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td2 RSA Corrige PDF

December 10, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
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Description

 



































































 





































































































































































































































 

 

 

































n  = 319   e  = 11

 



 

 

 

•  319 = 11 × 29   1011 = 263 (mod 319)   2632 = 216 × 319 + 265  



 

•   1333 = 12 (mod 319)   13325 = 133 (mod 319)  

 

 

•   112 = 121 121 (m (mod od 28 280) 0)   114 = 81 (mod 28 280) 0)   118 = 121 (mod 280 280))   1116 = 81 (mod 280)  

 

 

 

81..11 = 51 (mod 280)   81 81..121 = 1 (mod 280 280)) •  95 = 64 + 31   81  























 

















































































 



















M  =   = 100

 

 

M  = 10011 (mod 319) = 265 



















































d

 











• •

















































































 







 





































 































































































11 ∗ d =  d  = 1 (mod 280)

 



 



























































e

 



 











 











d = 51

 

 

51 = (280 (280//11) ∗  2

 



































 

 

d = 11 1 (mod 280)   d = 11φ(280) 1 (mod 280) = (7..5.8) 1 (6..4.4) 1 11φ(7 (mod 280) = 11(6 (mod 280) = 1195 (mod 280) = 1164+16+8+4+2+1 (mod 280) = 81. 81.81 81..121 121..81 81..121 121..11 = 81. 81.11 = (m (mod od 280 280)) = 51 (mod 280) 280)

•





















 



−





















−

 



−







 

−

 

M  = 133 























































 









 





 







133 (mod 319) 625 















































































































































 































 





 













13351 (mod 319)

 





























 



















 























 

13325 =

133 ∗ 133 ∗ 133 (mod 319) = 12

 





































































 

 





























































































 

 





















































































































































































 



































 







































 



 



 





























 

 















 





































































 































































































































































































 









































































































































































































 





































 









 











































 

 



































































 



 













 





















 

 

 

m   = 123 mod 33

 

 





 

 

122 = 12[ 12[33] 33] 

(xeS mod mod   nS )dP  mod   nP  y   (yeP  mod mod   nP )dS mod mod   nS  3 7 7 (23 mod mod55) 55) mod 33 = (12 mod 33) = 12 





φ(55) = 40   27 27..3 = 81 = 1 mod 4400 φ(33) = 20   7.3 = 21 = 1 mod 2200







































































































 























































mod 33 















 





































































































































































































 









 

















 



 















 

 

 

 





 





 

m   = 12

 

 









 



































































































































































 

















































































 











(n, e)

 



 







e  = 3

 































 

































































































































































































































































 









 



 

 







































































































x

 









































































a

 



 























 

 





 









 







 











 







 







 











 



 

 

 



 

 









 









1/k





 

























 



















 









e (nW , 3)   (nJ , 3)   (nA , 3) 0  ≤  x <   nW , nJ , nA x3 mod mod   nW    x3 mod mod   nJ    x3







O (log2 (nA + nJ  + nW ))   nW , nJ , nA





x









 



























































 



















a   k O(log2 a)

 



















 



 



 











































 

 



C   =  x 3

 





































nW .nJ .nA

 











 



 

 































R   x  = C   =  C 1/3

 



























 

 























eA













































0  < r < n A

 





mod   nA mod

 











































y   x.c   mod mod   nA

 



























c = m  =  m

 

















x<

 















































































x x

























































 







































 







n

 















 











3

















C   =  x













 

































































 























































































 









































































































































 













mod   nA mod 



































































































































































































































 







 



























 













 









c 



































































c

 













x   r eA mod mod   nA

 





 



























 

 

 

 









y

 

































 



































 

u   =   y dA

 

mod   nA mod 



u.r 













1















mod   nA mod

−

















 

cdA (xdA



































































































m

 













































 

 

mod   nA   =   cdA xdA r 1 mod   nA   = mod   nA   =   y dA .r 1 mod mod  mod   nA )r 1 mod mod mod   nA  = c  =  cdA rr 1 mod mod   nA   =  c dA mod mod   nA  = m  =  m 1 mod   nA mod u.r   O(log2 nA ) m 











u.r

 

1

−

−

−

−

−

 

−



































































 





















































 











































































 

 



























































 

 













































































 

 











































































































































































 

































n

 







 







































































eB







































































m

 







 



























eA   eB

 

mod   nB mod

 



















































 

















 





























 











































































































re A + se  +  seB   = 1

 









 

 





eA   eB

(eA , eB , n)   (cA , cB )

 











r   s

 







 

































































































































































































 

n

 

































 







 





























 



 





 























 





n

 



































 



 

 













 

crA .csB   mod mod   n  = m  =  m r.eA +s.eB mod mod   n  =

 





 





m

 

m 



























































 















mod   nA   cB   =   m mod  m

 







































eA





































































































 





















cA   =   m











 

























































 









































































(eA , dA )   (eB , dB )

 























































































 

 













b

































 





































































 





















 











 







 







 





 













































a

 





















































































 



























































 p

 















































=0 a  

 





























































a

 











 



x   y y ) = 0 mo d   p mod   p mod   



 



 



































 



























 















































 









n

 

















 













p

 











Z/nZ

 



















































































 



























 





 



 

































 















 

b

 

 





 









































n  = p.q   =  p.q 

 

 

 









a

 







 













 

























p

 



 



















 



































x   y   =  p  − x

 



 

  a   p   q  x1   n − x1   x2   n − x2







 





 









 









 















 

 



 



 























 









 



 









































p−1 2

 



























 

















Z/nZ

 

  









g 2i





















 



































1[ 1[qq ]

+ v j .p.p 





















 









































































 























p

 

























 













q 

 



 



 











 











 

 















mod mod   p   mod mod   q  u1   =   u   u2   =   p  −  u







 







 















 

























1  ≤  i, j  ≤  2

 











q 

 































 



 













mod   n mod







 







mod   n a   mod  





 

 



 





−































a  = x  =  x 2 =  y 2 mod mod   p   x2 − y 2 = (x − y)(  y )(x x + Z/pZ   p   x  −  y   =  0 x + y  + y   = 0 mod od   p   y  = p  =  p  − x



















 









 



 





 















































































a

 













 

 



 





 

 

























 

x1   n − x1   x2  

 

 











g   =  x 











1[ p]  p]



 

















g

 















 p 



n − x2

 









 





 





 

v1   =   v   v2   =   q   −  v

 

n   ui .q.q  













a  ≡  x 2 mod mod   p

 







−







 





 



a  = 0 mod od   p   a  p



(b − x)  x)2 =  b 2 − 2  2bx bx +  + x  x2 =  x 2 =  a   mod mod   b

 







 

 





(b − x)  x)2 ≡  a   mod mod   b

 





(Z/pZ , ×)

 

a  = x  =  x 2 + kpq  



 







Z/nZ

 

 

 









 















 















x2 ≡  a   mod mod   b

 













 



 























q 



























 





 



















a   =0   x ≡  a   mod   b. x   a  p   q 











2

















































 

 





























 







































 





















a   b   x

 















































(Z/pZ , .)    p 1 g = 1 mod od   p   g p−  p 1 g   =  − 1   x =  −1   = 1   p   =2 x   Z/pZ   g

 























 



















































 





1









  













































x

 

−









2 



 























2

 





















 































 



























 

















 







 













 























































































 



















 











x  = g  =  g i







  g 2i p− g i+   =  −x  = p  =  p  − x 















 















1



 

2

 

 

p−1 2

 

 

 



 



 p









−

 

 

 

  































































































































































































































 





















 























































 



























 



























































































 







 









 



 





































 



















n

 















































































 

















































 













 









































 











































































































































 































 























Z/nZ

 







 



























 

 











































































































 

p

 

















 





 

( p+1)(  p+1)(qq +1) 4

 













































































 



 



































































x1   x2

 



 















 



 

 



























u.v  ≡   0 mod   n

 





 





























































 











































































 



































 



 



















 

















 

































(x) =   x2 mod mod   n



n

 

 



 







 

 

 





































































 

















 











 

















 



 



 











































O(t )

 



 







 















 

 

 













 





















 





















 























 



 

 

























 

2

O(t log t log log log log t)

 





 





















 



 





































































 p  p   q 























 





























 































1+ O (t1+ )

 

































a

 



























 

















 

























































































































 

 







 



 

 













 

















n   =   pq 

 

























































































 



 

 





















































































a   mod mod   p

 





























































































































































 

















































































x2 mod mod   n

 



























mod   n mod

















































































































 

















u.v = u.v  = x  x 21 −  x22   =  a 2 − a2 = 0 mod od   n

 

















 

n

2









 







 











 

 







 









n



 



n

1  ≤  u,  u, v < n   u   v



























 





















a
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