TD17 Onde Electromagnetique Dans Le Vide-Corrige

 

MP – Physique-chimie. Travaux dirigés

 

Onde électromagnétique dans le vide vide - corrigé

On considère un champ électrique d’une onde électromagnétique de la forme suivante : 0 

 E = E0 cos

π y

α E0 sin

cos ( ωt − kz )

a π y a

 

cos ( ωt − kz + ϕ )

1- À partir de l’équation de Maxwell-Gauss Maxwell-Gauss et de l’équation l’équation de propagation du champ, détermine déterminerr α , ϕ   et k  en  en fonction de ω , a et de la vitesse c0  de propagation des ondes électromagnétiques électromagnétiques dans le vide. 

Équation de Maxwell-Gauss : div E = 

div E = − E0 sin En posant

∂ E  x ∂  E     y ∂E  +   + z = 0, ∀ { x, y, z, t }   ∂ x ∂y ∂z

π y  π  c o s ω − − α s i n ω − + ϕ t kz k t kz ( ) ( )    a a 

u = ωt − kz , la condition



nécessaire div E   = 0  s’écrit donc

π a

cos u = k α sin ( u + ϕ )  

Deux fonctions harmoniques de la même variable ne peuvent égale quel que soit u que si elles ont même amplitude et même phase, soit : α =

π

π

 et ϕ = − . Le champ électrique s’écrit donc : ka 2

0 

 E = E0 cos  E0  Remarque : Les valeurs α = −

π

π ka

π y a

si n

cos ( ωt − kz )   π y a

sin ( ωt − kz )

π

 et ϕ = +  correspondent à la même solution. 2 ka

  E  x = 0   ∂ 2 E y ∂ 2 E y ∂ 2 E y 1 ∂ 2 E y  L’équation de propagation s’écrit : ∀{ x, y, z , t} E  y = 2 + 2 + 2 − 2 2 = 0   ∂ x ∂y ∂z c ∂t    ∂ 2 E z ∂ 2 Ez ∂ 2 Ez 1 ∂ 2 E z   E  z = ∂ x 2 + ∂y 2 + ∂z 2 − c 2 ∂t 2 = 0 

Chacune des deux équations d’Alembertiennes donne la même condition : 2 2  π2 ω2 2 ω  2 π  E y =  − 2 − k + 2  E y = 0 ∀{ x, y , z, t} ⇒  2 = k  + 2   c0  c0 a  a 2  2 π2 ω2  ω2 2 π  E z =  −k − 2 + 2  Ez = 0 ∀{ x, y , z, t} ⇒  2 = k  + 2   a c0  c0 a 

Jean Le Hir, 9 décembre 2007

Page 1 sur 3

 

LYCÉE DE KERICHEN

MP-Physique-chimie

2

Cette relation ω =

k 2c02

+

π2c02 a2

Travaux dirigés

  s’appelle « relation de dispersion ». Elle impose une condition

absolue sur la pulsation ω, il existe une pulsation de coupure ωc . En posant ωc = πc0 a   , cette condition s’écrit : ω > ωc . 

2- À partir de l’équation l’équation de Ma Maxwell-Faraday, xwell-Faraday, dé déterminer terminer le cha champ mp magnétique  B  associé à ce champ électrique dans cette onde électromagnétique et vérifier que ce champ satisfait bien aux autres équations de Maxwell qui le concernent. L’équation de Maxwell-Faraday s’écrit :  ∂   E        ∂ x    x   0   0                     ∂    ∂  E   ∂ ∂  E ∂ B rot E =   ∧  E y  =   ∧  E y  =   z −  y  ex = − , ∀{ x, y, z, t }   ∂z  ∂ t   ∂ y     ∂y       ∂y         ∂   ∂    ∂ z   E z   ∂z   E z     

Le champ d’induction magnétique n’a donc de composante non nulle que sur  x et l’on obtient cette composante en intégrant par rapport au temps. ∂ B x = −  ∂ E z +  ∂E  y   =  − E0   π2 + k 2  cos πy sin ( ωt − kz ) = − E 0ω2 cos πy sin ( ωt − kz )     2 ∂t ∂y ∂z k  a2 a a kc0  

et donc  B =

 E 0ω    πy kc02

cos

a



cos ( ωt −  kz ) ex  

Il serait possible d’y ajouter une constante magnétostatique, mais seule nous intéresse ici le champ propagatif, fonction du temps. 3- Proposer une représentation spatiale de cette onde électromagnétique. Comment peut-on nommer une telle onde ?  x  Note  : La représentation spatiale d’une telle onde ne  pourrait en aucun cas être demandée en temps limité   B et sans outil informatique adéquat.  E  Le schéma ci-contre est obtenu à l’aide du logiciel de calcul formel Maple. L’onde est harmonique et propagative selon  z dans le  y sens  z > 0 , mais il ne s’agit pas d’une onde plane puisque l’amplitude des champs n’est pas identique en tout point d’un plan orthogonal à la direction de propagation. Le champ d’induction magnétique est transverse, mais ce n’est pas le cas pour le champ  z électrique pour lequel il existe une composante vibratoire longitudinale. Tout ceci est caractéristique d’une onde guidée. Il existe des nœuds de vibration pour le champ d’induction magnétique pour les valeurs  y =

a

2

+ na, n ∈   : l’onde présente un caractère de stationnarité dans la direction  y.

JLH 09/12/2007

Page 2 sur 3

 

LYCÉE DE KERICHEN

MP-Physique-chimie

Travaux dirigés

 Remarque :

Nous rencontrons le même type d’onde dans le cas de la propagation guidée entre deux plans métalliques, mais alors c’est le champ électrique qui est transverse et le champ magnétique qui présente une composante longitudinale. 4- Déterminer le vecteur de Poynting de cette onde. Se produit-il une propagation d’énergie ? 



Le vecteur de Poynting a pour expression Π =  E  ∧ 











 B

µ0

 



Avec  E = E y ey + Ez ez  et  B = B x ex , cela donne :

 E z Bx   E y Bx  Π = µ e y − µ ez   0

0

   ε 0 E 02ω   π   2πy Π = s i n sin ( 2ωt − 2kz )   y k 4 k a a     Soit : Π = Π y e y + Π z ez  avec  2    ε 0 E 02ω      πy  cos ( ωt − kz )   cos  Π z = k a   

comp co mpos osan ante te tr tran ansv sver ersa sale le

  composante longitudinale

La composante transversale Π y  est de valeur moyenne nulle dans le temps et ne correspond donc à aucun transfert d’énergie. La composante longitudinale Π z  est de valeur moyenne positive : il lui est associé une propagation d’énergie électromagnétique dans la direction et le sens de la propagation. 2

ε 0 E 02ω      πy   Π = Π z t  ez = cos  ez   t  2k  a  



Cette propagation de fait à une vitesse égale à la vitesse de groupe vg   inférieure à la vitesse de propagation des ondes électromagnétiques planes dans le vide : vg =

dω dk

=

d  

 

dk 

k 2c02

π2 c02  c02 c02 k c0 + 2 = = = < c0   2  v   ω a π  ϕ 1+ 2 2 a k 

JLH 09/12/2007

Page 3 sur 3