Td Asservissement m1 Spi-gma

TD ASSERVISSEMENT

M1 SPI - GMA

Michel AGULLO Stéphane SEGONDS

I. TRANSFORMATION DE LAPLACE Exercice 1-1 : Déterminer la transformée de Laplace de la fonction f (t ) définie cidessous : f(t) A

τ

T

2T

t

Exercice 1-2 : Soit la fonction f (t ) = a.t . Tracer et déterminer les transformées de Laplace des fonctions définies par : •

f1 (t ) = f (t ).u (t )

•

f 2 (t ) = f (t − T ).u (t − T )

•

f 3 (t ) = f (t − T ).u (t )

•

f 4 (t ) = f (t ).u (t − T )

Exercice 1-3 : Déterminer les originaux f (t ) des fonctions F ( p ) suivantes : a) F ( p ) =

K ( p + a )( p + b)

d) F ( p ) =

2p2 ( p + 1) 2 ( p + 2)

b) F ( p ) =

K p (1 + τ p )

e) F ( p ) =

12 p +5p +6

c) F ( p ) =

24 ( p + 2) 4

f)

F ( p) =

12 p +2p +5

2

2

Exercice 1-4 : Résoudre, par application de la transformation de Laplace, les équations différentielles suivantes : a)

 dx(t ) + x(t ) = 0 2  dt  x(0) = 3

 dx(t ) + x(t ) = 3u (t ) 2  dt  x(0) = 0

b)

1

II. MODELISATION DES SYSTEMES MECANIQUES Exercice 2-1 : Un système mécanique à un degré de liberté constitué d’une masse m, d’un ressort de raideur k et d’un frottement visqueux de coefficient f est soumis à une sollicitation f(t). On note x(t) le déplacement de la masse m par rapport à sa position d’équilibre. f(t) k m f x(t) a) Ecrire l’équation différentielle du mouvement. b) On considère nulles les conditions initiales. En déduire la fonction de transfert du système que l’on exprimera sous la forme canonique suivante : H ( p) =

X ( p) = F ( p)

K 1+ 2

p2 ξ p+ 2 ω0 ω0

c) En déduire les expressions littérales en fonction de k, f et m :


du gain statique K ;




de la pulsation propre ω0 ;




du facteur d’amortissement ξ.

d) Donner l’expression de la fonction de transfert H(p) dans les cas suivants :


la masse m est négligeable ;




le frottement visqueux f est nul ;




le frottement visqueux f est égal au frottement critique (ξ = 1).

Application numérique : k = 2 N.m-1 , f = 3 N.s.m-1 , m = 1 kg. e) Montrer que dans ce cas, H(p) peut se mettre sous la forme suivante. Calculer T1 et T2. H ( p) =

X ( p) K = F ( p ) (1 + T1 p )(1 + T1 p )

f) On se place dans le cas sollicitations libres ( f (t ) = 0 .) On suppose qu’à l’instant t = 0 , •

x(0) = 0 et x(0) = 1 m.s -1 .




Ecrire l’équation différentielle du mouvement. En déduire X(p).




Déterminer et tracer x(t) en calculant L−1 [ X ( p )] .

2

g) On se place dans le cas sollicitations forcées ( f (t ) ≠ 0 .) On suppose qu’à l’instant t = 0 , •

x(0) = 0 et x(0) = 0 m.s -1 . On applique alors à la masse m une force f(t) = 4N.

X ( p) . F ( p)




Ecrire l’équation différentielle du mouvement. En déduire




Déterminer et tracer la réponse x(t) en calculant L−1 [ X ( p )] .

Exercice 2-2 : Etude simplifiée de filtres mécaniques. On considère les deux filtres mécaniques représentés Figure 1 et Figure 2 constitués d’un ressort de raideur k et d’un amortissement visqueux f.

k

f

f

x(t)

y(t)

x(t)

Figure 1 a) Déterminer leur fonction de transfert

k

y(t) Figure 2

Y ( p) . Montrer qu’elles peuvent respectivement se X ( p)

mettre sous la forme :

F1 ( p ) =

1 1+ T.p

F2 ( p ) =

T.p 1+ T.p

b) Donner l’expression littérale de la constante de temps T en fonction de k et f. c) Donner l’allure des réponses en fréquence dans Bode et dans Black de ces deux systèmes. En déduire leur type (passe-haut ou passe-bas) et leur bande passante à -3dB. On souhaite mesurer un profil comportant un défaut d’ondulation W et de rugosité R. Soient AW et AR les pas d’ondulation et de rugosité. Soit V la vitesse de déplacement de la pièce.

AW

AR

V Figure 3

d) Déterminer, pour chaque type de filtre, le défaut qu’il permet de mesurer ainsi que la vitesse de déplacement V de la pièce permettant de l’observer.

3

III. MODELISATION DES SYSTEMES ELECTRIQUES Les trois composants élémentaires d’un circuit électrique passif sont : • le résistor, caractérisé par sa résistance électrique R en Ohm (Ω) • la self, ou bobine d’induction, caractérisée par son inductance L en Henry (H) • le condensateur, caractérisé par sa capacité C en Farad (F ou µF) La relation entre la tension aux bornes de ces composants et le courant les traversant peut être écrite : • soit sous forme différentielle ; • soit sous forme complexe ; • soit en utilisant la transformée de Laplace de la forme différentielle. Relations Composant

Impédance équivalente

Symbole Différentielle i(t)

Laplace

Complexe

Laplace

Z=R

Z=R

Z = L. jω

Z = Lp

R

u (t ) = R.i (t )

Résistor

U ( p) = R.I ( p )

u(t) i(t)

L

u (t ) = L.

Self u(t) i(t)

C

u (t ) =

Condensateur u(t)

di(t ) dt

U ( p) = L. p.I ( p)

1 i.dt C∫

U ( p) =

1 I ( p) Cp

Z=

1 Cjω

Z=

1 Cp

En remplaçant p par jω, on obtient l’impédance complexe d’un composant. Cette forme n’est valable qu’en courant alternatif ( i (t ) = i0 .sin(ωt ) ). Par la transformation de Laplace, un composant quelconque peut être schématisé comme illustré ci-contre avec pour relation : U ( p ) = Z .I ( p )

I(p)

Z U(p)

4

Dans le cas d’association de composants en série ou en parallèle, on peut déterminer l’impédance équivalente d’un circuit en utilisant les relations suivantes : Montages

I(p)

• en série

Impédance équivalente

Z1

Z2

I(p)

U(p)

Zeq

Z eq = Z1 + Z 2

U(p)

Z1 I(p)

• en parallèle

I(p)

Z2

Zeq

1 1 1 = + Z eq Z1 Z 2

U(p)

U(p)

Exercice 3-1 : Déterminer, pour chacun des trois circuits suivants, les fonctions de transfert Vs ( p ) F ( p) = à l’aide des schémas fonctionnels. Ve( p )

Remarque : Dans le cas du troisième circuit, il est mis en place, entre les deux quadripôles, un amplificateur opérationnel supposé idéal d’impédance d’entrée infinie et de gain A. I(p)

I(p)

I2(p)

Z1

Z1 Ve(p)

Vs(p)

Z2

Ve(p)

Z2

U(p)

Z4

circuit 2

circuit 1 I1(p)

I2(p)

Z1 Ve(p)

Z3

I1(p)

Z3 Z2

U1(p)

A

circuit 3

5

U2(p)

Z4

Vs(p)

Vs(p)

Exercice 3-2 : On considère les circuits électriques (quadripôles passifs) représentés cidessous. R

R

C

ve(t)

vs(t)

L

ve(t)

a) Déterminer les fonctions de transfert H ( p ) =

C

vs(t)

Vs ( p ) pour chacun de ces circuits en Ve( p )

considérant nulles les conditions initiales. b) Déterminer l’ordre et la classe de ces systèmes. c) Donner l’expression littérale de leurs paramètres caractéristiques (Gain, constante de temps T, facteur d’amortissement ξ, pulsation propre ωo.) Exercice 3-3 : On considère les circuits électriques (quadripôles passifs) représentés cidessous.

R1

ve(t)

C

R1 C R2

ve(t)

vs(t)

Circuit à avance de phase

R2

vs(t)

Circuit à retard de phase

a) Déterminer la fonction de transfert du circuit à avance de phase et montrer qu’elle peut se mettre sous la forme : F ( p) =

Vs ( p ) 1 + a.T . p =K Ve ( p ) 1+ T.p

avec a > 1

b) Déterminer la fonction de transfert du circuit à retard de phase et montrer qu’elle peut se mettre sous la forme : F ( p) =

Vs ( p ) 1+ T.p =K Ve( p ) 1 + b.T . p

avec b > 1

Exercice 3-4 : L’étude porte sur une motorisation constituée d’un moteur à courant continu 1 associé à un réducteur de rapport = 10 . On note Jm l’inertie de l’arbre moteur et Jc l’inertie n de la charge en sortie du réducteur. 6

a) Montrer que ce dispositif peut être représenté par le schéma ci-dessous avec Je l’inertie équivalente ramenée sur l’arbre moteur. Déterminer, par application du théorème de l’énergie cinétique, l’expression de Je en fonction de Jm, Jc et n.

MCC

Je

f

ωm

1 n

ωr

Modélisation : on rappelle ci-dessous les équations caractéristiques d’un moteur à courant continu : Equations électriques :

Equations mécaniques :  dω m (t ) = Cm(t ) − f ⋅ ω m (t )  Je. dt  Cm(t ) = Kr.i (t ) 

di (t )  + e(t ) u (t ) = R ⋅ i (t ) + L ⋅ dt  e(t ) = Ke.ω m (t ) 

b) Déterminer les transformées de Laplace des ces équations. Elaborer le schéma bloc et en déduire la fonction de transfert M(p) du moteur que l’on écrira sous la forme canonique suivante :

M ( p) =

Ω( p ) = U ( p)

K p2 ξ 1+ 2 p+ 2 ωn ωn

(1).

c) En déduire la fonction de transfert N ( p ) =

θ ( p) U ( p)

. Quel est son ordre, sa classe et son

gain. On considère généralement que la fonction de transfert d’un moteur est de la forme : M ( p) =

Ω( p ) K = (2) U ( p ) (1 + Tm . p ).(1 + Te . p )

avec Tm >> Te (soit Te + Tm ≈ Tm )

d) Sous cette hypothèse, en comparant les équations (1) et (2), donner les expressions littérales de Te et Tm. e) Application numérique : on donne Ke = 0,1V / rd / s

Kr = 0,1Nm / A

f = 3,15.10 −5 Nm / rd / s

L = 0,1.10 −3 H

R = 1Ω

Je = 1,4.10 −4 kgm 2

Calculer Te et Tm.

7

Exercice 3-5 : Etude simplifiée d’une servovalve électro-hydraulique Une servovalve électrohydraulique est un appareil qui convertit une grandeur électrique (courant ou tension) en une grandeur hydraulique proportionnelle (débit ou pression). Elles est constituée d’un, deux ou trois étages suivant que le moteur couple électrique pilote directement l’organe de puissance hydraulique (buse-palette), ou qu’il y a un, deux ou trois étages d’amplification hydraulique intermédiaire. La servovalve la plus utilisée est la servovalve en débit à 2 étages. Elle est constituée de trois éléments : •

un actionneur pilote de type moteur-couple électrique ;

•

un amplificateur hydraulique constitué d'un mécanisme buse-palette ou à jet ;

•

un tiroir de distribution à 4 voies.

Cette première partie à pour objet la modélisation simplifiée de ce type de servovalve.

Fonctionnement

Ressort Armature Bobine Etranglement

Palette Buse

Pression P 0

R

U1

P

U2

L’armature du moteur-couple à courant continu se prolonge dans l’entrefer d’un circuit magnétique. Le passage d'un courant continu dans les deux bobines situées de part et d’autre de l’armature provoque le basculement de cette dernière d’un angle θ. L'armature est solidaire d’une palette plongeant dans l’amplificateur hydraulique et dont l'extrémité est située entre deux buses. Le mouvement de rotation de l'ensemble armaturepalette vient étrangler le débit fluide traversant l'une ou l'autre des buses. La pression différentielle ainsi créée se répercute aux deux extrémités du tiroir du distributeur, et provoque son déplacement.

R

Figure 4 : servovalve simplifiée Ce tiroir possède quatre orifices de contrôle, P (Alimentation), U1 et U2 (Utilisation), R (Retour à la bâche). Le débit le traversant est, pour une chute de pression donnée, proportionnel à son déplacement compté à partir de la position zéro (position du milieu). A titre indicatif, le diamètre d des buses est de l’ordre de quelques dizièmes de millimètres et la distance a buse palette de l’ordre de quelques centièmes de millimètres.

8

Equation du moteur couple A l’état repos, i (t ) = 0 et θ (t ) = 0 .

l1

Le courant i (t ) traversant les bobines génère un couple moteur

C m (t ) = K m .i (t ) . Deux ressorts, de coefficient de raideur k1, exercent un couple résistant Cr .

i(t)

a) Sous quelles hypothèses peut-on admettre que

θ (t ) = K1 .i(t )

θ

(1)

En déduire l’expression littérale de K1 en fonction de Km, k1 et l1 .

Figure 5 : moteur couple Système buse-palette

A l’état repos (Figure 6), les sections de fuite entre la buse et la palette sont identiques : S A = S B = S 0 = π .d .a

et les pressions PA et PB sont égales : PA = PB = P0 .

On admet qu’une rotation d’angle θ de la palette se traduit par un accroissement (ou une diminution) de la distance buse-palette égale à l 2 .θ (Figure 7), expression dans laquelle l 2 désigne la distance entre l’extrémité de la palette et son axe de rotation. Les sections de fuite sont alors augmentées (ou diminuées) de la quantité :

∆S = π .d .l 2 .θ = K 2 .θ

PA=P0 d

(2)

PB=P0 a

PA=P0-∆P

a

PB=P0+∆P

a+l2.θ

S A = S B = S 0 = π .d .a

S A = S 0 + ∆S

Figure 6

S B = S 0 − ∆S

Figure 7

Cette augmentation (ou diminution) de section entraîne une augmentation (ou une diminution) des pressions PA et PB proportionnelle à ∆S . Ainsi :

 PA = P0 − ∆P   PB = P0 + ∆P

avec ∆P = K 3 .∆S

9

(3)

Tiroir du distributeur En situation repos, lorsque PA = PB = P0 , le tiroir est en position milieu, z = 0 (Figure 8). P A =P 0

PB =P 0

z

F0

m

F0

Figure 8 : Tiroir en position repos En position travail, la pression différentielle se répercute aux extrémités du tiroir et provoque son déplacement (Figure 9). P A =P 0-∆P z

PB=P 0+ ∆P FA

m

FB

Figure 9 : Tiroir en position travail On utilise les notations suivantes :




m : masse du tiroir ;




S : section du tiroir à ses extrémités ;




FA et FB : efforts exercés par les deux ressorts de coefficient de raideur k montés de part et d’autre du tiroir du distributeur ;




f : coefficient de frottement visqueux entre tiroir et cylindre.

b) Ecrire le principe fondamental de la dynamique (PFD) appliqué au tiroir du distributeur et Z ( p) (4). en déduire la fonction de transfert ∆P ( p ) On admet que le débit volumique q (t ) du fluide à travers le tiroir est proportionnel au déplacement z (t ) de ce dernier : q(t ) = K 4 .z (t ) (5).

c) Compléter le schéma bloc suivant par la transmittance manquante.

I(p)

K1

θ(p)

K2

∆S(p)

K3

∆P(p)

10

Z(p)

K4

Q(p)

Fonction de transfert de la servovalve Q( p) de la servovalve et montrer qu’elle peut I ( p) se mettre sous la forme d’un système du second ordre :

d) En déduire la fonction de transfert Sv( p ) =

Sv( p ) =

Q( p) = I ( p)

Ksv 1+ 2

p2 ξ p+ 2 ω0 ω0

Donner les expressions littérales de Ksv , ξ et ω0 . On souhaite, en réponse à un échelon de courant i (t ) = i0 .u (t ) , que le temps de réponse à 5% de la servovalve soit le plus rapide possible et sans dépassement. f2 e) Démontrer alors que cette condition ne peut être satisfaite que si k = . 8m

f) Dans ces conditions, montrer que la fonction de transfert de la servovalve peut se mettre sous la forme : Sv( p ) =

2m Q( p) Ksv . = avec T = 2 f I ( p ) (1 + Tp )

g) Par application de la transformation de Laplace inverse, exprimer la réponse q(t) de la servovalve à un échelon de courant i (t ) = i0 .u (t ) . Déterminer les caractéristiques de cette réponse : tangente à l’origine, point d’inflexion,... h) La figure ci-dessous représente la réponse de la servovalve à un échelon de courant unitaire i (t ) = u (t ) . En déduire le gain Ksv de la servovalve, la constante de temps T, le temps de réponse à 5%. 2.5

q(t)

2.0

1.5

1.0

0.5

0.0 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

t

i) Donner les expressions de la bande passante à -3dB et -6dB de la servovalve en fonction de la constante de temps T. 11

IV. DENTIFICATION D’UN SYSTEME DYNAMIQUE Exercice 4-1 : On s’intéresse au système masse (m), ressort (k), frottement visqueux (f) suivant. On note x(t) et y(t) respectivement les déplacements de la base et de la masse par rapport à la position d’équilibre. On donne : • m = 2 kg • k = 50 Nm −1

f

k

m x(t)

y(t)

a) Déterminer la fonction de transfert F ( p ) =

Y ( p) et la mettre sous forme canonique. X ( p)

On souhaite déterminer la valeur du frottement visqueux f par deux méthodes différentes :

1ere méthode : On génère un échelon de position x(t ) = u (t ) et on relève la réponse y (t ) obtenue (voir Figure 10). y(t) 1.4

1,25 1.2

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0 0

1

2

3

4

5

t

6

Figure 10 : Réponse indicielle b) Déterminer le coefficient de frottement visqueux f à partir de l’analyse de ce tracé. c) Quelle devrait être la valeur du frottement visqueux f pour qu’il n’y ait pas de dépassement en réponse indicielle? d) Tracer la réponse à un échelon de position x(t ) = 2.u (t ) .

12

2eme méthode : On génère un signal x(t ) = x0 .sin(ωt ) dont on fait varier la fréquence, et donc ω . On relève le signal de sortie y (t ) = y0 sin(ωt + ϕ ) . On trace dans Bode l’évolution du

y  rapport d’amplitude AdB = 20 log 0  et du déphasage ϕ en fonction de ω.  x0  e) Déterminer le coefficient de frottement visqueux f à partir de l’analyse de ce tracé. f) Quelle devrait être la valeur du frottement visqueux f pour qu’il n’y ait pas de résonance en réponse en fréquence ? AdB 10

2,7dB

0 -10 -20 -30 -40 -50 -60 10-1 50

5

100

5

101

102

5

ω

ϕ

0 -50 -100 -150 -200 10-1

5

100

5

101

102

5

ω

Figure 11 : Réponse harmonique dans Bode

Exercice 4-2 : Etude simplifiée d’un accéléromètre La centrale inertielle d’un avion contient des accéléromètres qui permettent de mesurer les accélérations suivant les trois directions xa, ya, za d’un repère lié à l’avion. On s’intéresse à la mesure de l’accélération suivant la direction xa. L’accéléromètre renvoie à un ordinateur dénommé BSCU (Braking/Steering Control Unit) un signal électrique ua(t) image de l’accélération a(t) suivant la direction xa. La tension ua(t) est convertie en grandeur numérique am par un convertisseur analogique-numérique et rangée dans la mémoire du BSCU.

Principe de l’accéléromètre : un accéléromètre (voir Figure 12) est constitué de deux solides S1 et S2 :


S1, le corps, est lié à la structure de l’avion,




S2 est lié à S1 par l’intermédiaire d’un ressort de raideur ka et d’un frottement visqueux de valeur ca.

13

ua

S1

ca

ma

ka

M1 M2

x0

S2

y0

Figure 12 : accéléromètre au repos ua

ca O

ma M2

M1

ka

x0

ε

x2 x1 y0

Figure 13: accéléromètre en travail On considère (voir Figure 13) deux points M1 et M2 appartenant respectivement à S1 et S2. On note x1(t) et x2(t) leurs coordonnées dans un repère galiléen (O, x0 , y0 , z 0 ) . On considère nulles les conditions initiales. En particulier, à l’état repos, M1 et M2 sont confondus. On a :

x1 (0) = x2 (0) = 0 . Quand S1 est animé d’un mouvement de translation suivant x0, on note :

ε (t ) = x1 (t ) − x2 (t ) a (t ) =

d 2 x1 (t ) dt 2

(1) (2)

Le solide S2 est relié à un potentiomètre qui renvoie une tension ua proportionnelle au déplacement ε du solide S2. On note : u a (t ) = K p .ε (t )

(3)

Finalement, le CAN fournit la valeur am telle que : a m (t ) = K CAN .u a (t )

(4)

14

a) Ecrire, par application du principe fondamental de la dynamique, l’équation (5) relative à la masse ma : ma

d 2 x2 (t ) = dt 2

(5)

b) Déterminer les transformées de Laplace des expressions (1) à (5). En déduire les transmittances Gi du schéma bloc ci-après. A(p)

X1(p)

G1

c) En déduire la fonction de transfert Am ( p ) = A( p )

K acc

p2 ξ 1+ 2 a p + 2 ωa ωa

ε(p)

X2(p)

G2

G3

Ua(p)

Am(p)

G4

Am ( p ) et montrer quelle peut se mettre sous la forme A( p )

. Donner les expressions de K acc , ξ a et ω a .

d) On donne la représentation dans Bode de la réponse en fréquence de l’accéléromètre. En déduire les valeurs de K acc , ξ a et ω a . GAIN 0 -5 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 10 1

2

5

102

2

5

2

5

102

2

5

ω

103

PHAS 0 -20 -40 -60 -80 -100 -120 -140 -160 -180 10 1

103

ω

15

Exercice 4-3 : Indicateur de pression Dans un système pneumatique, la pression croit linéairement avec le temps. Au bout de 1,6 s, la pression atteint 1 bar. A ce moment là, une valve de décharge s’ouvre et ramène pratiquement instantanément la pression à zéro pendant 1,6 s. Puis la vanne se referme et le cycle recommence (voir Figure 14.) Par ailleurs, les caractéristiques du compresseur pneumatique ont pour effet de superposer à la croissance linéaire de la pression, une variation parasite de 0,1 bar à une fréquence de 30 Hz. On désire enregistrer cette pression au moyen d’un indicateur de pression du premier ordre et de gain statique unité. On désire que sur l’enregistrement : • l’amplitude lue des oscillations parasites n’excède pas 0,01 bar ; • l’erreur sur la pression lue avant l’ouverture de la valve n’excède pas 0,05 bar. Quelle constante de temps T peut-on admettre pour cet indicateur ?

P(bar) 1

t(s) 0

1,6

3,2

Figure 14 : Evolution de la pression

16

4,8

V. ETUDE DES SYSTEMES ASSERVIS Exercice 5-1 : Enregistreur potentiométrique

La position y de la plume d'un enregistreur potentiométrique est asservie suivant un axe OY à la différence de potentiel x appliquée à l'entrée non inverseuse du comparateur C. Le signal de sortie du comparateur est appliqué à un amplificateur qui commande un ensemble « moteur réducteur » de fonction de transfert G(p): G ( p) =

K p (1 + Tp )

L'axe de sortie entraîne une poulie P de rayon a = 0,5 cm, identique à P'. Cet axe est relié également à un deuxième axe par un réducteur réalisé avec des engrenages de rayons R1 et R. L'axe entraîné par R1 est relié à celui d'un potentiomètre 10 tours dont la tension de sortie évolue dans la même plage que le signal d’entrée x(t).

a) Etablir le schéma fonctionnel de ce dispositif en faisant apparaître les variables caractéristiques. La tension x(t) peut varier de -10 volts à +10 volts et cela entraîne pour y une variation de -10 cm à +10 cm. b) En supposant qu’en régime permanent l'écart ε est nul, calculer la valeur du gain K1 =

Xr ( p) R et la valeur du rapport . θ1 ( p ) R1

c) Calculer la fonction de transfert en boucle ouverte T ( p ) =

Xr ( p) et tracer sa réponse en X ( p)

fréquence dans le plan de Bode pour AK = 1 et T = 0,01s .

d) Calculer la valeur du produit AK pour obtenir une marge de phase de 45°. e) Donner l'allure de la réponse indicielle à un échelon de tension de 5 Volts appliqué à l'entrée. 17

Exercice 5-2 : Réglage du gain Soit le système asservi à retour unitaire et de gain réglable K représenté ci-dessous.

ε

E (p) +

1 p(1+T.p)

K

-

S(p)

a) Déterminer et mettre sous forme canonique les fonctions de transfert en boucle ouverte S ( p) S ( p) T ( p) = et en boucle fermée F ( p ) = . Analyser l’influence du gain réglable K ε ( p) E ( p) sur les performances du système en boucle fermée. b) Déterminer la valeur du gain K de telle sorte que le gain (en dB) de la fonction de transfert en boucle ouverte soit nul lorsque le déphasage ϕ (ω ) = −135° (autrement dit, pour que la marge de phase soit de 45°). En déduire : • le dépassement D% et le temps de réponse à 5% du système en boucle fermée en réponse à un échelon unité, • le coefficient de surtension QdB du système en boucle fermée.

18

Exercice 5-3 : Choix d’un correcteur On appelle « correcteur à retard de phase » un correcteur dont la fonction de transfert est de la forme : C ( p) = K .

1 + Tp 1 + bTp

avec b>1

a) Donner la représentation dans Bode de ce correcteur en faisant apparaître ses éléments caractéristiques. On appelle « correcteur à action proportionnelle et intégrale » un correcteur dont la fonction de transfert est de la forme :

 1   C ( p) = K 1 +  Ti p  b) Donner la représentation dans Bode de ce correcteur en faisant apparaître ses éléments caractéristiques. APPLICATION Soit un système dont la fonction de transfert est de la forme : + C(p)

G(p)

_

c) Déterminer et calculer le correcteur C(p) permettant, dans les deux cas suivants, d’obtenir les performances exigées Cas 1 : G ( p ) =

1 p (1 + 0,2 p )

Performances exigées : • écart de traînage εT < 0,1 en réponse à une entrée e(t)=1.t.u(t) ; • marge de phase de 45°. Cas 2 : G ( p ) =

1 (1 + 0,1 p ) 2

Performances exigées : • pas d’écart de position ; • marge de phase de 45°.

19

VI. COMMANDES DE VOL DE L’AIRBUS A380 Le thème proposé concerne l’aéronautique et plus particulièrement la commande en position des gouvernes de profondeur de l’Airbus A380, avion de ligne civil gros-porteur long-courrier quadriréacteur à double pont produit par Airbus, filiale d'EADS, construit principalement en Allemagne, Espagne, France et Royaume-Uni et assemblé à Toulouse. Caractéristiques de l’AIRBUS A380 •

Longueur hors-tout

73 m

•

Hauteur

24,1 m

•

Diamètre du fuselage

7,14 m

•

Envergure

79,8 m

•

Surface alaire

845 m2

•

Poussée des moteurs

310 kN × 4

•

Vitesse de croisière

1040 km/h (Mach 0,85)

•

Vitesse maximale

1090 km/h (Mach 0,89)

•

Masse maxi au décollage

560 t

PRESENTATION Les commandes de vol primaires Pour piloter un avion, il est nécessaire de pouvoir contrôler en permanence ses évolutions dans l’espace suivant trois directions ou axes (voir Figure 15 page 21) : •

l'axe de lacet (vertical) ;

•

l'axe de roulis (horizontal et dans la direction de la marche) ;

• l'axe de tangage (horizontal et perpendiculaire à la marche). Pour cela, le pilote agit sur les commandes de vol de l’avion. En pratique, on distingue deux types de commandes : •

•

les commandes de vol primaires utilisées pendant tout le vol qui permettent de contrôler l’évolution de l’avion autour de ses axes de référence :


la gouverne de direction ou gouvernail pour le lacet,




les ailerons et les spoilers pour le roulis,




les gouvernes de profondeur et le plan horizontal réglable (PHR) pour le tangage.

Les commandes de vol secondaires utilisées pendant les phases d’atterrissage et de décollage qui permettent de modifier la configuration aérodynamique de l’avion :


hypersustentateurs (volets et becs) pour la portance ;




les spoilers (ou aérofreins) pour la traînée.

20

Figure 15 : Les commandes de vol de l’A380

Les gouvernes de profondeur L’Airbus A 380 est équipé de quatre gouvernes de profondeur disposées symétriquement sur le plan horizontal réglable (PHR) de l’avion (voir Figure 16 page 22). Chaque gouverne de profondeur est reliée au PHR par des charnières ou liaisons pivots (voir Figure 17 page 22) et est mue en rotation par une unité de commande constituée de deux actionneurs (voir Figure 18 page 23) : •

une servocommande (SC), actionneur principal relié au circuit hydraulique de l’avion (voir Figure 19 page 23) ;

•

un EHA (Electro Hydraulic Actuator : actionneur électro-hydrostatique), utilisé en cas de défaillance de la servocommande ou du circuit hydraulique principal. Cet actionneur est alimenté électriquement et produit localement, via un moteur électrique entraînant une pompe, l’énergie hydraulique nécessaire à son fonctionnement (voir Figure 20 page 23). Ces unités de commande sont identiques pour les quatre gouvernes de profondeur.

Les sources d’énergie Deux types d’énergie sont utilisés pour l’alimentation des unités de commande : •

l’énergie hydraulique pour l’alimentation des servocommandes (voir ANNEXE 1),

•

l’énergie électrique pour l’alimentation des EHA (voir ANNEXE 2).

21

Gouverne Extérieure Droite (ED)

PHR

Gouverne Intérieure Droite (ID)

Gouverne Intérieure Gauche (IG) Gouverne Extérieure Gauche (EG)

Figure 16 : Les gouvernes de profondeur

Unité de commande de la gouverne extérieure gauche (EG)

Unité de commande de la gouverne intérieure gauche (IG)

Charnière

Unité de commande

Charnières Actions aérodynamiques

PHR Gouverne

Figure 17 : Unités de commande des gouvernes gauches

22

Barre de renfort PHR EHA Axe des charnières

Servocommande Gouverne

Figure 18 : Représentation partielle (sans les charnières) de l’unité de commande Accumulateur Fixation à gouverne Tige du vérin Retour basse pression

la

Servovalve Filtre pression

Fixation au PHR

Figure 19 : Servocommande Accumulateur

haute

Alimentation hydraulique haute pression Moteur électrique Fixation gouverne

Module électronique

Pompe hydraulique

Fixation au PHR

Figure 20 : EHA

23

à

la

Les modes de fonctionnement Chaque actionneur d’une unité de commande d’une gouverne de profondeur peut avoir deux modes de fonctionnement : •

le mode actif qui permet la mise en mouvement des gouvernes ;

•

le mode amortissement qui évite le flottement (flutter) de la gouverne à grande vitesse, phénomène du aux variations de la répartition des pressions sur la gouverne et générant des oscillations pouvant se transmettre à l'ensemble de la structure. En mode de fonctionnement normal, la servocommande est en mode actif et l’EHA en mode amortissement. En cas de défaillance du circuit hydraulique ou du système de commande, la servocommande passe en mode amortissement et l’EHA en mode actif. Exceptionnellement, dans des configurations de vol particulières telles que la traversée de zones de turbulence, les deux actionneurs peuvent passer en mode actif. On se limitera, dans le cadre de ce sujet, à l’étude des modes actifs et amortissement d’une servocommande (voir Figure 21 et Figure 22.) HP

HP

BP

1

BP

2

P

5

R

P

R

U1

U2

YV1 U1

YV1

U2

4

3 YV2

YV2

7 6

Figure 21 : Servocommande en mode actif

Figure 22 : Servocommande en mode amortissement

Servocommande en mode actif Dans ce mode, le circuit hydraulique HP alimente la servocommande et maintient la valve 1 ouverte tant que la pression est supérieure à 338 bars. La valve 2 maintient une pression de 7 bars dans le circuit de retour de l’actionneur supérieure à la pression du circuit BP. La bobine YV2 du sélecteur de mode 3 étant non excitée, le circuit HP maintient le distributeur 4 en mode actif, les orifices de sortie U1 et U2 de la servovalve 5 communiquent avec les chambres du vérin 6. Le débit en sortie de la servovalve est proportionnel à l’intensité du courant parcourant la bobine YV1. 24

Servocommande en mode amortissement Dans ce mode, le circuit hydraulique HP est défaillant, la valve 1 est fermée. La valve 2 maintient une pression de 7 bars dans le circuit de retour de l’actionneur supérieure à la pression du circuit BP. La bobine YV2 du sélecteur de mode 3 étant excitée, le distributeur 4 passe en mode amortissement sous l’effet de son ressort de rappel, mettant ainsi les deux chambres du vérin en communication. La tige du vérin est alors mue par la gouverne, le fluide transitant d’une chambre à l’autre via un régulateur de débit (ou étranglement) 7 assurant la fonction amortissement.

Architecture du système de commande La consigne de position des gouvernes de profondeur peut être définie : •

soit manuellement à l’aide de joysticks situés dans la cabine de pilotage (un pour le capitaine, un autre pour le copilote),

•

soit par le pilote automatique si cette fonction est activée.

Position gouverne Joystick

Ordinateur de commande de vol (PRIM/SEC)

Pilote automatique

Position actionneur

Actions aérodynamiques

Consigne Gouverne

de position PHR Autres informations

Energie electrique ou hydraulique

Figure 23 : Boucle d’asservissement en position Les consignes émises par le pilote à l’aide du joystick ou par le pilote automatique sont transmises aux ordinateurs de commande de vol. Ces derniers déterminent, en fonction de lois de pilotage prenant en compte un certain nombre de paramètres (altitude, vitesse, etc.), les mouvements des gouvernes en limitant éventuellement les évolutions de l'avion à son enveloppe de vol, c'est-à-dire aux régimes et attitudes sûrs. La position de l’actionneur est déterminée par un capteur inductif linéaire de position implanté dans la tige du vérin. La position de la gouverne est déterminée par un capteur rotatif dont l’axe de rotation coïncide avec l’axe des charnières. Les autres informations transmises aux ordinateurs de commande de vol proviennent essentiellement : •

des gyromètres : vitesses de rotation autour des axes de tangage, lacet et roulis ;

• des accéléromètres : accélérations verticales et latérales. La boucle d’asservissement en position de la servocommande est donnée Figure 24. On se limitera à l’étude de la boucle interne de position du vérin.

25

CALCULATEUR

βc

Correcteur

xc

Correcteur

i

Servovalve

xm

βm

Q

x

Vérin

Gouverne

β

Capteur Capteur

Figure 24 : Boucle d’asservissement en position d’une servocommande

MODELISATION DU SYSTEME Modélisation du vérin Equation des débits On note (voir figure ci-contre) : •

x : la position de la tige du vérin par rapport à la position neutre ;

•

Vi : volume de la chambre i (i = 1 ou 2) ;

•

S : section utile du vérin ;

•

Pi : pression dans la chambre i ;

• Qi : débit entrant dans la chambre i. On considère le vérin en position neutre, on a alors V1 = V2 = V0 . Les équations de débit s’écrivent : Q1 (t ) = S

dx V0 dP1 + dt B dt

Q2 (t ) = S

dx V0 dP2 − dt B dt

YV1 Q1

P1, S, V0

•

V0 dPi : débit de compressibilité du fluide dans la chambre i ; B dt

•

B : module de compressibilité du fluide ;

•

S : section utile du vérin.

Question 1 : On pose Q(t ) ≈ Q1 (t ) ≈ Q2 (t ) et P(t ) = P1 (t ) − P2 (t ) Démontrer alors la relation suivante : dx V0 dP + dt 2 B dt

26

P2, S, V0

Figure 25 : Vérin en position neutre

avec :

Q(t ) = S

Q2

(1)

x

Equations mécaniques On considère le vérin en position neutre avec un angle d’inclinaison de la gouverne β = 0° . On utilise les notations suivantes (voir Figure 26) :

•

m : masse de la tige d’un vérin ;

•

I : inertie de la gouverne autour de l’axe Oy ;

•

Fe : résultante des forces aérodynamiques appliquée au centre de poussée C ;

•

Fv = PS x : force engendrée par le vérin en mode actif ;

•

Fc = −c

•

c : coefficient d’amortissement visqueux ;

•

R : distance OB ;

•

d : distance OC .

dx(t ) x : force engendrée par le vérin en mode amortissement ; dt

YV1

PHR

Fe

O

Fv

C A PHR

B

Fc

z

x

c Figure 26 : Gouverne en position β = 0° On considère la Figure 26. Le système isolé comprend les deux vérins complets (tige et cylindre) et la gouverne. On démontre alors, par application du théorème de l’énergie cinétique en en considérant petit le mouvement de rotation β de la gouverne autour de l’axe Oy, que : ••

•

me x + c x = PS −

avec me = 2m +

d Fe R

(2)

I la masse équivalente des tiges des vérins et de la gouverne ramenée sur R2

l’axe des vérins.

27

Fonction de transfert du vérin On note : •

Q ( p ) la transformée de Laplace de la variable Q (t ) ;

•

P ( p ) la transformée de Laplace de la variable P (t ) ;

•

X ( p ) la transformée de Laplace de la variable x(t ) ;

•

Fe ( p ) la transformée de Laplace de la variable Fe (t ) .

Question 2 : On considère nulles les conditions initiales. Déterminer les transformées de Laplace des équations (1) et (2). Question 3 : Exprimer P(p) et X(p) à partir de ces deux équations et montrer alors qu’elles peuvent être représentées par le schéma fonctionnel (à compléter) de la Figure 27. Fe(p)

Q(p)

2B V0 p

P(p)

1 p (me p + c)

S

X(p)

Sp

Figure 27 : Schéma bloc du vérin On néglige la force aérodynamique Fe(p) et on note rh =

2 BS 2 la raideur hydraulique du V0

vérin.

Question 4 : Montrer alors que la fonction de transfert H(p) du vérin s’écrit : H ( p) =

X ( p) = Q( p)

1

  m c Sp1 + p + e p 2  rh  rh 

=

KQ

 p2  ξ p1 + 2 p + 2  ω0 ω0  

Question 5 : En déduire les expressions en fonction de rh, S, me et c : •

du gain KQ de H(p),

•

de la pulsation propre ω0 de H(p),

•

du facteur d’amortissement ξ de H(p).

28

(3)

2 BS 2 I et me = 2m + 2 , analyser les V0 R conséquences sur la pulsation propre ω0 et le facteur d’amortissement ξ : Question 6 : En considérant les expressions rh =

•

d'une augmentation de la section S de la tige du vérin,

•

d’une augmentation du bras de levier R.

Le bureau d’étude impose un certain nombre de choix technologiques (voir Tableau 1), en particulier concernant les gouvernes et le dimensionnement du vérin afin que l’effort développé par ce dernier permette de vaincre les forces aérodynamiques lors d’un vol à vitesse maximale.

Tableau 1 : Eléments du cahier des charges Critères

Niveaux

Masse m de la tige d’un vérin

8,4 kg

Inertie I de la gouverne intérieure

233 kg m2

Longueur d

0,6 m

Longueur du bras de levier R

155 mm

Section utile du vérin S

57,1 cm2

Volume V0

5,14.10-4 m3

Module de compressibilité du fluide B

2.109 N/m2

Question 7 : Calculer les valeurs et préciser les unités : a) de la masse équivalente me et de la raideur hydraulique rh ; b) du gain KQ et de la pulsation propre ω0 de H(p). On souhaite définir le coefficient d’amortissement c du vérin en mode amortissement de telle sorte que les variations de la répartition des pressions sur la gouverne ne génèrent pas d’oscillations (flutter) pouvant se transmettre à l'ensemble de la structure, autrement dit de telle sorte qu’il n’y ait pas de phénomène de résonance.

Question 8 : Déterminer la valeur du coefficient d’amortissement c permettant de satisfaire cette condition. On retient finalement un facteur d’amortissement critique ( ξ = 1 ) et on admettra pour la suite du sujet que la fonction de transfert H(p) est la suivante :

H ( p) =

X ( p) 175 = Q( p ) p 1 + 6.10 −3. p

(

29

)

2

ASSERVISSEMENT EN POSITION DU VERIN La boucle d’asservissement en position de la tige du vérin est représentée Figure 28 avec : •

Xc : consigne de position de même unité que X, position de la tige du vérin ;

•

Xr : signal de référence de même unité que le signal de retour Xm. Xc

Kp

Xr

ε

I C(p)

Q Ks

X H(p)

Xm Kp Figure 28 : Schéma fonctionnel de la boucle d’asservissement en position du vérin On admet que le débit Q(t) est proportionnel à l’intensité i(t) du courant parcourant la bobine de commande YV1 de la servocommande soit : Q(t ) = K s .i (t )

(4)

Le capteur de position renvoie une tension proportionnelle à la position x de la tige du vérin : xm (t ) = K p .x(t )

(5)

Le correcteur C(p) est à action proportionnelle de gain Kc. Afin de simplifier cette représentation, on adopte le schéma bloc à retour unitaire représenté Figure 29.

Xc

I Kp

KC

Q Ks

X H(p)

Figure 29 : Schéma bloc simplifié Les performances exigées en terme de précision et de stabilité sont définies dans le tableau suivant : Performances

Niveaux

Ecart de position

ε P = 0 mm

Ecart de traînage pour une consigne xc (t ) = 0,1.t

ε T ≤ 0,5.10-3 m

Marge de phase

Mϕ ≥ 45°

Question 9 : Déterminer la fonction de transfert en boucle ouverte T ( p ) et en déduire l’expression du gain de boucle KB0 ainsi que l’ordre et la classe de T(p). Question 10 : Expliquer pour quelle raison l’écart de position ε P = 0 .

30

Question 11 : Déterminer la valeur du gain de boucle KBO permettant de satisfaire la condition ε T ≤ 0,5.10 −3 m pour un signal de consigne xc (t ) = 0,1.t . La Figure 18 représente la réponse en fréquence dans Bode de la fonction de transfert en boucle ouverte pour K B 0 = 1 . Question 12 : En déduire graphiquement la valeur de KB0 permettant de respecter la marge de phase de 45° spécifiée par le cahier des charges. Question 13 : Conclure quant à la possibilité de satisfaire les exigences du cahier des charges avec un simple correcteur à action proportionnelle. On choisit un correcteur à action Proportionnelle et Dérivée (PD) de fonction de transfert : C ( p ) = K c (1 + Td . p ) avec Td, constante de temps dérivée, égale à : Td = 6.10 −3 s . Question 14 : Montrer alors que la nouvelle fonction de transfert en boucle ouverte a pour expression : T ( p) =

K BO p (1 + τ . p )

avec τ = 6.10 −3 s .

Question 15 : Représenter sur la Figure 32 la réponse en fréquence de cette nouvelle fonction de transfert pour KBO = 1. Question 16 : Déterminer algébriquement, pour cette nouvelle fonction de transfert : a) la pulsation ωc pour laquelle le déphasage ϕ (ωc ) = −135° ; b) la valeur de KBO permettant d’obtenir une marge de phase de 45°. c) Conclure quant à la possibilité de satisfaire les exigences du cahier des charges avec ce type de correcteur.

31

ANNEXE 1 : Alimentation en énergie hydraulique Deux circuits hydrauliques indépendants jaune et vert (voir Figure 30) alimentent, entre autre, les servocommandes des gouvernes de profondeur : •

le circuit hydraulique vert (HV) alimente les servocommandes des gouvernes de profondeur gauches (intérieures et extérieures).

•

le circuit hydraulique jaune (HJ) alimente les servocommandes des gouvernes de profondeur droites (intérieures et extérieures). La mise en pression de chaque circuit est réalisée par quatre pompes entraînées en rotation par les moteurs de l’avion (deux pompes A et B par moteur). En raison de la taille de l’A380, la pression hydraulique a été portée à 350 bars contre 207 bars sur les programmes précédents. L’augmentation de la pression permet de diminuer le diamètre des tuyauteries hydrauliques et, par conséquent, de transmettre l’énergie hydraulique sur de plus longues distances sans que la masse de l’avion ne soit pénalisée.

Circuit basse pression BP

Réservoir

Réservoir

Mot 1

Mot 4 Pompe A

Pompe B Pompe A

Pompe B Pompe B

Pompe B

Pompe A Pompe A

Mot 2

Mot 3

AILERONS

AILERONS

SPOILERS

SPOILERS

BECS ET VOLETS

BECS ET VOLETS

GOUVERNAIL

GOUVERNAIL

GOUVERNES GAUCHES

GOUVERNES DROITES

Circuit haute pression (HP) vert

Circuit haute pression (HP) jaune

Figure 30 : Circuits hydrauliques de l’A380

32

ANNEXE 2 : Alimentation en énergie électrique Généralement, sur les avions de ligne, trois circuits hydrauliques indépendants alimentent les commandes de vol afin d’obtenir une fiabilité maximale : si l'un d'eux subit une avarie, le contrôle de l'avion est assuré par les deux autres. En raison des dimensions de l’A380, le troisième circuit a été remplacé par deux réseaux électriques indépendants E1 et E2 triphasés 115/200 V – 400 Hz/800 Hz alimentés par quatre générateurs directement accouplés à l’étage haute pression des moteurs (voir Figure 31). Les avantages d’une telle solution concernent : •

le gain de masse : de l’ordre de 1600 kg,

•

l’amélioration de la sécurité par la dissemblance et la redondance des sources de puissance : leur quantité passe de 3 (3H) à 4 (2H2E). Le réseau électrique E1 alimente les moteurs électriques des EHA des gouvernes intérieure gauche (IG) et extérieure droite (ED). Le réseau électrique E2 alimente les moteurs électriques des EHA des gouvernes extérieure gauche (EG) et intérieure droite (ID).

Mot 1

Mot 2

Mot 3

Mot 4

G

G

G

G

G

Réseau Electrique E1

APU

G

Réseau Electrique E2

RAT AILERONS AILERONS

AILERONS AILERONS

SPOILERS SPOILERS

SPOILERS SPOILERS

BECS BECSET ETVOLETS VOLETS

BECS BECSET ETVOLETS VOLETS

GOUVERNAIL

GOUVERNAIL

GOUVERNES IG et ED

GOUVERNES GOUVERNESDROITES EG et ID

Figure 31 : Réseaux électriques primaires E1 et E2

33

Figure 32

34

VII. TRANSMISSION A VARIATION CONTINUE FENDT Présentation de l’étude Le thème proposé concerne la transmission à variation continue développée par la société Fendt et équipant sa gamme de tracteurs « Fendt 900 Vario ».

Problématique Les véhicules terrestres sont dans leur grande majorité mus par un moteur thermique dont les caractéristiques de fonctionnement ne permettent pas le couplage direct sur les roues pour les raisons suivantes :


ils ne tournent que dans un seul sens ;




leur couple moteur est plutôt faible (1280 Nm maxi pour le moteur MAN équipant les tracteurs Fendt 930) et n’est pas constant dans la plage d'utilisation de ces moteurs.

Ces caractéristiques imposent, pour l’usage d’un véhicule terrestre, d’interposer entre le moteur et les roues un réducteur de vitesse permettant à l’utilisateur de choisir le rapport le mieux adapté à une situation donnée :


un rapport nul (appelé point mort) lors de l’arrêt,




un rapport de marche arrière,




plusieurs rapports (voire une infinité) pour la marche avant.

Parmi les technologies utilisées pour réaliser un réducteur de vitesse, on distingue :


celles à base d’engrenages (Figure 33), qui n’autorisent qu’un nombre fini de rapports,




celles à base de trains épicycloïdaux (Figure 34), ou à variation continue de vitesse, autorisant un nombre infini de rapports.

Figure 33 : Réducteur à engrenages

Figure 34 : Réducteur à train épicycloïdal

Réducteur de vitesse à variation continue Les réducteurs à engrenages possèdent un défaut important, celui de ne pouvoir régler la vitesse que par palier. De ce fait, il manque toujours le rapport idéal pour exploiter les meilleures capacités du moteur et s’adapter précisément aux besoins de l’outil attelé au tracteur. 35

En 1996, Fendt commercialise le Vario 926 de 260 Ch, premier tracteur de forte puissance équipé de la transmission continue Vario de Fendt associant le rendement d’une transmission à passage sous charge aux avantages d’une transmission hydrostatique. Elle présente les caractéristiques suivantes :


démarrage progressif sans à-coups,




adaptation optimale de la vitesse d’avancement à chaque condition d’utilisation,




plus de changement de vitesse,




nombre infini de vitesses dans les plages de travail,




un seul levier pour toutes les commandes.

Constitution de la transmission VARIO La transmission continue Vario de Fendt se compose de deux parties, l’une hydraulique (pompe et moteur hydraulique), l’autre mécanique (train épicycloïdal).

P

Train épicycloïdal

Pompe hydraulique

2 4

Moteur MAN

1 M

En sortie, une commande de plage permet de sélectionner deux gammes de vitesse :

Moteurs hydrauliques




plage 1 ou route : 0 à 50 km/h en marche avant, 0 à 38 km/h en marche arrière,




plage 2 ou champ : 0 à 32 km/h en marche avant, 0 à 20 km/h en marche arrière.

3

a) Partie mécanique Comme dans toute boîte automatique, l’élément fondamental est un train épicycloïdal. Le moteur MAN entraîne le porte satellites (4). La couronne (3) entraîne la pompe hydraulique à débit variable. Le planétaire (1) est relié à l’arbre de sortie (appelé arbre sommateur) sur lesquels sont montés les moteurs hydrauliques. D’après la relation de Willis, on démontre que :

ω1 = 3ω4 − 2ω3 Ainsi, la variation de la vitesse ω3 de la couronne permet de régler la vitesse de sortie ω1 du planétaire. Cette variation est réalisée par la partie hydraulique. 36

b) Partie hydraulique La pompe à cylindrée variable alimente deux moteurs hydrauliques de cylindrées elles aussi variables disposés sur l’arbre sommateur. La variation de la course des pistons par inclinaison d’un angle α (pour la pompe) ou β (pour les moteurs) du barillet (voir ci-dessous) permet de faire varier les débits algébriques par tour qP et qM respectivement de la pompe et du moteur. On démontre que :


qP = V p 2 sin α débit algébrique par tour de la pompe avec − 30° < α < 45°




qM = VM 2 sin β débit algébrique par tour du moteur avec 0° < β < 45°

avec VP = VM = 233 cm 3 les cylindrées maxi de la pompe et du moteur. Arbre P ou M

Barillet

Tripode Pistons Barillet

Rapport de transmission Le rapport de transmission global entre ωm (vitesse de rotation du moteur) et ωM, vitesse de rotation de l’arbre sommateur est égal à :

5346 sin α ωM =− ωm 4884 sin β + 2916 sin α

(1)

Voir en Annexe la description du fonctionnement de la transmission Vario .

Système de commande de la transmission Fendt Présentation La relation (1) montre que le réglage du rapport du réducteur Fendt dépend des angles d’inclinaisons α et β des barillets de la pompe et des moteurs. La commande permettant d’agir sur ces paramètres s’effectue intégralement à l’aide d’un joystick situé dans la cabine de pilotage :




pousser le joystick en avant permet d’accélérer,




tirer le joystick en arrière permet de ralentir au frein moteur,

37




pousser le joystick vers la droite permet d’activer le Tempomat. Ce dispositif permet de conserver une vitesse d’avancement constante.

Ces commandes permettent d’agir sur l’inclinaison des éléments hydrostatiques par l’intermédiaire d’un moteur à courant continu asservi en position entraînant un arbre de commande à came (Figure 35). Les cames sont dessinées afin que la pompe soit commandée la première et les moteurs ensuite. Capteur de position

xP1

P1

MCC

Arbre de commande

θ

Came

P2

M1

xP2

P4

M4

QP

QM

α

β

M2

xM2

xM2

S Levier

P6

xP3

P3

OP

Pompe

P5

M6

yP5

Moteur

M5

OM

yM5

P7

M7

M3

Figure 35 : Commande de la transmission Vario Le schéma fonctionnel de la commande de la transmission Fendt est donné ci-dessous : P7 P1 Ue(p) + Ur(p)

ε(p)

Kc

U(p)

M(p)

θm (p)

Kr

xP1

P2

θ (p) M1

xM1

Kp

M2

+ + -

xP2

xM2

P3

M3 M7

Asservissement en position de l'arbre de commande

xP3 QP

QM xM3

P6 P4

M4

yP5

yM5

P5

M5

ωm

α

β

Variateur Fendt

ωM M6

Asservissement en position de la pompe et du moteur

Performances exigées :


stabilité : marge de phase Mϕ ≥ 45° . Pas de dépassement en réponse à un échelon,




précision : pas d’écart de position,

38




rapidité : temps de réponse à 5% global du système à une consigne d’entrée de type échelon inférieur à 0,5 s.

Asservissement en position de l’arbre de commande On s’intéresse à l’asservissement en position de l’arbre de commande dont le schéma fonctionnel est donné ci-dessous. Ue(p) + Ur(p)

ε(p)

Kc

U(p)

M(p)

θm (p)

Kr

θ (p)

Kp




K c : gain du correcteur à action proportionnelle,




Kr =




Kp = 1 V/rd : gain du capteur potentiométrique monté sur l’arbre de commande,




M ( p) =

1 : gain du réducteur, 20

θ m ( p) U ( p)

: fonction de transfert du moteur à courant continu.

Fonction de transfert du moteur Le moteur électrique est un moteur à courant continu dont les équations caractéristiques sont les suivantes : dθ m (t )  u (t ) = R.i (t ) + ke . dt  2  J . d θ m (t ) = k .i (t ) a  e dt 2 Avec :




u(t) : tension appliquée aux bornes du moteur




i(t) : courant d’induit




R : résistance de l’induit

R =2Ω,




Je : inertie de l’arbre de commande

J e = 6,25.10 −4 kg.m 2 ,




ke : constante de force contre électromotrice

ke = 0,1 V/(rad/s) ,




ka : constante de couple

k a = 0,1 Nm/A .

39

Question 1 : On considère nulles les conditions initiales. a) Déterminer la fonction de transfert M ( p ) =

θ m ( p)

U ( p) qu’elle peut se mettre sous la forme canonique : M ( p) =

du moteur électrique et montrer

Km . p (1 + τ m p )

b) Donner les expressions littérales de Km et τm . Calculer Km et τm.

Question 2 : Déterminer la fonction de transfert en boucle ouverte T(p) en fonction notamment de Km et τm et en déduire l’expression du gain de boucle K BO . Question 3 : Fonction de transfert en boucle fermée a) Déterminer la fonction de transfert en boucle fermée F(p) et montrer qu’elle peut se mettre sous la forme d’un système du second ordre : F ( p) =

θ ( p) U e ( p)

=

K1

ξ p2 1+ 2 p+ 2 ω0 ω0

.

b) Donner l’expression littérale de K1 et celles de ξ et ω0 en fonction de KBO et τm .

Question 4 : Analyse des performances a) Déterminer la valeur du gain de boucle KBO de telle sorte que la réponse à une entrée de type échelon soit la plus rapide possible sans toutefois produire de dépassement. b) En déduire la valeur du gain Kc de l’action proportionnelle du correcteur.

Question 5 : Montrer qu’avec la valeur de Kc choisie précédemment, la fonction de transfert en boucle fermée peut se mettre sous la forme : F ( p) =

K1 . (1 + T1 p ) 2

Calculer K1 et T1.

Nota : Indépendamment du résultat trouvé question 5, on admet, pour la suite du sujet, que K1 = 1 .

40

Asservissement en position de la pompe Les commandes de l’inclinaison de la pompe et des moteurs n’ayant pas lieu simultanément, on limitera cette étude à l’asservissement en position de la pompe dont le schéma fonctionnel est donné Figure 36. On considère que les angles θ et α correspondent à de petites fluctuations autour d’un point de fonctionnement θ0 et α0.

P7

θ (p)

P1

xP1

P2

+

xP2

P3

QP

xP3

P4

P6 yP5

P5

α(p)

Figure 36 : Boucle d’asservissement de la pompe Le fonctionnement peut être décomposé en deux étapes (voir Figure 35 page 38) :


Etape 1 : suite à une rotation d’un angle θ de l’arbre de commande, la roulette P1 montée à l’extrémité du levier P1P3 se déplace de xP1. Le levier P1P3 pivote autour de P3. La biellette P2P4 déplace le tiroir du distributeur proportionnel de xP21 ce qui entraîne la rentrée ou la sortie des tiges des vérins. La pompe tourne d’un angle α.




Etape 2 : la rotation α de la pompe entraîne le déplacement noté xP3 de la biellette P7P3, et, par conséquent, le pivotement du levier P1P3 autour de P1. La biellette P2P4 déplace le tiroir du distributeur proportionnel en sens inverse de xP22 ce qui provoque son repositionnement au neutre et l’arrêt de la rotation de la pompe.




On note : xP 2 = xP 21 − xP 22

On utilise les notations et les données suivantes :


pC = 8 mm/rd : pas des cames commandant la pompe et le moteur,




longueur P1P2 = a ,




longueur P2 P3 = b ,




pour des raisons d’encombrement, on impose P1P3 = a + b = 200 mm ,




longueur OP P5 = c = 80 mm ,




longueur OP P7 = d = 75 mm ,




débit volumique des distributeurs : QP = K d .x P 2 avec Kd = 8000 (mm3/s)/mm,




S : section des vérins (mm2),




Pi(p) : transmittances de la chaîne fonctionnelle de la commande de la pompe,




Mi(p) : transmittances de la chaîne fonctionnelle de la commande du moteur.

Question 6 : A partir de la description du fonctionnement donné précédemment, compléter le tableau suivant afin de déterminer l’ensemble des transmittances Pi.

41

DETERMINATION DES TRANSMITTANCES Pi Pi

Schéma

P1

xP1

Equation temporelle θ

P1

MCC

P1

xP1

P2

xP1 (t ) = pc .θ (t )

X P1 ( p ) = pc θ ( p)

xP1 (t ) xP 21 (t ) = a+b b

X P 21 ( p ) = X P1 ( p )

P1

a

P2

Tranmittance

a xP21

xP22

P2

Fig.2

b

b

P7

X P 22 ( p ) = X P 3 ( p)

Fig 7 xP3

P3

P3

Fig 7

Fig 2

xP2

P3

q p (t ) = K d .xP 2 (t )

QP ( p ) = X P 2 ( p)

QP

P4

qp(t)

yP5(t)

S

P5

q p (t ) = S

α

YP 5 ( p )

yP5

OP

P6

α xP3=xP7

YP 5 ( p ) = QP ( p )

α ( p)

c P5

OP

dy P 5 (t ) dt

=

X P3 ( p) = α ( p)

d P7

42

Question 7 : Compléter le schéma bloc ci-dessous par les transmittances Pi ainsi α ( p) déterminées. En déduire la fonction de transfert et montrer qu’elle peut se mettre sous θ ( p) la forme : K2 α ( p) = θ ( p) 1 + T2 p Préciser les expressions du gain K2 et de la constante de temps T2.

xP3

θ (p)

xP1

+

xP2

QP

yP5

α

Analyse du régime statique ou régime permanent Le schéma fonctionnel de la commande de la transmission Fendt se ramène finalement au schéma boc ci-dessous :

Ue(p)

K1 (1 + T1 p ) 2

θ (p)

α(p)

K2 1+ T2 p

La fonction de transfert globale H ( p ) du système de commande devient :

H ( p) =

α ( p) U e ( p)

=

K avec K = K1.K 2 = K 2 (1 + T1. p ) 2 .(1 + T2 . p ) π 4

On souhaite qu’en régime permanent, l’amplitude du signal de sortie α (t ) ( − 30° < α < 45° ) évolue en fonction de l’amplitude du signal de consigne ue (t ) de la façon -8V suivante :

α(t)

ue(t) 12V π 6

43

Question 8 : En déduire : a) la valeur du gain K, b) les longueurs a et b du bras de levier P1P3. Nota : Pour la suite du problème, on retient les valeurs suivantes de a et de b :


a = 125 mm




b = 75 mm

Analyse de la stabilité Question 9 : En écrivant H(p) sous la forme suivante et par application du critère de Routh, montrer que le système est stable quelles que soient les valeurs de T1 et T2. H ( p) =

α ( p) U e ( p)

=

K K = 2 (1 + T1. p ) .(1 + T2 . p ) 1 + a1 p + a2 p 2 + a3 p 3

Analyse du régime dynamique ou régime transitoire On s’impose T2 < 0,2 s afin de respecter le temps de réponse global imposé par le cahier des charges.

Question 10 : En déduire la valeur de la section S et donc le diamètre D des vérins.

44

ANNEXE : Fonctionnement de la transmission Fendt-Vario Les quatre étapes du fonctionnement sont résumées dans le tableau ci-dessous : α = 0°

0° < α < 45°

β = 45°

β = 45°

Etape 1 : Tracteur à l’arrêt, moteur tournant

Etape 2 : Démarrage du tracteur

Quand le tracteur se trouve à l’arrêt, la pompe n’est pas pivotée et ne débite pas (cylindrée nulle). Par contre, les moteurs sont inclinés au maximum (45°) leur cylindrée est maximale mais leur rotation est bloquée par la pompe. L’arbre sommateur et donc le tracteur sont à l’arrêt, pignons en prise (et non au point mort), cette position est appelée «arrêt dynamique».

Au démarrage la pompe pivote et commence à débiter de l’huile. Les moteurs hydrauliques entrent en mouvement, l’arbre sommateur tourne, le tracteur démarre. La majeure partie de la puissance du moteur est transmise par la partie hydraulique.

α = 45°

-30°