TD Resumé Asser2013

CLASSES PREPARAT OI RES AU X GRAN DES ECOLES D'I N GEN I EU RS

CEN T RE PRI N CE M Y ABDALLAH SAFI

TRAVAUX DIRIGES D'ASSERVISSEMENTS DES SYSTEMES LINEAIRES CONTINUS INVARIANTS Résumé des cours + Corrigés des TD Chaîne directe

Perturbation

Partie commande Consigne Mise en forme du signal Entrée e(t)

+

-

Ecart ε(t)

Amplificateur ou correcteur

Système dynamique

Actionneur

Sortie s(t)

Chaîne de retour Capteur Partie opérative

2012/ 2013

R.LEMSSOUGUER

F

TD 01 - Systèmes automatiques

A BCAD EFADD B

DB

FDB

E F

B

FB DB A FEFADB

L’étude porte sur un vérin électrique asservi en position qui équipe un simulateur de vol. Un vérin est un mécanisme de transmission de puissance qui permet la transformation du mouvement de rotation de l’arbre moteur en un mouvement de translation sur la tige de sortie. Les principaux composants du vérin étudié sont présentés ci-dessous :

Corps de vérin (0) Tige de vérin (7)

Bâti (0) Capteur (5)

Tige de guidage (0) Système roue (4) et vis sans fin (3)

Ecrou (7)

Vis (3)

Réducteur (2)

Moteur (1) Dynamo tachimétrique (6)

La rotation de la vis (3) est obtenue à partir du motoréducteur (moteur (1) et réducteur (2)). Le moteur est un moteur à courant continu et le réducteur permet d’adapter la vitesse de rotation telle sorte que la vitesse de rotation de la vis ωv soit 20 fois plus petite que la vitesse de rotation du moteur ωm (ωm = 20.ωv). La rotation de la vis (3) est transformée en un mouvement de translation grâce à l’écrou (7), ce qui permet d’obtenir, compte tenu de l’architecture du système, un mouvement de translation. On donne la loi entre le paramètre de translation de sortie xs de l’écrou et le paramètre de rotation de la vis : xs =

θv.pas/(2π). Le capteur (5) prélève la vitesse de rotation de la vis par l’intermédiaire d’un système roue/vis sans fin de rapport de réduction θv/θcapt= 25.

Q.1. Compléter le schéma-bloc fonctionnel de ce système et préciser les unités sous pour chaque grandeur d’entrée et de sortie. 1

F

TD 01 - Systèmes automatiques

xc(t)

ε(t)

uc(t) Adaptateur

Ka

ωv(t)

um(t) Correcteur

+

xs(t)

∫

Kc

-

θv(t)

ucapt(t)

Capteur

Kcapt

A BCAD EFADD B

DB

F

B

EA

D

B

B

(D’après Centrale PSI 2005) Le support de l’étude est le véhicule auto balancé Segway®. Il s’agit d’un moyen de transport motorisé qui permet de se déplacer en ville. En termes de prestations, il est moins rapide qu’une voiture ou qu’un scooter, plus maniable, plus écologique (selon les rédacteurs du sujet), moins encombrant et nettement plus moderne... (mais tout aussi inutile en ville ^^).

La conduite du Segway® se fait par inclinaison du corps vers l’avant ou vers l’arrière, afin d’accélérer ou freiner le mouvement (comme pour la marche à pied dans laquelle le piéton s’incline vers l’avant pour débuter le mouvement). Les virages à droite et à gauche sont quant à eux commandés par la rotation de la poignée directionnelle située sur la droite du guidon. La spécificité de ce véhicule est d’avoir deux roues qui ont le même axe de rotation, avec son centre de gravité situé au dessus de l’axe commun des roues, si bien qu’on se demande comment rester à l’équilibre une fois monté sur la plate-forme. Tout comme le cerveau permet à l’homme de tenir debout sans tomber grâce à l’oreille interne, le système comporte un dispositif d’asservissement d’inclinaison, maintenant la plate forme du véhicule à l’horizontale ou encore la barre d’appui, supposée orthogonale à cette plate forme, à la verticale. Le Segway® comporte à cet effet des capteurs et des microprocesseurs transmettant des consignes aux deux moteurs électriques équipant les deux roues. 2

F

TD 01 - Systèmes automatiques

La chaîne d'action permettant de réguler l'inclinaison du SEGWAY® est réalisée par : • un ensemble amplificateur et motoréducteur qui permet de délivrer un couple Cm (caractérise une action mécanique ayant tendance à entraîner un solide en rotation, unité Newton.mètre) : Cm (t) = Km.u(t) avec u(t) tension de commande • l'ensemble chariot et conducteur. Les équations de comportement dynamique peuvent se d 2 φ (t ) = b.Cm (t) + c. φ (t ) avec φ (t ) = ψ(t) + α(t) où α(t) est l'inclimettre sous la forme : a. dt 2 naison du conducteur par rapport à la barre d'appui. La partie commande est constituée : • d'un comparateur qui élabore le signal écart ε(t) = ψc(t) – ψ(t) où ψ(t) est l'inclinaison du plateau du chariot par rapport à la verticale et ψc(t) est la position angulaire de consigne • d'un correcteur qui adapte l'écart pour commander le système avec la tension w(t) Afin de stabiliser le système, la grandeur de commande du motoréducteur u(t) est élaborée à partir de : • la mesure de la vitesse angulaire par un gyromètre qui fournit la tension uV(t) telle que : d ψ (t ) uV(t) = KV. dt • la mesure de la position angulaire par un pendule qui fournit la tension uP(t) telle que : uP(t) = KP. ψ (t ) Q.1. Compléter le schéma-bloc fonctionnel de ce système. … ε(t)

… +

-

…

φ (t ) -

u(t) +

+

-

ψ(t)

+

uV(t)

…

A BCAD EFADD B

DB

B

FB

B

FD BA EF B

L’étude porte sur un axe linéaire asservi que l’on peut retrouver sur des machines outils à commande numérique.

3

F

TD 01 - Systèmes automatiques

Etude en boucle ouverte Chariot

x(t) θv(t)

θv(t)

Réducteur poulie/courroie

Système vis/écrou θm(t)

Modulateur de tension

ωm(t) Moteur électrique

u(t) um(t)

La commande du modulateur de tension active le moteur électrique qui entraine un réducteur de vitesse à poulie courroie. La rotation de la vis engendre la translation de l’écrou lié au chariot. Q.1. Tracer le schéma-bloc fonctionnel de ce système et définir les données de sortie de chaque bloc. Etude en boucle fermée Chariot

x(t) θv(t)

θv(t)

Réducteur poulie/courroie

Capteur xm(t)

Système vis/écrou θm(t) Calculateur

ωm(t) Moteur électrique

u(t) xc(t)

um(t) Modulateur de tension

4

F

TD 01 - Systèmes automatiques

On rajoute au système précédent un capteur et un calculateur. Le capteur mesure l’angle de rotation de la vis et en informe le calculateur avec la grandeur xm(t). Le calculateur compare cette mesure avec la grandeur de consigne de position xc(t) et élabore un signal de commande en tension, fonction de la différence xc(t) – xm(t), sur le modulateur. Q.2. Tracer le nouveau schéma-bloc fonctionnel de ce système et définir les données de sortie de chaque bloc. (Pour un système vis/écrou la loi entre le paramètre de translation de l’écrou et le paramètre de rotation de la vis est : xm(t)= θvis(t).pas/(2π) ). Q.3. Expliquer en quelques mots pourquoi le bouclage du système apporte à celui une amélioration de ses performances.

A BCAD EFADD B

DB

F

DEB

BDF

B

Vanne xv θv

θE

Engrenage conique de rapport de réduction k

Système vis/écrou de pas p

Potentiomètre d’entrée PE

θM Moteur CC uM

uE Amplificateur différentiel de uS gain A

θs

Potentiomètre de sortie PS

Débit d’entrée qe

Niveau h

Récipient C Débit de sortie qs

Le système représenté ci-dessus est destiné à asservir le niveau h d’un liquide contenu dans un récipient C pour un angle de référence θE réglé par un opérateur. Le niveau h est transformé en un angle θS au moyen d’un flotteur agissant sur le curseur d’un potentiomètre PS (θS / h = Kθ = 1 rad/m). Les deux potentiomètres PE et PS, identiques, transforment les angles d’entrée et de sortie en tensions électriques dont la différence est amplifiée par un amplificateur de gain A. la tension de sortie de l’amplificateur uM est appliquée à l’induit d’un moteur à courant continu dont l’inducteur est alimenté par une tension constante. Ce moteur agit par l’intermédiaire d’un réducteur et d’un système vis/écrou, sur une vanne linéaire qui commande le débit qE du liquide entant dans le récipient C. Le débit de sortie qS est supposé proportionnel au niveau h du liquide.

Q.1. Représenter le schéma-bloc fonctionnel du système asservi.

5

F

TD 01 - Systèmes automatiques

ABCDBA ED

BCDBF EDB B

B

Volume d’eau dans la cuve : v(t) = Surface.h(t)

Fuite Niveau de référence

DB B

Hauteur de liquide

Cuve à fuite

Variation du volume d’eau dans la cuve : d d v(t) = qe(t) – qs(t) soit : S h(t) = qe(t) – qs(t) dt dt Avec :

qe(t) = k2.(θ0(t) – θ(t)) et qs(t) = k1. h(t ) (le fluide s’écoule par gravité, relation de Bernoulli) où k1 k2 sont des constantes. θ0(t) (fixe)

+

qe(t)

Vanne

+

-

h(t)

Cuve -

θ(t) mesuré

Boucle 1 qs(t)

Relation de Bernoulli

Boucle 2 Flotteur

Remarque : la boucle 1 n’est pas une boucle d’asservissement, elle représente la modélisation retenue comme modèle de connaissance de la cuve à fuite. La boucle 2 est par contre une boucle d’asservissement.

AB DF

DB

D E BDAB

AB B

B

Q.1. Unité : m xc(t)

ε(t)

uc(t) Adaptateur

Ka

Unité : V

Unité : V

Unité : V

Unité : rad/s ωm(t)

um(t) Correcteur

+

Kc

-

Unité : rad/s Unité : rad

Moteur (1)

ucapt(t)

ωv(t) Réducteur (2)

Unité : rad

Unité : V

θcapt(t) Capteur

Roue/vis sans fin

Kcapt

6

∫

Unité : m

θv(t) Vis/écrou

xs(t)

F

TD 01 - Systèmes automatiques

F DB

!"B B

AF B

B

Q.1.

α(t)

Cm(t) ε(t)

ψc(t) +

w(t) +

Correcteur

-

u(t) +

-

-

Ampli + motoréducteur

uV(t)

ψ(t)

+

Gyromètre

uP(t)

#DB

φ (t ) -

Chariot + conducteur

Pendule

D E BCDB$ F

ADB

BB

B

Q.1. Etude en boucle ouverte ωm (t)

um(t) u(t)

∫

Moteur CC

Modulateur

θm(t)

θv (t)

x(t) Vis/écrou

Réducteur

Q.2. Etude en boucle fermée u(t) xc(t) +

Calculateur

-

ωm(t)

um(t)

u(t) Modulateur

xm(t) pas 2.π

θm(t)

∫

Moteur CC

θv(t) Vis/écrou

Réducteur

xm(t)

θv(t) Capteur

Q.3. Avantages : + précis car résiste aux perturbations + simple à commander (asservissement de position)

D E

ue(t) θe(t) Potentiomètre PE

D$DA BCDBA ED

θm(t)

um(t) +

Ampli

-

Moteur CC

BB

θv(t) Réducteur

us(t)

B qs(t)

x(t) Système vis/écrou

Potentiomètre PK

qe(t) Vanne

θS(t)

+

-

Relation de Bernoulli

h(t) Cuve

Flotteur

Remarque : la boucle qui comprend le bloc relation de Bernoulli n’est pas une boucle d’asservissement, elle représente la modélisation retenue comme modèle de connaissance de la cuve à fuite. La seconde boucle est par contre une boucle d’asservissement. 7

F

TD 02 - Systèmes automatiques

AB CDAB

EDFB B

DF A B

A ADB

B

Un moteur à courant continu est système Energie mécanique Energie permettant de transformer une énergie électrique Convertir l’énergie électrique électrique en énergie d’entrée en une énergie mécanique de sortie. Pertes (echauffement, mécanique Le moteur courant continu est désormais une frottement,…) technologie supplantée dans beaucoup de domaines mais il s'impose encore dans les très Moteur électrique faibles puissances ou les faibles tensions et il se prête encore très bien à la variation de vitesse avec des technologies électroniques simples et peu onéreuses. Le moteur courant continu permet une régulation précise du couple et sa vitesse de rotation nominale, indépendante de la fréquence du réseau électrique, est aisément adaptable par l’intermédiaire d’un réducteur au reste de la Moteurs à courant continu chaine d’énergie. Le moteur courant continu est en revanche moins robuste que les moteurs asynchrones et beaucoup plus cher, tant en coût matériel qu'en maintenance, car il nécessite un entretien régulier du collecteur et des balais. Principe de fonctionnement du MCC Un moteur courant continu est composé des éléments suivants : • Un inducteur ou stator qui est l’élément du circuit magnétique immobile sur lequel un enroulement est bobiné afin de produire un champ magnétique. • Un induit ou rotor qui correspond à un cylindre en tôles magnétiques isolées entre elles et perpendiculaires à l'axe du cylindre. L'induit est mobile en rotation autour de son axe et est séparé de l'inducteur par un entrefer. A sa périphérie, des conducteurs sont régulièrement répartis. • Un collecteur à balais qui est solidaire de l'induit. Les balais sont fixes, ils frottent sur le collecteur et ainsi alimentent les conducteurs de l'induit. Lorsque l'inducteur est alimenté, il crée un champ magnétique (flux d’excitation) dans l'entrefer, dirigé suivant les rayons de l'induit. Ce champ magnétique « rentre » dans l'induit du côté du pôle Nord de l'inducteur et « sort » de l'induit du côté du pôle Sud de l'inducteur. Quand l'induit est alimenté, ses conducteurs situés sous un même pôle inducteur (d'un même côté des balais) sont parcourus par des courants de même sens et sont donc, d'après la loi de Laplace, soumis à une force. Les conducteurs situés sous l'autre pôle sont soumis à une force de même intensité et de sens opposé. Les deux forces créent un couple qui fait tourner l'induit du moteur.

8

Stator

Rotor

Collecteur à balais

F

TD 02 - Systèmes automatiques

Modèle de connaissance D’un point de vue électrique, le moteur courant continu peut être modélisé comme un système dont l’entrée est la tension de commande de l’induit u(t) et la sortie la vitesse de rotation de l’arbre moteur ωm(t). L’induit est modélisé par une résistance en série avec une inductance et une force contre électromotrice. Les équations qui modélisent le moteur sont les suivantes :

i(t) L

R e(t)

u(t)

ωm(t), Cm(t)

J, f, Cr(t)

u(t) = e(t) + R.i(t)+ L.

d i (t ) dt

(Loi d’Ohm) e(t) = Ke.ωm(t) (Equation de l’électromagnétisme) d ωm (t ) = Cm(t) – Cr(t) – f.ωm(t) dt (Equation de la dynamique de l’arbre moteur) J.

Cm(t) = Kt.i(t) (Equation de l’électromagnétisme)

Avec : u(t) = Tension du moteur e(t) = Force contre électromotrice du moteur i(t) = Intensité dans le moteur Cm(t) = Couple exercé par le moteur Cr(t) = Couple résistant sur l’axe moteur ωm(t) = Vitesse angulaire du moteur R = Valeur de la résistance L = Valeur de l’inductance Ke = Coefficient de la force contre électromotrice J = Inertie équivalente ramenée sur l’arbre moteur f = 0,01 = Paramètre de « frottement fluide » total Kt = Constante de couple

[V] [V] [A] [N.m] [N.m] [rad/s] [ ] [H] [V/(rad/s)] [kg.m²] [N.m.s] [N.m/A]

Q.1. Les conditions initiales étant nulles, exprimer les équations qui modélisent le moteur dans le domaine de Laplace. Q.2. Compléter le schéma-bloc du moteur en s’aidant des équations de la question 1. Cr(p) U(p)

+

+

-

m(p)

La boucle de retour de ce schéma-bloc n’est pas une boucle d’asservissement, elle correspond seulement à la modélisation du MCC

9

F

TD 02 - Systèmes automatiques

AB CDAEBEA E A EB Le système représenté ci contre est chargé de maintenir la température d’une enceinte. Le chauffage est assuré par un échangeur thermique. Une vanne permet de réguler le débit dans l’échangeur. On note α(t) l’angle d’ouverture de la vanne, q(t) le débit dans l’échangeur, θ1(t) la température en sortie de l’échangeur, θ(t) la température de l’enceinte.

Vanne

D

A EB

Echangeur Enceinte

Débit q(t)

T°C θ1(t)

θ(t)

Pompe

On donne les modèles de connaissance qui régissent le système :

• • •

q(t)=k0.α(t) (loi de fonctionnement de la vanne donnant le débit en fonction de l’angle d’ouverture de la vanne). d θ (t ) θ1 (t ) + τ 1. 1 = k1.q (t ) (loi de transfert de chaleur dans l’échangeur). dt d θ (t ) = k2 .θ1 (t ) (loi de transfert de chaleur dans l’enceinte). θ (t ) + τ 2 . dt

On suppose que toutes les conditions initiales sont nulles. L’entrée du système est l’angle d’ouverture de la vanne α(t) et la sortie, la température de l’enceinte θ(t).

Q.1. Traduire dans le domaine de Laplace les équations du modèle de connaissance. En déduire les différents modèles de comportement et les fonctions de transfert associées. Q.2. Représenter le système par un schéma-bloc faisant intervenir les 3 blocs précédemment définis. Afin de réguler la température, on choisit de motoriser la vanne. On installe un capteur dans l’enceinte qui permet de mesurer la température et la de traduire en une tension umes(t) (on peut modéliser le capteur par un gain pur Kmes=0,02). La tension umes(t) est comparée à la tension de consigne uc (t) issue d’un transducteur de fonction de transfert T(p). En fonction de cet écart amplifié par un correcteur de gain Kc, la vanne s’ouvre ou se ferme. Le schéma ci-dessous précise l’architecture du système. θc(t) Transducteur Comparateur Correcteur

Moteur

α(t)

Echangeur Enceinte

Vanne Débit q(t)

T°C θ1(t)

θ(t) Capteur

Pompe

α ( p)

K . U m ( p ) (1 + τ . p ) Q.3. Représenter par un schéma-bloc le système régulé dont l’entrée est la température θc(p). On donne la fonction de transfert du moteur qui est : M ( p ) =

=

Q.4. Quelle doit être la fonction de transfert du transducteur de façon à annuler l’écart ε(p) quand la température de consigne et la température de l’enceinte sont égales ? 10

F

TD 01 - Systèmes automatiques

D B EB F A

F

E B EB

EB

Calculer la transformée de Laplace des fonctions suivantes : e-at.u(t), cos(ωt).u(t) et sin(ωt).u(t) En déduire e-at.sin(ωt).u(t) et e-at.cos(ωt).u(t).

D B EB F A

F

E B A EF E B

Calculer la transformée inverse des fonctions suivantes : K1 K2 F1 ( p ) = F2 ( p) = ( p + a )(. p + b ) p.(1 + τ . p ) K4. p2 F4 ( p ) = ( p − 1)2 .( p + 1)

F5 ( p) =

AB DB

F

F3 ( p ) =

3p +1 ( p − 1). p 2 + 1

(

EB DBFE

F B

)

DFB B

AB EB

Déterminer les transformées de Laplace des signaux suivants :

0

f(t)

g(t)

4

4

2

t

K 3. p ( p + a )(. p + b )

0

2

11

t

A D B

F

TD 02 - Systèmes automatiques

AB CDAB Q.1. u(t) = e(t) + R.i(t) + L.

EDFB B

d i (t ) dt

e(t) = Ke.ωm(t) d ω (t ) J . m = Cm(t) – Cr(t) – f.ωm(t) dt Cm(t) = Kt.i(t)

DF A B

A ADB

B B

→

U(p) = E(p) + R.I(p) + L.p.I(p)

→

E(p) = ke.

→

J.p

→

Cm(p) = km.I(p)

m(p)

FF

BB

m(p)

= Cm(p) – Cr(p) – f.

m (p)

Q.2. Cr(p) U(p) +

ε(p) -

I(p) 1 R + L. p

Cm(p) Kt

-

1 J.p + f

+

E(p)

m(p)

Ke

AB CDAEBEA E A EB Q.1. q(t)=k0.α(t)

d θ1 (t ) = k1.q (t ) dt d θ (t ) = k2 .θ1 (t ) θ (t ) + τ 2 . dt

θ1 (t ) + τ 1.

D

→

Q(p)=k0.α(p)

→

θ1 ( p).(1 + τ 1. p ) = k1.Q( p)

→

θ ( p).(1 + τ 2 . p ) = k2 .θ1 ( p)

A EB B

FF

B

Q.2. Représenter le système par un schéma-bloc faisant intervenir les 3 blocs précédemment définis.

α(p)

k0

Q(p)

k1 1 +τ 1 . p

θ1(p)

k2 1 +τ 2 . p

θ(p)

Q.3. θc(p)

ε(p)

Transducteur

T(p)

+

Correcteur

Moteur

K 1+τ . p

Kc

Umes(p)

Q(p)

α(p)

Um(p)

Uc(p)

k0

θ1(p) k1 1 +τ 1 . p

k2 1 +τ 2 . p

Capteur

Kmes

Q.4. On a Umes(p)=Kmes.θ(p) et Uc(p) = T(p).θc(p) d’où : ε(p)=Uc(p) – Umes(p) = T(p).θc(p) – Kmes.θ(p) = 0 → si θc(p) = θ(p) alors T(p) = Kmes = 0,02.

12

θ(p)

F

TD 02 - Systèmes automatiques

D B EB F A Par définition :

(f(t)) = F(p) = ∫

0

(e .u(t)) = ∫

-at

-at

e .u(t) :

∞

∞

F

E B EB

FF

B

f(t).e-pt.dt

e .u(t).e .dt = ∫ -at

0

EB B

-pt

∞

∞

  1 1 .e- (p + a)t  = .u(t).dt = −  p+a 0 p + a

-(p+a)t

e

0

cos(ω ωt).u(t) : Rappel : On a e jωt = cos(ωt) + j.sin(ωt) et e-jωt = cos(ωt) – j.sin(ωt)

e jωt − e-jωt e jωt + e-jωt soit : cos(ωt) = et sin(ωt) = et en exploitant le résultat de 2j 2 e jωt + e-jωt 1 .u(t)) = (cos(ωt).u(t))= ( On a : 2 2 1  1 1  p + (cos(ωt).u(t)) = . =  2 2  p − jω p + jω  p + ω 2 sin(ω ωt).u(t) :

=

( e jωt .u(t)) +

1 e jωt − e-jωt ( .u(t)) = 2j 2j

(sin(ωt).u(t)) =

1 2

(e-at.u(t))

( e-jωt .u(t))

( e jωt .u(t)) –

1 2j

( e-jωt .u(t))

1  1 1  ω − . =  2 2 j  p − jω p + jω  p + ω 2

Par la définition la tache est plus ardue : On pose x(t) = sin(ωt).u(t) → X(p) = ∫

∞

0

sin(ωt).u(t).e-pt.dt

On calcule cette intégrale par parties ( « uv’ = uv – u’v » avec u = e-pt et v = sin(ωt) ) ∞

p  1  X(p) = − . cos ωt.e − pt  + − ω  ω 0

∫

∞

0

cos(ωt).u(t).e-pt.dt

L’intégrale restante peut aussi se calculer par parties ( « uv’ = uv – u’v » avec u = e-pt et v = cos(ωt) ) X(p) =

X(p) =

1

ω 1

ω

−

−

∞ p 1 p p ∞ − pt  − . ∫ sin(ωt).u(t).e-pt.dt . sin t . e ω   ω ω 0 ω ω 0

p2

p2

1

ω

ω

ω

. (1 + 2 X(p) →

) 2 .X(p) =

→

p2 + ω 2

ω

13

2

.X(p) =

1

ω

→ X(p) =

ω p + ω2 2

F

TD 02 - Systèmes automatiques

e-at.sin(ω ωt).u(t) : (e-at.sin(ωt).u(t)) = ωt).u(t) : e-at.cos(ω (e-at.cos(ωt).u(t)) =

→On utilise le Thm de l’amortissement:

(e

p+a →On utilise le Thm de l’amortissement: ( p + a )2 + ω 2

(e

ω

( p + a) + ω 2

2

D B EB F A

F

E B A EF E B B

FF

-at

)

. f (t ) = F ( p + a )

-at

B

Calculer la transformée inverse des fonctions suivantes : K1 • F1 ( p ) = ( p + a )(. p + b )

K1 α β = + ( p + a )(. p + b ) ( p + a ) ( p + b ) K1 Calcul de α : On multiplie par (p + a) et p→ –a : =α (− a + b ) K1 Calcul de β : On multiplie par (p + b) et p→ –b : =β (− b + a ) K1 1 K1 1 K1 K1 F1 ( p ) = . + . .e − at + .e − bt → f1 (t ) = (b − a ) ( p + a ) (a − b) ( p + b ) (b − a ) (a − b ) K2 • F2 ( p) = p.(1 + τ . p ) α β K2 On décompose en éléments simples : F2 ( p) = = + p.(1 + τ . p ) p (1 + τ . p ) Calcul de α : On multiplie par (p) et p→ 0 : K 2 = α 1 Calcul de β : On multiplie par (1 + τ.p) et p→ − : F2 ( p) = − K 2 .τ = β On décompose en éléments simples : F1 ( p) =

τ

− K2 K 2 .τ K K2 − = 2− → f 2 (t ) = K 2 − K 2 .e τ p (1 + τ . p ) p  1   + p τ  K3. p • F3 ( p ) = ( p + a )(. p + b) α β K3. p = + On décompose en éléments simples : F3 ( p) = ( p + a )(. p + b ) ( p + a ) ( p + b ) − K 3 .a Calcul de α : On multiplie par (p + a) et p→ –a : =α (− a + b ) − K 3 .b Calcul de β : On multiplie par (p + b) et p→ –b : =β (− b + a ) K .a 1 K .b 1 K .a K .b F3 ( p) = 3 . + 3 . → f3 (t ) = 3 .e − at + 3 .e − bt (a − b ) ( p + a ) (b − a ) ( p + b ) (a − b ) (b − a ) t

F2 ( p ) =

•

F4 ( p ) =

K4. p2 ( p − 1)2 .( p + 1)

14

)

. f (t ) = F ( p + a )

F

TD 02 - Systèmes automatiques

On décompose en éléments simples : F4 ( p ) =

K4. p2 α β γ = + + 2 2 ( p − 1) .( p + 1) ( p − 1) ( p − 1) ( p + 1) K K 4. p2 =α → 4 =α ( p + 1) 2

Calcul de α : On multiplie par (p – 1)2 et p→ 1 :

K K4 . p2 =γ → 4 =γ 2 4 ( p − 1) Calcul de β : On prend une valeur particulière pour p car on connait α et γ, on choisit ici par 3 exemple p=0. → 0 = α − β + γ → β = α + γ → β = .K 4 4 K K 1 1 1 3.K 4 K 3.K 4 t K 4 −t + + 4. F4 ( p) = 4 . . .e + .e → f 4 (t ) = 4 .t.et + 2 4 ( p − 1) 4 ( p + 1) 2 ( p − 1) 4 4 2 3p +1 • F5 ( p) = ( p − 1). p 2 + 1 α β.p + γ 3p +1 = + 2 On décompose en éléments simples : F5 ( p) = 2 ( p − 1). p + 1 ( p − 1) p + 1 3p +1 Calcul de α : On multiplie par (p – 1) et p→ 1 : 2 =α → 2 =α p +1 Calcul de β et γ: On identifie : 3 p + 1 = α . p 2 + α + β . p 2 + γ . p − β . p − γ → α + β = 0 soit β = −2 et γ − β = 3 soit γ = 1 2 − 2. p + 1 2 − 2. p 1 → f 5 (t ) = 2.e t − 2. cos(t ) + sin(t ) F5 ( p) = + = + 2 + 2 2 ( p − 1) p + 1 ( p − 1) p + 1 p + 1 Calcul de γ : On multiplie par (p + 1) et p→ –1 :

(

)

(

(

)

AB DB

(

B DBFE

F B

(

)

) (

)

(

DFB B FF B

f1(t)

f(t)

)

)

AB EB

A D BB

f3(t)

f2(t)

Rampe 2.t.u(t) retardée de 2s 4

4

=

+

4

+

Echelon 4.u(t)

0

2

t

0

t

0

2

t 0

2

Rampe -2.t.u(t)

f(t) = f1(t) + f2(t) + f3(t) → F(p) = F1(p) + F2(p) + F3(p) =

15

4 2 2 − 2 + 2 .e − 2 p p p p

t

F

TD 02 - Systèmes automatiques

g(t) G(p) = F(p) + F(p) .e −3 p + F(p) .e −6 p +…. Soit G(p) = F(p).

1 4 2 2 avec F(p)= − 2 + 2 .e − 2 p −3 p 1− e p p p

4

0

2

t

On fait une approximation linéaire en utilisant un développement limité d'ordre 1, ce qui permet d’écrire : 1 1 + e −3 p + e −6 p +…. = 1 − e −3 p

G(p) = F(p) + F(p) .e −3 p + F(p) .e −6 p +…. Soit G(p) = F(p).

1 4 2 2 avec F(p)= − 2 + 2 .e − 2 p −3 p 1− e p p p

On peut résoudre le problème en remarquant que l’on a une suite géométrique de raison r= e −3 p : 1 − r n +1 1 Sn = F ( p ). soit quand n→∞ : Sn→∞ = F ( p ). 1− r 1 − e −3 p

16

F

TD 03 - Systèmes automatiques

AB CDAEB EF

A EB C

AB

(Inspiré de CCP MP 2009) Pour piloter un avion, il est nécessaire de pouvoir contrôler en permanence ses évolutions dans l’espace suivant trois directions ou axes : • l'axe de lacet (vertical) ; • l'axe de roulis (horizontal et dans la direction de la marche) ; • l'axe de tangage (horizontal et perpendiculaire à la marche).

Pour cela, le pilote agit sur les commandes de vol de l’avion. En pratique, on distingue deux types de commandes : •

les commandes de vol primaires utilisées pendant tout le vol et qui permettent de contrôler l’évolution de l’avion autour de ses axes de référence : la gouverne de direction ou gouvernail pour le lacet, les ailerons et les spoilers pour le roulis, les gouvernes de profondeur et le plan horizontal réglable (PHR) pour le tangage.

•

Les commandes de vol secondaires utilisées pendant les phases d’atterrissage et de décollage qui permettent de modifier la configuration aérodynamique de l’avion : Les hypersustentateurs (volets et becs) pour la portance, les spoilers (ou aérofreins) pour la traînée.

L’Airbus A 380 est équipé de quatre gouvernes de profondeur disposées symétriquement sur le plan horizontal réglable (PHR) de l’avion. Chaque gouverne de profondeur est reliée au PHR par des charnières et est mis en rotation par une unité de commande constituée de deux actionneurs : • •

une servocommande (SC), actionneur principal relié au circuit hydraulique de l’avion; un EHA (Electro Hydraulic Actuator : actionneur électro-hydrostatique), utilisé comme organe de sécurité en cas de défaillance de la servocommande ou du circuit hydraulique principal. 17

F

TD 03 - Systèmes automatiques

Ces unités de commande sont identiques pour les quatre gouvernes de profondeur. Gouverne Extérieure Droite Gouverne Intérieure Droite Gouverne Intérieure Gauche PHR Gouverne Extérieure Gauche

Unité de commande

Charnières Actions aérodynamiques

PHR Gouverne Vérin

Tige du vérin

Fixation à la gouverne

Accumulateur Capteur inductif de position

Servo-distributeur

Fixation au PHR Alimentation hydraulique

Servocommande de l’unité de commande Les consignes émises par le pilote à l’aide du joystick ou par le pilote automatique sont transmises aux ordinateurs de commande de vol. Ces derniers déterminent, en fonction de lois de pilotage prenant en compte un certain nombre de paramètres (altitude, vitesse, etc.), les mouvements des gouvernes limitant éventuellement les évolutions de l'avion à son enveloppe de vol, c'est-à-dire aux régimes et attitudes sûrs.

Position gouverne Joystick

Ordinateur de commande de vol (PRIM/SEC)

Pilote automatique

Position actionneur

Actions aérodynamiques

Consigne Gouverne

de position PHR Autres informations

Energie Energie électrique electrique ou ou hydraulique hydraulique

18

F

TD 03 - Systèmes automatiques

Etude de la servocommande : uc(t)

Amplificateur différentiel

us(t)

Schéma de structure simplifié de la servocommande :

i(t) Servodistributeur q(t)

x(t) Gouverne Capteur de position

Les différentes équations temporelles qui modélisent le fonctionnement du système sont : i (t ) + us(t) Ka

•

Amplificateur différentiel : uc(t) =

•

Débit dans le vérin dans le cas d’une hypothèse de fluide incompressible : q(t) = S .

• •

Capteur de position : us(t) = Kc.x(t) Le servo-distributeur est un composant de la chaine de commande conçu pour fournir un débit hydraulique q(t) proportionnel au courant de commande i(t). (Attention, valable uniquement en régime permanent) Le constructeur fournit sa fonction de transfert : Q( p) Kd F ( p) = = où Kd est le gain du servo-distributeur et T sa constante de temps. I ( p) 1 + T . p

d x(t ) dt

1. Modélisation dans l’hypothèse de fluide incompressible Q1.1. Ecrire les équations du modèle sous forme symbolique (transformée de Laplace) en considérant que toutes les conditions initiales sont nulles. Q1.2. Représenter chacune de ces relations sous forme de schéma-bloc partiel. Q1.3. Regrouper les schémas-blocs partiels afin de représenter le comportement de la servocommande. Q1.4. Calculer les fonctions de transfert suivantes et donner à chaque fois la classe et l’ordre. X ( p) • Fonction de transfert du vérin non asservi : A1(p) = Q( p) X ( p) • Fonction de transfert de la chaine directe : C(p) = ε ( p) U ( p) • Fonction de transfert boucle ouverte du système : G(p) = s ε ( p) X ( p) • Fonction de transfert boucle fermée du système : H(p) = U c ( p) 19

F

TD 03 - Systèmes automatiques

2. Modélisation dans l’hypothèse de fluide compressible Dans cette hypothèse, le modèle de connaissance du système est modifié : d x(t ) V d ∆p (t ) • L’équation de débit dans le vérin devient : q(t) = S . . + où p(t) représente la dt 2 .B dt différence de pression entre les 2 chambres du vérin, V est le volume total de fluide dans le vérin (V est constant) et B est le coefficient de compressibilité du fluide hydraulique (pour un fluide incompressible B→∞). • Effort moteur sur le piston : Fm(t) = S .∆p (t ) • Principe fondamental de la dynamique appliqué sur la tige de vérin : d 2 x(t ) d x(t ) Fm(t) – Fr(t) − f . = m. où Fr(t) représente l’effort résistant sur la tige du vérin, dt 2 dt effort qui sera considéré comme une perturbation et f représente le frottement visqueux. Q2.1. Ecrire les équations du modèle sous forme symbolique (transformée de Laplace) en considérant que toutes les conditions initiales sont nulles. Q2.2. Représenter chacune de ces relations sous forme de schéma-bloc partiel. Q2.3. Regrouper les schémas-blocs partiels. Afin de représenter le comportement de du vérin nonasservi (grandeur d’entrée Q(p), grandeur de sortie X(p)). Le schéma-bloc contiendra un retour et une perturbation. X ( p) , en supposant Q( p) que la perturbation Fr(t) est nulle. Donner à chaque fois la classe et l’ordre de A2(p).

Q2.4. Calculer la nouvelle fonction de transfert du vérin non asservi : A2(p) =

Q2.5. Quelle est la modification apportée par le modèle de fluide incompressible ?

EF

E B C

FEB E B

B

Calculer les fonctions de transfert des schémas blocs suivants :

E(p) E(p) +

S(p)

-

A(p)

B(p)

+

-

D(p)

C(p) E2(p) E1(p) +

A(p) -

+

B(p) -

20

+

C(p)

S(p)

F

TD 03 - Systèmes automatiques

AB CDAEB EF

A EB C

AB B

FF

B

1. Modélisation dans l’hypothèse de fluide incompressible Q1.1. Ecrire les équations du modèle sous forme symbolique (transformée de Laplace) en considérant que toutes les conditions initiales sont nulles. i (t ) + us(t) Ka d x(t ) q(t) = S . dt us(t) = Kc.x(t)

uc(t) =

I ( p) + Us(p) Ka

→

Uc(p) =

→

Q(p) = S.p.X(p)

→

Us(p) = Kc.X(p)

Q1.2. Représenter chacune de ces relations sous forme de schéma-bloc partiel.

Uc(p) =

ε(p)

Uc(p)

I ( p) + Us(p) Ka

→

+

Ka

-

I(p)

Us(p) Q(p)

Q(p) = S.p.X(p)

→

Us(p) = Kc.X(p)

→

X(p)

→

I(p)

F ( p) =

Kd Q( p) = I ( p) 1 + T . p

X(p)

1 S. p

Us(p)

Kc

Kd 1+ T . p

Q(p)

Q1.3. Regrouper les schémas-blocs partiels afin de représenter le comportement de la servocommande.

ε(p)

Uc(p) +

-

Ka

I(p)

Kd 1+ T . p

Q(p)

1 S. p

X(p)

Us(p) Kc Q1.4. Calculer les fonctions de transfert suivantes et donner à chaque fois la classe et l’ordre.

X ( p) 1 = Classe 1, ordre 1. Q( p ) S . p X ( p) K a .K d = Classe 1, ordre 2. C(p) = ε ( p) (1 + T . p).S . p A1(p) =

21

F

TD 03 - Systèmes automatiques

U s ( p) K a .K d .K c = Classe 1, ordre 2. ε ( p ) (1 + T . p).S . p K a .K d .K c K a .K d .K c X ( p) 1 1 (1 + T . p).S . p H ( p) = . = . = K c (1 + T . p).S . p + K a .K d .K c U c ( p ) K c 1 + K a .K d .K c (1 + T . p).S . p X ( p) 1 1 Classe 0, ordre 2. H ( p) = = . S S .T U c ( p) Kc 1 + 2 + .p .p K a .K d .K c K a .K d .K c

G(p) =

2. Modélisation dans l’hypothèse de fluide compressible Q2.1. Ecrire les équations du modèle sous forme symbolique (transformée de Laplace) en considérant que toutes les conditions initiales sont nulles. d x(t ) V d ∆p (t ) . + dt dt 2 .B Fm(t) = S .∆p (t )

q(t) = S .

Fm(t) – Fr(t) − f .

d x(t ) d 2 x(t ) = m. dt dt 2

V . p.∆P ( p ) 2.B

→

Q(p) = S . p. X ( p ) +

→

Fm(p) = S .∆P ( p )

→

Fm(p) – Fr(p) − f . p. X ( p ) = m. p 2 . X ( p )

Q2.2. Représenter chacune de ces relations sous forme de schéma-bloc partiel. Q ( p ) − S . p. X ( p ) =

V . p.∆P ( p ) 2. B

Q(p)

ε(p)

→

+

-

(p)

2. B V.p

X(p)

S.p

Fm(p) = S .∆P ( p )

(p)

→

Fm(p)

S

Fr(p) Fm(p) – Fr(p) = ( f . p. + m. p 2 ). X ( p)

Fm(p) →

-

1 f . p. + m. p 2

+

X(p)

Q2.3. Regrouper les schémas-blocs partiels.

Fr(p) Q(p)

ε(p) +

-

2.B V .p

(p)

Fm(p) S

S.p

22

+

1 f . p. + m. p 2

X(p)

F

TD 03 - Systèmes automatiques

X ( p) , en supposant Q( p) que la perturbation Fr(t) est nulle. Donner à chaque fois la classe et l’ordre de A2(p). Q2.4. Calculer la nouvelle fonction de transfert du vérin non asservi : A2(p) =

2.B.S 2 / V 2.B.S .S . p X ( p) 2.B.S 2 / V 1 1 1 V . p.( f . p + m. p 2 ) ( f . p + m. p 2 ) = = = A2(p) = . . . 2.B.S .S . p 2.B.S 2 / V Q( p) S. p S . p f . p + m. p 2 + 2.B.S 2 / V S. p 1 + 1+ V . p( f . p + m. p 2 ) ( f . p + m. p 2 ) A2(p) =

1 1 . S . p 1 + V . f . p + V .m . p 2 2.B.S 2 2.B.S 2

Classe 1, ordre 3.

Q2.5. Quelle est la modification apportée par le modèle de fluide incompressible ? X ( p) 1 = Classe 1, ordre 1. Q( p ) S . p 1 1 . A2(p) = Classe 1, ordre 3. S . p 1 + V . f . p + V .m . p 2 2.B.S 2 2.B.S 2

A1(p) =

L’hypothèse fluide incompressible améliore le modèle mais augmente l’ordre du système et ainsi complexifie les calculs. Remarque : si B→∞ (fluide incompressible)

EF

E B C

1 1 1 → . V . f V . m S. p 1 + S. p .p + . p2 2.B.S 2 2.B.S 2

FEB E B

BB

FF

B

E(p) E(p) +

A(p) -

S(p)

-

B(p)

+ C(p)

Déplacement du point de prélèvement E(p).D(p)

E(p) +

A(p) -

D(p)

Boucle 1 S(p)

-

B(p)

+ C(p)

23

D(p)

F

TD 03 - Systèmes automatiques

Calcul de la FBTF de la boucle 1 : H1 ( p ) =

1 B ( p ).D ( p ).E ( p ) B( p) . = E ( p ).D ( p ) 1 + B ( p ).D ( p ).E ( p ) 1 + B ( p ).D ( p ).E ( p )

Boucle 2 S(p)

E(p) +

H1(p)

A(p)

D(p)

C(p)

Calcul de la FBTF de la boucle 2 : B( p) 1 A( p ).C ( p ).H1 ( p ) 1 + B ( p ).D ( p ).E ( p ) . H 2 ( p) = = B( p) C ( p ) 1 + A( p ).C ( p ).H1 ( p ) 1 + A( p ).C ( p ). 1 + B ( p ).D ( p ).E ( p ) A( p).B( p) H 2 ( p) = 1 + B( p).D( p).E ( p) + A( p).B( p).C ( p) A( p ).

S(p)

E(p)

H2(p)

Calcul de la FBTO : H ( p) =

D(p)

S ( p) A( p).B( p).D( p) = H 2 ( p).D( p) = E ( p) 1 + B( p).D( p).E ( p) + A( p).B( p).C ( p)

E2(p) E1(p) +

A(p) -

+

B(p) -

+

C(p)

On utilise le théorème de superposition : on calcule les fonctions de transfert du système E2(p)=0 et

S(p)

S ( p) pour E1 ( p )

S ( p) pour E1(p)=0. E2 ( p )

Cas E2(p)=0 : Boucle 1 E1(p)

+

A(p)

-

+

B(p)

-

24

C(p)

S(p)

F

TD 03 - Systèmes automatiques

Calcul de la FBTF de la boucle 1 : H1 ( p ) =

E1(p) +

B( p) 1 + B( p)

A(p)

H1(p)

S(p)

C(p)

Boucle 2

B( p) .C ( p) A( p).H1 ( p).C ( p) 1 + B( p) Calcul de la FBTF de la boucle 2 : H 2 ( p) = = 1 + A( p).H1 ( p).C ( p) 1 + A( p). B( p) .C ( p) 1 + B( p ) A( p).B( p).C ( p) H 2 ( p) = 1 + B( p) + A( p).B( p).C ( p) A( p).

Cas E1(p)=0 : Déplacement du sommateur

+

E2(p)

A(p)

+

-

E2(p) -

B(p)

C(p)

+

-

S(p)

1 A( p).B ( p ) -

+

A(p) -

+

B(p) -

En utilisant les résultats du cas E2(p)=0, on retrouve : E2(p) 1 A( p).B ( p ) -

H2(p)

S(p)

Avec H 2 ( p ) =

A( p ).B ( p ).C ( p ) 1 + B( p) + A( p ).B ( p ).C ( p )

D’où : S ( p) =

A( p).B( p).C ( p) C ( p) .E1 ( p) + .E2 ( p ) 1 + B ( p ) + A( p ).B ( p ).C ( p) 1 + B ( p ) + A( p).B ( p ).C ( p )

25

C(p)

S(p)

F

TD 04 - Systèmes automatiques

AB CDEF D BCD

C

B

B

(Inspiré de Centrale-Supelec MP 2008)

La figure de droite montre l’interface assurant, à partir des informations délivrées par l’unité centrale de commande, la fermeture hermétique et le verrouillage d’une porte de TGV. Afin de satisfaire les contraintes d'encombrement, l'ouverture de la porte s'effectue selon l'enchaînement temporel de trois phases distinctes décrites à partir de la position « porte fermée » pour laquelle la face extérieure de la porte est alignée avec la face extérieure de la caisse : une phase de décalage puis une phase de louvoiement et enfin une phase d'escamotage. La phase primaire (décalage) puis la phase terminale (escamotage) sont définies par les figures ci-contre. Les performances annoncées de la part du constructeur, dans la phase d'escamotage, sont les suivantes : Performance Accès suffisant du wagon Temps d'ouverture de la porte en phase d’escamotage Vitesse d’accostage de la porte en fin de phase d’escamotage

Valeur 850 mm t≤4s V≤0,09m/s

Pour ouvrir la porte, on utilise un moteur, dont la rotation est transformée en translation par l'intermédiaire d'un système pignon crémaillère. La translation de la porte est notée y(t). L'angle de rotation du moteur est noté θm(t). Le lien entre y(t) et θm(t) est y(t) = R.θm(t) où R est le rayon du pignon (R=37 mm). On fait l'hypothèse qu'à l'instant initial, correspondant au début de la translation de la porte, la porte est immobile, avec y(t=0)=0 et θm(t=0)=0 (toutes les autres conditions initiales seront également nulles, par conséquent). Grâce à une redéfinition du paramétrage et dans un souci de simplification, on considère qu'au cours d de cette phase la vitesse angulaire du moteur vérifie ωm(t) ≥ θm(t) et la position de la porte vérifie dt y(t)≥0. 26

F

TD 04 - Systèmes automatiques

Le moteur à courant continu qui commande l'ouverture de la porte est géré par les équations suivantes : d ω (t ) u(t) = e(t) + R.i(t) e(t) = ke.ωm(t) J . m = Cm(t) Cm(t) = km.i(t) dt Avec : u(t) = tension du moteur ; e(t) = force contre électromotrice du moteur ; i(t) = intensité dans le moteur Cm(t) = couple exercé par le moteur ; ωm(t) = vitesse angulaire du moteur. Q.1. Exprimer ces équations dans le domaine de Laplace. Q.2. Schématiser le schéma-bloc du moteur en s’aidant des équations de la question 1. Q.3. Montrer que, dans le domaine de Laplace, la relation entre m(p) et U(p) peut s'écrire sous la Ω ( p) K où K et T sont deux constantes à déterminer. = forme : m U ( p) 1 + T . p Q.4. Déterminer ωm(t) lorsque le moteur est soumis à un échelon de tension d'amplitude u0 tel que : um(t)= u0.u(t). Exprimer et justifier le résultat en fonction de K et T. Q.5. L'application numérique fournit K=1,2s−1.V−1 et T=0,16s. Déterminer le temps de réponse à 5% du moteur. Le schéma bloc du système peut se mettre sous la forme suivante : Um(p)

K 1+ T.p

m(p)

Q.6. Justifier la fonction de transfert entre Q.7. Déterminer l'expression analytique de

m(p)

1 p

θm(p)

Y(p) R

et θm(p).

Y ( p) . U m ( p)

Q.8. Déterminer l'expression analytique de y(t) lorsque le moteur est soumis à un échelon de tension d'amplitude u0. Q.9. Déterminer la valeur numérique du déplacement de la porte au bout de 4 s (u0=5V), et conclure quant à la capacité du système à satisfaire le critère d'accès au wagon du cahier des charges. d y(t=4s)). Conclure quant dt à la capacité du système à satisfaire le critère de vitesse finale de translation de la porte du cahier des charges.

Q.10. Déterminer la vitesse de la porte à la fin de la translation (v(t=4s)=

27

F

TD 04 - Systèmes automatiques

AB CDEF

CB B F B B D E

DE

B

(Inspiré de X-ENS PSI 2005) Antenne basses fréquences La mission Mars Exploration Rover (MER) est une mission spatiale confiée à la NASA. Elle a Système Pancam pour but d’explorer les sols de la planète Mars Antenne hautes fréquences pour y rechercher la présence ancienne et Panneau solaire Tête périscopique prolongée d’eau. Cette exploration est réalisée Bras articulé grâce à deux rovers automatiques lancées depuis Cap Canaveral. Le premier rover se nomme robot Spirit. Il a été lancé le 10 juin 2003 et s’est posé Corps Outils le 3 janvier 2004 dans le cratère Gusev. Le second rover se nomme robot Opportunity, il a été lancé le 8 juillet 2003 et s’est posé le 24 Roues janvier 2004 sur Meridiani Planum. Pour faire avancer le robot, les six roues de Spirit sont équipées de motoréducteurs (le motoréducteur est un composant constitué d'un moteur, qui génère un mouvement de rotation, et d'un réducteur, qui réduit la vitesse de rotation du moteur par des engrenages) afin de faire tourner les roues. Le codeur incrémental permet de mesurer la rotation du moteur.

Les performances annoncées de la part du constructeur sont les suivantes :

Le motoréducteur peut se représenter par le schéma bloc suivant :

Performances Vitesse de déplacement Pente du sol Temps de réponse à 5%

Valeur 1 km en moins de 2 heures +/- 30° 0 et

…

84− K > 0 → K < 84 → 0 < K < 84 7

Calcul de la FTBF : K.(1 + T.p) K.(1 + T.p) K.(1 + T.p) p.(p + 1).(1 + 0,5.p) = = F2 (p) = 3 K.(1 + T.p) p.(p + 1).(1 + 0,5.p) + K.(1 + T.p) 0,5.p + p + 1,5.p 2 + K.(1 + T.p) 1+ p.(p + 1).(1 + 0,5.p) K.(1 + T.p) F2 (p) = → D 2 (p) = 0,5.p 3 + 1,5.p 2 + (K.T + 1).p + K 3 2 0,5.p + 1,5.p + (K.T + 1).p + K Construction du tableau de Routh : p3 0,5 p2 p1 p0

K.T+1

1,5

K

1,5 × (K.T + 1)− 0,5 × K 1,5 K

Stable si K > 0, K.T + 1 > 0 et

0 …

1 1,5 × (K.T + 1) − 0,5 × K 1 > 0 → (K.T + 1) − .K > 0 → K.T > .K − 1 3 1,5 3

Calcul de la FTBF : K 3 K p + 5p 2 +8p + 5 → D 3 (p) = p3 + 5p 2 +8p + 5 + K F3 (p) = = 3 2 K p + 5p + 8p + 5 + K 1+ 3 p + 5p 2 +8p + 5 Construction du tableau de Routh : p3 1 p2 p1 p0 Stable si 5+K > 0 et

8

5

5+K

5 × 8− (5 + K ) × 1 5 5+K

0 …

5 × 8− (5 + K ) × 1 > 0 → 40− (5 + K ) > 0 → K < 35 → − 5 < K < 35 5

97

F

TD 10 - Systèmes automatiques

Application du critère du revers – Corrigé Q.1. et Q.2.

STABLE

INSTABLE ωco

ωco

MG = +∞

Mφ

STABLE

ωco

STABLE

MG

ωco

MG

Mφ

Mφ

Mφ

STABLE

INSTABLE ωco

MG

98

F

TD 11 - Systèmes automatiques

A

BCD E E

DBE

E FDE CB B BE D DBEE E

DF E

(D’après X-ENS MP 2002) On s’intéresse aux performances d’un axe d’orientation d’une pince de robot DELTA dont on donne ci dessous une description structurelle ainsi qu’un extrait partiel de cahier des charges fonctionnel.

Energie Fonction Critère Stabilité FS1

Robot DELTA Pince FS2 FS3 FS4 Axe d’orientation de la pince FS5

Niveau Marge de phase Mφ > 45° Marge de gain MG > 10 dB

Milieu ambiant

Précision

Écart statique nul à une entrée en échelon

Rapidité …

Bande Passante à 0 dB de la fonction HB(p) : BP0 > 50 rad s-1 …

FS1 Objet

FS1 : Orienter le pince vis-à-vis de l’objet à saisir FS2 : S’adapter à la pince FS3 : S’adapter au robot DELTA FS4 : Etre alimenté en énergie FS5 : Résister au milieu ambiant

Le servo-entraînement met en rotation un arbre télescopique muni à chacune de ses extrémités d’un joint de Cardan. Le mouvement d’orientation de la pince est indépendant des mouvements de la plateforme 4. Afin d’assurer un bon positionnement angulaire de la pince P, la commande de sa rotation est asservie de la façon suivante : • la consigne de position θPC, entrée par l’utilisateur grâce à une interface graphique (lors des réglages) ou imposée par la partie commande (lors des cycles de travail), est transformée en une tension vPC grâce à un convertisseur qui sera assimilé à un système de gain pur KC ; • la vitesse de rotation ωM et l’angle de rotation θM de l’arbre moteur sont mesurés par un codeur incrémental monté directement sur l’arbre moteur qui délivre une information numérique ; celle-ci est alors transformée par une carte de conversion numérique analogique (C.N.A.) supposée linéaire en deux tensions vω et vθ telles que vω = Kω.ωM et vθ = Kθ.θM ; • la tension vθ est soustraite à la tension vPC pour donner la tension εP ;

99

F

TD 11 - Systèmes automatiques

•

la tension εP est modifiée par un correcteur de fonction de transfert C(p) pour donner la tension eVP ; • la tension vω est soustraite à la tension eVP en sortie du correcteur pour donner la tension εV ; • la tension εV est amplifiée par un amplificateur de gain pur G pour donner la tension d’alimentation du moteur uM • le moteur tourne à la vitesse angulaire ωM telle que M(p) = M(p).UM(p) • la rotation θEC de la pièce d’entrée du double joint de Cardan est telle que θEC =λ.θM, grâce au réducteur de vitesse fixé sur l’arbre moteur • le double joint de cardan est homocinétique et a pour fonction de transfert R(p) = 1 (l’entrée est l’angle θEC, et la sortie est θSC = θP où θP est la rotation de la pince fixée sur la pièce de sortie du double joint de Cardan). On donne : λ = 0,2 ; Kθ = 0,01 V rad-1 ; Kω = 6V / 1000 tours.min-1 Q.1. Réaliser le schéma-bloc de l’asservissement de l’axe d’orientation. Q.2. Déterminer la relation entre KC, Kθ et λ pour obtenir un fonctionnement précis en régime permanent, de façon à annuler l’écart εP quand la position angulaire en sortie θP et la position de consigne θPC sont égales. Les équations qui modélisent le moteur sont les suivantes : d i (t ) d ω M (t ) e(t) = KE.ωM(t) uM(t) = e(t) + RI.i(t) + LI . J. = CM(t) CM(t) = KT.i(t) dt dt Avec : KE : constante de force électromotrice, KE = 14,3 V / 1000 tours min-1, KT : constante de couple, KT = 0,137 N.m.A-1, RI : résistance de l’induit, RI = 1 LI : inductance de l’induit, LI = 1,65 mH J : inertie du rotor + de la charge entraînée rapportée à l’axe de rotation du moteur, J = 12.10-5 kg.m2. Q.3. Déterminer la fonction de transfert du moteur M(p) telles que

M (p)

= M(p).UM(p).

Q.4. Déterminer l’expression littérale et la valeur numérique du gain G de l’amplificateur pour que la boucle tachymétrique présente un temps de réponse à 5 % minimum pour une entrée en échelon. Quel est alors le temps de réponse à 5 % ? Avec la valeur de G trouvée précédemment, on a calculé la fonction de transfert de boucle ouverte V ( p) 88 HB(p) pour l’asservissement en position : H B ( p ) = θ = C ( p ). 3 ε P ( p) p (10 + 3,2. p + 5.3.10 − 3. p 2 )

Q.5. On considère pour l’instant que le système n’est pas corrigé : C(p) = 1. Tracer les diagrammes asymptotiques de Bode en amplitude et phase de la fonction de transfert HB(p) du système non corrigé en plaçant avec précision les points caractéristiques. Pour la fin, les courbes de gain et de phase seront assimilées à leur tracé asymptotique.

Q.6. Déterminer les valeurs de marge de phase Mφ, de marge de gain MG et de bande passante à 0 dB BP0 de la fonction de transfert HB(p). Conclure vis-à-vis du C.d.C.F.. Q.7. On utilise une correction proportionnelle C(p) = C0. Déterminer la bande de valeurs de C0 qui permet de vérifier les critères de performance de la FS1.

100

F

TD 11 - Systèmes automatiques

A

BCD E

DBE

E

E FDE BE D DBEE

CB B E BCCD

DF E

Q.1.

θPC(p)

VC(p) Kc

+

C(p)

+

-

θM(p)

θEC(p)

G

M(p)

λ

1/p

Kω

Kθ

Q.2. On a εP(p) = VC(p) – Vθ(p) = Kc.θPC(p) – Kθ.θM(p) = Kc.θPC(p) – Kθ. Si θPC(p) = θP(p) alors εP(p) = 0 → Kc =

θ P ( p) λ

Kθ

λ

d i (t ) → UM(p) = E(p) + RI.I(p) + LI.p.I(p) dt e(t) = KE.ωM(t) → E(p) = KE. M(p) d ω M (t ) J. = CM(t) → J.p. M(p)= CM(p) dt CM(t) = KT.i(t) → CM(p) = KT.I(p)

Q.3. uM(t) = e(t) + RI.i(t) + LI .

UM(p) +

ε(p) -

CM(p)

I(p) 1 R I + LI . p

E(p)

KT

1 J .p

M(p)

KE

Rappel : la boucle de retour de ce schéma-bloc n’est pas une boucle d’asservissement, elle correspond seulement à la modélisation du MCC

1 1 .K T . .K E Ω M ( p) 1 1 K T .K E RI + LI . p J.p = . = M ( p) = . 1 1 U M ( p) K E 1 + .K T . .K E K E J . p.( RI + LI . p ) + KT .K E RI + LI . p J.p M ( p) =

θP(p)

εv(p)

Vω(p)

Vθ(p)

ΩM(p)

UM(p)

EVP(p)

εp(p)

1 1 . K E J .LI . p 2 J .RI . p + 1 K T .K E K T .K E

101

R(p)

F

TD 11 - Systèmes automatiques

Q.4. Etude de la boucle tachymétrique : UM(p)

EVP(p) +

M(p)

εv(p) G

M(p)

Vω(p)

M(p)

EVP(p)

-

F(p)

Kω

→ t5% minimum pour z = 0,69. G.Kω K T .K E . 1 G.K ω .M ( p ) 1 K E J . p.(RI + LI . p ) + KT .K E = . . Calcul de la FTBF : F(p) = K T .K E Kω 1 + G.K ω .M ( p ) K ω 1 + G.K ω . K E J . p.(RI + LI . p ) + KT .K E 1 G.Kω .K T 1 G.Kω .K T F(p) = = . . Kω J . p.(RI + LI . p ) + K T .K E + G.Kω .K T Kω J .RI . p + J .LI . p 2 + K T .K E + G.Kω .K T G.Kω .K T 1 K T .K E + G.Kω .K T F(p) = . J . R J .LI Kω 1 + I .p + . p2 K T .K E + G.Kω .K T K T .K E + G.Kω .K T

F(p) =

G.K T KT .K E + G.Kω .K T 1+

1

Avec :

2. z

ω0

=

J .RI J .LI .p + . p2 KT .K E + G.Kω .K T KT .K E + G.Kω .K T

ω0

2

=

J .LI → ω0 = K T .K E + G.Kω .KT

J .RI → 2. z = KT .K E + G.Kω .KT

→ G=

=

K 1+

2. z

ω0

p+

1

ω0

p2

KT .K E + G.Kω .KT J .LI 2

J .RI 2 → 4.z 2 .LI .( KT .K E + G.Kω .KT ) = J .RI LI .( K T .K E + G.Kω .K T )

2 2  1  J .RI J .RI − 4.z 2 .LI .KT .K E   G = . − K → E 2 2  Kω  4.z .LI .KT 4.z .LI .Kω .KT 

 1  12.10−5 × 12  . − 0,137  → G = 2,47 A.N. : G = 2 −3 0,057  4. × 0,69 × 1,65.10 × 0,137  Pour z = 0,69 on a t5% .ω0 = 3 → t5% =

A.N. : t5% =

2

3 KT .K E + G.Kω .K T J .L I

3 → t5% = 6,8.10-3 s 0,137 × 0,137 + 2,47 × 0,057 × 0,137 12.10− 5 × 1,65.10− 3

102

F

TD 11 - Systèmes automatiques

Q.5. FTBO : H B ( p ) =

Vθ ( p) 88 = pour C(p) = 1 soit : 3 ε P ( p ) p (10 + 3,2. p + 5.3.10 −3. p 2 )

+

UM(p)

EVP(p)

εp(p)

VC(p)

C(p) -

+

M(p)

θM(p)

εv(p) G

M(p)

1/p

Vω(p)

Vθ(p)

Kω

Kθ

EVP(p) +

H B ( p) =

θM(p)

C(p)

F(p)

Intégrateur

1/p

Vθ(p)

Gain pur

M(p)

εp(p)

VC(p)

Kθ 2ème ordre avec z0.

On considère une fonction de transfert H BF ( p) =

Le critère de Routh permet de déterminer la stabilité du système à partir des coefficients ai. On étudie pour cela les polynômes d’Hurwitz en formant le tableau suivant : La première ligne regroupe les termes en pn-2k La deuxième ligne regroupe les termes en pn-2k+1 C C -) C -* C -/

(& (

C) C0

('

.)

.*

)

*

* *

() (+

./

A) (

Les coefficients bi et ci sont définis de la façon suivante :

b1 =

− 1 an a n − 2 . & an−1 an−1 an−3

b2 =

− 1 an . an −1 an−1

c1 =

− 1 an−1 . b1 b1

c2 =

− 1 an−1 . b1 b1

an−3 & b2

an − 4 & an −5 an−5 & b3

idem pour des coefficients di , ei , etc…

Énoncé du critère Le système est stable si et seulement si tous les termes de la première colonne (dite colonne des pivots) sont strictement positifs. Dans le cas contraire, le nombre de changements de signes correspond au nombre de racines à partie réelle positive.

12

/

A BB

CD A BE

F

A

6-3 Critère du revers (critère graphique). On démontre (et on admettra) que la stabilité en boucle fermée d’un système dépend de la façon dont se comporte la FTBO dans ses représentations en lieux de transfert vis-à-vis du point critique ( A(ω ) =1 , ϕ (ω ) = −180° ).

Le critère du revers, appelé aussi critère graphique car il s’appuie sur la représentation graphique de la fonction de transfert en boucle ouverte dans les lieux de transfert, admet des énoncés différents, suivant que l’on considère la représentation dans le plan de Black ou de Nyquist., ou bien dans le diagramme de Bode. Enoncé du critère dans le plan de Nyquist. Un système est stable en boucle fermée si en décrivant le lieu de transfert en boucle ouverte dans le sens des pulsations croissantes, on laisse le point critique à gauche du lieu. Dans le cas contraire, il est instable.

Le plan de Nyquist est le plan complexe où la partie réelle de FTBO( jω) est représentée en abscisse et la partie imaginaire en ordonnée. Le point critique est le point (−1,0) . Im

-1

Im

Re 0

Sens des pulsations croissantes

Im

Re

-1

Sens des pulsations croissantes

Système stable

Re

-1

0

0

Sens des pulsations croissantes

Système astable ou critique

Système instable

Enoncé du critère dans le plan de Black.

Un système est stable en boucle fermée si en décrivant le lieu de transfert en boucle ouverte dans le sens des pulsations croissantes, on laisse le point critique à droite du lieu. Dans le cas contraire, il est instable. Le plan de Black est le plan où apparaît en abscisse Adb(ω) = 20log( A(ω)) . Le point critique correspondant à (−180°,0dB)

-180°,0dB

Sens des pulsations croissantes

ϕ

et en ordonnée

AdB

AdB Sens des pulsations croissantes

ϕ (ω)

AdB Sens des pulsations croissantes

ϕ

-180°,0dB

ϕ

-180°,0dB

Système stable

Système astable ou critique

13

Système instable

/

A BB

CD A BE

F

A

Application du critère dans les diagrammes de Bode. Adb

ω1

0db

ω2

ω

Si pour les diagrammes de Bode de la fonction de transfert en boucle ouverte, les tracés sont tels que : pour ω1 , pulsation pour laquelle AdB(ω1) = 0dB , ϕ (ω1) > −180° , o

et

pour ω2 , pulsation pour laquelle ϕ (ω2) = −180° , AdB(ω 2) < 0dB ,

ϕ 0°

ω1

ω2

ω

alors le système est stable en boucle fermée.

-180°

Adb

ω2

0db

ω1

ω

Si pour les diagrammes de Bode de la fonction de transfert en boucle ouverte, les tracés sont tels que : pour ω1 , pulsation pour laquelle AdB(ω1) = 0dB , ϕ (ω1) < −180° , ϕ 0°

ω2

ω1

ω

ou

pour ω2 , pulsation pour laquelle ϕ (ω 2) = −180° , AdB(ω2) > 0dB ,

-180°

alors le système est instable en boucle fermée.

Critère simplifié : Un système est stable en boucle fermée si le gain est inférieur à 1 ( Adb < 0 dB ) lorsque la phase vaut –180°. On définit la pulsation critique ωc telle que ϕ (ωc ) = −180° .

6-4 Cas des systèmes astables ou critiques. Lorsque le lieu de transfert de la FTBO passe par le point critique, on dit du système qu’il est astable ou critique en boucle fermée. Ce cas de figure peut se traduire par le comportement suivant : soumis à une entrée finie (échelon), la réponse en régime établi ne sera pas finie de façon continue, mais présentera en « moyenne » une réponse finie.

14

/

A BB

CD A BE

F

A

6-5 Marges de stabilité .

Marge de phase

La marge de phase est définie telle que Mij = 180° + arg(FTBO (jȦco)) où Ȧco est la pulsation de coupure pour laquelle |FTBO (jȦco))| = 0dB. On cherche généralement à obtenir une marge de phase de 45° (valeur empirique) qui garantit un fonctionnement correct de la plupart des systèmes.

Marge de gain

La marge de gain est définie telle que MG = -20log|FTBO (jȦij180))| où Ȧij180 est la pulsation pour laquelle arg(FTBO (jȦ ij180)) = -180°. La marge de gain est une garantie que le système restera stable malgré une variation imprévue du gain ou une imprécision sur sa valeur. Une marge de gain de 6dB permet une latitude d'un facteur 2 sur le gain en boucle ouverte. La valeur retenue est généralement comprise entre 6 et 10 dB.

Illustrations des marges de gain et de phase dans le plan de Nyquist, de Black et de Bode Im(FTBO(j))

Point critique (-1,0)

GdB (dB)

Re(FTBO(j))

ω→∞ ω→0

V Mij

ωco ωij180

0

ω (rad/s)

MG -1

GdB(FTBO(j))

MG = 20.log(1/V)  (°) 0

ω
0

ω (rad/s)

Point critique (-1,0)

Mij Re(FTBO(j))

MG -180°

ω→∞

15

Mij

/

A BB

CD A BE

F

A

7 - CORRECTION D’UN SYSTEME ASSERVI      

Lors de la correction des systèmes asservis, il convient de toujours résoudre le dilemme : stabilité / amortissement / rapidité /précision     

 La fonction de transfert du correcteur P est du type C(p) = KP. C’est procédé de correction est le plus simple à réaliser. La valeur KP est ajustée afin d’obtenir obtenir un bon compromis précision-stabilité sur le système asservi, ce qui conduit à choisir : • soit une valeur de KP < 1 pour garantir la stabilité mais l’asservissement sera peu rapide et peu précis (statiquement ou dynamiquement), • soit une valeur de KP > 1 pour améliorer la précision mais le système risque de devenir instable (problème du pompage). 2.1. Réglage de la correction proportionnelle vis-à-vis d’une précision imposée Pour régler le correcteur proportionnel vis-à-vis d’une précision imposée, il faut déterminer le gain de boucle K de la FTBO permettant d’obtenir l’erreur désirée et en déduire la valeur du gain KP du correcteur proportionnel à partir de K. 2.2. Réglage de la correction proportionnelle vis-à-vis d’une performance en rapidité imposée Pour régler le correcteur proportionnel vis-à-vis d’une performance en rapidité imposée, il faut déterminer le gain de boucle K de la FTBO permettant d’obtenir la performance en rapidité imposée et en déduire la valeur du gain KP du correcteur proportionnel à partir de K. 2.3. Réglage de la correction proportionnelle vis-à-vis de marges de stabilité imposées (Bode) GdB (dB)

On trace le lieu de la FTBO pour KP = 1 puis on translate la courbe en gain verticalement de manière à obtenir la marge de phase et/ou la marge de gain adéquate.

FTBO pour KP = 1

TdB

La mesure de la translation donne la valeur de KP en dB soit : TdB = 20 log K P

ωco ωij180

0

ω (rad/s)

MG

TdB = 20 log K P  K P = 10

TdB 20

 (°) 0

ω (rad/s)

Attention TdB est une valeur algébrique. Sur la figure de droite elle serait par exemple négative.  -180°

16

Mij

/

A BB

CD A BE

F

A

2.4. Réglage de la correction proportionnelle vis-à-vis de marges de stabilité imposées (Black) On trace le lieu de la FTBO pour KP = 1 puis GdB(FTBO(j)) on translate la courbe en gain verticalement de ω0 manière à obtenir la marge de phase et/ou la Point critique (-1,0) TdB marge de gain adéquate. Mij ω0 La mesure de la translation donne la valeur de KP en dB soit : TdB = 20 log K P TdB = 20 log K P  K P = 10

Re(FTBO(j))

MG

TdB 20

Attention TdB est une valeur algébrique. Sur la figure de droite elle serait par exemple positive. 

ω→∞

FTBO pour KP = 1 ω→∞

2.5. Réglage de la correction proportionnelle vis-à-vis de marges de stabilité imposées (Nyquist) On trace le lieu de la FTBO pour KP = 1 puis Point critique Im(FTBO(j)) on réalise une homothétie sur la courbe afin (-1,0) ω→∞ Re(FTBO(j)) d’obtenir la marge de phase et/ou la marge de A gain adéquate. ω→0 ω→0 Mij

KP est directement obtenu en faisant le rapport AM 2 = Kc AM 1

M2

FTBO pour KP = 1 M1

!    " L’intérêt de ce type de correction est d’améliorer la précision du système asservi. Rappel : Le nombre d’intégrateurs dans la chaine directe (avant la perturbation) conditionne en partie la précision du système. Plus le nombre d’intégrateurs est grand meilleure est la précision.

17

/

A BB

CD A BE

F

A

3.1. Correction intégrale pure La fonction de transfert du correcteur PI est du K type C ( p) = i . p

GdB (dB) 20 dB

Droite de pente – 20dB/décade ω (rad/s)

0

Cette correction apporte un déphasage de -90° sur toute la courbe de phase, ce qui est bien souvent incompatible avec le critère de stabilité.

Ȧc=Ki – 20 dB

 (°)

On privilégie par conséquent un correcteur proportionnel intégral ou un correcteur à retard de phase.

– 90°

GdB (dB)

20.log(KC)

3 dB Kc/TI

ω (rad/s)

ω (rad/s)

Ȧc = 1/TI

 (°) 0° ω (rad/s) –45°

3.2. Correction Proportionnelle Intégrale (PI) La fonction de transfert du correcteur PI est du § 1 · 1 + TI . p ¸¸ = KC . . type C ( p ) = KC .¨¨1 + TI . p © TI . p ¹ L’inconvénient du déphasage de -90° sur toute la gamme de l’intégrateur pur est levé puisque à haute fréquence, ce correcteur ne provoque plus de déphasage. Par contre le problème lié à l’amplification à basse fréquence est toujours présent.

–90° GdB (dB)

Réglage de la correction PI On choisit le coefficient KC de façon à obtenir la marge de phase désirée avec la correction proportionnelle seule. La mesure de la translation donne la valeur de KC en dB soit :

TdB = 20 log K C  K C = 10

FTBO sans correction FTBO avec correction P FTBO avec correction PI

TdB ωréglage

0

ω (rad/s)

TdB 20

On met ensuite en place l’effet intégral mais cela ne doit pas (ou peu) modifier le réglage effectué à la pulsation réglage.

 (°) 0

ω (rad/s)

Il faut donc prendre une constante de temps 1 TI tel que 1.(On peut aussi type C ( p) = 1 + b.τ . p 1 + a.τ . p trouver C ( p) = avec a < 1). 1+τ.p

GdB (dB)

 (°)

–90°

GdB (dB)

TdB

On prend en général

τ

=

FTBO sans correction FT du correcteur FTBO avec correction

0

ωCO’

ω (rad/s)

TdB 20

 (°)

Le réglage précédent ne doit être que faiblement modifié par le déphasage apporté par le correcteur. On rejette donc la diminution de phase vers les basses 1