed al loro eventuale disassamento. I modi per unire due tronchi di una stessa trave sono analoghi a quelli descritti per le colonne, pur essendo diverse le forze da trasmettere: sforzo di taglio, momento flettente. Si hanno ancora unioni saldate testa a testa, unioni con coprigiunti bullonati o saldati, unioni con flange. Esse si dispongono, possibilmente, in punti della trave ove le sollecitazioni sono minime.

195

unioni di colonna

unioni di trave

Nelle saldature di testa a completa penetrazione, le tensioni e , dovute a T ed M, e la conseguente id, da confrontare con la am, si calcolano assumendo una sezione resistente pari a quella della trave, poiché la saldatura corre lungo tutta le sezione. Nelle unioni con coprigiunti bullonati le verifiche riguardano ancora le sezioni di trave indebolite dai fori, i bulloni, i coprigiunti. Per il calcolo delle tensioni da attribuirsi ai singoli bulloni o a gruppi di esse, dovute alle sollecitazioni N, M, T che l’unione trasmette, si rinvia all’esempio in fine paragrafo. Le unioni trave-trave sono quelle relative all’intersezione tra travi principali e unioni trave-trave secondarie. Possono essere progettate in modo che la trave secondaria sia semplicemente appoggiata su quella principale, collegando la trave secondaria all’anima della principale con saldatura, mediante squadrette e bulloni, con flangia o anche saldando all’anima della trave principale un appoggio (tacco) per la secondaria, che poi viene fissata con angolari e bulloni. Se si richiede all’unione di realizzare la continuità fra le travi secondarie, devono essere rese continue le ali superiori e inferiori, per trasmettere i momenti flettenti. Ciò può essere ottenuto con unioni bullonate, applicando coprigiunti in zona tesa e spessori in zona compressa, oppure con unioni saldate. Per le unioni trave-colonna si hanno diverse possibili soluzioni a seconda che sia unioni trave-colonna passante la colonna oppure la trave, a seconda che si voglia ottenere un vincolo rigido (incastro) o articolato (cerniera), a seconda che nel nodo concorrano una o più travi (nodi a una, due, tre, quattro vie). Nel caso della colonna passante, più usato negli edifici, si realizza il nodo-cerniera analogamente alle unioni trave-trave con squadrette, bulloni ed eventualmente tacchi, collegando la trave all'ala o all'anima della colonna, come mostrato nelle fig. a pag. seguente.

196

Lo schema del nodo-incastro si esegue in genere con saldature o con flange, disponendo rinforzi sull'anima e tra le ali della colonna, per evitare il pericolo di imbozzamenti e di strappi, determinati rispettivamente dalla compressione e dalla trazione delle ali della trave. Nel caso meno frequente, in cui sia passante la trave, si ricorre a soluzioni a flangia per la colonna con collegamento in opera bullonato o saldato e si ricostituisce con piatti saldati la sezione della colonna nel tratto compreso tra le ali della trave. Sia per le unioni trave-trave che per quelle trave-colonna, volendo evitare saldature in opera, si possono saldare in officina (rispettivamente alla trave principale o alla colonna) dei tronchi di trave ed eseguire poi in opera unioni di trave bullonate in sezioni correnti. Le unioni colonna-fondazione hanno il compito di trasmettere le azioni della colonna in acciaio alla struttura di fondazione in c.a. Nella zona dell'unione le tensioni devono ridursi notevolmente in relazione ai valori ammissibili del conglomerato. A tale scopo si salda una piastra alla base della colonna e la si ancora al calcestruzzo con bulloni particolari, anche se la superficie di interfaccia risultasse interamente compressa. Affinché le tensioni di contatto siano ben distribuite, la piastra deve essere molto rigida e quindi molto spessa, oppure nervata. La sezione di conglomerato di contatto può essere trattata, per il calcolo delle tensioni nel conglomerato stesso e nei bulloni con cui effettuare le verifiche, come una sezione in c.a. parzializzata e con i bulloni d'ancoraggio al posto delle barre. Con le stesse tensioni si dimensiona la piastra d'acciaio, rispetto alla deformazione. I bulloni d'ancoraggio o tirafondi possono essere annegati nel getto della fondazione, oppure esservi collocati successivamente, insieme alla colonna, in alloggiamenti predisposti, che vengono poi sigillati con malta espansiva contemporaneamente al riempimento dello spazio lasciato tra piastra e plinto. I tirafondi vanno ancorati inferiormente ad armature (barre, putrelle) annegate nel plinto e disposte al fondo degli alloggiamenti.

197

unioni colonna-fondazione

198

Dopo aver descritto alcune tipiche unioni fra elementi strutturali di edifici, con qualche cenno al loro comportamento statico, sono utili degli esempi di riferimento per indicarne il procedimento di verifica. Nel collegamento con bulloni e squadrette di un unione trave-trave, che realizzi un nodo-cerniera, si devono verificare le diverse parti (bulloni, squadrette, travi), dopo aver determinato le sollecitazioni che esse si scambiano. Sono valide alcune ipotesi: si può considerare la trave principale priva di rigidezza torsionale ed i bulloni capaci di reagire solo a sforzi di taglio, che si suppongono ripartiti uniformemente fra essi. Ciò premesso e detta R la reazione della trave secondaria (s.) appoggiata sulla principale (p.), è possibile calcolare le forze che impegnano le singole parti, nel caso rappresentato in figura, ove le squadrette, di spessore costante, sono collegate con due bulloni (n = 2) all'anima sia della trave s., sia di quella p.. Nel collegamento squadrette-trave s. (sez.a.a.), dato che i bulloni trasportano la reazione a una distanza ea dalla trave p., nasce un momento Ma = R ea in equilibrio con la coppia Ha=Ma/c così le forze scambiate tra bulloni e trave s. sono: Va=R/n

Ha = ( R

ea )/c

componendo Va e Ha, la risultante è: Fa

Va2

H a2 ; quelle tra bulloni e squadrette

valgono la metà, perché la forza Fa presente in un bullone si ripartisce tra le due squadrette (v.fig.sez.1.1). Nel collegamento squadrette-trave p. (sez.b-b) si ha ancora un momento Mb= ebR/2 dovuto all'eccentricità di ogni coppia di bulloni dall'asse della trave s; le sollecitazioni tra squadrette, bulloni, trave p. sono: Vb

e poiché ea

R2 n

Hb

R2

eb, le risultante è

Fa/2.

eb c

Fb

Vb2

H b2

199

esempi

Le verifiche che interessano la sez. a-a sono dunque: per i bulloni (a taglio) Fa 2 Abull per le squadrette (sezione depurata dei fori a flessione e taglio) per l’anima della trave (rifollamento della lamiera al bordo del foro)

M a Wsq

da cui

amm bull .

R ea Wsq e 2

id

Fa s d

rif .

3

R Asq

2

1,15 2

am

1,15

Quando risultano soddisfatte le condizioni di verifica del collegamento alla trave s. (sez. a-a), è di solito superfluo controllare il collegamento alla trave principale (sez. b-b), poiché, se ea eb, in questo si hanno le stesse sollecitazioni nelle squadrette e nei bulloni e sollecitazioni metà nell’anima della trave p., che, inoltre, ha in genere spessore maggiore. Per la stessa unione, se si impiega la saldatura, vengono realizzati due cordoni lungo gli spigoli di contatto dell'anima della trave s. con quella p. Tali cordoni d'angolo si verificano assegnando al cordone uno spessore p convenzionale, pari all'altezza del triangolo iscritto nella sezione (v.figura) del cordone stesso. Calcolando che i cordoni in parallelo, di lunghezza l, nel presente caso sono due, la superficie totale utile di saldatura risulta 2l p. La tensione tangenziale si verifica8: II

R 2h

p

0,85

amm

per acciaio tipo 1

0,70

amm

per acciaio tipo 2

Un altro esempio: l'unione di trave del profilato a I in figura, con coprigiunti bullonati sull'anima e sulle ali, deve essere in grado di trasmettere le sollecitazioni T, M. I1 taglio viene portato interamente dai bulloni dall'anima, il momento flettente in parte dai bulloni delle ali, in parte da quelli dell'anima. 8

Si indicano con saldatura.

,

,

II,

II,

rispettivamente le tensioni perpendicolari e parallele all’asse della

200

La distribuzione di M tra ali ed anima può essere fatta in proporzione ai rispettivi momenti di inerzia: M

M

ali

M

2 b e anima

h e 2 Ix

2

M

1 12

h2

a

e

Ix

2

M

(avendo considerato le risultanti di trazione e compressione nelle ali alla distanza h e). La sollecitazione con cui verificare i coprigiunti d’ala a sforzo normale, i fori nell’ala a rifollamento ed i relativi bulloni al taglio, è data allora da: Ftot M ali h e , Fbull , ali

Ftot n ali ( nell’esempio: numero bulloni ali n(ali)=6).

I coprigiunti d’anima vengono dimensionati in modo da avere momento d’inerzia uguale o maggiore di quello dell’anima della trave; i relativi bulloni sono soggetti alle forze V ed H dovute, rispettivamente, a T ed M(anima). Più sollecitati sono i bulloni che distano maggiormente dal baricentro, nel caso in figura: V

T n anima

con la risultante Fbull max

H max V2

M

anima

C

(nell’esempio nanima=3)

2 H max si verificano l’anima della trave a rifollamento e la

sezione dei bulloni a taglio. Infine, si verifica a flessione e taglio la sezione della trave in corrispondenza delle forature, ove risulta indebolita. In generale, concludendo, per lo studio di unione si procede così: si determinano gli sforzi N, T, M che 1'unione trasmette in relazione al funzionamento dell'intera struttura: si sceglie uno schema astratto, rispondente alle caratteristiche dell’unione considerata, per determinare la ripartizione di tali sforzi tra i singoli che la compongono (chiodi, bulloni, cordoni di saldatura, squadrette, coprigiunti, ecc.); si verificano le tensioni negli elementi più sollecitati, in base ai criteri di resistenza

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negli elementi congiungenti (chiodo, bullone, saldatura) nelle lamiere e negli eventuali rinforzi; si possono stati di tensione avere pluriassiali, a seconda dei casi (ad es. nelle applicazioni precedenti, stato monoassiale si ha nei bulloni, nel cordone di saldatura, pluriassiale, nelle squadrette, nelle sezioni dei profilati indebolite dai fori). Sia per la concezione del nodo (progetto dell’unione, scelta del collegamento, disposizione di tacchi d'appoggio, di rinforzi, individuazione degli elementi da verificare, ecc.), sia per la distribuzione degli sforzi tra i singoli elementi, più che a regole generali va fatto riferimento a schemi validi caso per caso; gli esempi illustrati precedentemente sono soltanto un indicazione del modo di procedere ed un un'analisi più sistematica di tutti i casi può essere fatta su testi specializzati.

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