TD-text méthode des éléments finis appliquée à la RDM

Méthode des Éléments Finis

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TD MEEFI 2013 Déroulement de l'enseignement Tous les supports nécessaires sont sur le site : https://pedagogie.ec-nantes.fr/meefi/meef/meef.htm à vous de les utiliser TD1 : Formulation variationnelle d'un Pb de thermique, EF 1D TA : Étudiez les supports sur les TREILLIS TD2 : Étude d'une colonne, l'élément fini barre. TA : Rédigez l'exercice TR8 (à rendre au TD5) TD3 : Étude d'une poutre en flexion TA : Étudiez les supports sur les EDP TD4 : Étude de la combustion dans une cheminée TA : Étudiez les supports sur Méthodes NUM TD5 (en salle info) : Étude d'un treillis avec MEFLAB Rendre l'exercice TR8 TD6 (en salle info) : Techniques numériques T3 – Q4 (intégration num) TA : Étudiez les supports sur la modélisation EF Cours de Grégory Legrain & Nicolas Chevaugeon 12h de TP
3 modules de 4h en salle info (Sem 48 à 50) 2h initiation au code EF (SAMCEF), création & analyse d’un modèle EF 10h projet, rapport à rendre à la fin de la dernière séance

Évaluation PROJET
note de TP (coef 4) La note de TP sera pondérée par le travail en autonomie Bon travail : +2, Travail Moyen : 0 , Travail médiocre :-2, Travail non rendu :-5 Toute absence non excusée au près de l'enseignant : -1 EXAMEN Sans documents
note de DS (coef 7)

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TD 1 : Exercice IV-2 "problème de thermique" proposé sur le site Thème : Utiliser la formulation variationnelle et une approximation EF 1D sur un problème de physique. On considère un problème stationnaire de conduction thermique. Les équations pour un milieu isotrope

Ω de

frontière ∂Ω sont : (P) et


dans Ω divq − r = 0 



sur ∂ 2 Ω avec le vecteur flux de chaleur q = −λ grad T dans Ω  q.next = Φ d T =T sur ∂ 1Ω d  r une source interne de production de chaleur, Td température imposée sur sa frontière ∂ 1Ω , Φ d un flux de chaleur imposé sur son bord ∂ 2 Ω

1 Montrer que le problème (P) est équivalent à la formulation variationnelle suivante :





∫ (λ gradT .gradδ T − rδ T ) dV + ∫ Φ d δ TdS = 0

Ω

Avec

∀δ T tel que δ T = 0 sur ∂ 1Ω

∂Ω

T = Td sur ∂ 1Ω (thermiquement admissible) On rappelle que

( )






div α f = α divf + f . gradα et ∫ divf

dV =

∫



f .next dS .

∂Ω

Ω

Formulation unidimensionnelle Pour étudier le transfert de chaleur dans un mur de hauteur infinie, on étudie le problème unidimensionnel où la température ne dépend plus que d’un paramètre spatial x .

r (x )

Φd

Td x =l/2

x = −l / 2

On considère le domaine représenté sur la figure ci-contre Identifier les domaines : Ω , ∂ 1Ω et ∂ 2 Ω . 2 Montrer que, dans ce cas, la formulation précédente se réduit à : l/2 dT d (δ T ) ∫ λ dx dx dx = ∫ r ( x) δ Tdx + Φ d δ T −l / 2 −l / 2 l/2

x= −

l 2

Préciser les conditions à satisfaire pour établir cette équation. 3 On considère un élément fini linéaire à deux nœuds i et j de longueur L’approximation de la température sur cet élément est alors : Montrer que les fonctions d’interpolation linéaires sont :

le .

T ( x ) = Tiϕi ( x ) + T j ϕ j ( x ) 1 2

ϕi ( x ) = −

x 1 x et ϕ j ( x ) = + . le 2 le

4 Discrétiser la formulation précédente et calculer : La matrice raideur

[K ] ;

{Fr } dû à une production uniforme de chaleur r ( x) = r0 Le vecteur flux généralisé { Fd } dû à un flux imposé Φ d au nœud i de l’élément. Le vecteur flux généralisé

sur l’élément ;

5 En utilisant cet élément fini, résoudre le problème présenté sur la figure suivante.

Φd

1

2

3

Td = 0

Il n’y a pas de source de chaleur, l’élément (1-2) est de longueur l et a pour conductivité thermique λ , l’élément (2-3) est de longueur l / 3 et a pour conductivité thermique 2λ . 6 Déterminer la répartition de température dans les éléments, et calculer le flux de chaleur inconnu au point 3. TA : Étudiez les supports sur les TREILLIS

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TD 2 : Exercice II-5 proposé sur le site Thème : Cet exercice permet d'illustrer la notion d'approximation et d'erreur de modélisation sur un calcul simple Intéressons-nous à la réponse statique sous son poids propre de la colonne cylindrique représentée par la figure ci-contre.

x
o
xo S1


g

Elle est constituée de trois éléments de même hauteur h, de section S, 2S et 3S. Proposer le modèle éléments finis le plus simple possible, exprimer la matrice raideur et le vecteur force généralisée de ce modèle. Calculer la réponse statique, en déduire les contraintes dans chaque élément. Comparer à la solution analytique, que pensez-vous de votre solution ?

S2

S3

Que faut-il envisager pour améliorer ce modèle ? TA : Rédigez l'exercice TR8 que vous trouverez sur le site (à rendre au TD5) Dans cet exercice il n’est pas utile de mener les calculs analytiques jusqu’au bout, il est conseillé de passer au calcul numérique pour donner l’expression de la matrice raideur assemblée, et de terminer les calculs numériquement.

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TD 3 : Problème de flexion Thème : sujet du DS de 2011 - 2012 L’objectif de l’étude est de comparer différentes approximations du problème de flexion représenté sur la figure suivante.


yo

ℓ


xo

B

A

f

k C





Figure 1 : représentation du problème dans le plan ( xo , yo ) Nous retiendrons le modèle des poutres longues de Bernoulli pour écrire les équations de ce problème. Les hypothèses, notations et équations de ce modèle sont rappelées en Annexe. I Équations différentielles du problème (sur 2) I-1 Les conditions aux limites en efforts de ce problème sont :

 EIv, x 2 (0, t ) = 0 avec v ( x , t ) flèche  EIv 3 ( ℓ , t ) − kv ( ℓ , t ) = 0  , x

Justifier ces deux relations I-2 Écrire les conditions aux limites sur les déplacements : Appui simple en A, la flèche est bloquée. Contact parfait plan sur plan en B, la rotation est bloquée. I-3 En déduire le système d’équations différentielles de ce problème. I-4 Montrer que

ϕ 1 ( x ) = x(2ℓ − x) sont deux fonctions de forme cinématiquement admissibles  2 ϕ 2 ( x ) = x (3ℓ − 2 x)

II Formulation variationnelle du problème (sur 4) II-1 Écrire la première forme variationnelle du problème, en notant

P ( x ) la fonction de pondération.

II-2 Effectuez deux intégrations par parties successives du terme en

EIv,x4

Quelles conditions aux limites apparaissent lors de la première Intégration ? Lors de la seconde ? II-3 Montrer que pour des fonctions de pondérations cinématiquement admissibles la forme intégrale se réduit à : ℓ

∀δ PCA

ℓ

ℓ

∫ δ P ρ Svɺɺ dx + ∫ δ P, x EIv, x dx = ∫ δ Pf dx − δ P (ℓ) kv(ℓ ) 2

0

0

2

0

Montrer que cette forme intégrale correspond au principe des travaux virtuels : vous pouvez poser Donner la signification de chaque terme Et compléter par le travail des efforts de liaison pour un champ virtuel quelconque.

δ P = δv

III Approximation générale de type Galerkin (sur 7) 2

Soit une approximation générale de la forme

v ( x , t ) =< ϕ ( x ) > {q (t )} = ∑ ϕi ( x ) qi ( t ) i =1

avec les deux fonctions de forme cinématiquement admissibles définies précédemment. III-1 Peut-on appliquer la méthode de Galerkin1 (Justifier vos réponses) À la première forme variationnelle du problème ? À la formulation faible donnée en II-3 ?

1

La méthode de Galerkin consiste à utiliser les mêmes fonctions pour l’approximation et la pondération.

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[ M ]{qɺɺ} + [ K ]{q} = {F }

III-2 La forme matricielle du problème discrétisé étant :

Exprimer les coefficients des matrices (2*2) en fonction des intégrales des Exprimer les coefficients de

{F } en fonction de

ϕi et de leurs dérivées. Ne pas calculer les intégrales

f supposée uniforme, et ℓ Calculer les intégrales

III-3 Pour une approximation à un paramètre, avec

k =4

EI ℓ3

Calculer la déformée statique et le moment de flexion sous l’effet du poids propre. en fonction de Calculer la rotation en A et la flèche en B.

mg = ρ gS ℓ et EI

IV Approximation de type éléments finis (sur 7)


yo v1

θ1 1


g

θ2 v2

ℓ


xo

2

v3

k

La poutre est modélisée par un seul élément fini poutre2, le ressort est assimilé à un élément barre qui travaille en traction compression avec une raideur k = ES / ℓ La discrétisation du problème est donnée par la figure ci-contre. Les variables nodales sont :

3

X T =< v1 θ1 v2 θ 2

v3 >

IV-1 Écrire les conditions aux limites cinématiques de ce problème. Préciser les efforts inconnus de ce modèle. En déduire la taille du système matriciel réduit à résoudre IV-2 Assemblez les matrices élémentaires des deux éléments. En déduire l’expression de la matrice raideur réduite pour

k = 4 EI / ℓ3

IV-3 Exprimer le vecteur force généralisée dû au poids propre de la poutre. IV-4 Calculer la réponse statique de la structure sous son poids. Comparer cette solution à celle obtenue en III-3

(analyse des résultats)

IV-5 Calculer les efforts inconnus aux appuis, que vérifient ces résultats ? IV-6 Donner l’approximation du moment de flexion sur l’élément poutre

(analyse du résultat)

IV-7 Que proposez-vous pour améliorer le modèle ? TA : Étudiez les supports sur les EDP, et préparer le TD 4

2

L’approximation et les matrices élémentaires de l’élément poutre standard sont données en annexe

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TD 4 : Exercice EDP-4 : Combustion dans une cheminée Thème : FV et Approximation EF d'un problème de diffusion dans une cheminée On se propose de modéliser l’évolution de la concentration d’un produit polluant combustible dans une cheminée d’usine. Les notations utilisées sont les suivantes : C concentration : Nombre de particules polluantes par unité de volume




φ

flux des particules

D coefficient de diffusion dans la cheminée a coefficient d’absorption du filtre
V vitesse de déplacement des particules dans la cheminée. La modélisation retenue est la suivante :

Brûleur la combustion impose le flux de produit combustible

Le milieu sera modélisé par un problème monodimensionnel C ( x, t ) (la section est supposée constante) 1

L/3

φ = φD < 0

Filtre de coefficient d’absorption a > 0

En déduire l’expression de l’équation locale sous cette hypothèse

Dans la cheminée la concentration peut être modélisée par




2

Appliquez la méthode des résidus pondérés à cette équation locale et déterminez la formulation variationnelle faisant apparaître les conditions aux limites en flux à la frontière du domaine (en x= 0 et H).

Pour discrétiser la forme variationnelle précédente, nous décidons d’utiliser des éléments finis de type linéaire à deux nœuds, ayant pour variable nodale la concentration C. 3

la loi de Fourier

H

avec


x

:




φ = DgradC


dC div φ − a = dt dC ∂ C

= + V. gradC t dt ∂

a l l oi de b li an

L

C(M,t)

:

ave c


V La concentration est imposée

Réservoir

C = CD

Pour un élément de longueur ℓ : Donner l’expression matricielle de l’approximation nodale et du champ test (pondération). Puis exprimez et calculez les matrices élémentaires suivantes : Matrice de diffusion qui sera noté

[ D]




[V ] caractérisant l’influence de la vitesse V sur la concentration Matrice [ B ] caractérisant le taux de variation de la concentration Vecteur { f a } correspondant à l’absorption. Ces termes correspondent à une équation matricielle de la forme [ D ]{C} + [V ]{C} + [ B ]{Cɺ } = { f a } + {φ } Matrice

Si vous ne l’avez pas fait dans la question 2, préciser comment les conditions aux limites seront introduites dans cette équation. Application en régime stationnaire : 4



V = 0 et Cɺ = 0 .

Pour une discrétisation à deux éléments du modèle de cheminée proposé ci-dessus :

[ D ] assemblée. Exprimer les vecteurs {C} , { f a } et {φ } en tenant conte des conditions aux limites Exprimer la matrice de diffusion

5

En déduire l’équation matricielle permettant de calculer les concentrations (C2 et C3) en entrée et sortie de filtre, ainsi que le flux ( φI ) à la base de la cheminée. Résoudre le système pour exprimer C2 et C3 en fonction de ( D, a, L, φD , CD ), En déduire le flux

6

φI

Attention de ne pas oublier la concentration imposée à la base de la cheminée. à la base de la cheminée en fonction de ( a, L, φD )

Application numérique : Données : CD = 100% milieu saturé, D = 1500 , H = 40 mètres , et Exprimez C2 et C3 en fonction de a. Pour quelle valeur de a la flamme s’éteindra t’elle (concentration nulle en sortie).

φD = −30a

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Pour un filtre de coefficient a = 20% calculez la concentration en sortie. Sachant que le brûleur ne peut brûler en totalité que des mélanges à 50% quelle concentration de produit sera rejetée dans l’atmosphère. Déterminez le coefficient du filtre pour éviter toute pollution. 7

Dans la zone du filtre comment évolue la concentration réelle ? Que pensez-vous de la discrétisation proposée ? Comment améliorer les résultats ? Est-ce nécessaire en statique ?

En régime stationnaire avec une vitesse


V non nulle, quelle est la nouvelle expression de la matrice à inverser. S’il

vous reste du temps résolvez ce problème avec une vitesse de 10m/s, cette question est facultative. Remarque : les valeurs numériques données ne correspondent à aucune cheminée réelle, elles ont été choisies pour simplifier vos calculs.

TA : Étudiez les supports sur Méthodes NUM, lire (et si vous le souhaitez imprimer) le document qui détaille et explique comment utiliser ces scripts MEFLAB, vous en aurez besoin pour le prochain TD.

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TD 5 (en salle informatique) : MEFLAB Thème : utilisation de MEFLAB pour traiter un problème de treillis MEFLAB est un ensemble de scripts3 MATLAB permettant d’illustrer les différents chapitres du cours éléments finis, cet ensemble est ouvert et évolutif. Vous pourrez, à partir de l’étude des scripts proposés, développer vos propres scripts pour d’autres problèmes, que ceux abordés dans le cadre de ce cours. Télécharger le dossier compressé des scripts pour utiliser MEFLAB Étudier le document qui détaille et explique comment utiliser les scripts Effectuez la mise en données de la structure TR8 de l'exercice que vous avez préparé. 2m

3m

Intérêt : cette structure nécessite 2 groupes de propriétés mécaniques


yo

S1 = 49cm 2


xo

S1 = 49cm2

1.5 m

S 2 = 25cm 2

Chargement 1 : F uniquement Chargement 2 : Poids propre

g = 9.81 m/s2

ρ = 7800 Kg / m3 F=950KN

Pour allez plus loin écrivez le script permettant d'afficher les résultats du chargement 2 (conditions à vide) puis d'y ajouter le chargement 1 (conditions normales) et les conditions extrêmes : poids propres plus F= 1425KN de chargement. En fin de séance rendre les résultats de vos simulations numériques avec la partie théorique rédigée en TA (TR8) TA : Étudiez les supports sur Méthodes NUM et les éléments T3 et Q4 de MEFLAB pour préparer le prochain TD.

3

Fichier M-file « nom.m », contenant une séquence d’instructions MATLAB qui sera exécutée en tapant « nom » dans la fenêtre de commande de MATLAB

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TD - pg 10

TD 6 (en salle informatique) : Élément Q4 en contraintes planes Thème : Intégration numérique et utilisation de MEFLAB Soit l'élément de référence quadrilatère à quatre nœuds de type Q4 Quel est la base polynomiale de l’approximation ? Construisez les fonctions d'approximation nodale. En déduire l’expression de

t 3

4

u   = [ N ( s , t ) ]{U e } v 

[ N ( s , t ) ] telle que : 

s

Pour l'élément Q4 iso-paramétrique, nous utilisons les fonctions d'interpolation pour définir la transformation géométrique. L'élément réel est un quadrilatère à bords droits.
yo 4

τe

t 4

3

1

2

3

e 1

s 1

2 référence

2

x1

x4

x2

x3


xo

élément réel

Transformation géométrique du Q4 Donner l’expression de la matrice Jacobienne de cette transformation géométrique en fonction de s, t et xi,yi
Montrer que dans le cas particulier ou l'élément réel est un rectangle la matrice a yo

1 2a 0  −1 En déduire l’expression de [ J ] Jacobienne est alors : [ J ] =   4  0 2b 

4

3

b 1

e

2

Calculer les dérivées premières par rapport aux coordonnées réelles des fonctions d'interpolation. En déduire l’expression de la matrice

[ B ] en fonction de s et t

Est –il possible de calculer analytiquement la matrice raideur d’un élément rectangulaire ? Analyser le script « Q4_ke » qui utilise l’intégration numérique function [Ke,Fe] = Q4_ke(iel) global Coord Connec Nprop Prop X = Coord(Connec(iel,[1:4]),:); npg = 4; %----- intégration à 4 points de Gauss wg = [1,1,1,1]; %----- poids et position c = 1/sqrt(3); posg = [ -c -c ; c -c ; c c ; -c c ]; E=Prop(Nprop(iel),1); %----- matrice d'élasticité D nu=Prop(Nprop(iel),2); ep=Prop(Nprop(iel),3); if ep > 0 a = 0 ; else a = 1 ; ep = 1; end coef = ep * E * (1-a*nu)/((1+nu)*(1-nu-a*nu)); D = coef * [ 1 nu/(1-a*nu) 0 ;... nu/(1-a*nu) 1 0 ;... 0 0 .5*(1-nu-a*nu)/(1-a*nu)]; ndle = 8; %----- initialisations Ke = zeros(ndle); Fe = zeros(ndle,1); % aire=0 for ipg=1:npg %----- boucle d'integration s = posg(ipg,1); t = posg(ipg,2); poids = wg(ipg); %----- vecteur N = .25*[(1-s)*(1-t) (1+s)*(1-t) (1+s)*(1+t) (1-s)*(1+t)]; %----- matrice [dN/ds ;dN/dt] dN = .25*[-(1-t) (1-t) (1+t) -(1+t) -(1-s) -(1+s) (1+s) (1-s)]; J = dN*Coord(Connec(iel,[1:4]),:); %----- matrice jacobienne detj = J(1,1)*J(2,2)-J(1,2)*J(2,1); J_1 = [J(2,2) -J(1,2); -J(2,1) J(1,1)]/detj ; %----- matrice [dN/dx ;dN/dy] dNx = J_1*dN; B=zeros(3,8); %----- matrice B(3x8) B(1,[1 3 5 7])=dNx(1,:); B(2,[2 4 6 8])=dNx(2,:); B(3,[1 3 5 7,2 4 6 8])=[dNx(2,:),dNx(1,:)]; Ke=Ke+(B'*D*B)*detj*poids; %----- matrice Ke(8x8) fx=Prop(Nprop(iel),4); fy=Prop(Nprop(iel),5); %----- vecteur Fe(8,1) Fe([1 3 5 7],1) = Fe([1 3 5 7],1)+ ep*fx*detj*poids*N'; Fe([2 4 6 8],1) = Fe([2 4 6 8],1)+ ep*fy*detj*poids*N'; end return

TA : Étudiez les supports sur la modélisation EF (préparation du projet)


xo