TE Tema6 Consumidor 11

Preferencias • La Teorí Teoría a del Cons Consumi umidor dor part parte e del supuesto de que los individuos tienen preferencias (gustos) sobre los bienes • Proble Problema: ma: las las prefe preferen rencia cias s no son son observables. No obstante, podemos inferir los gustos a partir de lo que los individuos eligen • Si elige eliges s A cuando cuando B tamb también ién era era posibl posible, e, debe ser que te gusta más A que B

Tema 6

Teoría del consumidor

2

Preferencias

Preferencias

• Llamamos X al X al conjunto de alternativas. Elemento de X son X son x ,y ,.. ,.. • Una relaci relación ón de de prefe preferen rencia cia R es R es una relación binaria en X  • Leemos “xRy ” como “x es x es al menos tan preferido como y ” (“débilment (“débilmente e preferida”) preferida”) • A pa partir de de R podemos R podemos obtener otras dos relaciones binarias

• Decim ecimos os que que xPy (“ xPy (“x  x es es estrictamente mejor que y ”) ”) cuando xRy pero xRy pero no es cierto que yRx  • Decim ecimos os que que xIy (“ es indiferente con y ”) ”) xIy (“x  x es cuando xRy y xRy y también yRx  • Va Vamo mos s a exi exigi girr que que R sea R sea racional. Esto requiere que sea completa y transitiva

3

4

Preferencias

Utilidad

• Decim ecimos os que que R es R es completa si, para todo x,y ∈X , o bien xRy o xRy o bien yRx o yRx o bien ambos • Decim ecimos os que que R es R es transitiva si para todo x,y,z ∈X : xRy e xRy e yRz implica yRz implica xRz  • Ej. 1: xRy si xRy si x pesa x pesa al menos tanto como y  • Ej. 2: xRy si xRy si x pesa x pesa y mide al menos tanto como y 

• Una func unción ión u : X → R es  R es una función de utilidad que representa R si, R si, para cualquier x,y ∈ X   X :: xRy  ⇔  ⇔ u (x ) ≥ u (y ) • Ejemplo: X = X = {x,y,z  {x,y,z } y xRy , yRz , xRz  Podemos escribir u (x )=9, )=9, u (y )=4, )=4, u (z )=1 )=1 • Si u (x ) representa R y R y f : R →R es R es una transformación monótona creciente, v (x ) = )) también representa R  f(u(x ))

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Utilidad

6

Utilidad

• La utilid utilidad ad es una med medida ida ordinal, no cardinal • Un prob problem lema a clási clásico co es es el de la representación de las preferencias • Es decir, decir, ¿cuándo ¿cuándo se pueden pueden representa representarr unas preferencias R mediante R mediante una función de utilidad? • Que R sea R sea racional es una condición necesaria 7

• Es tambi también én sufic suficien iente te sólo sólo cuand cuando o X es X es finito o contable (numerable) • Ejempl Ejemplo o (clási (clásico) co):: supong supongamo amos s xRy si xRy si o bien x 1 > y 1, o bien x 1 = y 1 y x 2 > y 2 • Decim ecimos os que que R es R es continua en X si X si para todo x en x en X , los conjuntos de contorno superior e inferior de x son x son cerrados • El conju conjunto nto de de contor contorno no super superior ior de de x es x es {y ∈X : yRx } 8

Preferencias

Utilidad

• Decim ecimos os que que R es R es completa si, para todo x,y ∈X , o bien xRy o xRy o bien yRx o yRx o bien ambos • Decim ecimos os que que R es R es transitiva si para todo x,y,z ∈X : xRy e xRy e yRz implica yRz implica xRz  • Ej. 1: xRy si xRy si x pesa x pesa al menos tanto como y  • Ej. 2: xRy si xRy si x pesa x pesa y mide al menos tanto como y 

• Una func unción ión u : X → R es  R es una función de utilidad que representa R si, R si, para cualquier x,y ∈ X   X :: xRy  ⇔  ⇔ u (x ) ≥ u (y ) • Ejemplo: X = X = {x,y,z  {x,y,z } y xRy , yRz , xRz  Podemos escribir u (x )=9, )=9, u (y )=4, )=4, u (z )=1 )=1 • Si u (x ) representa R y R y f : R →R es R es una transformación monótona creciente, v (x ) = )) también representa R  f(u(x ))

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Utilidad

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Utilidad

• La utilid utilidad ad es una med medida ida ordinal, no cardinal • Un prob problem lema a clási clásico co es es el de la representación de las preferencias • Es decir, decir, ¿cuándo ¿cuándo se pueden pueden representa representarr unas preferencias R mediante R mediante una función de utilidad? • Que R sea R sea racional es una condición necesaria 7

• Es tambi también én sufic suficien iente te sólo sólo cuand cuando o X es X es finito o contable (numerable) • Ejempl Ejemplo o (clási (clásico) co):: supong supongamo amos s xRy si xRy si o bien x 1 > y 1, o bien x 1 = y 1 y x 2 > y 2 • Decim ecimos os que que R es R es continua en X si X si para todo x en x en X , los conjuntos de contorno superior e inferior de x son x son cerrados • El conju conjunto nto de de contor contorno no super superior ior de de x es x es {y ∈X : yRx } 8

Representación

Conjunto presupuestario

• Si una una rela relació ción n de prefer preferenc encias ias R en R en X ⊆R n+ es completa, transitiva y continua entonces es representable mediante una función de utilidad continua • En gener general al nos nos centra centrarem remos os en el el caso caso de 2 bienes • Podemo Podemos s pensar pensar que que uno uno de ellos ellos es es un “bien compuesto”

• Supong Supongamo amos s que el consu consumid midor or tiene tiene una cantidad fija de dinero para gastar M  • Hay Hay dos dos bien bienes es,, X e X e Y , cuyos precios son p X  y p Y  • Las cest cestas as que pued puede e compra comprarr cumple cumplen: n: p X x + x + p Y y  ≤  ≤ M  • Su Supo pone nemo mos s adem además ás que que x  ≥  ≥ 0 e y  ≥  ≥ 0

9

Conjunto presupuestario  y  M   p

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Conjunto presupuestario

p X x + p Y y  ≤ M 

• La pendien pendiente te de la recta recta presupuest presupuestaria aria es es -p X  / p  pY    • Ind Indica ica a cuánto cuánto de un bien bien debe debemos mos renunciar si queremos más del otro • Po Porr eje ejemp mplo lo,, si si p X  = 3 y p Y = 1, si queremos una unidad más de X debemos X debemos renunciar a 3 unidades de Y 

Y 

Recta presupuestaria

Conjunto presupuestario presupuestario

 x M   p  X 

11

12

Aumento de un precio

Aumento de un precio

y 

y 

M  p Y 

M  p Y 

La recta presupuestaria pivota hacia dentro

M  p X 

x 

M  p X 

13

Aumento de la renta

x  14

Aumento de la renta

y 

y 

M  p Y 

M  p Y 

M  p  X 

x  15

La recta presupuestaria se desplaza hacia fuera (la pendiente no cambia)

M  p  X 

x  16

Conjunto presupuestario

Oferta de trabajo

• Si los dos precios aumentan en la misma proporción es lo mismo que si la renta M  disminuye • De hecho uno de los 3 parámetros (p X , p Y  y M ) es redundante • Podemos hacer p X  = 1. Entonces el bien X  es el bien numerario • El tiempo también es una restricción

• Cuando estudiamos la oferta de trabajo el tiempo es crucial • Ofrecer trabajo significa que ese tiempo no lo podremos usar para consumir bienes • Lo que hacemos es comprar ocio renunciando a trabajar. Es decir, el precio del ocio es el salario que dejamos de ganar por no trabajar

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Curvas de indiferencia

Curvas de indiferencia y

• Las curvas de nivel de la función de utilidad son las curvas de indiferencia • Cada CI representa combinaciones de cestas entre las que el consumidor está indiferente • En general, curvas más alejadas del origen representan cestas mejores • Si u(X,Y) = XY, las cestas (10,10), (20,5) y (5,20) están en la misma CI

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

x 0

19

0.2

0.4

0.6

0.8

1

20

Relación marginal de sustitución

Relación marginal de sustitución

• La pendiente de una curva de indiferencia tiene la interpretación de la tasa a la que el consumidor está dispuesto a intercambiar un bien por otro • Lo llamamos Relación Marginal de Sustitución (RMS) • Nos dice la cantidad de Y que está dispuesto a perder por una unidad adicional de X 

• Para obtener la RMS partimos de la ecuación de una CI de utilidad u 0: u (x , y ) = u 0 • Diferenciando,

∂u  ∂u  dy  dx + dy  = 0 ⇒ dx  u =u  ∂x  ∂y 

0

∂u  = − ∂x  ∂u  ∂y 

21

22

Preferencias convexas

RMS, ejemplo • Si u(X,Y) = XY, la RMS es –Y/X • Calculamos la RMS en tres cestas diferentes:  – RMS(5,20) = -4  – RMS(10,10) = -1  – RMS(20,5) = -1/4

• La tasa a la que está dispuesto a cambiar X por Y depende de las cantidades que tiene de X e Y 23

• Las preferencias son convexas si el conjunto de contorno superior es convexo. Esto implica que se prefieren las medias a los extremos • Supongamos que u (x 1,y 1) = u (x 2,y 2). Cualquier punto en la línea que conecta (x 1,y 1) y (x 2,y 2) es al menos tan bueno como los extremos 24

Preferencias convexas

Preferencias convexas

y

y

1

1

0.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

x 0.2

0.4

0.6

0.8

x

1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

25

Condición de primer orden

Maximización de la utilidad • Max {x ,y }u (x ,y ) s.a.  p X  x  +  pY y  ≤ M  • Max

0=

26

0=

  M − p X x    p  Y     

u  x ,

d    M − p X x   ∂u  p X  ∂u  = u  x , − dx    p Y    ∂x  p Y  ∂y   p X   pY 

d    M − p X x   ∂u  p X  ∂u  = − u  x , dx    p Y    ∂x  p Y  ∂y 

∂u =

∂u

∂ x = − dy ∂ y

dx u =u0

=  RMS 

Pendiente recta presupuestaria = pendiente de la CI 27

28

Condición de primer orden

Ilustración gráfica

• Supongamos que p X  / pY    = 3, pero tenemos una cesta en la que la RMS es 4 • No es la cesta óptima. Por 1 unidad más de X estamos dispuestos a ceder 4 de Y • Pero sólo tenemos que dar 3!!

y 

M  p  Y 

M   p  X 

29

Condición de segundo orden • Para más adelante: 0≥

d 2 (dx )2

2

  M − p X x   ∂ 2u  p X  ∂ 2u   p X   ∂ 2u  = − +  p Y    (∂x )2 p Y  ∂x ∂y    p Y   (∂y )2  

u  x ,

x  30

Notación  ∂u  ∂u   ,   ∂x  ∂y  

(u 1, u 2 ) = 

• Este es el gradiente, la dirección de máximo crecimiento de u  • La CPO implica que el gradiente es perpendicular a la recta presupuestaria

• Concavidad respecto de X

31

32

Problemas

Ejemplo Cobb-Douglas

• Cuando la utilidad no es diferenciable. Por ejemplo, u (x , y ) = min{x , y } • Cuando la condición de tangencia no es suficiente. Por ejemplo, con preferencias que no son convexas (solución esquina) • También puede ocurrir que el óptimo esté en una esquina

u (x , y ) = x α y 1−α  ∂u  p X  dy  α y  . =− = ∂x  = ∂u  p Y  dx  u = u  (1 − α )x  0 ∂y  x  =

α M  , p X 

y  =

(1 − α )M  p Y 

• La proporción de gasto en cada bien es constante (α y 1- α, respectivamente) 33

Complementos perfectos

34

Complementos perfectos

• Si dos bienes son complementos perfectos se consumen en proporciones fijas • La utilidad es u(x , y ) = min{x ,  β y } • El consumidor comprará de forma que x =  β y . Si x > β y,  la cantidad extra de x no le añade utilidad • Podemos definir un “bien compuesto” 35

• Consiste en comprar la cantidad y de Y y la cantidad β y de X  • El precio de este bien es β pX    +p Y y la utilidad es u = M   /( β pX    +p Y ) • Los complementos perfectos se pueden ver como un único bien

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Punto de saciedad

Punto de saciedad y

• Si los dos únicos bienes son pizza y cerveza, es muy probable que exista un punto de saciedad • Algo así como una combinación óptima, por encima de la cual ya no queremos consumir más • También es razonable cuando hablamos de cuestiones políticas

1

0.8 u=120 0.6 u=100 u=50 0.4 u=40 u=30

0.2

u=20 u=10 0

x 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

37

Efecto sustitución

38

y

• Supongamos que el precio de un bien sube. ¿Compraremos menos de él? • No necesariamente • Pensemos en el ocio. Si sube el salario, el coste del ocio aumenta • Si el individuo se siente más rico, puede elegir trabajar menos y tener más ocio • También puede ocurrir con bienes de subsistencia 39

Efecto sustitución

x

• La cantidad de Y puede aumentar cuando el precio de Y aumenta 40

Sustitución

Efecto Sustitución y

• Un aumento de un precio implica una reducción del poder de compra (M tiene ahora menos poder adquisitivo) más un cambio en el precio relativo • Los efectos sustitución y renta separan estos dos efectos • El ES aísla el efecto del cambio en el precio relativo, cambiando la renta de forma que el consumidor se mantenga en la misma curva de indiferencia

Elección inicial

x 41

Aumenta el precio de Y

42

ES mantiene la utilidad constante

y

y Elección inicial

Ahora no puede alcanzar la misma CI que en la elección inicial. Para ello necesitaría más renta

Elección inicial

Demanda compensada pY ↑

pY ↑

x

x 43

44

Efecto sustitución (ejemplo)

Efecto sustitución (ejemplo)

• La función de utilidad es u(x , y ) = xy  • Precios p X  = 2, p Y = 5. Renta M = 100 • El consumidor elige la cesta (25, 10) en la que obtiene una utilidad de 250 • El precio de Y sube a p’ Y = 6. Ya no puede comprar la misma cesta (vemos que 2×25+6×10 = 110 > 100 • ¿Cuánto debería aumentar la renta para que alcanzase la utilidad 250?

• La nueva renta la llamamos m’  • Sabemos que elegirá x = m’   /4, y = m’   /12 • Por tanto, obtendrá una utilidad igual a (m’ )2 /48 • Igualando a 250, obtenemos m’ = 109.54 • Por lo tanto, la renta debe aumentar en m’ -m = 9.54 • Esta es la “compensación”

45

46

Efecto sustitución

Efecto renta

• El ES de un aumento en el precio de Y  siempre disminuye el consumo de Y y aumenta el de X  • Todas las cestas del conjunto presupuestario en las que la cantidad de Y  es mayor que en la elección inicial le dan una utilidad menor

• Para niveles bajos de renta la mayoría de los bienes son normales • Cuando la renta es suficientemente alta, la mayor parte de los bienes se convierten en inferiores • La curva que representa el conjunto de las cestas óptimas para diferentes niveles de renta es la curva de Engel

47

48

Efecto renta

X inferior, Y normal

• Bienes normales

y

y

x

x 49

Gasto en comida (USA)

50

Ejemplo: Cobb-Douglas

Año Gasto en comida (%) 1935-39 35.4 1952 32.2 1963 25.2 1992 19.6 2000 16.3

• En el caso Cobb-Douglas, las cestas óptimas son x = α M /   pX    , y = (1-α )M/p Y  • Por tanto, la curva de Engel es una recta con pendiente (1-α )p X  / αp   Y    • En general, se dice que un individuo tiene preferencias homotéticas, si la curva de Engel es una línea recta

51

52

Efecto renta

Descomposición en ES y ER

• Hemos visto que el ES nos permite descomponer el efecto de un cambio en un precio en un ES y un ER • En la figura siguiente vemos cuál es el ER

y

x 53

54

Descomposición en ES y ER

Descomposición en ES y ER

y

y

Efecto sustitución

Efecto sustitución Efecto renta x

x 55

56

Soluciones esquina

Descomposición en ES y ER y

• En ocasiones el óptimo puede estar en una de las esquinas del conjunto presupuestario • Por ejemplo, si en el óptimo x* = 0, se cumple que |RMS| < p X  / pY    • El consumidor querría reducir el consumo de x , pero no puede (ya es 0)

Efecto sustitución ES ET

ER

Efecto renta x 57

Ejemplo: preferencias cuasilineales

58

Preferencias cuasilineales

• Si la función de utilidad tiene la forma u (x ,y ) = v (x )+α y,  con v () cóncava, decimos que el individuo tiene preferencias cuasilineales • Las curvas de indiferencia son paralelas (no necesariamente rectas) entre sí • Por ejemplo, estudiamos el caso en el que u (x ,y ) = ln(x )+ α y 

• Usamos la restricción presupuestaria para eliminar y  • Tenemos:  m −  p X  x   ln( x ) + α     pY    • La condición de primer orden es: 1  x *

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 p X 

− α 

 pY 

≤0

(= 0 si x* > 0) 60

Preferencias cuasilineales

Oferta de trabajo

• El óptimo interior es:  / pY  x* = p Y  / αp   X    ; y* = (M    )-(1/ α)  • Para que el óptimo sea interior se debe cumplir que M > p Y  / α  • Si, por el contrario, M < p Y  / α,  el óptimo es: x* = M   / pX    ; y* = 0 • Cuando M es pequeña, sólo consume X . A partir de cierto valor (p Y  / α)  , consume de ambos (pero su consumo de X es fijo)

• Trabajar más horas permite consumir más bienes, pero reduce el tiempo de ocio • Llamamos x al consumo, L es el tiempo de ocio, T-L el tiempo de trabajo y M la renta no laboral • La restricción es px = M +w (T -L), donde p  es el precio del consumo y w el salario • O también px +wL = M +wT 

61

Restricción presupuestaria x

62

Restricción presupuestaria x

M/p+wT/p

M/p+wT/p La pendiente es –w/p

M/p

M/p

T

L

T 63

L 64

Oferta de trabajo

Oferta de trabajo

• La utilidad del individuo es u (x , L). Sustituyendo x podemos escribir:   M  + w(T  − L)   , L   Max h( L) = u 0≤ L ≤T 

 

 p

• Estudiamos el efecto en L* de un aumento del salario • Diferenciando la CPO, obtenemos:

 

u 1

• La condición de primer orden es:

∂L * p  = ∂ w 

 w   + u2   p 

0 = h′( L*) = −u1 

+

w  T  − L (T  − L ) u 11 − u 12 p  p  p  2

  w     w    − 2 u 12   + u 22 p        p  

u 11 

• Las derivadas parciales se evalúan en el óptimo

• El signo depende del numerador (den < 0) 65

66

Oferta de trabajo

Oferta de trabajo

• En concreto, ∂L*/ ∂w > 0, si y sólo si:

• Dado que:

(T  − L ) u 1 w  T  − L + u 11 − u 12 1

−

− (T  − L )

∂ Log (u 1 ) = ∂L

−

w  u 11 + u 12 p  u 1

1 ∂Log (T  − L) = T  − L ∂L

• Podemos escribir la condición:

u 1

67

68

Oferta de trabajo

Oferta de trabajo

1 ∂Log (u 1) ∂Log (T − L) > =− ∂L ∂L T − L

• En palabras, la condición dice que u 1(T -L) debe ser creciente con L • La cantidad óptima de ocio aumenta (y por lo tanto la cantidad de trabajo se reduce) cuando sube el salario si la utilidad marginal del consumo, multiplicada por las horas trabajadas, es creciente con L • Si el consumo y el ocio son sustitutos, esto no puede ocurrir

• O simplemente:

∂Log (u 1 ) ∂Log (T  − L ) + >0 ∂L ∂L • En total, la condición queda:

∂ Log (u 1 (T  − L )) >0 ∂L 69

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Oferta de trabajo

Oferta de trabajo

• La razón es que, si son sustitutos, un aumento de L reduce la utilidad marginal del consumo • Por tanto, si el consumo y el ocio son sustitutos, un aumento del salario reducirá la cantidad de ocio y aumentará la oferta de trabajo • ¿Y si son complementarios?

• Supongamos que u (x , L) = Min{x , L} • En este caso vemos que: L* = (M +wT )/(p +w ) • Por tanto, el ocio crece con el salario siempre que pT > M (si M es pequeño) • En el caso Cobb-Douglas, u (x , L) = x αL1- α • Vemos que: L* = (1- α)  (T +M   / w) 

71

72

Horas anuales trabajadas

Oferta de trabajo

Franc e

Germany

S pain

2500

• Es una función decreciente del salario • La cantidad óptima de trabajo es: T -L = Max{0, αT -(1- α)(M   / w )} • Es decir, sólo trabaja si la renta no laboral M es suficientemente pequeña • En concreto, si M > (α / (1- α))(Tw ), prefiere no trabajar en absoluto

2000

1500

1000

500

0    7  1   9   1

   7  3   1  9

   5    7   1  9

   7    7   1  9

   7  9   1  9

  8  1   9   1

  8  3   1  9

   5   8   1  9

   7   8   1  9

  8  9   1  9

  9  1   1  9

  9  3   1  9

   5   9   1  9

   7   9   1  9

  9  9   9   1

  0  1   2  0

  0  3   2  0

   5   0   2  0

   7   0   2  0

  0  9   2  0

73

74

Diferencias compensatorias

Diferencias compensatorias

• Las diferencias compensatorias se refieren a las diferencias salariales debidas a ciertas características de los empleos • Los trabajos difieren en muchos aspectos: duración de la jornada, riesgos físicos, el entorno del trabajo, etc. • La teoría de las DC parte de la premisa de que no hay nada gratis (“no free lunch”)

• En un equilibrio de mercado, los trabajos más desagradables deben ofrecer una prima salarial en relación a otros trabajos • Supongamos que la utilidad de un trabajador depende del salario w y de cierta característica del empleo, por ejemplo la seguridad en su trabajo s  • Imaginemos que hay 2 trabajos A y B, con diferentes características

75

76

Diferencias compensatorias

Diferencias compensatorias

• En el equilibrio, se debe cumplir:

• Los salarios astronómicos que ganan algunos deportistas no se deben a DC • Son pagos que reflejan la rareza del talento • Los mismo ocurre con los artistas. El precio de los cuadros de Picasso refleja la escasez de los mismos respecto a la demanda

u (w A, s A) = u (w B, s B) • ¿Por qué? • ¿Qué ocurriría si no es así? • Si s A > s B, entonces w A x 2 • Decimos que el consumidor es más “impaciente” que el mercado • Si δ(1+r ) = 1, consume lo mismo en los dos periodos • Si δ(1+r ) > 1, es que valora el consumo en el periodo 1 menos que el mercado, por lo que querrá consumir más en el periodo 2 96

Elección intertemporal

Optimización intertemporal

• El que un individuo sea ahorrador o pida prestado no depende sólo de sus preferencias, también depende de sus ingresos • Por ejemplo, si sus ingresos son mucho mayores en el segundo periodo es posible que su ahorro en el periodo 1 sea negativo

x2

(M 1,M 2)

Devolución del préstamo

En el periodo 1 pide prestado x 1

97

Aumento del tipo de interés

98

Aumento del tipo de interés x2

• Si el tipo de interés aumenta, la recta pivota alrededor del punto (M 1, M 2) • La razón es que ese punto siempre es factible • El efecto dependerá de si el individuo es un prestamista o un prestatario • En la figura vemos un prestatario que decide pedir prestado menos dinero

(M 1,M 2)

99

x 1 100

Aumento del tipo de interés

Aumento del tipo de interés

La renta del prestamista aumenta

• No está claro el efecto en el consumo del periodo 2 • Por un lado tiene menos renta, pero por otro lado el precio relativo del consumo en el periodo 2 ha bajado • Un aumento del tipo de interés es positivo para los prestamistas netos. Consumirá más en el periodo 2. ¿Y en el periodo 1?

x2

(M 1,M 2) x 1

101

102

Efecto de un aumento transitorio de la renta

Diferentes tipos de interés x2

• Ahora un aumento transitorio de la renta puede tener un efecto importante en el consumo • Esto explica por qué los individuos no ahorran mucho cuando reciben una cantidad inesperada de dinero, o por qué sufren una gran pérdida puntual en lugar de una pérdida pequeño durante un periodo largo, cuando les surgen gastos inesperados

La pendiente es -(1+r 2)

(M 1,M 2)

Aquí es -(1+r 1) x 1

103

104

Propensión a consumir del 100% x2

Decisión con incertidumbre (M 1,M 2)

x 1

105

Estadística básica

Estadística básica

• Sea x una variable aleatoria que toma los valores x 1, x 2,.., x n con probabilidades p 1, p 2,.., p n • Si las alternativas son exhaustivas y mutuamente excluyentes: p 1+p 2+..+p n = 1 • Definimos la media de x (o el valor esperado) como: E (x ) = p 1x 1+p 2x 2+…+p nx n

• La media nos da información sobre el valor central de la variable aleatoria • La varianza de x nos mide la dispersión de la variable alrededor de la media: Var (x ) = p 1(x 1-E (x ))2+…+p n(x n-E (x ))2 • En la práctica se usa más la desviación estándar, que es la raíz cuadrada de la varianza

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108

Decisión con incertidumbre

Decisión con incertidumbre

• Ahora los individuos deben elegir entre diferentes alternativas con incertidumbre (“loterías”) • Ejemplo de lotería: lanzamos una moneda al aire. Si sale cara ganas 100 euros. Si sale cruz no ganas nada • Cada lotería es una distribución de probabilidad sobre cantidades de dinero

• En ausencia de incertidumbre todos preferimos más dinero • Si x representa cantidades de dinero, cualquiera de las funciones siguientes es equivalente en términos de cómo ordenan nuestras preferencias:  –  U (x ) = a +bx , con b > 0  –  U (x ) = Exp(x )  –  U (x ) = x 3

109

110

Decisión con incertidumbre

Decisión con incertidumbre

• No obstante, nosotros queremos algo más • Queremos ordenar también las loterías • Por ejemplo, considera las siguientes loterías:

• En concreto, prueban que bajo ciertas condiciones existe una forma de asignar números a cada posible resultado de forma que podemos comparar las loterías, comparando la “utilidad esperada” • Esto es, a partir de U (100) = U 100, U (70) = U 70, U (30) = U 30, U (0) = U 0, la utilidad de L1 es ½U 100 + ½U 0 y la utilidad de L2 es ½U 70 + ½ U 30

 –  L1: Con ½ ganas 100 euros, con ½ ganas 0  –  L2: Con ½ ganas 70 euros, con ½ ganas 30

• Von Neumann y Morgestern propusieron una forma de ordenar estas loterías 111

112

Decisión con incertidumbre

Decisión con incertidumbre

• Es decir, bajo ciertas condiciones, existe una función de utilidad sobre las cantidades de dinero que podemos usar tanto para comparar cantidades de dinero (esta parte es trivial) como loterías sobre cantidades de dinero (esto ya no lo es) • Este procedimiento es muy útil

• En general, supongamos que los posibles resultados son x 1, x 2, .., x n y sus probabilidades respectivas son p 1, p 2, .., p n • La utilidad (esperada) es: E {U ( x )} = p 1U ( x 1 ) + p 2U ( x 2 ) + ... + p n U ( x n ) = n 

= ∑ p i U ( x i ) i =1 113

Decisión con incertidumbre

114

Decisión con incertidumbre

• Volviendo a las loterías L1 y L2, ¿cuál prefieres? • Tu preferencia dice algo sobre tu función de utilidad esperada • Obviamente, U’ (x ) > 0, ¿no? • Supongamos además que es lineal, es decir, U (x ) = a+bx , con b > 0 • Entonces U (0) = a, U (30) = a+ 30b, U (70) = a+ 70b y U (100) = a+ 100b 

• Entonces resulta que: ½U (30)+½U (70) = ½U (0)+½U (100) • Si la utilidad es lineal, las loterías con igual valor esperado son indiferentes entre sí • Si, como es habitual, L2 es mejor que L1, la función de utilidad esperada debe ser cóncava • Esto se llama aversión al riesgo 115

116

Aversión al riesgo

Aversión al riesgo U U(p1x1+p2x2)

• Hablamos de aversión al riesgo si: U ( p 1 x 1 + p 2 x 2 ) ≥ p 1U ( x 1 ) + p 2U ( x 2 )

p1U(x1)+p2U(x2)

• Por ejemplo, prefieres 50 euros a otra alternativa en la que ganas 100 si una moneda sale cara y 0 si sale cruz • Aversión al riesgo implica que la función U  es cóncava (segunda derivada < 0)

x1 EC

p1x1+p2x2

117

x2

x 118

Aversión al riesgo

Definiciones

• En general, suponemos que a las personas no les gusta el riesgo • Otra forma de ver la aversión al riesgo es la siguiente • Si un individuo es averso al riesgo, entonces, para todo x : U (x ) ≥ EU (x +∈), donde E(∈) = 0 • Por ejemplo, 100 euros frente a una lotería que paga 105 o 95 (ambos con ½)

• El equivalente cierto (EC) es la cantidad de dinero que el individuo valora igual que la alternativa incierta: E {U (x )} = U (EC) • La prima de riesgo (PM) es el valor esperado de la alternativa menos el EC • La prima del riesgo es el coste monetario del riesgo. Es lo que pagaría el individuo por evitar el riesgo

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120

Definiciones

Transformaciones permisibles

• Por ejemplo, ¿cuál es para ti el EC de una lotería que te da 100 euros con ½ y 0 euros con ½? • Supongamos que es 30 euros. Sería 50 euros si no te preocupa el riesgo • Si tu EC es 30 euros, la prima del riesgo es 50-30 = 20 euros

• Una función de utilidad esperada no es invariante frente a una transformación arbitraria • Si tu función de UE es U (x ) = α x entonces tú eres “neutral” frente al riesgo y sólo te preocupa el valor esperado • Si mi función de UE es V (x ) = {U (x )}1/2, mi función es cóncava

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122

Transformaciones permisibles

Transformaciones permisibles

• Yo tengo aversión al riesgo • Pero entonces tú y yo no evaluamos las loterías de la misma forma • Las funciones de UE sólo son invariantes frente a transformaciones lineales • Si tu función es U (x ) y la mía es V (x ) = a +bU (x ) con b > 0, entonces ambos ordenamos las loterías igual

• Esto nos permite re-escalar la función de forma que asignamos al peor resultado utilidad 0 y al mejor utilidad 1 • Si el peor resultado es -1,000 euros y el mejor resultado es +25,000 euros y tenemos U (-1000) = u 0, U (25000) = u 1, podemos re-escalar a V (x ) = a +bU (x ), con b = 1/(u 1-u 0) y a = u 0 /(u 1-u 0)

123

124

Tu función de utilidad esperada • Supongamos que el peor resultado posible es -100 y el mejor es +1,000 • Queremos asignar números a todos los valores entre -100 y 1,000 • Empezamos por asignar U (-100) = 0 y U (1000) = 1 • Para cualquier valor intermedio, contesta a la pregunta siguiente:

Tu función de utilidad esperada Si tuvieras la opción de elegir entre 250 euros seguros y una lotería que da +1,000 euros con probabilidad p o -100 euros con probabilidad (1-p ), ¿para que valor de p  estarías indiferente entre ambas opciones?

125

Tu función de utilidad esperada • Le llamamos p 250. ¿Es mayor que .318? • Obviamente, 0 < p 250 < 1 • Podemos asignar a la cantidad 250 ese valor, es decir, U(250) = p 250. ¿Por qué? • Por la definición de p 250, tenemos: p 250U (1,000)+(1- p 250)U (0) = U (250) • Como U (-100) = 0, U (1000) = 1, tenemos que U (250) = p 250 127

126

Precio de una acción • Tienes 20 euros en el bolsillo y también una acción de una empresa • Mañana esa acción puede valer 16 euros u 80 euros (ambas con ½) • ¿Cuál es el precio mínimo al que estarías dispuesto a vender la acción? • La utilidad esperada si no vendes es: ½U (36)+½U (80) 128

Precio de una acción

Seguros

• La utilidad esperada si vendes al precio p  es U (20+p ) • Querrás vender siempre que: U (20+p ) ¥ ½U (36)+½U (80) • El precio mínimo p * cumple: U (20+p *) = ½U (36)+½U (80) • Si U (x ) = x ½, p * = 44 euros • Sólo vende si p ¥ 44

• Probamos que un averso al riesgo, si puede comprar un seguro actuarialmente justo, elegirá asegurarse completamente • Supongamos que tienes 30,000 euros pero con una probabilidad p puedes perder 10,000 euros • Sin seguro, tu utilidad esperada es: (1- p )U (30,000)+pU (20,000) • Sabemos que U ’ > 0 y U ’’ < 0

129

Seguros

130

Seguros • Esto implica que π = p  • Si compras C euros de cobertura tu UE es: Φ(C ) = (1-p )U (30,000-πC )+ +pU (20,000-πC+C ) • La CPO (comprobar la CSO) es: Φ’(C ) = -π(1-p )U’ (30,000-πC )+ + (1- π)pU’ (20,000+ (1- π)C ) = 0

• Una póliza de seguros te da 1 euro de cobertura si pagas una prima  π • Es decir, si pagas π euros de prima, en caso de accidente la compañía te paga 1 euro y nada en otro caso • El valor esperado de la póliza para la compañía es (1-p )π + p (π-1) • Cuando esto es cero, se dice que el seguro es actuarialmente justo 131

132

Seguros

Seguros

• Comprobamos que nunca puede ocurrir C * = 0 • La CPO quedaría (dado que π = p ): Φ’(0) = -π(1- π)U’ (30,000)+ + (1- π)πU’ (20,000) = 0 • Es decir (1- π)π[U’ (20,000)-U’ (30,000)] = 0 • Esto es imposible ya que U es cóncava

• Dado que π = p : -p (1-p )U’ (30,000-pC )+ + (1- p )pU’ (20,000+ (1- p )C ) = 0 • O también: U’ (30,000-pC ) = U’ (20,000+ (1- p )C ) • Como U ’’ < 0: 30,000-pC = 20,000+ (1- p )C 

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134

Seguros

Defraudar

• Pero entonces C = 10,000 •  Variantes: Si tienes que pagar una tasa de F euros, pero aún π = p , puedes probar que si se asegura, se asegura por completo. No obstante, puede que no se asegure (si F es suficientemente grande) • Si π > p , el individuo no se asegura completamente

• Un contribuyente tiene una renta y . El tipo marginal del impuesto es t (0 < t < 1) • Debe elegir la renta x que declara, con lo que paga tx  • Ser honrado significa x = y  • No ser honrado significa 0 ≤ x < y  • Llamamos z = y-x a la renta que oculta • La AT revisa la declaración con probabilidad p (independiente de x )

135

136

Defraudar

Defraudar • Su objetivo es elegir z  ∈ [0, y ] para: Max U (z ) = (1-p )U (y(1-t)+tz )+ +pU (y(1-t)- θz    ) • La primera derivada es: U ’(z ) = t (1-p )U’ (y(1-t)+tz )-θ pU’ (y(1-t)- θz    ) • Evaluando en z = 0: U ’(0) = [t (1-p )-θ p] U’ (y(1-t))

• Si le revisan y ha defraudado le pillan • Debe pagar lo que ocultó mas una multa θ z  • Con probabilidad p su renta es: y-tx- θz   -tz = y(1-t)- θz    • Con 1-p su renta es: y-tx = y(1-t)+tz  • Maximiza la utilidad esperada 137

Defraudar

138

Búsqueda (“search”)

• Vemos que para que U ’(0) > 0 debe ocurrir que:  p θ  t  > 1 −  p • Esta condición garantiza que z * > 0. Es decir, que decide defraudar • También obtenemos ∂z */ ∂p < 0 y que ∂z */ ∂θ < 0. El signo de ∂z */ ∂t es ambiguo

• En el mundo real encontramos una gran variación de precios de los productos • Pero entonces, esto significa que los consumidores podrían ganar si buscan el mejor precio • La teoría de búsqueda parte de la idea de que el precio es, desde el punto de vista del consumidor, una variable aleatoria 139

140

Búsqueda (“search”)

Búsqueda

• Supongamos que la función de densidad del precio es f (p ) • El coste de obtener información de un precio (visitar una tienda) es c  • El individuo usa un precio de reserva. Comprará si p  ≤ p * • Coste esperado (fórmula recursiva): J ( p *) = c +

∫

p *

0

pf ( p )dp +

∫

∞

p *

• Obtener información de un precio cuesta c  y puede resultar en un precio menor que p*  • El segundo término es el valor medio del precio, dado que es menor que p*  • El tercer término es el valor de continuación, en términos esperados

J ( p *)f ( p )dp  141

Coste esperado de comprar J ( p *) =

 ∫

p *

0

f ( p *) • CPO: J ′( p *) = p * − F ( p *)

 

f ( p *)  p * − = F ( p *) 

 

∫

p *

0

Solución

pf ( p )dp + c  F ( p *) f ( p *)

0

• La solución es J (p *)=p * • Consiste en fijar un precio de reserva igual al coste total esperado de comprar el bien • La regla es comprar siempre que encontremos un precio por debajo de dicho precio de reserva • No tiene sentido esperar por un precio menor de lo que esperamos pagar en promedio

pf ( p )dp + c 

F ( p *) 2

pf ( p )dp + c   F ( p *)

∫

p *

142

f ( p *)

 = F ( p *) (p * −J ( p *))    143

144

Ejemplo

Ejemplo

• Si el precio p sigue una distribución uniforme en el intervalo [a ,b ], obtenemos: c (b − a ) p * −a  2 • Aplicando la CPO, obtenemos: 1

J (p *) = (p * +a ) +

p * = a + 2c (b − a ) • A medida que c  → 0, p * → a 

• Cuando el coste es muy bajo sólo compramos si el precio está cerca del mínimo • Sea a = 200, b = 500 y c = 20 • Calculamos p * = 309.5 euros • Si el coste sube a c ’ = 40 euros, entonces p * = 355 euros

145

146

Ejemplo

Equilibrio general

• Además, p * < b siempre que 2c < (b -a ) • Según esto, si lo más que podemos ahorrar buscando otro precio es menos que el doble del coste, no merece la pena buscar más precios • Lo óptimo es comprar ya • Cuanto menor es la dispersión, menor es el precio de reserva

• Los individuos poseen unas dotaciones iniciales de los bienes • Van al mercado donde observan precios, intercambian bienes a esos precios para maximizar su utilidad • Un equilibrio es un vector de precios (uno para cada bien) y una asignación tal que todos los mercados se vacían

147

148

Equilibrio general

Economías de Edgeworth

• Los mercados se vacían cuando en cada uno de ellos la oferta es igual a la demanda • Cuestiones:

• • • • •

 – ¿Es algo bueno el equilibrio?  – ¿Existe?  – ¿Es único?  – ¿Puede ocurrir? ¿Cómo se determina?

Dos individuos (1 y 2) y dos bienes (X e Y) Cesta del 1: (x 1, y 1) Cesta del 2: (x 2, y 2) Dotaciones iniciales: ( x 1,  y 1) y ( x2  ,  y 2) Una asignación {(x 1, y 1), (x 2, y 2)} es factible si se cumple:  –  x 1+x 2 ≤ x1  +  x2  =  x   –  y 1+y 2 ≤ y1  +  y2  =  y 

149

150

Economías de Edgeworth

Caja de Edgeworth

• Además vamos a suponer que no se desperdician los bienes. Es decir:

• Las dotaciones iniciales determinan el tamaño de la caja:

 –  x 1+x 2 =  x1  +  x2  =  x   –  y 1+y 2 =  y1  +  y2  =  y 

2 y 2

• Entonces las asignaciones se pueden representar en una caja, llamada caja de Edgeworth

y 1

151

1

152

Preferencias

Eficiencia de Pareto 2

2

u 1

u 1 2

1

153

Curva de contrato

1

154

Ejemplo 2

• Los dos individuos tienen preferencias Cobb-Douglas y la cantidad total de cada bien es 1. Por tanto, x 2 = 1 –  x 1 • Las funciones de utilidad son u 1 = x αy 1-α, u 2 = (1-x )β(1-y )1-β • Las asignaciones PE cumplen: ∂u1 ∂u2 αy ∂ x  = ∂ x  = β(1 − y ) = ∂ ∂ u u (1 − α ) x  (1 − β)(1 −  x ) 1 2 ∂y ∂y 1

155

156

Ejemplo

Curva de contrato, caso CD 1

• Podemos resolver para y: 0.8

y  =

(1 − α ) β x  = (1 −  β )α  + ( β  − α ) x 

x   (1 −  β )α   x +  (1 − x )  (1 − α ) β  

• Sólo depende del parámetro ( 1 − β ) α ( 1 − α )β

0.6

0.4

0.2

0

157

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

158

Asignaciones eficientes e individualmente racionales

Dotaciones iniciales • Las dotaciones iniciales representan las combinaciones de bienes que los individuos poseen inicialmente • Es un punto en la caja • Las curvas de indiferencia que pasan por las dotaciones iniciales representan un nivel mínimo de utilidad que los individuos se pueden garantizar (no comerciando) 159

2

160