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Analyse Numérique 1

MMA/2014-2015

TD2 Exercice 0.0.1. On considère le problème aux limites elliptique u00 (x) + (x + 1)u(x) = f (x) = x dans [0; 1] u(0) = u(1) = 0

(1)

1. Soit x0 = 0; x1 ; :::; xN ; xN +1 = 1 une subdivision de l’intervalle [0; 1]. On suppose, pour simpli…er les calculs, que les points sont equidistants : xi+1 xi = h: Soit V l’ensemble des fonctions continues sur [0; 1], et de classe C 1 sur chaque intervalle [xi ; xi+1 ]. On le munit de la norme (à démontrer) s Z 1 (v 02 + v 2 )dx kvk = 0

Pour chaque i = 1; :::; N on dé…nit la fonction 8 x xi 1 > > > < xi xi 1 xi+1 x (x) = i > > > : xi+1 xi 0

i

de la manière suivante : si

xi

si

xi

x

1

x

xi xi+1

ailleurs

Montrer que les fonctions i sont continues sur [0; 1] et qu’elles sont de classe C 1 sur chaque intervalle [xk ; xk+1 ] et donc : 8i = 1; :::; N , i 2 V 2. Donner le support de

i.

3. Ecrire la formulation variationnelle du problème (1) sous la forme Trouver u 2 V telle que a(u; v) = L(v) 8v 2 V

(2)

Donner explicitement la forme bilinéaire a et la forme linéaire L: 4. Montrer que la forme bilinéaire a est coercive et continue sur V V , et que la forme linéaire L est continue sur V: (On admet alors que le problème (2) admet une solution unique u). 5. Montrer que 8i; j = 1; :::; N on a 6. Montrer que le système (

1;

2 ; :::;

i (xj ) N)

=

ij

est libre.

7. Soit Vh le sous espace vectoriel engendré par (

1;

2 ; :::;

N ):

Donner la dimension de Vh :

8. Ecrire le problème approché du problème (2) sous la forme Trouver uh 2 Vh telle que a(uh ; vh ) = L(vh ) 8vh 2 Vh H. EL AMRI

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(3)

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9. Montrer que ku

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uh k

Cd(u; Vh ) où C est une constante (à déterminer) et d(u; Vh ) = inffku

vh k ; vh 2 Vh g

10. Soit (u1 ; u2 ; :::; uN ) les coordonnées de uh dans la base ( Ecrire le problème (3) sous forme matricielle

1;

2 ; :::;

N ):

Auh = b

(4)

Calculer d’une manière explicite les coe¢ cients de la matrice A et du vecteur b: 11. Resoudre par python (ou autre) le système linéaire (4) 12. On prend f (x) =

2+x

x3

(a) Montrer que la solution est u(x) = x(1 (b) Montrer que bi =

2

2h + ih

1 (2i2 2

x)

+ 1)h4

(c) Résoudre le système linéaire associé et comparer avec la solution exacte (Tracer les courbes de u et uh dans un même repère).:

H. EL AMRI

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