TD Corrige Analogique Numerique

TD Analogique /numérique Exercice 1 : Questions de cours à maîtriser totalement et impérativement(*) Partie 1 à QCM : Précisez si les affirmations suivantes pour les différentes situations sont vraies ou fausses : -

Lorsqu’une personne parle devant un microphone, le signal qui en sort :

a) contient toutes les fréquences du continu au MHz b) ne contient qu’une seule fréquence c) a une amplitude qui dépend du niveau sonore d) a une fréquence qui dépend du niveau sonore e) nécessite une bande passante de 50Hz à 15 kHz pour une reproduction Hi-fi f) se contente d’une bande passante de 300Hz à 3 kHz pour une reproduction correcte Réponse : c) et e) sont vraies le reste est faux. Lorsqu’une personne parle, le spectre associé au signal sonore est complexe et s’étend de 20 Hz à 20 000 Hz. L’amplitude est bien sûre indépendante de la fréquence. -

Le circuit d’acquisition d’un signal analogique audio (de 20 Hz à 20 kHz) a la structure suivante :

a) on peut échantillonner à une fréquence fe beaucoup plus grande que 20 kHz b) si on échantillonne à 44 kHz, on perdra un peu de qualité dans les aiguës c) il faut au minimum échantillonner à un peu plus que 20 kHz d) le bloqueur maintient le signal constant à l’entrée du CAN pendant les conversions e) le choix du nombre de bits N sera déterminant pour la qualité du système Réponse : d) et e) sont vraies. Le choix d’une fréquence d’échantillonnage élevée n’est pas judicieux car elle conduit à un traitement de nombreuses données ensuite. Il faut également bien se persuader que lorsque Shannon est vérifié alors le spectre du signal analogique est conservé et peut alors être « retrouvé » à la conversion numérique analogique sans perte. -

Le circuit précédent est utilisé pour l’acquisition d’un signal dont le spectre va du continu à 5 kHz, la fréquence d’échantillonnage a été choisie à 12 kHz.

a) le choix de la fréquence d’échantillonnage est correct b) l’information entre les échantillons est perdue, d’où dégradation de la qualité

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c) le filtre passe-bas anti-repliement est placé après l’échantillonneur d) la fréquence de coupure de ce filtre doit être légèrement supérieure à 5 kHz e) la pente de ce filtre doit être la plus raide possible après la coupure Réponse : a), d) et e) sont correcte. Le filtre anti-repliement doit être placé avant échantillonnage. 4

-

Un signal téléphonique est échantillonné à son arrivée au central téléphonique à fe = 8 kHz et converti en mots de 8 bits sous forme série :

a) le débit numérique correspondant est D = 16 kbits/s b) la bande passante de la voie téléphonique analogique est de 8 kHz c) à l’entrée du central, le signal analogique est filtré en-dessous de 4 kHz d) vue la qualité du microphone et de la ligne téléphonique, on n’a pas besoin de filtre à l’entrée du central e) la bande passante du signal numérique s’étend jusqu’à 64 kHz f) c’est seulement à cause du filtrage que la qualité n’est pas celle d’un CD audio Réponse : a) faux :le débit est de 64 kbit/s ;b) Faux, forcément inférieur à 4 kHz, c) Vrai, d) Faux, e) Faux :le signal échantillonné à un spectre périodisé infini f)il y a l’échantillonnage (44 kHz) et le nombre de bit (16 bits) qui sont déterminants Partie 2 : Répondre aux questions a) Représentez l’allure du spectre d’un signal sinusoïdal échantillonné après avoir démontré la formule conduisant à ce spectre (on verra l’échantillonnage comme la multiplication du signal utile par un peigne de Dirac) Mathématiquement, on peut décrire un signal échantillonné x*(t) par le produit suivant : x*(t) = x(t).d(t) Où d(t) est une suite d’impulsions de période TE, de largeur t0 et d’amplitude unité et nulle en dehors de ces instants. Afin de faciliter notre étude on supposera d(t) comme pouvant être décrit par une série de pics de Dirac. Rappel : Un pic de Dirac δ (t ) est une impulsion d’air unité centrée en zéro qui vaut zéro partout ailleurs et dont la largeur ε tend vers zéro. δ (t ) 1/ ε

Zoom

−ε t2

δ (t ) ε

On représente également un Dirac par :

t

δ (t )

2

t t TD corrige analogique numerique.doc

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Ainsi de manière à avoir une série d’impulsions non nulles (peigne de Dirac) aux instants kTE on va définir d(t) tel que : d (t ) =

k = +∞

∑ δ (t − kT k =0

E

) avec k entier :

d(t)

t -6TE -5TE -4TE -3TE -2TE -TE 0

TE 2TE 3TE 4TE 5TE 6TE

D’après Fourier cette fonction périodique et paire sera décomposable en une somme de cosinus. Ainsi d(t) s’écrit : ∞

d (t ) = d moy + ∑ An cos(nω E t ) où ω E = n =1

On a alors d moy = An =

4 TE

4 An = TE

∫

TE / 2

0

ε /2

∫ 0

Aire sur une période période

=

2π TE

1 TE

d (t ) cos(nω E t )dt

1 cos(nω E t )dt ε

sin( nω E

ε ) 2

An =

4 TE

An =

nω ε 2 sin c( E ) 2 TE

nω E ε

Or sachant que ε → 0 et que sinc(0)=1 d (t ) =

1 n=∞ 2 +∑ cos(nω E t ) TE n =1 TE

On peut remarquer que le spectre d’un peigne de Dirac donne également une série de pics. Si on suppose que le signal a échantillonner est une sinusoïde définit telle que : x(t)=Acos( ω 0 t )

Alors x*(t) s’écrit :

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x*(t)=Acos( ω 0 t ) (

1 n=∞ 2 +∑ cos(nω E t )) TE n =1 TE

relation 1

Une analyse graphique nous conduit à :

d(t) x*(t)

t x(t)

t

t Figure 6 On voit bien que la représentation temporelle de x*(t) conduit à une fonction discrète qui est différente de x(t), il est donc tout à fait logique d’obtenir un spectre de x*(t) qui soit différent de x(t) et c’est en effet ce que nous pouvons constater à l’aide de la relation 1 : A l’aide des formules trigonométriques, on obtient les différentes composantes spectrales :

x(f)

x*(f)

A

A/TE f

f

f0

f0

fE –f0

fE+f0

2fE-f0 2fE+f0

f b) Un ingénieur du son échantillonne à 44 kHz le signal sonore suivant: - la partie musicale de 20 à 20000 Hz - d’un bruit électrique de densité spectrale constante dans la bande 0 à 40000 Hz - d’un signal parasite à 35kHz Que constatez-vous dans la bande audio ? Justifiez à l’aide d’un graphique Spectre du signal échantillonné

0 20 9k

20k 24k 35k 40k 44k

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64k

79k84k

f

Lors de la conversion numérique analogique nécessaire pour alimenter le HP, il restera une composante à 9 kHz et un bruit deux fois plus important !!!

c) Donnez le principe d’un filtre anti-repliement. Dans l’exemple précédent si on conserve cette fréquence d’échantillonnage, quelle est la valeur de la fréquence de coupure de ce filtre. Un filtre anti-repliement permet de limiter le spectre d’un signal à numériser afin de respecter Shanonn et donc un recouvrement des spectres. Dans l’exemple précédent, le filtre antirepliement fixé à 22 kHz évite le phénomène de repliement du spectre de la composante à 35 kHz (qui donne naissance à l’harmonique 9 kHz) et évite de doubler le niveau du bruit. d) Etablir la transmittance d’un bloquer d’ordre zéro.

Considérons l’échantillonnage d’une impulsion très brève (un seul échantillon possible) x(t) d’amplitude unité :

x(t)

x*(t)

1 Echantillonnage 1

t

t

Après blocage, x*(t) devient b(t) : b(t) 1

t 0

TE

On peut trouver l’expression de b(t) en notation de Laplace. Il suffit de voir que b(t) est la superposition de deux échelons de tension avec l’un en retard et l’autre inversé. En utilisant le théorème du retard, on obtient : b( p ) =

1 (1 − exp( −T E p)) p

Sachant x*(t) est dans notre exemple un pic de Dirac et que la transformée de Laplace d’un pic de Dirac vaut 1, on peut alors trouver la fonction de transfert B( p ) d’un bloqueur d’ordre zéro : 1 − exp( −TE p ) B( p ) = p On peut alors exprimer la fonction de transfert en notation complexe pour un signal sinusoïdal de pulsation ω. Dans les conditions d’Heaviside, on a :

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B ( jω ) =

1 − exp( − jωTE ) jω

jωTE − jωTE   exp( ) − exp( )  − jωTE 2 2 B( jω ) = exp( )  jω 2     ωT   2 j sin( E )   − jωTE 2 B( jω ) = exp( )  jω 2     ωT  − jωTE  B( jω ) = exp( )TE sin c ( E ) 2 2   ω est la pulsation du signal échantillonné et bloqué. Si on suppose le critère de Shannon T 2π largement vérifié alors ωTE = E 〈〈1 T ωT Ainsi B(ω ) = T E sin c( E ) 2 Et B( f ) = T E sin c(πTE f ) e) Tracez l’allure du spectre d’un signal échantillonné et bloqué

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f) Les signaux échantillonnés et bloqués sont ensuite envoyés vers un CAN 8 bits dont la pleine échelle est +/-5V. Calculez la résolution de ce convertisseur. Donnez le nombre en sortie du CAN en binaire et hexadécimal de la tension 1,25V 10 = 40mV 28 − 1 Quand pas signé [10011100] soit [9C] Quand signé [00011111] soit [1F] q=

Partie 3 à QCM : Précisez si les affirmations suivantes pour les différentes situations sont vraies ou fausses : -

On s’intéresse aux transformées en z des deux signaux échantillonnés suivants :

a) la transformée s’écrit : X(z) = 1-z-1+z-2 Non ! b) la transformée s’écrit : X(z) = 1-z-2+z-4 oui ! c) la transformée s’écrit : Y(z) = 1+5z-1 Non ! d) la transformée s’écrit : Y(z) = 1+z-1+…. +z-4 Oui ! 6 -

Un filtre numérique attaqué par une séquence impulsion xk répond par la séquence yk suivante :

a) la transmittance de ce filtre s’écrit : H(z) = 1 + 0,5.z-1+ z-2 Oui b) son algorithme s’écrit : yk = 2.xk + xk-1 + 0,5.xk-2 Non c) la transmittance en continu du filtre vaut Ho = ‫ٱ‬1,5 Non d) il s’agit d’un filtre non récursif à réponse impulsionnelle infinie Non ici la réponse est finie e) pour certains types d’entrées, le filtre peut devenir instable. Il s’agit d’un filtre non récursif, donc stable

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Exercice 2 : Utilisation du cours (**) :approximations de la transformée en z Partie 1 : Expressions p(z) : On a vu que la transformée en z n’était qu’un cas particulier de la transformée de Laplace mais qui mettait en œuvre une notation plus simple pour les tensions échantillonnées. Pour passer de l’une à l’autre de ces transformées, il faut poser : z = e pTE Ce changement de variable fait intervenir une fonction exponentielle qui n’est pas évidente à manipuler dans les calculs, on emploie alors différentes approximations pour faciliter l’expression de p(z) -

équivalence de la dérivé

Donnez l’expression de p(z) dans le cas où on assimile la dérivé d’un signal échantillonné à la pente entre deux échantillons s ' (t ) =

s * (t ) − s * (t − T E ) S ( z) − S ( z) / z z − 1 = S ( z) transformée en Z TE zTE TE

or : s ' (t ) transformée de Laplace Par ana log ie : p → -

pS ( p )

z − 1 1 − z −1 = zTE TE

équivalence de l’intégrale

Donnez l’expression de p(z) dans le cas où l’intégrale du signal échantillonnée entre deux échantillons est prise égale à l’air du rectangle de largeur TE et de longueur égale à la moyenne des deux échantillons successifs s * (t ) + s * (t − TE ) 1 + z −1 TE = s * (t ) TE 2 2 2z p→ ( z + 1)TE - théorème du retard Enoncez le théorème du retard avec la transformée de Laplace puis en z. Conclusion  x (t ) → X ( p )   x(t − τ ) → X ( p) exp( − pτ )  x * (kTE ) → X ( z )   X ( z)  x * (t − TE ) = Z z = exp( pTE )

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Partie 2 :Le filtrage numérique

1) Détermination de la transmittance d’un filtre numérique qui répond de la même manière qu’un filtre passe haut d’ordre 1 à un échelon de tension par une méthode comparative: - Considérons l’étude analogique d’un échelon de tension dans un premier temps. Rappelez les expressions de l’entrée x(t), x(p), puis de la fonction de transfert T(p), et 1 L−1 exp( − at ) : de la réponse Y(p) et en déduire y(t) sachant que a+ p

Consigne x

Réponse y

Filtre analogique

t

x(t)=1 X(p)=

-

1 p

T ( p) =

τp 1 + τp

− τ 1 = y(t)= e τ (1 + τp) 1 +p τ t

y(p)=

Considérons maintenant l’arrivée d’un échelon de tension numérisé. Donnez l’expression de x(nTE), puis de X(z). Sachant que la variable t devient kTE donnez, en utilisant y(t), l’expression de y(kTE). En déduire Y(z) en utilisant les tables du cours puis T(z) kTE τ

 − TE =  e τ 

k

 z z −1  ; Y(z) = ;T(z) =   − TE   − TE  z −  e τ  z −  e τ    En déduire l’algorithme associé qui nous permettra de paramétrer un circuit intégré qui aura les mêmes propriétés que le filtre analogique.

− z x(kTE) = 1 ; X(z)= ; y(kTE)= e z −1

-

t

 − TE  Y ( z )( z −  e τ ) = X ( z )( z − 1)   TE  −  Y ( z )(1 −  e τ  z −1 ) = X ( z )(1 − z −1 )   TE  −  y k −  e τ  y k −1 = x k − x k −1   TE  −  y k =  e τ  y k −1 + x k − x k −1  

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   

2) Détermination de la transmittance d’un filtre numérique qui répond de la même manière qu’un filtre passe haut d’ordre 1 à un échelon de tension par une méthode approximative - Donnez la relation entre z et p avec l’équivalence des dérivés s ' (t ) =

s * (t ) − s * (t − T E ) S ( z) − S ( z) / z z − 1 = S ( z) transformée en Z TE zTE TE

or : s ' (t ) transformée de Laplace

pS ( p )

z − 1 1 − z −1 = zTE TE Donnez l’expression de T(z) associé à un filtre passe bas d’ordre 1

Par ana log ie : p → T ( p) =

-

1 − z −1 τp →τ 1 + τp TE

1 τ (1 − z −1 ) = = T ( z) 1 − z −1 TE + τ (1 − z −1 ) 1+τ TE En déduire la relation de récurrence

Y ( z )(TE + τ (1 − z −1 )) = X ( z )(τ (1 − z −1 )) (TE + τ ) y k = τ ( y k −1 + x k − x k −1 ) τ ( y k −1 + x k − x k −1 ) τ + TE - Vérifiez que ce modèle redonne le même algorithme que dans la question précédente si TE