TD Antennes PDF
March 8, 2023 | Author: Anonymous | Category: N/A
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Prof. ADANE Abd El Hamid, Exercices d'électromagnétism d'électromagnétisme, e, de lignes et d'antennes pour Ingénieurs et Masters
U.S.T.H.B., F.E.I., Département Télécommunications
Electromagnétisme Exercice N° 1: Montrez qu’une onde plane est une solution de l’équation d’onde. Corrigé : L’expression mathématique d’une onde plane se propageant selon une direction définie par le vecteur unitaire u est:
j( t - k r )
( r , t ) A e
avec k k u et
k = / c.
k est, par définition, le vecteur d’ond d’ondee et r est la direction qui sépare le point d’observation de l’origine des axes du système de référence. Dans le système de coordonnées cartésienne, on a: k 2 = k x2 + k y2 + k z2 , k k x ix
k y iy k z iz et k r k x x k y y k z z
r x ix
y iy z iz
.
L’équation d’onde s’écrit :
2 - 2 2 0 c x 1
ou
2 2 2 1 2 2 2 - 2 2 0 2 z c t y x
A exp j(t - k x x - k y y - k z z) - j k x A exp j(t - k x x - k y y - k z z) x x 2 2 ou - j k x A exp j(t - k x x - k y y - k z z) - k x 2 A exp j(t - k x x - k y y - k z z) x 2 x 2 2 2 - k x 2 . x 2 2 2 De même, on aura : - k y et - k z 2 y 2 z 2 2 2 2 D’où : - k 2x - k 2y - k 2z - k 2 x 2 y 2 z 2 On a aussi: A exp j(t - k x x - k y y - k z z) j A exp j(t - k x x - k y y - k z z) t t 2 2 ou j A exp j(t - k x x - k y y - k z z) - 2 A exp j(t - k x x - k y y - k z z) t 2 t 2 1 2 2 2 2 - 2 - k 2 c t c 1 2 D’où : - - k 2 k 2 0 2 2 c x On a:
1
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Exercice N°2 : Soit U( r ) , une fonction scalaire et V( r ) , une fonction vectorielle de points. Dans le
système de coordonnées curvilignes (u1,u2,u3), on a: grad U 1 U e1 1 U e 2 1 U e 3
h 3 u 3
h 2 u 2
h1 u 1
1 r et r (i = 1, 2, 3). h i h 2 h 3 V1 h 3 h1 V2 h1 h 2 V3 , avec ei h i u i h 1h 2 h 3 u1 u i u 2 u 3 1. Utilisez ces deux opérateurs pour exprimer le Laplacien scalaire U en fonction des
et
1
div V
coordonnées (u1,u2,u3). 2. Explicitez les composantes en coordonnées cartésiennes (x,y,z) d'un vecteur r en fonction des coordonnées sphériques (r,,). 3. Déterminez les vecteurs unitaires ( e1 , e 2 , e 3 ) et leurs paramètres directeurs (h1, h 2, h 3) en
fonction des coordonnées (r,,).
Corrigé: 1. Le Laplacien scalaire U s'écrit aussi: ΔU div grad U .
Posons : V grad U . Dans le système de coordonnées curvilignes (u 1,u2,u3) on a: 1 U 1 U 1 U e3 e2 e1 grad U h 3 u 3 h 2 u 2 h 1 u 1
div V h h h u h 2 h 3 V1 u h 3 h1 V2 u h1 h 2 V3 1 2 3 1 2 3 1
En explicitant ces deux opérateurs dans le Laplacien, on obtient:
U
h 2 h 3 U h 3 h1 U h1 h 2 U h u u h u u h u h 1h 2 h 3 u1 1 1 2 2 2 3 3 3 1
2. Dans le système de coordonnées sphériques, le point (P) est repéré par la distance u1 = r ,
z
i
l'angle de site u2 = et l'angle d'azimut u3 = .
Les vecteurs unitaires sont e1 = ir , e 2 = i , e 3 = i .
ir
(P)
r
i
Soit ix , iy et iz , les vecteurs unitaires du système de coordonnées cartésiennes et x , y et z
(O)
les composantes du vecteur OP r . En projetant ce vecteur sur les axes Oz et O, x on trouve que: z = r cos et = r sin Puis, en projetant la composante sur les axes Ox et Oy, on obtient: x = r sin cos et y = r sin sin.
D'où: r x ix
y iy z iz
r sin cos ix
y
sin sin iy cos iz
3. Par définition, les vecteurs unitaires du système de coordonnées curvilignes sont et les paramètres directeurs de ces vecteurs sont respectivement:
e
1
r
h i u i Par conséquent, on aura: i
r
et
h i
u i 2
avec
i = 1, 2, 3.
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r [r sin cos ix r sin sin iy r cos iz ] r r r sin cos ix sin sin iy cos iz r r et h r [sin 2 cos 2 sin 2 sin 2 cos 2 ]1 / 2 [sin 2 (cos 2 sin 2 ) cos 2 ]1/ 2 r
2
2
1/ 2
ou h r [sin cos ] r [r sin cos i x
et ir sin cos ix hr = 1 r sin sin iy r cos iz ]
sin sin iy cos iz
r r [cos cos ix cos sin iy sin iz ] et r r [cos 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 ]1/ 2 r [cos 2 (cos 2 sin 2 ) sin 2 ]1/ 2 h ou h r [sin 2 cos 2 ]1/ 2 h = r et i cos cos ix cos sin iy sin iz r [r sin cos ix r sin sin iy r cos iz ] r r [- sin sin ix sin cos iy ]
r h
et
r [sin 2 sin 2 sin 2 cos 2 ]1/ 2
h = r sin
et
sin ix cos iy
i
r sin [cos 2 sin 2 ]1/ 2
Exercice N°3: 1. Le double produit vectoriel de trois vecteurs A , B et C s’écrit :
A B C (A . C) B - (A . B) C . Montrez que ro t ro t V grad divV ΔV en utilisant
l’opérateur nabla (). 2. Citez les lois de l'électricité d'où sont issues les équations de Maxwell. 3. Précisez les caractéristiques électriques du vide et écrivez les équations de Maxwell dans un tel milieu. milieu. 4. Sachant que ro t ro t V grad divV - V , trouvez à l'aide des équations de Maxwell, les équations de propagation des champs électrique et magnétique dans le vide. 5. A partir des équations de Maxwell dans le vide, montrez que le champ électrique et le champ magnétique dérivent d’un potentiel scalaire et d’un potentiel vecteur A . 6. Déterminez la condition de Lorentz et trouver les équations de propagation des potentiels et A dans le vide. vide.
Corrigé de l'exercice N°3: N°3: 1. En développant le double produit vectoriel, on a: A B C (A . C) B - (A . B) C .
Faisons: A , B et C V . En remplaçant, on a :
V ( . V) - ( . ) V ( V) - 2 V
Or: ro t V V , divV V , gradU U div gradU (U) 2 U U
3
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Sachant que chaque composante de V est une fonction scalaire telle que U, on en déduit
V
que:
2
V.
D'où: ro t ro t V grad divV - V
B Lois de Faraday et de Maxwell (génération d'une f.e.m.) 2. ro t E t D J Lois d'Ampère et de conservation des charges (équation de continuité) ro t H t divB 0 Loi de Maxwell (conservation du flux d'induction magnétique div D Théorème de Gauss (Equation de Poisson) avec D E et B H .
3. 3. Pour que le milieu de propagation soit assimilé au vide, il ne doit y avoir ni charges, ni courants, c'est-à-dire que = 0 et J 0 . De plus, dans le système SI (MKSA rationalisé), on doit avoir: = o = (1/36) 10-9 F/m et = o = 4 10-7. Compte tenu des conditions dans le vide, les équations de Maxwell s'écrivent: s'écrivent: H ro t E o t E ro t H o t
divH 0
divE
0
4. Sachant que: ro t ro t V grad divV - V , on a en posant V E :
H ) o (ro t H) ro t ro t E grad divE - E ro t ( o t t 2E E ) o o ro t ro t E - E o ( o car divE 0 t t t 2 1 2E D'où: E 2 0 avec c = (o o)-1/2 = 3 10+8 m/s. 2 c t
2H 0 t 2
De même, en faisant V H , le calcul est identique et on trouve que: H
1 c2
5. La troisième équation de Maxwell est divB 0 . Elle implique que div rot A 0 . En
identifiant, on voit que le champ B dérive bien du potentiel potentiel vecteurA vecteur A . Soit: B ro t A En remplaçant dans la première équation de Maxwell, on obtient: A B ro t E - (ro t A) ro t (- ) t t t L'équation des rotationnels est résolue à un gradient près, car on a:
ro t gradU ( U) ( ) U 0
De plus, en électrostatique, électrostatique , on avait trouvé que: E - gradU .
4
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Faisons: U = . En superposant les deux types d'équations, on obtient:
A A - grad ro t E ro t (- ) ro t (- grad ) ro t - t t A D'où: E - - grad t Le cham champ p E dérive donc du potentiel scalaire .
E et t A ro t ro t A ε o μ o gra d Φ t t
6. 6. En combinant la seconde équation de Maxwell ro t H o
E ro t B o o t
B ro t A , on a:
2A Φ -ε μ grad divA - A - grad ε o μ o t o o t 2
et
1 Φ 2A A - 2 2 grad divA 2 c t c t
ou
1
c
avec
1 ( o o )1/ 2
Le premier membre de cette équation est celui de l'équation d'onde. Or, d'après la condition de Lorentz : divA
1 c2
Φ 0 t
2A A - 2 2 0 c t
D'où:
1
A - grad , on a: E - t
En combinant la quatrième équation de Maxwell divE
A divE div - - grad 0 t
A ) div grad 0 t
div(
1 2Φ t (divA) 0 . Or, d'après la condition de Lorentz: t (divA) - c 2 t 2
ou
0 et
D'où:
1 c2
2 2 0 t
Comme les champs E et H , les potentiels et A se propagent comme dans des ondes dans le vide à la vitesse de la lumière.
Exercice N°4 : (7pts) : (7pts) Enoncé: Soit U( r ) , une fonction scalaire et V( r ) , une fonction vectorielle de points. Dans le
système de coordonnées curvilignes (u1,u2,u3), on a: grad U 1 U e1 1 U e 2 1 U e 3
h 2 u 2
h 1 u 1
h 3 u 3
et
div V
h 2 h 3 V1 h 3 h1 V2 h1 h 2 V3 , avec ei 1 r et h i u i h 1h 2 h 3 u1 u 2 u 3 1
5
r (i = 1, 2, 3). u i
h i
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4. Utilisez ces deux opérateurs pour exprimer le Laplacien scalaire U en fonction des coordonnées (u1,u2,u3). (1pt) 5. Explicitez les composantes en coordonnées cartésiennes (x,y,z) d'un vecteur r en fonction des coordonnées sphériques (r,,). (1pts) 6. Déterminez les vecteurs unitaires (e1 , e 2 , e 3 ) et leurs paramètres directeurs (h 1, h 2, h 3) en
fonction des coordonnées (r,,). (2pts) 7. Précisez les caractéristiques électriques du vide et écrivez les équations de Maxwell dans un tel milieu. (1pt1/2) 8. Sachant que ro t ro t V grad divV - V , trouvez à l'aide des équations de Maxwell, les équations de propagation des champs électrique et magnétique dans le vide. (1pt1/2)
Corrigé: 1. Le Laplacien scalaire U s'écrit aussi: ΔU div grad U .
Posons : V grad U . Dans le système de coordonnées curvilignes (u 1,u2,u3) on a: 1 U 1 U 1 U e3 e2 e1 grad U h 3 u 3 h 2 u 2 h 1 u 1
div V
h h V h h V h h V 2 3 1 u 2 3 1 2 u 3 1 2 3 h1h 2 h 3 u1 1
En explicitant ces deux opérateurs dans le Laplacien, on obtient:
U
h 2 h 3 U h 3 h1 U h1 h 2 U h 1h 2 h 3 u1 h 1 u 1 u 2 h 2 u 2 u 3 h 3 u 3 1
2. 2. Dans le système de coordonnées sphériques,
(1pt)
z
le point (P) est repéré par la distance u1 = r ,
i
l'angle de site u2 = et l'angle d'azimut u3 = .
(P)
Les vecteurs unitaires sont e1 = ir , e 2 = i , e 3 = i .
ir
r
i
Soit ix , iy et iz , les vecteurs unitaires du
(O)
y
système de coordonnées cartésiennes et x , y et z
les composantes du vecteur OP r . En projetant ce vecteur sur les axes Oz et O, x on trouve que: z = r cos et = r sin Puis, en projetant la composante sur les axes Ox et Oy, on obtient: x = r sin cos et y = r sin sin. D'où: r x ix y iy z iz r sin cos ix sin sin iy cos iz
(1pt)
3. 3. Par définition, les vecteurs unitaires du système de coordonnées curvilignes sont et les paramètres paramètr es directeurs directeurs de ces vecteurs sont sont respectivement: respectivement: e i
1 hi
r u i
r h i u i
et
Par conséquent, on aura:
6
avec
i = 1, 2, 3.
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r [r sin cos ix r sin sin iy r cos iz ] r r r sin cos ix sin sin iy cos iz r r [sin 2 cos 2 sin 2 sin 2 cos 2 ]1 / 2 [sin 2 (cos 2 sin 2 ) cos 2 ]1/ 2 et h r r
2
2
1/ 2
ou h r [sin cos ] r [r sin cos ix
hr = 1 et ir sin cos ix r sin sin iy r cos iz ]
sin sin iy cos iz
r r [cos cos ix cos sin iy sin iz ] et r r [cos 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 ]1/ 2 r [cos 2 (cos 2 sin 2 ) sin 2 ]1/ 2 h ou h r [sin 2 cos 2 ]1/ 2 h = r et i cos cos ix cos sin iy sin iz r [r sin cos ix r sin sin iy r cos iz ] r r [- sin sin ix sin cos iy ]
r h
et
r [sin 2 sin 2 sin 2 cos 2 ]1/ 2
r sin [cos 2 sin 2 ]1/ 2
(2pts) i sin ix cos iy 4. Pour que le milieu de propagation soit assimilé au vide, il ne doit y avoir ni charges, ni courants, c'est-à-dire que = 0 et J 0 . De plus, dans le système SI (MKSA rationalisé), on doit avoir: = o = (1/36) 10-9 F/m et = o = 4 10-7. Compte tenu des conditions dans le vide, les équations de Maxwell s'écrivent: s'écrivent: H E ro t E o ; ro t H o (1pt1/2) ; divH 0 ; divE 0 t t H 5. On a: a: ro t ro t E grad divE - E ro t ( o ) o (ro t H) t t
h = r sin
et
ro t ro t E - E
E E o ( o ) o o 2 t t t
2E 2 0 t
2
divE
car
0
D'où: E
1 c
2
avec
c = (o o)-1/2 = 3 10+8 m/s.
2H 0 t 2
De même, avec un calcul identique, on trouve que: H
1 c2
(1pt1/2)
Exercice N° 5 : (6 pts) Enoncé: 1. Dans le système de coordonnées sphériques, écrivez les composantes du champ électromagnétique émis à grande distance par un dipôle électrique de longueur dl.
7
(1pt)
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2. Calculez 2. Calculez le flux moyen de puissance électromagnétique P
1
E H émis par celui-ci. 2
(1pt) 3. Calculez la puissance totale PT rayonnée par ce dipôle et sa résistance de rayonnement. (2pts) 4. Déterminez son gain G(,), étudiez celui-ci et tracez les diagrammes de directivité dans les plans E et H. (2pts) Corrigé: 1. Les composantes du champ électromagnétique rayonné à grande distance, sont (r >> ) : 2r 1/2 j( t - ) i o dl o , E = 0 E j Er = 0 , sin e 2 r o 2 r j( t - ) i o dl H j sin e (1pt) Hr = 0 , H = 0 , 2 r 1
2. Le flux moyen de puissance électromagnétique est P
1/2
i o dl o
j( t -
2 r )
sin e E E i j 2 r o Comme (o/o)1/2 = 120, il vient:
i et H
*
H *
2
i
E H P ( i 2
(E H * ) , avec :
i o dl
- j
2 r
sin e
- j( t -
2 r )
i
i ) P(, ) ir
2
15 1 E avec P(, ) 2 2 i 2o dl 2 sin 2 2 120 r
(1pt)
3. Soit 3. Soit une surface sphérique (S) de centre (O) et de rayon r entourant le dipôle électrique. Cette surface est décomposable en divers anneaux circulaires centrés sur Oz , de rayon égal à r sin et d'épaisseur r d. Chacun de ces anneaux est à son tour décomposable en rectangles élémentaires de côtés r sin d et r d. Dans ce cas, l'élément de surface qui en résulte, vaut: dS = (r sin d) (r d) = r 2 sin d d, avec 0 2 et 0 , et sa normale est n ir . La puissance totale rayonnée par l'antenne est: PT P.n dS
z
ir
O
P
d
y
d
(S)
2 x 15 2 2 2 2 PT i dl sin r sin d d 2 2 o 0 0 r
2 15 2 2 30 2 2 2 3 En intégrant, on a successivement: successivement: P i dl sin d d i dl sin 3 d T
2
o
8
0
0
2
o
0
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sin
3
d
0
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cos3 4 2 (1 - cos ) sin d sin d - cos sin d - cos 3 3 0 0 0
2
0
D'où, la puissance totale rayonnée: PT
40 2
et la résistance de rayonnement: R 80 2
dl 2
2
dl 2
1 i 2o R i 2o 2
2
(2pts)
3. Le gain de l'antenne dans la direction ( ,) est par définition: G(, )
P(, ) PT 4r 2
En explicitant P(,) et PT, on obtient: 15 2 2 i o dl sin 2 2 2 PT 3 10 2 2 G(, ) r sin 2 et i o dl 10 2 2 2 4r 2 2 r 2 i dl 2 2 o r Dans le plan xOy (plan H) : G( ) = 3/2 0 360°. Ce gain est omnidirectionnel et le diagramme de directivité est une circonférence de centre (O) et de rayon égal à 3/2. Dans le plan zO (plan E): G() 3 sin 2 avec = o = Cte et 0 360°. 2 Ce gain est une fonction réelle, périodique de période 2 et admettant les symétries G(- ) = G() et G( - ) = G(). L'étude restreinte à l'intervalle 0 /2, donne:
G()
0 0
30° 3/8
45° 3/4
60° 9/8
90° 3/2
D'où, le diagramme qui se compose de deux lobes centrés sur l'axe O .
y
z
G() (O)
3 G() sin 2 2
(O) x
- 3/2
+ 3/2
(2pts)
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Antenne rectiligne, de longueur L, verticale, ouverte à son extrémité ----------------------------------------------------------------------------------Exercice N° 1 : (7 pts) Enoncé: Une antenne rectiligne, de longueur L = 12 m, verticale et ouverte à son extrémité supérieure, se trouve en présence du sol qui est assimilé à un conducteur parfait. Elle est alimentée à sa base par un courant sinusoïdal HF d’amplitude I(z) = IM sin[2(L – z)/] , avec IM = 10 A. 1. Représentez l'antenne en présence du sol dans le plan vertical zO et dans ce plan, par un dessin qui décrit l'antenne équivalente composée composée de l'antenne réelle et de son image. (1pt) (1pts½) 2. Calculez la hauteur effective heff de l’antenne équivalente ainsi formée. 3. Déterminez la position du maximum hmax de la hauteur effective heff et son amplitude en fonction de L, dans l’intervalle L 4L. (1pts½) 4. Déterminez la valeur numérique de h max et de la fréquence d'accord de l'antenne pour laquelle on obtient hmax . (1pts½) Trouvez dans ce cas, la valeur numérique de sa résistance de rayonnement R et celle de la puissance totale émise PT sachant que le rayonnement ne se fait que dans le demi-espace supérieur. (1pts½) Corrigé: 1. En application du théorème des images électriques, l'antenne en présence du sol équivaut à une antenne de longueur 2L alimentée à son centre et ouverte à ses deux extrémités. La figure suivante représente dans le plan zO, l'antenne en présence du sol et l'antenne équivalente formée de l'antenne réelle et de son image z z +L
+L
Antenne réelle + I(z)
(O)
(O)
Antenne en présence du sol - I(z)
Antenne image -L
Le courant réel est de la forme: i(z,t) = I(z) e j t et le courant image: i'(z,t) = - I(z) e j t , avec 2 I(z) I M sin (L - z ) et - L z + L ( i va de 0 à + L et i' , de 0 à – L). (1pt)
2. Par définition, la hauteur effective heff d' une antenne rectiligne, verticale, de longueur L, isolée dans l’espace, ouverte à son extrémité supérieure, excitée à sa base et parcourue par un courant sinusoïdal d’amplitude I(z) IM , est:
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h eff
1 IM
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L
I(z) dz
0
En présence du sol, il faut tenir compte de l'image de l'antenne et la hauteur effective est: h eff
1 IM
L L L 1 1 I( z)dz I(z )dz I( z) dz I I M 0 M L 0
L h eff sin[k(L - z )] dz
0
0
sin[k(L - z )] dz
-L
Faisons z = Z dans la première intégrale et z = Z = - z dans la seconde. Il vient:
L L cos[k(L - Z)] h eff 2 sin[k(L - Z)] dZ 2 k 0 0
D'où: h eff
2L 1 cos
(1ps1/2)
3. Posons: x = 2L/. La hauteur effective devient: heff = 2L (1 – cosx)/x. Tout d'abord, on a: heff = 0 pour cosx = 1 x = 2m = 2L/ (avec m = 0 , 1 , 2,…). Dans ce cas, heff est nul pour: = L/m. Dans l'intervalle L/2 4L, les zéros de h eff sont obtenus pour m = 1 et 2, car = L et = L/2. Faisons: dheff /dx = 0 pour trouver les maximums de la hauteur effective. Après dérivation, on obtient: x sinx – (1 – cosx) = 0 ou x = (1 – cosx) / sinx = 2 sin2(x/2) / 2 sin(x/2) cos(x/2). L'équation transcendante qui en résulte, est: tg(x/2) = x. Elle se résout soit graphiquement, soit numériquement par calculs successifs avec une calculatrice.
On trouve alors deux maximums, obtenus respectivement pour: x1 3/4 (x1 = 134°) 1 = 8L/3 et heff (1) 8L [1 + (21/2/2)] / 3 = 1,707 1/ = 1,45 L x2 3 2 = 2L/3 et heff (2) = 4L/3 = 0,42 L D'où, le tableau de valeurs:
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heff
L/2 0
2L/3 0,42 L
L 0
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8L/3 1,45 L
4L 1,27 L
et la courbe h eff = f().
(2pts) 4. Sachant que L = 12 m, le plus grand des maximums est donné par: h max = h eff (1) = 1,45 L et il vaut hmax = 1,45x12 m = 17,4 m. (1pt) 5. hmax est obtenu pour = 8L/3 = 8x12/3= 32 m. D'où, la fréquence d'accord de l'antenne: F = c/ = 3 108/32 = 9,375 10-2 108 = 9,375 106 Hz = 9,375 MHz. (1pt) 6. La résistance de rayonnement R est celle d'un dipôle électrique de longueur heff parcouru par un courant sinusoïdal si nusoïdal d'amplitude IM, mais n'émettant que dans le demi-espace supérieur. Donc, cette résistance et par conséquent, la puissance totale émise doivent être la moitié de celles observées dans tout l'espace. Soit: PT
1 2
R I 2M
h 1 R 80 2 eff 2 2 2
avec
Pour = 8L/3, on a: hmax = 1,45 L
hmax/ = 1,707/
et R = 402(1,707/)2 = 40x2,9 =117 4 Comme IM = 10 A PT = 1,17 10 / 2 = 5 850 W
(1pts1/2)
Exercice N° 2 : (7pts) Corrigé: Une antenne rectiligne, de longueur L = 25 m, verticale et ouverte à son extrémité, est alimentée à sa base par un courant sinusoïdal HF d’amplitude I(z) = IM sin[2(L – z)/] , avec IM = 10 A. 5. Représentez l'antenne en présence du sol par une antenne équivalente formée de l'antenne réelle et de son image. (1pt) 6. Calculez la hauteur effective heff de l’antenne en présence du sol assimilé à un conducteur parfait. Puis, trouvez sa résistance de rayonnement R et la puissance totale émise PT sachant que le rayonnement ne se fait que dans le demi-espace supérieur. (2pts)
présence du sol, est accordée = /4. sa fréquence de travail F. 7. En Puis, déterminez les l'antenne valeurs numériques deàhL et PTCalculez ? (2pts) eff , R
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8. Avec l'approximation dipolaire électrique, le gain maximum de cette antenne dans le plan perpendiculaire est égal à 3/2. Dans ce cas, que vaut sa surface effective? (2pts)
Corrigé: 1. En application du théorème des images électriques, l'antenne en présence du sol équivaut à une antenne de longueur 2L alimentée à son centre et ouverte à ses deux extrémités. La figure suivante représente dans le plan zO, l'antenne en présence du sol et l'antenne équivalente formée de l'antenne réelle et de son image z z +L
+L
Antenne réelle + I(z)
(O)
(O)
Antenne en présence du sol - I(z)
Antenne image -L
Le courant réel est de la forme: i(z,t) = I(z) e jt et le courant image: i'(z,t) = - I(z) e jt , avec 2 I(z) I M sin (L - z ) et - L z + L ( i va de 0 à + L et i' , de 0 à – L).
(1pt)
2. Par définition, la hauteur effective heff d' une antenne rectiligne, verticale, de longueur L, isolée dans l’espace, ouverte à son extrémité supérieure, excitée à sa base et parcourue par un courant sinusoïdal d’amplitude I(z) IM , est: h eff
1 IM
L
I(z) dz
0
En présence du sol, il faut tenir compte de l'image de l'antenne et la hauteur effective est: h eff
1 IM
L L L 1 1 I( z)dz I(z )dz I( z) dz I I M 0 M L 0
L h eff sin[k(L - z )] dz
0
0
sin[k(L - z )] dz -L
Faisons z = Z dans la première intégrale et z = Z = - z dans la seconde. Il vient:
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L L cos[k(L - Z)] h eff 2 sin[k(L - Z)] dZ 2 k 0 0
D'où: h eff
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2L 1 cos
La résistance de rayonnement R est celle d'un dipôle électrique de longueur h eff parcouru par un courant sinusoïdal d'amplitude IM, mais n'émettant que dans le demi-espace supérieur. Donc, cette résistance et par conséquent, la puissance totale émise doivent être la moitié de celles observées dans tout l'espace. Soit: PT 1 R I 2M 2
avec
R 1 80 2
2 2 h eff 2
(2pts)
F = c/ = 3 108 / 102 = 3 106 Hz 3. On a: L = /4 = 25 m = 100 m et ou F = 3 MHz. kL = 2L/ = (2 /) (/4) = /2 et cos(2L/) = 0 heff = / = 100/ = 31,8 m. R = 40 2 (heff )2/2 = 4022/22 = 40 IM = 10 A PT = 40 102 / 2 = 2 000 W = 2 kW (2pts)
4. La relation entre le gain et la surface effective est: S = 2 G /4. Or , G = 3/2 S = 3 (100)2/ 8 = 1194 m2
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(2pts)
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Antenne rectiligne, de longueur L, horizontale, parcourue par des ondes progressives ---------------------------------------ExerciceN°1: Une antenne rectiligne, de longueur L, parcourue par des ondes progressives d'amplitude I(y) = Io e- j ky et isolée dans l'espace, est portée par l'axe Oy d'un système de référence Oxyz.
1. Calculez le champ rayonné à grande distance par cette antenne. 2. Trouvez sa fonction caractéristique de rayonnement et étudiez la pour = 90° et L = 5 /2. 3. Tracez le diagramme de rayonnement. Corrigé: 1. Considérons une antenne composée d'un conducteur cylindrique, rectiligne, de section (s) et de longueur L, isolée dans l'espace, disposée horizontalement, alimentée à son entrée (O) par un générateur sinusoïdal et fermée à son autre extrémité sur son impédance caractéristique. Dans ce cas, cette antenne qui se comporte comme une ligne de transmission adaptée à cette impédance, est parcourue par des ondes progressives caractérisées par un courant d'amplitude: I(y) = Io e- j ky z (P)
r
r M
ir
iz
(M)
M
+L
y
ix
(O)
iy
I(y)
x
Faisons l'approximation dipolaire électrique du rayonnement à grande distance. Cette antenne peut être considérée comme étant formée d'une infinité d'antennes élémentaires de longueur (dy) et de même section (s), alignées le long de Oy . Le champ électrique émis par
l'élément d'antenne se trouvant au point (M) de coordonnées (r M, M, M), s'écrit alors: (M)
dE
j
avec MP = r M et
60
dy sin I(y) M e j(t - kr M )
r M 0 y + L
Dans ce cas, le courant sinusoïdal qui parcourt l'antenne, est d'amplitude égale à: I(y) = Io e- j ky avec 0 y + L.
A grande distance, on a r >> . De plus, les vecteurs OP r et MP r M sont presque parallèles. Par conséquent, on en déduit que: M , M et M
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Comme la phase varie plus vite que l'amplitude, on peut faire les approximations suivantes: r M r pour l'amplitude r M r – y cos pour la phase
Etant donné que: ir . cos sin ix
cos ir . iy
sin sin iy cos iz , on en déduit que: sin = (1 – cos2)1/2 = [1 – sin2 sin2]1/2
sin sin et
Le champ total émis par l'antenne vaut alors: 60
L
j sin e I(y) e jkycos dy r 0 L 60 sin - 1] dy 2 2 1/2 j( t - kr ) - sin sin ] e I o [1 e jky[sin E j r 0
E
j( t - kr )
L
L
jky[sin sin - 1]
e
Il vient:
0
jk [sin sin - 1]
j kL[sin sin - 1] - j kL[sin sin - 1] j [sin sin - 1] e 2 -e 2 e -1 2 e jk [sin sin - 1] jk [sin sin - 1]
jkL[sin sin - 1]
ou
e jkL[sin sin - 1] - 1
kL
jkL[sin sin - 1]
e jky[sin sin - 1] dy jk [sin sin 1] 0
e
-1
jk [sin sin - 1]
2
sin
kL
[sin sin - 1]
2 k [sin sin - 1]
j
e
kL 2
[sin sin - 1]
avec k = 2/
En remplaçant dans l'expression du champ on obtient alors:
E
j
60 r
I o [1 - sin 2 sin 2 ]1/2
L [sin sin - 1] j(t - kr kL[sin sin - 1]) 2 e [sin sin - 1]
sin
Ce champ s'écrit aussi:
E
j
60 r
I o [1 - sin
2
sin ] 2
1/2
sin L [1 - sin sin]
j( t - kr
e
[1 - sin sin]
kL 2
[sin sin - 1])
2. La fonction caractéristique de rayonnement de l'antenne considérée, est la partie angulaire du champ électrique. Soit:
F(, ) [1 - sin 2 sin 2 ]1/2
L [1 - sin sin ] [1 - sin sin]
sin
Comme pour l'antenne verticale, F(,) se décompose en deux fonctions caractéristiques F() et F(), respectivement analysées dans les plans E (zO) et H (xOy). L'espace où le champ est rayonné, est décrit par 0° 360° et 0° 180°. Mais, les
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diagrammes de rayonnement représentant F() et F() sont obtenus en traçant ceux-ci pour 0° 360° avec = o = Cte et 0° 360° avec = /2 respectivement. Pour = 90° (plan xOy), sin = 1 et [1 – sin 2 sin2]1/2 = [1 –sin2]1/2 = cos. D'où: F()
cos
L sin [1 - sin] [1 - sin]
Pour = 90° (plan zOy), sin = 1 et [1 – sin 2 sin2]1/2 = [1 –sin2]1/2 = cos. D'où: F()
cos
L sin [1 - sin] [1 - sin]
Ces deux fonctions sont de forme identique. Donc, leur étude est identique. Aussi, nous nous limiterons à celle de F( ). Pour L = 5/2 et L/ = 5/2. D'où: F()
5 sin [1 - sin] 2 [1 - sin] cos
Son étude comporte les étapes suivantes:
Définition: F() est définie dans l'ensemble des réels, ]-
, + [ , sauf pour toutes
les valeurs p = 2p (avec p = 0 , 1, 2 , …) pour lesquelles F( p) = 0/0. Cette indétermination est levée en remarquant que F() est le produit de deux fonctions qui sont définies quel que soit ] - , + [. Ce sont: cos 1 et 5 sin [1 - sin] 5 2 , car cette dernière fonction est de la forme Si(X) = sin(aX) /X et sa 2 [1 - sin] limite est limX0 Si(X) = a.
Périodicité: F() est composée de fonctions trigonométriques telles que cos et sin, qui
sont périodiques de période 2. Cette fonction est aussi périodique de période 2 . Par conséquent, son domaine d'études est fixé de 0 à 2 .
Symétries: Il est facile de vérifier que: F( - ) = F() (symétrie par rapport à Oy ). Cette
symétrie réduit l'étude détaillée de F() à l'intervalle - /2 + /2. Par contre, on a: F(-) F().
Recherche des zéros: Ce sont les valeurs de obtenues lorsque F() = 0.
cos sin cos = 0
5 2
[1 - sin] 0 , c'est-à-dire que:
= 90°
et sin
5 2
[1 - sin] 0
5 2
[1 - sin m ] m
ou 5 (1 - sinm) / 2 = m. Soit: sinm = 1 + 2m/5. Les autres zéros sont donc: m=0
sino = 1
et
o = 90°
m=-1 m=-2
sin-1 = 3/5 sin-2 = 1/5
et et
-1 = 36° 52' 37° -2 = 11° 32' 12° 17
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m=-3
sin-3 = -1/5 et
m=-4
sin-4 = - 3/5 et
m=-5
sin-5 = - 1
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-3 = - 11° 32' -12° -4 = - 36° 52' - 37° -5 = - 90°
et
Etude de l'enveloppe du diagramme: La fonction caractéristique de rayonnement F()
est le produit de deux fonctions F 1() = cos / (1 – sin) et F2() = 5(1 - sin)/2. F1() est l'enveloppe de F2(). Ses variations sont décrites par le tableau de valeurs:
F1()
- 90°
- 30°
0°
+ 30°
+ 90°
0
3-1/2
1
31/2
+
D'où, la courbe représentative de cette enveloppe:
(O)
y
F1()
x
Recherche des maximums: Les maximums sont déterminés soit à la calculatrice en
testant diverses valeurs de F() situées entre deux zéros successifs, soit en résolvant graphiquement l'équation dF()/d = 0. Les maximums sont:
M1 = - 53° M2 = - 24° M3 0° M4 = + 24° M5 = + 60°
F(M1) = 0,33 F(M2) = 0,64 F(M3) = 1 F(M4) = 1,54 F(M5) = 3,25
Tableau de valeurs: En incluant les valeurs remarquables, celui-ci est:
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- 90°
F1()
0
0,33
F2()
0
1
0
1
F()
0
0,33
0
0,64
-53°
- 37°
-24°
- 12°
0,64
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+ 12°
1 0 0
+24°
+ 37°
1,54
60°
+ 90°
3,73
+
1
0
1
0
0,87
0
1
0
1, 1,54 54
0
3,25
0
Diagramme de rayonnement: Ce dernier est obtenu en traçant point par point la courbe du demi plan inférieur dans le système de coordonnées polaires, ou en faisant le produit des deux fonctions F1() et F2(), puis le reste du diagramme grâce à la symétrie par rapport à l'axe Oy . La courbe qui en résulte est un diagramme composé de dix lobes répartis symétriquement de part et d'autre de l'axe Oy .
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Réseaux d'antenne ----------------------Exercice N°1 : (6 pts) Enoncé: Quatre sources sources ponctuelles ponctuelles d’ondes d’ondes électromagn électromagnétiques étiques alignées alignées le long long de l’axe l’axe Oz et espacées d’une source à l’autre d’une distance d = /2, émettent chacune un champ électrique j[ ωt kr k(n 1) d ] n En Eo e i . La première antenne se trouve à l'origine (O) et r n est la distance séparant le point d’observation (P) du point (Mn) repérant la position de la source (n), avec n = 1 , 2 , 3 et 4. 1. Explicitez le champ électrique émis par chacune de ces sources. Puis, calculez le champ total rayonné à grande distance par le réseau formé des quatre antennes. (2pts) (1pt) 2. Déterminez la fonction caractéristique de rayonnement F() dans le plan zO 3. Etudiez celle-ci dans ce plan. (2pts) (1pt) 4. Tracez le diagramme de rayonnement dans le plan zO .
Corrigé: 1. Le réseau formé de quatre sources est décrit par la figure suivante: z (4)
(3)
r
(2)
d
(1)
y O
x
k(n 1) d ] i , Chacune de ces sources émet un champ électrique: E n E o e j[t – kr] avec n = 1 , 2 , 3 , 4 et r n r – (n – 1) d cos . Soit: E1 = Eo e ; E2 = Eo e j[t – kr + kd(cos - 1)] ; E3 = Eo e j[ t – kr + 2kd(cos - 1)] ; E4 = Eo e j[ t – kr + 3kd(cos - 1)].
j[ ωt kr n
Le champ E T = E1 + E2 + E3 + E4 total vaut succesivement: ET = Eo e j[ t – kr] [1 + e jkd(cos - 1) + e j2kd(cos - 1) + e j3kd(cos - 1)] ET = Eo e j[t – kr] [e jkd(cos - 1) (e -jkd(cos - 1) + e jkd(cos - 1)) + e j2kd(cos - 1) (e -jkd(cos - 1) + e jkd(cos - 1))] ET = 2Eo cos[kd(cos - 1)] [e jkd(cos - 1) + e j2kd(cos - 1)] e j[t – kr] ET = 2Eo cos[kd(cos - 1)] [1 + e jkd(cos - 1)] e j[ t – kr + kd(cos - 1)] ET = 2Eo cos[kd(cos - 1)] [e-jkd(cos - 1)/2 + e jkd(cos - 1)/2] e j[t – kr + 3kd(cos - 1)/2] ET = 4Eo cos[kd(cos - 1)] cos[kd(cos - 1)/2] e j[t – kr + 3kd(cos - 1)/2] Or: d = /2 kd = (2 /) (/2) = . D'où: ET = 4Eo cos[(cos - 1)] cos[(cos - 1)/2] e j[t – kr + 3 (cos - 1)/2] (2pts)
2. La fonction caractéristique de rayonnement est: F(,) = F() = cos[(cos - 1)] cos[(cos - 1)/2]= cos[cos] sin[(cos)/2] (1pt)
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3. Son étude comporte les étapes suivantes: Définition: F() est définie dans l'ensemble des réels, ]- , + [ Périodicité: Etant périodique de période 2, son domaine d'études est fixé de 0 à 2 . Symétries: F(- ) = F() et F( - ) = F(). Donc,l'étude détaillée se réduit à 0 /2. Recherche des zéros: F() = 0 cos[cos] = 0 ou sin[(cos)/2] = 0. cos[cos] = 0 cosm = (2m + 1) /2 ou 0 cosm= (2m + 1)/2 1 Pour m = 0 coso = 1/2 et o = 60°. sin[(cos)/2] = 0 cos1 = 0 et 1 = 90° Recherche des maximums: F() a deux maximums. L'un obtenu par symétrie, se trouve à = 0° et l'autre situé entre 60° et 90°, est déterminé avec une calculatrice D'où, le tableau de valeurs: 0 60° 74° 90° 1 0 0,27 0 F() (2pts) 5. Le diagramme de rayonnement est:
z 60° °
Exercice N°2 : (8 pts) Enoncé: Trois sources ponctuelles d'ondes électromagnétiques (1), (2) et (3) sont placées respectivement sur l’axe Ox aux abscisses xn = (n – 1) /2 , avec n = 1 , 2 et 3. La source (n) et le point d'observation (P), sont alors séparés d'une distance r n et chacune de ces sources produit un champ électrique qui s'écrit: E n E o e j( t - kr n n ) i , avec n = (n – 1)
1. Calculez le champ électrique rayonné à grande distance par le réseau formé de ces trois antennes. (2pts) 2. Trouvez la fonction caractéristique de rayonnement F( ,), puis déterminez celle décrivant le champ dans le plan xOy. (1pt) 21
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3. Etudiez F(), en calculant notamment ses zéros et ses maximums. 4. Tracez le diagramme de rayonnement de ce réseau d’antennes.
(3pts) (2pts)
Corrigé: 1. Soit le réseau d'antennes formé de trois sources ponctuelles d'ondes électromagnétiques (1), (2) et (3), placées respectivement sur l’axe Ox aux abscisses xn = (n – 1) /2 , avec n = 1 , 2 et 3. Le champ électrique émis par la source (n) est:
j( t - kr n
En
n )
Eo e
i , avec n = (n – 1)
Soit d = /2, la distance séparant deux sources successives. A grande distance, les vecteurs r et r n sont quasiment parallèles. On en déduit alors que la distance r n reliant la position xn de la nième source au point d'observation (P),
z
r - (n - 1) d ix . ir 1 sin cos r ix sin 00 et i sincos
r
est: r n
avec
r n
(1) (2)
(3)
x
y
O
D'où: r n r – (n – 1) d sin cos D'après ces relations, le champ émis par chacune des trois sources est: (1) E1 = Eo e j[t – kr] (2) E2 = Eo e j[t – kr + kd sin cos + ] = - Eo e j[t – kr + kd sin cos ] (3) E3 = Eo e j[t – kr + 2 kd sin cos + 2] = Eo e j[t – kr + 2 kd sin cos ] Le champ total est: E = E1 + E2 + E3 = Eo e j[t – kr] [1 - e j kd sin cos + e2 j kd sin cos ] On a donc une somme de la forme S = 1 – X + X 2 , avec X = e j kd sin cos . Faisons X S = X – X 2 + X3 , puis: S + X S. Il vient: S + X S = (1 + X) S = 1 + X 3. D'où: S = (1 + X3) / (1 + X) = (1 + e 3 j kd sin cos ) / (1 + e j kd sin cos ). 3 3 3 3 j kd sin cos j kd sin cos - j kd sin cos cos[ kd sin cos ] 2 2 2 [e ] e e 2 ou S e jkd sin cos S kd kd kd kd j sin cos j sin cos - j sin cos 2 2 2 sin cos ] cos[ [e ] e e 2 3 cos[ sin cos ] 2 2 comme d = /2, on a: k d e j sin cos S 2 cos[ sin cos ] 2 D'où le champ électrique rayonné à grande distance par le réseau formé des trois antennes:
S Eo
cos[
3 2
sin cos ]
e j(t - kr sin cos )
cos[ sin cos ] 2
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Remarque: La somme S peut s'écrire aussi: S = [1 - e j kd sin cos + e 2 j kd sin cos ] = e j kd sin cos [e- j kd sin cos - 1 + e+ j kd sin cos ] = [2 cos(kd sin cos) – 1] e j kd sin cos = [2 cos( sin cos) – 1] e j sin cos ET = Eo [2 cos( sin cos) – 1] e j(t – kr + sin cos)
(2pts)
2. La fonction caractéristique de rayonnement est: 3 cos[ sin cos ] 2 ou F(,) = 2 cos( sin cos) – 1 F(, ) cos[ sin cos ] 2 Dans le plan xOy, on a = /2). D'où:
F()
cos[
3 2
cos ]
F() = 2 cos( cos) – 1
ou
(1pt)
cos[ cos ] 2
3. L'étude de F( ) se fait en partant indifféremment de l'une de ces deux formes suivant la méthodologie habituelle: Définition: Dans le premier cas, F() est définie dans l'espace des réels ] - , + [ , sauf pour = p , avec p = 0 , 1 , 2 ,….. pour lesquelles on a F( ) = 0 / 0. La règle de l'Hôspital permet de lever l'indétermination. En effet: 3 lim p F() lim p 2
sin sin[
3 2
cos ]
lim p 3
sin[
3 2
cos ]
3
sin[ cos ] sin sin[ cos ] 2 2 2 Dans le second cas, F( ) est définie dans l'espace des réels ] - , + [ Périodicité: F() est périodique de période 2 car étant une fonction de cos qui est périodique de période 2. Le domaine d'études est donc: 0 2.
Symétries: Il est facile de voir que F(- ) = F() et F( - ) = F(): Ce qui limite l'étude détaillée à 0 /2. 3 3 Zéros: F() = 0 cos[ cos ] 0 et cos p (2p 1) 2 2 2 ou 0 cos p = (2p + 1)/3 1 Pour p = 0 , on a: cos 0 = 1/3 0 = 70°31' Pour p = 1 , on a: cos 1 = 1 1 = 0° , mais cet angle n'est pas un zéro car c'est celui du maximum pour pour lequel F() = 3. Maximums: Par raison de symétrie, on a deux maximums. Soit: 1 = 0° F(1) = 3. 2 = 90° F(2) = 1. D'où, le tableau de valeurs: D'où, le tableau de valeurs:
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F()
0° 3
70°31' 0
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90° 1
Remarque: ces valeurs se déduisent également de F() = 2 cos( cos) – 1.
(3pts)
4. Le diagramme de rayonnement est: y
70°31'
Ce réseau est à rayonnement longitudinal .
24
x
(2pts)
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Antenne de réception ----------------------------
Exercice N° 1: (7pts) Enoncé: la électrique f.e.m. e reçue parpar unun dipôle de longueur dl, faisantverticale. un angle 1. Déterminez avec le champ E émis autre électrique dipôle électrique en polarisation (1pt) 2. Tracez la courbe e = f() en coordonnées polaires et déterminez les valeurs de pour lesquelles les antennes d'émission et de réception ont même polarisation ou sont découplées. (1pts½) 3. Dessinez le schéma équivalent de l'antenne de réception branchée à l'entrée d'un récepteur. (1pt) 4. Calculez la puissance moyenne p transmise à l'entrée du récepteur lorsque ce dernier est adapté à son antenne. (1pts½) 5. Déterminez la surface effective S du dipôle électrique et trouvez l'équation qui lie la surface effective au gain G de cette antenne. (2pts)
Corrigé: 1.La f.e.m. e reçue par un dipôle électrique de longueur dl, faisant un angle avec le champ électrique E émis par un autre dipôle électrique en polarisation verticale, est: e
E
dl
E ds E dl cos
(dl)
(1pt)
2. Cette f.e.m. s'écrit aussi: e( ) = eo cos avec eo = E dl e() = eo cos L'étude de cette amplitude en fonction de l'angle , met en évidence les symétries: e() = e(- ) et e() = e( - ). L'étude détaillée peut alors être limitée à l'intervalle allant de 0° à 90°. D'où, le tableau de valeurs:
eT / eo
0°
30°
45°
60°
90°
1
3/2
2 /2
1/2
0
Dans le cas où l'antenne d'émission est verticale et où l'antenne de réception est dans le plan zOx, le diagramme qui découle de ce tableau, comporte deux cercles de centres respectifs (0,- ½ , 0) et (0, ½ , 0) et de rayon eo/2. Soit: Si = 0°, les deux antennes sont parallèles l'une à l'autre. Elles ont une même polarisation et e = eo. Si = 90°, les deux antennes sont perpendiculaires. Elles sont donc découplées et e = 0.
z +1
e()/eo = cos
(O)
y
(1pts½) -1
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3. Le schéma équivalent de l'antenne de réception branchée à l'entrée d'un récepteur, est: i(t)
R v(t)
Antenne
r e
Récepteur
e(t)
(1pt)
4. A l'instant t, la puissance reçue est: pinst(t) = v(t) i(t), avec i (t) = e(t)/(R + r e) et v(t) = re(t)/(R + r e)
p inst ( t )
r e e o2 cos 2 t ( R r e )
2
En moyenne sur une période de temps T = 2/, la puissance reçue s’écrit: 1
r e e o2
p moy 2 (R r e ) 2 Faisons dpmoy/dr e = 0. On aura: (R + r e)2 – r e[2(R + r e)] = 0
R – r e = 0 et R = r e.
l’antenne est alors adaptée au récepteur, cette puissance est maximum et devient: 2 1 eo2 dl p avec R 80 2 2 2 4 R
(1pts½)
5. La surface effective de l'antenne de réception est par définition: S = p / P avec p = puissance reçue = p = E2 dl2 / 8 R et P = flux moyen de puissance électromagnétique = E2 / 240 E 2 dl 2
S 8 R E 2
30
R
2
dl
ou
S
30 dl 2 80 2
240
2 3 2 8 2 4 3
dl 2
2 G 2
Or, G = 3/2. D'où, D'où, la relation entre S et G qui s'écrit: S 4
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(2pts)
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Equation des Télécommunications ---------------------------------------Exercice N° 1 : (4 pts) Enoncé: Un satellite défilant décrivant uneleorbite circulaire, se trouve à 1000 kmémises d'altitude. radioélectriques transmises entre satellite et sa station terrienne, sont à 10 Les GHzondes avec une puissance de 10 W. Le gain de l’antenne d’émission est de 30 dB et celui de l’antenne de réception est de 40 dB. 1. Calculez la puissance reçue p par le satellite et exprimez celle-ci en dBm (valeur en dB de la puissance p par rapport à une puissance de référence de 1mW). (2pts) 2. Les antennes de cette liaison sont des paraboloïdes dont l’ouverture rayonnante est circulaire, de diamètre D1 et D2 respectivement. Calculez ces diamètres dans le cas où la surface effective des antennes est égale à 60 % de la surface de leur ouverture. (2pts)
Corrigé: 1. Soit PT, la puissance totale rayonnée par l'antenne d'émission (1) dans tout l'espace, P, le flux de puissance électromagnétique obtenu à une distance r, dans la direction de rayonnement maximum et p, la puissance collectée par l'antenne de réception (2). Par définition, le gain maximum de l’antenne d'émission est: G1
P
et la surface effective de
PT 4r 2
l'antenne de de réception est: S2 = p / P. P On en déduit que: P G1 T 4r 2 G S p 1 22 PT 4r
p S2
Or : S2 = G2 /4. Cette équation devient: 2
On a: PT = 10 W ; F = 10 GHz = 10 10 Hz
.
D'où,
p
2 G1 G 2 . 2 (4r)
PT
l'équation
des
télécommunications:
= c/F = 3 10 8/1010 = 3 10-2 m;
r =(dB) 1000 km = 106 m; G1 = 10 log G1 = 30 dB G1 = 103; G2(dB) = 10 log G2 = 40 dB G1 = 104. La puissance reçue vaut alors: p = 10 x (3 10 -2)2 x 103 x 104 /(4 106)2 = (3/4)2 10-8 W ou p =0,057 10-8 W = 5,7 10-10 W = 570 pW. Cette puissance vaut aussi: p = 5,7 10 -7 mW. En dBm, elle vaut donc: pdBm = 10 log 5,7 10-7 = - 70 + 10 log 5,7 = - 70 + 7,6 = - 62,4 dBm (2pts) 2. Soit D1 , le diamètre de l'antenne (1) et D2 , celui de l'antenne (2). La surface de leur ouverture est respectivement: A1 = D12/4 et A2 = D22/4. Leur surface effective vaut respectivement: S1 = 0,6 A1 = 0,6D12/4 et S2 = 0,6 A2 = 0,6D22/4. Comme S1 = G1 2/4. et S2 = G2 2/4, on en déduit que: G1 = 0,62D12/2 et G2 = 0,62D22/2. D'où: D1 = (G1/0,6)1/2 / = 3 10-2 (103/0,6)1/2 / = 3,9 10-1 m = 39 cm D2 = (G2/0,6)1/2 / = 3 10-2 (104/0,6)1/2 / = 1,23 m
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(2pts)
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Les surfaces rayonnantes -----------------------------
Exercice N°1 : (6pts) Enoncé: La surface rayonnante d'un rectangulaire fonctionnant GHz,cesecas, trouve dans le plan zOx, elle est es t centrée surcornet l'origine (O) et sa largeur lar geur vaut Bà=F2=.9Dans sa fonction caractéristique de rayonnement s'écrit dans le plan zOy (plan E):
B cos B cos
sin F()
si
0 et
F() = 0
si
2
1. Evaluez la largeur B et trouvez l'expression finale (1pt) 2. Etudiez F(), en déterminant notamment ses zéros et ses maximums. 3. Tracez le diagramme de rayonnement de cette antenne.
F( ).
de
(3pts) (2pts)
Corrigé: 1. L’ouverture rayonnante d’un cornet de forme pyramidale, est une surface rectangulaire de longueur A et de largeur B, qui se trouve dans le plan zOx, centrée sur l'origine (O), et sur laquelle le champ électromagnétique est à phase constante. z
B O
y
A
x
Dans ce cas, sa fonction caractéristique de rayonnement s'écrit dans le plan zOy (plan E): sin B cos F()
B cos
si
0 et
F() = 0
si
2
La fréquence de travail de cette antenne est F = 9 GHz. Donc: = c/F = 3 10 8/9 1010 ou = 10-1/3 m = 3,3 cm. Sa largeur vaut alors: B = 2 = 6,66 cm 6,7 cm sin 2 cos Dans ce cas, F() devient: F() si 0 2 cos F() = 0
si
2
Les étapes de l'étude de F( ) sont: Définition: F() est définie dans l'espace des réels ] - , + [ , sauf pour = (2p + 1) /2 , avec p = 0 , 1 , 2 ,….. pour lesquelles on a F( ) = 0 / 0.
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(1pt)
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La règle de l'Hôspital permet de lever l'indétermination. En effet: 2 sin cos[2 cos ] lim ou lim F() lim cos[2 cos ] 1 ( 2 p 1) ( 2 p 1) ( 2 p 1) 2 sin 2 2 2
Périodicité: F() est périodique de période 2 car étant une fonction de cos qui est périodique de période 2. Le domaine d'études est donc: 0 2. Comme F() = 0 si 2, cette étude se fait, en réalité, pour 0 Symétries: on a: F( - ) = F(). L'étude détaillée est alors limitée à 0 /2. Zéros: F() = 0 sin(2 cos) = 0 et 2 cos p = p ou 0 cos p = p/2 1 Pour p = 0 , on a: cos 0 = 0 0 = 90° mais cet angle n'est pas un zéro car c'est celui du maximum pour pour lequel F() = 1. Pour p = 1 , on a: cos 1 = 1/2 1 = 60° Pour p = 2 , on a: cos 2 = 1 1 = 0° , Maximums: Par raison de symétrie, on a un maximum pour 0 = 90° F(1) = 1. Entre 0° et 60°, il y a un autre maximum. En testant plusieurs valeurs avec la calculatrice, on obtient le tableau de valeurs suivant:
F()
43° 0,21613
44° 0,21716
44°20' 0,21723
44°30' 0,21722 0,21722
60° 0
90° 1
45° 0,21695
D'où, le tableau de valeurs:
F()
0° 0
44°20' 0,217
(3pts)
3. Le diagramme de rayonnement de cette antenne est: z
60° (O)
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Relation gain – surface effective -----------------------------------------
Soit une antenne élémentaire de type dipolaire électrique, de longueur dl , parcourue par un courant sinusoïdal d’amplitude io. L’amplitude du champ électrique émis à grande distance est maximum pour = 90° (plan xOy). Elle vaut : E = 60 io dl / r L’intensité de radiation est, en valeur moyenne : P = E2 / 240 Elle vaut : P = 3600 2 io2 dl2 / 240 2 r 2 = 15 io2 dl2 / 2 r 2 La puissance totale rayonnée par l’antenne est en moyenne : P T = R io2 /2 , où R est la résistance de rayonnement rayonnement qui vaut : R = 80 2 dl2 / 2 . Cette puissance s’écrit donc : PT = 40 2 dl2 io2 / 2. Le gain maximum de l’antenne est, par définition : P G PT 4r 2 Comme PT / 4 r = 10 dl 2
2
io2 /
r , il vient : 2 2
15 G
i o2 dl 2
2 r 2 3 2 2
10 i o dl 2 r 2
2
La surface effective de l’antenne est , par par définition : S = p / P. P. Soit r , la résistance d’entrée du récepteur. La puissance moyenne reçue par ce dernier est : p = r e2 / 2 (R + r) 2. Lorsque l’antenne est adaptée au récepteur, on a R = r et cette puissance devient : p = e2 / 8 R Comme e = E dl, cette puissance s’écrit : p = E2 dl2 / 8 R En remplaçant, il vient : E 2 dl 2
8 R S E 2
240
30 R dl
2
ou S
30 dl 2 80 2
dl 2
2 3 2 8 2 4 3
2
2 Par conséquent : S G 4
30
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