Tecnica delle Costruzioni 2 - Progetto Trave in CAP

UNIVERSITÀ degli STUDI di TRIESTE

Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Ambientale e del Territorio

Corso di

TECNICA delle COSTRUZIONI II (prof. S. Noè)

PROGETTO agli STATI LIMITE di una TRAVE in C.A.P. ? ? ? Andrea Lisjak ? ? ? [email protected]

Trieste, 10 settembre 2007

Andrea Lisjak

1

Indice 1 Generalità 1.1 Relazione generale sulla struttura . . . . . . 1.2 Normativa di riferimento . . . . . . . . . . . 1.3 Simbologia utilizzata . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Caratteristiche dei materiali . . . . . 1.4 Relazione sulle caratteristiche dei materiali . 1.4.1 Calcestruzzo . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Acciaio per cemento armato . . . . . 1.4.3 Acciaio per precompressione . . . . .

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2 2 2 2 2 3 3 4 4

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5 5 5 5 5 6 6 7 9 9 9 9 9

3 Verifica della trave nei confronti degli Stati Limite di Esercizio 3.1 Azioni di progetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Tensioni massime nelle condizioni a vuoto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Calcolo delle tensioni nei materiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Analisi delle perdite di presollecitazione differite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Perdite di presollecitazone dovute al ritiro del calcestruzzo . . . . . . . . . . 3.3.2 Perdite di presollecitazione dovute allo scorrimento viscoso del calcestruzzo 3.3.3 Perdite di presollecitazione dovute al rilassamento dell’acciaio . . . . . . . . 3.3.4 Perdite di presollecitazione differite totali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Tensioni massime nelle condizioni di esercizio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Calcolo delle tensioni nei materiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Stato limite di deformazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 10 10 11 13 13 13 13 13 15 15 17

4 Verifica della trave nei confronti degli Stati Limite Ultimi 4.1 Azioni di progetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Stato Limite Ultimo per sollecitazioni normali . . . . . . . . . 4.2.1 Equazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Procedimento di calcolo . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Stato Limite Ultimo per sollecitazioni taglianti . . . . . . . .

18 18 19 19 20 21

2 Progetto delle sezioni 2.1 Schema statico adottato . . . . . . . 2.2 Azioni di progetto . . . . . . . . . . 2.3 Determinazione delle sollecitazioni . 2.3.1 Traslazione . . . . . . . . . . 2.4 Sezione in calcestruzzo . . . . . . . . 2.5 Armatura lenta longitudinale . . . . 2.6 Armatura di precompressione . . . . 2.7 Armatura a taglio . . . . . . . . . . 2.8 Zone d’appoggio . . . . . . . . . . . 2.9 Armatura longitudinale agli appoggi 2.10 Ancoraggio . . . . . . . . . . . . . . 2.11 Giunzioni . . . . . . . . . . . . . . .

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5 Fuso di Guyon

24

6 Diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione

25

7 Tavole grafiche

26

Andrea Lisjak

1

2

Generalità

1.1

Relazione generale sulla struttura

Si tratta di una trave appoggiata–appoggiata in cemento armato precompresso realizzata mediante precompressione integrale a cavi pretesi. La struttura ha una luce (interasse appoggi) di 20 m, è soggetta al peso proprio (da valutare), ad un carico permanente aggiuntivo pari a 15 kN/m e ad un carico variabile pari a 75 kN/m. In fase realizzativa la trave viene allungata esternamente rispetto agli appoggi di una quantità tale da garantire il completo trasferimento della forza di presollecitazione alle sezioni di calcestruzzo.

1.2

Normativa di riferimento

Tutti i calcoli, esposti in seguito, sono stati eseguiti secondo i criteri della Scienza delle Costruzioni. Le verifiche sono state svolte utilizzando il Metodo degli Stati Limite. Le unità di misura utilizzate sono quelle del Sistema Internazionale. Gli elementi strutturali non espressamente riportati nella relazione sono stati comunque calcolati e dimensionati secondo i criteri sopra citati. Analogamente le verifiche che non risultano esplicitate s’intendono comunque soddisfatte. • L. 5 novembre 1971 n.1086 - Norme per la disciplina delle opere di conglomerato cementizio armato, normale e precompresso e a struttura metallica. • D.M.LL.PP. 16 gennaio 1996 - Norme tecniche relative ai “Criteri generali per la verifica di sicurezza delle costruzioni e dei carichi e dei sovraccarichi”. • Circolare M.LL.PP. 4 luglio 1996 n.156 AA.GG./STC - Istruzioni per l’applicazione delle “Norme tecniche relative ai criteri generali per la verifica di sicurezza delle costruzioni e dei carichi e dei sovraccarichi” di cui al D.M. 16 gennaio 1996. • D.M.LL.PP. 9 gennaio 1996 - Norme tecniche per il calcolo, l’esecuzione ed il collaudo delle opere in c.a., normale e precompresso e per le strutture metalliche. • Circolare M.LL.PP. 15 ottobre 1996 n.252 AA.GG./STC - Istruzioni per l’applicazione delle “Norme tecniche per il calcolo, l’esecuzione ed il collaudo delle opere in c.a., normale e precompresso e per le strutture metalliche” di cui al D.M. 9 gennaio 1996.

1.3 1.3.1

Simbologia utilizzata Caratteristiche dei materiali

Calcestruzzo: Rck : resistenza cubica a compressione caratteristica ; fck : resistenza cilindrica a compressione caratteristica ; fckj : resistenza cilindrica a compressione caratteristica a j giorni dal getto; fcd : resistenza a compressione di calcolo ; fctm : resistenza a trazione media; fctk : resistenza a trazione caratteristica;

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3

fctj : resistenza a trazione a j giorni dal getto; fctd : resistenza a trazione di calcolo; Ec : modulo di elasticità longitudinale; εcu : deformazione ultima; γc : peso di volume. Acciaio per cemento armato: fyk : tensione caratteristica di snervamento; fsd : resistenza di calcolo; Es : modulo di elasticità longitudinale; εsu : deformazione ultima; εyd : deformazione al limite elastico. Acciaio per precompressione: fptk : tensione di rottura caratteristica fp(1)k : tensione caratteristica all’1 % di deformazione sotto carico; fpd : resistenza di calcolo; Ep : modulo di elasticità longitudinale;

1.4 1.4.1

Relazione sulle caratteristiche dei materiali Calcestruzzo

Si prescrive l’impiego di calcestruzzo avente le seguenti caratteristiche: Rck ≥ 55 N/mm2 fck = 0, 83Rck = 45, 65 N/mm2 fckj = 0, 75fck = 34, 24 N/mm2 fcd = fck /γc = fck /1, 5 = 30, 43 N/mm2 2/3

fctm = 0, 27Rck = 3, 90 N/mm2 fctk = 0, 7fctm = 2, 73 N/mm2 fctj = 0, 7fctk = 1, 91 N/mm2 fctd = fctk /γc = 1, 82 N/mm2 √ Ec = 5.700 Rck = 42.272 N/mm2 εcu = 0, 0035 γc = 25 kN/m3

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1.4.2

Acciaio per cemento armato

Si prescrive l’utilizzo di acciaio FeB44k: fyk = 430 N/mm2 fsd = fyk /γs = 374 N/mm2 Es = 208.000 N/mm2 εsu = 0, 010 εyd = Es fsd = 0, 0018 1.4.3

Acciaio per precompressione

Si prescrive l’utilizzo di trefoli Redaelli Tecnasud, tipo 7/10” super : fptk = 1.770 N/mm2 fp(1)k = 1.570 N/mm2 fpd = fp(1)k /γs = 1.365 N/mm2 φ = 18, 2 mm εsu = 0, 010 Ep = 195.000 N/mm2 Api = 200 mm2 σspi = 0, 9fp(1)k = 1.413 N/mm2

4

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2

5

Progetto delle sezioni

2.1

Schema statico adottato

Al fine di determinare correttamente le azioni sollecitanti si adotta uno schema statico a trave appoggiata–appoggiata, come indicato in figura 1.

Figura 1: Schema statico.

2.2

Azioni di progetto

Sono state dapprima considerate le seguenti azioni di progetto, senza tener conto dell’armatura di presollecitazione: • combinazioni di carico SLU: Fd = 1, 4 · (g1 + g2 ) + 1, 5 · q • combinazioni di carico rare: Fd = 1 · (g1 + g2 ) + 1 · q • combinazioni di carico quasi permanenti: Fd = 1 · (g1 + g2 ) + 0, 2 · q dove: - g1 = 23, 3 kN/m: valore caratteristico del carico permanente dovuto al peso proprio; - g2 = 15 kN/m: valore caratteristico del secondo carico permanente; - q = 75 kN/m: valore caratteristico del carico variabile; - P : valore caratteristico della forza di presollecitazione.

2.3

Determinazione delle sollecitazioni

L’analisi statica della struttura è stata eseguita mediante l’ausilio del foglio di calcolo elettronico Microsoftr Office Excel 2003. 2.3.1

Traslazione

È stata eseguita una traslazione del diagramma del momento flettente lungo l’asse longitudinale nel verso che dà luogo ad un aumento del valore assoluto del momento. Si trasla di una quantità pari a: a = 0, 9 · d · (1 − cotan 90◦ ) = 1, 45 m Nel paragrafo 6 sono riportati i risultati dell’analisi strutturale in termini grafici.

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2.4

6

Sezione in calcestruzzo

Si adotta una sezione a doppio T simmetrica con le misure riportate in tabella 2.4. Nella valutazione dell’area di calcestruzzo non sono stati detratti i cavi di presollecitazione in quanto la loro area complessiva risulta inferiore al 2 % dell’area della sezione di calcestruzzo. altezza sezione larghezza piattabande altezza piattabande altezza anima spessore anima altezza raccordo piattabande–anima

h b tf tw bw tpw

mm mm mm mm mm mm

area momento d’inerzia baricentrico

Ac Jc

mm2 mm4

1.650 900 400 850 250 100 932.500 3, 04 × 1011

Tabella 1: Caratteristiche geometriche ed inerziali della sezione in calcestruzzo. Con queste caratteristiche geometriche il peso proprio della trave risulta pari a g1 = 23, 3 kN/m.

Figura 2: Sezione in calcestruzzo reale (destra) e semplificata per il calcolo delle caratteristiche inerziali (sinistra). Unità di misura: cm.

2.5

Armatura lenta longitudinale

È prevista un’armatura lenta longitudinale, disposta in maniera simmetrica lungo le piattabande e avente area complessiva maggiore dello 0,1 % dell’area di calcestruzzo. Le caratteristiche di tale armatura sono riportate in tabella 2.5.

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7

armatura inferiore armatura superiore area totale armatura lenta altezza utile della sezione coefficiente di omogeneizzazione armatura lenta area della sezione ideale con armatura lenta momento d’inerzia baricentrico della sezione ideale con armatura lenta raggio inferiore di nocciolo della sezione ideale con armatura lenta raggio superiore di nocciolo della sezione ideale con armatura lenta

As d

mm mm mm2 mm

6φ20 6φ20 3.768 1.610

ns An Jn λinf,n λsup,n

mm2 mm4 mm mm

15 989.020 3, 38 × 1011 415 415

Tabella 2: Caratteristiche geometriche ed inerziali della sezione con armatura longitudinale lenta.

2.6

Armatura di precompressione

È prevista l’adozione di due sezioni tipo di armatura di presollecitazione aderente, le cui caratteristiche sono riportate in tabella 2.6. tipo sezione

numero trefoli

eccentricità (mm)

A A A A A

8 8 8 4 4

750 700 650 -450 -600

B B B B B

12 12 8 4 4

750 700 650 -450 -600

Tabella 3: Disposizione dell’armatura di presollecitazione all’interno delle sezioni. Per la determinazione delle caratteristiche inerziali delle sezioni ideali sono state utilizzate le relazioni di seguito riportate. −→ Area acciaio di presollecitazione: Ap = N · Api −→ Eccentricità cavo risultante: PN ei eCR = i=1 N −→ Area sezione ideale: Aid = An + np · Ap −→ Momento statico della sezione ideale rispetto al lembo inferiore della sezione: N

h X Sid = An · + np Api · 2 i=1



h − ei 2



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−→ Altezza del baricentro della sezione ideale: yG,id =

h Sid − 2 Aid

−→ Momento d’inerzia baricentrico della sezione ideale:  Jid = Jn + An ·

h − yG,id 2

2 +

N X

 n p Ai ·

i=1

h − ei − yG,id 2

2

−→ Raggio inferiore di nocciolo della sezione ideale: λinf,id =

1 Jid · Aid ysup,id

−→ Raggio superiore di nocciolo della sezione ideale: λsup,id =

Jid 1 · Aid yinf,id

dove: - N : numero totale di trefoli nella sezione; - np = 6: coefficiente di omogeneizzazione dell’acciaio di presollecitazione; - ei : eccentricità dell’i-esimo cavo; - Ai : area dell’i-esimo trefolo. La tabella 2.6 riporta le caratteristiche inerziali delle sezioni ideali.

numero trefoli Ap Ap Jid eCR λinf,id λsup,id

mm2 % mm4 mm mm mm

sezione tipo A

sezione tipo B

32 6.400 0,69 3, 55 × 1011 394 427 412

40 8.000 0,86 3, 60 × 1011 460 432 410

Tabella 4: Caratteristiche geometriche ed inerziali della sezione con armatura longitudinale lenta. Per la realizzazione agli estremi della trave della sezione di tipo A, tenendo conto anche di una lunghezza di trasferimento pari a 70φ = 120 cm, si prescrive di inguainare 8 cavi per una lunghezza pari a 4,7 m dalle sezioni estreme della trave (ovvero 3,5 m dalle sezioni di appoggio), in modo da impedirne il funzionamento.

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2.7

9

Armatura a taglio

Si decide di disporre il quantitativo minimo di staffe in campata, andando poi ad infittire in corrispondenza degli appoggi o valori elevati del taglio sollecitante. Il quantitativo minimo di armatura a taglio prevista da normativa è pari a: Ast /m ≥ 0, 15bw = 3, 75 cm/m 3 staffe al metro =⇒ interasse < 33 cm interasse < 0, 8 × 1610 = 1288 mm = 129 cm È prevista quindi l’adozione di 2 sezioni tipo di armatura a taglio costituite da staffe, come riportato in tabella 2.7.

diametro interasse numero bracci area acciaio

φ s nb Asw

sezione tipo I

sezione tipo II

12 15 4 452

12 30 4 452

mm cm mm2

Tabella 5: Sezioni tipo di armatura a taglio.

2.8

Zone d’appoggio

Per una lunghezza pari a 309 cm > d = 161 cm a destra e sinistra degli appoggi si mettono staffe con un passo pari 15 cm < 12φl = 24 cm.

2.9

Armatura longitudinale agli appoggi

L’armatura longitudinale inferiore agli appoggi deve essere tale da assorbire allo stato limite ultimo uno sforzo di trazione pari al taglio. L’area dell’armatura longitudinale inferiore minima agli appoggi vale: Asl,min =

VSdu = 4.443 mm2 fsd

L’area dell’armatura longitudinale inferiore agli appoggi vale; Asl + Ap = 6.684 mm2 > Asl,min

2.10

Ancoraggio

La lunghezza di ancoraggio viene valutata con la seguente relazione   fsd φ 374 × 20 20 × 20 = 400 mm lb = = = 657 mm ≥ 15 cm 4fbd 4 × 2, 84 Si adotta una lunghezza di ancoraggio pari ad almeno 70 cm.

2.11

Giunzioni

Si faranno giunzioni con sovrapposizione delle barre pari a 80φ = 80 cm.

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3

10

Verifica della trave nei confronti degli Stati Limite di Esercizio

3.1

Azioni di progetto

Per le verifiche agli Stati Limite di Esercizio sono state considerate le seguenti azioni di progetto: • combinazioni di carico rare: Fd = 1 · (g1 + g2 ) + 1 · q + P • combinazioni di carico quasi permanenti: Fd = 1 · (g1 + g2 ) + 0, 2 · q + P dove: - g1 = 23, 3 kN/m: valore caratteristico del carico permanente dovuto al peso proprio; - g2 = 15 kN/m: valore caratteristico del secondo carico permanente; - q = 75 kN/m: valore caratteristico del carico variabile; - P : valore caratteristico della forza di presollecitazione.

3.2

Tensioni massime nelle condizioni a vuoto

In questa fase si considera la trave soggetta a: 1. forza di presollecitazione P ; 2. carico permanente g1 dovuto al solo peso proprio della trave; Il rilascio dei cavi pretesi deve avvenire all’8◦ giorno di maturazione del calcestruzzo. In questa situazione di carico si ha, rispetto all’intera vita della struttura: −→ massima trazione al lembo superiore; −→ massima compressione al lembo inferiore. I carichi aggiuntivi tendono infatti ad invertire il segno delle tensioni. La verifica consiste nel controllare che i valori di tensione nei materiali, per combinazioni di carico rare, non superino quelli massimi riportati in tabella 3.2.

materiale

combinazione di carico

sollecitazione

tempo

cls cls acciaio trefoli

rara rara rara

compressione trazione trazione

0 0 0

tensione limite 0, 60fckj 0, 10fckj 0, 9fp(1)k

Tabella 6: Tensioni massime nelle condizioni a vuoto.

N/mm2 20,5 3,4 1.413

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3.2.1

11

Calcolo delle tensioni nei materiali

All’inizio i cavi vengono tesi mediante martinetti ad un valore di tensione σp0 = 1.375 N/mm2 , il quale risulta inferiore a 0, 9fp(1)k . Viene valutata innanzitutto la diminuzione della forza di presollecitazione a causa della deformazione elastica istantanea del calcestruzzo. A tale scopo sono state utilizzate le relazioni di seguito riportate. −→ Forza di presollecitazione al tempo iniziale (corrispondente al valore di tensione al martinetto):

P0 = σp0 · Ap −→ Tensione nell’acciaio di presollecitazione al tempo iniziale, dopo la deformazione elastica del calcestruzzo:   P0 · e2CR P0 σp,t=0 = σp0 − np · + Aid Jid −→ Forza di presollecitazione al tempo iniziale, dopo la deformazione elastica del calcestruzzo: Pp,t=0 = σp,t=0 · Ap Per il calcolo delle tensioni nel calcestruzzo sono state utilizzate le relazioni di seguito riportate. −→ Tensione al lembo superiore, dovuta alla sola forza di presollecitazione: σsup,t=0,p =

Pp,t=0 Mp,t=0 h + · An Jn 2

−→ Tensione al lembo inferiore, dovuta alla sola forza di presollecitazione: σinf,t=0,p =

Pp,t=0 Mp,t=0 h − · An Jn 2

−→ Tensione al lembo superiore, dovuta al solo carico permanente g1 : σsup,t=0,g1 =

Mg1 h · Jn 2

−→ Tensione al lembo inferiore, dovuta al solo carico permanente g1 : σinf,t=0,g1 = −

Mg1 h · Jn 2

−→ Tensione al lembo superiore nelle condizioni a vuoto: σsup,t=0 = σsup,t=0,p + σsup,t=0,g1 −→ Tensione al lembo inferiore nelle condizioni a vuoto: σinf,t=0 = σinf,t=0,p + σinf,t=0,g1

Mg1

kNm

321 420 594 746 874 979

1.061 1.119 1.154 1.166 1.166 1.166 1.154 1.119 1.061

979 874 746 594 420 321

sezione

m

0,0 0,6 1,6 2,6 3,6 4,6

5,6 6,6 7,6 8,6 10,0 11,4 12,4 13,4 14,4

15,4 16,4 17,4 18,4 19,4 20,0

A A A A A A

B B B B B B B B B

A A A A A A

tipo

1.301 1.301 1.301 1.301 1.301 1.301

1.273 1.273 1.273 1.273 1.273 1.273 1.273 1.273 1.273

1.301 1.301 1.301 1.301 1.301 1.301

N/mm2

σp,t=0

SI SI SI SI SI SI

SI SI SI SI SI SI SI SI SI

SI SI SI SI SI SI

8.324 8.324 8.324 8.324 8.324 8.324

10.180 10.180 10.180 10.180 10.180 10.180 10.180 10.180 10.180

8.324 8.324 8.324 8.324 8.324 8.324

kN

Pp,t=0

-3.277 -3.277 -3.277 -3.277 -3.277 -3.277

-4.683 -4.683 -4.683 -4.683 -4.683 -4.683 -4.683 -4.683 -4.683

-3.277 -3.277 -3.277 -3.277 -3.277 -3.277

kNm

Mp,t=0

-2.298 -2.403 -2.531 -2.683 -2.858 -2.957

-3.622 -3.564 -3.529 -3.517 -3.517 -3.517 -3.529 -3.564 -3.622

-2.957 -2.858 -2.683 -2.531 -2.403 -2.298

kNm

Mris,t=0

16,4 16,4 16,4 16,4 16,4 16,4

21,7 21,7 21,7 21,7 21,7 21,7 21,7 21,7 21,7

16,4 16,4 16,4 16,4 16,4 16,4

N/mm2

σinf,t=0,p

0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4

-1,1 -1,1 -1,1 -1,1 -1,1 -1,1 -1,1 -1,1 -1,1

0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4

N/mm2

σsup,t=0,p

-2,4 -2,1 -1,8 -1,4 -1,0 -0,8

-2,6 -2,7 -2,8 -2,8 -2,8 -2,8 -2,8 -2,7 -2,6

-0,8 -1,0 -1,4 -1,8 -2,1 -2,4

N/mm2

σinf,t=0,g1

2,4 2,1 1,8 1,4 1,0 0,8

2,6 2,7 2,8 2,8 2,8 2,8 2,8 2,7 2,6

0,8 1,0 1,4 1,8 2,1 2,4

N/mm2

σsup,t=0,g1

Tabella 7: Verifica delle tensioni massime nelle condizioni a vuoto.

verifica

2,8 2,6 2,2 1,9 1,5 1,2

1,5 1,6 1,7 1,7 1,7 1,7 1,7 1,6 1,5

1,2 1,5 1,9 2,2 2,6 2,8

N/mm2

σsup,t=0

SI SI SI SI SI SI

SI SI SI SI SI SI SI SI SI

SI SI SI SI SI SI

verifica

14,0 14,3 14,6 15,0 15,4 15,6

19,1 19,0 18,9 18,9 18,9 18,9 18,9 19,0 19,1

15,6 15,4 15,0 14,6 14,3 14,0

N/mm2

σinf,t=0

SI SI SI SI SI SI

SI SI SI SI SI SI SI SI SI

SI SI SI SI SI SI

verifica

Andrea Lisjak 12

Andrea Lisjak

3.3

13

Analisi delle perdite di presollecitazione differite

Le perdite di presollecitazione differite sono quelle che si verificano dopo il bloccaggio delle armature. Esse sono prodotte da 3 fenomeni che si evolvono nel tempo: 1. ritiro del calcestruzzo; 2. scorrimento viscoso del calcestruzzo; 3. rilassamento dell’acciaio. 3.3.1

Perdite di presollecitazone dovute al ritiro del calcestruzzo

In mancanza di dati sperimentali si considera un valore convenzionale εrit = 0, 0003, riferito ad un’atmosfera con umidità relativa del 75 % e ad una messa in tiro effettuata tra gli 8 e i 60 giorni. La perdita di presollecitazione dovuta al ritiro del calcestruzzo è pari a: ∆σp,rit = Ep · εrit 3.3.2

Perdite di presollecitazione dovute allo scorrimento viscoso del calcestruzzo

Dal momento che la presollecitazione viene introdotta prima del 14◦ giorno dal getto, la deformazione lenta sotto carico, depurata dell’effetto del ritiro, può essere assunta pari a 2,3 volte la deformazione elastica del calcestruzzo posto a livello del cavo risultante per combinazioni di carico quasi permanenti:   Pp,t=0 Mp,t=0 Mg Mq εc,visc = 2, 3 · εc,el = 2, 3 · · eCR − · eCR − · eCR − An · Ec Jn · Ec Jid · Ec Jid · EC La perdita di presollecitazione dovuta allo scorrimento viscoso del calcestruzzo è pari a: ∆σp,visc = Ep · εc,visc 3.3.3

Perdite di presollecitazione dovute al rilassamento dell’acciaio

La perdita di presollecitazione per rilassamento dell’acciaio, a tempo infinito, ad una temperatura di 20◦ C, per una tensione iniziale σspi = 0, 75fptk e per acciaio di presollecitazione costituito da trefoli, può assumersi pari: ∆σp,ril = 0, 18 · σspi Per tener conto dell’interdipendenza tra fenomeni lenti si può assumere una perdita di presollecitazione per rilassamento dell’acciaio pari a:   ∆σp,rit + ∆σp,visc ? ∆σp,ril = ∆σp,ril · 1 − 2, 5 · σspi 3.3.4

Perdite di presollecitazione differite totali

Le perdite di presollecitazione differite totali sono pari a: ? ∆σp,tot = ∆σp,rit + ∆σp,visc + ∆σp,ril

La tensione nei trefoli di presollecitazione, depurata delle perdite dovute ai fenomeni lenti, risulta pari a: σp,t=∞ = σp,t=0 − ∆σp,tot

tipo

-

A A A A A A

B B B B B B B B B

A A A A A A

sezione

m

0,0 0,6 1,6 2,6 3,6 4,6

5,6 6,6 7,6 8,6 10,0 11,4 12,4 13,4 14,4

15,4 16,4 17,4 18,4 19,4 20,0

8.324 8.324 8.324 8.324 8.324 8.324

10.180 10.180 10.180 10.180 10.180 10.180 10.180 10.180 10.180

8.324 8.324 8.324 8.324 8.324 8.324

kN

Pp,t=0

-3.277 -3.277 -3.277 -3.277 -3.277 -3.277

-4.683 -4.683 -4.683 -4.683 -4.683 -4.683 -4.683 -4.683 -4.683

-3.277 -3.277 -3.277 -3.277 -3.277 -3.277

kNm

Mp,t=0

1.609 1.437 1.226 977 690 527

1.743 1.839 1.896 1.916 1.916 1.916 1.896 1.839 1.743

527 690 977 1.226 1.437 1.609

kNm

630 563 480 383 270 206

683 720 743 750 750 750 743 720 683

206 270 383 480 563 630

kNm

Mq,quasi perm.

1.301 1.301 1.301 1.301 1.301 1.301

1.273 1.273 1.273 1.273 1.273 1.273 1.273 1.273 1.273 58,5 58,5 58,5 58,5 58,5 58,5

58,5 58,5 58,5 58,5 58,5 58,5 58,5 58,5 58,5

58,5 58,5 58,5 58,5 58,5 58,5

N/mm2

N/mm2 1.301 1.301 1.301 1.301 1.301 1.301

∆σp,rit

σp,t=0

0,000231 0,000237 0,000245 0,000254 0,000264 0,000270

0,000321 0,000317 0,000314 0,000313 0,000313 0,000313 0,000314 0,000317 0,000321

0,000270 0,000264 0,000254 0,000245 0,000237 0,000231

-

εel,CR

0,00053 0,00054 0,00056 0,00058 0,00061 0,00062

0,00074 0,00073 0,00072 0,00072 0,00072 0,00072 0,00072 0,00073 0,00074

0,00062 0,00061 0,00058 0,00056 0,00054 0,00053

-

εvisc

103,4 106,2 109,7 113,7 118,5 121,1

143,8 142,0 141,0 140,6 140,6 140,6 141,0 142,0 143,8

121,1 118,5 113,7 109,7 106,2 103,4

N/mm2

∆σp,visc

Tabella 8: Analisi delle perdite di presollecitazione differite.

Mg,quasi perm.

254,3 254,3 254,3 254,3 254,3 254,3

254,3 254,3 254,3 254,3 254,3 254,3 254,3 254,3 254,3

254,3 254,3 254,3 254,3 254,3 254,3

N/mm2

∆σp,ril

181,5 180,2 178,7 176,8 174,7 173,5

163,3 164,1 164,6 164,7 164,7 164,7 164,6 164,1 163,3

173,5 174,7 176,8 178,7 180,2 181,5

N/mm2

? ∆σp,ril

343,4 344,9 346,8 349,1 351,7 353,1

365,6 364,6 364,0 363,8 363,8 363,8 364,0 364,6 365,6

353,1 351,7 349,1 346,8 344,9 343,4

N/mm2

∆σp,tot

957,2 955,6 953,7 951,5 948,9 947,4

906,9 907,9 908,5 908,7 908,7 908,7 908,5 907,9 906,9

947,4 948,9 951,5 953,7 955,6 957,2

N/mm2

σp,t=∞

Andrea Lisjak 14

Andrea Lisjak

3.4

15

Tensioni massime nelle condizioni di esercizio

In questa fase si considera la trave soggetta a: 1. forza di presollecitazione P ; 2. carico permanente g1 dovuto al solo peso proprio della trave; 3. carico permanente g2 ; 4. carico variabile q. In questa situazione di carico si ha, rispetto all’intera vita della struttura: −→ massima compressione al lembo superiore; −→ massima trazione al lembo inferiore. La verifica consiste nel controllare che i valori di tensione nei materiali, per combinazioni di carico rare e quasi permanenti, non superino quelli massimi riportati in tabella 3.4.

materiale

combinazione di carico

sollecitazione

tempo

tensione limite

cls cls cls cls acciaio trefoli

rara rara quasi permanente quasi permanente rara

compressione trazione compressione trazione trazione

∞ ∞ ∞ ∞ ∞

0, 60fck 0, 07fck 0, 45fck 0, 00fck 0, 6fptk

N/mm2 27,4 3,2 20,5 0,0 1.062

Tabella 9: Tensioni massime nelle condizioni di esercizio.

3.4.1

Calcolo delle tensioni nei materiali

Per il calcolo delle tensioni nel calcestruzzo sono state utilizzate le relazioni di seguito riportate. −→ Tensione al lembo superiore: σsup,t=∞ =

Pp,t=∞ Mp,t=∞ h Mg + Mq h − · − · An Jn 2 Jid 2

−→ Tensione al lembo inferiore: σinf,t=∞ =

Pp,t=∞ Mp,t=∞ h Mg + Mq h + · + · An Jn 2 Jid 2

Per il calcolo della tensione nell’acciaio di presollecitazione sono state utilizzate le relazioni di seguito riportate: −→ Aumento di tensione massimo dovuto ai carichi permanenti e variabili per combinazioni di carico rare:   Mq Mg ∆σp,g+q,rare = np · · emax + · emax Jid Jid −→ Tensione nell’acciaio di presollecitazione: ? σp,t=∞ = σp,t=∞ + ∆σp,g+q,rare

tipo

-

A A A A A A

B B B B B B B B B

A A A A A A

sezione

m

0,0 0,6 1,6 2,6 3,6 4,6

5,6 6,6 7,6 8,6 10,0 11,4 12,4 13,4 14,4

15,4 16,4 17,4 18,4 19,4 20,0

957,2 955,6 953,7 951,5 948,9 947,4

906,9 907,9 908,5 908,7 908,7 908,7 908,5 907,9 906,9

6.126 6.116 6.104 6.090 6.074 6.064

7.257 7.265 7.269 7.271 7.271 7.271 7.269 7.265 7.257

6.064 6.074 6.090 6.104 6.116 6.126

kN

N/mm2

947,4 948,9 951,5 953,7 955,6 957,2

Pp,t=∞

σp,t=∞

-2.412 -2.408 -2.403 -2.398 -2.391 -2.388

-3.337 -3.341 -3.343 -3.344 -3.344 -3.344 -3.343 -3.341 -3.337

-2.388 -2.391 -2.398 -2.403 -2.408 -2.412

kNm

Mp,t=∞

3.150 2.813 2.400 1.913 1.350 1.031

3.413 3.600 3.713 3.750 3.750 3.750 3.713 3.600 3.413

1.031 1.350 1.913 2.400 2.813 3.150

kNm

Mq,rare

1,0 2,2 3,6 5,3 7,2 8,3

3,7 3,0 2,6 2,5 2,5 2,5 2,6 3,0 3,7

8,3 7,2 5,3 3,6 2,2 1,0

N/mm2

σinf,rare

SI SI SI SI SI SI

SI SI SI SI SI SI SI SI SI

SI SI SI SI SI SI

verifica

11,4 10,2 8,7 7,0 5,1 3,9

11,0 11,7 12,1 12,2 12,2 12,2 12,1 11,7 11,0

3,9 5,1 7,0 8,7 10,2 11,4

N/mm2

σsup,rare

SI SI SI SI SI SI

SI SI SI SI SI SI SI SI SI

SI SI SI SI SI SI

verifica

630 563 480 383 270 206

683 720 743 750 750 750 743 720 683

206 270 383 480 563 630

kNm

Mq,quasi perm.

1.609 1.437 1.226 977 690 527

1.743 1.839 1.896 1.916 1.916 1.916 1.896 1.839 1.743

527 690 977 1.226 1.437 1.609

kNm

Mg,quasi perm.

6,9 7,4 8,1 8,8 9,7 10,2

9,9 9,6 9,4 9,4 9,4 9,4 9,4 9,6 9,9

10,2 9,7 8,8 8,1 7,4 6,9

N/mm2

σinf,quasi perm.

SI SI SI SI SI SI

SI SI SI SI SI SI SI SI SI

SI SI SI SI SI SI

verifica

5,5 5,0 4,3 3,5 2,5 2,0

4,8 5,1 5,2 5,3 5,3 5,3 5,2 5,1 4,8

2,0 2,5 3,5 4,3 5,0 5,5

N/mm2

σsup,quasi perm.

Tabella 10: Verifica delle tensioni massime nelle condizioni di esercizio.

1.609 1.437 1.226 977 690 527

1.743 1.839 1.896 1.916 1.916 1.916 1.896 1.839 1.743

527 690 977 1.226 1.437 1.609

kNm

Mg,rare

SI SI SI SI SI SI

SI SI SI SI SI SI SI SI SI

SI SI SI SI SI SI

verifica

27,0 24,1 20,6 16,4 11,6 8,9

28,9 30,5 31,4 31,8 31,8 31,8 31,4 30,5 28,9

8,9 11,6 16,4 20,6 24,1 27,0

N/mm2

∆σp,g+q,rare

984,2 979,8 974,3 967,9 960,5 956,3

935,8 938,4 940,0 940,5 940,5 940,5 940,0 938,4 935,8

956,3 960,5 967,9 974,3 979,8 984,2

N/mm2

? σp,t=∞

SI SI SI SI SI SI

SI SI SI SI SI SI SI SI SI

SI SI SI SI SI SI

verifica

Andrea Lisjak 16

Andrea Lisjak

3.5

17

Stato limite di deformazione

Dal momento che la trave rimane sempre in campo elastico l’abbassamento in mezzeria può essere calcolato mediante la relazione: η=

5 (g1 + g2 + q)l4 1 Pp,t=∞ eCR l2 · −2· · = 23 − 8 = 15 mm 384 Ec Jid 16 Ec Jid

Andrea Lisjak

4

18

Verifica della trave nei confronti degli Stati Limite Ultimi

4.1

Azioni di progetto

Per le verifiche agli Stati Limite di Esercizio sono state considerate le seguenti azioni di progetto:

Fd = 1, 4 · (g1 + g2 ) + 1, 5 · q + 0, 9 · P dove: - g1 = 23, 3 kN/m: valore caratteristico del carico permanente dovuto al peso proprio; - g2 = 15 kN/m: valore caratteristico del secondo carico permanente; - q = 75 kN/m: valore caratteristico del carico variabile; - P : valore caratteristico della forza di presollecitazione.

Andrea Lisjak

4.2

19

Stato Limite Ultimo per sollecitazioni normali

La verifica allo Stato Limite Ultimo per sollecitazioni normali prevede la determinazione del momento resistente ultimo della sezione MRdu , il quale deve essere confrontato con il momento sollecitante di calcolo MSdu . Le ipotesi di calcolo sono: 1. conservazione delle sezioni piane; 2. perfetta aderenza tra calcestruzzo ed acciaio; 3. calcestruzzo non reagente a trazione; I diagrammi di calcolo tensione–deformazione adottati sono: • calcestruzzo: diagramma rettangolare (stress block) definito dal valore costante di tensione pari a 0, 85fcd che si estende per 0, 8x fino alla deformazione ultima εcu = −0, 0035; • acciaio per precompressione: modello bilineare costituito da un tratto iniziale elastico che arriva fino alla deformazione di snervamento di calcolo εyd = fpd /Ep e da un tratto perfettamente plastico che arriva fino alla alla deformazione ultima εpu = 0, 010 avente resistenza di calcolo pari a fpd . Nell’eseguire la verifica a flessione allo S.L.U. si sono fatte le seguenti semplificazioni, in ogni caso a favore di sicurezza: – sezione a doppio T simmetrica con piattabande di spessore costante e pari allo spessore minimo; – si trascura il contributo delle armature lente; – non si considera la posizione dei singoli cavi di presollecitazione bensì unicamente quella del cavo risultante, in cui si ipotizza essere concentrata tutta l’area di acciaio. 4.2.1

Equazioni

Equazione di congruenza: εpu εcu = x dp − x Equazione di equilibrio alla traslazione: (b − bw ) · tf · 0, 85fcd + bw · 0, 8x · 0, 85fcd − Ap · σpu = 0 Equazione di equilibrio alla rotazione: MRdu = Ap · σpu · (dp − xG,compr ) dove: xG,compr =

tf · (b − bw ) · 0, 85fcd · 0, 5tf + (bw · 0, 8x) · 0, 85fcd · 0, 4x tf · (b − bw ) · 0, 85fcd + bw · 0, 8x · 0, 85fcd

Andrea Lisjak

4.2.2

20

Procedimento di calcolo

Il procedimento di calcolo è analogo a quello utilizzato per il cemento armato normale, con l’unica differenza che, nella valutazione della tensione nell’acciaio di presollecitazione, bisogna tener conto dello stato di coazione artificiale: 1. si ipotizza un campo di rottura della sezione; 2. si applica l’equazione di equilibrio alla traslazione determinando la posizione dell’asse neutro; 3. si verifica, sfruttando l’equazione di congruenza, l’esattezza delle ipotesi; 4. si applica l’equazione di equilibrio alla rotazione determinando il momento resistente della sezione. • Rottura in campo 2: – ipotesi: σpu = fpd , εpu = 0, 010 – posizione asse neutro: x=

Ap · σpu − (b − bw ) · tf · 0, 85fcd 0, 8 · 0, 85fcd · bw

– verifica ipotesi: 0 < εcu =

0, 010 · x < 0, 0035 dp − x

• Rottura in campo 3 – ipotesi: σpu = fpd , εpu = 0, 010 – posizione asse neutro: x=

Ap · σpu − (b − bw ) · tf · 0, 85fcd 0, 8 · 0, 85fcd · bw

– verifica ipotesi: εcu · (dp − x) < 0, 010 εpu = x σp,t=∞ εcu εpu + εp,t=∞ = · (dp − x) + > εyd x Ep • Rottura in campo 4 – ipotesi: σpu = Ep · (εpu + εp,t=∞ ), εcu = 0, 0035 – posizione asse neutro: √ −B + ∆ 2 Ax + Bx + C = 0 =⇒ x = 2A dove: ∗ A = bw · 0, 8 · 0, 85fcd ∗ B = (b − bw ) · tf · 0, 85fcd − Ap · Ep · (εp,t=∞ − εcu ) ∗ C = −Ap · Ep · εcu · dp – verifica ipotesi: εcu εpu + εp,t=∞ = · (dp − x) < εyd x

Andrea Lisjak

21

sezione

tipo

dp mm

0, 9 · σp,t=∞ N/mm2

εp,t=∞ -

ipotesi campo rottura

σpu N/mm2

εpu -

x mm

εcu -

verifica εcu ≤ 0, 0035

0,0 0,6 1,6 2,6 3,6 4,6

A A A A A A

1.219 1.219 1.219 1.219 1.219 1.219

852,7 854,0 856,3 858,3 860,1 861,5

0,0044 0,0044 0,0044 0,0044 0,0044 0,0044

2 2 2 2 2 2

1.365 1.365 1.365 1.365 1.365 1.365

0,010 0,010 0,010 0,010 0,010 0,010

389 389 389 389 389 389

0,0047 0,0047 0,0047 0,0047 0,0047 0,0047

NO NO NO NO NO NO

5,6 6,6 7,6 8,6 10,0 11,4 12,4 13,4 14,4

B B B B B B B B B

1.285 1.285 1.285 1.285 1.285 1.285 1.285 1.285 1.285

816,2 817,1 817,7 817,8 817,8 817,8 817,7 817,1 816,2

0,0042 0,0042 0,0042 0,0042 0,0042 0,0042 0,0042 0,0042 0,0042

2 2 2 2 2 2 2 2 2

1.365 1.365 1.365 1.365 1.365 1.365 1.365 1.365 1.365

0,010 0,010 0,010 0,010 0,010 0,010 0,010 0,010 0,010

811 811 811 811 811 811 811 811 811

0,0171 0,0171 0,0171 0,0171 0,0171 0,0171 0,0171 0,0171 0,0171

NO NO NO NO NO NO NO NO NO

15,4 16,4 17,4 18,4 19,4 20,0

A A A A A A

1.219 1.219 1.219 1.219 1.219 1.219

861,5 860,1 858,3 856,3 854,0 852,7

0,0044 0,0044 0,0044 0,0044 0,0044 0,0044

2 2 2 2 2 2

1.365 1.365 1.365 1.365 1.365 1.365

0,010 0,010 0,010 0,010 0,010 0,010

389 389 389 389 389 389

0,0047 0,0047 0,0047 0,0047 0,0047 0,0047

NO NO NO NO NO NO

Tabella 11: Stato Limite Ultimo per sollecitazioni normali: ipotesi rottura sezione in campo 2. sezione

tipo

dp mm

0, 9 · σp,t=∞ N/mm2

εp,t=∞ -

ipotesi campo rottura

σpu N/mm2

εcu -

x mm

εpu -

verifica εpu ≤ 0, 010

verifica εpu + εp,t=∞ > εyd

0,0 0,6 1,6 2,6 3,6 4,6

A A A A A A

1.219 1.219 1.219 1.219 1.219 1.219

852,7 854,0 856,3 858,3 860,1 861,5

0,0044 0,0044 0,0044 0,0044 0,0044 0,0044

3 3 3 3 3 3

1.365 1.365 1.365 1.365 1.365 1.365

0,0035 0,0035 0,0035 0,0035 0,0035 0,0035

389 389 389 389 389 389

0,0075 0,0075 0,0075 0,0075 0,0075 0,0075

SI SI SI SI SI SI

SI SI SI SI SI SI

5,6 6,6 7,6 8,6 10,0 11,4 12,4 13,4 14,4

B B B B B B B B B

1.285 1.285 1.285 1.285 1.285 1.285 1.285 1.285 1.285

816,2 817,1 817,7 817,8 817,8 817,8 817,7 817,1 816,2

0,0042 0,0042 0,0042 0,0042 0,0042 0,0042 0,0042 0,0042 0,0042

3 3 3 3 3 3 3 3 3

1.365 1.365 1.365 1.365 1.365 1.365 1.365 1.365 1.365

0,0035 0,0035 0,0035 0,0035 0,0035 0,0035 0,0035 0,0035 0,0035

811 811 811 811 811 811 811 811 811

0,0020 0,0020 0,0020 0,0020 0,0020 0,0020 0,0020 0,0020 0,0020

SI SI SI SI SI SI SI SI SI

NO NO NO NO NO NO NO NO NO

15,4 16,4 17,4 18,4 19,4 20,0

A A A A A A

1.219 1.219 1.219 1.219 1.219 1.219

861,5 860,1 858,3 856,3 854,0 852,7

0,0044 0,0044 0,0044 0,0044 0,0044 0,0044

3 3 3 3 3 3

1.365 1.365 1.365 1.365 1.365 1.365

0,0035 0,0035 0,0035 0,0035 0,0035 0,0035

389 389 389 389 389 389

0,0075 0,0075 0,0075 0,0075 0,0075 0,0075

SI SI SI SI SI SI

SI SI SI SI SI SI

Tabella 12: Stato Limite Ultimo per sollecitazioni normali: ipotesi rottura sezione in campo 3.

4.3

Stato Limite Ultimo per sollecitazioni taglianti

La verifica allo Stato Limite Ultimo per sollecitazioni taglianti prevede una doppia verifica. 1. Verifica del conglomerato:

Andrea Lisjak

22

sezione

tipo

dp mm

0, 9 · σp,t=∞ N/mm2

εp,t=∞ -

ipotesi campo rottura

εcu

A

B

C

x mm

εpu εpu + εp,t=∞ < εyd

verifica

0,0 0,6 1,6 2,6 3,6 4,6

A A A A A A

1.219 1.219 1.219 1.219 1.219 1.219

852,7 854,0 856,3 858,3 860,1 861,5

0,0044 0,0044 0,0044 0,0044 0,0044 0,0044

4 4 4 4 4 4

0,0035 0,0035 0,0035 0,0035 0,0035 0,0035

5.174 5.174 5.174 5.174 5.174 5.174

5.635.590 5.628.146 5.613.244 5.600.329 5.589.401 5.580.460

-5.323.500.000 -5.323.500.000 -5.323.500.000 -5.323.500.000 -5.323.500.000 -5.323.500.000

607 607 608 609 609 610

0,0035 0,0035 0,0035 0,0035 0,0035 0,0035

NO NO NO NO NO NO

5,6 6,6 7,6 8,6 10,0 11,4 12,4 13,4 14,4

B B B B B B B B B

1.285 1.285 1.285 1.285 1.285 1.285 1.285 1.285 1.285

816,2 817,1 817,7 817,8 817,8 817,8 817,7 817,1 816,2

0,0042 0,0042 0,0042 0,0042 0,0042 0,0042 0,0042 0,0042 0,0042

4 4 4 4 4 4 4 4 4

0,0035 0,0035 0,0035 0,0035 0,0035 0,0035 0,0035 0,0035 0,0035

5.174 5.174 5.174 5.174 5.174 5.174 5.174 5.174 5.174

5.655.907 5.648.750 5.644.456 5.643.024 5.643.024 5.643.024 5.644.456 5.648.750 5.655.907

-7.016.100.000 -7.016.100.000 -7.016.100.000 -7.016.100.000 -7.016.100.000 -7.016.100.000 -7.016.100.000 -7.016.100.000 -7.016.100.000

740 740 740 741 741 741 740 740 740

0,0026 0,0026 0,0026 0,0026 0,0026 0,0026 0,0026 0,0026 0,0026

SI SI SI SI SI SI SI SI SI

15,4 16,4 17,4 18,4 19,4 20,0

A A A A A A

1.219 1.219 1.219 1.219 1.219 1.219

861,5 860,1 858,3 856,3 854,0 852,7

0,0044 0,0044 0,0044 0,0044 0,0044 0,0044

4 4 4 4 4 4

0,0035 0,0035 0,0035 0,0035 0,0035 0,0035

5.174 5.174 5.174 5.174 5.174 5.174

5.580.460 5.589.401 5.600.329 5.613.244 5.628.146 5.635.590

-5.323.500.000 -5.323.500.000 -5.323.500.000 -5.323.500.000 -5.323.500.000 -5.323.500.000

610 609 609 608 607 607

0,0035 0,0035 0,0035 0,0035 0,0035 0,0035

NO NO NO NO NO NO

Tabella 13: Stato Limite Ultimo per sollecitazioni normali: ipotesi rottura sezione in campo 4. sezione

tipo

campo rottura

m

x

xG,compr

σpu

MRdu

MSdu

mm

mm

N/mm2

kNm

kNm

verifica

0,0 0,6 1,6 2,6 3,6 4,6

A A A A A A

3 3 3 3 3 3

389 389 389 389 389 389

190 190 190 190 190 190

1.365 1.365 1.365 1.365 1.365 1.365

8.991 8.991 8.991 8.991 8.991 8.991

2.284 2.990 4.237 5.316 6.230 6.978

SI SI SI SI SI SI

5,6 6,6 7,6 8,6 10,0 11,4 12,4 13,4 14,4

B B B B B B B B B

4 4 4 4 4 4 4 4 4

740 740 740 741 741 741 740 740 740

235 235 235 235 235 235 235 235 235

1.319 1.319 1.320 1.320 1.320 1.320 1.320 1.319 1.319

11.083 11.085 11.086 11.086 11.086 11.086 11.086 11.085 11.083

7.559 7.975 8.224 8.307 8.307 8.307 8.224 7.975 7.559

SI SI SI SI SI SI SI SI SI

15,4 16,4 17,4 18,4 19,4 20,0

A A A A A A

3 3 3 3 3 3

389 389 389 389 389 389

190 190 190 190 190 190

1.365 1.365 1.365 1.365 1.365 1.365

8.991 8.991 8.991 8.991 8.991 8.991

6.978 6.230 5.316 4.237 2.990 2.284

SI SI SI SI SI SI

Tabella 14: Stato Limite Ultimo per sollecitazioni normali: determinazione del momento resistente e verifica. consiste nel confrontare il taglio di calcolo con una espressione cautelativa della resistenza a

Andrea Lisjak

23 Diagramma dei momenti ultimi Mrdu Msdu

sezione (m) 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0

2.000

momento (KNm)

4.000

6.000

8.000

10.000

12.000

Figura 3: Verifica allo Stato Limite Ultimo per sollecitazioni normali: diagramma del momento sollecitante (nero) e di quello resistente (rosso). compressione delle bielle inclinate: VSdu ≤ 0, 30 · fcd · bw · dp 2. Verifica dell’armatura trasversale d’anima: il taglio di calcolo deve risultare inferiore od al limite uguale alla somma della resistenza dell’armatura d’anima e del contributo degli altri elementi del traliccio ideale: VSdu ≤ Vcd + Vwd in cui: Vcd = 0, 60 · fctd · bw · dp · δ

Vwd = Asw · fywd ·

0, 90 · dp · (sin α + cos α) s

Dal momento che l’armatura a taglio è costituita da staffe si ha α = 90◦ . Il valore di δ viene calcolato con la seguente relazione: δ =1+

M0 MSdu

dove: - M0 è il momento di decompressione della fibra estrema su cui agisce MSdu : M0 =

0, 9σp,t=∞ · Ap 2 · Jid · Aid h

- MSdu : momento agente massimo di calcolo, assunto almeno pari a M0 .

Andrea Lisjak

24

sezione

tipo

dp

VSdu

VRdu

mm

kN

kN

verifica

0,0 0,6 1,6 2,6 3,6 4,6

A A A A A A

1.219 1.219 1.219 1.219 1.219 1.219

1.661 1.570 1.404 1.238 1.071 905

2.782 2.782 2.782 2.782 2.782 2.782

SI SI SI SI SI SI

5,6 6,6 7,6 8,6 10,0 11,4 12,4 13,4 14,4

B B B B B B B B B

1.285 1.285 1.285 1.285 1.285 1.285 1.285 1.285 1.285

739 573 407 241 0 241 407 573 739

2.933 2.933 2.933 2.933 2.933 2.933 2.933 2.933 2.933

SI SI SI SI SI SI SI SI SI

15,4 16,4 17,4 18,4 19,4 20,0

A A A A A A

1.219 1.219 1.219 1.219 1.219 1.219

905 1.071 1.238 1.404 1.570 1.661

2.782 2.782 2.782 2.782 2.782 2.782

SI SI SI SI SI SI

Tabella 15: Stato Limite Ultimo per sollecitazioni taglianti: verifica del conglomerato.

5

Fuso di Guyon

Per la determinazione del fuso di Guyon sono state utilizzate le relazioni di seguito riportate. −→ Fuso inferiore: yfuso inf = λinf,id +

Mg1 Pp,t=0

−→ Fuso superiore: yfuso sup = λsup,id +

Mg1 + Mg2 + Mq Pp,t=∞

Andrea Lisjak

sezione

25

tipo

m

dp

M0

δ

Vcd

Vwd

verifica

verifica

mm

kN

-

kN

kN

VSdu ≤ VRdu

VSdu /2 ≤ Vwd

0,0 0,6 1,6 2,6

I I I I

1.219 1.219 1.219 1.219

4.573 4.580 4.592 4.603

1,55 1,55 1,55 1,55

517 517 517 518

1.236 1.236 1.236 1.236

SI SI SI SI

SI SI SI SI

3,6 4,6 5,6 6,6 7,6 8,6 10,0 11,4 12,4 13,4 14,4 15,4 16,4

II II II II II II II II II II II II II

1.219 1.219 1.285 1.285 1.285 1.285 1.285 1.285 1.285 1.285 1.285 1.219 1.219

4.612 4.620 5.494 5.500 5.504 5.505 5.505 5.505 5.504 5.500 5.494 4.620 4.612

1,56 1,56 1,66 1,66 1,66 1,66 1,66 1,66 1,66 1,66 1,66 1,56 1,56

518 518 584 584 584 584 584 584 584 584 584 518 518

618 618 652 652 652 652 652 652 652 652 652 618 618

SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI

SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI SI

17,4 18,4 19,4 20,0

I I I I

1.219 1.219 1.219 1.219

4.640 4.629 4.617 4.610

1,55 1,55 1,56 1,55

518 517 517 517

1.236 1.236 1.236 1.236

SI SI SI SI

SI SI SI SI

Tabella 16: Stato Limite Ultimo per sollecitazioni taglianti: verifica dell’armatura trasversale d’anima.

6

Diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione

Andrea Lisjak

26 Diagramma taglio SLU

2.500

2.000

1.500

1.000

taglio (KN)

500

0 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

-500

-1.000

-1.500

-2.000

-2.500 sezione (m)

Figura 4: Verifica allo Stato Limite Ultimo per sollecitazioni taglianti: diagramma del taglio sollecitante (nero) e di quello resistente (rosso).

7

Tavole grafiche

Vsdu Vrdu (+) Vrdu (-)

Andrea Lisjak

27 Fuso di Guyon sezione (m)

-1.000

-800

-600

-400

altezza (mm)

-200 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0

lembo superiore lembo infe

fuso supe

fuso infer 200

400

600

800

1.000

Figura 5: Fuso di Guyon. Diagramma momento traslato allo SLU

Momento SLU Momento SLU no tr

sezione (m) 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0

1.000

2.000

momento (KNm)

3.000

4.000

5.000

6.000

7.000

8.000

9.000

Figura 6: Stato Limite Ultimo: diagramma del momento flettente con e senza traslazione.

20

Andrea Lisjak

28 taglio SLU

2.000

1.500

1.000

taglio (KN)

500

0

taglio SLU 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

16

18

20

-500

-1.000

-1.500

-2.000 sezione (m)

Diagramma momento del taglio. Figura 7: Stato Limite Ultimo: del diagramma c.c. rare sezione (m) 0

2

4

6

8

10

12

14

0

200

momento (KNm)

400

600 trasl Mg1 Mg1 800

1.000

1.200

1.400

Figura 8: Stato Limite di Esercizio, combinazioni di carico rare: diagramma del momento flettente con e senza traslazione dovuto al carico permanente g1 = 23, 3 KN/m.

Andrea Lisjak

29 Diagramma del momento c.c. rare

trasl. Mg2 Mg2

sezione (m) 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0

100

momento (KNm)

200

300

400

500

600

700

800

Figura 9: Stato Limite di Esercizio, combinazioni di carico rare: diagramma del momento flettente con e senza traslazione dovuto al caricoDiagramma permanente 2 = 15 KN/m. del g momento c.c. rare sezione (m) 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0

500

momento (KNm)

1.000

1.500

2.000

2.500

3.000

3.500

4.000

Figura 10: Stato Limite di Esercizio, combinazioni di carico rare: diagramma del momento flettente con e senza traslazione dovuto al carico variabile q = 75 KN/m.

trasl Mq Mq

Andrea Lisjak

30 Diagramma del momento c.c. quasi permanenti

trasl Mg1 Mg1

sezione (m) 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0

200

momento (KNm)

400

600

800

1.000

1.200

1.400

Figura 11: Stato Limite di Esercizio, combinazioni di carico quasi permanenti: diagramma del momento flettente con e senza traslazione dovuto al carico g1 = 23, 3 KN/m. Diagramma del momento c.c.permanente quasi permanenti sezione (m) 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0

100

momento (KNm)

200

300

400

500

600

700

800

Figura 12: Stato Limite di Esercizio, combinazioni di carico quasi permanenti: diagramma del momento flettente con e senza traslazione dovuto al carico permanente g2 = 15 KN/m.

trasl Mg2 Mg2

Andrea Lisjak

31

trasl Mq Mq

Diagramma del momento c.c. quasi permanenti sezione (m) 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0

100

momento (KNm)

200

300

400

500

600

700

800

Figura 13: Stato Limite di Esercizio, combinazioni di carico quasi permanenti: diagramma del momento flettente con e senza traslazione dovuto al carico permanente q = 75 KN/m.

Figura 14: Armatura per precompressione: sezione longitudinale.

Andrea Lisjak 32

Figura 15: Armatura longitudinale lenta: sezione longitudinale.

Andrea Lisjak 33

Figura 16: Armatura a taglio: sezione longitudinale.

Andrea Lisjak 34

Andrea Lisjak

35

Figura 17: Armatura per precompressione: sezioni trasversali.

Figura 18: Armatura longitudinale lenta: sezione trasversale.

Andrea Lisjak

36

Figura 19: Armatura a taglio: sezione trasversale.