TD2 Cinématique Du Solide (2022)

 

E.S.GE –  SA 2022 TD2 : Cinématique du solide

Mécanique du solide

M. Chaambane Mohamed L1 : Électromécanique

TD N0 2 : CINEMATIQUE DU SOLIDE

Ecole Supérieure de Génies

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Mécanique du solide

Exercice 1 (Mouvement d’un vérin)

M. Chaambane Mohamed L1 : Électromécanique

(,⃗(⃗,⃗,⃗,⃗)) (,⃗ ,⃗,⃗)

(,⃗ ,⃗,⃗) ⃗  = ( ,⃗)   =    +   = ( + + )⃗ , 

 deux repères liés respectivement aux solides 1  et  un repère lié au bâti 0. Soient Soit et 2. Un vérin { corps 1+ tige 2} se déplace dans le plan . Le corps 1 a un mouvement de rota tion d’axe (O  par rapport . Le tige 2 a un mouvement de translation rectiligne de direction  par rapport au corps 1. On pose au bâti 0. On pose  varie mais b reste fixe.

 

,⃗)

⃗

1.  Réaliser une figure plane illustrant le paramètre d’orientation. En déduire sous la figure, le vecteur taux de rotation. . Que dire des bases 1 et 2 ? En déduire

Ω  /

 

 

∈/  ∈/ ∈/ ∈/∈/ ∈/

;  et 2. 3.  Déterminer Déterminer les trajectoires

 ;

.

 et

.

 NB : Pour déterminer une trajectoire, il faut s’intéresser à la nature du mouvement en présence… 

Exercice 2 (Torseur cinématique)

(,⃗ ,⃗,⃗)

(,⃗ ,⃗,⃗) (,⃗ ,⃗,⃗) (⃗ ,⃗ )   ⃗,)   (  = ⃗  ,⃗)  = ⃗   ,⃗) ⃗   =  

 deux repères liés  et  un repère lié au bâti 0. Soient Soit   respectivement aux solides 1 et 2. Les deux bras 1 et 2 d’un robot de déplacent dans le plan Le bras 1 a un mouvement de rotation d’axe (O  par rapport au bâti 0. On pose . et Le bras 2 a un mouvement de rotation d’axe (A  par rapport au bras 1. On pose . L’extrémité B du bras 2 est telle que  (a et b sont des constantes).

 = (⃗ ,⃗)

1.  Réaliser des figures planes illustrant les 2 paramètres d’orienta tion. En déduire sous chaque figure, le vecteur rotation traduisant la figure. 2.  Déterminer le torseur cinématique .  et ,  ; 3.  Déterminer

∈/  ∈/  ∈/ ∈/

Exercice 12 (Bras d’un robot)

On considère le système de pendule double composé de deux tiges. La tige ti ge 1 est articulée au bâti (0) au point . Les deux tiges sont de longueurs identiques . Le bâti (0) est lié au repère . La tige (1) est lié au repère  et la tige (2) est liée au repère .

  (,⃗ ,⃗(,,⃗⃗),⃗ , ⃗ ) (,⃗ ,⃗, ⃗)      (  ∈ 1⁄0);  ( ∈ 2⁄1) ⃗(  ∈ 1⁄0) ⃗( ∈ 2⁄0)  (  ∈ 1⁄0);  ( ∈ 2⁄1)

1.  Déterminer par dérivation (méthode directe) :  ;  ;   2.  Déterminer par la méthode de champ des vecteurs vitesses : . 3.  Déterminer les torseurs cinématique suivants :  ;  ;  ; . 4.  Déterminer par la méthode de composition de mouvement : .

℧(1 ) ⁄1   ℧(2⁄1    (  ∈⁄0 2⁄0);℧(1 (⁄0 ∈2⁄0℧(2

Exercice 12 (Composition des vitesses  –  Torseur  Torseur cinématique)

Le système étudié est un robot industriel destiné à la manutention de pièces lourdes. Ce robot a une structure en parallélogramme déformable qui lui permet de déplacer son poignet dans l’aire de travail. On associe à chaque solide i une base orthonormée directe ). Le mouvement de 1/0 est une rotation d’axe ; on pose (A, ) ;     Le mouvement de 2/0 est une rotation d’axe ; on pose (A, ) ; Le mouvement de 1/3 est une rotation d’axe ; tel que (B, ) tel que   Le mouvement de 2/4 est une rotation d’axe ; tel que (E, ) tel que   Le mouvement de 3/4 est une rotation d’axe ; tel que (C, ) tel que      et Par ailleurs :

   = ⃗   = ⃗ 

⃗ (⃗,=⃗ (,⃗⃗ ,⃗ ) ⃗  = (⃗,⃗)⃗ ⃗   = ⃗  ⃗   = ⃗  ⃗  =  4

Les mouvements du robot sont commandés par 2 moteurs :   Le solide 1 a son mouvement de rotation commandé par un moteur 

 



Le solide 2 a son mouvement de rotation commandé par un moteur Ecole Supérieure de Génies

 

 tel que :  tel que :

 ∈ [ ; ]  ∈ [− 4 ; 4]  .

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   4  ∈⁄  == 0⁄3

1.  Selon la structure en parallélogramme, que peut-on dire sur les bases définissant les 2 paramètres d’orientation. 2.  Déterminer le torseur cinématique de chaque mouvement élémentaire. 3.  En déduire les torseurs cinématiques de 4.  Déterminer la trajectoire 5.  Déterminer la trajectoire

∈⁄ ∈⁄

{℧4⁄  } {℧⁄  } 

,

 ,

  et

 et  . En déduire le vecteur vitesse vitesse lorsque le moteur  est à l’arrêt et : .  lorsque le moteur M1 est à l’arrêt et  

 ? En déduire les 2 figures planes

.

Exercice 4 (Vitesse de glissement) On considère le disque D homogène, de centre G, de rayon a et de masse m, astreint à se déplacer sur l’ axe matériel Ox du plan vertical fixe (O, x, y ) d’un repère orthonormé direct . Soit  le repère direct lié au disque. I est le point de contact entre le disque et l’axe Ox. On appelle x(t), y(t), z(t) les coordonnées de G et  paramétrise la rotation propre du disque

(,,) (, , )

()

autour de Oz. On suppose que D roule sans glisser sur s ur l’axe Ox.  

1.  Identifier les variables angulaires d’Euler, et paramétrer le disque . 2.  Calculer la vitesse de glissement et donner la condition de roulement sans glissement. 3.   Nous supposons maintenant maintenant que le disque roule sa sans ns glisser à l’in l’intérieur térieur d’un anne anneau au fixe A de centre O et de rayon rayon R. A chaq ue instant un point I du disque est en contact avec un point de l’anneau. Paramétrer le disque et donner la condition de roulement sans glissement. 4.  Donner la condition de roulement sans glissement dans le cas où le disque roule à l’extérieur de l’anneau.   Exercice 5 (vitesse de glissement) On se propose d’étudier le mouvement d’une bille dans un roulement à billes (voir

(   (,⃗ ,⃗, ⃗ ) ) () ()  Ω  (⁄   ) = ⃗    ⃗() ( )   ()Ω   (⁄   ) = ⃗ ℧(⁄) = Ω  ((⁄⁄))  == ⃗⃗      (,⃗ ,⃗, ⃗ ) ⃗        = ⃗     = ⃗ ù ⃗  = ‖   ‖ (,⃗  =⃗) () ()   ( ∈ ⁄)   ( ∈ ⁄  )    ( ∈ ⁄)   ( ∈ ⁄   ) Ω,, (⁄   () =⁄ Ω )(⁄  )    Ω   figure). Soit  et (bagues) ) de

 un repère fixe lié au bâti

. Les deux cylindre

 sont animés d’un mouvement de rotation autour de l’axe (O,  

. On pose :

 avec , à ce mouvement correspond le torseur cinématique, au

La bille (S) de centre C, animée d’un mouvement plan, roule sans glisser en

 et en

avec avec

 point C : Soit

avec

 un repère tel que

. On pose :

 des inconnues du problème

 ait même direction et même sens que  

 par rapport à  a un mouvement de rotation d’axe La cage Tous les résultat s doivent être exprimés dans le repère . 1.  En utilisant la loi de d e distribution des vitesses, déterminer les vitesses : Exprimer la condition de roulement r oulement sans glissement en . . et et : 2.  Déterminer les vitesses : : Exprimer la condition de roulement sans glissement en . 3.  Déduire de ce qui précédé les expressions de  en fonction de 4.  Déterminer la vitesse instantanée de rotation . 5.  Déterminer alors la vitesse instantanée de rotation : Ecole Supérieure de Génies

,

.

eett :

.

,  et .  sachant que O et C appartiennent au repère



.

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( )     = 12 ( − )⃗

6.  Déterminer la vitesse de glissement de la bille par rapport à la cage

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 au point A,  

 (  ∈  ⁄)

, tel que :

Exercice 10 (Transformation de mouvement par excentrique)

Le principe, représenté ci-contre, est utilisé pour transformer un mouvement de rotation continu (de l’excentrique 1 par rapport au  bâti (0) en un mouvement de translation alternatif (du poussoir 2 par rapport au bâti 0). Soit  un repère lié au bâti 0 du  un repère lié à l’excentrique 1. Celui-ci est assimilé à un disque de centre C et de rayon . Il est mécanisme. Soit animé d’un mouvement de rotation autour de l’axe ( , ) par rapport au bâti.

(,⃗ ,⃗,⃗)

 = (,⃗ )   = .⃗   ( ∈ 2⁄0)  

(,⃗  ,⃗ ,⃗)

  ⃗ (,⃗  ,⃗ ,⃗)  ( ⃗∈ 2⁄1)



2. Celui un repère  par lié aurapport poussoir  avecement de translation . Soit suivant la direction Posons ci est animé d’un mouv au bâti. . 1.  Déterminer le vecteur vitesse de glissement au point I : En déduire sa valeur maximale. . 2.  Déterminer 3.  Déterminer le centre instantané de rotation du mouvement de 2 par rapport à 1. 4.  Déterminer la trajectoire de  (point géométrique de contact) dans .

(,⃗  ,⃗ ,⃗)  (,(,⃗⃗ ,⃗,⃗,⃗),⃗)

Rappel : Pour déterminer la trajectoire d’un point géométrique de contact dans un

repère quelconque, on détermine d'abord son vecteur position dans ce repère. 5.  Déterminer la trajectoire de  (point géométrique de contact) dans . 6.  Déterminer la trajectoire de  (point géométrique de contact) dans .

    

Exercice 13 (Robot SCARA (Selective Compliance Articulated Robot Arm) L’étude porte sur l’étude cinématique d’un robot à deux bras (figure jointe). Le bras

1.  2.  3.  4.  5.  6. 

 (,⃗ ,⃗, ⃗) 



 est articulé au bâti  au point O. Le bras . Le bras  est lié au repère  et

 est articulé au bras  au point A. Le bâti  est lié au repère le bras  est lié au repère . On donne

 



  = ⃗, (, =⃗ ,⃗⃗,⃗) .

(,⃗ ,⃗, ⃗)



 (⁄   ) Ω (⁄   ) Ω (⁄   ) Ω  V   (  ∈  ⁄   ) V ( ∈ ⁄  ) V ( ∈ ⁄   )  γ ( ∈ ⁄   )  γ ( ∈ ⁄   )  V   (  ∈  ⁄   ) V ( ∈ ⁄  ) ℧(⁄    ℧(⁄    ℧( ⁄    ℧(⁄    V ( ∈ ⁄   ) V ( ∈ ⁄  )

Déterminer les vecteurs vitesses instantanées de rotation Déterminer par dérivation (méthode directe) : ,  et . Déterminer les accélérations Déterminer par la méthode de champ des vecteurs vitesses :  ; Déterminer les torseurs cinématique suivants : Déterminer par la méthode de composition de mouvement :

,  et

,

.

 

 

,

 et

 ,

,

.

.

Exercice 13 (Mouvement circulaire uniformément varié) Le chariot d’une machine  pour découpage laser atteint la vitesse de 10 cm/s en 2 secondes. Le chariot évolue à vitesse constante  pendant 8 secondes puis s’arrête en l’espace de 12,5 cm. cm. Les accélérations et décélérations sont supposées constantes.

1.  Déterminer les équations de mouvement pour chacune des trois phases. 2.  Tracer les graphes des accélérations, des vitesses et des positions.

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