TD Corriges Asservissement Et Regulation

MINISTÈRE DE L’ENSEIGNEMENT SUPÉRIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE ISET — Nabeul Département Génie mécanique

TRAVAUX DIRIGÉS ET EXAMENS CORRIGÉS

ASSERVISSEMENT ET RÉGULATION Adnene TLILI Safeyiddine KALLELI

A.U. : 2014 / 2015

TD : Asservissement et régulation

INSTITUT SUPERIEUR DES ETUDES TECHNOLOGIQUES DE NABEUL

Département de génie mécanique

Travaux Dirigés en Asservissement et régulation

Transformée de Laplace Niveau : L2-Génie mécanique

EXERCICE 1(corrigé) : 1.On considère un système d’entrée 𝑒(𝑡) et de sortie 𝑠(𝑡) régi par l’équation différentielle suivante :

𝑑 3 𝑠(𝑡) 𝑑 2 𝑆(𝑡) 𝑑𝑠(𝑡) 𝑑𝑒(𝑡) +3 +3 + 𝑠(𝑡) = 2 + 𝑒(𝑡) 3 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Calculer la fonction de transfert de ce système et calculer ses pôles et ses zéros 2.On considère un système d’entrée 𝑒(𝑡) et de sortie 𝑠(𝑡) régi par l’équation différentielle suivante :

𝑑2𝑠 𝑑𝑠 + 3 + 2𝑠(𝑡) = 𝑒(𝑡) 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 Calculer la réponse de ce système 𝒔(𝒕) à une entrée 𝒆(𝒕) 𝑒𝑛 é𝑐ℎ𝑒𝑙𝑜𝑛 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒

3.Représenter puis calculer la transformée de Laplace de la fonction 𝒔(𝒕) définie par :

𝑠(𝑡) = 0 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡 < 0 𝐴𝑡 {𝑠(𝑡) = 𝑝𝑜𝑢𝑟 0 < 𝑡 < 𝑇 𝑇 𝑠(𝑡) = 𝐴 𝑝𝑜𝑢𝑟 > 𝑡 > 𝑇 EXERCICE 2(corrigé) : Soit le système suivant :

E(𝒑)

A.U. 2014/2015

𝟏 𝟏+𝒑

1

S(𝑝)

KALLELI S., TLILI A.

TD : Asservissement et régulation

Dont 𝑒(𝑡) est donné par :

1

1

1

1

Calculer 𝑆(𝑝) puis déduire 𝑠(𝑡)

EXERCICE 3 (corrigé) : Calculer et tracer les réponses du système de fonction de transfert : 𝐹(𝑝) =

𝑒 −𝑇𝑝(1− 𝑒 −𝑇𝑝 ) 𝑝

Aux signaux 𝑒(𝑡) suivants : 𝛿(𝑡), 𝑢(𝑡)𝑒𝑡 𝑡

EXERCICE 4 (corrigé) : 1) Soit le système suivant :

𝐸(𝑃)

1 𝑃−1

𝑆(𝑃)

Calculer 𝑆(𝑝) et en déduire la réponse temporelle du système 𝑠(𝑡) respectivement : a) Pour une entrée en échelon unitaire : 𝒆(𝒕) = 𝒖(𝒕) b) Pour une entrée en échelon de vitesse : 𝒆(𝒕) = 𝒕. 𝒖(𝒕) 2) Soit la fonction 𝒈(𝒕) définie par : 𝑔(𝑡) = {

0 𝑠𝑖 𝑡 < 𝑎 ; 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑎 > 0 𝑇 𝑠𝑖 𝑎 ≤ 𝑡 < 𝑏 0 𝑠𝑖 𝑡 ≥ 𝑏

Représenter graphiquement la fonction 𝑔(𝑡) et calculer sa transformée de Laplace A.U. 2014/2015

2

KALLELI S., TLILI A.

TD : Asservissement et régulation

EXERCICE 5 (corrigé) : Soit le système régi par l’équation différentielle suivante : 𝒅𝟑 𝒚(𝒕) 𝒅𝟐 𝒚(𝒕) 𝒅𝒚(𝒕) 𝒅𝒖(𝒕) + 𝟕 + 𝟏𝟏 + 𝟓𝒚(𝒕) = + 𝟐𝒖(𝒕) 𝟑 𝟐 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕

1. Déterminer la fonction de transfert de système : 𝑭(𝒑) =

𝒀(𝒑) 𝑼(𝒑)

2. Calculer les pôles et zéros de ce système On considère que les conditions initiales sont nulles.

EXERCICE 6 (corrigé) : On considère un système d’entrée E(p) et de sortie S(p) donné par le schéma bloc suivant : 2

𝐸(𝑃)

(𝑝

+ 3)(𝑝2

+ 3𝑝 + 2)

𝑆(𝑃)

1. Déduire la fonction de transfert du système 2.Faire la décomposition en éléments simples de la fonction de transfert 3.Déduire s(t) dans chaque cas, pour les entrées suivantes :

2

e(t) t)

δ(t) t)

2

2

t

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t

3

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TD : Asservissement et régulation

Correction EXERCICE 1 𝟏)

d3 S(t) d²S(t) dS(t) de(t) + 3 + 3 + S(t) = 2 + e(t) 3 dt dt dt dt²

𝐿 [

d3 S(t)

d² S(t)

dS(t)

dt3

dt²

dt

]+ 3𝐿 [

] + 3L [

] + L [S(t)] = 2 𝐿 [

de(t) dt

] + 𝐿 [d(t)]

 p3 S(p) + 3 p² S(P) + 3 p S(p) + S(p) = 2 pE(p) + E(p)  S(p) [p3 + 3p² + 3p + 1] = (2p + 1) E (p) soit H(p) =

S(p) E(p)

: la fonction de transfert du

système 2p+1

 H(p) = p3 + 3p²+3p+1 =

N(P) D(P)

1

1

2

2

Les zéros de H(p)  N(p) = 0  2p + 1 = 0  p = − d’où : − est un zéro simple Les pôles de H(p)  D(p) = 0  𝑝3 + 3𝑝2 + 3𝑝 + 1 = 0

On remarque que -1 est un zéro pour D (p) (pôle pour H (p)) d’où D(p) = (p + 1) (ap² + b p + c) ap3 + bp² + cp + ap² + bp + c par identification : 𝑎=1 𝑏+𝑎 =3 { 𝑐+𝑏 =3 𝑐=1 D’où 𝑎 = 1, 𝑐 = 1 𝑒𝑡 𝑏 = 2  D(p) = (p + 1) (p² + 2p + 1) = (p + 1) (p + 1)² = (p + 1) 3 d’où : -1 est un pôle triple. 2)

d²S(t) dt² 𝑑²𝑆(𝑡)

+ 3

ds(t) dt

+ 2S(t) = e(t)

𝑑𝑆(𝑡)

 𝐿 [ 𝑑𝑡² ] + 3𝐿 [ 𝑑𝑡 ] + 2𝐿 [𝑆(𝑡)] = 𝐿 [𝑒(𝑡)]

On a : e(t) = U(t)  L [𝑒(𝑡)] =

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1 𝑝

4

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TD : Asservissement et régulation

D’où p² S(p) + 3 pS(p) + 2 S(p) =

1 p

1

 S(p) = [p² + 3p + 2] = p 1

1

 S(p) = p (p2 + 3p+2) =

p (p+2)(p+1)

Décomposition des S(p) en éléments simple  S(p) =

∝ p

β

+

p+2



+

p+1

Avec ∝ = 𝑝𝑆(𝑃)/𝑝=0

 ∝=

1 2

𝛽 = (𝑝 + 2)𝑆(𝑃)/𝑝= −2   =

1 2

 = (p + 1) 𝑆(𝑃)/𝑝= −1   = −1  S(P) =

1 2

1

1

P

2 P+2

. +

 𝑆(𝑡) =

1 2

𝑈(𝑡) +

1

1

2

2

 S(t) = [ +

1

– 1.

1 2

1 P+1

𝑒 −2𝑡 𝑈(𝑡) − 𝑒 −𝑡 U(t)

𝑒 −2𝑡 − 𝑒 −𝑡 ] 𝑈(𝑡)

𝑆(𝑡) = 0 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡 < 0 3) {𝑆(𝑡) =

𝐴𝑡 𝑇

𝑝𝑜𝑢𝑟 0 < 𝑡 < 𝑇

𝑆(𝑡) = 𝐴 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡 > 𝑇 Représentation :

S(t)

A

t T

A

S(t) = T t(U(t) − U(t − T)) + AU (t − T)

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5

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TD : Asservissement et régulation

S(t) =

A

A

tU(t) −

T

T

t U(t − T) + AU(t – T)

A

A

 S(t) = T tU(t) − S(t) =

A

T

A

tU (t) −

T

 S(P) =

A

.

T

1 p²

T

(t − T)U(t − T) − AU (t − T) + AU (t − T)

(t − T) U(t − T) A e−Tp

−

T

p²

EXERCICE 2 a)

e(t) = t(u(t) – U(t – 1))  e(t) = t u(t) – tU (t-1)

= t u(t) – (t – 1) U (t – 1) - U(t – 1) E(p) = L [e(t)] = S(p) =

1 1+p

1

-

p²

e−p p²

-

e−p p

. E(p) 1

1

 S(p) =( 1+p (p2 − 1

 S(p) =( p² (1+p) −

e−p p2

−

e−p p

e−p

− p2 (1+p)

)) e−p p(1+p)

)

1

On pose H(p) = p² (1+p) Décomposant H(p) en éléments simples H(p) =

1 p²(1+p)

=

α p

+

β p²

+

δ 1+p

Avec :  = p²H (p) / p = 0   = 1 α=

d dp

[p²H(p)]/ p = 0  α = −1

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TD : Asservissement et régulation

δ = (1 + p)H(p)/p = -1  δ = 1 1

de même on pose F1(p) = F(p) =

1 p(1+p)

α

=

p

+

, décomposant F1(p) en éléments simples

p(1+p)

 1+p

Avec : α = pF(p)/p=0  α = 1  = (1 + p) F(p) /p = -1   = -1

D’où F(p) = D’où S(p) =

1 p(1+p) −1 p

1

+

= 1

p²

1

1

1

−

p

+

D’où S(p) = -p + p² + 1+p -

1 1+p

1 1+p

+

1 1+p

+

e−p p

−

e−p p²

−

e−p 1+p

−

e−p p

+

e−p 1+p

e−p p²

 S(t) = -U(t) + t(U)(t) + e−t U(t) – (t – 1) U(t – 1) b)

On a e(t) = t(u(t) – u(t – 1)) – (t – 2) (u(t – 1) – U(t – 2))  e(t) = tu(t) – (t – 1) u (t -1) – u(t – 1) – (t – 1) u (t – 1) + u(t – 1) + (t – 2) u (t – 2)  e(t) = tu(t) – (t – 1) u (t - 1) – (t – 1) u(t – 1) + (t – 2) u (t -2) 1

 E(p) = p² − 2

e−p p²

+

e−2p p²

1

1

2e−p

2e−p

S(p) = 1+p . E(p) = . E(p) = p² (1+p) − p² (1+p) + p² (1+p)

EXERCICE 3 F(p) =

e−Tp (1− e−Tp) p

Calcule de la réponse temporelle S(t) (la sortie du système S(t)) respectivement pour : a) e(t) = 𝛿(𝑡) E(p) = 1

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TD : Asservissement et régulation

S(p)

or F(p) =

E(p)

 S(p) =  S(p) =

e−Tp (1− e−Tp )

=

p

e−Tp (1−e−Tp)

. E(p)

p e−Tp (1−e−Tp)

=

p

e−Tp p

−

e−2Tp p

 S(t) = U(t – T) – U(t – 2T) 1

b) e(t) = U(t)  E(p) = d’où : S(p) =  S(p) =

e−Tp p²

p

e−Tp (1−e−Tp) 1

.

p

−

p

e−2Tp) p²

D’où : S(t) = (t – T) u(t – T) – (t – 2T) U(t – 2T)

c) e(t) = tu(t)  E(p) = D’ où S(p) =  S(p) =

1 p²

e−Tp (1− e−Tp ) 1

e−Tp p3

.

p

−

e−2Tp p3

p² 1

 S(t) = 2 (t − T)2 −

1 2

(t − 2T)²

EXERCICE 4 1

d) Pour un échelon unitaire e(t ) = U(t)  E(p) = p 1

e) On a S(p) = E(p) . p−1 1

a

b

f)  S(p) = p(p−1) = p + p−1 avec a = p S(p) / p = 0  a = -1

b = (p – 1) S(p) / p=1  b = 1 1

1

p

p−1

d’où : S(p) = - + 

S(t) = - U(t) + et U(t) = (et – 1) U (t)

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TD : Asservissement et régulation

a) Pour e(t) = t u(t)  E(p) =

D’où S(p) =

1 p² (p−1)

1 p²

a

b

p

p²

= +

+

c (p−1)

a = p²S(p)/p = 0 = -1 A=[

𝑑 𝑑𝑝

𝑝²𝑆(𝑝)] /p = 0 = -1

C = (p – 1) S(p)/p = 1  C = 1 1

1

1

 S (p) = -p - p² + p−1  S(t) = -U(t) – tU(t) + et U(t) = [−1 − 𝑡 + 𝑒 𝑡 ] U(t) 0 𝑠𝑖 𝑡 < 𝑎 , 𝑎 > 0 1) G(t) = {𝑡 𝑠𝑖 𝑎 ≤ 𝑡 < 𝑏, 𝑡 > 0 0 𝑠𝑖 𝑡 ≥ 𝑏 G(t) = T [u(t – a) − U(t − b)]

g(t) T

a

D’où : 𝐺(𝑝) = 𝑇 [

𝑒 −𝑎𝑝 𝑝

−

𝑒 −𝑏𝑝 𝑝

] = 𝑇 [

b

𝑒 −𝑎𝑝 − 𝑒 −𝑏𝑝 𝑝

]

Exercice 5 : 1) p3 Y(p) +7𝑝2 𝑌(𝑝) + 11𝑝𝑌(𝑝) + 5𝑌(𝑝) = 𝑝 𝑈(𝑝) + 2𝑈(𝑝)

𝐹(𝑝) =

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𝑌(𝑝) 𝑝+2 = 3 𝑈(𝑝) 𝑝 + 7𝑝2 + 11𝑝 + 5

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2) Les zéros sont les valeurs de p qui annulent le numérateur de la fonction de transfert donc les zéros= {-2} Les pôles sont les valeurs de p qui annulent le dénominateur 𝐷(𝑝) = 𝑝3 + 7𝑝2 + 11𝑝 + 5 = (𝑝 + 1)( 𝑝2 + 𝑎 ∗ 𝑝 + 𝑏) = (𝑝 + 1)( 𝑝2 + 6𝑝 + 5) = (𝑝 + 1)(𝑝 + 1)(𝑝 + 5) Les pôles = { −1, −5}

Exercice 6 : 1. 𝐻(𝑝) = 2. 𝐻(𝑝) =

𝑆(𝑝) 𝐸(𝑝)

=

1 (𝑝+3)(𝑝2 +3𝑝+2)

1 (𝑝+3)(𝑝+2)(𝑝+1)

=

𝑎 𝑝+3

+

𝑏 𝑝+2

+

𝑐 𝑝+1

𝑎 (𝑝 + 2)(𝑝 + 1) + 𝑏(𝑝 + 3)(𝑝 + 1) + 𝑐(𝑝 + 3)(𝑝 + 2) (𝑝 + 3)(𝑝 + 2)(𝑝 + 1)

=

Par identification on obtient : 𝑎 = −1, 𝑏 = 2, 𝑐 = −1 𝐻(𝑝) =

−1 2 −1 + + 𝑝+3 𝑝+2 𝑝+1

3. Cas 1 : L’entrée est un échelon 𝑆(𝑝) = 𝐻(𝑝) ∙ 𝐸(𝑝) = 𝐻(𝑝) ∙

2 𝑝

=

2 𝑝(𝑝 + 3)(𝑝 + 2)(𝑝 + 1)

=

𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 + + + 𝑝+3 𝑝+2 𝑝+1 𝑝

Par identification on obtient : 1 1 , 𝑏 = − , 𝑐 = 1, 𝑑 = −1, 3 3 1 1 −3𝑡 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑠(𝑡) = [ 𝑒 −𝑡 − 𝑒 + 𝑒 −2𝑡 − 𝑒 −𝑡 ]. 𝑢(𝑡) 3 3

𝑎=

Cas 2 :L’entrée est une impulsion 𝑆(𝑝) = 𝐻(𝑝) ∗ 𝐸(𝑝) = 𝐻(𝑝) ∗ 2 =

−2 4 −2 + + 𝑝+3 𝑝+2 𝑝+1

𝑠(𝑡) = [−2𝑒 −3𝑡 + 4𝑒 −2𝑡 − 2 𝑒 −𝑡 ] 𝑢(𝑡)

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Travaux Dirigés en Asservissement et régulation

Etude des systèmes dynamiques Niveau : L2-Génie mécanique

Exercice1 (corrigé) : Soit le train d’engrenage représenté ci-dessous, constituant un réducteur.

𝑛1 1 𝐽1

𝑓1

𝐶, 𝜃1 𝑓2

𝜃2

𝐽2

2

𝑛2 L’arbre 1 est l’arbre menant et l’arbre 2, l’arbre mené. Les caractéristiques du train d’engrenages sont les suivantes :

𝐶 : le couple fourni au reducteur ; 𝐶1 : Le couple exercé par l’arbre menant sur l’arbre mené 𝐶2 : Le couple exercé par l’arbre mené sur l’arbre menant ; 𝐽1, 𝐽2 : Les inerties des arbres ; 𝑓1 , 𝑓2 : Les coefficients de frottement visqueux ; 𝜃1 , 𝜃2 : Les positions angulaires ; 𝑤1 , 𝑤2 : Les vitesses angulaires 𝑛1 , 𝑛2 : Les nombres des dents de chacune des roues ;

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𝑟1, 𝑟2 : Les rayons des roues dentées ; 𝑤2 𝑤1

=

𝑛1 𝑛2

=

𝑟1 𝑟2

=

1 𝑛

: Le rapport de réduction.

On suppose que les roues tournent sans glissement.  les équations différentielles qui caractérisent le fonctionnement du réducteur : L’équation des couples pour l’arbre 1 donne :

𝑑𝜃1 𝑑 2 𝜃1 𝑐 − 𝑐2 − 𝑓1 = 𝐽1 𝑑𝑡 𝑑𝑡 2 Avec 𝑤1 =

𝑑𝜃1 𝑑𝑡

L’équation des couples pour l’arbre 2 donne :

𝑑𝜃2 𝑑 2 𝜃2 𝑐1 − 𝑓2 = 𝐽2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 2 Avec w2 =

𝑑𝜃2 𝑑𝑡 Ω (p)

1.Déterminer la fonction de transfert C1(s)

Ω1 (p) est la transformée de Laplace de 𝑤1. Sachant que 𝜃1 𝑟1 = −𝜃2 𝑟2 et 𝑤1 𝑟1 = − 𝑤2 𝑟2 (condition de roulement sans glissement) Et de plus : c2 = −

C1 n

2. Déterminer la fonction de transfert

Ω2 (p) C(s)

Ω2 (s) est la transformée de Laplace de 𝑤2

Exercice2 : Donner la fonction de transfert 𝑯(𝒑) =

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𝑺(𝑷) 𝑬(𝑷)

par simplification des schémas blocs suivants

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Exercice3 :

1) Donner en fonction de A l’expression de sa transmittance en boucle ouverte T(p) = Xr(p)/E(p) 2) Calculer ensuite la transmittance en boucle fermée T’(p) = Y(p)/Ye(p) en fonction de l’amplification A

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Exercice 4 (corrigé): Simplifier les schémas fonctionnels suivants : a) 𝐺4 +

X(p)

𝐺1

Y(p)

𝐺3

𝐺2 +

b) 𝐺4 +

X(p)

𝐺1

𝐺2

Y(p)

+

𝐺3 +

+ 𝐺5

c)

D(p) E(p)

+

-

S(p) A(p)

+

B(p)

C(p)

G(p)

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TD : Asservissement et régulation

d)

E(p)

S(p)

+

+

𝐻1 (p) -

𝐻3 (𝑝)

𝐻2 (p)

-

Exercice 5 : Le comportement d’un four destiné au traitement thermique d’objet est régi par l’équation différentielle suivante :

𝜽(𝒕) + 𝑻

𝒅𝜽(𝒕) = 𝑲 𝒑(𝒕) 𝒅𝒕

I. Calculer la fonction du transfert du four en boucle ouverte 𝑯(𝒑) =

𝜭(𝒑) 𝑷(𝒑)

par transformée de

Laplace de l’équation différentielle II. La régulation de température de four est donnée par le schéma bloc suivant :

𝜽𝒄(𝒑)

𝑪(𝒑)

C1

E(p)

V(p) K1

-

𝜭(p)

P(p)

Kr

H(p)

+ M(p)

C2

Description du montage :

 Bloc de transmittance C1 qui constitue le bloc « conversion », donne une image en volts de la consigne en degrés  C(t) et m(t) sont respectivement les images, exprimées en volt, des températures désirées (consigne) et mesurées  L’amplificateur multiplie l’écart e(t) afin de commander la résistance. Bloc de transmittance K1 ;

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p)

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 L’actionneur est une résistance électrique, p(t) désigne la puissance de chauffe et est donné par : p(t) = Kr .v(t)  Le capteur est un thermocouple (donne une image en volts d’une température en degrés). Bloc de constante C2 Notation : L [f(t)] = F(p) ; désigne la transformée de la Laplace de f(t) est égale à F(p) 1. Calculer la fonction de transfert en boucle fermée 𝑮(𝒑) =

𝜽(𝒑) 𝜽𝒄 (𝒑)

2. Calculer la sortie du système 𝜭(t) pour une entrée en échelon d’amplitude 200 ℃ (𝜃𝐶 (𝑡) = 200 ℃ )

Application numérique : T= 60 s ; K1 = 100 ; Kr = 30 ; K = 0.01 et C2= C1 = 0,025 V/℃

Exercice5 : La température 𝛳(𝑡) d’un four est réglée selon le processus représenté à la figure suivante :

𝑥(𝑡) est une tension délivrée par un montage potentiométrique. 𝑦(𝑡) est la tension délivrée par un thermocouple branché de telle façon que 𝑦(𝑡) soit positif et 𝒚(𝒕) = 𝜶. 𝜭(𝒕) avec 𝜶 = 410−5 𝑉⁄°𝐶 L’amplificateur fourni une puissance électrique 𝑃(𝑡) proportionnelle à 𝜀(𝑡), 𝒑(𝒕) = 𝑨(𝒙(𝒕) − 𝒚(𝒕)) = 𝑨 𝜺(𝒕)

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KALLELI S., TLILI A.

TD : Asservissement et régulation

On donne la fonction de transfert du four : 𝜽(𝒑) 𝟎, 𝟐 = (𝟓𝟎𝟎𝒑 + 𝟎, 𝟐)(𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝒑 + 𝟏, 𝟐) 𝑷(𝒑)

𝑻(𝒑) =

1. Compléter le schéma fonctionnel du système en boucle fermée.

P(𝒑)

𝜺(𝒑)

X(𝒑) +

𝜭(𝑝)

_

Y(𝒑)

2. Déterminer la fonction de transfert du système en boucle ouverte

𝐹 (𝑝) =

𝑌(𝑝)

a) Déterminer la fonction de transfert du système en boucle fermée

𝐺 (𝑝) =

𝛳(𝑝)

𝜀(𝑝) 𝑋(𝑝)

b) La transmittance canonique des systèmes du 2ième ordre s’exprime sous la forme : 𝐻(𝑝) = Où

𝑆(𝑝) 𝐾𝑤𝑛2 = 2 𝐸(𝑝) 𝑝 + 2𝜉𝑤𝑛 𝑝 + 𝑤𝑛2

n

est la pulsation propre ou naturelle.



est l’amortissement.

K

est le gain statique du système.

Exprimer ces 3 paramètres en fonction des données du problème.

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TD : Asservissement et régulation

Correction Exercice 1 : Modélisation d′ un système physique ∶ 1) Déterminer la fonction de transfert dθ (t)

On a : C(t) – C2 (t) – f1

dt

 C(t) – C2 (t) – f1 ω(t) = J1

= J1

Ω1 (p) C(p)

d² θ1(t) dt²

dω1(t) dt

(1)

Transformée de la place de l’équation (1) donne : L[𝐶(𝑡)] − 𝐿[𝐶2 (𝑡)] + 𝑓1 𝐿[𝜔1(𝑡)] = 𝐽1 𝐿 [

𝑑𝜔1(𝑡) 𝑑𝑡

]

 C(p) – C2 (p) − f1 Ω1 (p) (1′ )

Transformée de la place de l’équation (2) : On a : C1(t) – f2

dθ2(t) dt

= J2

 C1(t) – f2 ω2 (t) = J2

dθ2(t) dt²

𝑑𝜔2(𝑡) 𝑑𝑡

 𝐿 [𝐶1 (𝑡)] − 𝑓2 𝐿 (𝜔2 (𝑡)) = 𝐽2 (

𝑑𝜔2 (𝑡) ) 𝑑𝑡

 C1(p) – f2 Ω2 (p) = J2 p Ω 2 (p)  C1(p) – Ω2 (p) = (f2 + J2 p )

Or on a : C2(t) = -

C1 (t) n

 L (C2 (t)) = −

1 n

L (C1 (t)) C2 (p) = −

C1 (p) n

 C1(p) = - n C2 (p)

D’où : - n C2 (P) = Ω2 (p) (f2 + J2p)

Or on a : ω(t) r1 = - ω2 (t)r2  r1 Ω1 (p) = − r2 Ω2 (p) Ω2 (p) = − = −

r1 r2

Ω1 (p) r2 (p)

1 Ω (P) r 1

 − 𝑛 𝐶2 (𝑃) = −  C2 (P) =

1 n²

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1 𝛺 (𝑃)(𝑓2 + 𝐽2 𝑃) 𝑛 1

Ω1 (p)(f2 + J2 p)

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TD : Asservissement et régulation

On substitue C2 (p) par son expression dans (1’) ou obtient : 1

C(p) - n² Ω1 (p)(𝑓2 + J2 p) − 𝑓1 Ω1 (p) = J1 p Ω1 (p) 𝑓

 C(p) = [(𝑛22 + 𝑓1 ) + (𝐽1 +

D’où

Ω1 (p) C(p)

=

𝐽2 𝑛2

) 𝑃] 𝛺1 (𝑃)

1 f J2 ( 22+ f1 )+ (J1+ 2 n n

)p

2) On a Ω1 (p) = −nΩ2 (p)

D’où : - n

Ω2 (p) C(p)

=

1 f J2 ( 2 + f1)+ (J1+ )P n² n

Exercice 4 : a) Y(p)

X(p)

𝐺1 𝐺2 +𝐺4

𝐺3

𝐺2 =

𝑌(𝑝)

=(𝐺1 𝐺2 +𝐺4 ) . 𝐺3 𝑋(𝑝) b) 𝐺4

+

X(p)

𝐺1

𝐺2

𝐺3

Y(p)

+

+ + 𝐺1

𝑌(𝑝) 𝑋(𝑝)

𝐺5

=(𝐺1 𝐺2 +𝐺4 ) . 𝐺3 + 𝐺1 𝐺5

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c) 1 𝐶(𝑝)

D(p) E(p)

-

+

S(p) A(p)

+

B(p)

C(p)

G(p)

𝑆(𝑝)

=

𝐸(𝑝)

1

𝐴𝐵𝐶 1+𝐵𝐶𝐺 𝐴𝐵𝐶𝐷 + 𝐶(1+𝐵𝐶𝐺)

𝐴𝐵𝐶

= 1+𝐵𝐶𝐺+𝐴𝐵𝐶

d)

E(p)

S(p)

+

𝐻1 (p) -

+

𝐻2 (p)

𝐻3 (𝑝)

-

1 𝐻3 (𝑝)

𝑆(𝑝) 𝐸(𝑝)

=

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𝐻1 𝐻2 𝐻3 1+𝐻2 𝐻3 𝐻1 𝐻2 𝐻3 𝐻3 (1+𝐻2 𝐻3)

=

𝐻1 𝐻2 𝐻3 1+𝐻2 𝐻3 +𝐻1 𝐻2

20

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INSTITUT SUPERIEUR DES ETUDES TECHNOLOGIQUES DE NABEUL

Département de génie mécanique

Travaux Dirigés en Asservissement et régulation

Réponses temporelles Niveau : L2-Génie mécanique

Département génie Mécanique Travaux dirigés Fonctionnement du poste de découpage (poste 1) Les plaques de tôles initialement préparées sont déplacées vers le poste de découpage par l’intermédiaire d’un tapis roulant entraîné par un moteur (MT1). L’action simultanée de deux vérins (C2) et (C3) sur la tôle, assure son maintien en position sous le mécanisme de découpage. Une fois la bande découpée, elle tombe sur un deuxième tapis roulant pour l’amener au deuxième poste de cintrage (figure 1).

Figure 1 : Poste de découpage

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Asservissement en vitesse du moteur d’entrainement du tapis On s’intéresse dans cette partie à la modélisation et à la commande en vitesse du moteur MT1 à courant continu. 1. Modélisation L’entraînement du tapis amenant les bandes de tôle est assuré par un moteur à courant continu MT1. La fonction de transfert générale de al commande de la vitesse de rotation angulaire (t) du moteur utilisé est fournie sous forme de schéma bloc représenté par la figure 4. La modélisation du comportement du moteur d’asservissement à commande par l’induit est donnée par les équations ci-dessous : 𝑢(𝑡) = 𝑅. 𝑖(𝑡) + 𝐿

𝑑𝑖(𝑡) 𝑑𝑡

(𝐶. 1)

+ 𝑒(𝑡)

(𝐶. 2)

𝑒(𝑡) = 𝐾𝑒 .𝑤(𝑡) 𝐶𝑚 (𝑡) = 𝐾𝑐 . 𝑖(𝑡) 𝐽𝑚

𝑑𝑤(𝑡) 𝑑𝑡

(𝐶. 3)

= 𝑐𝑚 (𝑡) − 𝐹𝑣 . 𝑤(𝑡) − 𝑐𝑟 (𝑡)

(𝐶. 4

Les grandeurs physiques dans cette étude sont les suivantes : 𝑈 = 𝐿(𝑢(𝑡)) est la tension de commande du moteur, 𝐸 = 𝐿(𝑒(𝑡)) est la force contreélectromotrice, 𝐼 = 𝐿(𝑖(𝑡)) est l’intensité du courant de commande du moteur, 𝐶𝑚 = 𝐿(𝑐𝑚 (𝑡)) est le couple moteur, 𝐶𝑟 = 𝐿(𝑐𝑟 (𝑡)) est le couple résistant, Ω = 𝐿(𝑤(𝑡)) est la vitesse de rotation du moteur. Ou 𝐹 = 𝐿(𝑓) signifie que F est la transformée de Laplace de la fonction temporelle 𝑓 On note : 𝑅 : La résistance totale d’induit,𝐿 : l’inductance totale d’induit, 𝐾𝑒 : le coefficient de la force contre- électromotrice, 𝐾𝑐 : le coefficient de couple, 𝐹𝑣 : le coefficient de frottement visqueux, 𝐽𝑚 : Le moment d’inertie équivalent ramené sur l’arbre moteur 1. En supposant que les conditions initiales sont nulles pour toutes les variables du moteur, et à partir des transformées de Laplace des équations précédentes, compléter le schéma fonctionnel du moteur (figure 2), en précisant les blocs 𝐵𝑖 (𝑖 = 1, … ,4). A.U. 2014/2015

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2. 𝑪𝒓 (𝒑) +

U(p)

I(p)

B1

-

B2

𝑪𝒎 (𝒑) +

-

Ω(𝒑)

B3

E(p)

B4 Figure 4. Schéma bloc moteur Dans tout ce qui suit, on suppose que le couple résistant est nul : Cr = 0 Ω(p)

1.1.2 Etablir la fonction de transfert : G(p) = U(p) 2. Commande en vitesse du moteur

Le moteur est entraîné par une génératrice à courant continu à vitesse constante, dont le schéma bloc de commande est représenté par la figure 5. L’ensemble moteur – génératrice reçoit à l’entrée la consigne de fréquence de rotation Ωcons.

K2

I

Ωcon

b

Vcon

+

EG +

v

C(p)

U

VGT

Ω K1

Une dynamo tachymétrique placée sur l’arbre du moteur fournissant une tension 𝑣𝐺 (𝑡) = 𝑏 𝑤(𝑡)

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Les équations régissant le fonctionnement de la génératrice sont les suivantes : 𝑢(𝑡) = 𝑒𝐺 (𝑡) − 𝑅𝐺 𝑖(𝑡) 𝑒𝐺 (𝑡) = 𝑎 𝑖1 (𝑡)

𝑣(𝑡) = 𝑟 𝑖1 (𝑡) + 𝑙

𝑑𝑖1 (𝑡) 𝑑𝑡

où 𝑒𝐺 (𝑡) est la force électromotrice développée par la génératrice : C(p) est un correcteur. On note : V = L(v) ; I1 = L(i1) ; EG = L(eG) ; VGT= L (vGT) où F = L(f) signifie que F est la transformée de la place de la fonction temporelle f. Données numériques : Moteur : R = 0,4 Ohm, Ke = 1V.s/rad, Ke = 1N.m/A , Jm = 2kg m², on néglige l’inductance (L) et le coefficient de frottement (Fv) Génératrice : RG = 0.4 ohm, a = 100 ohm, r = 20ohm, 1 = 5H, Dynamo tachymètrique : b = 0.2 N.B : Pour toutes les questions suivantes, donner les expressions littérales puis numériques. 2.1 : Donner le schéma bloc complet du moteur-génératrice avec sa commande en précisant les blocs, K1, K2 et F(p). 2.2. Calculer la fonction de transfert T(p) reliant la vitesse angulaire Ω (p) à la tension de commande V(p). 2.3. Calculer et représenter l’allure de la réponse du système non asservi moteur-génératrice (V,Ω) à un échelon de tension de 10 Volts. 2.4. Calculer la fonction de transfert du système en boucle fermée : H(p) = 𝛺

𝛺(𝑃)

.

𝑐𝑜𝑛𝑠 (𝑝)

2.5. Dans le cas d’un correcteur proportionnel C(p) = A, montrer que le système asservi est un système de second d’ordre de pulsation propre ωn, de coefficient d’amortissement ξ et de gain statique K.

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2.6. Déterminer la valeur limite du gain A, telle que la réponse à un échelon ne présente pas de dépassement.

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TD : Asservissement et régulation

Correction Asservissement en vitesse du moteur d’entraînement du tapis 1- Modélisation : U(t) = Ri(t) + L

𝑑𝑖(+) 𝑑𝑡

+ e(t)

(C.1)

e(t) = ke ω(t)

(C.2)

cm(t) = Kc i(t)

(C.3)

Jm

dw(t) dt

1.1-

= cm (t) − FV . (i)(t) − Cr (t)

(C.4)

Transformée de la place pour l’équation (C.1) donne :

L[𝑈(𝑡)] = 𝑅𝐿[𝑖(𝑡)] + 𝑙 𝐿 [

𝑑𝑖(𝑡) 𝑑𝑡

] + L [𝑒(𝑡)] ⇒ U(P) = RI(p) + LpI (p) + E(p)

⇒ I(p) (R+pL) = U(p) – E(p) 1

⇒ I(p) = (𝑅+𝑝𝐿) (𝑈(𝑝) − 𝐸(𝑝))

B1 =

D’où

𝟏 𝑹+𝒑𝑳

 Transformée de la place de l’équation (C.2) donne : L [e(t)] = Ke L[ω(t)] ⇒ E(p) = ke Ω(p)

B4 = 𝒌𝒆

D’où

Transformée de la place pour l’équation (C.3) donne : L[𝑐𝑚(𝑡)] = 𝑘𝑐 𝐿[𝑖(𝑡)] ⇒ Cm(p) = Kc I(p)

B2 = Kc

D’où

 Transformée de la place de l’équation (C.4) Jm L [

𝑑𝑤(+) 𝑑𝑡

] = L[𝐶𝑚(𝑡)] − 𝐹𝑣𝐿 [𝜔(𝑡)] − 𝐿[𝐶𝑟(𝑡)]

⇒ 𝐽𝑚 𝑝 𝛺(𝑝) = 𝐶𝑚(𝑝) − 𝐹𝑣 𝛺(𝑝) − 𝐶𝑟(𝑝) ⇒ Ω(p)[𝑝𝐽𝑚 + 𝐹𝑣] = 𝐶𝑚(𝑝) − 𝐶𝑟 (𝑝) 1

⇒ Ω (p) = (𝐹𝑣+𝑝𝐽𝑚) (𝐶𝑚 (𝑝) − 𝐶𝑟 (𝑝)) d’où

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26

B3 =

𝟏 𝑭𝒗+𝒑 𝑱𝒎

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Ainsi le schéma fonctionnel du moteur est le suivant :

𝑪𝒓 (𝒑) U(p) +

+

𝟏 𝑹 + 𝒑𝑳

-

Ω(𝒑)

1 𝐹𝑣 + 𝑝𝐽𝑚

KC

-

E(p)

Ke

II- 1-2- Couple résistant est nul (Cr = 0) Le schéma bloc se réduit à : U(p)

+

𝟏 𝑹 + 𝒑𝑳

I(p)

KC

Cm(p)

1 𝐹𝑣 + 𝑝𝐽𝑚

Ω(𝒑)

𝑬(𝒑)

Ke Détermination de la fonction transfert G(p)

Ω(p)

G(p) = U(p) =

=

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1 1 .kc.Fv+pJm R+pL 1 1 1+ R+pL .kc .Fv+pJm .ke kc (R+pL)(Fv+pJm) (R+pL)(Fv+pJm)+ kcke (R+pL)(Fv+pJm)

27

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TD : Asservissement et régulation kc

D′ ou G(p) = (R+pL)(Fr+pJm)+

kc ke

2. Commande en vitesse du moteur :

2.1

Transformée de la place de l’équation (C.5)

𝐿 [𝑈(𝑡)] = 𝐿[𝑒𝐺 (+)] - 𝑅𝐺 𝐿[𝑖(𝑡)]  U(p) = EG(p) – RG I(p) d’où

K2 = RG

De même on a VG = b(t)⇒ L [𝑉𝐺(𝑡)] = b L [𝑤(𝑡)] ⇒ VGT (P) = b Ω(p) d’où 

K1 = b

Transformée de la place de l’équation (C.6)

L [𝑒𝐺 (𝑡)] = a L [𝑖1 (𝑡)] ⇒ EG (p) = aI1(p) 

Transformée de la place de l’équation (C.7)

L[𝑉(𝑡)] = r L[𝑖1 (𝑡)] + l L[ ⇒ I1(p) =

𝑑𝑖1 (𝑡) 𝑑𝑡

]

d’où EG(p) =

V(p) = rI1 (P) + lpI1(p)⇒ V(p) = (r + pl) I1 (p) V(p) ⇒

F(p) =

𝒂 (𝒓+𝒑𝒍)

On néglige l’inductance (L) et le coefficient de frottement (Fv) d’où B1 et B3 se réduisent à : et D’après la formule de black on a :

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D’ou:

2.2 la réponse temporelle du système (w(t) pour un échelon de tension de 10 volts (v(t) = 10 volts) Remarque : Ω(p) = L On a v(t) = 10 ⇒ V(p) =

Ω(p) = T(p) V (P) = AN :

⇒ Ω(p) =



= =

𝛾 = (𝑝 + 0,625)𝛺(𝑝)/𝑝 = −0,625 → 𝛾 = −59,26 D’où w(t) = 27,02 u(t) + 9,26e-4t U(t) – 59,26e-0,625t U(t)  w(t) = (27,02 + 9,26e-4t – 59,26e-0,625t) U(t) A.U. 2014/2015

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2.3 Calcul de la fonction de transfert du système en boucle fermée H(p) = Le schéma bloc (de la page 4) se simplifie sous la forme

On a Vcon = b Ωcon  D’où 𝐻(𝑝) = 2.4

𝛺(𝑝) Ωcon

=

bC(p)a kc (r+pl)(RJm p+pJm RG +kekc)+ bC(p)a Kc

Dans le cas d’un correcteur proportionnel C(p) = A de fonction de transfert devient :



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Ainsi le système est de second ordre or la fonction de transfert d’un système de second ordre s’écrit sous la forme :

Avec : K : gain statique,

: facteur d’amortissement et wn : pulsation propre Par identification on trouve : 2ξ ωn =

rJmR + rJmRG + lkekc lJmR + lJmRG

.

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INSTITUT SUPERIEUR DES ETUDES TECHNOLOGIQUES DE NABEUL

Département de génie mécanique

Travaux Dirigés en Asservissement et régulation

Performances d’un système asservi Niveau : L2-Génie mécanique

Exercice 1 : Tracer le lieu de transfert correspondant à la fonction : 𝐺(𝑝) =

1+𝑝 1 + 𝑝2

1. Dans le plan de Bode 2. Dans le plan de Black 3. Dans le plan de Nyquist En précisant les asymptotes et les points spécifiques.

Exercice 2 : Soit la fonction de transfert 𝐺(𝑝) =

1+𝑝 𝑝(1 − 𝑝)

Tracer le lieu de transfert dans le plan de Bode et dans le plan de Nyquist

Exercice 3 : Etudier la stabilité des systèmes d’équation caractéristique : 𝑄1 (𝑝) = 𝑝4 + 4. 𝑝3 + 3. 𝑝2 + 𝑝 + 𝐾 + 1 𝑄2 (𝑝) = 𝑝4 + 𝐾. 𝑝3 + 2. 𝑝2 + 𝑝 + 3 Ou 𝐾 est un paramètre réel variable.

Exercice 4 : Soit un système à retour unitaire dont la fonction de transfert de la chaine directe est 𝐺(𝑝). 1. Montrer que si le lieu de transfert en boucle ouverte présente une marge de phase 𝑚𝜑 = 60° à la pulsation 𝑤0 , alors le lieu de transfert en boucle fermée 𝐿(𝑗𝑤) est tel que |𝐿(𝑗𝑤0 )| = 1 , 𝑎𝑟𝑔(𝐿(𝑗𝑤0 )) = −60°

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2. Application : 𝐺(𝑝) =

𝐾 𝑝(1+0.5.𝑝)

Calculer la pulsation 𝑤0 et le gain 𝐾 permettant d’avoir une 𝑚𝜑 = 60°. Donner l’expression de la FTBF et vérifier le résultat.

Exercice 5 : Soit l’asservissement présenté dans la figure ci-dessous 1. Ecrire la fonction de transfert 𝐻(𝑝) =

𝑌(𝑝) 𝑌𝑐 (𝑝)

2. Si 𝑦𝑐 (𝑡) = 𝑦𝑐𝑜 = 𝑐𝑡𝑒 , que devient 𝑦(𝑡) quand 𝑡 → ∞ Quel est alors l’écart 𝑒0 (∞) entre 𝑦𝑐𝑜 et 𝑦(∞) 3. Que devient l’écart 𝑒1 (∞) = 𝑦𝑐 (∞) − 𝑦(∞) , si l’entrée est une rampe de pente a

𝑌𝑐 (𝑝)

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+ −

E(𝑝)

𝐾 1 + 𝑇. 𝑝

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𝑌(𝑝)

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DEVOIR DE SYNTHESE EN ASSERVISSEMENT ET REGULATION Année universitaire : 2009/2010.

Date : le 07/01/2010

Classe : L2.

Nombre de pages : 5

Durée : 1H30.

Documents : non autorisés. Proposé par Mrs : Kalleli.S & Moulahi.M & Amdouni.H & Zitouni.A

Fonctionnement du poste de découpage : Les plaques de tôles initialement préparées sont déplacées vers le poste de découpage par l’intermédiaire d’un tapis roulant entrainé par un moteur (MT1). L’action simultanée de deux vérins (C2) et (C3) sur la tôle, assure son maintien en position sous le mécanisme de découpage. Une fois la bande découpée, elle tombe sur un deuxième tapis roulant pour l’amener au deuxième poste de cintrage (figure 1)

Figure 1 : Poste de découpage

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Asservissement en vitesse du moteur d’entrainement du tapis On s’intéresse dans un premier lieu à la modélisation en vitesse du moteur MT1 à courant continu. L’entrainement du tapis amenant les bandes de tôle est assuré par un moteur à courant continu MT1. La fonction de transfert générale de la commande de la vitesse de rotation angulaire 𝑤 du moteur utilisé est fournie sous forme de schéma bloc représenté par la figure 2. La modélisation du comportement du moteur d’asservissement à commande par l’induit est donnée par les équations ci- dessous : 𝑢(𝑡) = 𝑅. 𝑖(𝑡) + 𝐿

𝑑𝑖(𝑡) 𝑑𝑡

(𝐶. 1)

+ 𝑒(𝑡)

𝑒(𝑡) = 𝐾𝑒 .𝑤(𝑡)

(𝐶. 2)

𝐶𝑚 (𝑡) = 𝐾𝑐 . 𝑖(𝑡)

(𝐶. 3)

𝐽𝑚

𝑑𝑤(𝑡) 𝑑𝑡

= 𝑐𝑚 (𝑡) − 𝐹𝑣 . 𝑤(𝑡) − 𝑐𝑟 (𝑡)

(𝐶. 4)

Les grandeurs physiques dans cette étude sont les suivantes : 𝑈 = 𝐿(𝑢(𝑡)) est la tension de commande du moteur, 𝐸 = 𝐿(𝑒(𝑡)) est la force contreélectromotrice, 𝐼 = 𝐿(𝑖(𝑡)) est l’intensité du courant de commande du moteur, 𝐶𝑚 = 𝐿(𝑐𝑚 (𝑡)) est le couple moteur, 𝐶𝑟 = 𝐿(𝑐𝑟 (𝑡)) est le couple résistant, Ω = 𝐿(𝑤(𝑡)) est la vitesse de rotation du moteur. Ou 𝐹 = 𝐿(𝑓) signifie que F est la transformée de Laplace de la fonction temporelle 𝑓 On note : 𝑅 : La résistance totale d’induit, 𝐿 : l’inductance totale d’induit, 𝐾𝑒 : le coefficient de la force contre- électromotrice, 𝐾𝑐 : le coefficient de couple, 𝐹𝑣 : le coefficient de frottement visqueux, 𝐽𝑚 : Le moment d’inertie équivalent ramené sur l’arbre moteur 3. En supposant que les conditions initiales sont nulles pour toutes les variables du moteur, et à partir des transformées de Laplace des équations précédentes, compléter le schéma fonctionnel du moteur (figure 2), en précisant les blocs 𝐵𝑖 (𝑖 = 1, … ,4).

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𝑪𝒓 (𝒑) U(p) +

B1

I(p)

B2

𝑪𝒎 (𝒑)

-

+

E(p)

B3

Ω(𝒑)

B4

Figure 2 Schéma bloc moteur

4. Le but de cette question est d’établir l’expression de sortie Ω(𝒑) = 𝒇(𝑼(𝒑) + 𝑪𝒓 (𝒑)) a) 1er cas : 𝑪𝒓 = 𝟎 Déterminer alors l’expression de sortie Ω𝟏 (𝒑) = 𝒇 (𝑼(𝒑) b) 2ème cas : 𝑼(𝒑) = 𝟎 Déterminer alors l’expression de sortie : Ω𝟐 (𝒑) = 𝒇(𝑪𝒓 (𝒑)) c) Pour Ω(𝒑) = Ω𝟏 (𝒑) + Ω𝟐 (𝒑) Déduire alors l’expression Ω(𝒑) = 𝒇(𝑼(𝒑) + 𝑪𝒓 (𝒑)) On considère dans la suite du problème : 𝑪𝒓 = 𝟎 3. Si on néglige l’inductance 𝑳 et le frottement 𝑭𝒗 a) Déterminer et représenter l’allure de la réponse temporelle du système 𝜔(𝑡) à un échelon de tension de 10 volts (𝑢(𝑡) = 10 𝑉) Application numérique : 𝐾𝑐 = 1 𝑁. 𝑚/𝐴, 𝐾𝑒 = 1 𝑉. 𝑠/𝑟𝑎𝑑 , 𝐽𝑚 = 2 𝑘𝑔. 𝑚2 et 𝑅 = 0,4 𝑜ℎ𝑚 b) Calculer le temps de réponse à 5% 4. Soit 𝐻(𝑝) =

Ω(𝑝) 𝑈(𝑝)

la fonction de transfert du système

On considère dans ce qui suit que 𝐻(𝑝) s’écrit sous la forme :

𝐻(𝑝) =

1 1+0.8.𝑝

Compléter le tableau suivant et tracer le lieu de Bode en précisant les asymptotes

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𝒘(𝒓𝒂𝒅⁄𝒔)

0,1

0,3

0,5

1

1,25

2

5

10

12,5

𝑮(𝒅𝑩) 𝝋°(𝑯)

5. Soit le système asservi linéaire décrit par le schéma bloc suivant :

U(𝒑) +

𝟏 𝟏 + 𝟎, 𝟖. 𝒑

𝑪(𝒑)

Ω(𝒑)

_

On ne considère que le correcteur 𝑪(𝒑) = 𝒌 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝒌 > 0

Soit 𝑮(𝒑) =

Ω(𝒑) 𝑼(𝒑)

la fonction de transfert de système

a) Déterminer la fonction de transfert du système respectivement en boucle ouverte et en boucle fermée

b) Pour : 𝒌 = 𝟑, 𝟏𝟕 Tracer les courbes du processus en boucle ouverte dans le lieu de Bode NB : le traçage des courbes se fait dans le même graphe de la question 4) c) Déduire alors le rôle du correcteur 𝑪(𝒑)

Bon Travail

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Annexe

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Correction D’examen 1)  Transformée de la place de l’équation (C.1) donne : L ⇒ U(p) = RI(p) + L.p.I(p) + E(p). ⇒ I(p) (R + pL) ) = U(p) – E(p) ⇒ I(p) =

)

D’où B1 =  Transformée de la place de l’équation (C.2) donne : L ⇒ E(p) = ke Ω(p) d’où B4 = ke  Transformée de la place de l’équation (C.3) donne : L

⇒ Cm(p) = kc I(p) d’où B2 = kc

 Transformée de la place de l’équation (C.4) Jm L ⇒ Jm pΩ (p) = Cm(p) – Fv Ω(p) – Cr (p) ⇒ Ω(p) ⇒ Ω(p) =

d’où B3 =

2) a) 1er cas : Cr = o Le schéma bloc moteur devient :

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U(p)

Ω1(p)

+

-

(D’après la formule de black)

D’où b) 2ème cas : U(p) = 0 Le schéma bloc moteur devient : Cr(p)

Ω2(p)

+

-

c) Ω(p) = Ω1(p) + Ω2(p)

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⇒ Ω(p) =

Cr(p)

⇒ Ω(p) = 3) a) Pour Cr = 0 et en plus si on néglige l’inductance L et le frottement Fv, on obtient : Ω (p) = ⇒ Ω (p) = U(t) = 10

d’où Ω(p) =

⇒ Ω(p) = ⇒ ω(t) = 10 (1 -

)

W(t) 10

t

b) tr5%? ⇒ Le temps au bout du quel ω(t)= 95% ω (

⇒ ω(t) = 0,95 x 10 ⇒ ω(t)=9,5 rad/s

ω(t) = 9,5 ⇒ 10(1 – e-1,25t) = 9,5 ⇒1 – e-1,25t = 0,95 ⇒ e-1,25t) = 0,05 ⇒ -1,25t = log (0,05) ⇒t=-

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AN : t = 2,39s 3) Soit H(p) = H(jω) = ω(rad/s)

0,1

0,5

1,25

3

6

10

G(dB)

-0,02

-0,64

-3,01

-8,3

-13,81

-18,13

C°(H)

-4,57°

-21,80°

-45°

-67,38°

-78,23°

-82,87°

G (dB) = 20 log10

⇒ G(dB) = -10 log10 (1 + (0,8ω)²)

φ° (H) = -arctg (0,8ω) 

Comportement asymptotique :

Lorsque ω

, on a :

 

⇒ G(dB) = 0dB φ = 0°

lorsque ω

, on a :

H(jω) ≃

= -j

⇒



G(dB) = 20 lgo10



φ

= -20 log10 (0,8ω)

-

Lorsque ω : ωo = 1,25 

G(dB) =-3,01

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

φ ° =45°

Les asymptotes seront de pente O dB jusqu’à ω0 = 1,25 (asymptote horizontale) et 20dB/décade au-delà 5) a) la fonction de transfert en boucle ouverte (FTBO)

-

la fonction de transfert en boucle fermée (FTBK)

b) On a G(dB) ) 20log10

⇒G (dB) = 20log10

20log10(k) – 10log10 (1 +(0,8ω)²) G(dB) = 10 – 20 log10 

φ° (G(jw) ) = -arctg (0,8ω) = φ ° (H(jw))

C) le rôle du correcteur C(P) * au niveau du gain : décalage du gain de 10dB * au niveau de la phase : Aucun effet

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TD : Asservissement et régulation

DEVOIR DE SYNTHESE EN ASSERVISSEMENT ET REGULATION Année universitaire : 2010/2011.

Date : le

Classe : CFM21,22 , MI21 ,22., CLIM2 Durée : 1H30.

/01/2011

Nombre de pages : 6 Documents : non autorisés.

Proposé par Mrs : Kalleli.S & Moulahi.M

Enoncé du problème : On considère un groupe Ward-Léonard constitué d’une génératrice à courant continu G, entrainé à vitesse constante 𝒘𝟎 , qui alimente un moteur à courant continu M. Le moteur entraine une charge constituée en première approximation par une inertie pure 𝑱 . L’inducteur du moteur est alimenté sous une tension constante, et on négligera la réaction d’induit.

Première partie : Etude du groupe Le schéma fonctionnel simplifié du groupe est donné par la figure ci-dessous :

𝑽(𝒑)

𝟏 𝒓 + 𝑳𝒑

𝑰𝟏 (𝒑)

𝒂

𝑬(𝑷) +

𝒌𝟐

𝒌 + 𝑹𝒎 𝑱𝒑

Ω(𝒑)

− 𝑹𝑮

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𝒑

𝑱 𝑲

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Données numériques : On donne : Le moment d’inertie : 𝑱 = 𝟐 𝒌𝒈. 𝒎𝟐 ; le coefficient de couple 𝑲 = 𝟏 𝑵𝒎/𝑨 ; la résistance de l’induit 𝑹𝒎 = 𝟎, 𝟒 𝒐𝒉𝒎 La résistance d’induit 𝑹𝑮 = 𝟎, 𝟒 𝒐𝒉𝒎 ; coefficient de fem 𝒂 = 𝟏𝟎𝟎 𝒐𝒉𝒎𝒔 ; résistance de l’enroulement d’excitation 𝒓 = 𝟐𝟎 𝒐𝒉𝒎𝒔 ; inductance 𝑳 = 𝟓 𝑯

1) En se référant au schéma fonctionnel simplifié du groupe, exprimer la fonction de transfert 𝑭(𝒑) reliant la vitesse angulaire Ω(𝒑)à la tension de commande 𝑽(𝒑) : 𝑭(𝒑) = Ω(𝒑) 𝑽(𝒑)

2) Sachant que 𝑭(𝒑) = On pose 𝑭𝟏 (𝒑) =

𝟓 (𝟏+𝟏,𝟔 𝒑)(𝟏+𝟎,𝟐𝟓𝒑)

𝟓 𝟏+𝟏,𝟔𝒑

et 𝑭𝟐 (𝒑) =

𝟏 𝟏+𝟎,𝟐𝟓𝒑

2-1) compléter le tableau ci-dessous w(𝒓𝒂𝒅/𝒔)

0,3

0,625

1

2,5

4

10

20

𝝋°(𝑭𝟏 (𝒋𝒘))

-25,64

- 45

- 58

-75,96

-81 ,12

- 86,42

-88,21

𝑮𝒂𝒊𝒏 (𝑭𝟏 (𝒋𝒘))(𝒅𝑩)

13,1

11

8,48

1,7

-2,22

-10,1

-16,1

𝝋°(𝑭𝟐 (𝒋𝒘))

- 4,29

- 8,88

-14

-32

-45

-68,19

-78,69

𝑮𝒂𝒊𝒏 (𝑭𝟐 (𝒋𝒘))(𝒅𝑩)

- 0,02

- 0,1

- 0,26

- 1,43

-3

-8,6

-14,15

𝝋°(𝑭 (𝒋𝒘)) 𝑮𝒂𝒊𝒏 (𝑭 (𝒋𝒘))(𝒅𝑩)

Remarque : 𝑮𝒂𝒊𝒏 (𝑭 (𝒋𝒘))(𝒅𝑩) = 𝑮𝒂𝒊𝒏 (𝑭𝟏 (𝒋𝒘))(𝒅𝑩) + 𝑮𝒂𝒊𝒏 (𝑭𝟐 (𝒋𝒘))(𝒅𝑩)

𝝋°(𝑭 (𝒋𝒘)) = 𝝋°(𝑭𝟏 (𝒋𝒘)) + 𝝋°(𝑭𝟐 (𝒋𝒘))

2-2) Tracer le lieu de Bode de la fonction de transfert 𝑭 (𝒑) 3) Déterminer et représenter sur la page document réponse la réponse indicielle du groupe 𝑤(𝑡) à un échelon de tension de commande de 10 V, (𝑣(𝑡) = 10 𝑉)

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NB : 𝒘(𝒕) = 𝑻𝑳−𝟏 (Ω(𝒑))

Deuxième partie : Etude de l’asservissement de vitesse : Pour réaliser un asservissement de vitesse, on ajoute au montage précédent :  Une dynamo tachymètre GT, placée sur l’arbre du moteur M et fournissant une tension 𝑣𝐺𝑇 = 𝑏 𝑤(𝑡) , avec 𝒃 = 𝟎, 𝟐 𝑽/ 𝒓𝒂𝒅/𝒔  Un comparateur effectuant la différence (𝑉𝑐 − 𝑉𝐺𝑇 ) ; ou 𝑉𝑐 est une tension de consigne ;  Un amplificateur de gain A qui amplifie la sortie du comparateur et fournit une tension de Commande v Le schéma fonctionnel du groupe avec sa commande est donné par la figure ci-dessous

𝑽𝒄 (𝒑)

+ A

𝒗 (𝒑)

𝑭(𝒑)

Ω(𝒑)

𝑽𝑮𝑻 (𝑷) b Avec 𝑭(𝒑) =

𝟓 (𝟏+𝟏,𝟔 𝒑)(𝟏+𝟎,𝟐𝟓𝒑)

1) En se référant au schéma fonctionnel, déterminer la fonction de transfert 𝑯(𝒑) =

Ω(𝒑) 𝑽𝒄 (𝒑)

2) Déterminer pour 𝑯(𝒑) en fonction de A, les valeurs de la pulsation naturelle 𝒘𝟎 , du coefficient d’amortissement 𝝃 et du gain statique 𝒌 de l’asservissement. NB : la fonction de transfert d’un système de second ordre s’écrit sous la forme :

𝒌 𝒘𝟐𝟎 𝑯(𝒑) = 𝟐 𝒑 + 𝟐𝝃𝒘𝟎 𝒑 + 𝒘𝟐𝟎 3) Calculer A pour avoir 𝝃= 0,7 4) Sachant que pour ξ = 𝟎, 𝟕 , on a 𝒘𝟎 = 𝟑, 𝟐𝟔 𝒓𝒂𝒅/𝒔 et 𝒌 = 𝟑, 𝟖𝟑

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Déterminer la réponse indicielle du système 𝑤(𝑡) à une entrée de consigne de 10 V (𝑣𝑐 (𝑡) = 10 𝑉) sachant que pour : 𝑺(𝒑) = 𝒔(𝒕) = 𝑻𝑳−𝟏 (𝑺(𝒑)) = 𝒂 𝒌 [𝟏 −

𝒂𝒌 𝒘𝟐𝟎 , on a pour 𝒑(𝒑𝟐 + 𝟐𝝃𝒘𝟎 𝒑+ 𝒘𝟐𝟎 )

0