TD Mecanique

PC13/14

TD : MECANIQUE DU SOLIDE CINEMATIQUE

AC1 : Roue sur sol fixe La roue, de centre C et de rayon a roule sans glisser sur le sol horizontal fixe.

y x

θ C C

Déterminer la relation liant θ˙ , x˙ et a. Commenter le signe.

x I

O

€ €

AC2 : Roue sur sol mobile Cette même roue roule sans glisser sur un tapis roulant se déplaçant à la vitesse v 0 = v 0 ex . Déterminer la relation liant v0, θ˙ , x˙ et a.

€

Exercice 1 : Like an Egyptian€ € Pour déplacer de gros blocs de pierre, les égyptiens utilisaient des troncs d’arbre cylindriques de rayon R sur lesquels ils déposaient un bloc et le poussaient. En notant v la vitesse de déplacement d’un bloc, déterminer la vitesse linéaire du centre de masse d’un tronc ainsi que sa vitesse de rotation. On supposera pour cela que les troncs ne glissent ni sur le sol, ni sur le bloc. y  

Exercice 2 : Sphère qui roule Une sphère homogène de centre C, de masse m et de rayon a se déplace sur un support cylindrique de rayon R fixe dans un référentiel galiléen.

C  

1. Quelle est la nature du mouvement du centre C ? Exprimer les vecteurs vitesse et accélération du point C dans la base polaire. 2. La sphère roule sans glisser sur le support cylindrique. En déduire la vitesse de rotation instantanée de la sphère.

I   θ   x

O  

 

y  

Exercice 3 : Chute d’une échelle (partie 1) On considère une échelle de longueur AB = 2l qui chute. On supposera qu’à chaque instant les deux extrémités restent en contact avec le mur pour l’une et le sol pour l’autre.

B  

G  

On suppose que la chute est paramétrée par l’angle θ (t ) On appelle R le référentiel (O,x,y,z) lié au sol. 1. Montrer que le centre de masse G, milieu de [AB], a € une trajectoire circulaire de centre O.

O  

θ  

A  

x  

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TD : MECANIQUE DU SOLIDE

2. Exprimer la vitesse de G dans R. 3. Déterminer le vecteur rotation associé à la chute. 4. Déterminer les expressions de v (A/R) et de v (B/R) . Exercice 4 : Principe simplifié du différentiel € € On va donner le principe d’un différentiel de voiture qui permet, dans un virage, aux deux roues motrices de tourner à des vitesses différentes.

C  

Un cylindre creux, d’axe (Oz), de rayon R2, tourne à la vitesse ω2 d’une roue et un cylindre coaxial, de rayon R1, à la vitesse angulaire ω1 de l’autre. On supposera R1 < R2. La synchronisation entre les deux roues se fait par l’intermédiaire d’un troisième cylindre de diamètre D = R2 - R1 , tangent aux deux précédents : il est inclus dans le cylindre de rayon R2 et roule sans glisser (en réalité il s’agit de roues dentées : engrenages). 1. Ecrire les deux conditions de non-glissement dans le repère cylindrique d’axe (Oz). 2. En déduire, en fonction de R1, R2, ω1 et ω2 et toujours dans le repère d’axe (Oz): 2.a. la vitesse angulaire ω3 du cylindre de rayon

D 2

2.b. la vitesse linéaire v3 de son « centre » C. €

CINETIQUE AC3 : Roue sur sol fixe On reprend les conditions de AC1. Déterminer pour la roue, dans le référentiel du sol, en fonction de m, a et θ˙ : - la résultante cinétique - les moments cinétiques LOz et LCz. € - l’énergie cinétique AC4 : Energie cinétique de la Terre Calculer l’énergie cinétique de la terre dans le référentiel de Copernic.

R2  

R1  

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TD : MECANIQUE DU SOLIDE

Exercice 5: Chute d’une échelle (partie 2) On reprend les conditions de l’exercice 3 On donne J =

m2 le moment d’inertie de l’échelle par rapport à l’axe (Gz). 3

1. Exprimer la résultante cinétique de l’échelle dans R .

2. Exprimer le moment cinétique L o de l’échelle par rapport à l’axe ΔO = (Oz) dans le € référentiel R. Δ

3. Exprimer l’énergie cinétique de l’échelle dans le référentiel R. Exercice 6: Sphère qui roule, le retour Cette question reprend la situation de l’exercice 2. Dans l’hypothèse d’un roulement sans glissement, déterminer : 1. La résultante cinétique de la sphère. 2. Le moment cinétique de la sphère par rapport à l’axe Oz. 3. L’énergie cinétique de la sphère. On rappelle le moment d’inertie de la sphère par rapport à un axe passant par son 2 5

centre : J = ma 2 . ACTIONS SUR UN SOLIDE €AC7 : Coefficient de frottement gomme / règle

Déterminer un mode opératoire permettant de déterminer le coefficient de frottement gomme / règle. En déduire une valeur approchée de ce coefficient. AC6 : Yoyo horizontal On schématise un yoyo par deux disques identiques homogènes de rayon R et de masse M, reliés par un tambour cylindrique de rayon a < R et de masse négligeable autour duquel est enroulé un fil. Les deux disques et le tambour sont solidaires et ont même axe. Le Yoyo est posé sur un plan horizontal sur € lequel il roule sans glisser.

g  

 

α

€

On exerce sur le fil une force constante faisant un angle α avec l’horizontale. On note f le coefficient de frottement solide yoyo/sol. On notera que le point d’action de la force F se ramène au point du tambour tangent au fil tendu. 1. Faire le bilan des forces sur le yoyo

€ 2. Faire le bilan des moments des forces au centre de masse G du yoyo. Utiliser si possible la notion de bras de levier.

F

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TD : MECANIQUE DU SOLIDE DYNAMIQUE DU SOLIDE

AC8 : pendule pesant

O  

En utilisant le théorème du moment cinétique, déterminer l’équation du mouvement de ce pendule pesant, en supposant que les liaisons en O sont parfaites. On notera d = OG, où G est le centre de masse du pendule et JOy le moment d’inertie selon l’axe Oy.

x   G  

θ  

z  

Exercice 7: Yoyo. On schématise un yoyo par deux disques identiques homogènes de rayon R et de masse M, reliés par un tambour cylindrique de rayon a < R et de masse négligeable autour duquel est enroulé un fil. Les deux disques et le tambour sont solidaires et ont même axe. Une extrémité du fil est attachée au tambour et l’autre à un point fixe O. Le fil étant enroulé, on lâche le système sans vitesse initiale, l’axe étant horizontal. En admettant que l’axe reste horizontal au cours du mouvement, calculer l’accélération linéaire du yoyo et la tension du fil à tout instant. O

O

g  

a

R

Exercice 8 : Un oscillateur Sur le schéma, ci-contre, le point A appartenant à la circonférence d’une roue, disque homogène de rayon R et masse m, est attaché à deux ressorts identiques. On suppose que la roue ne glisse pas sur le sol, fixe.

(

)

On notera θ = Cz,CA

On s’intéresse aux petites oscillations du système, c’est à dire θ